Seizoencorrectie. Marcel van Velzen, Roberto Wekker en Pim Ouwehand. Statistische Methoden (10007)

Transcriptie

1 109 Seizoencorrecie Marcel van Velzen, Robero Wekker en Pim Ouwehand Saisische Mehoden (10007) Den Haag/Heerlen, 2010

2 Verklaring van ekens. = gegevens onbreken * = voorlopig cijfer ** = nader voorlopig cijfer x = geheim = nihil = (indien voorkomend ussen wee geallen) o en me 0 (0,0) = he geal is kleiner dan de helf van de gekozen eenheid nies (blank) = een cijfer kan op logische gronden nie voorkomen = 2008 o en me /2009 = he gemiddelde over de jaren 2008 o en me / 09 = oogsjaar, boekjaar, schooljaar enz., beginnend in 2008 en eindigend in / / 09 = oogsjaar, boekjaar enz., 2006/ 07 o en me 2008/ 09 In geval van afronding kan he voorkomen da he weergegeven oaal nie overeensem me de som van de geallen. Colofon Uigever Cenraal Bureau voor de Saisiek Henri Faasdreef JP Den Haag Prepress Cenraal Bureau voor de Saisiek - Grafimedia Omslag TelDesign, Roerdam Inlichingen Tel. (088) Fax (070) Via conacformulier: Besellingen verkoop@cbs.nl Fax (045) Inerne ISSN: Cenraal Bureau voor de Saisiek, Den Haag/Heerlen, Verveelvoudiging is oegesaan, mis he CBS als bron word vermeld X-37

3 Inhoudsopgave 1. Inleiding op he hema Seizoencorrecie me X-12-ARIMA Regressie: kalendereffecen en uibijers Overige aspecen Sappenplan seizoencorrecie Lierauur

4 1. Inleiding op he hema Beschrijving van he hema Bij seizoencorrecie willen we ijdreeksen voor zogenaamde seizoenparonen corrigeren. Di zijn me vase (bijv. jaarlijkse) regelmaa erugkerende op- en neergaande bewegingen in een ijdreeks. Door hiervoor e corrigeren zijn gegevens beer door de ijd heen e vergelijken. Veel saisieken op he CBS worden immers meerdere keren per jaar gemaak, en bieden daardoor de mogelijkheid bepaalde onwikkelingen van periode o periode e volgen. Echer, deze saisieken worden beïnvloed door jaarlijks erugkerende paronen in de gegevens. Voorbeelden hiervan zijn hogere deailhandelsomzeen in december en lager energieverbruik in de zomermaanden. Als we de gegevens voor deze effecen corrigeren, zijn ze beer e vergelijken ussen opeenvolgende periodes. Zo kan bijvoorbeeld blijken da de decemberomze nauwelijks verschil van die van november als men de ypische feesdagenaankopen buien beschouwing laa. Door seizoencorrecie ui e voeren worden rendmaige onwikkelingen in de daa beer zichbaar. In figuur 1 saa er illusraie de reeks Banen van werknemers weergegeven, samen me de seizoengecorrigeerde reeks. Banen van werknemers Oorspronkelijk Seizoengecorrigeerd Figuur 1. Reeks Banen van werknemers en seizoengecorrigeerde reeks Seizoenparonen zijn dus jaarlijks erugkerende variaies in de gegevens. Er val echer ook e denken aan andere frequenies dan jaarparonen. Zo kan bijvoorbeeld de energieconsumpie ook een weekparoon veronen, en zelfs een dagparoon. Op he CBS hebben we echer alleen me maand- en kwaraalgegevens e maken en corrigeren we dus alleen voor jaarparonen. Een bijzondere saisiek is echer die 4

5 van de omzeen bij de supermarken, die op vierweeksbasis gemeen word, waardoor er in feie 13 perioden per jaar onsaan. Om seizoencorrecie oe kunnen passen moe een paroon me redelijke nauwkeurigheid gescha kunnen worden, zoda he ui de gegevens gefilerd kan worden. Di beeken da er voldoende hisorische gegevens beschikbaar moeen zijn om he paroon nauwkeurig e schaen. In de prakijk zijn ijdreeksen soms echer relaief kor. Ook kunnen we e maken hebben me onbrekende gegevens, rendbreuken, of andere verschuivingen binnen de reeks. Naas correcie voor seizoenparonen corrigeren we op he CBS ook voor kalendereffecen. Di zijn aan de kalender gerelaeerde gebeurenissen die meesal een onregelmaig erugkerend paroon hebben, maar wel de ijdreeks beïnvloeden. Als er bijvoorbeeld minder werkdagen in een maand zien, kan de omze in een secor daardoor lager uivallen. Ook heef bijvoorbeeld he aanal zaerdagen in een maand invloed op de omze. Daarnaas val e denken aan feesdagen, schoolvakanies, en he schrikkeljaareffec. Door hiervoor e corrigeren worden gegevens beer door de ijd heen e vergelijken Problemen en oplossingen De voor seizoencorrecie onwikkelde mehoden en sofware zijn serk me elkaar verbonden. Er zijn drie belangrijke aanpakken beschikbaar voor seizoencorrecie. - He US Census Bureau heef X-12-ARIMA onwikkeld als seizoencorreciemehode en -sofware. X-12-ARIMA is feielijk een niemodelmaige aanpak. De mehode is gebaseerd op he ieraief schaen van de seizoencomponen van een ijdreeks middels een aanal rekenrondes. Me behulp van ARIMA-modellen word weliswaar de reeks doorgerokken naar de oekoms om beer schaingen e maken, maar de X-12-procedure is op empirische regels gebaseerd. - De Bank van Spanje heef de aanpak en gelijknamig sofwarepakke TRAMO-SEATS onwikkeld me daarin modules voor ijdreeksanalyse en seizoencorrecie. De mehode probeer ijdreeksen e modelleren me behulp van ARIMA-modellen en zo seizoeneffecen e schaen. - Een derde aanpak is die me Srucurele Tijdreeksmodellen (STM). Deze modellen en de bijbehorende sofware zijn voor algemene ijdreeksanalyse bedoeld en dus nie specifiek voor seizoencorrecie onwikkeld. Deze modellen modelleren elk van de componenen van een ijdreeks afzonderlijk, en kunnen dus ook de seizoencomponen afzonderlijk schaen. Een bekend pakke hiervoor is STAMP. De mees gebruike aanpakken zijn echer X-12-ARIMA en TRAMO-SEATS. Binnen de 27 Europese saisische bureaus gebruiken er 10 de X-12-aanpak en 14 de TRAMO-SEATS-aanpak. De overige hebben een afwijkende aanpak. Op he CBS word X-12-ARIMA gebruik. In hoofdsuk 3 word deze nader besproken. 5

