OPQ OQ PQ p p p 3 p. C. von Schwartzenberg 1/27 A = O = = = = = = =. = = 1. ax A( )

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "OPQ OQ PQ p p p 3 p. C. von Schwartzenberg 1/27 A = O = = 1 1 2 = 1 1 1 = = = =. = = 1. ax A( ) 2 8 2 8 6 3 6."

Transcriptie

1 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a PQ y Q f ( O OPQR OP PQ b PQ yq f ( p p p OOPQR OP PQ p p p p c p p (opie maimum ma, (voor p,7 a OQ Q P p en PQ yp f ( p p O OPQ OQ PQ p p p p b d + p p p ( p p p p p p p p p dp p p p p p p c d p (eller p p p dp p ma ( d L OP OQ + PQ p + p p + p p p + e L + d p p p L (p dp p p + p p + p (eller p p p dp p p + L + + min L( a O OSP OS y P p 8 p p 8 p d + 8 p 8 p p (8 p p p p 8 p 8 p p dp 8 p 8 p 8 p 8 p 8 p d p (eller p p p 8 dp 8 p m a ( b O QSP QS y ( 8 ( 8 P p p p p p p c d + ( p 8 p 8 p p p ( p p 8 p ( p 8 p ( p p dp 8 p 8 p 8 p ( (8 ( p p p p p p p p p p p + p 8p + 8 p 8 p 8 p 8 p d d p 8p + (eller p 8p + me D ( 8, dus D dp 8 p Di geef p 8 + (voldoe nie, omda dan de noemer nul is p 8, ma (, (,, 8,, a O OPQ QP y ( P P yp P yp p p p p b p d d p en dp p dp p p p p p ma ( ( c L OP ( P ( yp p ( p p ( p ( p p 9 p p p p d p p L p p 9 L ( p p dp p p + 9 p p + 9 p p (eller dp p p + 9 p p p( p p p p p p L min (zie een plo L(

2 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a Noem P p dan yp f ( p p p P ( p, p p en (, L P ( p + ( p p ( p( p + ( p p 8p + p + p p p + p 8p + b d p p 8 L p p 8p L (p + p 8 dp p + p 8p + p + p 8p + p + p 8 (eller p + p 8 me D dp p + p 8p + + Di geef p (voldoe nie omda p > p + 8 He gevraagde pun is (, (, (, (, 8 9 a Noem P p dan yp f ( p p 8 p (maak een sches O OSP OS y P 8 p 8 p p 8 p 8 (8 d 8 + (8 p p p p p p p p 8 p dp (8 p d p (8 p p 8 p (8 p p 9 p p 9 p p dp (8 p ( 8 p ma ( 8 b (maak een sches P p dan yp f ( p p 8 p geef OOPQ OQ PQ p p 8 p p 8 p c d + p p 8 p p (8 p p 8 p p (8 p p 8 p dp (8 p d heef geen ereem (dus ook geen maimum voor p 7 dp p 7 (8 7 7 Noem b dan y f ( b b (maak een sches L O + b + ( b + b + ( b b + ( b ( b + b + ( b 8( b 8 b + b b b + + b + b 8b 8b + b b + + b b + L min (opie minimum 7, 7 (voor b, 8 of voor b, 8 8a p L y y 9 8b L y y f ( p g( p p + p 8c is maimaal (opie maimum voor p, 9a L y y f ( p g( p p + ( p + p + p 9b L p + p dp p + p + p + (kwadraeren p + 9 p p (voldoe dp p + p + L + + min L( 9 L CD y D yc g( p f ( p p + p d p L p p L p dp p + p + p (opie inersec p, dp p + L ma L(ns ns + ns +,7

3 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 L y y f ( p g( p sin( p cos( p sin( p cos( p + L sin( p cos( p + cos( p + sin( p cos( p + sin( p dp cos( p + sin( p cos( p sin( p sin( p + sin( p + dp p + p + + k p + ( p + + k p op [, ] geef p + k p + k p + k p + k p p 7 p L (zie een plo van ma L L ( sin( cos( + ( a L y y g( p f ( p p + p (vanwege de worel moe gelden: p p p p + d p L p p L p + dp p p p p + p p (kwadraeren 9p ( p dp p p 9p p p p p (voldoe nie p (voldoe L min L( 9 7 b p + p p p (kwadraeren p p p p 9 p (voldoe nie p (voldoe 9 9 > (zie een plo en houd rekening me he domein p < L CD f ( p g( p ln(p + p (vanweg de ln( moe zeker gelden: p + > p > p > L ln(p + p dp p + p + p + p p (enige kandidaa dp p + p + L m + + a L( ln( ln( a f ( e f '( e + e ( + e f '( ( + e + e (kan nie He minimum van f is f ( e Dus f, e e b g( e g '( e + e ( + e g '( ( + e ( + e e (kan nie He maimum (zie een plo van g is g( ( e e e He minimum (zie een plo van g is g( e p p p c L g( p f ( p p e pe (p p e (me p < p d p p p p L (p p e L (p e + (p p e (p + p p e (p + p e dp p p ( p + p e ( e kan nie p + p me D p (wan p < dp Dus L is maimaal voor p q q d L CD f ( q g( q qe q e (me < q < Lma (opie maimum,9 (voor q,8 L f ( q g ( q cos ( q cos ( q + sin( q sin( q L cos ( q + ( sin( q ( cos( q + sin( q cos( q ( sin( q cos( q ( cos( q sin( q + 8cos( qsin( q dq sin ( q a (

4 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 cos( q cos( q (me < q < + 8cos( qsin( q 8cos( qsin( q 8cos( qsin ( q cos( q dq sin ( q sin ( q cos( q 8sin ( q q (geef maimum sin ( q sin( q (geef minimum q q 8 Dus is minimaal voor q en q cos( f ( sin( f ( sin( cos( sin( sin ( gp ( p cos ( p ( cos( g p ( p ( cos( sin( p sin( cos( Voor raken geld (me < < : f ( gp ( (dezelfde waarden f ( g p ( (dezelfde helling cos( p cos ( p sin( cos( sin( sin ( p sin( cos ( sin( p sin ( cos( cos( b ( ( ❶ ❷geef: cos( psin ( (voldoe nie aan ❶ psin ( psin( ❸ sin ( ❸ invullen in❶ cos ( sin(, 78 en, 88 sin (,78 invullen in ❸ p,9 sin (ns,88 invullen in ❸ p,9 sin (ns Dus de grafieken raken elkaar voor p,9 ❷ I l b h h h h h I 7a K K bodem + K zijwanden, + h, + h,, 8 +,8h +, h, 8 +, h I l b h h h h 7 h 7, I 7 K,8 +,,8 + K,8 +,h,, 7b,8, 8, dk K + +,,, d dk,,,,,,, 7 7 (de enige kandidaa d, K is minimaal bij de afmeingen l (dm bij b (dm bij h (dm 9, Kmin K (,8 +, ( 8a M Obodem + Ozijwanden + h + h I l b h h h h h I M + + M + h 8b dm M + + d dm (de enige kandidaa voor een minimum d M is minimaal bij de afmeingen l,7 (dm bij b,7 (dm bij h,9 (dm 9a O Obodem+ deksel + Oomhulsel r + r h r + rh I G h r h r h r h h I (cm r O r + r r + r r O r + rh 9b do O r + r + r r r r r dr r do r r r r r (enige kandidaa dr r r O is minimaal bij een sraal r, (cm en hooge h,8 (cm r

