Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games)"

Transcriptie

1 Technische Univesiei Delf Faculei Elekoechniek, Wiskunde en Infomaica Delf Insiue of Applied Mahemaics Opimale saegieën voo gunsige binomiale spellen (Engelse iel: Opimal conol of favouable binomial games) Veslag en behoeve van he Delf Insiue of Applied Mahemaics als ondedeel e vekijging van de gaad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE doo MEREL ISABEL STOUT Delf, Nedeland Juni 2012 Copyigh c 2012 doo M.I. Sou. Alle echen voobehouden.

2

3 BSc veslag TECHNISCHE WISKUNDE Opimale saegieën voo gunsige binomiale spellen (Engelse iel: Opimal conol of favouable binomial games ) MEREL ISABEL STOUT Technische Univesiei Delf Begeleide D. J.A.M. van de Weide Oveige commissieleden Pof.d.i. C. Vuik D.i. M.C. Veaa D. J.G. Spandaw Juni, 2012 Delf

4

5 Voowood Di veslag is en behoeve van he Delf Insiue of Applied Mahemaics als ondedeel e vekijging van de gaad van Bachelo of Science in Technische Wiskunde. In he veslag wod e gekeken naa een gunsig spel in een eindig binomiaal model. De vaag is welke saegie e oegepas moe woden om gegeven een sakapiaal f en nog spellen e gaan de kans da je pofolio uieindelijk mee dan c waad is e maximaliseen, waabij c > f een van evoen vasgeselde posiieve consane is. Ik wil gaag d. J.A.M. van de Weide bedanken voo zijn begeleiding gedue he pojec. 4

6 Inhoudsopgave 1 Inleiding 6 2 Binomiaal spel Inze en saegie Nusfuncie Gunsig spel Binomiale kansvedelingen Eigenschappen van de binomiale vedeling Veband ussen he kapiaal en de uibealingsfaco Opimale inzeen me nog weing spellen e gaan Nog één spel e gaan Nog wee spellen e gaan Nog die spellen e gaan Binaie saegieën Binaie kapialen Binaie inze Binaie saegie Numeiek bepalen van U(f, ) en s (f ) Vewache nusfuncie Boven- en ondegens voo een opimale inze Binomiale saegieën Binomiale kapialen Nog één spel e gaan Nog wee spellen e gaan Nusvewaching en opimale inzeen Conclusie 46 A Bijlagen 50 A.1 Bewijs selling A.2 Malab code voo numeiek bepalen van U(f, ) en s (f ).. 60 A.3 Malab code voo een binaie inze A.4 Malab code voo een binaie saegie A.5 Malab code voo simulaies onde een binaie saegie A.6 Malab code voo U(f, ) binai A.7 Malab code voo U(f, ) binomiaal

7 1 Inleiding Na he volgen van de mino Finance is mijn ineesse gewek voo financiële wiskunde. Ui he boek van Sheve [1] da gebuik wod voo he vak Kansmodellen voo Finance is de beginopdach afgeleid: Een ijke inveseede sel een klein budge e beschikking om je beleggingssaegie ove de kome peiodes e esen in een binomiaal model. Als aan he einde je pofolio minsens een waade c heef, een posiieve consane vasgelegd doo de inveseede, dan is he doel beeik en wod e een goe budge o je beschikking geseld. De vaag is welke saegie aangehouden moe woden om de kans da he pofolio uieindelijk een waade c heef beeik e maximaliseen. Vanui di pobleem kwam ik al snel ui op een aikel van M. Kulldoff [2] waain gezoch wod naa opimale saegieën voo gunsige spellen in een casino. He meeel van de sellingen en poposiies die in di veslag zijn afgeleid vinden hun oospong in di aikel. Daanaas is ook he aikel van Beiman [3] da vooaf gaa aan [2] gebuik. Binnen he vinden van opimale saegieën kan e ondescheid gemaak woden ussen de volge gevallen: gunsig of nie-gunsig en een eindige of oneindige beschikbae ijd. Een opimale saegie hoef nie uniek e zijn. In di veslag wod e gekeken naa een opimale saegie en he bijbehoe vewache nu voo een gunsig spel in een eindig binomiaal model. E wod seeds hezelfde spel in he casino gespeeld. Pe spel zijn e wee mogelijke uikomsen, wins of velies die onde een vase kans vookomen. Voo ons kansmodel zullen we dus veel gebuik maken van de binomiale vedeling die de kans geef da een uikoms, wins of velies, een bepaald aanal kee vookom. Voo de binomiale kansvedeling woden enkele eigenschappen afgeleid die zowel bij he modelleen van he spel, als bij he bepalen van een opimale inze oepasbaa zijn. Om he veloop van he spel bee e begijpen wod e vevolgens gekeken naa opimale saegieën me nog een klein aanal spellen e gaan. Daana wod e binnen een speciaal geval uidukkingen gevonden voo he vewache nu en een opimale saegie voo eindige N, de zogenaamde binaie saegie. De paiie inevallen [ n 2, n+1 ) 2 zullen hiebij een belangijke ol spellen. Vevolgens kan deze saegie uigebeid woden naa he algemene geval: de binomiale saegie. 6

8 2 Binomiaal spel Beschouw de volge siuaie: we spelen seeds hezelfde spel in he casino, me pe spel wins of velies als mogelijke uikomsen. De winskans wod gegeven doo w. Noem he oegewezen beginkapiaal me nog spellen e gaan f. De uibealing die pe spel gedaan wod hang af van die inze s [0, f ] en de uibealingsfaco (1 )/ bij wins f + 1 s me kans w; f 1 = f s me kans (1 w). waabij w (0, 1) en (0, 1) doo he casino bepaald woden en vas liggen. Hiebij loop, he aanal nog e spelen spellen, dus af naa nul:, 1,..., 2, 1, 0. We willen me he spel een eindkapiaal c > f beeiken. De vaag is hoe he spel gespeeld dien e woden om de kans op he beeiken van c e maximaliseen. Een eindkapiaal da mee dan c waad is, heef geen meewaade en opziche van pecies op c ui komen. Opmeking. Doo heschaling naa he eenheidsineval [0, 1] kan zonde velies van algemeenheid geseld woden: f [0, 1) en c = 1 He sakapiaal f wod dan als pecenage van he e beeiken doel c gezien. 2.1 Inze en saegie Een saegie me nog spellen die gespeeld kunnen woden, wod gegeven doo een ij inzefuncies s, s 1,... s 1, waabij s i (f i ) de inze is als me nog i spellen e gaan he kapiaal gelijk aan f i is. He is nie mogelijk om een negaief bedag in e zeen en de inze kan he budge ook nie oveschijden: s i (f i ) [0, f i ]. De opimale saegie is die saegie waabij de inzeen zo gekozen woden da de kans da he kapiaal uieindelijk c waad is maximaal is. Een opimale saegie hoef nie uniek e zijn, daa komen we lae op eug. 2.2 Nusfuncie E dien een saegie gevonden e woden die goed genoeg is om een waade c e beeiken. He heef geen meewaade om hoge dan di age e eindigen. Een nusfuncie geef een waadeoodeel ove he beeike kapiaal. De nusfuncie u(f 0 ) kan na he spelen van he laase spel de volge waaden aan nemen: 7

9 1 als f 0 1 u(f 0 ) := 0 als f 0 < 1 Dus de inveseede hech e geen waade aan als we op een eindkapiaal van mee dan één uikomen. Doo de inze goe e kiezen dan he veschil ussen je huidige kapiaal en he doel: s i > 1 f i wod e een onnodig isico genomen, de exa inze kan wel woden veloen maa bij wins leve he geen exa nu op. Noee vede U(f, ) voo de vewache nusfuncie onde een opimale saegie, bij een huidig kapiaal f en nog spellen e gaan. Na he spelen van he laase spel geld: U(f 0, 0) = u(f 0 ). Opmeking. U(f, ) = u(f 0 1)P(f 0 1 f, ) + u(f 0 < 1)P(f 0 < 1 f, ) = 1 P(f 0 1 f, ) + 0 P(f 0 < 1 f, ) = P(f 0 1 f, ) (2.1) Dus de nusvewaching onde een opimale saegie is gelijk aan de voowaadelijke kans da he doel beeik wod onde die saegie. 2.3 Gunsig spel De wins die pe spel gemaak kan woden hang naas de inze ook van de winskans w en de uibealingsfaco (1 )/ af, me (0, 1). Beide waaden woden doo he casino bepaald en liggen vas. Aangezien 0 < < 1, neem deze uibealingsfaco waaden ussen nul en oneindig aan: 0 < 1 < Figuu 1 beva de gafiek van (1 )/ als funcie van. We zoeken de opimale saegie bij een gunsig spel. Da houd in da de kans op wins goe is dan de kans op velies: w > 1/2. Vede moe ook de vewache opbengs pe spel posiief zijn. De opbengs van een spel is gelijk aan f 1 f : E[f 1 f ] = w 1 s (f ) (1 w)s (f ) ( = s (f ) w 1 ) (1 w) ( ) w w + w = s (f ) ( ) w = s (f ) 8

10 Figuu 1: gafiek (1 )/ Dus: E[f 1 f ] > 0 w > 0 Voo een gunsig spel dien he casino dan alijd w > e kiezen. 9

11 3 Binomiale kansvedelingen We spelen seeds hezelfde spel in he casino. Pe spel zijn e wee mogelijke uikomsen, wins of velies, die onde een vase kans vookomen. He gebuike kansmodel me nog spellen e gaan is da van een ij onafhankelijke ideniek vedeelde Benoulli vaiabelen ξ 1, ξ 2,... zo da P(ξ i = 1) = p en P(ξ i = 0) = 1 p. Voo ons kansmodel zullen we dus veel gebuik maken van de binomiale vedeling die de kans geef da een uikoms, wins of velies, een bepaald aanal kee vookom. In di hoofdsuk gaan we in op de eigenschappen van de binomiale vedeling en leiden we enkele combinaoische lemma s af, die in he vedee veslag van pas zullen komen. 3.1 Eigenschappen van de binomiale vedeling Zij p [0, 1], en laa N he aanal e spelen spellen en k N he aanal kee da een gebeuenis zich voodoe zijn. Noee de binomiale kansvedeling: ( ) k p k 1 p) k als k {0, 1,..., }; P (k, p) := 0 als k < 0. en noee: F (k, p) := k i=0 P (i, p) 0 als k < 0; 1 als k >. als k {0, 1,..., }; Dan beschouwen we de volge eigenschappen van de binomiale vedeling: Lemma 3.1. Zij p [0, 1], N en k {0, 1,..., }. F (k, p): Dan geld voo F (k, p) = p F (k 1 1, p) + (1 p) F (k 1, p) (3.1) Bewijs. Zij ξ 1, ξ 2,... een ij onafhankelijke ideniek vedeelde Benoulli vaiabelen zo da P(ξ i = 1) = p. Dan geld: aangezien: F (k, p) = P(ξ ξ k) (3.2) 10

12 P(ξ ξ k) = P(ξ ξ k, ξ = 1) + P(ξ ξ k, ξ = 0) = P(ξ = 1)P(ξ ξ 1 k 1) + P(ξ = 0)P(ξ ξ 1 k) dan volg voo F (k, p): F (k, p) = P(ξ ξ k) = p F (k 1 1, p) + (1 p) F (k 1, p) Lemma 3.2. Zij p [0, 1], N en k {0, 1,..., }. Dan geld: F (k 1, p) F (k 1 1, p) F (k, p) (3.3) en F (k 1 1, p) = F (k 1, p) + k P (k, p) (3.4) Bewijs. Zij ξ 1, ξ 2,... een ij onafhankelijke ideniek vedeelde Benoulli vaiabelen gedefinieed zoals in (3.2). Ongelijkheid (3.3) volg dan ui: {ξ ξ 1 + ξ k 1} {ξ ξ 1 k 1} {ξ ξ 1 + ξ k} Ui ongelijkheid (3.3) volg da F (k 1 1, p) gescheven kan woden als een convexe combinaie: waa voo q [0, 1] geld: (1 q)f (k 1, p) + qf (k, p) (3.5) q = = F (k 1 1, p) F (k 1, p) F (k, p) F (k 1, p) F (k 1 1, p) F (k 1, p). P (k, p) Ui lemma 3.1 volg: F (k 1 1, p) F (k 1, p) = F (k 1 1, p) pf (k 2 1, p) (1 p)f (k 1 1, p) = pp (k 1 1, p) dus q = p( ) 1 k 1 p k 1 (1 p) k ( = k) k p k (1 p) k [0, 1]. 11

