Eindexamen wiskunde B 1 vwo 2003-I

Transcriptie

1 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Lenge Ui saisisch onderzoek is gebleken da de volwassen Nederlandse mannen in 999 gemiddeld 80,0 cm lang waren, en da er een sandaardafwijking van 2,8 cm was in de lengeverdeling. De normale verdeling me 80,0 als verwachingswaarde en 2,8 als sandaardafwijking pas goed bij de werkelijke lengeverdeling. In de volgende vraag werken we me deze normale verdeling. 3p Hoe groo is bij deze verdeling de kans da vier willekeurig gekozen mannen alle vier korer dan 200 cm zijn? Ui hezelfde onderzoek bleek da de volwassen Nederlandse vrouwen in da jaar een gemiddelde lenge hadden van 67,0 cm. Verder bleek da 27,8% van deze vrouwen langer was dan 77 cm. Neem aan da bij de waargenomen lengeverdeling een normale verdeling pas me 67,0 als verwachingswaarde. 4p 2 Hoe moe je de sandaardafwijking van deze normale verdeling kiezen om ervoor e zorgen da de kans op een lenge groer dan 77 cm gelijk is aan 27,8%?

2 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Zomerarwe Een akker word op april ingezaaid me zomerarwe. De arwe word geoogs op 30 juli. In de 20 dagen ussen zaaien en oogsen groeien de planen nie seeds even hard. Aanvankelijk groeien de planen seeds sneller. Als de planen groer worden gaan ze elkaar meer hinderen, waardoor de groeisnelheid nagenoeg consan word. Tegen he einde van he groeiseizoen gaan de arweplanen seeds langzamer groeien. He gewich van de arweplanen in kilogrammen noemen we z. De ijd in dagen noemen we ; = 0 op april, = 20 op 30 juli. z' () is de snelheid waarmee z groei op ijdsip (in kg/dag). Biologen haneren voor de drie groeifasen wel he volgende model: 0,( 40) fase : exponeniële groei voor 0 < 40 geld: z () 00 e fase 2: lineaire groei voor 40 < 00 geld: z ( ) 00 0,2( 00) fase 3: anende groei voor 00 < 20 geld: z () 00 e In figuur saa de grafiek van z. figuur 00 z' (kg/dag) (dagen) Bij elk ijdsip in fase is er een ijdsip 3 in fase 3 waarop de arweplanen even snel groeien als op. 4p 3 Bereken 3 exac als = 8. De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg. Dus z(0) 30. 0,( 40) Er zijn geallen a en b, zo da voor fase geld: z() a e b 4p 4 Bereken a en b. Rond de waarde van b af op wee decimalen. p elk ijdsip is he gewich e bepalen me z() z(0) z ( s)ds 0 Er geld: z(00) 70,68. 6p 5 Toon di aan. 3p 6 Bereken he gewich van de arweplanen op 30 juli.

3 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Twee scharnierende vierkanen Twee vierkanen, beide me zijde, hebben he hoekpun gemeenschappelijk. He onderse vierkan lig vas. He bovense vierkan word om gedraaid; is de draaihoek in radialen. In figuur 2 zijn ussen de begin- en eindsand drie ussensanden geekend. m de wee vierkanen is seeds een zo klein mogelijke rechhoek geekend, me wee zijden langs he vase vierkan. figuur 2 De oppervlake R van de omhullende rechhoek is een funcie van de draaihoek. 3p 7 Bereken de oppervlake R voor = 4. Voor elke waarde van ussen 0 en geld: ( ) ( sin )( sin cos ) 2 R. In figuur 3 en op de bijlage is de siuaie geekend voor een waarde van ussen 0 en 2. figuur 3 4p 8 Toon de juisheid van de formule aan voor elke waarde van ussen 0 en 2. Er zijn ussen de begin- en de eindsand wee posiies van de vierkanen waarvoor R() maximaal is. In figuur 4 en op de bijlage is één van die posiies geekend. figuur 4 4p 9 Teken in de figuur op de bijlage de andere posiie van de vierkanjes waarvoor R() maximaal is. Lich je werkwijze oe. 3p 0 Toon me behulp van differeniëren aan da R (0) 3.

