Hoofdstuk 3 - De afgeleide functie

Transcriptie

1 ladzijde 7 V-a Plo de grafiek van y = x + x +. Me al-zero vind je x 8,. Plo ook de grafiek me y = x+ 5. Me al-inerse vind je x 89, en y= g( 89, ),. V-a d Exa, wan de vergelijking is lineair. Me de rekenmahine, wan de funie is van de vierde graad. Exa, wan je kun oninden in faoren. Me de rekenmahine, wan de vergelijking eva de variaele in de worel en in de exponen. V-a 7x+ = 9 4x+ 4 x x 5, +, 45 9, = 75, +, 5, = 5, =, 4 p + 8pp p = 9 p = 5 d + = 7 = = 9 e ( A 9)( A ) A = 9 of A Je kun ook de a-formule geruiken. f ( + )( ) = of = g a, =, =, D = ( ) 4 = 4 x = + 4 = + = +, 84 of x =, 5 5 h q = + 44 = + = + 8, of q = 8, ladzijde 77 V-4a H( p) = pp ( + p ) = p + p p= Gp ( ). f( x) = x( x 8x 4) = x 8x 4x. A () = ( ) = U( n) = 5n( 9n 48n+ 4) = 45n 4n + n 4 4. gx ( ) = x( 7x 5x + 8x ) = 7x + 5x 8x + x Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v 49

2 V-5a x of x + 7 of x 4= Dus x of x = of x = 4 f( x) = x( x x 8) = x x 8x y 5 4 x d Plo y = x x 8x en y. Me al-inerse vind je x,, x 77,, x 4, 4 5 V-a Bij de dalende lijn, wan he hellingsgeal is negaief. De grafiek shuif 45 omlaag. De grafiek is een sijgende lijn door (, 5). d He sargeal is. De grafiek gaa door de punen (, ) en (, 5). De helling is 5 = 5. He funievoorshrif is nx ( )= 5x +. y V-7a = 5 = x 4 = +, = 7 f( x)= x + 7 en f ( 4) = 5, dus he pun (4, 5) lig op de grafiek van f. d y = 9 = x 5 dus y= x+ He pun (, 9) lig op de grafiek, dus 9= + en = 8. He funievoorshrif is gx ( )= x + 8. ladzijde 78 a Op ijdsip is de helling en dus is de snelheid. y = 5 = 9 m/s x 5 y = 5 = 7 m/s x d De snelheid op een epaald ijdsip. y e = 5 5 = 5 m/s x 4 5 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

3 a d e f g a Vul een aanal waarden voor in en onroleer de uikomsen in de grafiek. s = 5, 5, 5 m/s 45, 4 s, 5, 5 m/s 4, 4 s, 5, 5 m/s 4, 4 De weede. Door he inerval nog kleiner e nemen. m/s s, 5 m/s y = 4, 4 x, = 48,, dus de helling is 48. y = 4, 4, 4998, dus de helling is,5. x, ladzijde 79 4a De grafiek is symmerish in de y-as, dus x =. In de op is de helling. x 4 5 helling d De helling voor x = 7 is 7 = 4 en voor x = 5, is de helling, 5= 7. e dy = x dx 5a f ( x) = x De helling is f ( 5) = x = 7, x = en y= f( ) = 49 = 4 He pun is (, ) 4. 4 a da = p dp da dp =, 9= 5, 8 7a Een sijgende rehe lijn. De helling is in elk pun van de grafiek gelijk aan 5. s () = 5 d De grafiek is een horizonale lijn. De helling is in elke pun gelijk aan. Dus w () 8a Me de rekenmahine: y = 5x en y = nderiv( y, xx, ) vind je p 4 5 helling 4 5 W ( p) p W ( 7, ) = 7 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v 5

4 ladzijde 8 9a Zie de ael naas de opdrah. p K(p) K'(p) H(p) De helling van de grafiek van K is drie keer de funiewaarde van H. d K ( p) = p e K ( ) = f p = 75, p = 5, p = 5 of p = 5. In de punen ( 5, 5 ) en ( (, 5 5) a h() h'() funie afgeleide f(x) = x f'(x) = f(x) = x f'(x) = x f(x) = x f'(x) = x f(x) = x 4 f'(x) = 4x f(x) = x 5 f'(x) = 5x 4 g ( x) x 9 a f () r = 9r 8 da = 8 7 a De grafiek van g krijg je door die van f omhoog e shuiven me 5 eenheden. Eveneens. De helling van de grafiek van g voor x = 5, is f ( 5, ) =, 5=. d g ( x) = f ( x) = x e h ( x) = x 5 ladzijde 8 a Kolom. De helling van de grafiek van g is vijf keer zo groo als die van f. g ( x) = 5 f ( x) = 5 x= x d h ( x) = 4 x = x 5 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

