Hoofdstuk 3 - Exponentiële functies

Transcriptie

1 Hoofdsuk - Eponeniële funcies Voorkennis: Groeifacoren ladzijde 7 V-a 060, 80 8, - euro 079, 0, 9, 88 c 0, 98, - 998, V-a De facor waarmee je de oude prijs vermenigvuldig om de nieuwe prijs e krijgen is 0,7, wan 00% % 7% De facor is 9,, wan 00% + 9% 9%. Dus de prijs inclusief BTW 9, 987, 7, V-a Bij een oename van % per dag hoor een groeifacor van,0, wan 00% + % 0% Bij een oename van 0,7% per jaar hoor een groeifacor van 007, wan 00% + 0,7% 00,7% c Bij een afname van 7% per vijf jaar hoor een groeifacor van 0,8, wan 00% 7% 8% d Bij een afname van 0% per jaar hoor een groeifacor van 0,70, wan 00% 0% 70% e De groeifacor per ien minuen is. f Bij een oename van 00% per eeuw hoor een groeifacor van, wan 00% + 00% 00% V- De verkoper vermenigvuldig he edrag respecievelijk me 0,7 en,9. Paul vermenigvuldig he edrag respecievelijk me,9 en 0,7. Beide manieren geven hezelfde eindedrag. ladzijde 7 V-a Gedurende ien jaar is er een vase rene van 6% per jaar, dus g,06 0 B 000, 06 89, 0 Weer ien jaar laer, dus na winig jaar is B , 6. 0, 68 He renepercenage van 6% per jaar lijf consan, dus vermenigvuldig je elk jaar weer me,06. Na jaar B , V-6a Bij een oename van,% per dag, hoor een groeifacor van,, wan 00% +,%,% He funcievoorschrif word dan N () 6,, me per dag en N ()he aanal aceriën in miljoenen. Bij een afname van % per vijf jaar, hoor een groeifacor van 0,86, wan 00% % 86%. He funcievoorschrif word dan N () ,, me per vijf jaar en N ()he aanal vis in on. c Bij een afname van % per jaar, hoor een groeifacor van 0,8, wan 00% % 8%. He funcievoorschrif word dan N () 087, 0, 8, me per jaar en N () de waarde van uienlandse mun.

2 Hoofdsuk - Eponeniële funcies V-7a De groeifacor is, per ien jaar, wan 00% + 0% 0% He funcievoorschrif word dan W () 6,, me per ien jaar, 0 in 900 en W () he waerverruik in miljoenen m³. In 90 is, dus W( ) 6,, 76. He waerverruik in 90 was,76 miljoen m³. c In 900 was he waerverruik zes miljoen m³., 76 6 De oename is 00% 96% 6 d In 00 is W () 6, 76 miljoen m³ He waerverruik is ruim 76 miljoen m³.. Grafieken en eponeniële funcies ladzijde 7 a Op ijdsip 0 is de and ne opgepomp. H 0, 89. Er zi wee gram luch in de and. Bij een groeifacor van 0,89 hoor een afname van % per dag, wan ( 0,89 ) * 00% % c Na drie dagen is. H 0, 89, De and eva na drie dagen nog, gram luch. d Plo : y 0, 89 en y Calc,inersec,,98 Na zes dagen zi er minder dan één gram luch in de and. e Nul gram. Nee, in werkelijkheid saa de and nooi volledig zonder luch. 0 a De grafiek is sijgend van f en g, wan g >. De grafiek is dalend van h, k en m, wan 0 < g <. De lijn y 0 is asympoo van al de vijf grafieken. c Plo funcie f en volgens de ael esaa f voor alle waarden. d De grafiek van funcie f lig oven de as, dus de funciewaarden zijn allemaal groer dan 0. e Plo de andere funcies en volgens de ael esaan de funcies voor alle waarden. ladzijde 7 a g >, dus sijg de grafiek van de funcies f en k. De grafieken van de funcie g en k gaan door (0, ), wan g( 0) en k( 0). c He domein van de funcie h is R. He ereik van de funcie h is 0, d Neem heel klein, dan nader de grafiek de -as, dus de vergelijking van de asympoo van k is y 0