5 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a K K langs bos + K in weiland y + + y + 7 y O l b y y y y O K K + 7y b K dk 9 9 d dk ( > d K is minimaal bij de afmeingen l 77, (m bij b y, (m K + 9 min K ( ( c K + 9 (inersec, en, (nog langer dan in b Hij kies de afmeingen l, (m bij b y,8 (m a I poje G h r h h r Odeksel Obovenkan + Orand r + r r + r O poje Obodem + Ozijkan r + r h r + rh r + r r + r r K K + K r + r a + r + a ar + ar + ar + a ar + ar + a r r deksel poje ( ( r b ( r K a r + r + is minimaal als r + r + minimaal is r De opie minimum geef K is minimaal voor r, De sraal r, (cm en de hooge h, (cm r a De snelheid van de boo is v (km/uur v ( v v b De brandsofkosen Ku per uur zijn evenredig me v Ku cv K K cv u cv v v c K cv c v is minimaal als v minimaal is v v v De opie minimum geef K is minimaal voor v (km/uur v a + C + C me en C C + C + C + C C C b In CD is D + CD C ( + CD ( + CD + CD CD c O C CD d O do + d 9 e do 9 (eller 9 9 (de enige kandidaa d O ma O ( a b K KP + KP + KPC ( K + + dk + + d + + dk (kwadraeren d ( Kmin K ( + + (

6 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a b c ' + 9 K ( + C : C : C en C Dus K ( C + C P + en P ( + K + + ( + (opie minimum geef Kmin 7 ( voor a b P +, +, en P (, +,,,8 + +,, 8 +, P P + P + P +, +, 8 +, , +,8 +, (opie minimum geef 8 min,8 (uur Di is afgerond 9 seconden 7a 7b 8a 8b De afgelegde afsand in he waer is + + De afgelegde afsand over land is ( d d + + d + + (kwadraeren d ( > (enige kandidaa voor he minimum P PD Pyhagoras is PD: D PD P ( + O PD D P d O O + d do d O ma O( 8, 9 (cm 9a P r cos( c me r en de periode is, dus c y sin( me en de periode is, dus P r c r c 9b y P ' yp yp ' sin( a De punen P en Q hebben beide frequenie f c Hz b De rillingsijd van P en Q is T, seconde f,, u sin Q ( sin( (, He faseverschil is T, ranslaie (,; c u ( u ( P sin Q sin (, d P leg per kwarier (freq/sec (seconden in minuu (minuen (ampliude cm af Di is, km (elke periode word de ampliude keer (omhoog en erug, omlaag en erug afgelegd a up b sin ( c ampliude b up sin ( ( in seconden en u P in cm f c c uq sin ( ( d uq sin ( ( ( in sec en u in cm faseachersand en rillingsijd geef Q T d f

7 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 7/7 b u P uq geef sin ( sin ( ( sin ( sin ( + k ( + k + k + + k geen oplossing + k + k op, Dus c Op,, (besudeer de grafieken hierboven en gebruik b a P " P b cos( c b sin( c + b sin( c( + b sin( c( +, c c dus P " voer een harmonische rilling ui b Door de figuur een achse slag e draaien, zie je da de projecie van P op de lijn y op hezelfde neerkom als de projecie van een eenparige cirkelbeweging op de y -as Dus de projecie van P op de lijn y voer ook een harmonische rilling ui b y b a De omrek van de cirkel me middelpun P en sraal r, (m is (m De lenge van boog C is,7 (m b sin( ' ' ' sin( Dus lijnsuk C is ' sin(,7 (m P c b ' sin(, 9 en T l, (sec g c, 9,8 T, d T, (sec de klok geef ikken per, seconde dus ongeveer ik per seconde u sin( + sin( (opie maimum b, 77 u sin( + sin( (inersec of zero d, (je zoek de -waarde waar de grafiek van u sijgend door de evenwichssand gaa a b + u a + u a Je ken al de somformules: u b + u b sin( + u sin( cos( u + cos( sin( u a + b u a b sin( u sin( cos( u cos( sin( u ( a + b u ( a b cos( + u cos( cos( u sin( sin( u cos( u cos( cos( u + sin( sin( u sin( a + sin( b sin( + u + sin( u sin( cos( u + cos( sin( u + sin( cos( u cos( sin( u sin( cos( u sin ( ( a + b cos ( ( a b a b a + b ( a + b ( a b ( a b ( a + b sin( sin( sin( sin( sin ( ( cos ( ( sin ( cos ( a + u en b u ( a + b en u ( a b (zie de afleiding ina cos( a + cos( b cos( + u + cos( u cos( cos( u sin( sin( u + cos( cos( u + sin( sin( u cos( cos( u cos ( ( a + b cos ( ( a b cos( a cos( b cos( + u cos( u cos( cos( u sin( sin( u ( cos( cos( u + sin( sin( u cos( cos( u sin( sin( u cos( cos( u sin( sin( u sin( sin( u sin ( ( a + b sin ( ( a b 7a sin( en sin( hebben dezelfde frequenie c u sin( + sin( (opie maimum b, 9 u sin( + sin( (inersec of zero, (je zoek de -waarde waar de grafiek van u sijgend door de evenwichssand gaa Dus u, 9 sin( ( ns, 9 sin(, 7 d, 7

8 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 8/7 7b De frequenie f c Hz He pun leg in seconde,9,9 9 mm af Dus,9 m 7c u sin( + sin( du cos( + cos( d De snelheid op is du cos( + cos( mm/s Da is (ongeveer km/u d 8a u sin( + sin( ( sin( + sin( 8b sin( ( + cos( ( + sin( cos( sin( sin( u sin( du cos( cos( d De maimale snelheid is du mm/s Da is (ongeveer km/u d ma u p sin( c + p sin( c d p sin( c + sin( c d p sin( ( c + c d cos( ( c c + d p sin( ( c d cos( d p sin( c d cos( d b sin( c d me b p cos( d 9 ( a u sin( cos( sin( sin( sin( ( cos( ( sin( ( + cos( ( sin( + cos( sin( + sin( + b u sin( + cos( (opie maimum b, u sin( + cos( (inersec of zero d,8 (je zoek de -waarde waar de grafiek sijgend door de evenwichssand gaa Dus u sin( + cos(, sin(,8 a Zie de plo van u hiernaas De periode van u sin( is en de periode van u sin( is He kleinse geal waar een geheel aanal keer en in pas is Dus de periode van u sin( + sin( is b Zie de plo van u hiernaas De periode van u sin( is en de periode van u sin( is He kleinse geal waar een geheel aanal keer en in pas is Dus de periode van u sin( + sin( is a b u sin( + sin( heef periode sec c u sin( + sin( heef periode sec (zie de uileg hieronder (zie de uileg hieronder in [, ] u sin( u sin( periodes periodes in [, ] periodes periodes u sin( + sin( heef periode sec d u sin( + sin( heef periode sec (zie de uileg hieronder (zie de uileg hieronder u sin( u sin( in [, ] periodes periodes De periode van de zweving u sin( + sin( is sec (zie de uileg hieronder in [, ] u sin( u sin( periodes periodes in [, ] periodes periodes in [, ] in, [ ] u sin( u sin( periodes periodes periodes periodes u sin( u sin( in, periodes periodes in [, ] periodes periodes

