Uitwerking Tentamen Optimalisering (TW2020) Vrijdag 8 januari 2016

Transcriptie

1 Uieking Tenamen Opimalieing (TW2020) Vijdag 8 januai 2016 He enamen beaa ui 6 opgaen epeid oe 3 pagina. In oaal ijn e uen de -10 en 80 punen e edienen. Je cijfe od ekegen doo he oaal aanal behaalde punen doo 8 e delen en, indien he eulaa kleine i dan 1, di naa 1 op e hogen. Je mag bij di enamen alleen chijfgeei en een nie-gafiche ekenmachine gebuiken. Aanekeningen, boeken, gafiche ekenmachine, compue, elefoon e.d. mogen nie gebuik oden. Succe! Opgae 1 (10 punen). Bechou de ondeaande geiche gaaf D = (V, A) aain elke pijl (i, j) A een label f ij /b ij heef. Hie i f ij de huidige oom oe pijl (i, j) en b ij de maimum capaciei an de pijl (i, j). u 2/7 3/7 0/6 0/4 (a) Laa ien da dee - oom nie maimaal i, doo een goee - oom e geen. hieoo een ieaie an he Fod-Fulkeon algoime. (5 punen) Teken ee de geiche hulpgaaf. Gebuik 1

2 u 2/7 3/7 0/6 0/4 Zoek een geich --pad in de geiche hulpgaaf. He enige pad i, u,,,,,. Oe di pad kan de oom me 3 emeeded oden. Di geef de olgende goee oom: u 5/7 0/7 3/6 3/4 (b) I de goee - oom die je bij (a) geonden heb el maimaal? Beagumenee je anood. (5 punen) Teken de nieue geiche hulpgaaf. 2

3 u 5/7 0/7 3/6 3/4 Manie 1: mek op da e in de nieue geiche hulpgaaf geen geich - pad i. Du kan de oom nie ede emeeded oden. Du i de huidige oom maimaal. Manie 2: de punen die el ui beeikbaa ijn in de hulpgaaf ijn U = {, u,, }. De pijlen die U ui gaan (in de oiginele gaaf) ijn (, ), (, ). Di i een nede me capaciei 5. Du i e geen oom goe dan 5. Du i de huidige oom opimaal. Opgae 2 (10 punen). Laa G = (V, E) een gaaf ijn me lengefuncie l : E R op de lijnen. Beij da al U V en e δ(u) odanig da l(e) < l(f) f δ(u) me f e dan bea elke minimum oppannende boom oo G de lijn e. (Hie i δ(u) de eameling lijnen aaan één eindpun in U en één eindpun nie in U i.) Sel e beaa een minimum oppannende boom T die lijn e nie bea. Lijn e aan T oeoegen ceëe een uniek cicui C. Di cicui moe nog enmine één lijn ui δ(u) beaen (he i een cicui du al he U ui gaa dan moe he U ook egen ee binnen komen). Laa e een lijn an C ijn die in δ(u) i. Lijn e ui T eglaen en lijn e aan T oeoegen geef een nieue oppannende boom T. E geld l(e) < l(e ) an e δ(u). Du heef T kleinee oale lenge dan T. Di i in egenpaak me de aanname da T een minimum oppannende boom i. Opgae 3 (20 punen). Lo he olgende ILP pobleem op me de Banch & Bound mehode. Lo hiebij de LP-elaaie an he gehele pobleem op me de Simple mehode en lo LP-elaaie an deelpoblemen op me de duale Simple mehode. Geef duidelijk aan aaom akken genoeid kunnen oden. ma o.d , 2 0 1, 2 Z Lo ee de LP-elaaie op me de Simple mehode: bai b

4 bai b bai b / /8-3/ / /8-5/8 Du LP = oo 1 = en 2 = 3. Spli op in ee deelpoblemen: 1 1 en 1 2. Lo he deelpobleem oo 1 1 op me de duale Simple mehode: bai b / /8-3/ / /8-5/8 0 bai b / /8-3/ / /8 3/ / /8-5/8 0 bai b De ak 1 1 kan genoeid oden omda e een geheelallige oploing oo di deelpobleem geonden i. De boengen oo he gehele pobleem i 4 3 8, en di kan naa 4 afgeond oden omda alle doelellingcoëfficiënen geheelallig ijn. E i al een geheelallige oploing me aade 4 geonden, du kan de ak 1 2 nu ook genoeid oden. Alle akken ijn nu genoeid. Een opimale oploing i du 1 = 1, 2 = 3 me aade 4. Opgae 4 (10 punen). Bechou de ondeaande mini-udoku puel. He doel i om in elk leeg akje een cijfe ui {1, 2, 3, 4} in e ullen odanig da in elke ij, in elke kolom, en in elk an de ie 2 2 blokken elk an de ie geallen pecie één kee ookom