3 Hoofdsuk - Eponeniële funcies f () ; g () 0 () ; h () en k () () a y 8 6 O De grafiek snijd de vericale as, dus 0 0 f( 0) + 0, 6 + 7He snijpun me de vericale as is dus (0, 7) c De vergelijking van de horizonale asympoo is y wan wanneer seeds groer word dan nader 06, naar 0 en de funcie dus naar. 6a in minuen T in C verschil me omgeving Wanneer je de verschillen ekijk lijk 7 9 0, de groeifacor is dus 0, 60 7 per vijf minuen. Voor krijg je T , 88 0 Voor 0, T , 88 7 Voor, T , 88 9 c 8 6 T d O 0 0 De vergelijking van de horizonale asympoo is T 0. De koffieemperauur enader op den duur de omgevingsemperauur. 7a Voor a 0 word N 60 ( 0, 6 ) 0 Op een geied van nul km zal he aanal diersooren nul zijn. N O 0 0 a De vergelijking van de horizonale asympoo is N 60. c He aanal diersooren in een geied kan maimaal oenemen o 60.

4 Hoofdsuk - Eponeniële funcies d De helf van he maimale aanal diersooren is 0 a Plo de grafiek van N 60 ( 0, 6 ) en N 0. He snijpun is (,; 0). Als a, km² is, kun je de helf van he aanal diersooren verwachen. e Nee, wan er komen veel meer diersooren dan he maimale aanal van 60 in groere geieden voor.. Negaieve en geroken eponenen ladzijde 76 8a Voor 0 zijn er N( 0) 000 aceriën. De waarde van 0 c Elk uur verduel he aanal, wan de groeifacor is. Om.00 uur zijn er 000, dus om.00 uur waren er 00. d De waarde van. e 0 N f en 8 9a 7 7 c 0, ( 0, ) d () ( ) 0a Een groeifacor 0 perdag eeken da he elke dag 0 keer zoveel word. na zeven dagen is he dan dus keer zoveel. Een groeifacor 70 per week zou na één week maar 70 keer zoveel opleveren. Groeifacor per week (7 dagen) is dus 0 7. Groeifacor per halve dag is 0. c g 0,, dus g lig ussen en. ladzijde 77 a G de groeifacor per wee jaar is ,6, dus k, de groeifacor per jaar is ,78, dus p,78. c De groeifacor per vier jaar is 0 De groeifacor per wee jaar is 0, dus k 0. d k is de groeifacor per wee jaar, k 0 e ( ) 0. k is de groeifacor per vier jaar, k 0 k 0, p is de groeifacor per jaar. p 0 eeken da de gemiddelde geheugencapaciei van pc s elke vier jaar oeneem me een facor 0. 6

5 Hoofdsuk - Eponeniële funcies a De groeifacor per uur is De groeifacor per half uur is. De groeifacor per kwarier ( uur) is. c De groeifacor per dag ( uur) is. a 9 (, 0) 0, of (, ) ( 0 ) ( ) c ( ) d e ( ) f a De groeifacor per 0 jaar is, 9,067, De groeifacor per jaar is, 9 0 (, ),00, 9 ( ),067 0 De groeifacor per drie jaar is, De formule voor he aanal inwoners van Nederland is N (), 00,, me in jaren en 0 in 980 N () he aanal inwoners in miljoen. Van 980 erug naar 96 is jaar, dus N( ),, 00 In 96 waren er ongeveer miljoen inwoners. Van 980 o 007 is 7 jaar, dus 7 N( 7),, 00 6, In 007 waren er 6, miljoen inwoners. Van 980 o 00 is 0 jaar, dus 0 N( 0),, 00 6, 6. In 00 zullen er 6,6 miljoen inwoners zijn. a De groeifacor per maand is,. De groeifacor per half jaar ( zes maanden ) is, 6. De groeifacor per jaar ( maanden ) is,. Een jaar is weemaal een half jaar. De groeifacor per jaar word dan, 6, 6 (, 6 ), c Je kun vijf maanden opvaen als eers maanden en vervolgens drie maanden. De groeifacor per vijf maanden is dan,,,. Rekenen me machen ladzijde 78 6a ( ) 6 : (eller en noemer wee keer delen door ) 7