5 4a f ( x) x = x 5 5 F () = 5 = 9 A ( p) = d n ( x) 5, x, 4x 4 4 5a ds = 4 = ds 5, 7 =, 5 ds = 9, a L () = B (), 5 + = 5,, 5 5,, 5 5, (, 5 5, ) Dus of, 5 5, ofwel 7, Na,7 maanden of dagen is de plank weer vierkan. L () =, 7 dus L () =, 7 B () = 5, dus ook B () =, 5 In de reee krimp he hou sneller. L () = B (), 7 = 5, en dus is 85,. ladzijde 8 7a Van o = 45 sond de passagier op de and sil. Door de ewegende and, ewoog de passagier wel en opzihe van de grond. afsand in m ijd in seonden = 5 : De andsnelheid is 5 m/s (in seonden leg de and 5 m af) De snelheid van de passagier en opzihe van de and is 5 m/s, dus is de snelheid van de passagier en opzihe van de grond = m/s. = 4 : De snelheid van de passagier en opzihe van de grond is = m/s d s () = () + p () e s () = () + p () 8a x 4 5 f(x) h ( x) = x en k ( x) = h ( ) = en k ( ) = f ( ) = 5en h ( ) + k ( ) = 5 d f ( ) = en h ( ) + k ( ) = + = e f ( x) = x + f N () 7 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v 5

6 ladzijde 8 9a f ( x) = 8x 8x H ( p), p + 7, p k ( x) = 5x + ax a Wq ( )= q q 8 en W ( q) = q 5 g ()= en g () = Op ( )= p p 8p en O ( p) = 8p p 5p 9, 75 a s( 5, ) = 9, 75 ; de gemiddelde snelheid is = 85, km/u. 5, s () = 9+ ; s () = en s ( ) = De snelheid is op eide ijdsippen gelijk aan km/u. d Op ijdsip = 5, is de snelheid he laags en edraag s (, 5) = 55, km/u. a TK( ) = 5 euro en TW( ) 5 5 euro. TO( q)= 5q TW( q) = TOq ( ) TK( q) = 5q 5, q + q 5q = 5, q + q + q d TW ( q) = 5, q + q + TW ( q) als q = of q = TW( ) = 59, 5 en TW( 4) = 59, 8 Bij fiesen is de oale wins he hoogs. a f ( x) = x en g ( x) = x x = x x x= x( x ) x of x = Plo y = x en y = nderiv( x, xx, ) Bereken me al-inerse de snijpunen. Deze zijn: x, 485 en x, ladzijde 84 4a Na ongeveer 4 seonden. Van = 7 o = 95, heef he voorwerp meer afgelegd. He voorwerp val me een gemiddelde snelheid van = 4 m/s op de grond. 5, Da is 44 km/u. 5a h () = 98, en h () = 94, De zandzak val me een snelheid van 9,4 m/s op ijdsip =. h( ) = 55, 9 meer h () = 9, , 9= 94, + = 44, Dus h () = 9, , d h () als = 8, 54 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

7 a f ( x) = x en f ( ) = a= f ( ) = y= x+ 8= 4 + = ladzijde 85 7a f () =. He raakpun P is (, ). f ( x) = x en f () = De raaklijn heef als vergelijking y= x+ = + = 4 De vergelijking van de raaklijn is y= x 4 Q is (, ) en f ( ) = y= x+ = + = 4 De vergelijking van de raaklijn in Q is y= x 4. De grafiek van f is symmerish in de y-as. 8a A ( p) = p p 5 en A ( ) = 5 De raaklijn in (,) heef als vergelijking y p p 5p= 5p p p p ( p ) p of p = He andere pun is (, 9). = 5 x. 9a =, y x, y= 9, 89x+ 9, 89 9= 9, 89 + =, 78 De vergelijking van de raaklijn in P is y= 9, 89x, 78. 9, 89x, 78 als x 9, He snijpun me de x-as is (, 9 ; ). a Als = 5,, dan is d = 5, =, 5 voor 5, d () = a voor > 5, d (, 5) = 7 = a y= 7 +, 5 = 75, + =, 5. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v 55

8 5 d in m ijd in seonden ladzijde 8 a x en x = f ( x) = x 7x + x ; f ( ) en f ( ). x min = 5, x max =, y min = en y max d De op lig ij x = en f ( ) e De afgeleide funie is van de derde graad, dus maximaal drie nulpunen. Er kunnen dus hoogui drie oppen zijn. a 8 N() Me al-max:, 87 en al-min: 4, N () = 55, +, N (, 87), 57 en N ( 4, ), 4 Dus zijn,87 en 4, nie de exae waarden. d 5, 5+, 5, 5 + 5, 5, 5 5, x = 4, of x = 87, Ja, wan er kunnen er nie meer dan wee zijn. a Plo de grafiek van H. Me al-min krijg je een minimum, voor q 5,. K ( x) = x + 4 ; K ( x) als x = 5. De uierse waarde van K is K( 5) = 74. Di is een maximum, aangezien de grafiek van K een ergparaool is. 4a f ( x) = x x+ x = + 8 = of x = He maximum is f () 8 = 4 7 = en he minimum is f () = 8. 5 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

