t-toets met één steekproef Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 t obs = s N Marjan van den Akker Tweezijdige t-toets met één steekproef

Transcriptie

1 -oe me één eekproef vergelijking van één eekproefgemiddelde me een norm (een van e voren bepaald gemiddelde probleem: σ ui populaie i nie bekend en he eekproefaanal i klein (<0 Onderzoekmehoden: Saiiek 3 meewaarden onafhankelijk en ideniek normaal verdeeld (me zelfde gemiddelde en varianie oploing: -verdelingen (vrijheidgraden pelen een rol ob Marjan van den Akker X( µ / -abel: zie boek van Wijk blz. 7 Tweezijdige -oe me één eekproef Tweezijdige -oe me één eekproef H0: µ 0 (aanal uren gamen per week H: µ 0 Beliingregel: Verwerp H0 indien ob -cri of cri ob Accepeer H0 indien -cri < ob < cri eem aan: waarden in de eekproef zijn onafhankelijk, ideniek verdeeld en normaal verdeeld Voorbeeld eekproef me 0 waarnemingen 8, 5, 8,, 3, 8, 8, 6, 5, Al H0 waar i geld: ob X ( 0 X ( 0 heef -verdeling me df9 (9 vrijheidgraden 3 4

2 Tweezijdige -oe me één eekproef Suden -verdeling α0.05 (- α/ ui abel C We willen ignificanie niveau α0.05, ofwel de kan da we H 0 verwerpen erwijl hij waar i, i 5%. 95% -α Crierium word: Kie cri zoda P( cri α.05 en P( - cri α.05 voor -verdeling me 9 vrijheidgraden, du α 0.05 aan iedere kan me abel C cri (df Of me Excel TIV(prob0.05,df9.6 (Excel doe andaard weezijdig.5% α/ -(- α/.5% α/ cri (- α/ 5 6 Tweezijdige -oe me één eekproef Eenzijdige -oe me één eekproef Bepaal oeinggrooheid: He eekproefgemiddelde.3 en µ 0, en 0 Bepaal de waarde van oeinggrooheid. X( µ ob / cri (df 9.6 du ob.3 / H 0 Acceperen!!!! H 0 : µ 0 (aanal uren gamen per week H : µ > 0 Voorbeeld eekproef me 0 waarnemingen 8, 5, 8,, 3, 8, 8, 6, 5, og eed, al H 0 waar i geld: ob 0 X( 0 X( 0 heef -verdeling me df9 (9 vrijheidgraden 7 8

3 Eenzijdige -oe me één eekproef Suden -verdeling u beliingregel van de vorm: α0.05 (- α ui abel C Verwerp H 0 indien ob cri 95% -α Accepeer H 0 indien ob < cri We willen α0.05, ofwel de kan da we H 0 verwerpen erwijl hij waar i, i 5%. Crierium word: Kie cri zoda P( cri α.05 voor -verdeling me 9 vrijheidgraden Tabel C cri (df Of me Excel TIV(prob0.,df % α cri (- α 9 0 Eenzijdige -oe me één eekproef Samenvaing Toeinggrooheid: X( µ ob / ob.3 / u ob > cri.8 H 0 verwerpen! H 0 H H 0 verwerpen Tweezijdig µµ 0 µ µ 0 <- cri of > cri Eenzijdig (rech Eenzijdig (link µµ 0 µ>µ 0 > cri µµ 0 µ<µ 0 < - cri

4 X,,,X onafhankelijk en normaal verdeeld me gemiddelde µ, varianie σ : X,,,X loopijd algorime pizza-koerier: Welke µ 0 word geaccepeerd: berouwbaarheidinerval Goed Hiogram heef `ongeveer vorm normale verdeling (hoef nie al e reng Vergelijkebare of zelfde inanie Zelfde parameer inellingen Fou Waarden gebaeerd op verchillend aanal klanen Waarden gebaeerd op verchillende parameer-inellingen H 0 : µ µ 0 word geaccepeerd in weezijdige -oe me ignificanie-niveau α (kan op ype fou dan en lech dan al µ 0 lig in he (- α* 00 % berouwbaarheidinerval 3 4 Tweezijdig berouwbaarheidinerval X( ( α,x( + ( ie (-α00% van de waarnemingen val binnen he inerval α (-α00 % berouwbaarheidinerval, bijv α 0.05 µ val binnen he inerval me kan -α, (- α/ ui aiiche abel (- α/ z α/ (normale verdeling voor groe (>0 Pag 90 vwijk mag allleen bij een groe eekproef. Berouwbaarheidinerval: voorbeeld Hoeveel uur per week beeden informaica udenen aan gamen? X S (5 9 ( % berouwbaarheidinerval: [ , Suden Marcel 8 Thoma 4 Wouer 4 Seven Pakwi 8 ] [7.8,4.7] Aanal uren gamen p week 5 6