6 Hoofdsuk - Eponeniële funcies c 7 7a, regel + :, regel 0 c ( ), regel d ( ) 6 00, regel e 0, regel, regel f ( ) 0, regel 6 g g g g, regel h ( ) ( ) 9 6, regel, regel (( ) ) ( ) ( ) i y y y y, regel j 7 : 9, regel 9 9 ladzijde 79 8a nie juis, 0 0 : , regel nie juis, 9 9, regel 8 c nie juis, 7 +7, regel ( ) ( 6 ) 6, regel d juis, 6 6 e nie juis,,8,8,8 +,8 0, regel en regel f juis, ( ) 8, regel, regel en regel 7 9a Van o en me 8 is he verschil vier. De groeifacor per vier ijdseenheden is De groeifacor per ijdseenheid is 6,9 Je gaa erug van naar 0, he verschil is. Op ijdsip 0 is de hoeveelheid H 90,9, De formule luid : H,,9, me per ijdseenheid. 0a Bij een oename van 70% per 0 jaar hoor groeifacor,7 wan 00% + 70% 70%,7 De groeifacor per jaar is,7 0,069 c De oename is (,069 ) 00%,69% De jaarlijkse groei is,69% a De groeifacor per emaal ( uur ) is,6 De groeifacor per ach uur is,6 8,70 De oename per ach uur is (,70 ) 00% 7,0% De groeifacor per jaar is 0,9 De groeifacor per jaar is 0,9 0,98 De afname per jaar is ( 0,98 ) 00% 8,% c De groeifacor per maand is,0 De groeifacor per jaar is (,0 ),7 De ank ereken voor he rood saan een rene van,7% per jaar. 8

7 Hoofdsuk - Eponeniële funcies a De groeifacor per 7 uur is. De groeifacor per dag ( per uur ) is 7,677 Formule ladoppervlake : B,677, B in m. m 0 6 km, dus B 0 6,677, me in dagen, B in km. De groeifacor per 7 uur is 7 De groeifacor per uur is dan, 089 De groeifacor per dag is 7,677 c B,677 me in dagen, B in m en B 0 plo, y,677 en y 0 Calc, inersec,, Na ruim vijf dagen verienvoudigd de ladoppervlake. d B 0 6,677 en y Calc, inersec, 6, Na ruim 6 dagen is he meer geheel edek.. Grafieken en eponeniële ongelijkheden ladzijde 80 a Plo, y 000 0,99 en y 80 Calc, inersec geef, c Ruim dagen kan he luchschip lijven vliegen. a Plo, y, en y Calc, inersec geef, Plo, y, en y 0, Calc, inersec geef 0,6 c Plo, y 0,7, y 0, Calc, inersec geef,6 d Plo, y en y Calc, inersec geef,7 Oplossing is 7, ; e Plo, y 0, y Calc, inersec geef,9 Oplossing is 9, ; f Plo, y + en y Calc, inersec geef,9 Oplossing is 9, ; 9

8 Hoofdsuk - Eponeniële funcies a C O Neem heel groo, dan word 0,9 0 Invullen in C geef : C De concenraie C van he eindproduc word op den duur ijna 0 mmol / dm. 0, ij he egin. Invullen in C geef : C 0 0 0,9 0 0 De hoeveelheid ij he egin van de reacie is 0 mmol / dm. c Plo, y 0 0 0,9, y 0 en y 8 Calc, inersec, 7, 0 en y 0 8,0 en y 8 Na ruim 7 minuen is C 0 Na ruim 8 minuen is C 8 d De concenraie van 0 mmol / dm word eerder ereik ij hogere emperauren. De concenraie C nader sneller 0, wanneer 0 09, sneller klein word. Di laase word sneller kleiner als 0,9 kleiner word. ladzijde 8 6a ( ) 9 ( ) 7 c 0, ( ) 6 ( ) ( ) 0