6 Voor een uigebreidere beschrijving van de X-12-ARIMA-mehode verwijzen we naar de Syllabus Seizoencorrecie me X-12-ARIMA (Vollebreg, 2002). In de prakijk kan me X-12-ARIMA en TRAMO-SEATS dezelfde kwaliei van seizoencorrecie behaald worden, als men alhans reguliere reeksen beschouw zonder uizonderlijke effecen. De Eurosa-richlijnen (Eurosa, 2009) verkiezen dan ook nie een van beide mehoden boven de ander. Binnen Eurosa heef men Demera onwikkeld als schil om TRAMO-SEATS en X- 12-ARIMA heen. De opvolger van Demera is Demera+, da ook srucurele ijdreeksmodellen aankan. Op he CBS is Vivaldi (Bose, 2000) onwikkeld als schil om X-12-ARIMA heen, om de gebruiksvriendelijkheid e vergroen en groere aanallen reeksen egelijk aan e kunnen. Inmiddels is X-12-ARIMA zelf ook gebruiksvriendelijker geworden. Op he CBS is gekozen om e werken me X-12-ARIMA, en zijn een aanal richlijnen opgeseld voor oepassing van seizoencorrecie binnen he CBS (Booleman, 2003). Binnen Europees verband zijn de Eurosa-richlijnen (Eurosa, 2009) opgeseld. Di zijn aanbevelingen en dus geen verplichingen. Binnen he CBS word voor een aanal saisieken seizoencorrecie oegepas. In Ouwehand en Kraan (2009) word een overzich gegeven van de saisieken waarvoor di geld, en welke mehoden men daarvoor gebruik. He blijk da binnen he CBS seizoencorrecie op een aanal belangrijke punen op dezelfde wijze word aangepak, maar op een lager deailniveau er op uieenlopende wijzen gehandeld word. Di is voor een deel echer onvermijdelijk, aangezien elke saisiek zijn eigen specifieke aanpak vereis. Ook houd men zich groendeels aan de CBS-richlijnen en Eurosa-richlijnen. Waar da nie gebeur is vaak een bewuse keuze gemaak om hier vanaf e wijken. Naas de correcie voor he seizoenparoon zelf, omva seizoencorrecie ook nog de correcie voor kalendereffecen. Di zijn gebeurenissen die ook variaies in de gegevens veroorzaken, maar e verklaren zijn ui kalenderkenmerken. Voorbeelden hiervan zijn de correcie voor he aanal werkdagen en koopdagen in een periode, he aanal dagen in een maand, he opreden van feesdagen en brugdagen, en he schrikkeljaareffec. Seizoencorrecie kan pas goed gedaan worden als de gegevens eers voor kalendereffecen gecorrigeerd worden. Di gebeur vooraf aan de daadwerkelijke seizoencorrecie, maar kan ook plaasvinden zonder vervolgens de res van de seizoencorrecieprocedure oe e passen. Deze correcie worden besproken in hoofdsuk Plaas in he saisisch proces Seizoencorrecie vind plaas aan he eind van he saisisch proces. He word oegepas zodra de feielijke saisiekproducie is afgerond. Men heef dan de ongecorrigeerde cijfers. Voor sommige saisieken zijn di ook e publiceren cijfers. Men kan vervolgens ook nog seizoengecorrigeerde cijfers berekenen, waardoor he beer mogelijk word om een reeks door de ijd heen e analyseren. Voor andere 6

7 reeksen vormen deze seizoengecorrigeerde reeks de enige e publiceren cijfers. In de oekoms zou he wenselijk kunnen zijn om al eerder in he saisische proces, ijdens de analysefase, aan seizoencorrecie e doen 1.3 Definiies Begrip ARIMA-model Decomposiie Demera / Demera+ Filer Kalendereffec Seizoenparoon STM Tijdreeks TRAMO-SEATS Vivaldi X-12-ARIMA Omschrijving Auoregressive Inegraed Moving Average model Onleden van een ijdreeks in zijn componenen (kan addiief of muliplicaief zijn) Door Eurosa onwikkelde schil om X-12-ARIMA en TRAMO- SEATS Reeks gewichen voor waarden van de ijdreeks, benodigd om he seizoenparoon in de reeks e idenificeren. Aan de kalender gerelaeerde gebeurenissen die meesal een onregelmaig erugkerend paroon hebben, maar wel de ijdreeks beïnvloeden Een aanal me vase (bijv. jaarlijkse) regelmaa erugkerende op- en neergaande bewegingen in een ijdreeks Srucurele Tijdreeksmodellen Gegevens over een bepaalde variabele, geordend in de ijd Door Bank van Spanje onwikkelde mehode en sofware voor ijdreeksanalyse en seizoencorrecie Door CBS onwikkelde schil om X-12-ARIMA Door US Census Bureau onwikkelde mehode en sofware voor seizoencorrecie 7

8 2. Seizoencorrecie me X-12-ARIMA In di hoofdsuk behandelen we de op he CBS gebruike aanpak voor seizoencorrecie, namelijk die me he pakke X-12-ARIMA. In paragraaf 2.1 en 2.2 behandelen we eers wee belangrijke basisprincipes acher deze aanpak, namelijk he onleden van een ijdreeks in componenen, en he gebruik van filers. In 2.3 volg dan een uileg over ARIMA-modellen en de X-12-ARIMA-aanpak. We besluien in 2.4 me kwalieisindicaoren. 2.1 Onleden van een ijdreeks in zijn componenen Onder seizoencorrecie word versaan he corrigeren van een ijdreeks voor invloeden die jaarlijks op vase ijdsippen erugkeren me een bepaalde inensiei. Om di e doen onleden we een ijdreeks in zijn afzonderlijke componenen, zoda we de seizoencomponen erui kunnen fileren. Echer, de afzonderlijke componenen zijn nie waarneembaar, men zie immers alleen de reeks als oaal. Seizoencorrecie is dus o op zekere hooge subjecief, er is nie één manier om deze decomposiie e doen. rend cycle seizoen onregelmaig Figuur 2. Decomposiie van een reeks in vier componenen In figuur 2 saan de componenen van een ijdreeks geïllusreerd. Naas he seizoen kunnen in de ijdreeksen nog drie componenen worden onderscheiden: 8

9 De (lange ermijn) rend word gedefinieerd als de onwikkeling op zeer lange ermijn. De conjuncuur of business cycle (in figuur 2 aangegeven als de cycle) is een periodiek erugkerende golfbeweging bovenop de langeermijn-rendonwikkeling. Deze cyclus varieer van wee o ien jaar en langer. Indien er sprake is van een periodiek erugkerend conjuncuurparoon zal he aanal jaren waarover de rendonwikkeling word bepaald aanzienlijk groer moeen zijn dan he aanal jaren waarover he conjuncuurparoon zich uisrek. De onregelmaige componen besaa ui flucuaies in de ijdreeks veroorzaak door oevallige nie-sysemaische facoren. Deze rescomponen beva he gedeele van de gegevens da nie o één van de andere componenen behoor. De rend en conjuncuur worden door X-12-ARIMA samengenomen en de rendcycle genoemd. Men bepaal de rend-cycle, die een goed beeld geef van zowel de middellange als de lange ermijnonwikkeling, door verwijdering van de seizoencomponen en de onregelmaige componen. Er word veronderseld da een kalender- en werkdaggecorrigeerde ijdreeks (Y) kan worden onbonden in vier componenen. De rendcomponen (T), de conjuncuur- of cycluscomponen (C), de seizoencomponen (S) en de onregelmaige componen (I). Verder worden er wee mehoden van onbinding in componenen veronderseld. Bij de addiieve onbinding word ervan uigegaan da de seizoeneffecen in grooe consan zijn, onafhankelijk van he verloop van de rend. Bij de muliplicaieve onbinding word ervan uigegaan da de seizoeneffecen lineair oenemen me he rendniveau van de daa. De addiieve onbinding geef in formulevorm Y = T + C S ++ I, (2.1) waarbij he ijdsip aangeef waarop de daa berekking hebben (maand, kwaraal). De muliplicaieve onbinding is van de vorm Y = T C S I. (2.2) Voor iedere ijdreeks moe dus worden vasgeseld of de onbinding in componenen he bes kan worden beschreven door een addiieve dan wel een muliplicaieve onbinding. De eenvoudigse manier om e kiezen voor een addiieve of een muliplicaieve decomposiie is X-12-ARIMA zelf auomaisch voor één van beide decomposiies e laen kiezen. Hieroe maak X-12-ARIMA gebruik van he Akaike Informaion Crierium (AIC). Di crierium is een varian van he maximum likelihood crierium. Voor meer informaie over di crierium zie Akaike (1973). In de meese gevallen zal een ijdreeks echer een muliplicaieve onbinding hebben, aangezien in he algemeen de grooe van de uislagen van een economische ijdreeks evenredig zullen afhangen van de waarden van al zijn componenen. De muliplicaieve onbinding word addiief gemaak door aan beide zijden de logarime e nemen. Formule 2.2 word dan 9

