Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1

Transcriptie

1 Overzich Inleiding Classificaie NP compleeheid Algorime van Johnson Oplossing via TSP Newerkalgorime Job shop scheduling 1

2 Inleiding Gegeven zijn Machines: M 1,,..., M m Taken: T 1, T 2,... T n Per aak T i de deelaken: T i1, T i2,..., T im Deelaak T ij heef procesijd p ij Voer de aken ui als volg Per aak T i maximaal één deelaak T ij egelijk. Per machine M j maximaal één deelaak T ij egelijk. Deelaken kunnen nie worden onderbroken Doel Minimaliseer de oale procesijd c max. Job shop scheduling 2

3 Voorbeeld GANTT diagram M 1 T 31 T 11 T 41 T 21 T 51 M 3 T 42 T 22 T 32 T 52 T 12 T 13 T 53 T 33 T 23 T cmax Machine-volgorde per aak Taak 1: 3,1,2 Taak 2: 2,1,3 Taak 3: 1,2,3 Taak 4: 2,1,3 Taak 5: 3,2,1 Taak-volgorde per machine Machine 1: 3,1,4,2,5 Machine 2: 4,2,3,5,1 Machine 3: 1,5,3,2,4 Job shop scheduling 3

4 Classificaie In bepaalde klassen problemen worden machine-volgorden en/of aak-volgorden voorgeschreven. Type Machine-volgorde Taak-volgorde Noaie Open Shop Vrij Vrij O C max Job Shop Vas Vrij J C max Flow Shop Vas, gelijk Vrij F C max Permuaion Shop Vas, gelijk Gelijk PF C max No Wai Flow Shop Vas, gelijk (direc aaneen) Vrij (=gelijk) NW C max Er zijn veel uibreidingen mogelijk, bijvoorbeeld: Volgorde relaies ussen aken onderling Meer deelaken per aak per machine Per aak een minimale sarijd / maximale eindijd Job shop scheduling 4

5 Complexiei: F m C max is NP-complee voor m 3 Knapzakprobleem Gegeven posiieve gehele geallen a 1, a 2,... a q en b. Besaa er een deelverzameling B {1,2,..., q} zodanig da a i = b? i B Di is herleidbaar o F 3 C max me q + 1 aken, waarbij elke aak drie deelaken heef me de volgende procesijden: ( b,0, (0, a i,0) 1 i q q i=1 a i b ) q + 1 M 1 M 3 b a 1... a k a k+1... a q ai b Ui di voorbeeld van een produkieschema blijk: c max = q c max δ 0 en δ = 0 d.e.s.d.a. he knapzakprobleem een oplossing heef. i=1 a i + δ me Job shop scheduling 5

6 Selling voor F m C max Voor een F m C max probleem besaa er een opimaal produkieschema waarin de aakvolgorden voor de eerse wee machines gelijk zijn. Bewijs: Sel da we een opimaal produkieschema hebben, waarin machine 1 aak j direc na aak i behandel, erwijl machine 2 aak i na aak j behandel. M 1 i j j i Wisselen van aak i en aak j op machine 1 geef een gelijke aakvolgorde voor i en j op de eerse 2 machines! Analoge selling: Voor een F m C max besaa er een opimaal produkieschema waarin de aakvolgorden voor de beide laase machines gelijk zijn. Gevolg: Als m 3 dan besaa er voor elk F m C max probleem een opimaal produkieschema waarin alle aakvolgorden gelijk zijn (een permuaie produkieschema dus). Job shop scheduling 6

7 Voor m 4 is F m C max PF m C max Neewm m = 4 en n = 2 en sel da de procesijden voor de eerse aak 1,4,4,1 en voor de weede aak 4,1,1,4 zijn. De wee mogelijke permuaieschema s zijn: M M 3 M c max M M M c max Een beer produkieschema me een gelijke machinevolgorde is echer: M M 3 M cmax Job shop scheduling 7

8 (P)F 2 C max Noaie: { ai = p i1 b i = p i2 Definiie: i j min(a i, b j ) min(a j, b i ) Merk op da voor elk weeal aken geld i j of j i. Lemma Sel da in een produkieschema voor een PF 2 C max probleem aak T i direc na aak T j word uigevoerd, erwijl i j. Dan besaa er een minsens zo goed produkieschema waarin T i direc voor T j word uigevoerd. Di schema onsaa ui he gegeven schema door T i en T j eenvoudig e verwisselen. M c max Job shop scheduling 8

9 Bewijs van he lemma a j a i x i M 1 j i j i x j b j b i Omda a i + x i = b j + x j geld a i b j + x j (*). Wanneer we T i en T j wisselen is de siuaie als volg: a i a j M 1 i j i a j + x j He schema is oelaabaar als: b i { j a i a j + x j a i + a j a j + x j + b i Ui i j volg min(a i, b j ) min(a j, b i ). Als min(a i, b j ) = a i dan is he nieuwe schema zeker oelaabaar. Als min(a i, b j ) = b j, dan volg me (*): a i b j + x j a j + x j en a i b j + x j b i + x j. Job shop scheduling 9

10 Algorime van Johnson voor F 2 C max Selling 1. Als min(a i, b i : 1 i n) = a k dan is er een opimaal produkieschema waarin T k he eers behandeld word. 2. Als min(a i, b i : 1 i n) = b k dan is er een opimaal produkieschema waarin T k he laas behandeld word. Algorime B := {i : a i < b i } F := {i : a i b i } Orden de aken in B zodanig da a i nie afneem en orden de aken in F zodanig da b i nie oeneem. Vorm de concaenaie van de geordende verzamelingen B en F. Di is de opimale aakvolgorde. Voorbeeld Taak i a i b i B = {2,4,6} en F = {1,3,5,7}. Na ordenen geld: B = {4,2,6} en F = {5,1,3,7}. Een opimale aakvolgorde is dus T 4, T 2, T 6, T 5, T 1, T 3, T 7. Job shop scheduling 10

11 No wai flow shop In een no-wai flow shop moeen de deelaken van een aak direc na elkaar worden uigevoerd. He oplossen van di probleem kom neer op he oplossen van een TSP. Di is als volg in e zien. Sel da aak T j direc na T i word uigevoerd. De minimale ijd benodigd voor he uivoeren van aak T j en T i in deze volgorde is P i + c ij. Inroduceer een dummy aak 0 me alle procesijden van de deelaken gelijk aan 0 en definieer verder c i0 = 0 en c oi = P i. Dan reseer een TSP me n + 1 aken. Job shop scheduling 11