9 Hoofdsuk - Eponeniële funcies d 7 ( ) ( ) e 0, ( ) ( ) ( ) f 0, 00 0 ( ) 0 ( ) 0 0 g + + h 0, 0, 8 ( ) ( ) i a Bij een afname van 6% per dag hoor groeifacor 0,. De groeifacor per uur is 0, 0, 97 He funcievoorschrif van de hoeveelheid pijnsiller voor de eerse uur luid : P () 0, 97, me in uren. De hoeveelheid pijnsiller P is uur na de eerse injecie 0, 97 0, ml. Vlak na de weede injecie is de eginhoeveelheid +,0,0 ml in he lichaam. c He funcievoorschrif vlak na de weede injecie luid : P () 0, 0, 97, me in uren. uur na de weede injecie is de hoeveelheid pijnsiller 0, 0, 97 07, ml. Vlak na de derde injecie is de eginhoeveelheid +,07,07 ml.

10 Hoofdsuk - Eponeniële funcies d He funcievoorschrif vlak na de derde injecie luid : P () 07, 0, 97, me in uren. uur na de derde injecie is de hoeveelheid 07, 0, 97 07, 0, 97 07, ml. Dus in eerse vier dagen daal de hoeveelheid nie onder de ml. He funcievoorschrif vlak na de derde injecie luid: P () 07, 0, 97, me in uren. 6 uur is 8 uur na de derde injecie. 8 De hoeveelheid pijnsiller na 6 uur is P( 8), 07 0, 97 6, ml. 8a De geallen aan weerskanen van he gelijkeken kun je nie schrijven als mach van hezelfde grondal. Plo, y en y 0, Calc, inersec, 0,70. Funcies anders schrijven ladzijde 8 9a De grafieken zijn.o.v. elkaar gespiegeld in de y-as. Plo, y en y ( ) g () () ( ) c g () () f( ) en daarui volg da de grafieken van f en g elkaars spiegeleeld zijn in de y-as. d Spiegelen in de -as geef h () f () 0a f () en g () f () g () 0 en da kan nie De grafieken van f en g snijden elkaar nie. f () en h () + f () h () + 0 en da kan nie. De grafieken van f en h snijden elkaar nie. a Plo, y + en y 8 0 f() 8 6 g() 8 6 De funciewaarden zijn gelijk, dus f en g vallen samen. g() 8 + f() Dus g() f(). ladzijde 8 a f () () ( ) g () h () ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 (, 0 ) 0, 7 (, 0) k ( ) 8

11 Hoofdsuk - Eponeniële funcies 0, ( + ) 0, + 0, 0, 0, 0, 0, f () ( ) ( ) De eginhoeveelheid is en de groeifacor is. a Plo, y c ( ) De grafiek is sijgend, wan he funcievoorschrif is e herleiden o: f () () ( ) De groeifacor is, dus f is sijgend. f () () 0, 7. De eginhoeveelheid is dus 0,7. De groeifacor is, dus de grafiek van f is sijgend. + a Is fou. 8 goed c goed d goed e Is fou. f Is fou. 6 ( + ) + g Is fou. + h Is fou. ( ) i + Is fou. j goed 6a Bij spiegelen in de -as geld : + g( ) f ( ), Bij spiegelen in de y-as geld : + h () f( ), 7a c d e Plo, y , De hooge van de oom nader op den duur o ach meer. Plo, y , ; y en y 6 Calc, inersec,,80 en y,6 en y 6,6,80,8 Van vijf meer naar zes meer duur ijna wee jaar. Plo, y , ; y 6 en y 7 Calc, inersec,,6 en y 6 8,7 en y 7 8,7,6, Van zes meer naar zeven meer duur ruim drie jaar. H 8 7 ( 08, ) 8 7 0, 986 De groei in de zomermaanden is nie e vergelijken me de winermaanden.