10 log( Y ) = log( T ) + log( C ) log( S ) ++ log( I ). (2.3) He is daarom voldoende de werking van he X-12-ARIMA-programma ui e leggen aan de hand van de addiieve onbinding. 2.2 Filers De filers zoals die in X-12 worden oegepas bepalen seeds een (gewogen) voorschrijdend gemiddelde. Hierbij word een daapun seeds vervangen door een combinaie van omliggende daapunen. Deze filers gebruiken geen gecompliceerde concepen of modellen en zijn daardoor redelijk eenvoudig en robuus in gebruik. He is mogelijk filers e consrueren die goede eigenschappen hebben wa beref he behoud van de rend en verwijdering van de seizoencomponen. He onderdeel van X-12 da ui he oepassen van symmerische filers besaa word hisorisch vaak he X-11 gedeele genoemd. De combinaie van he gebruik van symmerische filers plus regressie en ARIMA-modellering word gezamenlijk me X-12 aangeduid. Regressie en ARIMA-modellering worden laer behandeld. Werking van X-11 He rekenschema van X-11 besaa ui drie soorgelijke rekenrondes. Iedere rekenronde maak gebruik van de resulaen ui de vorige rekenronde en geef een verdere verfijning van deze resulaen. In iedere rekenronde worden de rend-cycle, he seizoen en de onregelmaige componen gescha. In iedere rekenronde word eers een eerse schaing van de rend-cycle en he seizoen gegeven, gevolgd door werkelijke schaingen van de rend-cycle, he seizoen en de onregelmaige componen voor de bereffende rekenronde. De onregelmaige componen word gebruik om exreme waarden e deeceren. De gevonden exreme waarden worden ui de oorspronkelijke reeks verwijderd en de zo onsane reeks word gebruik als uigangspun voor de volgende rekenronde. In de volgende rekenronde worden dezelfde rekensappen herhaald. Onder aanname da door he verwijderen van de exreme waarden de schaingen voor de onregelmaige componen in opeenvolgende rekenrondes seeds verfijnder worden, worden de resulaen per rekenronde ook seeds beer. We zullen de werking van X-11 bespreken aan de hand van een addiief filer aangezien zoals is aangeoond een muliplicaieve reeks addiief e maken is door he nemen van een logarime. Bepalen van de rend en seizoencomponen De eerse sap in de berekening besaa ui he fileren van de rend-cycle ui de reeks. Di word gedaan me behulp van een filer of voorschrijdend gemiddelde (in he Engels: moving average). He besaa voor kwaraalreeksen ui een 2x4 voorschrijdend gewogen gemiddelde TC, (2.4) = 8 Y Y Y + 4 Y Y + 2 waarbij he kwaraal en Y de ijdreeks waarden aangeef. De gewichen van he filer zijn zo bepaald da alle kwaralen even zwaar meeellen. Aangezien de 10

11 kwaralen -2 en +2 dezelfde kwaralen (van een verschillend jaar) aanduiden, worden de gewichen wee maal zo klein genomen als de gewichen van de andere kwaralen. Verder moeen de gewichen opellen o 1. He filer kan ook als volg geschreven worden als 1/8[ ]. Aangezien he hier een symmerisch filer beref is he voldoende di e schrijven als 1/8[1 2 [2]], waarbij he geal ussen reche haken de cenrale waarden aangeef en ook meeen aangeef da he hier een symmerisch filer beref. Me de naamgeving pxq filer word he resulerende filer bedoeld da onsaa door een voorschrijdend gemiddelde e nemen van een filer van orde p waarvan alle coëfficiënen 1/p zijn, gevolgd door een voorschrijdend gemiddelde van orde q van een filer waarvan alle coëfficiënen 1/q zijn. In he bovensaande 2x4 filer krijgen we dan inderdaad he resulerende filer 1/8[ ] ui de convoluie van deze wee eenvoudige filers: Conv ([ ) [ ] 2, 2],[ 4, 4, 4, 4] = 2 4, , , , = [,,,, ] Voor maandreeksen besaa he ui een 2*12 voorschrijdend gewogen gemiddelde 8 TC K K, (2.5) = 24 Y Y Y Y Y+ 6 waarbij nu de maand aanduid. Ofwel M2x12=1/24[ ]=1/24[ [2]]. Aangezien de randen van de filers een overeenkomsige periode aangeven, worden deze maar voor de helf meegeeld.o.v. de andere perioden. Door de zojuis bepaalde rend af e rekken van de oorspronkelijke reeks blijf een reeks over besaande ui de onregelmaige componen en de seizoencomponen (S+I). Er word nu een eerse schaing van de seizoencomponen gemaak via een 3x3 filer. Uigeschreven voor een maandreeks heef di filer de vorm { 1/9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2/9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3/9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2/9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/9} en is dus 49 maanden lang, maar alleen de overeenkomsige perioden worden meegenomen in de berekening. Ook hier worden de randen minder hard meegeeld dan de maanden van de direc omliggende jaren. Door nu ook de seizoencomponen af e rekken van de rendvrije daa blijf alleen de onregelmaige componen over. De onregelmaige componen word vervolgens ondaan van exreme waarden op ongeveer de volgende wijze: Ieder daapun waarvan de onregelmaige componen groer is dan 2.5 keer de sandaardafwijking worden beschouwd als exreem, krijg gewich 0 en el sraks nie meer mee voor de berekening. Vervolgens word opnieuw de sandaardafwijking bepaald. Wederom ellen punen waarvan de onregelmaige componen groer is dan 2,5 maal de sandaard afwijking nie meer mee. Alle punen waarvan de onregelmaige 11