5 Sappenplan oeen. Hypohee formuleren. Uigangpunen en keuze oeechniek (bijv eenzijdige - oe 3. Significanieniveau α en beliingregel bepalen 4. Toeinggrooheid uirekenen en beliing nemen 5. Evenueel berouwbaarheidinerval bepalen P-waarde ofwel ignificanie e p-waarde of ignificaie van een gegeven eekproef uikom i de kan da in de verdeling gegeven door de nulhypohee de waarde van de oeinggrooheid word behaald of overchreden Geef aan hoe exreem de waarde van de oeinggrooheid i T : oeinggrooheid, ob waarde oeinggrooheid ui eekproef : Tweezijdig : Eenzijdig : p - waarde p - waarde * P(T P(T ob ob gegeven H gegeven H P-waarde ofwel ignificanie P-waarde ofwel ignificanie: voorbeeld Hoe kleiner de p-waarde hoe exremer de uikom P-waarde kleiner dan gegeven gren (bijv 5% dan ignificane uikom ofwel ignifican verchil me H 0 du H 0 word verworpen Tweezijdige -oe aanal uren gamen per week UU informaica udenen Hypohee H 0 : µ0 Alernaieve hypohee H : µ 0 Voorbeeld eekproef 8, 5, 8,, 3, 8, 8, 6, 5, ob.3 / Mbv Excel TIST(.99, df9,ail > 0.05 du geen ignificane afwijking van H 0 9 0

6 Suden -verdeling -oe: 3 ooren onderzoekvraagellingen p-waarde/ -.99 p-waarde p-waarde/ ob.99. -oe me een eekproef. -oe voor wee onafhankelijke eekproeven Een onderzoeker wil ween of er inelligenieverchillen beaan uen kinderen van he plaeland en kinderen ui de groe eden. Hij neem een willekeurige eekproef van 40 leerlingen van plaelandcholen en een willekeurige eekproef van 00 even oude leerlingen van cholen ui de groe eden. Voor plaelandkinderen blijk di e zijn en voor adkinderen 06. Wij di op een meer-dan-oevallig verchil? -oe: 3 ooren onderzoekvraagellingen -oe me wee onafhankelijke eekproeven: voorbeelden 3. T-oe me gepaarde meingen (paired - e 30 zware roker worden aan een rainingprogramma onderworpen om van he roken af e komen, Vóór de raining rooken zij gemiddeld 36 igareen per dag; één maand na de raining rooken dezelfde roker gemiddeld 8 igareen per dag. I di verchil groo genoeg om e mogen zeggen da he rainingprogramma effec heef? Beaa er een (ignifican verchil uen bachelor udenen Informaica en maerudenen COSC wa beref leefijd? Zijn vrouwen meer bezorgd over hun veiligheid dan mannen? (zie v Wijk 7. I er een (ignifican verchil uen uiwonende en huiwonende udenen Informaica wa beref he geld da zij e beeden hebben? I er verchil een ignifican verchil in loopijd van he forcedireced graph algorime uen grafen me 00 punen en 00 kanen die Biparie zijn en grafen me 00 punen en 00 kanen die nie biparie zijn. 3 4

7 -oe me wee onafhankelijke eekproeven We meen één afhankelijke inerval of raio variabele wee (onafhankelijke groepen -e ofewel wee onafhankelijke eekproeven X, X,..,X X, X,..,X Aanname: Afhankelijke variabele (meereulaen normaal verdeeld Gelijke varianie (nie ric: klop meeal wel me even groe eekproeven H 0 : µ µ ook wel µ - µ 0 vrijheidgraden: + - In Excel: -Te: Two-Sample Auming Equal Variance -oe me wee onafhankelijke eekproeven Onder aanname van H 0 : µ µ Toeinggrooheid: ( X µ ( X µ XX en, X X X XX X X + me `pooled variance' X X X X X eekproef varianie ( + ui - verdeling df + + X ( Verder analoog aan -oe me een eekproef 5 6 -oe me wee onafhankelijke eekproeven Voorpellende waarde van de onafhankelijke variable: verklaarde varianie (-α% berouwbaarheidinerval: [( X X ( df α,( X X + ( df ] X X α X X bij onafhankelijke meingen: percenage verklaarde varianie Hoeveel van de verchillen in de core op de afhankelijke variabele word verklaard doorda ze ui een verchillende groep afkomig zijn? Percenage Verklaarde Varianie ω *00 ω max( ( ob ( ob + +,0 7 8

8 Inerpreaie verklaarde varianie T-oe voor gepaarde meingen Vuiregel: een verklaarde varianie van meer dan % i een zwak effec meer dan 5% een maig effec meer dan 0% een erk effec Roken 30 roker na een inenief rainingprogramma ignifican minder? Liever een hoelarrangemen of een bungalowarrangemen? (zie v Wijk 7. Convergeer he force-direc graph algorime bij parameer ( A,u A,r A langzamer of neller dan bij ( B,u B,r B? 9 30 T-oe voor gepaarde meingen: voorbeelduiwerking T-oe voor gepaarde meingen: voorbeelduiwerking Paren van obervaie: bijv. 4 egrafen me 00 punen Run op elk van de egrafen he force-direc graph algorime bij parameer ( A,u A,r A en me ( B,u B,r B Voor elke graaf X he aanal ieraie bij ( A,u A,r A en X he aanal ieraie bij ( B,u B,r B eem aan X en X `ongeveer normaal verdeeld Voor ieder paar waarnemingen bereken je de verchilcore X -X Verder werken me al bij de -oe me een eekproef me hypohee H 0 : 0 Toeinggrooheid: We ellen een ignificanieniveau van α.0 Sel je vind ob 3 ob (( B,u B,r B leverde gemiddeld 3 méér ieraie op dan ( A,u A,r A Sel je vind een andaardafwijking van 5 u