12 Hoofdsuk - Eponeniële funcies.6 Gemengde opdrachen ladzijde 8 8a Van ml oplossing me serke D word 00 ml 00 ml D gemaak. Van deel oplossing me serke D word ml 0000 ml 0 ml D gemaak. Van deel oplossing me serke D word 0 00 ml 0 6 ml D gemaak. Er word me serke D, 0 6 ml 000 lier gemaak. Elke keer moe he nieuwe onsane mengsel 00 krachige schokken ondergaan. D heef dan schokken ondergaan. c serke D D D D D D6 aanal ml aanal schokken c ml oplossing me 9 ml waer geef 0 ml. He proces word wee keer oegepas, dus ml. He aanal schokken me serke D is 0. 9a jaar omvang in miljarden,6,7,86,07,0, ,0,70,,0 Groeifacoren per 0 jaar: 7, 06 86, 06 07,, 0,,, ;, ;, ;, ; 0, ; 0 0, ; 6, 7, 86, 07, 0,, 70,, 0 0,, ;, ; 9, 0, 70,,, Eponeniële groei is er van 90 o en me 90, me groeifacor, 06 86, per 0 jaar. De formule word dan: B () 86,, 06 me B in miljarden en in perioden van 0 jaar. 0 is 90. Ook is er eponeniële groei van 90 o en me 990, me groeifacor 0,, 0, per 0 jaar. De formule word dan: B (),, 0 me B in miljarden en in perioden van 0 jaar. 0 is 90 c Van 900 o 990 is 90 jaar. De groeifacor per 90 jaar is 0,, 6, De groeifacor per 0 jaar is dan 0 9,, 8 6,. De formule word dan B () 68,, me B in miljarden en in perioden van 0 jaar. 0 is 900. d Op asis van de weede formule van opdrach : Van 90 o 00 is 0 0 De omvang wereldevolking in 00 : B( 0),, 0 6, miljard. Op asis van de formule van opdrach c: van 900 o 00 is De omvang wereldevolking in 00 : B( ), 6, 8, miljard. Di is nie erg reëel. Ui de evolkingsaanallen van 900 o 990 lijk al da er nie ech eponeniële groei is voor langere ijd. Bovendien zie je groe verschillen ussen de wee modellen.

13 Hoofdsuk - Eponeniële funcies ladzijde 8 0a Me de aanplan en he onderhoud zijn kosen gemaak. r HW 7, ( 90) en r 0,06 006, Plo, y 7, ( 90) c Zie grafiek van opdrach, Calc, maimum,8 en y 7,8 Na ruim jaar is de huidige waarde maimaal, namelijk 7,8. d De ijehorende waarden voor de huidige maimale waarde en de ijd waarop di maimum word ereik, saan hieronder in de ael verwerk. r ma HW ma 0,0 8 0,06 7 0, 6 0, e Hoe groer r des groer he renepercenage dus duur he korer om de huidige maimale waarde e ereiken, wan de kosen sijgen dan sneller, erwijl de waarde van he hou op dezelfde manier sijg. Dus je moe eerder kappen ij een groere waarde voor r. Zie ael hieroven, hoe groer de r des e kleiner de huidige maimale waarde. a Op ijdsip 0 is de groeifacor,. He lichaamsgewich na een succesvolle jach is,, 9, gram. De ijdsip van uihongering is na 60 uur en dan weeg de vleermuis nog maar 78% van zijn normale lichaamsgewich, dus 0,78,7 gram. Onder de,7 gram verhonger de vleermuis. c Binnen 60 uur moe hij vers loed innenkrijgen. Dus 60 :, dag. Na nachen moe de vleermuis weer op jach. d Vul in de formule M a + voor M 0 en 0 de formule geef dan : 0 a a 0...() Vul in voor M 78 en 60 de formule geef dan 78 a a 78( + 60)...() + 60 Susiueer () in () je krijg dan : 0 78( + 60) invullen in () geef : a Dus a 700 en 90 De formule word M e Als 0 geld E() g Invullen in de formule voor 60 en E 78 geef : g g g g 0, 97 E () , 97, me in uren en E in procenen.