9 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 9/7 a De bovenoon u,sin( heef frequenie f 7 Hz De bovenoon u,sin( heef frequenie f Hz De bovenoon u 8,sin(8 heef frequenie f Hz b De periode van u, sin(7 +, sin( +,sin( +, sin(8 is sec (zie hieronder in [, ] in, u, sin(7 u,sin( u, sin( u,sin(8 7 periodes periodes periodes 8 periodes periode periodes periodes periodes a De periode van u u + u, sin( +, sin( is sec (zie de uileg hieronder b Op he GR-scherm zie je periode van de zweving Xma,, c u u + u, sin( +, sin(, ( sin( + sin(, sin( ( + cos( ( +,sin( cos(, sin(, sin( a b c in [, ] in, u, sin( u, sin( periodes periodes periodes periodes sin( geef he pun (, lig op de grafiek van kromme K y sin( sin( Zie de grafieken in figuur Op is en y he pun (, lig op de grafiek van kromme K Op is en y he pun (, lig op de grafiek van kromme K y d Zie de grafiek van de kromme K in de figuur hiernaas,, O 7a In de -riching word begonnen in de evenwichssand (de y -as, daarna gaa de kromme naar he maimum, erug door de evenwichssand en door naar he minimum om e eindigen in de evenwichssand In de y -riching worden de maima y en de minima y vier keer bereik (begin- en eindpun zijn y 7b Dan in de -riching worden periodes doorlopen a en in de y -riching 8 periodes b 8 7c Dan in de -riching worden periodes doorlopen a en in de y -riching periodes b 8 In de y -riching word periode doorlopen en in de -riching periodes, dus de frequenie van is wee keer zo groo als die van y c 9 In de -riching worden periodes doorlopen a en in de y -riching periodes b a Dan in de -riching worden periodes doorlopen a en in de y -riching periodes b b sin( is maimaal voor ( + k en sin( is minimaal voor ( + k en sin( voor ( k,,, en

10 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 y sin( is maimaal voor ( + k, en y sin( is minimaal voor ( + k, en y sin( voor ( k,,,,, en Zie de -waarden in de figuur hiernaas a Neem GR - pracicum door (uiwerkingen aan he eind,,,, b c De figuur word wee keer doorlopen d Voor op, word de kromme één keer doorlopen a In de -riching word periode doorlopen en in de y -riching periode c b Voor op, word de figuur in de omgekeerde riching doorlopen (van rechsboven naar linksonder a b De periode van is voor en + (, voor + E (, voor + J (, De periode van y is y voor,,, en (,, D(,, G(, en I (, y voor en C (sin(, en H (sin(, y voor en F (sin( 7, en K (sin( 7, sin( c + k + k + k + k op, geef y sin( en geef y sin( De lenge van he lijnsuk is y sin( sin( + k + k + k + k + k 7 + k 8 op, In de -riching worden periodes doorlopen a Voor en is y sin( + b én sin( + b + b k én + b k b + k én b + k b + k ij b + k hoor de kromme van figuur 8 ij b + k hoor de kromme die he spiegelbeeld van de kromme van figuur 8 is bij spiegelen in de -as Dus b + k

11 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a (de y -as sin( k k geef y sin( sin(, 8 Dus bij hoor (, geef y sin( + sin( Dus bij hoor (, geef y sin( + sin(,8 Dus bij hoor D(, geef y sin( + sin( Dus bij hoor C (, b sin( + k + k + k 7 + k geef y sin( + sin(,77 Dus bij hoor E (, geef y sin( + sin( Dus bij hoor H (, EH + c a geef sin( a en y sin( a + Dus T (sin( a, sin( a + a + geef sin(a + sin( a en y sin( a + + sin( a + Dus U (sin( a, sin( a + TU sin( a + sin( a + sin( a + sin( a + + sin( a + sin( a + sin( a + a b Een cirkel kun je opvaen als de baan van een pun da deelneem aan wee harmonische rillingen in wee verschillende (loodreche richingen (me gelijke rillingsijd Dus een cirkel is een Lissajous-figuur ( cos( ( sin( Een parameervoorselling van de eenheidscirkel is bijvoorbeeld dus + y ( sin( y( sin( 7 Op de grafiek in figuur lig he pun (, p + q + q q Dus y p waaraan ook he pun (, moe voldoen p p 8 Subsiuie van een willekeurig pun P me P sin( en y P sin( in de formule y + geef sin( sin ( + sin( sin ( sin( cos(( sin( cos( Dus elk pun van de Lissajous-figuur voldoe aan de formule y + sin( sin( + Omda sin( me sin( hoor bij de sin( sin( (klop voor elke parameervoorselling de formule y + me 9a 9b y Zie de grafiek van de kromme K in de figuur hiernaas De keerpunen zijn (, en (, y a + b door (, a + b + b b Dus y a door (, a a a,, Vermoedelijk hoor bij K de formule y me Subsiuie van een willekeurig pun P me P sin( en yp sin( in de formule y geef sin( ( sin( cos( sin ( cos( sin ( cos( + + sin ( Elk pun van de Lissajous-figuur voldoe aan de formule y cos( + ( sin ( Omda sin( me sin( hoor bij de cos( cos( (klop voor elke parameervoorselling de formule y me,,

12 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a Lijn l : y + gaa door (, en (, Zie de baan van P in figuur hiernaas b sin( en y sin( invullen in y + geef sin( sin( + (inersec,, 9, geef,7 en y,,9 geef,97 en y, 7 Dus l snijd de baan van P in de punen (,7;, en (,97;, 7 c y Subsiuie van sin( en y sin( in de formule y geef sin ( sin ( sin ( ( sin( cos( sin ( ( sin ( sin ( cos ( sin ( cos ( (klop voor elke,, l Elk pun van de Lissajous-figuur voldoe aan de formule y Omda sin( me sin( hoor bij de parameervoorselling de formule y me a b a Zie de grafiek van K in de figuur hiernaas De keerpunen zijn (, en (, Subsiuie van sin( en y sin( in de formule y geef sin( sin( sin ( sin( + sin( sin ( sin( cos( + cos( sin( sin( sin ( sin( sin ( + cos( sin( cos( sin( sin ( ( sin( sin ( + sin( cos ( sin( sin ( sin( sin ( + sin( sin ( sin( sin ( ( sin( sin ( + sin( sin ( sin( sin ( sin( sin ( sin( sin ( (klop voor elke Dus alle punen van K liggen op de grafiek van y Zie de grafiek van K in de figuur hiernaas (de abel kan ook me TLE op de GR opgevraagd worden De keerpunen zijn (, en (, y y,,,,,, b y a + b door (, a + b 8a + b y a + b door (, a + b a + b 8a + b❶ 8a + b a + b❷ a + b a a in❷ + b b cos( cos( Dus c en d

13 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 Subsiuie van cos( en y cos( in de formule y geef cos( ( cos( cos( cos( + cos ( cos( cos( cos( sin( sin( cos ( cos( cos ( cos( sin( cos( sin( cos ( cos( ( cos ( cos( sin ( cos( cos ( cos( cos ( cos( cos ( cos( cos ( cos( ( cos ( cos( cos( + cos ( cos ( cos( cos ( cos( cos ( cos( (klop voor elke Dus bij de baan van P hoor de formule y me E a sin EP EP EP sin EF cos FP FP FP cos EF F P b O CDEF O FPE + ODE FP PE + E cos sin + sin sin cos + 8sin, c O CDEF sin cos + 8sin, a b Zie de eerse wee GR-schermen hiernaas sin( α + 8 sin( α (inersec α α 8 c O sin( α + 8 sin( α (opie maimum Oma, 7 voor α a a C α (Z-hoeken cos C C cos( α C C 8cos( α 8 h + C + 8cos( α α 8 b h + 8cos( α (inersec of 8cos( α cos( α 8 α sin( α DE DE DE sin( α D cos( E E α E cos( α en E E cos( α D O CD O ED + OECD E DE + E DE α cos( α sin( α + ( cos( α sin( α E sin( αcos( α + sin( α sin( αcos( α sin( α sin( αcos( α sin(8 b α DE DE D sin( α DE DE sin( α D C sin(8 α sin( α cos(8 α E E D cos( E α E cos( α cos(8 α cos( α 8 α α E + E cos( α O E CD OECD O ED E DE E DE ( cos( α sin( α cos( α sin( α sin( α sin( αcos( α + sin( αcos( α sin( α sin( αcos( α c α 9 O sin 9 sin 9 cos 9 CD Voor α 9 is CD een rechhoek me O D Dus de formule klop ook voor α 9 d O CD sin( α sin( α cos( α (inersec α α 8 OCD > (zie de plo < α < 8 e O CD sin( α sin( αcos( α (opie maimum O maimaal voor α C D C