12 componen kleiner is dan 1.5 keer de sandaardafwijking worden beschouwd als nie afwijkend en krijgen gewich 1. Tussen 1.5 en 2.5 keer de sandaardafwijking word lineair een gewich ussen 1 en 0 oegekend. Bepalen van de rend van de seizoengecorrigeerde reeks Er is een eerse schaing gemaak van de rend-cycle en seizoencomponen, en exreme waarden zijn verwijderd. Door nu de seizoencomponen van de voor exreme waarden gecorrigeerde waarnemingen af e rekken onsaa een seizoengecorrigeerde reeks waarvan opnieuw de rend bepaald zal gaan worden. He bepalen van de rend ui een seizoengecorrigeerde reeks word nu nie meer gedaan me he voorgaande 2x12 filer maar via een zogenaamd Henderson-filer da gladdere coëfficiënen heef omda aangenomen word da nu ook de rend een gladder verloop heef. De voornaamse speciale eis die aan de filercoëfficiënen word geseld bij de consrucie van he Henderson-filer is da kwadraische polynomen onveranderd blijven na oepassing van he Henderson-filer (Ladiray en Quinneville, 2001). Di leid eroe da de coëfficiënen van he Henderson-filer een wa gladdere reeks vormen. In ondersaande figuur zien we een vergelijking ussen de gewichen van he Henderson-filer en he 2x12-rendfiler: Hierbij is voor de vergelijkbaarheid een Henderson-filer gekozen da dezelfde lenge heef als he 2x12-rendfiler (hoewel da nie per se zo hoef e zijn). vergelijking van gewichen Henderson 2x Figuur 3. Gewichen voor he Henderson-filer en voor he 2x12-filer Sandaard kies X-11 zelf een geschik Henderson-filer. X-11 maak deze keuze op basis van de grooe van de flucuaies in de onregelmaige componen en opziche van de flucuaies in de rend-cycle (Vollebreg, 2002, paragraaf 4.6). Bovensaande filers worden op overeenkomsige wijze door X-11 in 3 rekenrondes een aanal malen oegepas (Vollebreg, 2002, blz. 16) op de daa. Di leid o seeds beere schaingen van rend-cycle, seizoencomponen en onregelmaige componen. Hiervoor gebruik X-12 sandaardwaarden voor de filercoëfficiënen, waarbij he 12

13 voor de gebruiker evenueel mogelijk is de filercoëfficiënen aan e passen. Wanneer we de diverse correcies voor exreme waarden buien beschouwing laen, doe X-11 nies anders dan he successievelijk oepassen van diverse filers. He na elkaar oepassen van een aanal kleine filers is hezelfde als he in één keer oepassen van een groo filer. Als we bijvoorbeeld een 3x3-seizoenfiler voor de eerse schaingen, een 3x5-seizoenfiler voor de weede schaingen en een Henderson-filer van lenge 13 voor he schaen van de rend-cycle oepassen, en correcies voor exreme waarden buien beschouwing laen, heef he uieindelijke filer een lenge van 169. De gewichen van di filer saan weergegeven in figuur 4. Merk op da de gewichen voor 40 en na +40 nagenoeg verwaarloosbaar zijn. In werkelijkheid voer X-11 wel correcies ui voor exreme waarden. Daarom dien de ondersaande figuur slechs er illusraie Figuur 4. Gewichen voor he uieindelijke X-11-filer 2.3 ARIMA-modellen Bij de X-11 mehode word gebruik gemaak van symmerische filers en he is daarom nodig om de daa aan de randen e exrapoleren om geen daapunen e verliezen na he fileren. We geven de voorkeur aan symmerische filers, omda deze over he algemeen leiden o sabielere seizoenparonen. De exrapolaies van de ijdreeks worden gemaak me behulp van ARIMA-modellen. ARIMA saa voor auoregressive inegraed moving average. ARIMA-modellen en zijn een uigebreide klasse van modellen die vaak worden gebruik om economische ijdreeksen e beschrijven. De maerie is echer vrij complex en daarom zal alleen de essenie van de modellen worden besproken. Deails zijn e vinden in Box en Jenkins (1970). He basisprincipe acher ARIMA-modellering is de selling van Wold. Deze selling zeg da iedere saionaire ijdreeks geschreven kan worden als de som van een deerminisische componen en een oneindige reeks van ongecorreleerde sochasen 13

14 e : Y i o e, (2.6) i i waarbij he gemiddelde van de reeks is. He sochasische deel ( i o e i i ) is in feie een oneindig lang voorschrijdend gemiddelde van een wie-ruisproces e. He probleem is echer da he aanal sochasen en dus ook he aanal parameers oneindig groo is. Een benadering kan gegeven worden door slechs een beperk aanal parameers i in he model op e nemen. We spreken dan van een moving average model, of kor MA-model. Een MA(q)-model is een model me q parameers. Bij ingewikkelde modellen zouden we in een MA-model nog seeds een groo aanal parameers nodig hebben. Een model me veel parameers is moeilijk e schaen. In da geval kunnen we gebruik maken van een zogeheen auoregressief model, of AR-model. Hierbij gebruiken we da bovensaande saionaire ijdreeks ook als volg geschreven kan worden Y c e Y Y... (2.7) Hier is c een consane die afhang van he gemiddelde van de reeks en he is mogelijk de parameers i ui e drukken in de parameers i en omgekeerd. Deze reeks druk dus ui da iedere erm in de reeks ook kan worden uigedruk in zijn voorgaande ermen plus een sochas e. De waarden van een ijdreeks zijn immers in de ijd gecorreleerd. Zo zal bijvoorbeeld de producie of consumpie van augusus mede afhangen van die van juli. Een model me een oneindig aanal ermen word nu benaderd door een beperk aanal AR- en MA-ermen. Wanneer we auoregressieve en moving-average-ermen combineren in één model spreken we van een ARMA-model. Een ARMA-model me p auoregressieermen en q moving-average-ermen schrijven we kor als een ARMA(p,q)-model en kan worden geschreven als. Y c 1 Y 1 K py p e 1e 1 K qe q. (2.8) We willen de o nu oe beschreven ARMA-modellen echer ook kunnen gebruiken om nie-saionaire reeksen e beschrijven. Als er bijvoorbeeld sprake is van een lineaire rend (y=a+b ) in plaas van een consane rend, voeren we daaroe de volgende ransformaie op de reeks ui: Z Y Y. (2.9) 1 Er volg nu (door invullen van Y A B ) da we de nie-saionaire reeks Y geransformeerd hebben o een saionaire reeks Z me een consane rend A. We noemen deze ransformaie een differenie. We kunnen de saionaire reeks Z nu beschrijven me een ARMA-model. Als we de reeks die beschreven word door he 14