13 Deze uidukking voo q invullen in vegelijking (3.5) geef: ( F (k 1 1, p) = 1 k ) F (k 1, p) + k F (k, p). (3.6) Hieui volg: F (k 1 1, p) = F (k 1, p) + k P (k, p). (3.7) Opmeking. Ui vegelijkingen (3.1) en (3.6) volg da we ecusies hebben gevonden voo F (k, p) die lijken op de diehoek van Pascal voo binomiaal coëfficienen. 3.2 Veband ussen he kapiaal en de uibealingsfaco De uibealingsfaco hang af van de keuze voo (0, 1). Sel nu p = (1 ). Voo iede kapiaal f [0, 1] is e dan een geal k {0, 1,..., } e vinden zoda: F (k 1, 1 ) f < F (k, 1 ). He geal k is doo f uniek bepaald. Vede definiëen we q [0, 1) als de unieke oplossing van de vegelijking: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ). Opmeking. De keuze voo p = (1 ) en nie p = heef e maken me de manie waaop de winskans en de uibealingsfaco gedefinieed zijn. Lae in he veslag zal blijken da k aangeef hoevaak e hoogsens veloen mag woden om hel doel nog e kunnen beeiken. Definiie 3.1. Zij (0, 1) vas. Laa 0 q < 1 en k {0, 1,..., } de unieke geallen zijn waavoo geld: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ) Beschouw figuen 2 en 3 voo de gafieken van k en q uigeze egen f bij = 0.5 en = 2. Lemma 3.3. Zij p [0, 1], N en k {0, 1,..., } en laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Dan geld voo f [0, 1]: F (k 1, 1 ) f F (k 1 1, 1 ) 0 q k en F (k 1 1, 1 ) f < F (k, 1 ) k q < 1 12

14 Bewijs. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Dan kan elk kapiaal f [0, 1] gescheven woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ) Ui lemma 3.2 volg da q = k/ voo f = F (k 1 1, 1 ). Dus voo f waabij q < k/ geld da f kleine is dan F (k 1 1, 1 ) en de kapialen me q > k/ zijn goe dan F (k 1 1, 1 ). Lemma 3.3 zal lae gebuik woden bij he vinden van een ondegens voo opimale inzeen. Figuu 2: Gafiek van k voo = 0.5 en = 2 Figuu 3: Gafiek van q voo = 0.5 en = 2 13

15 Daanaas leiden we nog he volge combinaoische lemma af voo f : Lemma 3.4. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Dan geld voo elke f [0, 1]: ( f = F (k 1 1, 1 ) + q k ) ( ) (1 ) k k (3.8) k Bewijs. Ui definiie 3.1 volg: Vede zeg lemma 3.2: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ) F (k 1, 1 ) = F (k 1, 1, 1 ) k P (k, 1 ) (3.9) Vegelijking (3.8) volg hie diec ui. 14

16 4 Opimale inzeen me nog weing spellen e gaan We beschouwen nu he speciale geval = 1/2. He veloop van he spel zie e dan nu als volg ui: f + s (f ) me kans w; f 1 = f s (f ) me kans (1 w). Pe spel kan de inze gewonnen of veloen woden. Mek op da de inze maximaal even goo kan zijn als he kapiaal dus da he kapiaal binnen één spel hoogsens vedubbeld kan woden. Om de vewaching U(f, ) en de bijbehoe opimale inzeen s,..., s 2, s 1 bee e kunnen begijpen ondezoeken we ees de siuaies waain e nog maa weinig spellen e gaan zijn. Maak hiebij gebuik van vegelijking (2.1) da U(f, ) gelijk is aan de voowaadelijke kans op he beeiken van he doel: P(f 0 1 f, ). 4.1 Nog één spel e gaan [ 0, 1 2) en [ 1 2, 1) van he een- Beschouw voo = 1 de paiie inevallen: heidsineval [0, 1). Als f 1 [ 0, 1 2) dan is he me nog maa één spel e gaan nie mee mogelijk om op één ui e komen, aangezien he kapiaal hoogsens vedubbeld kan woden en da nie voldoe is. Dus U(f 1, 1) = 0 voo f 1 [ 0, 1 2) ongeach de inze. Als f 1 [ 1 2, 1) dan dien he spel bij een inze van 1 f 1 gewonnen e woden om he doel e beeiken en zal bij velies he doel nie gehaald zijn. He vewache nu is dan gelijk aan de kans da he spel gewonnen wod: U(f 1, 1) = w voo f 1 [ 1 2, 1), mis s 1 (f 1 ) 1 f 1. Als f 1 = 1 is he doel al beeik en wod e niks geze. vewache nu geld dan: U(f 1, 1) = 1. Op = 1 voldoe een opimale inze dus aan: 0 s 1 (f 1 ) f 1 als 0 f 1 < 1 2 ; 1 f 1 s 1 (f 1 ) f 1 als 1 2 f 1 < 1; s 1 (f 1 ) = 0 als f 1 = 1. Voo he Figuu 4 laa he opimale gebied voo s 1 (f 1 ) zien, waabij de goene lijn een bovengens is voo een opimale inze en de blauwe lijn een ondegens. 15

17 Figuu 4: Gafiek van s 1(f 1). Voo he vewache nu onde een opimale saegie geld dan: 0 als 0 f 1 < 1 2 ; U(f 1, 1) = w als 1 2 f 1 < 1; 1 als f 1 = 1. He vewache nu onde een opimale inze blijf dus binnen de inevallen [ 0, 1 2) en [ 1 2, 1) consan, zie ook figuu 5 voo de gafiek van U(f 1, 1). Figuu 5: Gafiek van U(f 1, 1) voo w =

18 4.2 Nog wee spellen e gaan Me nog = 2 spellen e gaan delen we he eenheidsineval nu op in 2 2 paiie inevallen. We ondezoeken wee de opimale inzeen en he vewache nu. Mek op da e voo een opimale saegie alleen maa gekeken hoef e woden naa de eese inze s 2, omda we eede al voo elke f 1 [0, 1] de opimale inze hebben gevonden. Als f 2 [ 0, 1 4) dan is he nie mee mogelijk om op één ui e komen, aangezien he kapiaal hoogsens wee maal vedubbeld kan woden. Dus U(f 2, 2) = 0 voo f 2 [ 0, 1 4), ongeach de inze. Als f 2 [ 1 4, 2) 1 moe e wee kee gewonnen woden om he doel e beeiken. Dus U(f 2, 2) = w 2 voo f 2 [ 1 4, 1 2), mis de inze s2 voldoe goo is om me weemaal wins één e beeiken. Kies daaom: 1 2 f 2 s 2 (f 2 ) f 2. Als f 2 [ 1 2, 4) 3 kan he doel binnen één spel beeik woden indien e een inze: 1 f 2 gedaan wod. De uikoms van he weede spel heef dan geen invloed. Als e veloen wod kom he kapiaal eech in he ineval [ 0, 1 2) me nog maa één spel e gaan en kan he doel nie mee gehaald woden. Dus U(f 2, 2) = w 2 + w(1 w) = w voo f 2 [ 1 2, 4) 3, mis e gekozen wod voo een voldoe goe inze om he doel binnen één spel e halen: s 2 : 1 f 2 s 2 (f 2 ) f 2. Maa voo = 1 hadden we gezien da een f 1 [ 1 2, 1) ook een kans w had om he doel e beeiken. He doen van een inze 0 s 2 (f 2 ) f is dus in di geval even opimaal. Aangezien he kapiaal dan op = 1 zich me zekeheid in he paiie ineval [ 1 2, 1) bevind. Als f 2 [ 3 4, 1) wod me een eese inze 1 f 2 he doel bij wins beeik, ongeach de uikoms van he weede spel, en bij velies is e nog één spel e gaan, me een kapiaal f 1 [ 1 2, 1). Dus U(f 2, 2) = w 2 +w(1 w)+(1 w)w voo f 2 [ 3 4, 1), onde een opimale inze. Dus alle uikomsen waabij e nie wee kee veloen wod: U(f 2, 2) = 1 (1 w) 2. E moe voldoe ingeze woden om bij wins he doel e beeiken, maa bij velies mag e nie mee dan f veloen woden, zoda f 1 [ 1 2, 1) en e dus me he weede spel alsnog één gehaald kan woden: 1 f 2 s 2 (f 2 ) f Als f 2 = 1 is he doel al beeik en wod e niks geze. vewache nu geld dan: U(f 2, 2) = 1. Voo he Dus me nog = 2 spellen e gaan is een inze s 2 (f 2 ) opimaal indien hij voldoe aan: 17

19 0 s 2 (f 2 ) f 2 als 0 f 2 < 1 4 ; 1 2 f 2 s 2 (f 2 ) f 2 als 1 4 f 2 < 1 2 ; 1 f 2 s 2 (f 2 ) f 2 of als 1 2 f 2 < 3 4 ; 0 s 2 (f 2 ) f f 2 s 2 (f 2 ) f als 3 4 f 2 < 1; s 2 (f 2 ) = 0 als f 2 = 1, Waabij e dus voo f 2 [ 1 2, 3 4) wee mogelijkheden zijn. Figuu 6 laa he opimale gebied van s 2 (f 2 ) zien, waabij de goene lijn een bovengens is voo een opimale inze s 2 en de blauwe lijn een ondegens. Figuu 6: Gafiek van s 2(f 2). Onde een opimale saegie geld dan da e bij iede paiie ineval een uikoms bij kom die o he doel kan leiden. Figuu 7 beva de gafiek van U(f 2, 2). De nusfuncie U(f 2, 2) wod gegeven doo: 0 als 0 f 2 < 1 4 ; U(f 2, 2) = w 2 als 1 4 f 2 < 1 2 ; w als 1 2 f 2 < 3 4 ; 1 (1 w) 2 als 3 4 f 2 < 1; 1 als f 2 = 1. 18

20 Figuu 7: Gafiek van U(f 2, 2) voo w = Nog die spellen e gaan We kunnen di op dezelfde manie uibeiden voo = 3. Figuu (8) beva he gebied voo de opimale inzeen bij = 3. Ook nu spelen de oosepunen {0, 1/8, 2/8,... 7/8, 1} een belangijke ol. Mek op da e nu spake is van 2 3 paiie inevallen waa binnen he vewache nu onde een opimale inze consan blijf. Voo de kapialen ussen de oosepunen zijn alle inzeen binnen he gijze gebied mogelijk, ewijl de oosepunen zelf maa een eindig aanal opimale inzeen hebben, die pecies goo genoeg zijn om op = 2 wee op een oosepun ui e komen, ongeach wins of velies van he eese spel. Voo he oosepun 1 2 zouden e misschien die mogelijke inzeen vewach woden, vanwege he paoon van de oegesane gebieden. Di blijk nie he geval e zijn, aangezien de inzeen s 3 = 0 en s 3 = 1 2 allebei een vewach nu van w hebben, ewijl he vewache nu onde een inze s 3 = 1 4 gelijk is aan w 3 + 3w 2 (1 w). 19

21 Figuu 8: Gafiek van s 3(f 3) Figuu 9: Gafiek van U(f 3, 3)

22 5 Binaie saegieën In di hoofdsuk gaan we nog seeds ui van = 1/2. He vewache nu onde een opimale saegie is dus voo nog een klein aanal spellen e gaan: {0, 1, 2, 3} consan voo alle sakapialen f binnen een paiie ineval I n = [ n 2, n+1 ) 2 me n = 0, 1,..., 2 1, aan he vewache nu voo he linkeoosepun: ( n ) U(f, ) = U 2, me n 2 f < n + 1. De oosepunen n 2 spelen een belangijke ol bij he bepalen van een opimale saegie. In di hoofdsuk laen we zien da di ook voo algemene op gaa. 5.1 Binaie kapialen Elke f kan volgens definiie 3.1 gescheven woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ). Waabij k en 0 q < 1 uniek bepaald zijn. Vanwege = 1/2 volg: k 1 ( ) ( ) 1 f = + q i 2 i=0 ) ( + q k) = k 1 i=0 ( i 2. ( k ) ( 1 2 De oosepunen van de paiie inevallen: 2, me n = 0, 1,..., 2 zijn dan de kapialen waavoo q ( k) een geheel geal is, zoda geld: ( k ( ) ( ) ) 2 f = + q N. i k i=0 n ) Definiie 5.1 (Binai kapiaal). Een kapiaal f hee een binai kapiaal me nog spellen e gaan als q ( k) een geheel geal is, me q en k gedefinieed als in definiie 3.1 zoda elke f [0, 1] gescheven kan woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ). Me andee wooden, alle kapialen f = n 2 me n = 0, 1, 2,..., 2 zijn binai. Me nog spellen e spelen zijn e dan (2 +1) veschille binaie kapialen e vinden die he eenheidsineval in 2 paiie inevallen I n = [ n 2, n+1 2 ) opdelen. 21