9 T-oe voor gepaarde meingen: voorbeelduiwerking Beliingregel: Verwerp H 0 indien ob - cri of cri ob Accepeer H 0 indien - cri < ob < cri Crierium: Tweezijdige oeing; α.0; me abel cri (df ob Waarde oeinggrooheid: ob Concluie: verwerp H 0 wan ob - cri : Er i een ignifican verchil uen de wee parameer-inellingen We zien ( B,u B,r B lever méér ieraie op dan ( A,u A,r A Voorpellende waarde van de onafhankelijke variabele: conienie van he effec bij gepaarde meingen: H 0 verworpen du verchil in bepaalde riching Mogen we nu ook zeggen da enmine 50% van de proefperonen/e inanie een verchil in de riching van he effec zal laen zien conienie van effec Aanal gepaarde meingen me he effec waarop je mag zeggen da meer dan 50% van de proefperonen/e inanie in de riching van he effec zal coren Bij α.05.0 Minimale aanal 0.5( Minimale aanal 0.5( Voorbeeld T-oe voor gepaarde meingen: de formule We zien ( B,u B,r B lever méér ieraie op dan ( A,u A,r A minimale aanal Al enmine 9 van de egrafen meer ieraie nodig heef bij ( B,u B,r B dan bij ( A,u A,r A dan mogen we concluderen da in he algemeen di bij enmine de helf van de grafen he geval zal zijn. ob Onder aanname van H 0 : i: ob 0 formule voor (-α% berouwbaarheidinerval [ (df α, ob + (df α ] ob df X X 35 36

10 Wa al eekproef-waarnemingen nie normaal verdeeld zijn? Chi-kwadraa oe T-oe i een parameriche oe. Gebaeerd op aanname da eekproefwaarnemingen normaal verdeeld zijn.. eem he gemiddelde van een aanal waarnemingen. i i normaal verdeeld volgen Cenrale Limieelling. Bijv de gemiddelde loopijd van 0 rear van Simulaed Annealing Me een Chi (Χ oe ga je na hoe waarchijnlijk he i da verhoudingmaen aan bepaalde verwachingen of voorwaarden voldoen goodne-of-fi, mulidimenionaal Geen aanname vooraf op bepaalde verdeling. Wilcoxon igned-rank e hp://en.wikipedia.org/wiki/wilcoxon_igned-rank_e i i een nie parameriche e (geen aanname op de verdeling van de eekproefwaarnemingen Enquee reulaa Forcedireced graph-drawing: He geekende plaaje i. Erg lelijk. Lelijk 3. OK 4. Mooi 5. Erg mooi Verwache waardering:. 0%. 0% 3. 0% % % Voorbeeld Voorbeeld: eekproef 30, K mogelijke uikomwaarden H 0 : reulaen komen overeen me de verwache waardering Geoberveerde 6 0 frequenie O i Verwache frequenie E i oeinggrooheid : Χ i ( Oi Ei E K aanal mogelijke uikomwaarden K i 39 40

11 Χ volg chi-kwadraa verdeling me dfk- vrijheidgraden Voorwaarden voor een Χ oe Χ (df α Significanie-niveau α Accepeer H 0 al Χ Χ α (df Voorbeeld : α 0.05 Χ X ( df X (Tabel of in Excel CHIV(0.05,4 H α acceperen ( e eekproefelemenen zijn onafhankelijk van elkaar en willekeurig gerokken Iedere obervaie kan in precie één cel van de abel worden geklaificeerd e verwache celfrequenie zijn voldoende groo, d.w.z. minder dan 0% van de cellen heef E i < 5 geen enkele cel heef E i < 4 4 Kruiabel voorbeeld voorkeur Spelcompuer Man Vrouw Kind Xbox PlaySaion Wii Chi-kwadraa-oe onafhankelijkheid in kruiabel H 0 : Elke groep (man, vrouw, kind heef dezelfde verdeling van voorkeuren over de verchillende pelcompuer, du voorkeur i onafhankelijk van de groep H : bij minen een van de groepen i de verdeling ander. R: aanal rijen en C: aanal kolommen Man Vrouw Kind Xbox O O O 3 O. PlaySaion O O O 3 O. Wii O 3 O 3 O 33 O 3. O. O. O.3 ( Oi. * O. j Eij ( O ij Eij Χ E i, j ij df (R -(C