15 ARMA-model erug ransformeren, krijgen we de oorspronkelijke reeks Y. We noemen di erug ransformeren inegraie. We hebben hierna een modelmaige beschrijving van Y en noemen een dergelijk model een ARIMA-model. De I in ARIMA saa voor inegraed. Bij rends van hogere orde dien er meerdere keren gedifferenieerd en geïnegreerd e worden. In de prakijk worden meesal nie meer dan wee differenies genomen. Een ARIMA-model me p auoregressieermen, d differenies en q moving-averageermen noeren we als ARIMA(p,d,q)-model. Me he ARIMA(p,d,q)-model kunnen we een goede beschrijving geven van een groe hoeveelheid ijdreeksen. Me behulp van deze beschrijving kunnen we een voorwaarse en acherwaarse exrapolaie van de reeks maken waardoor in X-11 symmerische filers gebruik kunnen worden en ook de begin- en eindpunen van de reeks behouden kunnen worden. ARIMA is dus onworpen om de samenhang ussen opeenvolgende waarnemingen vas e sellen waardoor voorspellingen mogelijk zijn. Deze mehode is door he Saisisch Bureau van Canada in X-11 geïmplemeneerd waardoor he mogelijk werd om rend- en seizoenfilers symmerisch oe e passen. Di is de X-11 ARIMAmehode. Door vervolgens ook nog andere effecen in de ijdreeksen, waaronder kalenderinvloeden en uibijers, vooraf e modelleren word de kwaliei van geraamde seizoenparonen vergroo. Deze speciale effecen worden me regressie gemodelleerd. Deze simulane oepassing van regressie en ARIMA is door he Amerikaanse Censusbureau onworpen en saa bekend als X-12 RegARIMA. ARIMA-modellering van seizoeneffecen De ijdreeksen die we me X-12-ARIMA willen analyseren zijn ijdreeksen me een serke seizoencomponen. Om goede voorspellingen e maken zal deze seizoencomponen dus goed gemodelleerd moeen worden door he ARIMA-model. Daaroe drukken we de Y nie ui in de MA-ermen op ijdsip, -1, -2,, maar in de MA-ermen op ijdsip, -12, -24,., Y + e + Θ1 e 12 + Θ2e ΘQe 12Q = µ (2.10) Merk op da we de kleine θ vervangen hebben door een hoofdleer Θ en de kleine q door een groe Q. In he algemeen is he zo da kleine leers gebruik worden voor de gewone parameers van he ARIMA-model, en hoofdleers voor de seizoenparameers van he ARIMA-model. De geïnroduceerde seizoen-ma-ermen worden oegevoegd aan he al besaande ARIMA-model. Hezelfde kunnen we doen voor auoregressieermen en voor differenies: Y +Φ = c + Φ1 Y 12 + Φ 2Y Pe 12 P e (2.11) Z (2.12) = Y Y 12 15

16 We combineren nu alle ermen me elkaar in een ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)-model, waarin P he aanal seizoen-auoregressieermen is, D he aanal seizoendifferenies en Q he aanal seizoen-moving-average-ermen. Me di model zijn we in saa om zowel de rend als he seizoen in een gegeven ijdreeks op een goede manier e beschrijven. Zowel de rend als de seizoeneffecen zijn gemodelleerd. De seizoeneffecen zien echer implicie in he gegeven model. He model geef ons nog geen expliciee beschrijving van de rend-cycle, he seizoen en de onregelmaige componen. He is weliswaar mogelijk om deze expliciee beschrijving aan de hand van he ARIMAmodel e bepalen, maar deze beschrijving kom er nie vanzelf ui rollen. He is alles behalve eenvoudig om een gegeven ARIMA-model e veralen in drie componenen. Bij X-12-ARIMA word dan ook nie voor deze aanpak gekozen. X-12-ARIMA gebruik he ARIMA-model slechs om e exrapoleren, en reken daarna volgens he bekende rekenschema verder. TRAMO/SEATS bepaal de decomposiie wel aan de hand van he berekende ARIMA-model. Daarbij is TRAMO he programma da he mees geschike ARIMA-model zoek en SEATS he programma da de feielijke decomposiie doe. De wiskundige onderbouwing van TRAMO/SEATS is daarmee serker, maar de resulaen in de prakijk zijn nie beer of slecher. Keuze van he ARIMA-model in X-12-ARIMA Binnen X-12-ARIMA kan men ofwel handmaig kiezen voor een bepaald ARIMAmodel, ofwel X-12-ARIMA zelf een geschik ARIMA-model laen zoeken. Wanneer men zelf he ARIMA-model specificeer, moe in ieder geval he ype model gespecificeerd worden door he opgeven van de parameers p, d, q en P, D en Q. De modelparameers worden vervolgens door X-12-ARIMA zelf gescha enzij men deze zelf explicie opgeef. De meese gebruikers van X-12-ARIMA zullen bij de analyse van een reeks nie zelf een ARIMA-model specificeren, maar X-12-ARIMA auomaisch laen kiezen voor een geschik model. In versie 0.3 van X-12 is er ook de mogelijkheid om de sofware via de opie auomodel een geschik ARIMA-model e laen vinden (zie paragraaf 2.3), onderscheiden van he besaande pick model. Een ussenoplossing is pick model. Hierbij reken X-12-ARIMA vijf sandaardmodellen door en kies daarvan degene die he mees geschik is voor de gegeven reeks. Di zijn de modellen me de non seasonal (p,d,q) parameers gelijk aan (0 1 1), (0 1 2), (2 1 0),(0 2 2) of (2 1 2), erwijl de seasonal (P,D,Q) parameers seeds gelijk zijn aan (0 1 1). Deze vijf modellen zijn geschik om voor bijna elke ijdreeks goede voorspellingen e produceren. Om o één van de vijf modellen e komen worden alle vijf modellen doorgerekend. Ieder model word goedgekeurd of afgekeurd aan de hand van een weeal voorwaarden. Ten eerse word he ARIMA-model oegepas op he begin van de reeks (alle waarnemingen behalve de laase drie jaar), om exrapolaies e maken voor de laase drie jaar van de reeks. De exrapolaies van de laase drie jaren worden vergeleken me de werkelijk waarden. Wanneer de exrapolaies e veel verschillen 16

17 van de werkelijke waarnemingen geef he model geen goede beschrijving van de reeks en word he verworpen. De weede voorwaarde is da de nie-gemodelleerde componenen van de reeks ongecorreleerd moeen zijn. He oesen of di inderdaad he geval is gebeur door middel van he berekenen van de zogenaamde Box-Ljung-grooheid. Wanneer de nulhypohese da er geen auocorrelaie is word verworpen, word he model afgewezen. 2.4 Kwalieisindicaoren X-12-ARIMA geef de kwaliei van de seizoencorrecie weer via een elfal kwalieismaen, M1 o en me M11, die beschrijven in hoeverre de seizoendecomposiie geslaagd is. M1, M2, M3, M5 en M6 meen de grooe van de onregelmaige componen en opziche van de andere componenen. M3 en M5 meen de grooe van de onregelmaige componen en opziche van de rend. M4 mee de auocorrelaie binnen de onregelmaige componen. M7 mee in hoeverre he seizoeneffec idenificeerbaar is. M8 o en me M11 meen in hoeverre he seizoenparoon verander. Aan de hand van deze beoordeling kunnen we besluien om alsnog een aanal parameers bij e sellen. We kunnen de kwalieismaen beschouwen als rapporcijfers, me da verschil da de 11 kwalieismaen van X-12- ARIMA variëren van 0 o 3, en da een waarde ussen 0 en 1 als voldoende word beschouwd. Hoe kleiner de waarde van een kwalieismaa, des e beer scoor de seizoendecomposiie op he bereffende aspec. Aan he eind van abel F3 word nog een eindcijfer gegeven, da een gewogen gemiddelde is van de 11 geallen. Di gemiddelde word aangeduid me Q. Ook hiervoor geld da he varieer van 0 o 3 en da een geal ussen 0 en 1 als voldoende word beschouwd. De gewichen saan in abel 1. Bij reeksen van korer dan 6 jaar of reeksen me een sabiel seizoengemiddelde worden de maen M8, M9, M10 en M11 nie berekend. In da geval gelden alernaieve gewichen, die eveneens in de abel saan vermeld. Tabel 1. Gewichen voor de bepaling van Q Maa Gewich Gewich (kore reeks) Maa Gewich Gewich (kore reeks) M M M M8 7 M M9 7 M4 5 5 M10 4 M M11 4 M Zoals we in de abel kunnen zien krijg M7 he groose gewich voor de berekening van he gewogen gemiddelde Q. In he algemeen zullen we een seizoencorrecie me 17