23 Opmeking. Na he spelen van he laase spel zijn alleen de waaden 0 en 1 binai, aangezien f 0 een binai kapiaal is dan en slechs dan als: f 0 = n 2 0, me n {0, 1}. De oosepunen waa seeds ove gespoken wed, woden vanaf nu dus binaie kapialen genoemd. He vemoeden is da e een opimale saegie is die ove de binaie kapialen loop. Nie voo elk kapiaal kan een inze gevonden woden die ongeach de uikoms van he spel alijd op een binai kapiaal ui kom. Voobeeld 5.1. Vind een binaie inze me nog = 1 spel e gaan. Maak ondescheid ussen f 1 is binai, dus f 1 {0, 1 2, 1}, en f 1 is nie binai. Beschouw de veschille gevallen: Binaie kapialen: Als f 1 = 0 kan e geen inze mee gedaan woden. He kapiaal eindig dan ook op nul: f 0 = 0. Als f 1 = 1 2 dan is s 1(f 1 ) = 1 2 een inze die op een binai kapiaal uikom, ongeach wins of velies: bij wins f 0 = f 1 + s 1 = = 1; bij velies f 0 = f 1 s 1 = = 0. Als f 1 = 1 is he doel al beeik en he is onnodig om nog een inze e doen. He kapiaal eindig dan ook op één: f 0 = 1 Nie-binaie kapialen: Als f 1 / {0, 1 2, 1}. Zoek een inze s 1(f 1 ) [0, f 1 ] zoda beide uikomsen voo he eindkapiaal: (f 0 = f 1 +s 1 ) en (f 0 = f 1 s 1 ) in N liggen. We ween da he eindkapiaal alleen binai is als: f 0 = 0 of f 0 = 1 Vanwege f 1 > 0 en s 1 (f 1 ) 0, moe bij wins gelden: f 1 + s 1 (f 1 ) > 0 dus f 1 + s 1 (f 1 ) = 1 is de enige mogelijke binaie oplossing. Een zelfde edenaie geef bij velies f 1 s 1 (f 1 ) = 0 als enige mogelijke binaie oplossing. He opellen van de vegelijkingen voo wins en velies geef: 2f 1 = 1 Deze vegelijking ken allen de oplossing f 1 = 1 2 en di geef een egenspaak me de aanname da f 1 nie binai is. E is dus geen inze s 1 (f 1 ) e vinden die alijd op een binai kapiaal uikom als f 1 nie binai is. 22

24 5.2 Binaie inze Definiie 5.2 (Binaie inze). Een inze s (f ) die gegeven een sakapiaal f na he spelen van he eese spel alijd op een binai kapiaal uikom, ongeach de uikoms van he spel, hee een binaie inze. Me andee wooden, een inze is binai indien f 1 gescheven kan woden in de vom: f + s (f ) = n 1 me n N; f 1 = f s (f ) = n 2 me n N. Ui voobeeld 5.1 volg da e alleen voo de binaie kapialen f 1 {0, 1 2, 1} een binaie inze gevonden kan woden. Lemma 5.1. Gegeven een nie-binai beginkapiaal, dan besaa e geen binaie inze. Bewijs. Gegeven een nie-binai beginkapiaal me nog spellen e gaan: 2 f / N. Sel e besaa wel een binaie inze s (f ) voo f zoda he kapiaal na he spelen van he eese spel gescheven kan woden als: bij wins f 1 = f + s (f ) = m ; bij velies f 1 = f s (f ) = m waabij m 1 en m 2 posiieve gehele geallen zijn. Opellen van de vegelijking geef: 2f = m 1+m 2. Dus: f 2 1 = m 1+m 2 2, maa da geef een egenspaak me 2 f / N. Dus e besaa geen binaie inze s (f ). n Lemma 5.2. Gegeven een binai beginkapiaal 2 me nog spellen e gaan, dan besaa e alijd een binaie inze. Deze binaie inzeen zijn van de vom: ( n ) s 2 = n 2 i { 2 1 me i N en max 0, n 2 2 1} i n 2. (5.1) Bewijs. He beginkapiaal is binai, dus: f = n 2 me n {0, 1,..., 2 }. Vind een inze s (f ) [0, f ] die voldoe aan: bij wins f 1 = n 2 + s (f ) = m ; bij velies f 1 = n 2 s (f ) = m waabij m 1 en m 2 posiieve gehele geallen zijn. Mek op da m 2 waaden kan aannemen in [ 0, n 2 ] en m1 waaden in [ n 2, n]. Voo n > 2 1, da wil 23

25 zeggen als f > 1/2, kan m 1 goe dan 2 1 woden, in da geval is m nie binai op 1. Opellen van de vegelijkingen voo de mogelijke uikomsen geef: 2 n m 1 +m 2. Hieui volg: 2 1 m 1 = n m 2. Elke inze van de vom: s ( n 2 ) = n 2 i 2 1 me i N en 0 i n 2 2 = is dan voo f 1/2 een binaie inze, maa voo f > 1/2 dus als n > 2 1 is he doen van een inze goe dan 1 f nie mee binai. Hieui volg: en dus geld voo i N: max n 2 i n 2 { 0, n 2 2 1} i n 2. Voo de kapialen n 2 en 1 n 2 zijn dan dezelfde binaie inzeen mogelijk. Onde een binaie inze zijn de uikomsen op 1: bij wins f 1 = n i 2 1 ; bij velies f 1 = i Binaie saegie Definiie 5.3 (Binaie saegie). Een saegie die uislui binaie inzeen beva wod een binaie saegie genoemd. Gevolgen. Voo een binai beginkapiaal is alijd een binaie inze e vinden. Bij he spelen me deze binaie inze neem he kapiaal vevolgens pe definiie alleen maa binaie waaden aan. Voo di nieuwe binaie kapiaal besaa e wee een binaie inze. Voo een binai sakapiaal besaa e dus alijd een binaie saegie. Bij he oepassen van een binaie saegie eindig he kapiaal na he spelen van he laase spel alijd op waade 0 of 1. ls he beginkapiaal nie binai, dan kan e geen binaie inze gevonden woden en besaa e dus pe definiie geen binaie saegie. 24

26 Nu kan he vemoeden da he vewache nu onde een opimale saegie voo alle kapialen f binnen een paiie ineval I n even goo is als U ( n 2, ) bewezen woden. Noee n = 2 f voo he gehele geal n = 0, 1,..., 2 waavoo geld n 2 f < n + 1. Poposiie 5.3. Zij f [0, 1] he kapiaal me nog spellen e spelen. Dan geld voo n = 2 f : ( n ) U(f, ) = U 2,. (5.2) Bewijs. Me behulp van inducie naa. De beweing is waa voo = 1 en = 2. Neem aan da de beweing waa is voo een willekeuige, dus U(f, ) = U ( n 2, ) me n = 2 f voo elke f [0, 1]. Laa zien da he dan ook waa is me nog + 1 spellen e gaan. Beschouw he geval me nog + 1 spellen e gaan en een beginkapiaal f +1 waavoo geld: m = 2 +1 f +1. Volgens de inducieveondeselling is he vewache nu onde een opimale saegie binnen de paiie inevallen [ n 2, n+1 2 ) me n = 0, 1,..., 2 consan. Mek op da U(f +1, +1) gescheven kan woden als: U(f +1, + 1) = max 0 s f +1 {(1 w)u (f +1 s, ) + wu(f +1 + s, )}. (5.3) Vanwege de inducieveondeselling me nog spellen e gaan is vegelijking (5.3) gelijk aan: { ( n1 ) ( U(f +1, + 1) = max (1 w)u 2, n2 )} + wu 2,, (5.4) waabij he maximum genomen wod ove de nauulijke geallen n 1 en n 2, me n 1 = 2 (f +1 s) en n 2 = 2 (f +1 + s). He is dus voldoe om e laen zien da f +1 en m onde een opimale eese inze, me nog spellen 2 +1 e gaan in hezelfde paiie ineval eech komen. He vevolg van he bewijs zie e als volg ui: ees laen we zien da he m voo een binai beginkapiaal opimaal is om een binaie inze e doen Vevolgens laen we zien da elke f +1 I m geld: ( m ) U(f +1, + 1) U 2 +1, + 1. De laase sap is om e laen zien da U(f +1, + 1) U ( m 2 +1, + 1 ), doo aan e onen da e voo elke geldige inze s +1 (f +1 ) voo f +1 een m inze gevonden kan woden voo gevonden kan woden, die minsens 2 +1 hezelfde vewache nu heef. 25

27 We beginnen dus me he aanonen da voo een binai sakapiaal een opimale inze binai moe zijn. Ui lemma 5.2 volg da voo een binai m kapiaal de volge binaie inzeen gedaan kunnen woden: 2 +1 m 2 +1 i, i A (5.5) 2 waabij A he gebied voo i is zoda de inze binai is: A = { i N : max { 0, m 2 2} i m } 2. He bijbehoe vewache nu onde zo n inze wod dan me nog spellen e gaan gegeven doo: ( m bij wins U m 2 +1 i ) ( ) m i 2, = U 2, ( m bij velies U 2 +1 m i ) ( ) i 2, = U 2, De binaie inzeen liggen op een afsand 1/2 van elkaa af. Voo elke inze 0 s min { m, 1 m } geld dan: +1 s B s < 1 2, waabij s B nu de kleinse binaie inze is me s B s. Elke geldige niebinaie inze s > 0 kan dan gescheven woden als: s = s B δ me 0 < δ < 1 2. De uikomsen na he eese spel woden dan gegeven doo: m bij wins sb δ < m i 2 ; m bij velies 2 +1 sb + δ < i He vewache nu onde een opimale saegie me nog spellen e gaan is dan vanwege de inducieveondeselling: ( ) m i 1 bij wins U 2, ; ( ) i bij velies U 2,. De waade van U(f, ) me nog spellen e gaan is bij velies gelijk gebleven, maa bij wins van he eese spel gaan we e en opziche van de binaie inze s B op acheui. Een nie-binaie inze s > 0 kan dus nie opimaal zijn, aangezien e alijd een beee inze s B besaa. 26

28 Res alleen nog he geval s = 0. Voo even m voldoe he doen van geen inze aan de eisen voo een binaie inze. Dus beschouwen we alleen de oneven waaden van m. He veschil me de kleins mogelijke binaie inze is dan: s B = Als e geen inze gedaan wod is de nusvewaching na he spelen van he eese spel gelijk aan: ( ( m ) 1 U 2 +1, 2 = U m ) 2,. Aangezien m oneven is en 1 2m dus geen geheel geal is wod di onde de inducieveondeselling: ( ) 1 2 (m 1) U 2,. Tewijl onde de kleins mogelijke binaie inze he vewache nu me nog spellen e gaan gegeven wod: ( m bij wins U ) ( ) , 2 (m + 1) = U 2, ; ( m bij velies U ) ( ) , 2 (m 1) = U 2,. Bij wins is de vewaching goe, ewijl he bij velies hezelfde blijf als bij s = 0. Voo oneven m is e dus alijd een beee binaie inze s B e vinden dan s = 0. m Gegeven een binai sakapiaal me nog +1 spellen e gaan. Als voo 2 +1 elke f [0, 1] geld: U(f, ) = U ( n 2, ) me n = 2 f dan is voo elke nie-binaie inze s [ ] m 0, 2 een beee binaie inze e vinden. Me andee +1 wooden, elke opimale inze is dan een binaie inze. Nu kunnen we eug naa een kapiaal f +1 [0, 1] me m = 2 +1 f +1 en definiee: f +1 = m 1 + ɛ, 0 ɛ < De e bewijzen beweing: ( m ) U(f +1, + 1) = U 2 +1, + 1, 27