14 7a 7b G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 S sin( α ST ST ST sin( α SP cos( α PT PT PT cos( α en RS + cos( α + cos( α SP O ( PQRS PQ + RS ST ( + + cos( α sin( α T sin( α ( + cos( α sin( α + sin( αcos( α O sin( α + sin( αcos( α (opie maimum Oma cm voor α 9 α P Q R 8a UFE α (de benen van de hoeken lopen evenwijdig en an( α EU EU EU an( α E EF V G h ( O ( FE O EUF FG F EU EF FG α ( U F an( α an( α E 8b In 8d is he deel van de bak zonder waer geen prisma meer me als grondvlak een driehoek UF α (Z-hoeken en an( α F U U U U F an( α α V G h O UF FG F U FG α α an( α an( α E 8c In deze siuaie is U (he waeroppervlak is rechhoek FGD F α (Z-hoeken en an( α an F F α, 8d Er is lier ui de bak weggesroomd V 8 Di is minder dan de helf van de inhoud van de bak de formule van 8b α F 8 (inersec of an( α α 8, an( α 8 α CM CM 9a sin( α C C C sin( α en cos( α CM cos( α M M Pyh in C : C C ( sin( α sin ( α L C + CM sin ( α + cos( α cos( α + sin ( α 9b L (inersec α 8 α L > (zie de plo < α < 8 C M 7a 7b E D sin( EP EP EP sin( EF cos( FP FP FP cos( EF F C OCDEF O FPE + ODE FP PE + E P cos( sin( + 8sin( sin( cos( + sin( O sin( cos( + sin( sin( + sin( do cos( + cos( cos( + cos( d do cos( + cos( d 8 + me D 8 ( cos ( + cos( + cos( cos( cos ( + cos( geen oplossing, 9 + k, 9 + k cos ( + cos( op,, 9 8 8cos ( + cos( (sel cos( O maimaal bij een hoek van ns 7 sin( DE DE DE sin( D D cos( E E E cos( en CD + cos( + cos( D O ( CD + CD DE ( + + cos( sin( sin( ( + cos( sin( + sin( cos( E C

15 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 7a 7b OCD sin( + sin( cos( sin( + sin( do cos( + cos( cos( + cos( d do cos( + cos( d + me D cos( + ( cos ( + cos( cos( 8 8 cos( + 8 cos ( geen oplossing, + k, + k 8cos ( + cos( op,, cos ( + cos( (sel cos( O maimaal bij een hoek van ns 8 C sin( EC EC EC sin( E en cos( DE DE DE cos( CD CD D O CD OECF + O DEC E EC + DE EC E F sin( sin( + cos( sin( sin ( + sin( cos( O sin ( + sin( cos( do sin( cos( + cos( cos( + sin( sin( sin( + cos ( sin ( sin( + cos( d do sin( + cos( sin( cos( cos( cos( + d + + k + k geen oplossing + k + k Er moe gelden: op, 8 8 7a sin( MP MP NP NP sin( en cos( cos( MN NP MN MP Verder is P N + NP + sin( en P M + MP 7 + cos( ( ( Pyh in P: L P + P + sin( cos( + sin( + sin ( cos( + cos ( ( sin ( + cos ( + sin( + 8cos( sin( + 8cos( + 7 sin( + 8 cos( + 8 7b L sin( + 8cos( + 8, dm 7c L sin( + 8cos( + 8 (inersec 7 7d 7a L sin( + 8cos( + 8 is maimaal als sin( + 8cos( + 8 maimaal is dy y sin( + 8cos( + 8 cos( 8 sin( d dy cos( 8 sin( (inersec, (rad d Lma sin(ns + 8cos(ns + 8, dm v ( + v ( De gemiddelde snelheid gedurende de eerse zes seconden is + m/s Gedurende de eerse zes seconden word meer afgelgd 7b s( (de afsandsfuncie is een primiieve van v ( (de snelheidsfuncie O O v ( d s ( s( s( is de afgelegde afsand gedurende de eerse zes seconden De afgelegde afsand op he inerval, is O 7 m 7c [ ] (gehele driehoek 7 7a 7b N ( + ( s + s + d s N ( (dus de berekening van Julia kom op hezelfde neer als de berekening in he voorbeeld N ( N ( + N '( s ds 8 ( s s ds 8 s s s ( N '( (inersec, 9 (dagen Di is na dagen en (afgerond uur

16 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7,s 77a + + ( 77b 77c I ( I ( I '( s ds e ds ( I he aanal in honderdallen en <,s,s,, + s e s e e, ( + e + e 99, I '( e e,,,,,, e e e e e e,,,,, Nee, he beeken da (voor < he aanal insecen me consane snelheid I '( e groei 77d (, (, + +, + +,,,, + e 99 + ( e e +,,,, + e + ( e ( e + e ( e,,, + e + ( e + + e 77e I ( I ( I '( d I '( d I ( e d e d,,,, + e + e + + e + e ( Dus op zijn er ongeveer insecen, I ( (zie 77d + e 9 (,,, I ( (zie 77d I ( + I '( d + e + e + e ( Dus in fase is er ergens een ijdsip waarop er insecen zijn,, I ( I ( + I '( s ds + e + ( e ( (inersec of,,,, ( e ( e e e + 9, (dagen,, e e 78a ( + + ( + 78b s( s( v( d v( d, d,8 8 d,, m,,8,8 ( ( ( De gemiddelde snelheid gedurend de seconden is m/s 9 v ( (me < <, + (inersec of algebraïsch, 9 9 v ( ( < <, (inersec of algebraïsch, 7 9 9,, s( s( + v ( d, d + (m Dus binnen de eerse seconden is meer afgelgd s( ( < s( + v ( p dp + (,p + p dp,, p p + +, s( + (inersec 8, (sec 78c ( 79a F ( F '( F '( ( ( (in de vroege ochend geef minimum (gegeven F ( (m /uur (in de loop van de ochend geef maimum (gegeven F ( 9 (m /uur 79b ( ( 79c ( d (fnin 9 (m 9 + (, d (inersec, d, d (fnin (m He is dan (ongeveer :

17 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 7/7, 8a + ( v ( v ( a( d v ( e d,,, e e + 7 e, (m/s,p,p,, v ( v ( + a( p dp e dp e e e,,p,,p s( s( + v ( p dp ( e e dp ( e p e + +,,,, e e + e e 8b ( ( (,, ( ( s( 8 + e e 8 (inersec 8, 97 (sec,,ns v (ns e + e, m/s 8a OZ : ZD : OZ OD me D(, Z (, 8b ( y d ( ( d ( d en y d 9 ( d Dus (klop Z 9 ( y d y ( y ( y + dy ( y + y dy y + y en dy 8 ( y d y y Dus y (klop Z en y y y O ( V ( 8 d ( (8 d ( 8 d ( y dy ( y y dy y dy 8 y y en 8 Dus (, Z y Z Z (kwadraeren ( (vold (vold O ( V 8 ( d d ( ( d d y y y en y y 7 ( y ( y y dy y y dy y y Z Z en y Dus Z (, y y ( y y d Z (fnin,7 en op grond van de symmerie is y Dus (,7;,,7 Z Z Z d 8 en y y y O ( V + ( d + ln ( ln( ( ln( ln( + ( ( d + ( ( d d + ( d + ( ( + ( y dy ( y dy dy [ y ] Dus ln( en y Z y ln( Z ln( ln(