18 een M7 van groer dan 1 nie acceperen, ook al heef Q een waarde van minder dan 1. Als voorbeeld worden de M en Q waarden van de maandsaisiek van he versrek credicard kredie geoond. Bij de saisiek van he versrek credicard kredie is er sprake van een duidelijk seizoenparoon (figuur 5). De pieken in juli en augusus hangen samen me de exra uigaven ijdens de vakanieijd. Na seizoencorrecie geef X-12-ARIMA de volgende M en Q waarden: M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 Q Alle M waarden zijn duidelijk kleiner dan 1, wa wil zeggen da de seizoencorrecie op alle punen als geslaagd mag worden beschouwd. Vervolgens word via een gewogen gemiddelde van de M waarden (zonder M2) de Q waarde berekend, welke eveneens duidelijk kleiner is dan 1. De seizoencorrecie word vervolgens door X- 12-ARIMA geaccepeerd. 400 Versrek credicard kredie: Banken en credicard organisaies Bedrag in miljoenen euro's Jaar Figuur 5. Maandsaisiek van he versrek credicard kredie Hieronder worden de genoemde kwalieismaen verder oegelich. De 11 kwalieismaen worden uigebreider besproken in [1], waarvan we nu een overzich geven. De berekening en veranwoording van alle M waarden word in deail beschreven in Lohian en Morry (1978). Een goed overzich word gegeven in Ladiray en Quenneville (2001, blz ) en in Vollebreg (2002, blz ), waarvan we hieronder een zeer beknope samenvaing geven. 18

19 M1: bijdrage van de onregelmaige componen aan flucuaies M1 mee de relaieve bijdrage van de onregelmaige componen aan de veranderingen binnen de reeks. Wanneer deze bijdrage groo is, beeken da da de onregelmaige componen veel meer flucuaies in de reeks veroorzaak dan de seizoencomponen. De seizoencomponen en de onregelmaige componen kunnen in een dergelijk geval nie goed van elkaar onderscheiden worden. M2: bijdrage van de onregelmaige componen in de saionaire reeks Ne als M1 mee ook M2 de bijdrage van de onregelmaige componen aan de oale varianie binnen de reeks. Ook wanneer M2 groo is is de onregelmaige componen relaief groo. De berekening van M2 verschil echer en opziche van de berekening van M1. M3: verhouding van de onregelmaige componen o de rend Om een goede seizoendecomposiie e kunnen bepalen, is he van belang da de flucuaies in de onregelmaige componen nie e groo zijn en opziche van de flucuaies in de rend. M3 mee de verhouding ussen de flucuaies in deze beide componenen. M4: samenhang binnen de onregelmaige componen Eén van de belangrijkse aannamen voor de onregelmaige componen is da er geen samenhang ussen opeenvolgende waarnemingen is. Wanneer er een serke samenhang is ussen opeenvolgende waarnemingen is deze componen immers helemaal nie zo onregelmaig. M4 mee daarom de samenhang binnen de onregelmaige componen. M5: aanal maanden voor cyclische dominanie (MCD) Ne als M3 mee ook M5 de veranderingen in de onregelmaige componen en opziche van de veranderingen in de rend-cycle. M6: verhouding van de onregelmaige componen o he seizoen Tijdens de eerse wee rekenronden word voor de berekening van de seizoencomponen gebruik gemaak van een 3x5-filer. M6 conroleer of he 3x5 filer wel geschik is voor de gegeven reeks. Een groe waarde van M6 beeken da de verhouding van de onregelmaige componen en de seizoencomponen e klein of e groo is voor he filer. 19

20 M7: idenificeerbaarheid van he seizoenparoon Zoals we in abel 1 hebben kunnen zien is M7 de belangrijkse kwalieismaa voor de seizoencorrecie. Wanneer M7 groer is dan 1 mogen we de seizoencorrecie in principe nie als zodanig acceperen. M7 geef aan in hoeverre he seizoeneffec in de reeks idenificeerbaar is. Wanneer he seizoeneffec slech idenificeerbaar is, is de absolue fou in de uieindelijke seizoencomponen groo. M8 o M11: verandering van he seizoenparoon over de jaren M8 o en me M11 meen in hoeverre he seizoenparoon in de reeks aan verandering onderhevig is. Wanneer he seizoenparoon serk verander zijn de seizoenfilers van X-12-ARIMA nie in saa he seizoenparoon goed e schaen en is de fou in de schaingen groo. Me name wanneer he seizoenparoon in de eindjaren serk verander is he probleem groo, omda dan de fou in de mees recene schaingen groo is. He zijn juis de mees recene schaingen waarin gebruikers van de reeks geïneresseerd zijn. He seizoenparoon kan op wee verschillende manieren veranderen. Ten eerse kunnen er min of meer willekeurige flucuaies in he seizoenparoon voorkomen. Ten weede kan er een sysemaische sijging of daling zijn. M8 en M10 meen de willekeurige flucuaies in he seizoenparoon. M9 en M11 meen de sysemaische sijging of daling in he seizoenparoon. Hierbij worden M8 en M9 over de gehele reeks berekend. M10 en M11 worden berekend op basis van de mees recene jaren. Voor elke kwalieismaa geven we een kore beschrijving en een aanal hins om de bereffende waarde omlaag e brengen. Tussen haakjes saa de abel ui he oubesand da gebruik is om de kwalieismaa e berekenen. Tabel 2. Hins om M-waarden omlaag e brengen M1 Bijdrage van de onregelmaige componen aan veranderingen binnen de reeks (ui F2B) M2 (ui F2F) M3 (ui F2H) M4 (ui F2D) M5 (ui F2E) M6 Corrigeer voor uibijers, werkdageneffecen e.d. Bijdrage van de onregelmaige componen in de saionair gemaake reeks Corrigeer voor uibijers, werkdageneffecen e.d. Verhouding van de onregelmaige componen o de rend (I/C-raio) M3 is per definiie groo bij een vlakke rend. Corrigeer voor uibijers, werkdageneffecen e.d. Samenhang binnen de onregelmaige componen Gebruik korere filers. Aanal maanden voor cyclische dominanie (MCD) M5 is per definiie groo bij een vlakke rend. Corrigeer voor uibijers, werkdageneffecen e.d. Verhouding van de onregelmaige componen o he seizoen (I/S-raio) Kies een 3x3-seizoenfiler voor een I/S-raio (abel F2H) kleiner dan