29 is waa als een opimale eese inze voo f +1 he in vewaching even goed m doe als da he onde een opimale eese inze doe. Voo een binai 2 kapiaal is elke +1 opimale inze binai. Dus: ( m ) { ( ) ( )} m i i U 2 +1, + 1 = max wu i A 2 1, + (1 w)u 2 1,. (5.6) Vanui f +1 kan hezelfde vewache nu me nog spellen e gaan beeik woden doo he doen van de inzeen me dezelfde esicies als bij (5.5). De uikomsen zijn dan namelijk: bij wins bij velies m ɛ + m 2 +1 i 2 = m i 2 + ɛ < m i + 1 ( ) 2 m i = U 2, ; m ɛ m i 2 = i 2 + ɛ < i + 1 ( ) 2 i = U 2,. m Di zijn dezelfde waaden voo f +1 als voo, dus me f is de kans op he beeiken van he doel minsens even goo: ( m ) U(f +1, + 1) U 2 +1, + 1. (5.7) We laen nu zien da de gelijkheid geld, doo aan e onen da e voo elke m mogelijke s [0, f +1 ] een binaie inze voo in [ ] m 0, gevonden kan +1 woden die he even goed doe. Elke inze 0 s min{f +1, 1 f +1 } lig op een maximale afsand van 1 af van de dichsbijzijnde binaie inze: 2 +1 min i A s m i Noem s B de binaie inze op de minimale afsand van s, dus: s s B , dan geld voo elke s me bijbehoe s B de volge ongelijkheden: ( m ) (1 w)u (f +1 s, ) (1 w)u 2 +1 sb, ; (5.8) ( m ) wu(f +1 + s, ) wu sb,, aangezien: 28

30 Als s s B dan geld da s = s B δ me 0 δ De mogelijke uikomsen voo f zijn dan: bij wins m i 2 + ɛ δ < m i ; bij velies i 2 + ɛ + δ < i Onde de inducieveondeselling geld dan: ( ) m i U(f +1 + s, ) U 2, en U(f +1 s, ) = U Als s s B dan geld da s = s B + δ me 0 δ bij wins m i 2 + ɛ + δ < m i ; bij velies i 2 + ɛ δ < i Onde de inducieveondeselling geld dan: ( ) m i U(f +1 + s, ) = U 2, en U(f +1 s, ) U ( ) i 2,. ( ) i 2,. Dus voo elke inze geldinge inze s die gedaan kan woden voo f +1 is e een binaie inze s B m m voo e vinden die voo hezelfde vewache nu geef. ( m ) U (f +1, + 1) U 2 +1, + 1. (5.9) Ui ongelijkheden (5.7) en (5.9) volg nu: ( m ) U (f +1, + 1) = U 2 +1, + 1. (5.10) Opmeking. De opimale vewache nusfuncie is een sapfuncie op de binaie kapialen. Indien een kapiaal f +1 gescheven kan woden als: +ɛ m 2 +1 me m = 2 +1 f +1 dan vehoog ɛ, he veschil ussen he wekelijke kapiaal en he binaie kapiaal, me 0 ɛ < 1, he vewache nu van he 2 +1 kapiaal nie. Coollaium 5.4. Als he beginkapiaal binai is, dan is elke opimale saegie een binaie saegie. Bewijs. Gegeven een binai beginkapiaal f, dan volg ui he bewijs van poposiie 5.3 da elke opimale eese inze binai is. Vevolgens is he kapiaal me nog 1 spellen e gaan ook binai en dus moe elke opimale weede inze binai zijn, enzovoo. Een opimale saegie besaa dan uislui ui binaie inzeen. 29

31 5.4 Numeiek bepalen van U(f, ) en s (f ) Me nog maa weing spellen e gaan kan e nu voo binaie sakapialen gemakkelijk U(f, ) bepaald woden.. Me nog spellen e gaan wod he vewache nu onde een opimale saegie gegeven doo: U(f, ) = max 0 s f {(1 w) U(f s, 1) + w U(f + s, 1)}. Gebuik da elke opimale saegie voo een binai sakapiaal uislui n gebuik maak van binaie inzeen. Gegeven een sakapiaal 2, dan is n elke binaie inze van de vom: 2 i zoals gedefinieed in lemma De mogelijke uikomsen zijn dan: bij wins f + s (f ) = n i 2 1 ; bij velies f s (f ) = i 2 1. Dus voo een binai sakapiaal hoef e alleen gemaximaliseed e woden op de binaie inzeen: ( n ) { ( ) ( )} i n i U 2, = max (1 w) U 0 i n 2 2 1, 1 + w U 2 1, 1. (5.11) Op = 0, na he spelen van he laase spel, is de nusvewaching gelijk aan he nu van he eindkapiaal: 0 als f 0 < 1; U(f 0, 0) = u(f 0 ) = 1 als f 0 1. Vanui die waaden kan me vegelijking (5.11) voo = 1, 2,... me behulp n van Malab voo elk binai kapiaal 2 me n {0, 1,..., 2 } de maximale vewaching en de bijbehoe opimale waaden voo i en dus s (f ) gevonden woden. In abel 1 zijn deze beeke waaden voo U ( n 2, ) voo = 0, 1,..., 4 en een winskans pe spel van w = 0.6 gegeven. Ui poposiie 5.3 volg da de gevonden waaden voo alle f binnen een ineval I n me n = 2 f van oepassingen zijn. Dus nie alleen voo de binaie kapialen maa voo elke f [0, 1] kan U(f, ) bepaald woden. De waaden in abel 1 gelden voo alle f binnen een paiie ineval I n = [ n 2, n+1 ) 2. Figuu 10 beva de gafiek van U(f, ) als sapfuncie op de binaie kapialen voo veschille waaden van. De bijbehoe gevonden opimale inzeen voo = 4 zijn af e lezen in abel 2. Voo een nie-binai kapiaal is een binaie inze die opimaal is voo n 2 ook een opimale inze. De beeke opimale inzeen ui abel 2 zijn 30

32 Tabel 1: Waaden van U(f, ) voo = 0, 1,..., 4 en w = 0.6 U(f 0, 0) U(f 1, 1) U(f 2, 2) U(f 3, 3) U(f 4, 4) I I I I I I I I , 5904 I I I I I I I I I 16 1 dus geldig voo alle f I n. E hoef nie één unieke binaie inze e zijn die opimaal is. Een binai sakapiaal 1/2 heef bijvoobeeld die mogelijke opimale inzeen. In hoofdsuk 4 zagen we di ook bij {1, 2, 3}. De gebuike Malab-code is e vinden in Bijlage A.2. Figuu 10: Gafiek van U(f, ) voo w = 0.6 en = 1, 2,

33 Tabel 2: Opimale waaden van s (f, ) voo = 4 en w = 0.6 I 0 0 I I I I I I I I I I I I I I I I Vewache nusfuncie Voo kleine waaden van zijn de opimale saegieën e vinden doo me behulp van Malab alle mogelijke uikomsen onde een binaie saegie na e gaan en daa he maximum van e nemen, maa naamae goe wod moeen e seeds mee waaden uigeek woden. Om U(f, ) e bepalen moeen namelijk ees alle waaden voo he vewache nu op 1, 2..., 1 uigeek woden. Di zijn waaden. In deze paagaaf gaan we opzoek naa een expliciee uidukking voo U(f, ). Ui de esulaen die me behulp van Malab vekegen zijn lijk he veband ussen U(f, ) en w als volg gegeven e zijn: voo kapialen binnen he paiie ineval I 1 moeen alle spellen gewonnen woden om op één ui e kunnen komen. Voo kapialen in I 2 wod he doel beeik als alle spellen gewonnen woden, maa ook in één siuaie waabij e een spel veloen wod. Voo I 3 zijn e die mogelijke uikomsen die he doel beeiken: als alles gewonnen wod maa ook bij wee van de uikomsen waa e één kee veloen wod. Voo he paiie ineval I 2 1 zijn e 2 1 uikomsen die o he beeiken van he doel kunnen leiden, alleen als alle spellen veloen woden kan één nie beeik woden: ( ) ( ) 1 2 U 2, = w, U 2 = w + w 1 (1 w), ( ) ( 3 2 U 2 = w + 2w 1 ) 1 (1 w),..., U 2 = 1 (1 w) 32

34 Om di e kunnen bewijzen moeen we ees naa alle mogelijke uikomsen bij maal spelen van he spel kijken. Poposiie 5.5. Gegeven een binai beginkapiaal f = n 2 me n {0, 1..., 2 } me nog spellen e gaan en he gebuik van een opimale binaie saegie. Dan zijn e aan he einde van he laase spel n mogelijkheden om op 1 ui e komen en 2 n mogelijkheden om op 0 e eindigen. Bewijs. Bij maal spelen zijn e 2 uikomsen mogelijk. Gegeven een binai beginkapiaal en he gebuik van een binaie saegie, eindig een spele na he spelen van he laase spel alijd op een kapiaal 0 of 1. Sel w = 0.5 dan onsaa e een maingaal voo he kapiaal, da wil zeggen da gegeven een kapiaal f op ijdsip, onde iedee mogelijke saegie he vewache kapiaal op 1 gelijk is aan f : E [f 1 ] = 1 2 (f + s (f )) (f s (f )) = f. De maingaal eigenschap en de zogenaamde owe popey hebben o gevolg da he kapiaal in vewaching gelijk blijf aan he kapiaal op : E [f 0 ] =... = E [f 2 ] = E [f 1 ] = f = n 2. Zie ook he boek van Sheve [1] voo mee infomaie ove maingalen. Onde een binaie saegie neem he eindkapiaal f 0 waade nul of één aan, dus voo de vewaching van f 0 geld dan: E [f 0 ] = 1 P (f 0 = 1) + 0 P (f 0 = 0) = P (f 0 = 1). He vewache nu onde een opimale saegie is gelijk aan de voowaadelijke kans da he doel beeik wod: U(f, ) = P (f 0 = 1). Hieui volg: n ( n ) 2 = P (f 0 = 1) = U 2,. De kans op he beeiken van he doel P (f 0 = 1) is de som van de kansen van alle mogelijke uikomsen waabij he kapiaal op één eindig. Aangezien w = 0.5 is elk van deze uikomsen even waaschijnlijk me kans 1/2. E moeen dus n uikomsen zijn waabij he doel beeik wod. E blijven dan nog 2 n uikomsen ove waabij he doel nie beeik wod en die dus op nul uikomen. De beweing is dus waa voo w = 0.5. Aangezien he esulee kapiaal van een uikoms nie afhankelijk is van de winskans w is he ook waa voo alle w >

35 Definiie 5.4. Beschouw alle 2 mogelijke uikomsen en numme de bijbehoe kansen W 1, W 2,... W 2 zodanig da: W 1 W 2... W 2. Zij j = 1, 2,..., 2 me: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j < , 0 k 0 k k + 1 dan geld vanwege w > 0.5: Bijvoobeeld: W j = (1 w) k w k. (5.12) W 1 = w, W 2 = w 1 (1 w),..., W 2 = (1 w). Dan is n j=1 W j de som van de n hoogse kansen. Hie kunnen we de volge combinaoische uidukking voo vinden: Lemma 5.6. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1 en W als in definiie 5.4. Dan geld: n W j = F (k 1, 1 w) + q P (k, 1 w). (5.13) j=1 Bewijs. Ui definiie 5.4 volg: W j = (1 w) k w k, me j = 1, 2,..., 2 en ( ( 0) ( k) j < ( 0) ) ( k + k+1). Vede kon elke f [0, 1] volgens definiie 3.1 gescheven woden als: f = F (k 1, 1 ) + qp (k, 1 ), waabij k en q uniek bepaald zijn me 0 q < 1. In he speciale geval van de binaie kapialen f = n 2, me n = 0, 1,..., 2, kan n dan volgens definiie 5.1 gescheven woden als: k 1 ( ) ( ) n = + q. i k i=0 Sommeen ove de hoogse n kansen is dus gelijk aan he nemen van de hoogse k 1 ( ) ( i=0 i + q ) k kansen. Di zijn de kansen waa de em 1 w he mins vaak vookom. n k 1 ( ) ( ) W j = (1 w) i w i + q (1 w) k w k i k j=1 i=0 = F (k 1, (1 w)) + qp (k, 1 w). (5.14) 34

