Aanvullingen van de Wiskunde

Transcriptie

1 de Bachelor EIT Academiejaar -4 se semeser 8 januari 4 Aanvullingen van de Wiskunde. Gegeven een homogene lineaire parile differeniaalvergelijking van eerse orde: a x,, x n u x a n x,, x n u x n. a Wa is he geassocieerde differeniaalselsel aan deze vergelijking? b Toon da een eerse inegraal van he geassocieerde selsel aanleiding geef o een oplosg van. c Hoe kan een nie-homogene lineaire pariële differeniaalvergelijking van eerse orde a x,, x n u x a n x,, x n u x n bx,..., x n gereduceerd worden o een homogene lineaire parile differeniaalvergelijking van eerse orde?. Gegeven zijn wee normen en op een vecorruime V. Wanneer zeg men da de fijner is dan? Wa is dan he verband ussen convergenie in -norm en in -norm?. Geef de definiie van een kwadraisch sommeerbare rij. Gegeven zijn wee kwadraisch sommeerbare rijen a en b. Toon aan da de reeks a k b k k absoluu convergen is. Toon dan aan da de som a b kwadraisch sommeerbaar is. Tijd: uur minuen; Vraag : punen; vragen,en : 5 punen. Di examen el mee voor 5 % van he oaal.

2 de Bachelor EIT / Fsica Academiejaar -4 se ziijd 8 januari 4 Oefeningen Aanvullingen van de Wiskunde. Bepaal van de pariële differeniaalvergelijking: me p z x Hin: a b ac bc x z p xq xz z en q, he inegraaloppervlak da gaa door de kromme k me vergelijking: x z z.. Los de eendimensionale golfvergelijking op me behulp van scheiding der veranderlijken. u x u c voor < x <, > en golfsnelheid c en de randvoorwaarden ux, x x u x, 9 u, u,. Beschouw de funcie cos / die langs onder afgekap word, m.a.w. f max, cos /. Di word gebruik in de draadloze communicaie om de efficiënie van een vermogenverserker e bepalen. f π π π π Bereken dan de Fourier reeks van f. Kan je ies verellen over de convergenie van je onwikkelde reeks? Herinner da α ± β α cos β ± cos α β. Andere rigonomerische idenieien kan je zelf afleiden aan de hand van complexe analse. Tijd: uur minuen; Vraag en : 5 punen; vragen : punen. Di examen el mee voor 5 % van he oaal.

3 Anwoorden Vraag Differeniaalvergelijking: Homogene vergelijking: Geassocieerd selsel: Eerse inegralen: d x dz xz x z p xq xz. x z Ψ x x Ψ dx x z d x dz xz. xz Ψ z. z c a b c d a b c d ae be cf df ae cf be df x dx xx z d x z dz x dx d z dz d xz xx z x }} dx z x z d x z c Verband ussen c en c : c c z x z c z z c c x z z c c Oplosg: z x z x z z.

4 Vraag u x u c voor < x <, > en golfsnelheid c. De randvoorwaarden zijn ux, x x u x, 9 u, u, ux, XxT ẌT 4 X T Ẍ X T 4 T λ Als we scheiding van de veranderlijken oepassen op de golfvergelijking krijgen we Ẍ λx T λt XxT x x Xx T 9 XT X XT X He X probleem We hebben wee mooie eenvoudige randvoorwaarden voor Xx: Ẍ λx X X λ Ẍ Xx Ax B X B X A A B We vinden alleen de riviale nuloplosg, dus λ is geen eigenwaarde.

5 λ > De karakerisieke vergelijking is D λ, of D ± λ Xx A cosh λx B h λx X A X A cosh λ B h λ A B We vinden alleen de riviale nuloplosg, dus λ > is geen eigenwaarde. λ < De karakerisieke vergelijking is D λ, of D ±i λ Xx A cos λx B λx X A X B λ λl nπ We vinden dus de volgende posiieve eigenwaarden en de bijhorende eigenfuncies λ n n π X n x nπx waarbij n N en n He overblijvend T probleem Nu we de eigenwaarden λ n hebben gevonden, moeen we nog de bijhorende eigenfuncies in vinden. T n π c T 4n π T We vullen nu de posiieve eigenwaarden λ n in de differeniaalvergelijking voor T in, en vinden zo Oplosg λ n n π T n A n cosnπ B n nπ ux, Xx T n [ ] nπx A n cosnπ B n nπ De onbekende coëfficiënen bepalen we via de overblijvende randvoorwaarde op ijdsip en de orhogonaliei van de eigenfuncies over [, ]. ux, x x A n nπx n

6 Di is een us-reeks, waarvan we de coëfficiënen A n kunnen berekenen door x x nπx A n dx x x nπx dx cos nπx nπx [ x x ] cos nπx cos nπx x nπ nπ [ x nπx ] dx x cos nπx nπ / dx [ nπx x n π [ cos nπx 4 n π ] nπ ] nπx dx n π 4 n π cos nπ 4 n π n We kunnen dus een onderscheid maken ussen de even en oneven n A even A n 8 A oneven A n n π De weede randvoorwaarde laa ons de overgebleven B n berekenen. u x, 9 B n nπ nπx n Di is weer een us-reeks nπb n 9 nπx nπx dx [ ] 9 cosnπx nπ / B n 8 n π cos nπ 8 n π n B even B n 6 B oneven B n n π De volledige oplosg voor he geselde warmeprobleem is dus ux, [ ] 8 6 nπx cosn π n π n π n π n 4

7 Vraag F f} a a n cosn b n n n n Omda de gegeven funcie even is, zijn alle b n. a π/ cos / d π/ π d [ /] π/ π [] π π π/ π π 6 6 π π π π/ π/ a cos cos d π π cos d 4π π π 4 π π 4 π/ π/ π π 4π cos cos cos d d [ ] π/ 4 [ π 4 ] π π/ a n π/ π/ cos cos n d π π cos n d [ n n n n [ n n ] π π π/ cosncosn π/ π cos n d π ] π/ n n π/ n π n cos n d n π n π π n n π n nn n π nn n π n n n π πnn n n n π πn n n cos π cos πn π n n πn cos π cos πn π n πn πn n n n π n n n cos πn n n π n n n cos π n n π n a n π n n cos π n πn n 5

8 f π π π π a a cos π π π π a a cos a cos π π π π 4 n a n cos n π π π π Bonuspunjes e verdienen: He is nie omda de gegeven funcie is coninu is, da de Fourier reeks uniform convergeer. We zien echer wel da Fourier coëfficiënjes kwadraisch kleiner worden a n O /n. Ui de selling van Dirichle selling 5.. volg da de FR van f punsgewijs naar f convergeer; inderdaad, f is overal links- en rechs Lipshiz. De Fourier reeks convergeer echer ook uniform, en di volg essenieel ui he fei da de reeks kwadraisch sommeerbaar is. He is aan e onen da a n k n, en dan volg de uniforme convergenie ui he crierium van Weiersrass. 6