21 (ui F2H) Kies een 3x9-seizoenfiler voor een I/S-raio (abel F2H) groer dan 6.5. M7 (ui F2I) M8 M9 M10 M11 Idenificeerbaarheid van he seizoenparoon Wanneer he nie luk M7 kleiner e krijgen dan 1 is de reeks nie geschik voor correcie Corrigeer voor uibijers, werkdageneffecen e.d. Willekeurige veranderingen in he seizoenparoon over alle jaren Gebruik langer seizoenfiler Bij seizoenbreuk: splis de reeks of definieer zelf voorbewerkingsfacoren Sysemaische verandering in he seizoenparoon over alle jaren Gebruik langer seizoenfiler Bij seizoenbreuk: splis de reeks of definieer zelf voorbewerkingsfacoren Willekeurige veranderingen in he seizoenparoon in de laase drie jaar Gebruik langer seizoenfiler Pas he ARIMA-model aan Bij seizoenbreuk: splis de reeks of definieer zelf voorbewerkingsfacoren Sysemaische verandering in he seizoenparoon in de laase drie jaar Gebruik langer seizoenfiler Pas he ARIMA-model aan Bij seizoenbreuk: splis de reeks of definieer zelf voorbewerkingsfacoren 21

22 3. Regressie: kalendereffecen en uibijers Onder he corrigeren voor kalendereffecen word versaan he corrigeren voor werkdagen en koopdagen feesdagen en brugdagen lenge van de maand schrikkeljaareffec Er word voor kalendereffecen gecorrigeerd om de resulaen ussen verschillende maanden of kwaralen beer vergelijkbaar e maken. Een goed voorbeeld hiervan is de lenge van de maand. Januari heef 31 dagen erwijl februari er 28 of 29 heef. Als bijvoorbeeld de producie op alle dagen van de maand hezelfde is, zal er och een verschil gemeen worden ussen de hoeveelheid geproduceerde goederen in januari en februari. Di verschil, veroorzaak door he verschil in he aanal dagen in de maand, is conjuncureel nie ineressan en er word daarom voor gecorrigeerd. Afgezien van schrikkeljaareffecen zijn de lenge van de maanden ieder jaar hezelfde. He is dus een gewoon seizoeneffec da nie van de andere seizoeneffecen e onderscheiden is en er word dus al bij de gewone seizoencorrecie voor gecorrigeerd. Zeer veel reeksen veronen nie alleen een jaarlijks erugkerend paroon, maar ook een wekelijks erugkerend paroon. Denk bijvoorbeeld aan de omze van winkels, die aan he eind van de week meer verkopen dan aan he begin van de week en op zondag vaak gesloen zijn. Een maand of een kwaraal besaa meesal nie precies ui een geheel aanal weken. He probleem is dan da de ene maand een exra vrijdag en zaerdag heef, erwijl de andere maand misschien een exra maandag en dinsdag heef. Op vrijdag en zaerdag word er meer verkoch en dus is de oale omze van de ene maand groer dan die van de andere maand. Ook deze werkdageffecen zijn vanui conjuncureel oogpun nie ineressan en er word dus ook voor deze effecen gecorrigeerd. Bij kalendercorrecie is he essenieel da men bij he preseneren van de daa in deail aangeef voor welke effecen is gecorrigeerd, daar er zeer veel verschillende manieren besaan om hiervoor e corrigeren. Voor feesdagcorrecie is er een belangrijk verschil ussen Kers en Pasen. He effec da opreed rond Kers reed ieder jaar op hezelfde ijdsip op en is daardoor nie e onderscheiden van andere seizoeneffecen. Pasen val echer nie ieder jaar op hezelfde ijdsip. Daardoor kunnen evenuele paaseffecen in egenselling o kerseffecen nie alijd door een normale seizoencorrecie worden opgevangen. X-12-ARIMA bied hiervoor de mogelijkheid om e corrigeren voor paaseffecen me behulp van de regressievariabele die Pasen modelleer. Bij he corrigeren voor paaseffecen word aangenomen da he niveau van de ijdreeks gedurende een vas aanal dagen vóór Pasen op een andere hooge lig. Di aanal dagen word door de gebruiker zelf 22

23 gespecificeerd. Vervolgens word per jaar vasgeseld welke fracie van di aanal vase dagen in de maand maar val en welke fracie in de maand april. Deze fracie word dan ingevuld voor de regressievariabele die Pasen modelleer. Voor de andere maanden is deze variabele gelijk aan nul. Een andere mogelijkheid is om he effec van Pasen als een normaal seizoeneffec e berekenen aangezien Pasen bijna alijd in de maand april val. De maanden waarin Pasen in maar val worden dan me een hulpvariabele of regressor gecorrigeerd. Regressievariabelen om werkdageffecen of schrikkeljaareffecen e modelleren zijn sandaard beschikbaar in X-12-ARIMA. He is echer alijd mogelijk da we een regressievariabele nodig hebben die nie sandaard in X-12-ARIMA voorkom, bijvoorbeeld voor een correcie voor een specifiek effec da binnen een bepaalde ijdreeks opreed. We kunnen bijvoorbeeld denken aan de correcie voor de Nederlandse feesdagen. Daarom geef X-12-ARIMA ook de mogelijkheid om zelf regressievariabelen e definiëren. Zo kan men bijvoorbeeld corrigeren voor he aanal vorsdagen in de bouw. Door deze correcie zal he seizoenparoon vervolgens beer e bepalen zijn. De regressiemehode word ook gebruik om e corrigeren voor rendbreuken en andere sooren uibijers in een ijdreeks. Voor he corrigeren van kalendereffecen zijn in X-12-ARIMA regressiemehoden en ARIMA-mehoden samengebrach. Een regressiemodel is goed in saa om onregelmaige effecen zoals werkdagparonen en breuken in de rend e bepalen. De onderlinge samenhang ussen de waarnemingen word door he regressiemodel nie goed beschreven omda he model verondersel da de waarnemingen in de ijd onafhankelijk van elkaar zijn. ARIMA-modellen zijn in saa de onderlinge samenhang goed e modelleren en word vooral gebruik voor de seizoencorrecie en voor exrapolaie van de ijdreeksdaa om symmerische rend- en seizoenfilers mogelijk e maken. Door de regressiemodellen me ARIMA-modellen e combineren kunnen we gebruik maken van beide modellen. He regressiedeel van he model beschrijf de bijzondere effecen, he ARIMA-deel beschrijf de onderlinge samenhang. We noemen een dergelijk gecombineerd model ook wel een RegARIMA-model (zie paragraaf 2.3). Combineren van regressie en ARIMA-modellering He combineren van de wee sooren modellen gaa als volg. Zoals beschreven bij he onderdeel seizoencorrecie word een ijdreeks geëxrapoleerd via ARIMAmodellering om symmerische rend- en seizoenfilers mogelijk e maken. We nemen dus al aan da de ijdreeks zonder werkdag effecen door een ARIMA-model beschreven kan worden. De ijdreeks Y gecorrigeerd voor werkdageffecen Z = Y β + β X + K + β X ) (3.1) ( p p is dus een ijdreeks Z welke via een ARIMA-model beschreven kan worden. Hierin saan de β s voor de parameers van he regressiemodel en de Χ en voor de regressievariabelen. Me behulp van een ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)-model kunnen we 23