36 Gegeven een binai sakapiaal n 2 dan zijn e volgens poposiie 5.5 onde een binaie saegie n uikomsen die succesvol blijken e zijn. De som van de n uikomsen me de hoogse waaschijnlijkheid is dan dus een bovengens voo de kans da he doel beeik wod: ( n ) U 2, n W j. Aangezien w > 1 w zijn de n uikomsen me de hoogse kans de uikomsen waain e he mins vaak veloen wod en di zijn dus pecies de uikomsen waa he doel beeik wod. Dus he vewache nu moe gelijk zijn aan de bovengens, wan als geld W i < W j dan implicee da da e bij W j vake wins is opgeeden. Dus als dan bij de uikoms die hoo bij W i he doel beeik wod, dan wod da bij één kee vake winnen ook beeik. Dus sellen we: ( n ) n U 2, = W j. (5.15) Me lemma 5.6 volg dan: Selling 5.7. Laa k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1 en sel = 1/2. Dan geld voo een binai sakapiaal f = n 2 me nog spellen e gaan: ( n ) U 2, = F (k 1, 1 w) + qp (k, 1 w). (5.16) j=1 j=1 Bewijs. Volg in hoofdsuk 6 voo algemene waaden van. 5.6 Boven- en ondegens voo een opimale inze n Gegeven een binai sakapiaal 2 dan is volgens coolaium 5.4 elke opimale inze een binaie inze. Vede is de kans da he doel beeik wod volgens selling 5.7 gelijk aan: ( n ) U 2, = F (k 1, 1 w) + qp (k, 1 w), waabij k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1. Al de uikomsen waabij e dus hoogsens k 1 kee veloen wod komen dus onde een opimale saegie op één ui, ne als een q de deel van de uikomsen waa e in oaal k kee veloen wod. Sel we winnen he eese spel. Dan zijn e nog 1 spellen e gaan waavan e nog seeds k 1 of minde kee veloen mogen woden om he doel e beeiken. Di kan op m = k 1 ) i=0 veschille manieen. Als e in iede geval ( 1 i 35

37 m uikomsen op één ui komen, dan moe volgens poposiie 5.5 he kapiaal me nog 1 spellen e gaan minsens gelijk gewees zijn aan: k 1 ( 1 ) m 2 1 = i=0 i 2 1 = F (k 1 1, 1/2). Om bij wins van he eese spel op een kapiaal da minsens zo goo is als F (k 1 1, 1/2) ui e komen moe e een minimale inze: gedaan zijn. s F (k 1 1, 1/2) n 2 (5.17) Vede kunnen e geen uikomsen zijn waabij e in de laase 1 spellen mee dan k maal veloen wod en he doel och beeik wod. Dus kunnen e hoogsens k ( 1 ) i=0 i succesvolle uikomsen zijn. He kapiaal f 1 kan dan nie goe zijn dan: k ( 1 ) i=0 i 2 1 = F (k 1, 1/2) en wod een bovengens voo een opimale inze: s F (k 1, 1/2) n 2. (5.18) Sel we veliezen he eese spel. Alle uikomsen me hoogsens k 2 maal velies komen onde een opimale saegie nog op één ui. Dus moe he kapiaal op 1 minsens gelijk aan F (k 2 1, 0.5) zijn: n s F (k 2 1, 1/2) 2 Voo de bijbehoe inzeen geld dan: s n F (k 2 1, 1/2). (5.19) 2 Vede moe ook elke uikoms waabij e de kome 1 spellen mee dan k 1 kee veloen wod he doel nie beeiken. Dus kunnen e hoogsens k 1 ( 1 ) i=0 i succesvolle uikomsen zijn en geld als ondegens voo een opimale inze: s n F (k 1 1, 1/2). (5.20) 2 Samenvoegen van de gevonden genzen (5.17), (5.18), (5.19) en (5.20) voo een opimale inze geef de volge selling: 36

38 Selling 5.8. Laa P, F, k en q zo gedefinieed zijn als in definiie 3.1 en = 1/2. Als f = n 2 een binai beginkapiaal is me nog spellen e gaan, dan is s (f ) een opimale inze dan en slechs dan als: s (f ) een binaie inze is; s (f ) min { n/2 F (k 2 1, 1 ), F (k 1, 1 ) n/2 } ; s (f ) F (k 1 1, 1 ) n/2. Bewijs. Volg in hoofdsuk 6 voo algemene waaden van. He veloop van he spel onde een binaie saegie voo een sakapiaal 1/2 me nog = 4 spellen e gaan is e zien in figuu 11. Op de knopen saa he kapiaal en de bijbehoe inze: (f, s (f )). E zijn 16 mogelijke uikomsen waavan e 8 he doel beeiken. De gebuike saegie is nie de enige mogelijke binaie saegie die opimaal is, zie ook abel 2. De gekozen inzeen hangen nie af van de winskans w. He bijbehoe vewache nu wod gegeven doo: ( ) 1 U 2, 4 = F (k 1, 1 w) + qp (k, 1 w) = w 4 + 4(1 w)w 3 + 3(1 w) 2 w 2 = w 2 (3 2w). Voo w = 0.6 geef di: U ( 1 2, 4) = De Malab codes die gebuik woden om binaie saegiën na e gaan en he bijbehoe vewache nu ui e ekenen zijn e vinden in Bijlage A.3, A.4, A.5 en A.6. De ecusies die in hoofdsuk 3 voo F (k, p) zijn afgeleid woden hiebij gebuik. 37

39 Figuu 11: Mogelijk spel veloop onde een binaie saegie.

40 6 Binomiale saegieën Vanaf nu wod e wee gekeken naa een willekeuige waade voo (0, 1) waadoo he veloop van he spel wee eug gaa naa: f + 1 s (f ) me kans w; f 1 = f s (f ) me kans (1 w). Voo = 1/2 is beedeneed wa he vewache nu onde een opimale saegie is en zijn e voowaaden geseld aan de bijbehoe opimale inzeen. Deze beweingen zullen in di hoofdsuk bewezen woden voo algemene waaden van. 6.1 Binomiale kapialen Definiie 6.1. Zij k en q gedefinieed als in definie 3.1 zoda f [0, 1] gescheven kan woden als: ( ) f = F (k 1, 1 ) + q P (k, 1 ). k Definiee dan Q(f, ) als: ( ) Q(f, ) = F (k 1, 1 w) + q P (k, 1 w), (6.1) k waabij k en 0 q < 1 dus op unieke wijze van f afhangen. Mek op da U(f, ) voo = 1/2 volgens selling 5.7 hezelfde gedefinieed is als Q(f, ). Ui definiie 6.1 volg: Q(f, ) = F (k 1, 1 w) + [f F (k 1, 1 )] P (k, 1 w) P (k, 1 ) ( ) 1 w k (w ) k = F (k 1, 1 w) + [f F (k 1, 1 )]. (6.2) 1 Definiie 6.2. Zij k en q zo gedefinieed als in definiie 3.1. Een kapiaal f is binomiaal op ijdsip indien q ( k) een posiief geheel geal is. Een inze s (f ) op ijdsip is binomiaal indien e op 1 uigekomen wod op een binomiaal kapiaal, ongeach de uikoms van he spel. Opmeking. De binomiale kapialen zijn voo = 1/2 gelijk aan de binaie kapialen. 39

41 6.2 Nog één spel e gaan Beschouw he geval = 1. De binomiaal kapialen f [0, 1] zijn dan de kapialen waavoo geld: q ( k) N. Voo = 1 zijn di f {0,, 1}. Voo 0 en 1 is he nu en de inze iviaal, dus beschouwen we alleen f =. Een inze s 1 () =, (6.3) is dan opimaal, aangezien we onde deze inze he doel me kans w kunnen beeiken. De inze is ook binomiaal aangezien we of op een kapiaal gelijk aan nul, of op een kapiaal gelijk aan één ui komen. We kunnen he eenheidsineval nu opdelen in wee paiie inevallen: [0, ) en [, 1). Binnen deze inevallen blijf he vewache nu gelijk, aangezien e in één spel he kapiaal f 1 hoogsens me f 1 (1 )/ kan oenemen. Dus bij wins geld voo he eindkapiaal f 0 : f 0 f f 1 = 1 f 1. Dus voo f 1 < kan he doel nooi mee beeik woden. Aangezien e voo kapialen f 1 [, 1) onde een voldoe goe inze één kee gewonnen moe woden om op 1 ui e komen geld voo he vewache nu: 0 als f 1 < ; U(f 1, 1) = w als f 1 < 1; Onde een opimale inze s 1 (f 1 ): 1 als f 1 = 1. 0 s 1 (f 1 ) f 1 als f 1 < ; s 1 (f 1 ) f 1 als f 1 < 1; s 1 (f 1 ) = 0 als f 1 = Nog wee spellen e gaan Beschouw he geval = 2. Dan zijn de binomiale kapialen: { 0, 2,, 1 (1 ) 2, 1 }. Deel he eenheidsineval op in half open paiie inevallen me de binomiale kapialen als oosepunen. Dan kan e op een zelfde manie als in hoofdsuk 4.2 afgeleid woden da he vewache nu ook hie binnen een paiie ineval consan blijf. 40

42 Beschouw bijvoobeeld he paiie ineval [, 1 (1 ) 2). Als he sakapiaal f 2 in di ineval lig dan kan e binnen één spel he doel beeik woden doo voo een inze s 2 (f 2 ) = /(1 ) (1 f 2 ) e kiezen, aangezien we dan bij wins op een kapiaal uikomen da gelijk is aan één: f 1 = f (1 f 2) = 1. Maa bij velies kom f 1 op een waade kleine dan ui: f 1 = f 2 1 (1 f 2) < 1 (1 ) 2 (1 ) = (6.4) En voo f 1 < kan he doel nie mee beeik woden. Dus U(f 2, 2) = w als f 2 [, 1 (1 ) 2) onde een inze: (1 f 2 ) 1 s f 2 Maa e kan ook voo gekozen woden om nies in e zeen. Dan zi f 1 me nog = 1 spel e gaan in he ineval [, 1) en is he vewache nu onde deze saegie ook gelijk aan U(f 2, 2) = w. Voo = 2 geld dan da de volge opimale inzeen mogelijk zijn: 0 s f 2 als 0 f 2 < 2 ; ( f 2 ) 1 s f 2 als 2 f 2 < ; 0 s f 2 of als f 2 < 1 (1 ) 2 ; (1 f 2 ) 1 s f 2 (1 f 2 ) 1 s f 2 als 1 (1 ) 2 f 2 < 1; s = 0 als f 2 = 1. Mek op da voo de binomiale kapialen geld da elke opimale inze een binomiale inze is. Figuu 12 beva deze oegesande gebieden voo een opimale inze s 2 (f 2 ) voo = 1/3. He vewache nu onde deze inzeen wod gegeven doo: 41

43 Figuu 12: Opimale inzeen voo = 2 en = 1/3 U(f 2, 2) = 0 als 0 f 2 < 1 4 ; w 2 als 1 4 f 2 < 1 2 ; w als 1 2 f 2 < 3 4 ; 1 (1 w) 2 als 3 4 f 2 < 1; 1 als f 2 = 1. Di is hezelfde esulaa als da van hoofdsuk 4.2 voo nog wee spellen e gaan me = 1/2. Figuu 13 beva de vewache nusfuncie voo = 2 en = 1/3. He vewache nu voo de binomiale kapialen kan voo = 2 dus wee in de vom U(f 2, 2) = F (k 1 2, 1 w) + q P (k 2, 1 w) = Q(f 2, 2) (6.5) gescheven woden. 6.4 Nusvewaching en opimale inzeen Selling 5.7 en 5.8 kunnen nu voo algemene waaden van gefomuleed woden. Houd bij he vinden van genzen voo een opimale inze ekening me de faco (1 )/. Zoals ook bij de uiweking van opimale inzeen bij = 2 is gedaan. Ga daanaas ui van w >, zoda we een gunsig spel beschouwen. 42

44 Figuu 13: Opimale inzeen voo = 2 en = 1/3. Selling 6.1. Laa w > en Q(f, ) gedefinieed als in definiie 6.1. Voo f binomiaal geld dan me nog spellen e gaan: 1. U(f, ) = Q(f, ) 2. s (f ) is een opimale inze dan en slechs dan als: (a) s (f ) is binomiaal; { } (b) s (f ) max f F (k 1 1, 1 ), 1 (F (k 1 1, 1 ) f ) ; { } (c) s (f ) min f F (k 2 1, 1 ), 1 (F (k 1, 1 ) f ). Bewijs. De sappen die in he bewijs woden gemaak volgen de gemaake sappen van he bewijs van Theoem 1 en Theoem 2 ui he aikel van Kulldoff [2]. De volledige uiweking van he bewijs is e vinden in de bijlagen. He bewijs volg ui inducie naa. De selling is waa voo = 1. Dus neem aan da he waa is voo 1. De volge sap in he bewijs is dan om e laen zien da onde de inducieveondeselling geld: ( U(f, ) (1 w)q(f s, 1) + wq f + 1 ) s, 1 = Q(f, ), waabij s de minimale inze ui de selling is. Deze inze is binomiaal. E wod ondescheid gemaak ussen de gevallen q < k/ en q k/. Daana laen we zien da U(f, ) Q(f, ) geld doo de nusfuncie u (f 0 ) = f 0 e beschouwen, en de funcie E s als volg e definiëen: ( E s (f, ) = (1 w)u (f s, 1) + wu f + 1 ) s, 1. 43