5 Fomulee di pobleem al een ILP pobleem. Beliingaiabelen: ijk = 1 al in de i-de ij en de j-de kolom geal k kom, en ande i ijk = 0. De ILP fomuleing od dan: ma 0 o.d.. ijk = 1 j, k {1,..., 4} i=1 ijk = 1 i, k {1,..., 4} j=1 ijk = 1 i, j {1,..., 4} k=1 i=1 j=1 i=1 j=3 i=3 j=1 i=4 j=3 ijk = 1 k {1,..., 4} ijk = 1 k {1,..., 4} ijk = 1 k {1,..., 4} ijk = 1 k {1,..., 4} 1,1,4 = 1 1,3,2 = 1 2,4,4 = 1 3,1,1 = 1 3,4,2 = 1 4,1,2 = 1 4,2,3 = 1 ijk {0, 1} i, j, k {1,..., 4} Opgae 5 (10 punen). Gegeen i Faka lemma: Selling 1. Voo elke m n mai A en eco b R m i pecie één an de olgende ee beeingen aa: (i) { R n A = b, 0} (ii) {π R m π T A 0, π T b < 0}. Gebuik Faka lemma om e beijen da oo elke m n mai A en eco b R m pecie één an de olgende ee beeingen aa i: (1) R n odanig da A b en 0; (2) π R m odanig da π T A 0, π T b < 0 en π 0. Je mag hie de eke dualieielling nie bij gebuiken. Mek op da he echil uen de beeing en Faka lemma i da e -eicie ijn i.p.. =- eicie. Voeg du lackaiabelen oe [ en pa Faka lemma oe. Ofeel, pa Faka lemma oe op mai A = [A I] en ecoen = en b ] = b. Dan eg Faka lemma da pecie één an de olgende ee beeingen aa i. (i) { R n [ A I ] [ ] = b, 0, 0} 5

6 (ii) {π R m π T [ A I ] 0, π T b < 0}. Omchijen geef: (i) { R n A + I = b, 0, 0} (ii) {π R m π T A 0, π 0, π T b < 0}. En nog a omchijen: (i) { R n A b, 0} (ii) {π R m π T A 0, π T b < 0, π 0}. Wa duidelijk equialen i aan a e e beijen a. Opgae 6 (20 punen). Geef an elk an de ondeaande beeingen aan of e TRUE (aa) of FALSE (nie aa) ijn. Voo elk coec anood kijg je 2 punen, oo elk fou anood 1 pun. Elke niebeanoode aag lee 0 punen op. Je hoef je anooden nie e moieen. (a) Al een LP pobeem nie-oegelaen i dan i he duale pobleem onbegend. FALSE. He duale pobleem kan ook nie-oegelaen ijn. (b) Al een oegelaen baioploing gedegeneeed i, dan ijn e meedee baien me baioploing. FALSE. Zie huiekopgae 2.1. De omgekeede beeing i el aa. (c) De Simple mehode i een polnomiaal algoime al Bland ani-ccling egel oden gebuik. FALSE. He i dan eindig maa nie polnomiaal. Zie college 7. (d) Al beliingpobleem Π 1 NP-moeilijk i en e beaa een educie an Π 1 naa een ande beliingpobleem Π 2, dan i Π 2 ook NP-moeilijk. TRUE (e) Al beliingpobleem Π 1 oplobaa i in polnomiale ijd i en e beaa een educie an Π 1 naa een ande beliingpobleem Π 2, dan i Π 2 ook oplobaa in polnomiale ijd. FALSE. Om e beijen da Π 2 oplobaa i in polnomiale ijd ou je een educie an Π 2 naa Π 1 moeen geen. (f) Een algoime me loopijd O(W ( V + E )) oo een pobleem me al inoe een geogen gaaf G = (V, E) me maimum geich W heef polnomiale loopijd. FALSE. De inoegooe i een funcie an V, E en log(w ) en W i eponeniëel eel goe dan log(w ). (g) He ondeaande pobleem 3-kleuing i in de klae N P. 3-kleuing Gegeen: gaaf G = (V, E). Beli: kun je aan elk pun V een kleu ui {ood, blau, goen} oeijen odanig da oo geen enkele lijn e E de ee eindpunen deelfde kleu kijgen? TRUE. Een kleuing kan dienen al ceificaa. Gegeen een kleuing kun je in polnomiale ijd conoleen of an elke lijn de ee eindpunen echillende kleuen hebben. (h) Al e een appoimaiealgoime beaa me peaiegaanie ρ = 1 oo een NP-olledig pobleem dan i P = NP. TRUE 6

7 (i) E beaa een 2-appoimaiealgoime oo he handeleiigepobleem (TSP) annee de afanden oldoen aan de diehoekongelijkheid. TRUE (j) De ondeaande mai A i oaal unimodulai A = TRUE. He i de incideniemai an een olledige bipaiee gaaf. 7