De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreidere antwoorden Hoofdstuk 4 Goniometrie

Transcriptie

1 De Wageningse Mehode & VWO wiskunde B Uigebreidere anwoorden Hoofdsuk Goniomerie Paragraaf Cirkelbewegingen a. De hooge van he wiel is de y-coördinaa van he hoogse pun van de grafiek, dus 80 cm b. De periode is de omrek van he wiel80π, cm In één omweneling van he wiel word 0,80π meer afgelegd; km/u kom overeen me 0 m/sec, dus 0,08π 0, s. a. Dan is he rad helemaal beneden, dus na H rondje en H rondje, dus na en 0 se b. m; vanaf he begin elk half rondje verder, dus na 0, 0, 0, 90, 0 se f. Vanaf 0 egen de klok in is de breede van de verdeelsrepen:,,, 0, -, -, -, -, -, 0,,,. g. 0, , - a. π m/s; keer zo snel, dus π m/s; he kogelje gaa in sec rond, als de sraal r is, dan word dus πr afgelegd in seconden, πr m/sec, dus πrπ, dus r. b. He kogelje is rond na π meer afgelegd e hebben, da duur π/π sec, dus 0 in π sec, da is 0/π 080 /s π Een rondje word in seconden afgelegd. ls er 0 km/u word afgelegd is da 0000/800B m. De sraal is B/π 0,m d. α 0 0 ; H( ,0 e. H( 0 0 f. g. Omrek rad0π meer, die afsand word in 0 sec afgelegd, 0π/0π m/s. a. b. f(00f(; f(-00f( a. -0, 0-0, 0-80, 80-0, 0-70, 90-0, 0-90, 70-00, 0-0, 0-0, 0, 0-0,0-0, 00 b. Vanaf 0 egen de klok in is de hooge van de verdeelsrepen: 0,,,,,, 0, -, -, -, -, -, 0. 7 a. π s b. Een hoek van 0, wan daarbij is de koorde gelijk aan de sraal. ; r π π π π Bπ Hπ Mπ π 9 a. π s b. eenheid/s Zo is he gedefinieerd d. De eenheden op de horizonale as. e. π 0 a. Ten opziche van de (dus horizonaal me facor uigerek. Formule is: y. b. Ten opziche van de -as (dus vericaal me facor ingekrompen. Formule is: y a. In sappen word cirkel keer doorlopen, dus T sep π ; T ma π b. De eace coördinaen zijn: (( k, ( k π, me k,,,,. π Di geef de punen: (0,09;0,9; (-0,809;0,88; (-0,809;-0,88, (0,09;-0,9; (,0 a. ( (-; y( (- Spiegelen in de horizonale as. Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk

2 a. ( ; y( Ten opziche van de -as (vericaal vermenigvuldigen me facor. a. Eenheidscirkel. b. keer zo snel, dus rad/s (,0 d. Ten opziche van de (dus horizonaal vermenigvuldigen me facor. ( a. ( Eén eenheid naar rechs schuiven. + 7 a. + Drie eenheden omhoog schuiven. 8 a. Beide middelpun (-,, sraal en hoeksnelheid eenheden/s. b. weede kogelje 0 eerse kogelje horizonale as van lenge en vericale as van lenge. b. Voor alle punen die je krijg zijn de coördinaen gelijk, dus je krijg punen op de lijn y, maar nie allemaal, wan de inus kan alleeen waarden ussen - en aannemen, dus je krijg lijnsuk me eindpunen (-,- en (,. Paragraaf Parameriseren a.,, b. y + De baan is de lijn me vergelijking y+. d. Zie e. a. De baan is de lijn me vergelijking y. 0 -as 9 a. 0, 0, π, π, π b. (, ( +, + ((-π+π, - + (-π+π (( + π, (+π ( + (-+π,+(-+π 0 a. (b,a b. (0,; ; rad/s. ω-; r; ϕπ, ab0 - De andere nie reche hoek in de driehoek is 90 α. α c a en ook (90 α c a. α c b en ook (90 α c b. π ω - - π 0, ϕπ 0 ( π + π 0 y ( π + π 0 -as a. Eenheidscirkel word me facor vericaal uigerek, je krijg een ellips me cenrum (0,0, a b c α P: + ( + π Q: y ( + π R: ( + π y + ( + π ( π a. + ( π ( π b. y + ( π Cirkel me middelpun (0, en sraal. a. De omrek van he wiel is 7π, dus een keer rond duur 7π/π sec b. + y + Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk

3 e. De periode van de beweging is π. Voor de eerse keer op de -as halverwege de eerse periode, dus als π; verder: 8π, 0π,.... Bovenin: 0, π, π,... Bij de spiraal in de ekening is r. Paragraaf Eigenschappen van us en co a. Zie plaaje: de lenge van de boog ussen en B is π, dus van naar he 'hoogse' pun 7π. Iπ, Iπ b. Qπ, Qπ Qπ+k π; Qπ+k π, me k geheel. a. ( en ( volgen ui de punsymmerie ov O. ( en ( volgen ui symmerie ov de. a., rechhoekige driehoek me rechhoekszijden, en schuine zijde. a. b. + ( of - (+π - (spiegelen in O; ( π - (een kwarslag me de klok mee draaien P Q B P Q S R ( + ( + volgens (9. 9 (+π, (+π- en (+π-, dus + (+π + (+π+ (+π + + (- + ( (+ (, volgens (9. a. Ui ( volg ( -(-+. b. ls je voor 0 neem, krijg je (- + 0, dus voor 0 klop de formule nie. ls bijvoorbeeld π, dus π+, krijg je π+-π0+00. (+π <volgens (7>(π (+π (π <volgens (>-( π π π en π π, dus π π + b. p- Volg ui (9. π + π nd , dus 0,77 en π 0,77, nd ,dus π+0,0, en π 0,0..,978 geen oplosg π,7 F π+0,,9; π 0, 9,0 -π+0, -8,8; -π 0, -,9 B C D Je kun he me plaajes doen: als (,, dan: B((+π,(+π, C((+π,(+π, D((-,(- (hulppun, E((-+π,(-+π en F((+π,(+π, dus (+π- (pun B, (+π- (pun C, (-+π (pun E en (+π - (pun F. Je kun ook de formules gebruiken, bijvoorbeeld: (+π<volgens 8>(-<volgens > -, enzovoor. 7 b. (+π - en (+π-(+π, dus +(+π+(+π+(+π0, voor elke. 8 + volgens (9 als je voor invul. E 7 nd , dus 0,79 en π 0,79,88 nd-..87, dus,87 en π,87,08 geen oplosg π, 8 a. b. 0, π, π, Bπ 9 a. π, Bπ b. π π, volgens (. π d. 0, π, π, π, π, conroleren zoals in b 0 a. π, π Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk

4 b. Dan 0 of, (vergelijk: a a a a 0 a(a 0 a0 of a, dus 0, π, π, π. a. π, π b. Dan 0 of, dus 0, π, π, π, Mπ. a. π, π b of (vergelijk: a +a 0 (a (a+0 a of a- π, Mπ Paragraaf Nee. b. (π, a. (π,; π (,, (-, ; De somformules a. q r ((π+β,(π+β; v r ((α+β,(α+β b. Volg ui (0 en (. ((α+β,(α+β α (β,β+α (-β,β (α β,α β+(α - β,α β (α β α β,α β+α β 7 a. (+π π + π + b. Vermenigvuldig beide kanen ui a me. b. α ( ; β (α+β + (α β + ( a. Vul in voor α en voor β in (, dan krijg je (. Vul in voor α en voor β in (, dan krijg je (7. b. ( +; ( a. (π +( π, dus bijvoorbeeld a, b-, c-, dπ of a, b, c en d-π (+ k π. b. + +(π, dus a, b, c- en dπ (+k π. Er zijn weer meer mogelijkheden. ( , volgens (9 en (. a. +, dus -0, b. De posiie is P. P -0,8 en y P -0,9. P a. α en βb, me behulp van + b. γ(π (α+β(α+β volgens (, en (α+β B Subsiueer -β voor β in (. Dan krijg je: (α β α -β α -β α β + α β, vanwege ( en (. Subsiueer -β voor β in (. Dan krijg je: (α β α -β + α -β α β + α β, vanwege ( en (. -as 9 ls je π voor β subsiueer in (, dan krijg je (. ls je π voor β subsiueer in (, dan krijg je (. ls je π voor α en α voor β subsiueer in (, krijg je (7. ls je π voor α en α voor β subsiueer in (, krijg je (8. ls je α voor β subsiueer in (, krijg je (9. 0 a. b. v 0; v y 0 0; op 0 is v r (0,0, dus hoekndan 0 0, en snelheid Dan is v y 0, dus, di geef he pun (80,80; snelheidsvecor(0,0. d of 8, dus 8sec; (8 0; 0m. e. v r ( 8 (0,-0, dus de snelheid is 0. Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk

5 7 a. α 0 α 0 α y, me de quoiënregel: - + y y, me de quoiënregel: - y b. 80T α T 0 T(80 α T0 T0 of T α, dus T α. (T80T α80 α α 0 α volgens (. 0 α is maimaal als α maimaal is; di is he geval als α, dus als α. Paragraaf De afgeleide van us en inus a. De snelheidsvecor is in : (0,; in B: (-,0; in C: (0,- en in D: (,0 b. Je krijg de grafiek van en van -. d. ' en ' -. a. (, -as α 0 b. Snelheidsvecor is (, ((+π,(+π ; -as volgens (0 en ( is da: (-,. u'(-00. De absolue waarde hiervan is de eerse keer 0 als voor de eerse keer, dus 0,. y, me de producregel: dan y' + of me de keinregel: u u, dan y'u y, me producregel of keingregel: u u, dan y'u -- y, me de producregel: y' + y,me de producregel: y' + + a. (α+7 (me de keringregel b. α 7 α 7 d (Opmerking: (α 7 α 7 volgens de veelvoudregel dα Formule (. a. (-, b. + De hoeksnelheid is rad/s, de sraal van de baan is, dus snelheid eenheden per s of: één rondje duur π sec, de baan is een cirkel me sraal, heef dus lenge π, dus eenh/se 7 a. De eenheidscirkel. b. De ruime ussen opvolgende punen van de baan die de GR me elkaar verbind word seeds groer vanwege he kwadraa. /π 9,, dus he kogelje draai ies meer dan 9 rondje, komdus 0 keer in he hoogse pun van de eenheidscirkel en 9 keer in he mees linkse pun. d. Snelheidsvecor(-, (-,. De grooe van (-, is,dus de snelheidsvecor heef grooe. nders: Na seconden is eenheden afgelegd, de snelheid is dan. 8 b. y0 ( +0 0 of - 0, π, π, π y' + (+ y'0 0 of - π, π, π, Mπ d. Maimale waarde voor π, minimale waarde - voor π, dus [-,] e. y'(π-, dus. 9 a. f'( en g'( b. De grafiek van de ene funcie onsaa ui de grafiek van de andere door een vericale verschuiving. De funcies verschillen een consane die je kun vinden door voor een geal in e vullen, bijvoorbeeld 0, f(00 en g(0-. De funcie f is Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk

6 dus groer voor elke, dus f( g(+, voor alle. 0 a. De helling van de lijn door O(0,0 en he pun (,. b. Da is de groeisnelheid in 0' 0 0. (0, dus, dus (. d. ; a. In he plaaje hiernaas is h een h hoogelijnsuk; h α. Oppervlake driehoek α. Voor he berekenen van de derde zijde, zie he plaaje hiernaas. α α,dus α b. α0 ; oppervlake 0 ; omrek,. d. Oppervlake n π n n nπ π. e. Omrek n π n π n n π. Rekenechniek a. π π of π πbπ b. (+ ++k π of π (++k π π +k π π +k π π +k π, dus π of π +k π of π +k π k Bπ of π+k π. di geef: 0,Bπ,π,π, π, π,π, π, π ussen 0 en π. d k π of π +k π k π, dus 0, π, π e. π ±π+k π, dus π, Bπ f. (+ ±(++k π - +k π -+k π, dus π, π g. ±+k π -k π of k π, dus 0, Bπ, π, π, π, π, π, π. h. - (+π ±(+π+k π - π+k π -π+k π, dus π, π i. π (π π π ±π+k π π+k π of Mπ+k π, dus π, Mπ j. (π π ±+k π --π+k π π+k π π, π α k. - - (π+ π+±+k π -π+k π -π+k π Hπ, Hπ l. ( (π ( π ±+k π --π+k π of -π+k π π+k Bπ of -π+k π π, Mπ, π a. ( π π+k π of π +π+k π --π+k π of π+π+k π 7π+k π of π +k π, dus 7π, 7π, π, π, π, π b. (+π ( π +π ±( π+k π --π+k π of π+k π π+k π of π+k Bπ, dus π, π, Bπ, π ( Mπ (π π ±+k π -- π+k π Bπ+k π, dus Bπ, Bπ d. -π (π π π ±π+k π - 9 π+k π of 9 π+k π, dus π, 9 π e. (+π - (π (+π π ±(+π+k π -Hπ+k π -Iπ+k π, dus Nπ, Nπ f. (π π ±+k π --π+k π of -π+k π π +k 0 π of π, dus 9 7 π, π, π, π, π, π a. + k π, π + k π b (+0 0 of - π + k π, π + k π, π + π a. k ( ( 0 π + π k d. ( 0 0 of k π, π + k π, π + π k ( + π π + π ( π π π + + b. ( ( + + Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk

7 + + ( ( + d. e. + ( π ( π ( π ( π a. ( of π + π of π + k π of k π + π k b of - π+k π of -π+k π (+π -(+π --(+π ±(+π+k π π+k π of -π+k π π+k π of -0π+k Bπ d. 0 of k π of k π of (+( 0 k π of ±π+k π. e. (+π ( π ( ( + π + k π 8 a. ( ( + ( b ( +( (+y( y (y+y(y y y y ( y ( y y y + y y, dus y (+y( y 0 Uigebreidere anwoorden De Wageningse Mehode wiskunde b & vwo Hoofdsuk 7