18 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 8/7 8 y ln( e en ln( e e y ln( e e O ( + ln( d (fnin,78 V ( e ( (,97 d + ( ln( d (fnin,97,9 Z,78 y ( y e dy (fnin y Z, 8,78 e I y d ( d ( ( ( y d ( d (8 (8 (8 8, 8, Dus Z, 87 ( ( I y d ( d ( ( ( ( 9 y d ( d (8 (8 (8 ( ( Dus Z 9 88 ( ( y 89 He afgeknoe deel onsaa door he vlakdel V, ingesloen door de lijn l, de -as, de lijn en de y -as e wenelen om de -as l : y a + b me a door (, b Dus l : y + I y ( d ( + d ( ( + d V ( + ( + 78 l ( O y d ( + d ( ( + d ( + ( Dus he zwaarepun lig 7 Z boven he grondvlak van de afgeknoe kegel 78

19 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 9/7 Diagnosische oes Da L OP ( P + ( yp p + 8 p p + 8 p p p + 8 Db + d p p L p p 8 L (p dp p p + 8 p p + 8 p p + 8 p (eller p p Hierui volg dan: L + d min L( 8 7 p p p + 8 Dc OOQPR P yp p 8 p d + p p 8 p 8 p p 8 p dp 8 p 8 p d p p 8 p 8 p 8 p p 8 p p 8 dp 8 p 8 p Hierui volg dan: ma ( 8 9 D L f ( p g( p ln ( p ln ( p L ( p ( ( p ( p ( p ( p ln ln ln ln ( ln + ln + p dp p p p p p p p p (de enige kandidaa voor he maimum dp p p p p Da K ( + y + y 8 + y + 7y + 9 y O l b y y y 8 y 8 O 8 K K + 9y Db 9 9 dk K d dk ( > d K is minimaal me de afmeingen (m bij y 8 (m 7 K 9 min K ( + ( Da Db en + C C Pyhagoras in C : C C ( + O C C d K O + d dk 8 d 8 O ma O( Da De rillingsijd is T seconden, dus he faseverschil is f c Db u sin( Q ( me u in dm en in seconden Q Dc seconden f Hz f He pun P leg in minuu dm af Da is meer Dd up uq sin ( sin ( ( sin ( sin ( + k (geen oplossing ( + k + + k + k + k We zoeken Da u en u hebben dezelfde frequenie c 8 u, sin(8 +, sin(8, (opie maimum b, u, sin(8 +, sin(8, (inersec of zero, (je zoek de -waarde waar de grafiek van u sijgend door de evenwichssand gaa Dus u, sin(8 ( ns, sin(8,9 d,9

20 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 Db u u + u, sin(8 +,sin(8,, ( sin(8 + sin(8,, sin( (8 + 8, cos( (8 8 +,, 8sin(8, cos(,, sin(8, D7a u sin( + sin( heef periode sec D7b u sin( + sin( heef periode sec (zie de uileg hieronder (zie de uileg hieronder u sin( u sin( u sin( u sin( D8a in [, ] periodes periodes in, periodes periodes in, in, In de -riching worden periodes doorlopen periode is a In de y -riching worden periodes doorlopen periode is b 8 9 D8b sin( k k op, : y sin( k k 9 op, : periodes periodes 9 9 periodes 8 periodes,, D9a D9b Da y Zie de grafiek van K in de figuur hiernaas (de abel kan ook me TLE op de GR opgevraagd worden De keerpunen zijn (, en (, y a + b door (, a + b b y a + door (, a + a + a a Vermoedelijk hoor de formule y + bij K + ( sin( + sin ( + sin ( cos( y (wa e bewijzen was ij K hoor de formule y + me (wan sin( Noem S he snijpun van D en C Omda C en D CD is C D sin( S S S sin( en cos( S S S cos( Pyh in DS: SD D S sin( sin ( D S + SD cos( + sin ( Db S sin( C sin( ( D C cos( + sin ( sin( (inersec,, D S C Da OCE,8 OCE of O EDC, O D CE ECD α en an( α DE DE DE an( α CD E O EDC DE DC an( α an( α O EDC, OCE, 9 an( α 9 an( α 9 a Db EC α (Z-hoeken en an( α C E E E an( α O EC E C, an( α an( α O EC, OCE,,, an( α, an( α a α α C E α α C

21 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 Da Sel a( m + n me m 8 8 en a( 8 a( + 8 v ( v ( me v ( v ( + 8 s( + + s( me s( s( + s( + m Db Vanaf is a( v ( v ( + a( p dp d 8 [ ] 8 88 p + p + De hooge is maimaal als de snelheid v ( s(88 s( + ( v ( d ( 88 d (88 m D y log( y O ( V d (fnin, 8,7,9 Z,8 ( d (fnin, 7 ( ( y d y + ( log( d (fnin,8 ns y y y y Z O ( V y Da ( L ( ( ( + I y d ( d ( 8 d 8 8 ( + ( + ( ( d ( ( 8 + d (8 + (8 + De -coördinaa van he zwaarepun van L is 8 Db y y (me y I ( M ( d y ( ( y d y ( y y ( ( 8 8 ( y d y ( ( y y d y ( y y ( ( De y -coördinaa van he zwaarepun van M is 8 V y

22 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 Gemengde opgaven Toepassingen G9a f ( yp p (me < p < yp p 8 p O OSP OS y 8 8 P p p p p do p 8 p + p 8 p dp 8 p 8 p do p p 8 p 8 p p (8 p p 8 p p 8 p 8 dp 8 p 8 p O ma O ( 8 9 G9b O QSP QS y P ( p p 8 p ( p p 8 p do p p ( p 8 p + ( p p ( p 8 p dp 8 p 8 p do p p ( p 8 p p p ( p 8 p ( p(8 p (p p dp 8 p 8 p p 8p + p p p p p + (me D ( p + (voldoe nie p 8 (de enige kandidaa Oma O ( ( ( 8 9 L f ( p g( p p p p p + f p p g dp p p do p p p p (* kwadraeren dp p p p 9 ( p p 9 9p p 9 p 9 p (vold p (vold nie aan * Ga ( L 9 ma L( ( Gb L C h( p f ( p p + p d p h L p + dp p p f do p p (* kwadraeren d p + p p p p 9p ( p 9p p p p p (vold nie aan * p (vold L min L( Ga Reche lijn op (enkelvoudig logarimisch papier eponeniële funcie N b g Lijn door (, en (, g jaar 9 g jaar (9, Dus N, Reche lijn op (enkelvoudig logarimisch papier eponeniële funcie N b g Door (, 8 en (8, 8 g 8 jaar g 8 jaar (,9 Dus N 8,9 Gb N + N, + 8, 9 (opie minimum geef, en ( N + N 9 min Dus he minimale aanal van deze planenfamilie in di nauurgebied is ongeveer 9 Ga In DR : is sin( α DR DR DR,sin( α en cos( α D D D,cos( α R, R, In : is cos( E E D EQ α E,cos( α P,cos( α Q, D D P + P D, cos( α +,,cos( α,, cos( α, Pyhagoras in DR : R D + DR,, cos( α +,sin( α ( (,, 7cos( α +,cos ( α +, sin ( α (,, 7cos( α +,cos ( α +, cos ( α P, E Q,, 7cos( α +,cos ( α +,, cos ( α α,, 8, 7cos( α, 8cos ( α T, 9 R

