Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of De eacte coördinaten van de snijpunten met de as zijn dus ; 0 en ; 0 ( ) ( ) c De lijn = is symmetrielijn van de twee nulpunten en ook van de grafiek van f d De top ligt op de symmetrielijn De top is dus (, f( ))= (, ) V-a De symmetrielijn is = A heeft als coördinaat De coördinaat van B is dan ( ) = B(, f()) = B(, ); omdat f( ) = ligt B op de grafiek 8 ladzijde 9 V-a Je zoekt de symmetrielijn + + = 0 heeft geen oplossingen omdat D = =negatief is Los dus ijvooreeld op + = 0 ( + ) = 0 = of = 0 en je vindt de symmetrielijn = + 0 De top is dus ( ; f ( )) = ( ; ) g () = ( + )( ) Je zoekt weer de symmetrie-lijn Als je ( + )( ) = oplost krijg je ( + )( ) = 0 = of = De symmetrielijn is dus = en de top is (, g ( )) = (, ) 8 c Als je h ()= dus ( ) = 0dan krijg je = als enige oplossing en dus is = d de symmetrielijn en de top is (, h ()) = (, ) Het handigste is hier om k ()= op te lossen Je krijgt dan + = 0 + = 0 ( + ) = 0 = of = 0, de symmetrielijn is = en de top (, ( )) = ( 7 k, ) 8 V- Het andere snijpunt ligt aan de andere kant van de symmetrielijn = en even ver er vandaan De coördinaat van het gezochte snijpunt is dus + ( ( )) = 0 Het snijpunt is ( 0, 0) 9

2 Hoofdstuk - Machtsfuncties V-a Zie hiernaast Zie hiernaast R(, ) c S(, ) d M(, ) e eeld van R : (, 0) y V-a 0 y 8 geen waarde 8 Onderstaande grafiek heet hyperool c d y = delen door een getal kan nooit 0 opleveren V-7a ( 8, 0, ) c f( a) = = =fa () a a d in lijn y= en ook in lijn y= V-8a Bijvooreeld f ()= + Een plot: 0

3 Hoofdstuk - Machtsfuncties Bijvooreeld g ()= + Een plot daarvan: Een ander vooreeld is de lijn y= V-9 De lijn = is mogelijke symmetrielijn De lege cellen kun je nu maar op één manier invullen Je krijgt: y 0 0 V-0 Je kunt ijvooreeld de oorsprong als symmetriepunt nemen; de lege plekken in de tael kun je dan willekeurig invullen Machtsfuncties ladzijde 9 a Ze gaan door de punten (, 0 0) en (, ), zijn elk op hun manier symmetrisch en heen R als domein Even machten: de functies zijn overal 0 en zijn symmetrisch in lijn = 0 Oneven machten: deze functies heen als ereik R en zijn puntsymmetrisch in de oorsprong even even even even c ( ) = ( ) = (lijnsymmetrie in = 0 ); oneven oneven oneven oneven ( ) = ( ) = (puntsymmetrie in oorsprong) d B f = [0, ; B g = R ; B h = [0, ; B k = R a fen hzijn lijnsymmetrisch in = 0 gen k zijn puntsymmetrisch in (, 0 0) c Je past de theorie toe die onderaan ladzijde 9 staat De vergelijking f ()= heeft twee oplossingen: =, 7 en =, 7 De vergelijking f ()= 0 heeft één oplossing: = 0 De vergelijking f ()=heeft geen oplossing

4 Hoofdstuk - Machtsfuncties d De vergelijking g ()= heeft één oplossing, namelijk =, De vergelijking g ()= 0 heeft één oplossing, namelijk = 0 De vergelijking g ()= heeft één oplossing, namelijk =, De vergelijking h ()= heeft twee oplossingen, namelijk =, en =, De vergelijking h ()= 0 heeft één oplossing, namelijk = 0 De vergelijking h ()= heeft geen oplossing De vergelijking k ()= heeft één oplossing, namelijk =, De vergelijking k ()= 0 heeft één oplossing, namelijk = 0 De vergelijking k ()= heeft één oplossing, namelijk =, ladzijde 9 a De functievoorschriften van g en h heen een even eponent en ijehorende grafieken heen dan een symmetrieas De functies f, g, hen k gaan allemaal door punt (, ) Alleen fen kgaan door (, ) c Je past de theorie toe die onderaan ladzijde 9 staat De vergelijking f ()= 0 heeft één oplossing omdat de eponent van het functievoorschrift oneven is Hetzelfde geldt voor de vergelijking f ()=8 De eponent van het functievoorschrift van k is, dus ook oneven Dat etekent dat de vergelijkingen k ()= 0 en k ()=8alleei precies een oplossing heen Bij g en h horen even eponenten g()= 0 en h ()= 0 heen dan twee oplossingen en g ()=8en h ()=8geen oplossing a Ze gaan allemaal door de oorsprong Omdat a 0 = 0 is voor willekeurige a c De eponent is oneven Van de eigenschappen in het schema lijven over: gaat door (, 0 0 ), is puntsymmetrisch in (, 0 0 ), heeft altijd één oplossing (als tenminste geldt dat a 0 ) a Er zijn 8 kuusjes met elk een inhoud van r eenheden Dus I = 8r Bij de twee zijaanzichten tel je in totaal vierkantjes met elk een oppervlakte van r, ij oven-, onder-, voor- en achteraanzicht horen in totaal nog vierkantjes, dus samen Je het dan nog twee vierkantjes niet gehad, de twee opstaande vierkantjes aan de innenkant van de poten van het ding De formule voor O wordt: O= r c O= 0 r = 0 r = 9 r =± Omdat een negatieve r hier geen etekenis heeft lijft over de oplossing r = Invullen in de formule voor I geeft I = 8 =