4 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Bijlage bij de vragen 8 en 9 Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW 2003 Tijdvak Donderdag 22 mei uur Vraag 8 Examennummer Naam Vraag 9

5 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Inhoud viervlak Lijnsuk AB lig in een horizonaal vlak. Lijnsuk D is evenwijdig aan da vlak, op afsand 8. Lijnsuk AB heef lenge 0 en lijnsuk D heef lenge 6. De lijnsukken AB en D saan loodrech op elkaar. E en F zijn de middens van AB en D. EF saa loodrech op AB en op D. Zie figuur 5. figuur 5 A 6 F 8 E 0 D B Door de punen A en B e verbinden me de punen en D onsaa he viervlak ABD. In he viervlak brengen we horizonale doorsneden aan. mda AB en D loodrech op elkaar saan, zijn de doorsneden rechhoeken. In figuur 6 is als voorbeeld op wee hoogen de doorsnede geekend. (De hooge word gemeen langs he lijnsuk EF.) figuur 6 F D A E B In figuur 7 is zo n doorsnede op hooge h boven he horizonale vlak geekend, me 0 < h < 8. Me behulp van driehoek ABF kan de lenge van de zijde van de rechhoek die in vlak ABD lig, in h worden uigedruk. figuur 7 F D De lenge van deze zijde is gelijk aan h. 4p Toon di aan. h De lenge van de andere zijde is gelijk aan 3 4 h. E B 5p 2 nderzoek door een berekening of de doorsnede me de groose oppervlake een vierkan is. A mda we de oppervlake van de doorsnede op elke hooge h kennen, kunnen we me een inegraal de inhoud van he viervlak ABD berekenen. 5p 3 Bereken exac de inhoud van he viervlak ABD.

6 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I seoporose seoporose of boonkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen opreed en vererger naarmae men ouder word. Bij he ouder worden maak he lichaam minder bo aan dan er afgebroken word. He gevolg is da boen poreuzer worden en de kans op bobreuk dus oeneem. In deze opgave beperken we ons o de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder. nderzoek wijs ui da op de 4 vrouwen aan oseoporose lijd. Bij mannen is da op de 2. Bij een conrole op oseoporose onder 00 aselec gekozen vrouwen word bij een aanal vrouwen oseoporose geconsaeerd. 3p 4 Bereken de kans da di aanal 30 is. Bij een conrole onder vijf aselec gekozen mannen en vijf aselec gekozen vrouwen word bij een aanal van hen oseoporose geconsaeerd. 7p 5 Bereken de kans da di aanal 2 is. In 998 besond in Nederland de risicogroep voor 55,6% ui vrouwen. 4p 6 Bereken hoeveel procen van de oseoporose-paiënen ui de risicogroep vrouw was.

7 Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Kogelbanen Vanui een bepaald pun worden kogels afgeschoen me seeds dezelfde beginsnelheid. De hoek waaronder men de kogels afschie, varieer. Zie figuur 8. We brengen een assenselsel aan in he vlak van de kogelbaan, me de x-as horizonaal en de y-as vericaal. De kogels worden afgeschoen in he pun (0, 0) en komen neer in een pun D op de x-as. Zie figuur 9. In deze figuur is behalve de kogelbaan ook de raaklijn l in (0, 0) aan deze baan geekend. De kogel word weggeschoen in de riching van l. figuur 8 figuur 9 y Ui de mechanica is bekend da een kogelbaan een deel van een parabool is. Een vergelijking van de kogelbaan is: 2 2 y rx (0, 0, r ) x Hierbij is r een consane die afhang van de hoek waaronder geschoen word. De richingscoëfficiën van l is gelijk aan r. 4p 7 Toon di aan. l D x Er geld: 0r D r 2 4p 8 Toon di aan. 5p 9 Bereken me behulp van differeniëren voor welke waarde van r de afsand D maximaal is. Verondersel da de kogel nie op een horizonaal errein word afgeschoen, maar op een hellend errein me richingscoëfficiën. Zie figuur 0. He hang van r af waar de kogel op he errein neerkom. Di pun noemen we. figuur 0 y 0 r De x-coördinaa van pun is. 2 r 4p 20 Bereken de maximale lenge van in wee decimalen nauwkeurig. x