45 Dan geld voo he vewache nu: U (f, ) = max E s (f, ). s Onde een binomiale saegie eindig je na he spelen van he laase spel alijd op nul of één, onde deze saegie geld dan dus u(f 0 ) = u (f 0 ). Hieui volg: U(f, ) = U (f, ) = max E s (f, ). s Doo de afgeleide van E s gelijk e sellen aan nul blijk da E s maximaal is onde inzeen die voldoen aan de eisen ui de selling. En dus: E s (f, ) Q(f, ). Hieui volg U(f, ) Q(f, ) en dus: U(f, ) = Q(f, ) Nu hebben we voo elke < w een expliciee uidukking voo U(f, ) op de binomiale kapialen. He volgen van deze saegie voo binomiale kapialen maximalisee de kans op he beeiken van he doel. Figuu 14 beva U(f, ) als sapfuncie op de binomiale kapialen. Mek op da U(f, ) dan gegeven wod doo: ( ) U(f, ) = F (k 1, 1 w) + q P (k, 1 w), (6.6) k waabij x he goose gehele geal n geef waavoo geld: n x. He bewijs van beweing (6.6) zal nie mee in di veslag gegeven woden. De Malab-code die gebuik is bij he geneeen van U(f, ) is e vinden in Bijlage A.7. 44

46 Figuu 14: U(f, ) voo = 1, 2, 3 en 4 me = 1/3.

47 7 Conclusie In he veslag is e gekeken naa een gunsig spel (w > ) in een eindig binomiaal model. We spelen seeds hezelfde spel in he casino. Pe spel zijn e wee mogelijke uikomsen, wins of velies, die onde een vase kans vookomen. De vaag is welke saegie e oegepas moe woden om gegeven een sakapiaal f en nog spellen e gaan de kans da je pofolio uieindelijk mee dan c waad is e maximaliseen. He veloop van he spel wod bescheven doo: f 1 = f + 1 s (f ) me kans w; f s (f ) me kans (1 w). We beschouwen hievoo de vewache nusfuncie onde een opimale saegie: U(f, ) en de bijbehoe inzeen s (f ). Zonde velies van algemeenheid kan e heschaald woden naa he eenheidsineval [0, 1]. De binomiale vedeling geef de kans da een uikoms, wins of velies, een bepaald aanal kee vookom. Voo F (k, p) = k ( i=0 i) p k 1 p) i zijn de volge ecusies gevonden: F (k, p) = p F (k 1 1, p) + (1 p) F (k 1, p); ( F (k 1 1, p) = 1 k ) F (k 1, p) + k F (k, p). Voo iede kapiaal f [0, 1] is e dan een geal k {0, 1,..., } e vinden zoda: F (k 1, 1 ) f < F (k, 1 ). He geal k is doo f uniek bepaald. Vede definiëen we q [0, 1) als de unieke oplossing van de vegelijking: ( ) f = F (k 1, 1 ) + q (1 ) k k. k We beschouwen ees he geval = 1/2. Doo de siuaie me nog een klein aanal spellen e spelen na e gaan is e in inzich e vekijgen in he spelveloop. Zo hoef een opimale saegie nie uniek e zijn en spelen de paiie inevallen [ n 2, n+1 ) 2 een belangijke ol. Binnen deze inevallen blijf he vewache nu onde een opimale saegie consan: ( n ) U(f, ) = U 2,, me n = 2 f. Deze oosepunen noemen we de binaie kapialen, di zijn de kapialen waavoo geld: q ( k) N. He vewache nu onde een 46

- 1 - Vaststelling van de methodiek voor de rentetermijnstructuur

- 1 - Vaststelling van de methodiek voor de rentetermijnstructuur - - Vasselling mehode eneemijnsucuu Vasselling van de mehodiek voo de eneemijnsucuu Hiebij maak DNB bekend da DNB de nominale eneemijnsucuu voo he FTK wil consueen op basis van de swapcuve. Deze eneemijnsucuu

Nadere informatie

Quest for growth Privak, beleggingsvennootschap met vast kapitaal naar Belgisch Recht

Quest for growth Privak, beleggingsvennootschap met vast kapitaal naar Belgisch Recht Pesmededeling Leuven / 22 januai 2015 / 17u40 Geeglemeneede infomaie. Deze pesmededeling beva infomaie waaop de Euopese anspaanieegelgeving voo beusgenoeede bedijven van oepassing is. Ques fo gowh Pivak,

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1 Overzich Inleiding Classificaie NP compleeheid Algorime van Johnson Oplossing via TSP Newerkalgorime Job shop scheduling 1 Inleiding Gegeven zijn Machines: M 1,,..., M m Taken: T 1, T 2,... T n Per aak

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0

Nadere informatie

2.4 Oppervlaktemethode

2.4 Oppervlaktemethode 2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de

Nadere informatie

WERKCOLLEGE 1. 1.A Vrije val. 1.B Centrale botsing. Basketbal (toets oktober 2000)

WERKCOLLEGE 1. 1.A Vrije val. 1.B Centrale botsing. Basketbal (toets oktober 2000) Uiwekinen Wekcollee WERKCOLLEGE.A Vije al De ije al is een ewein an assapunen in de uu an he aadoppelak. Inloeden an de luch (wijin, wind) woden ewaaloosd. a) Sel de eweinseelijkin op oo een deelje in

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correcievoorschrif VWO 009 ijdvak wiskunde A, He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor

Nadere informatie

Het wiskunde B1,2-examen

Het wiskunde B1,2-examen Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2015

Correctievoorschrift VWO 2015 Correcievoorschrif VWO 205 ijdvak wiskunde C (pilo) He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Het Informatieportaal voor Financiële Veiligheid. De 4 bedreigingen voor je spaargeld vandaag

Het Informatieportaal voor Financiële Veiligheid. De 4 bedreigingen voor je spaargeld vandaag Het Infomatiepotaal voo Financiële Veiligheid De 4 bedeigingen voo je spaageld vandaag Veval van de systeembanken Veval van de systeembanken De Vie gote Bedeigingen 1. Veval van de systeembanken 2. 3.

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden 6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel

Nadere informatie

Belasting en schenken 2013

Belasting en schenken 2013 Belasing en schenken 2013 Krijg u een schenking? Dan moe u misschien schenkbelasing bealen. Doe u een schenking? Dan kun u die schenking mogelijk als gif van de belasing afrekken. In deze brochure lees

Nadere informatie

Een nieuw model voor de CBS huishoudensprognose

Een nieuw model voor de CBS huishoudensprognose Een nieuw model voo de CBS huishoudenspognose Coen van Duin en Cael Hamsen Het model waamee het CBS zijn huishoudenspognose maakt, is aangepast. De nieuwe pognose wodt beekend met een macosimulatiemodel

Nadere informatie

Visualisatie van het Objectgeoriënteerde Paradigma. Arend Rensink Faculteit der Informatica, Universiteit Twente e-mail: rensink@cs.utwente.

Visualisatie van het Objectgeoriënteerde Paradigma. Arend Rensink Faculteit der Informatica, Universiteit Twente e-mail: rensink@cs.utwente. Visualisatie van het Objectgeoiënteede Paadigma. Aend Rensink Faculteit de Infomatica, Univesiteit Twente e-mail: ensink@cs.utwente.nl Samenvatting Pogammeeondewijs maakt een wezenlijk deel uit van elke

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correcievoorschrif VWO 04 ijdvak nauurkunde He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

haarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John

haarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John Complexiei onder conrole, kosen inzichelijk? Naar een diensbare Gezien de populariei van is he goed eens erug e gaan naar de basis en e kijken naar wa SOA eigenlijk is, wa de redenen zijn om he in e voeren,

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor

Nadere informatie

Bijlage 3: Budgetbrief. Bureau Jeugdzorg Noord-Brabant. Postbus 891. 5600 AW Eindhoven. t.a.v. mevrouw H.F. van Breugel. Bergen op Zoom, 25 juni 2014

Bijlage 3: Budgetbrief. Bureau Jeugdzorg Noord-Brabant. Postbus 891. 5600 AW Eindhoven. t.a.v. mevrouw H.F. van Breugel. Bergen op Zoom, 25 juni 2014 -CONCEPT Bijlage 3: Budgetbief Bueau Jeugdzog Nood-Babant Postbus 891 5600 AW Eindhoven t.a.v. mevouw H.F. van Beugel Begen op Zoom, 25 juni 2014 Geachte mevouw van Beugel, Confom de afspaken in de "Babantbede

Nadere informatie

Belasting en schenken 2012

Belasting en schenken 2012 Belasing en schenken 2012 Krijg u een schenking? Dan moe u misschien schenkbelasing bealen. Doe u een schenking? Dan kun u die schenking mogelijk als gif van de belasing afrekken. In deze brochure lees

Nadere informatie

9. Matrices en vectoren

9. Matrices en vectoren Computealgeba met Maxima 9. Matices en vectoen 9.1. Vectoen In Maxima is een vecto een datatype bestaande uit een geodende lijst (ij) van gelijksootige elementen welke via een index kunnen woden geselecteed.

Nadere informatie

Examenprogramma natuurkunde vwo

Examenprogramma natuurkunde vwo Examenpogamma nauukunde vwo He edexamen He edexamen besaa ui he cenaal examen en he schoolexamen. He examenpogamma besaa ui de volgende domeen: Dome A Vaadigheden Dome B Elekiciei en magneisme Dome C Mechanica

Nadere informatie

Wat is een training? Het doel van een trainingssessie is om met het team en de spelers vastgestelde doelstellingen te bereiken.

Wat is een training? Het doel van een trainingssessie is om met het team en de spelers vastgestelde doelstellingen te bereiken. Wa is een raining? He doel van een rainingssessie is om me he eam en de spelers vasgeselde doelsellingen e bereiken. De doelselling van de raining bepaal de inhoud van de rainingssessie. De keuze van de

Nadere informatie

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS Stichting AIM gevestigd te Eist Rappot inzake de jaastukken 2014 Vendelie4 Postbus 622 3900 AP Veenendaal T: (0318) 618666 veenendaal@schuiteman.com Schuiteman Accountants

Nadere informatie

Kun je me de kortste weg vertellen?

Kun je me de kortste weg vertellen? Kun je me de kotste weg vetellen? Inhoudsopgave 1 Gafen 2 1.1 Wat is een gaaf?........................... 2 1.2 Opgaven................................ 4 2 Kotste bomen 6 2.1 Het 'Geedy' lgoitme.......................

Nadere informatie

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS Behorende bij de Bacheloropdrach HS Door: Julia Berkhou Lena Jezuia Sephen Willink Begeleider: Prof.dr. A.A. Soorvogel Daum: 17 juni 2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Achergrondinformaie 3 2.1 He geij.................................