24 een goede beschrijving krijgen van de variabele Z en daarmee, in combinaie me he regressiemodel, een goede beschrijving van de oorspronkelijke ijdreeks Y. Zowel de parameers van he ARIMA-model als de parameers van he regressiemodel worden gescha, vandaar de naam RegARIMA. Bovensaande wijze van modelleren laa zien da he ook voor he bepalen van een goede seizoendecomposiie nodig is e corrigeren voor werkdageffecen, los van de vraag of men de uieindelijke reeks voor werkdageffecen wil corrigeren of nie. Werkdagcorrecie Er zullen wee veel gebruike mehoden worden besproken om e corrigeren voor werkdageffecen en he schrikkeljaareffec. Men kan X-12-ARIMA zelf laen kiezen voor één van de beide manieren. He inuïief eenvoudigse model om werkdageneffecen e modelleren is als volg: Y = 7 β 0 + β1x 1 + K + β7 X + ε. (3.2) In di model is er voor elke werkdag een regressievariabele X i, die gelijk is aan he aanal keer da de bereffende werkdag in de maand voorkom. X 1 is dus he aanal maandagen in maand, X 2 he aanal dinsdagen en X 7 he aanal zondagen. Er zijn in di model 7 parameers om e schaen. Merk op da deze 7 parameers vas zijn voor de gehele periode. We verondersellen dus da de weekdageffecen nie veranderen over de ijd. Er moe nu nog worden gecorrigeerd voor he fei da februari nie ieder jaar even veel dagen beva (schrikkeljaareffec). Bij deze mehode word di gedaan via een ransformaie. Waarnemingen voor februari worden daaroe vermenigvuldigd me een facor 28.25/m. Daarbij is de gemiddelde lenge van de maand februari, en m de lenge van de gegeven maand februari. In he bovensaande model is implicie de lenge van de maand meegenomen. Immers, de lenge van de maand is de som van de regressievariabelen X 1 X 7. He aanal dagen da een maand beva is echer een gewoon seizoeneffec da al word gecorrigeerd in de normale seizoencorrecie. In die zin beva he bovensaande regressiemodel dus redundane informaie. We kunnen de 7 genoemde variabelen daarom vervangen door 6 conrasvariabelen. Di geef he volgende model: Y = 6 β 0 + β1x 1 + K + β6 X + ε. (3.3) Hierin is X 1 he verschil ussen he aanal maandagen en he aanal zondagen, X 2 he verschil ussen he aanal dinsdagen en he aanal zondagen en X 6 he verschil ussen he aanal zaerdagen en he aanal zondagen. He aanal dagen in de maand word nu nie meer gemodelleerd, maar verder beva he nieuwe model precies even veel informaie als he oude. Om de uivoer beer inerpreeerbaar e maken, reken X-12- ARIMA de zes conrasvariabelen om naar zeven coëfficiënen voor de afzonderlijke dagen van de week. Di saa weergegeven in abel 3. Deze geallen geven de afwijking.o.v. de gemiddelde dag, en ellen op o nul. 24

25 Tabel 3. Werkdagen in de uivoer van X-12-ARIMA Regression Model Parameer Sandard Variable Esimae Error -value Trading Day Mon Tue Wed Thu Fri Sa *Sun (derived) *For full rading-day and sable seasonal effecs, he derived parameer esimae is obained indirecly as minus he sum of he direcly esimaed parameers ha define he effec. Er moe nu alleen nog worden gecorrigeerd voor he schrikkeljaareffec. We kunnen daarvoor een exra dummy-variabele lpyear (schrikkeljaar) aan he model oevoegen. Daarmee gebruik ook deze mehode van werkdagcorrecie 7 regressievariabelen. We hebben nu dus wee mehoden om e corrigeren voor werkdageneffecen en he schrikkeljaareffec, maar de gebruiker moe één van de wee mehoden in X-12- ARIMA insellen. De mehode waarbij zondag als conrasvariabele word gebruik voor de andere weekdagen leid echer o een beere werkdagcorrecie en is ook de sandaardmehode van he CBS. Uibijers De regressiemehode word ook gebruik om e corrigeren voor rendbreuken en andere uibijers in een ijdreeks. Een uibijer in een ijdreeks kan ernsige gevolgen hebben voor he schaen van de seizoeneffecen. He is in X-12-Arima mogelijk uibijers auomaisch e laen deeceren. Bekende uibijers kunnen echer ook door de gebruiker worden gespecificeerd. Er worden drie ypen uibijers onderscheiden. Eén hiervan is de uibijer die word veroorzaak door een rendbreuk (zie figuur 6). Een rendbreuk kan bijvoorbeeld onsaan als gevolg van een verandering in wegeving zoals bijvoorbeeld een BTW-verhoging. Hierbij zal he gemiddelde niveau van de cijferreeks voor alijd veranderen. Trendbreuken worden uigebreid behandeld in he hema Mehodebreuken van de Mehodenreeks (Van den Brakel e.a., 2010). 25

26 reeks ijd Figuur 6. Een reeks me een rendbreuk Daarnaas zijn er nog wee ypen uibijers e modelleren, namelijk de addiieve uibijer en de ijdelijke niveauverandering. Een addiieve uibijer is bijvoorbeeld een ploselinge piek in he aardgasverbruik bij een exreem srenge winer (zie figuur 7). Een dergelijke uibijer is slechs op één plaas in de reeks e zien reeks ijd Figuur 7. Een reeks me een addiieve uibijer Een ijdelijke niveauverandering is een effec da ploseling opreed en dan vervolgens langzaam wegeb. (zie figuur 8). 26

27 reeks ijd Figuur 8. Een reeks me een ijdelijke niveauverandering Wanneer we ween op welk ijdsip een uibijer in een cijferreeks voorkom kunnen we de bijbehorende regressievariabele zelf specificeren. Aangezien X-12-ARIMA de mogelijkheid bied veel ypen uibijers auomaisch e deeceren is he zelf specificeren van uibijers, afgezien van speciale gevallen, meesal nie nodig. He auomaisch deeceren van uibijers gebeur door op elk ijdsip en voor elk ype uibijer een -waarde e bepalen d.m.v. een -oes. Een uibijer is significan als de -waarde groer is dan een vooraf opgegeven waarde. Als er meerdere significane uibijers zijn, word eers de mees significane uibijer aan he model oegevoegd. Vervolgens worden de -waarden van andere uibijers opnieuw uigerekend en word weer de mees significane uibijer aan he model oegevoegd. Di proces herhaal zich o er geen significane uibijers meer over zijn. Zoals gezegd bemoeilijken uibijers he bepalen van een seizoencomponen en maken ook geen onderdeel ui van de seizoencomponen. Daarom worden uibijers na de seizoencorrecie weer oegevoegd aan de seizoengecorrigeerde daa. Een uibijer kan namelijk belangrijke informaie geven over de daa, bijvoorbeeld he effec van een saking of een uizonderlijk hee zomer op een ijdreeks. Kwalieisindicaoren Om de kwaliei van de kalendercorrecies of uibijers e beoordelen word voor alle regressievariabelen een -oes gedaan. Een regressievariabele of uibijer is significan als de bijbehorende absolue -waarde groer is dan een vooraf bepaalde kriieke waarde. Wanneer er geen sprake is van een significane regressievariabele lig de -waarde dich bij 0. Voor kalendereffecen is de -waarde significan bij ± Men kan bij uibijers ervoor kiezen de kriieke waarde voor de -oes zelf in e sellen. Wanneer er geen waarde word ingeseld word een sandaardwaarde genomen. Deze is afhankelijk van de lenge van de reeks en varieer van 3.65 voor 27