9 ladzijde 87 5a f ( x) = x x = x = x = of x = Me een plo vind je he maximum f ( ) = en he minimum f () =. K ( q) = q 4q q 4q q ( q 4 ) q of q = Me een plo vind je he minimum K( ) en uigpun (, ). a De reee is 4 m, de lenge is 9 m en de hooge is m. De inhoud is 4 9 = m³. Bij m hooge is de inhoud 7 = 8 m³. De reee is x x= x. Evenzo is de lenge x. De hooge is x. De inhoud is I( x) = x( x)( x). Plo de grafiek van I en je vin me al-max da voor x, de inhoud van he akje maximaal is. d He maximum is I(, ) 8, 5 m³. 7 Me een plo en al kun je de uierse waarden van f erekenen, alleen is he lasig om de juise insellingen e vinden. Me differeniëren kan he sneller gaan. f ( x) = x 94x x 94x ( x )( x+ ) x = of x f ( ) = 9 is een maximum en f ( ) = 959 is een minimum. ladzijde 88 8a 5 A() 4 A () = A () als 4 5 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v 57

10 = = = 4 of = 4 d A( 5, ) = 5, en A ( 5, ) = 45, Sel y= 45, + 5, = 4, 5, 5 + = 45, De vergelijking is y= 45, + 45,. 9a V( ) = 4 Sel V minuen V d De grafiek is dalend. e De gemiddelde uisroom is 4 = m³/min. f Op ijdsip. g V ( 4 + ) = dv h = = 8 = Na minuen is de uisroomsnelheid gelijk aan de gemiddelde uisroomsnelheid. 4a De hoger de esherming des e ingrijpender (en dus kosaarder) zullen de maaregelen worden. Zelfs ij een oale esherming zullen inraakpogingen o shade kunnen leiden. Volledige esherming is nauwelijks mogelijk, dus x is nie erg realisish. Omda de kosen dan meer dan wee keer zo hoog zijn dan de kosen voor shade zonder esherming. d Kx ( ) = Bx ( ) + Sx ( ), x + 4x 8x + 4 K ( x), x + 8x 8 K ( x) als x = 8 + = 4, e De minimale kosen zijn K( 4) = 8 euro. De esparing is 4 8 = 9 euro. 58 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

11 ladzijde 89 4a Na vijf jaar zijn er 5 5 = 45 flessen. Na vijf jaar is de prijs per fles euro. De oale oprengs is dan TO = 45 = 9 euro. p ()= 5 + d Na jaar is de voorraad 5. Na verkoop is de oale oprengsto() = ( 5 )( 5 + ) = e TO () = 5 en TO () TO () als = 7, 5. f Als hij na 7,5 jaar de voorraad verkoop is de oprengs maximaal. 4a q = 74.,5 = 5 en TO = 5, 5= 84 euro TO( p) = p q= p( 74 p) = 74p p TO ( p) = 74 4pen TO ( p) als p 8,. De oprengs is maximaal ij de prijs van,8 euro. q = 8 4 5, = 5 p p d TO = p( 8 4 ) = 8p 4 p e Als = 4 is TO( p)= p p ento ( p) = p. TO ( p) als p = 57, Bij de prijs van 5,7 euro is de oprengs maximaal. f TO( 5, 7) =, 7 euro. g TO()= = 58 8 Me ploen en al-max vind je da voor = 4, minuen de maximale oprengs gelijk is aan,9 euro. ladzijde 9 I-a y = 8, en Helling =, ( 4, 4) en Helling = 47,9999 x 4 helling,9999,,,, 7, 48, d De grafiek heef de vorm van een paraool. De funie is van de vorm K ( x) = ax. e Ui de ael volg K () =, dus a = en K ( x) = x. f K ( ) g x = 75 ; x = 5 ; x = 5 of x = 5 In de punen ( 5, 5 ) en (, 5 5 ) is de helling 75. I-a x = H ( x) = ax Ui H () = 4 volg da a = 4, dus H ( x) = 4x. d h ( x) = 5x 4 Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v 59