Nadere informatie

GEBRUIKSAANWIJZING. Binnenunit voor lucht-waterwarmtepompsysteem EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1

GEBRUIKSAANWIJZING. Binnenunit voor lucht-waterwarmtepompsysteem EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 GEBRUIKSAANWIJZING Binnenuni voor luch-waerwarmepompsyseem en opies EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 EKHBRD011ACV1 EKHBRD014ACV1 EKHBRD016ACV1 EKHBRD011ACY1

Nadere informatie

Tuinstijlen. Tuinstijlen. Het ontstaan van tuinstijlen. Formele tuinstijl. Informele tuinstijl. Moderne tijd

Tuinstijlen. Tuinstijlen. Het ontstaan van tuinstijlen. Formele tuinstijl. Informele tuinstijl. Moderne tijd Tuinsijlen Tuinsijlen He aanleggen van een uin word voorafgegaan door he maken van een uinonwerp. Om de uin o een geheel e maken moe u in he onwerp rekening houden me een bepaalde uinsijl. Door allerlei

Nadere informatie

TECHNISCHE VRAGEN RAAD bij JAARVERSLAG EN JAARREKENING 2015

TECHNISCHE VRAGEN RAAD bij JAARVERSLAG EN JAARREKENING 2015 TECHNISCHE VRAGEN RAAD bij JAARVERSLAG EN JAARREKENING 2015 Indienen uitelijk dinsdag 14 juni 2016 bij giffie@eindhoven.nl n Patij Blz Beleidsveld Secto Wethoude Vaag Antwood 50 PvdA 10 Sociale Ondesteuni

Nadere informatie

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten Canonpercenages He vassellen van canonpercenages bij de herziening van erfpachconracen Juli 23 SBV School of Real Esae Drs. L.B. Uienbogaard Drs. J.P. Traudes Inhoud Blz. 1. Inleiding... 3 2. Toeliching

Nadere informatie

elektriciteit voor 5TSO

elektriciteit voor 5TSO e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je

Nadere informatie

t Ik bekijk de plaatjes, de titel en de tussenkopjes.

t Ik bekijk de plaatjes, de titel en de tussenkopjes. 2.1 LWB 7A-20 Les: Geen vis INFORMATIE Leeseks Teks 1: informaieve eks over walvissen. Teks 1: oud AVI 9; nieuw AVI M6. Zie ook sofware. Cenrale sraegie/leerdoel Teks inerpreeren: je bedenk de hoofdvraag

Nadere informatie

Toelichting Hoe gebruikt u deze toelichting? Correspondentieadres Wat is een schenking? Voor meer ontvangers samen aangifte doen

Toelichting Hoe gebruikt u deze toelichting? Correspondentieadres Wat is een schenking? Voor meer ontvangers samen aangifte doen 2011 Toeliching Aangife schenkbelasing Di is een oeliching bij he formulier Aangife schenkbelasing. Deze oeliching besaa ui vier onderdelen: A Algemene informaie over de schenkbelasing B Uileg bij de vragen

Nadere informatie

digitale signaalverwerking

digitale signaalverwerking digiale signaalverwerking deel 2: sampling en digiale filerechniek Hoewel we de vorige keer reeds over he samplen van signalen gesproken hebben, komen we daar nu op erug, om de ermee samenhangende effecen

Nadere informatie

Gevoeligheidsanalyse transportparameters

Gevoeligheidsanalyse transportparameters Gevoeligheidsanalyse tanspotpaametes voo de ondegond Woute Kaeman Ed Veling Het model PROFCD (PROFile Convection-Diusion) is doo Veling (1993) gescheven om snel een inschatting te kunnen maken van het

Nadere informatie

Standaarden Verpleeghuiszorg

Standaarden Verpleeghuiszorg Standaaden Vepleeghuiszog Vesie septembe 2010 Mw. E. Cox, MA, NVLF Mw. ds. C. Koolhaas, NVLF Mw. A. van Hemet, MA, NVLF 1 Inhoud 1..Inleiding...3 1.1 Doel standaaden en checklisten...3 1.2 De logopedist

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven 12345 Aanvullende oeliching bij aangife inkomsenbelasing IB 266-1T02FD (2464) Sudiekosen of andere scholingsuigaven Volgde u in een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Dan mag u de uigaven

Nadere informatie

Eenparige cirkelbeweging

Eenparige cirkelbeweging Inhoud Eenpaige cikelbeweging...2 Middelpuntzoekende kacht...4 Opgave: Looping...5 Opgave: McLaen MP4-22...6 Opgave: Baanwielennen (tack acing)...8 Gavitatie...8 Zwaate-enegie...9 Opgave: Satellietbanen...10

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Rust en beweging

Hoofdstuk 1: Rust en beweging Hoofdsuk 1: Rus en beweging 1.1 Rus en beweging zijn relaief Ten opziche van he vlieguig is de passagier in................................................ Ten opziche van he aardoppervlak is he vlieguig

Nadere informatie

Centraal Bureau voor de Statistiek

Centraal Bureau voor de Statistiek Centaal Bueau voo de Statitiek Economie, Bedijven en NR Oveheidfinanciën en Conumentenpijzen Potbu 24500 2490 HA Den Haag PRJSNDEXCJFER COMMERCËLE DENSTVERLENNG 1. nleiding Dit document bechijft de methoden

Nadere informatie

www.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde

www.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde Voor een profielwerksuk over de aarde www.aarde nu In opdrach van: Vrije Universiei Amserdam Universiei van Amserdam Technische Universiei Delf Universiei Urech Wageningen Universiei Teksen: Gerard Heijmeriks

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/11

C. von Schwartzenberg 1/11 G&R havo A deel C von Schwarzenberg 1/11 1a m 18:00 uur He verbruik was oen ongeveer 1150 kwh 1b Minimaal ongeveer 7750 kwh (100%), maimaal ongeveer 1150 kwh (145,%) Een oename van ongeveer 45,% 1c 1d

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven Bij voorlopige aanslag inkomsenbelasing 2013 IB 275-1T31FD Volg u in 2013 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVC-procedure (Erkenning Verworven Compeenies)?

Nadere informatie

Tilburg University. Reclame-uitgaven in Nederland de Blok, J. Document version: Publisher final version (usually the publisher pdf)

Tilburg University. Reclame-uitgaven in Nederland de Blok, J. Document version: Publisher final version (usually the publisher pdf) Tilbug Univesity Reclame-uitgaven in edeland de Blok, J Document vesion: Publishe final vesion (usually the publishe pdf) Publication date: 1970 Link to publication Citation fo published vesion (APA):

Nadere informatie

Uw auto in 3 simpele stappen

Uw auto in 3 simpele stappen Uw auo in 3 simpele sappen 1 Als financieringsmaaschappij van Fia Group Auomobiles SA is Fia Financial Soluions als geen ander op de hooge van he Ialiaanse auoaanbod. Daarnaas beschik Fia Financial Soluions

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008 EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008 1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholings uitgaven

Studiekosten of andere scholings uitgaven 20 Aanvullende oeliching bij aangife inkomsenbelasing 20 Sudiekosen of andere scholings uigaven Volgde u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVCprocedure

Nadere informatie

Geen enkel lakproces is gelijk aan andere systemen.

Geen enkel lakproces is gelijk aan andere systemen. My of i l er ec hni eki n er na i ona l T : +31( 0) 481461191 E : i nf o@my ogend. c om W: www. my ogend. c om Pos a dr es Wi l l em Al e x a nder s r a a 23c 6691E EGend Geen enkel lakproces is gelijk

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: LOGISCHE SCHAKELINGEN

Hoofdstuk 2: LOGISCHE SCHAKELINGEN Hoofdsuk 2: LOGISCHE SCHKELINGEN 2.1 lgemeenheden Gedurende vele jaren sond de Digiale echniek in hoofdzaak in funcie van compuersysemen. Daarin is er de laase jaren veel verandering gekomen. Denken we

Nadere informatie

Voorwoord. Hoofdstukken:

Voorwoord. Hoofdstukken: Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend geheel Begrippen en mehoden, waarmee

Nadere informatie

Studiekosten en andere scholings uitgaven

Studiekosten en andere scholings uitgaven 20 Aanvullende oeliching bij aangife inkomsenbelasing 20 IB 266-1T12FD (2576) Sudiekosen en andere scholings uigaven Volgde u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen

Nadere informatie

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS Stichting Feedom in Chist Ministies Nedeland gevestigd te Dachten Rappot inzake de jaastukken 2014 Vendelie4 Postbus 622 3900 AP Veenendaal T: (0318) 618666 veenendaal@schuiteman.com

Nadere informatie

Bijverdiensten of opbrengsten als freelancer, gastouder, artiest of beroepssporter

Bijverdiensten of opbrengsten als freelancer, gastouder, artiest of beroepssporter bij aangife inkomsenbelasing 2014 voor buienlands belasingplichigen IB 264-1T41FD BUI Bijverdiensen of opbrengsen als Werke u in 2014 als freelancer of gasouder of had u bijverdiensen? Selde u een beziing,

Nadere informatie

- 1 - UITVOERINGSPLAN WMO BELEIDSPLAN RONDOM BURGERS 2012 2015

- 1 - UITVOERINGSPLAN WMO BELEIDSPLAN RONDOM BURGERS 2012 2015 UITVOERINGSPLAN WMO BELEIDSPLAN RONDOM BURGERS 2012 2015 De gemeente Womeland heeft een duidelijke visie op maatschappelijke ondesteuning: elke Womelande telt mee en doet mee, ongeacht leeftijd, bepekingen

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven 12345 20 Aanvullende oeliching Bij voorlopige aanslag inkomsenbelasing 20 Volg u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Dan mag u de uigaven hiervoor, zoals lesgeld en de uigaven

Nadere informatie

Studiekosten en andere scholings uitgaven

Studiekosten en andere scholings uitgaven bij aangife inkomsenbelasing 20 IB 266-1TFD (2576) Sudiekosen en andere scholings uigaven Volgde u in 20 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVCprocedure (Erkenning

Nadere informatie

Overzicht Examenstof Wiskunde A

Overzicht Examenstof Wiskunde A Oefenoes ij hoofdsuk en Overzih Examensof Wiskunde A a X min 0, X max 0, Y min 0 en Y max 000. 0 lier per minuu. Als de ank leeg is, dan is W 0, dus 00 0 0 dus 0. Na 0 minuen is de ank leeg. a Neem de

Nadere informatie

De Woordpoort. De besteksverwerker van Het Digitale Huis

De Woordpoort. De besteksverwerker van Het Digitale Huis De Woordpoor De beseksverwerker van He Digiale Huis Een STABU-beseksverwerker zonder weerga. Verfrissend eenvoudig en och me meer mogelijkheden dan welke andere beseksverwerker ook. Zeer uigebreide mogelijkheden

Nadere informatie

Bijverdiensten of inkomsten als freelancer, alfahulp, artiest of beroepssporter

Bijverdiensten of inkomsten als freelancer, alfahulp, artiest of beroepssporter bij aangife inkomsenbelasing 2012 12 U verbouwde bijvoorbeeld een pand, zoda er afzonderlijke apparemenen zijn onsaan die u verkoch of nog gaa verkopen. he voor en minse 30% zelf uivoeren van groo onderhoud

Nadere informatie

X Y e. p n+ e. X Y e. Y(stabiel)

X Y e. p n+ e. X Y e. Y(stabiel) Faculei Bèaweenschappen Ioniserende Sralen Pracicum chergrondinformaie Eigenschappen van ioniserende sraling Bij he uizenden van ioniserende sraling röngensraling en α-, β- en γ-sraling door maerie gaa

Nadere informatie

Outsourcing. in control. kracht geworden. Ad Buckens en Dennis Houtekamer

Outsourcing. in control. kracht geworden. Ad Buckens en Dennis Houtekamer IT-audi & Ousourcing in conrol Leveranciersmanagemen en hird pary reporing Via ousourcing van sandaardprocessen proberen veel organisaies hun diensverlening aan de klan e verbeeren. Om in conrol e blijven

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VWO

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VWO UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 00-I VAK: WISKUNDE A, NIVEAU: VWO EXAMEN: 00-I De uigever heef ernaar gesreefd de aueursrechen e regelen volgens de weelijke bepalingen. Degenen die

Nadere informatie

Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten

Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten Keple s eeste wet Afleiding Keple s eeste wet, op basis van Newton s wetten 1 Inleiding Johannes Keple leefde van 1571 tot 1630 en was een Duitse wiskundige. Afwijkend van wat tot die tijd gedacht wed,

Nadere informatie

Advies: Het college gaat akkoord met verzending van bijgaande RIB naar de gemeenteraad.