23 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 Gb R, 8, 7cos( α, 8cos ( α (inersec α, 9 (radialen R > (zie een plo α >, 9 (radialen Gc L, 8, 7cos( α, 8cos ( α (me α,7 sin( α,8 cos( α sin( α dα,8,7cos( α,8cos ( α (eller, 7sin( α +,cos( α sin( α, 7sin( α ( + cos( α dα sin( α + cos( α α k cos( α α k cos( α (me α Dus R is maimaal (zie plo bij een hoek van (ongeveer,9 radialen Ga f ( sin( + cos( g( sin( cos( + sin( + sin( + sin( + sin( cos( + sin( + sin( ( + cos( ( ( + sin( + sin( + sin( ( cos( ( ( sin( + sin( + sin( cos( sin( ( + cos( ( sin( sin( + cos( sin( +, 9sin(, 8 sin( + Gb De grafieken van f en g hebben beide dezelfde periode dus h( is e schrijven in de vorm y b sin( c d De periode van de grafiek van f en de grafiek van g is c h( sin( + cos( + sin( cos( + sin( + (opie maimum, 9 en b, h( (inersec of zero,8 (je zoek de -waarde waar de grafiek sijgend door de evenwichssand gaa Dus h(,sin((, 8,sin(, 7 Dus b,, c en d,7 Ga u en u hebben beide dezelfde frequenie c 88 u u + u, sin(88 +, sin(88, (opie maimum b, u (inersec of zero, (je zoek de -waarde waar de grafiek sijgend door de evenwichssand gaa Dus u,sin(88 (,,sin(88, 87 Gb u u + u, sin(88 +,sin(88,,sin(88 +, sin(88,, sin(88, cos(,,cos(, sin(88,,sin(88, Gc De periodes van u, u en u zijn nie gelijk dus u is nie e schrijven in de vorm u b sin( c d Dus de rilling is geen harmonische rilling maar veroon wel een zweving De periode van de zweving u + u + u is sec (zie de uileg hieronder in [, ] in, u,sin(88 u,sin(88, u,sin(88 88 periodes 88 periodes 88 periodes periodes periodes periodes Ga Omrek f ( + + f ( + + ( f '( d ( d (fnin, 8 Gb O ( V ( d (fnin, +,7 Z,, O ( V ( ( + d (fnin,7 V y + y (me y ns ( y d y + ( y ( y dy (fnin, 9 y, 7 Z O ( V ranslaie (, Gc f ( + g( ( + + (een zelfde lichaam L als je de grafiek van g wenel om de y -as

24 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 y ( + + ( + y ( + + y + y I ( L I (cilinder + dy + ( d ( d + y y + y y + y y ( y ( y d y ( y + ( y ( ( Gd I ( L y d ( d ( d ( ( + + ( d ( d ( ( De -coördinaa van he zwaarepun is Z Ge y + y I ( L dy dy d y ( y d y [ y ] ( y y + + ( ( + + y d y + y( y d y y + ( y y + ( 8 ( De y -coördinaa van he zwaarepun is y 8 Z 9 G Q + R, + R, R, Pyh in R : R + R ( a + + (,, ( a + +, +, ( a + a + a + a + da + ( + d da + d (* kwadraeren ( ( + G7a + C, C, Pyh in R : C + C (, + C,, + + C, 8 + D ( (voldoe aan * (vold nie 8 invullen in a + geef a ma, (m ED,, C (snavelfiguur a (, a, a,, C C, (, G7b a (opie maimum a,77 (m, G7c He dak van een maimaal, m hoge auo moe minimaal 77 cm van de garagedeur verwijderd saan C a, R G8a De grafieken van en y hebben voor en een ereem en de grafieken van en y hebben en als symmerieas Dus de kleinse posiieve waarden waarvoor de krommen precies één keer word doorlopen zijn a en b G8b y geef cos( sin( sin( + sin( k + ( + + k + k + + k + k + k geef sin( en y + k + k geef sin( en y op, geef: De snijpunen zijn (, en (,

25 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 G8c K gaa door de punen (, en (, y a + b door (, a + b b Vermoedelijk hoor de formule bij y + K y a + door (, a + a + ( sin( + sin ( + cos( y (wa e bewijzen was ij K hoor de formule y + me (wan sin( sin( V G8d y + Omrek + + ( f '( d ( d (fnin, G8e ( V O ( + d (fnin,9 G9a y geef cos( geef sin( sin( (, + k + k geef sin( sin( (, + k + k Dus, op, geef: G9b + a geef sin( ( + a sin( + a cos( + a cos( a + cos( a en y cos( ( + a cos( + a cos( a a geef sin( ( a sin( a cos( a cos( a + cos( a cos( a en y cos( ( a cos( a cos( a cos( a cos( a Dus S ( cos( a, cos( a en T (cos( a, cos( a ST cos( a cos( a cos( a Ga ( cos( + cos( cos( ( + cos( ( cos(8 cos( r( cos(8 y ( sin( + sin( sin( ( + cos( ( sin(8 cos( r( sin(8 Gb ( cos( cos(8 y ( cos( cos(8 cos( cos(8 cos( sin(8 + k 8 + k + k 8 k + k + k + k k Dus ( y( voor + k Dus P passeer keer ( k,,,,, he pun (, Ga y ( sin( + + k + k + k De punen zijn (sin(, (,, (sin(, (,, (sin(, (, en (sin(, (, Gb sin( a + sin(( a + sin( a + sin( a sin( (a + + acos( (a + + a sin( (a cos( ( sin( a cos( sin( a sin( a,(8, Ga z '(8 e e,(,,(, e e e e, (, Dus,(,(,( Gb z ( a e + b z '( a e,,a e,(,a a z '( e,( z ( e + b,( e b e b b e + + z ( e,( Gc z ( z ( + e d + d (fnin 7, 8,( Gd z ( z ( + z '( d ns + e d (fnin 7 (kg Ga P haal Q voor he eers in als + Dus na seconden

26 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 P + Q cos( + cos( + y P + yq sin( + sin( + Gb cos( + cos( + sin( + sin( + cos( ( + + cos( ( ( + sin( ( + + cos( ( ( + cos( ( + cos( ( sin( ( + cos( ( cos( + cos( sin( + cos( ( cos( + cos( ( cos( cos( + Dus ofwel ( cos( ( sin( cos( φ y y ( cos( sin( + + Ga f ( '( Dus ( en '( f f f Raaklijn in : y + b door (, + b + b b Dus y + y + gaa door ook (,, wan + Gb f ( P (, en Q(, Omrek + + ( f '( d ( d (fnin, Gc O ( V + d ln ln( ln( ln( ln( ln( ln( ln( Gd r C f '( Raaklijn in me ( f : y + b door (, + b b Dus y + y + snijd de y -as in (, a Ga (, 8 en (8, a( ( Gb PQ is een gelijkbenige rechhoekige driehoek me P Q (de zijden van een gelijkbenige rechhoekige driehoek verhouden zich als : : QR is een gelijkbenige rechhoekige driehoek me R Q G ( Q Q P O Gc G( + 8 G '( + 8 G '( a( 8 + a '( ( + + G en a bereiken beide voor hun uierse waarde a '( + (eller Gd G c a c 8 + c (8 + c + 8 c c G ( + 8 R Q Ga O ( C en s ( + + H ( ( ( Gb s ( ( + + H ( ( + ( + ( + 7( + ( + ( + ( ( ( + ( ( + ( ( + ( + ( ( Gc H ( ( ( H ( + H '( ( H '( (eller 8 (8 8 (me < < 8 C

27 G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg 7/7 G7a l ( ' ' cos( cos( + sin( ( + + sin( ( ( + sin( sin( sin( sin( sin( sin( G7b g( sin( d cos( ( cos( cos( ( G7c l ( sin( (inersec,9 en, de ijd da l ( > op [, ] is (ongeveer,,9,7 (s de ijd da l ( < op [, ] is (ongeveer,7,8 (s (dus de beide delen zijn nie even groo TI-8 Lissajous-figuren a Zie de plo hiernaas b geef he pun ( ;,77 c sin( + k + k op [, ] 7 (conroleer di zelf d y sin( + k + k y op [, ] 7 9 (conroleer zelf e Uieindelijk dezelfde kromme, alleen de volgorde waarin de punen worden geplo is anders f ijvoorbeeld [, ] (één keer van via erug naar dan door naar en weer erug naar a Zie de plo hiernaas b sin( + k + k sin( + k + k heef een ereme waarde op [, ] 7 y sin( + k + k y sin( + k + k y heef een ereem op [, ] 7 9 c ijvoorbeeld [, ] (van (, via (, naar eindpun (,