14 Hoofdsuk - Eponeniële funcies Tes jezelf T-a De groeifacor per minuu is 0,7. He verschil ussen C en kameremperauur neem me % per minuu af. 0 Op ijdsip 0 is S( 0) , 9 60 C. c 0 geef de kameremperauur aan. 0 geef he verschil ussen de emperauur van de chocolademelk of soep en de kameremperauur op ijdsip 0 d Plo, y ,7 en y ,9 De horizonale asympoo van eide grafieken is y 0 De asympoo kom overeen me de kameremperauur. e In de formules van C en S saa 0. Neem heel groo, dan nader 0 0,7 en 0 0,9 naar nul. T-a Van 9.0 uur naar.00 uur is he verschil, uur (90 minuen) De groeifacor per 0 minuen is,9 De groeifacor per 90 minuen is,9 90 0,9 He aanal aceriën om.00 uur is H 00,9 6 H 00,9, me per half uur en 0 om 9.0 uur c Van 9.0 uur erug naar 9.00 uur is He aanal aceriën H( ) 00 9, 6 d Van 9.0 uur naar 9. uur is He aanal aceriën H( ) 00 9, 7 T-a ( ) ( ) , T-a De groeifacor per 7 jaar is. De groeifacor per jaar is 7,0 Van 90 o 960 is 0 He aanal eilandewoners in 960 is 9800,

15 Hoofdsuk - Eponeniële funcies c De groeifacor is, dus,0 Plo, y,0 en y Calc, inersec,, Dus in he jaar word he aanal verdueld. T-a Van naar is de groeifacor per drie eenheden Van naar 8 is de groeifacor per zes eenheden 6 9 H 9 6 De groeifacor per eenheden is de groeifacor dus is de groeifacor per eenheid is, De eginhoeveelheid op 0 is dan ( ), 9 H (), 9,. T-6a Bij een afname van 0% is de groeifacor 0,9 per meer. De groeifacor per vijf meer is 0,9 0,9 De groeifacor per ien meer is 0,9 0 0, De lichserke op vijf meer is 9% en op ien meer diepe %. De eginhoeveelheid is 00%, wan L(0) 00. d De formule word Ld ( ) 00 09,, me d in meer. c De groeifacor is dan, dus 0,9 Plo, y 0,9 en y 0, Calc, inersec, 6,8 Op een diepe van ijna 6,6 m is de lichserke gehalveerd. T-7a ( ) + c 0, > 6 + 0, 6 + () ( ) ( ) ( ) Plo y 0, en y 6 En lees de oplossing af:, d () < 9 () 9 ( ) Plo eide grafieken en lees de oplossing af:, 7

16 Hoofdsuk - Eponeniële funcies 0, 0, 0, T-8a,,, (, ),,, Dus de groeifacor per uur is,. 0, N (),,,,,, dus N (),, me in uren. T-9a Bij een afname van % per maand is de groeifacor 0,97. S, 0,97 m, me m in maanden en S in ar., 0,97 m >,8 Plo, y, 0,97 en y,8 Calc, inersec, 6,9 oplossing : m < 6,6 Bijna 6,6 maanden hoef de and nie e worden opgepomp. c Neem voor een maand 0 dagen. m 6,9, dus me ussenpozen van 6, dagen moe de and worden opgepomp. d Bij afname van % per 0 dagen is de groeifacor 0,98 per 0 dagen. De groeifacor per maand is 0, ,97 S, 0,97 m, me m in maanden en S in ar. S,9 Plo, y, 0,97 en y,9 Calc, inersec, 6,7 m 6,7, dus me ussenpozen van 6, dagen moe er worden opgepomp. Merk B moe vaker worden opgepomp. 8