Advies: Het college gaat akkoord met verzending van bijgaande RIB naar de gemeenteraad. VOORSTEL AAN BURGEMEESTER EN WETHOUDERS & RAADSINFORMATIEBRIEF Van: C.P.G. Kaan Tel n: 06 8333 8358 Numme: 15A.01184 Datum: 10 novembe 2015 Team: Ondewijs, Welzijn en Zog Tekenstukken: Ja Bijlagen: 2 Afschift

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Westergracht 71 - Haarlem

Westergracht 71 - Haarlem Westegacht 71 - Haalem Vaagpijs! 349.000,-- k.k. Makelaaskantoo IDELER Omschijving Westegacht 71 - Haalem Op loopafstand van centum, uitgebouwde uime TRAPGEVELwoning met zonnige vezogde tuin, voozien van

Nadere informatie

Transparantie: van bedreiging tot businessmodel

Transparantie: van bedreiging tot businessmodel rends Impac op organisaie en informaievoorziening Transparanie: van bedreiging o businessmodel Transparanie is een rend die zowel in he bedrijfsleven als in de publieke secor langzaam maar zeker in krach

Nadere informatie

Bijverdiensten of inkomsten als freelancer, alfahulp, artiest of beroepssporter

Bijverdiensten of inkomsten als freelancer, alfahulp, artiest of beroepssporter bij aangife inkomsenbelasing 2011 11 U verbouwde bijvoorbeeld een pand, zoda er afzonderlijke apparemenen zijn onsaan die u verkoch of nog gaa verkopen. he voor en minse 30% zelf uivoeren van groo onderhoud

Nadere informatie

Privacy en cloud computing

Privacy en cloud computing legale kaders Privacy en cloud compuing Beveiliging van persoonsgegevens in de cloud E-mail leen zich goed als cloudservice. He voordeel is da de ICT-afdeling geen eigen mailserver hoef op e zeen, wa efficiëner

Nadere informatie

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia Oefeningen Elekriciei I Deel Ia Di documen beva opgaven die aansluien bij de cursuseks Elekriciei I deel Ia ui he jaarprogramma van de e kandidauur Indusrieel Ingenieur KaHo Sin-Lieven.. De elekrische

Nadere informatie

Beredeneerd aanbod groep 1 en 2

Beredeneerd aanbod groep 1 en 2 Beedeneed aanbod goep 1 en 2 Mei 2013 Inhoudsopgave Inleiding en veantwooding blz. 3 Themaplanning blz. 5 Taal / lezen / schijven blz. 9 Rekenen / wiskunde blz. 11 Weekplanning blz. 13 Zelfstandig weken

Nadere informatie

HET VERHALENFESTIVAL

HET VERHALENFESTIVAL HET VERHALENFESTIVAL KIND TUSSEN TWEE WERELDEN - VAN HUIS EN HAARD - ZATERDAG 10 SEPTEMBER 2016 JEUGDDORP DE GLIND BARNEVELD AANVANG 9:30 UUR Me: Pee Fabe, Mia Vebeelen, Ekaeina Levenal, Aie Buin, Jo Unepuy,

Nadere informatie

- gezonde dieren, gezonde mensen

- gezonde dieren, gezonde mensen pagina 1 van 8 Jaaveslag 2000 Wood van de voozitte Afgelopen jaa is voedselveiligheid een belangijk item in Euopa geweest, denk alleen maa aan de BSE-cisis. Het is dan ook niet moeilijk voo te stellen

Nadere informatie

Rekenen banken te veel voor een hypotheek?

Rekenen banken te veel voor een hypotheek? Rekenen banken e veel voor een hypoheek? J.P.A.M. Jacobs en L.A. Toolsema Me enige regelmaa word door consumenen en belangenorganisaies gesuggereerd da banken de hypoheekrene onmiddellijk naar boven aanpassen

Nadere informatie

Bijverdiensten of inkomsten als freelancer, gastouder, artiest of beroepssporter

Bijverdiensten of inkomsten als freelancer, gastouder, artiest of beroepssporter bij aangife inkomsenbelasing 2012 12 freelancer, gasouder, aries of apparemenen zijn onsaan die u verkoch of nog gaa verkopen. he voor en minse 30% zelf uivoeren van groo onderhoud of andere aanpassingen

Nadere informatie

Onrendabele top berekeningsmethodiek. M. de Noord E.J.W. van Sambeek

Onrendabele top berekeningsmethodiek. M. de Noord E.J.W. van Sambeek Augusus 2003 ECN-C--03-077 Onrendabele op berekeningsmehodiek M. de Noord E.J.W. van Sambeek Veranwoording Di rappor is geschreven in opdrach van he Miniserie van Economische Zaken onder he ECN raamwerkconrac

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Formules maken

Hoofdstuk 6 - Formules maken Hoofdsuk 6 - Formules maken ladzijde 0 V-a Formule, wan de grafiek gaa door he pun (,) 0 en formule is exponenieel. Formule heef voor x = 0 geen eekenis, erwijl de grafiek door he pun (0, 3) gaa. Formule,

Nadere informatie

12 Grafen en matrices. bladzijde 209 31 a. Gemengde opgaven 99

12 Grafen en matrices. bladzijde 209 31 a. Gemengde opgaven 99 afen en matices bladzijde a M M M M 4 emengde opgaven b M M M S M M M 4 4 P P P 5 4 4 c e R geeft P P P S 7 8 7 4 c geeft aan dat e voo één eenheid P eenheden nodig zijn c geeft aan dat voo één eenheid

Nadere informatie

Etagevloeren. Ruimte creëren doe je met Nolte Opslag Systemen. www.nolteopslagsystemen.nl

Etagevloeren. Ruimte creëren doe je met Nolte Opslag Systemen. www.nolteopslagsystemen.nl Eagevloeren Ruime creëre g Sysemen g Sysemen is gespecialiseerd in de producie en levering van Eagevloeren. Een eagevloer ook wel enresol, mezzanine, ussenvloer, verdiepingsvloer of bordes genoemd, is

Nadere informatie

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert.

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert. Cikelbewegingen Gaden adialen Zie bladzijde 135 t/m 137 Baiboek wikunde van de Caat en Boch ISBN 90-430-1156-8 Een aanade voo Sinteklaa! http://taff.cience.uva.nl/~caat/functiene.pdf Eenpaige cikelbeweging

Nadere informatie

Master data management

Master data management meadaa Maser daa Aanpak voor opzeen van maserdaa-programma De kwaliei van de oenemende hoeveelheid daa in ondernemingen is van groo belang. Om die kwaliei e waarborgen kan maser daa worden oegepas. De

Nadere informatie

nr. 833 OMBOUWSET NS 2530 De Bisschop

nr. 833 OMBOUWSET NS 2530 De Bisschop Deze bouwse beva beselnr. - 55 cabine NS 2530-5556 huif NS 2530-5558 bufferbalk open (2x) - 5559 bufferbalk dich; virine (2x) - 5560 vacuüm gevormde cabine ramen - 5561 geës rooser.b.v. venilaor op huif

Nadere informatie

Een risico- en kostengedreven aanpak voor architectuur

Een risico- en kostengedreven aanpak voor architectuur Een risico- en kosengedreven aanpak voor archiecuur Risico- en kosenmanagemen als primair businessdoel Archiecuur is e beschouwen als een discipline die gedreven word door risico s en kosen. Risico- en

Nadere informatie

Hardmetalen stiftfrezen voor ruw gebruik speciaal in gieterijen, werven en in de staalbouw

Hardmetalen stiftfrezen voor ruw gebruik speciaal in gieterijen, werven en in de staalbouw Hadmetalen stiftfezen voo uw gebuik speciaal in gieteijen, weven en in de staalbouw Hoogendementsvetandingen, -S Innovatieve hoogendementsvetandingen met exteme schokbestendigheid Zee obuuste, kachtige

Nadere informatie

collectieformules zorgt ervoor

collectieformules zorgt ervoor collectiefomules zogt evoo 2015 De Collectie-fomules bpost biedt u meedee Collectie-fomules aan. Elk van deze fomules geeft u de zekeheid om die postzegels te ontvangen die het best passen in uw vezameling.

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Era oefening ij hoofdsuk a Een goede venserinselling voor de funie f is : X min en X ma en Y min eny ma 0. Voor de funie g X min 0 en X ma 0 en Y min 0 eny ma 0. y 0 8 8 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Veriale

Nadere informatie

Ter info. a m/s² a = Δv/Δt Toetsvraag 1. v m/s v = 2πr/T Toetsvraag 4

Ter info. a m/s² a = Δv/Δt Toetsvraag 1. v m/s v = 2πr/T Toetsvraag 4 Te info Deze toets geeft je een idee van je kennis ove de begippen uit de tabel hieonde. Dit zijn de voonaamste begippen die in de leeplannen van het middelbaa ondewijs aan bod komen. Je mag de vagen oplossen

Nadere informatie

Seizoencorrectie. Marcel van Velzen, Roberto Wekker en Pim Ouwehand. Statistische Methoden (10007)

Seizoencorrectie. Marcel van Velzen, Roberto Wekker en Pim Ouwehand. Statistische Methoden (10007) 109 Seizoencorrecie Marcel van Velzen, Robero Wekker en Pim Ouwehand Saisische Mehoden (10007) Den Haag/Heerlen, 2010 Verklaring van ekens. = gegevens onbreken * = voorlopig cijfer ** = nader voorlopig

Nadere informatie

Handleiding leginstructies

Handleiding leginstructies www.alityfloos.nl Handleiding leginstcties Gaat binnenkot een hoten vloe leggen? Met de leginstcties van Qalityfloos E.W.F. heeft de jiste kennis binnen handbeeik. Is deze kls toch niet aan besteedt, of

Nadere informatie

Gemeenteraad gemeente Hardenberg Commissie Ruimte Gemeenteraad Hardenberg Gemeenteraad gemeente Ommen Commissie Ruimte Gemeenteraad Ommen

Gemeenteraad gemeente Hardenberg Commissie Ruimte Gemeenteraad Hardenberg Gemeenteraad gemeente Ommen Commissie Ruimte Gemeenteraad Ommen Aan: College van Bugemeeste & Wethoudes gemeente College van Bugemeeste & Wethoudes gemeente Gemeenteaad gemeente Hadenbeg Commissie Ruimte Gemeenteaad Hadenbeg Gemeenteaad gemeente Ommen Commissie Ruimte

Nadere informatie

Efficiënter zakendoen en innoveren met mobiele communicatie

Efficiënter zakendoen en innoveren met mobiele communicatie Whiepaper One Ne Efficiëner zakendoen en innoveren me mobiele communicaie One Ne is een complee oplossing voor hosed elefonie die kosen helder en beheersbaar maak, zorg voor eenvoud en de bereikbaarheid

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 22 Vookennis V-a aantal mannen 790 7,9 3,2 peentae 00 8 Naa vewahtin zijn 3 van deze 790 mannen kleuenlind. alle vouwen 000 00 kleuenlinde vouwen 4 0,004 0,4 V-2a V-3a 0,4% van de vouwen is kleuenlind.

Nadere informatie

Een methodische aanpak voor legacy

Een methodische aanpak voor legacy Een mehodische aanpak voor legacy Assessmens resuleren in vier mogelijke sraegieën Legacysysemen vormen een acuu probleem als onderhoud onmogelijk word door verdwijnende kennis of beëindigde onderseuning

Nadere informatie

Snelheid en richting

Snelheid en richting Snelheid en riching Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven

Nadere informatie

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen Uiwerkingen opgaven hoofdsuk 4 Opgave 1 a 4.1 Sooren sraling en sralingsbronnen Eröngenfoon = h f h f 4 = 6, 6607 10 Js 19 = 1, 9 10 Hz E = = röngenfoon 4 19 14 6, 6607 10 1,9 10 1, 59 10 J b De hoeveelheid

Nadere informatie

STICHTING HET ZELFSTANDIG GYMNASIUM STICHTING HET ZELFSTANDIG GYMNASIUM. Protocol Collegiale Visitaties

STICHTING HET ZELFSTANDIG GYMNASIUM STICHTING HET ZELFSTANDIG GYMNASIUM. Protocol Collegiale Visitaties 1 STICHTING HET ZELFSTANDIG GYMNASIUM Proocol Collegiale Visiaies Inleiding Aanleiding projec collegiale visiaie De gymnasia van de SHZG werken seeds inensiever samen aan de kwaliei van de gymnasiumopleiding,

Nadere informatie

De Creatieve Computer

De Creatieve Computer De Ceatieve Compute J.I. van Hemet jvhemet@cs.leidenuniv.nl 1 Intoductie Als we de evolutie van computes vluchtig bekijken dan zien we dat de taken die doo computes woden uitgevoed steeds ingewikkelde

Nadere informatie

lsolatieboxen met of zonder sluis?

lsolatieboxen met of zonder sluis? lsolaieboxen me of zonder sluis? Modelonderzoek naar he risico voor kruisinfecies bij verschillende bouwkundige onwerpen voor een medium-care verpleegafdeling in he Wilhelmina Kinderziekenhuis e Urech

Nadere informatie

EXTRA STOF BIJ PULSAR-CHEMIE, VWO, HOOFDSTUK 10

EXTRA STOF BIJ PULSAR-CHEMIE, VWO, HOOFDSTUK 10 exta of hemshe themodynama en hemsh evenwht VWO, shekunde 2, Huenkamp, v1b EXR SOF IJ PULSR-CHEMIE, VWO, HOOFDSUK 10 Enege en enege-effeten hebben te maken met het ontaan en de lggng van het evenwht bj

Nadere informatie