C. von Schwartzenberg 1/11

C. von Schwartzenberg 1/11 G&R havo A deel C von Schwarzenberg 1/11 1a m 18:00 uur He verbruik was oen ongeveer 1150 kwh 1b Minimaal ongeveer 7750 kwh (100%), maimaal ongeveer 1150 kwh (145,%) Een oename van ongeveer 45,% 1c 1d

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast. a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Overzicht Examenstof Wiskunde A

Overzicht Examenstof Wiskunde A Oefenoes ij hoofdsuk en Overzih Examensof Wiskunde A a X min 0, X max 0, Y min 0 en Y max 000. 0 lier per minuu. Als de ank leeg is, dan is W 0, dus 00 0 0 dus 0. Na 0 minuen is de ank leeg. a Neem de

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

1 Inleidende begrippen

1 Inleidende begrippen 1 Inleidende begrippen 1.1 Wanneer is een pun in beweging? Leg di ui aan de hand van een figuur. Rus en beweging (blz. 19) Figuur 1.1 Een pun in beweging 1.2 Wanneer is een pun in rus? Leg di ui aan de

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden 6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel

Nadere informatie

Snelheid en richting

Snelheid en richting Snelheid en riching Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven

Nadere informatie

Voorwoord. Hoofdstukken:

Voorwoord. Hoofdstukken: Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend geheel Begrippen en mehoden, waarmee

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d a G&R vwo A deel 0 Allerlei uncie C. von Schwarzenber /0 Zie de plo hiernaas. b Alle raiek aan door O (0,0) en (;0,). c d De raieken van y = 0, en y = 0, komen nie onder de -as. De raieken van y = 0, en

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

Ze krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen.

Ze krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen. 1a 1b G&R havo A deel 1 Tabellen en grafieken C. von Schwarzenberg 1/14 Een buspakje kan door de brievenbus, een pakke nie. Een zending die voorrang krijg. 1c 5, 40. (Worldpack Basic prioriy Buien Europa

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Era oefening ij hoofdsuk a Een goede venserinselling voor de funie f is : X min en X ma en Y min eny ma 0. Voor de funie g X min 0 en X ma 0 en Y min 0 eny ma 0. y 0 8 8 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Veriale

Nadere informatie

E 1. Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t sin t y (t) = sin t t sin t

E 1. Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t sin t y (t) = sin t t sin t Buieling Gegeven een halve cirkel me sraal. Lijnsuk raak de halve cirkel in pun R. De lenge van is consan π meer, erwijl he raakpun R langs de cirkel loop, me een snelheid van m/s. Gebruik de ekening.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,

Nadere informatie

x 4,60en y 6,22. Dus de maximale gemiddelde winst is 6,22 euro per mat. Er worden dan 460matten per week geproduceerd. dw dq

x 4,60en y 6,22. Dus de maximale gemiddelde winst is 6,22 euro per mat. Er worden dan 460matten per week geproduceerd. dw dq 15 Differeie«re bladzijde178 16 a dw dq ˆ 1,5q2 8,25q W 550mae per week, dus q ˆ 5,5 dw dq ˆ 1,5 5,5 2 8,25 5,5 ˆ 0 qˆ5,5 Ui de sches volg da W maimaal is voor q ˆ 5,5. W ma ˆ 0,5 5,5 3 4,125 5,5 2 10

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0

Nadere informatie

11 Groeiprocessen. bladzijde 151 21 a A = c m 0,67 } m = 40 en A = 136. 136 = c 40 0,67 136 = c

11 Groeiprocessen. bladzijde 151 21 a A = c m 0,67 } m = 40 en A = 136. 136 = c 40 0,67 136 = c Groeiprocessen ladzijde a A = c m 7 } m = 40 en A = = c 40 7 = c, 40 0 7 c, Dus de evenredigheidsconsane is,. m = 7 geef A =, 7 7 Dus de lichaamsoppervlake is ongeveer dm. c A =, geef, m 7 =, m 7 009 m

Nadere informatie

2000 loopt van t = 5 tot t = 6. De toename in 2000 is N L(6) N L(5) 69 (lepelaars).

2000 loopt van t = 5 tot t = 6. De toename in 2000 is N L(6) N L(5) 69 (lepelaars). G&R havo A deel 0 Groei C. von Schwarzenber /6 a b Na drie weken 750 + 50 = 00 (m ); na vijf weken 750 + 5 50 = 500 (m ). Na één week 6 = (m ); = = na vier weken 6 6 56 (m ). w c 750 + w 50 = 6 (inersec)

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden

Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije A: Geen lineair veran, als x me oeneem, neem y nie sees me ezelfe waare oe. B: Lineair veran, als x me oeneem, neem y sees me, oe. C: Geen lineair veran,

Nadere informatie

2.4 Oppervlaktemethode

2.4 Oppervlaktemethode 2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de

Nadere informatie

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia Oefeningen Elekriciei I Deel Ia Di documen beva opgaven die aansluien bij de cursuseks Elekriciei I deel Ia ui he jaarprogramma van de e kandidauur Indusrieel Ingenieur KaHo Sin-Lieven.. De elekrische

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20

C. von Schwartzenberg 1/20 a G&R vwo B deel Eponenen en loarimen C. von Schwarzenber /0 Ze zijn elkaars spieelbeeld en opziche van de y -as. b Beide raieken hebben de -as (de lijn y = 0) als horizonale asympoo. c B = B = 0,. a b

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Blok - Vaardigheden ladzijde d 9 B B 6 f a a e r 9 9r r r r 8 a De rihingsoëffiiën van de lijn is gelijk aan en he sargeal is dus 7 0 de vergelijking is y x+ De rihingsoëffiiën van de lijn is gelijk

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VWO

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VWO UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 00-I VAK: WISKUNDE A, NIVEAU: VWO EXAMEN: 00-I De uigever heef ernaar gesreefd de aueursrechen e regelen volgens de weelijke bepalingen. Degenen die

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2015

Correctievoorschrift VWO 2015 Correcievoorschrif VWO 205 ijdvak wiskunde C (pilo) He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correcievoorschrif VWO 04 ijdvak nauurkunde He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Formules maken

Hoofdstuk 6 - Formules maken Hoofdsuk 6 - Formules maken ladzijde 0 V-a Formule, wan de grafiek gaa door he pun (,) 0 en formule is exponenieel. Formule heef voor x = 0 geen eekenis, erwijl de grafiek door he pun (0, 3) gaa. Formule,

Nadere informatie

Het wiskunde B1,2-examen

Het wiskunde B1,2-examen Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correcievoorschrif VWO 009 ijdvak wiskunde A, He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur wiskunde B Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 86 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Groei 11.1 Exponenti 0 5le groei Opgave 1: Opgave 2: Opgave 3:

Hoofdstuk 11: Groei 11.1 Exponenti 0 5le groei Opgave 1: Opgave 2: Opgave 3: Hoofdsuk : Groei. Eponeni 0 le groei Opgave : a. 60 7 70 7 800 miljoen b., c. 980: N 7 00 7, 7 900 miljoen o 990: N 7 00 7, 7 0 miljoen o 900 7 00 d. klop nie, per 0 jaar is de oename: 700% 7 % 00 Opgave