12 e funie afgeleide f(x) = x f'(x) = f(x) = x f'(x) = x f(x) = x f'(x) = x f(x) = x 4 f'(x) = 4x f(x) = x 5 f'(x) = 5x 4 f g ( x) x 9 I-a f () r = 9r 8 da = 8 7 ladzijde 9 I-4a De helling is seeds. x x 4 x 4 x + 4 x + 4 In elke kolom saan dezelfde uikomsen. De helling verander nie ij een vershuiving. g ( x) = x d h ( x) = x 5 I-5a,; 4,;,;, x x 4 x x 5x De helling is keer de helling van x. Als je veriaal me vermenigvuldig, dan wor de helling ook keer zo groo. g ( x) = x d h ( x) = x I-a f ( x) x = x 5 5 F () = 5 = 9 A ( p) = d n ( x) 5, x, 4x 4 4 I-7a ds = 4 = ds 5, 7 =, 5 ds = 9, Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

13 I-8a L () = B (),, 5 + = 5,,, 5 5,, 5 5,, (, 5 5, ) Dus of, 5 5, of 7, Na,7 maanden of dagen is de plank weer vierkan. L () =, 7 dus L () =, 7 B () = 5, dus ook B () =, 5 In de reee krimp he hou sneller. L () = B (), 7 = 5, 85, ladzijde 94 T-a Geruik de rekenmahine. Plo y = + x en y = nderiv( y, xx, ) Je vin voor = 4 da d y dx 75,. O= πr = π( + ) = π( + + 9) Me nderiv vind je voor = 4 da d y = 987 dx,. d L= πr = π( + ) dr dl,5 9,448,7,4,8 5,444 4,75 4,74 5,78 4,49 Voor de waarden ui de ael gel: d L = π dr. T-a d dy = 5x = 7 dx x dy = 4x = x dx 4 dy = 5 4x x dx dy =, x =, 44x dx T-a f ( x), x 9 4 s () = H( p)= p + 7p 5 en H ( p) = p + 7 d Qw ( )= 9w + w + 4w en Q ( w) = 7w + w+ 4 e Aq ( )= q + q + 5q en A ( q) = 9q + q+ 5 f g () = 5 + a Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

14 T-4a f( x)= x = x + 4x en f ( x) = x x+ 4 f ( ) = De vergelijking is y= x+ Vul hierin x = en y in. Je krijg dan = 4. De vergelijking van de raaklijn in (, ) is y= x+ 4. Er gel dan f ( x) = ; x x+ 4= ; 5 x x+ Me de a-formule vind je x 47, en x 5, De punen zijn ( 477, ;, ) en (, 5;, 7). T-5a f ( x) = x + x f ( x) x + x x ( x+ ) x of x = 5 ; Me een plo vind je da er voor x = 5 een maximum is en voor x een uigpun. He maximum is f ( 5) = 5 ladzijde 95 T-a TK( ) = 57 en TK( ) = 45 TO( q)= 4qen Wq ( ) = TO( q) TKq ( ) = 5q+, q, 5q Plo de grafiek van W en je vin me de aelfunie da de wins voor he eers posiief is ij q = 9. TO ( q) = 4 entk ( q) = 9, q+, 45q. TO ( q) = TK ( q), dus 4 = 9, q+, 45q Me de rekenmahine (of a-formule) vind je q 5, 8 of q 4, 98. Bij 5 en 5 spellen. d Me een plo van W vind je da de wins maximaal is voor q 4, 98 ofwel 5 spellen. e W( 5) 77, 44 euro. T-7a s () = + ; s ( ) m/s s ( 5) = 5 m/s en s ( ) m/s De auo saa sil op ijdsip. De auo heef dan s( ) = 5 meer afgelegd. De auo saa op 5 meer voor he verkeerslih sil. T-8a y x Twee, zie de ekening. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v

15 Bij raken moe gelden: De raaklijn en de grafiek moeen een gemeenshappelijk pun (raakpun)heen. In da pun moe de helling aan de grafiek gelijk zijn aan de helling van de raaklijn. Ui volg: f( x)= ax en ui volg: f ( x) = a. d f ( x) = x, dus ui volg: x= a Ui volg: x + 4 = ax. Hierin invullen x= a. Je krijg dan a + 4 = a. Dus a = 4 a = 8 en a = 8 of a = 8. T-9a TK( ) = 9,. De oale kosen zijn 9 euro. TK ( q), q 4q + 5 TK ( q)is voor geen enkele waarde van q gelijk aan, wan D = 8 <. d WK( q) = 7, 5q, q + q 5q=, q + q +, 5q WK ( q) =, q + 4q +, 5 Me oplossen of rekenmahine vind je da voor posiieve waarden van q gel: WK ( q) als q, Me een plo zie je da voor deze waarde van q de wins maximaal is. De produieomvang is dan 9 4 vazen. T-a Nee, wan zowel f( x)= x als gx ( )= x +4 heen dezelfde afgeleide, wan f ( x) = g ( x) =. Door de afgeleide funie van de afgeleide funie e geruiken. De afgeleide funie kan een uierse waarde heen als zijn afgeleide gelijk aan is. Moderne wiskunde 9e ediie vwo A/C deel Noordhoff Uigevers v