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

wiskunde A vwo 2015-I

wiskunde A vwo 2015-I wiskunde A vwo 05-I Diabeesrisicoes maximumscore 4 He aanal personen me verborgen diabees is binomiaal verdeeld me n = 400 en p = 0, 0 P( X 00 ) = P( X 99 ) Beschrijven hoe di me de GR berekend word De

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/8. 1b Bij situatie II is er sprake van een evenredig verband. bij p = 12,50 hoort q = 6500. W is evenredig met S,

C. von Schwartzenberg 1/8. 1b Bij situatie II is er sprake van een evenredig verband. bij p = 12,50 hoort q = 6500. W is evenredig met S, G&R havo A eel C vo Schwarzeberg 1/8 1a Bij I wor y vier keer zo klei (us he viere eel) ; bij II wor y (precies als ) ook vier keer zo groo 1b Bij siuaie II is er sprake va ee evereig verba a (rech)evereig

Nadere informatie

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z Tenamen CT222 Dynamica van Sysemen 25 juni 212 14.-17. Le op: - Vermeld op ieder blad je naam en sudienummer - Maak elk van de drie opgaven op een apar vel Opgave 1 (3 punen) 2 Een bekken (links) me berging

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = = C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1 1 1 4 5 4 6 4 4 5 f ( ) 6 + 6 6 + 6 6 f '( ) 4 + + 4 4 + + 4 g( ) 5 8 g '( ) 5 1 5 Onthou: y y '( ) 1 8 8 1 1 1 h + + + h'( ) 1 1 7 6 6 k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 )

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS Behorende bij de Bacheloropdrach HS Door: Julia Berkhou Lena Jezuia Sephen Willink Begeleider: Prof.dr. A.A. Soorvogel Daum: 17 juni 2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Achergrondinformaie 3 2.1 He geij.................................

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

Eenparig rechtlijnige beweging. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging a. x Steilheid van de raaklijn= v(t) Samenvatting Natuurkunde 1 VWO.

Eenparig rechtlijnige beweging. Eenparig versnelde rechtlijnige beweging a. x Steilheid van de raaklijn= v(t) Samenvatting Natuurkunde 1 VWO. Beweging Samenvaing Nauurkunde VWO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Rust en beweging

Hoofdstuk 1: Rust en beweging Hoofdsuk 1: Rus en beweging 1.1 Rus en beweging zijn relaief Ten opziche van he vlieguig is de passagier in................................................ Ten opziche van he aardoppervlak is he vlieguig

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 ( ) 2 25 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2. y y x. a 3a. ab b a b b a b. a a. a a. a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 ( ) 2 25 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2. y y x. a 3a. ab b a b b a b. a a. a a. a a G&R hvo B deel Eponenen en lorimen C von Schwrzenber / y = en y = b komen op hezelde neer = en = c y y komen nie op hezelde neer y = en y = komen op hezelde neer b c 8 = d = = 0 8 = e ( ) ( ) 9 = = 8 8

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: 44 110 dus 110 bolletjes. 24 15 dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3:

Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: 44 110 dus 110 bolletjes. 24 15 dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3: Hoofdstuk 5: Werken met formules 5. Stelsels vergelijkingen Opgave : a. 60 0,6 44 44 0 dus 0 bolletjes 0,4 b. 60 90 0,4 4 4 5 dus 5 broden,6 c.,6 0,4 y 60 Opgave : a. 5 y 50 y 5 50 y,5 0 b. p q 6 p q 6

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW) Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Gebruik van condensatoren

Gebruik van condensatoren Gebruik van condensaoren He spanningsverloop ijdens he laden Als we de schakelaar s sluien laden we de condensaor op. De condensaorspanning zal oenemen volgens een exponeniële funcie en de spanning over

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

t-toets met één steekproef Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 t obs = s N Marjan van den Akker Tweezijdige t-toets met één steekproef

t-toets met één steekproef Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 t obs = s N Marjan van den Akker Tweezijdige t-toets met één steekproef -oe me één eekproef vergelijking van één eekproefgemiddelde me een norm (een van e voren bepaald gemiddelde probleem: σ ui populaie i nie bekend en he eekproefaanal i klein (

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Differentiaalvergelijkingen oplossen

Hoofdstuk 6 - Differentiaalvergelijkingen oplossen Hoofsuk 6 - Diffrniaalvrglijkingn oplossn 6 Shin van varialn lazij a, 5 (, 5) us (, 5 ), 5 us volo D kromm gaa oor (0, ) us, 5, 5 0, 5, klop H onrs l van kromm vanaf pun (, 5; 0 ) a Als j a iffrnir, an

Nadere informatie

Labotekst. Meetsystemen

Labotekst. Meetsystemen Labo Meesysemen dr ir J.Baeen Laboeks Meesysemen MSYSL 2006 3 II Elekronica 3 II Elekromechanica (opie au) EK Elo EK EL - - J. Baeen Labo Meesysemen Doelsellingen - Inhoud - Evaluaie Doelsellingen Op basis

Nadere informatie

elektriciteit voor 5TSO

elektriciteit voor 5TSO e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van

Nadere informatie

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen Uiwerkingen opgaven hoofdsuk 4 Opgave 1 a 4.1 Sooren sraling en sralingsbronnen Eröngenfoon = h f h f 4 = 6, 6607 10 Js 19 = 1, 9 10 Hz E = = röngenfoon 4 19 14 6, 6607 10 1,9 10 1, 59 10 J b De hoeveelheid

Nadere informatie

digitale signaalverwerking

digitale signaalverwerking digiale signaalverwerking deel 2: sampling en digiale filerechniek Hoewel we de vorige keer reeds over he samplen van signalen gesproken hebben, komen we daar nu op erug, om de ermee samenhangende effecen

Nadere informatie

1800W. 2. De klemspanning van een batterij daalt van 14,4V naar 8V bij het belasten met 100A. Hoe groot is de inwendige weerstand van de batterij?

1800W. 2. De klemspanning van een batterij daalt van 14,4V naar 8V bij het belasten met 100A. Hoe groot is de inwendige weerstand van de batterij? Basisleersof vragen: oplossingmodel. Een accu van ol lever een sroom van 50A aan een moor. Hoe groo is de weersand (impedanie) van de moor? Hoe groo is he geleverde vermogen in W en PK? Geg. Ω 4 Gevr.?

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

X Y e. p n+ e. X Y e. Y(stabiel)

X Y e. p n+ e. X Y e. Y(stabiel) Faculei Bèaweenschappen Ioniserende Sralen Pracicum chergrondinformaie Eigenschappen van ioniserende sraling Bij he uizenden van ioniserende sraling röngensraling en α-, β- en γ-sraling door maerie gaa

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:00 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 20 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 20 tijdvak 2 woensdag 22 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Labotekst. Meetsystemen

Labotekst. Meetsystemen Labo Meesysemen dr ir J.Baeen Laboeks Meesysemen 2004 3 II Elekronica 3 II Elekromechanica (opies au/el) - - J. Baeen Labo Meesysemen Proef 1: Digiale opische meesysemen Proef I: Digiale opische meesysemen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 = 8 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1 Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt

Nadere informatie

Formulekaart Wiskunde havo/vwo

Formulekaart Wiskunde havo/vwo Formlekr Wiskde hvo/vwo Vierksvergelijkig Als! e " 4c #, d worde de olossige v de vierksvergelijkig + + c gegeve door 4c, " ± " Mche e logrime q $ + q ( > ) q ( ) q ( > ) ( $ ) $ (, > ) " ( > ) % (, >,!

Nadere informatie

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang: wiskunde B, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel Regels

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008 EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008 1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

10 20 30 leeftijd kwelder (in jaren)

10 20 30 leeftijd kwelder (in jaren) Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s O p le i d i n g: M a s t e r P u b l i c M a n a g e m e n

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 008 tijdvak wiskunde B B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 30 mei 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen; het examen bestaat uit 18

Nadere informatie