5 Hoofdstuk - Machtsfuncties a h () = f () g () = = = Het antwoord is dus ja en a = Als je Y= X * X ^ 9 en Y = X^ in je GR invoert, dan krijg je twee samenvallende grafieken: 9 7 k () = f () + g () = + = ( + ), maar meer kun je er niet van maken Het antwoord is dus nee a Deze ewering is onjuist Wel juist is = = Deze ewering is onjuist Wel juist is = = c Deze ewering is onjuist Wel juist is = = d Deze ewering is onjuist Wel juist is + + = e Deze ewering is juist f Deze ewering is juist a Marja heeft ongelijk Als je Y = X^00 invoert in je GR en ijvooreeld 099, X, 0 en 0 Y als vensterinstelling kiest, dan zie je een stuk van de grafiek dat niet deel van een rechte lijn is Met vensterinstellling X en Y krijg je De verschillen in de grafieken van f en g zijn geheel te verklaren uit de omstandigheid dat 0 oneven is en 00 even

6 Hoofdstuk - Machtsfuncties Negatieve eponenten ladzijde 9 9a Voor = 0 estaat f ()niet Korter gezegd, f( 0) estaat niet Lijnen = 0 en y= 0 De as ( y = 0 ) is horizontale asymptoot, de y as ( = 0 ) verticale asymptoot c Hieroven zie je de grafieken van f en g Afgezien van = 0 is steeds g ()= en dus kun je het functievoorschrift van f ook schrijven als f ()= 0a Alle grafieken gaan door punt (; ) Bijehorende functiewaarde estaat steeds niet Verder heen ze allemaal = 0 als verticale asymptoot c Voor a = en a =heeft f alleen positieve functiewaarden Voor a =is dat niet zo d f () =, f ( ) = en f ( ) = a Verticale asymptoot: = 0 ( y as ), horizontale asymptoot: y = 0 ( as ) De grafiek is puntsymmetrisch in (, 0 0 ) c f ()= a c Als n even is, heeft n alleen positieve waarden In dat geval heeft de vergelijking n = geen oplossingen Als n oneven is kan n alle waarden aannemen ehalve 0 In zo n geval is de vergelijking n = dus wel oplosaar Geen oplossingen impliceert dus dat n even is Precies één oplossing Twee oplossingen ladzijde 97 a Vergelijking = 70 Oplossing: Plot Y= X^ en Y = 70 Met intersect krijg je de enige oplossing: 09,

7 Hoofdstuk - Machtsfuncties Vergelijking + = 0 Oplossing: Plot Y= X^ + Met zero vind je geen snijpunten met de as Er zijn dus geen oplossingen Vergelijking = Oplossing: Plot Y X en Y = ^ = 0, Met intersect krijg je twee oplossingen: 8, en 8, c Ongelijkheid < Oplossing : Plot Y= ( / 7)* X^ en Y = / 8 met 7 8 ijvooreeld vensterinstelling X en 0 Y 0, 00 De vergelijking = heeft twee oplossingen, namelijk = en = De 7 8 oplossing van de ongelijkheid is dan,, a De omwentelingstijd t wordt dan erg klein Dan wordt t groter en dus wordt a kleiner c De vergelijking die je moet oplossen luidt: 00 t = 98, Oplossing: Plot Y = 00 * X^ en Y = 98, Met geschikte vensterinstelling en intersect krijg je Dus zijn er twee oplossingen t ±, 9 De oplossing t, 9 vervalt hier echter Geroken eponenten ladzijde 98 a Per definitie is het getal dat met zichzelf vermenigvuldigd oplevert Volgens + de rekenregels voor eponenten geldt = = = Dus levert ook met zichzelf vermenigvuldigd op En dus is + + Uit de rekenregels voor eponenten volgt = = = c Plot Y= X^ 0, en Y = X^( / ) Je krijgt: Het domein van f is dan [ 0, en het domein van g is gelijk aan R d De grafieken van fen g gaan eide door de oorsprong De oorsprong is het randpunt van f Beide grafieken heen in de oorsprong een verticale raaklijn

8 Hoofdstuk - Machtsfuncties a Plot f en g in één grafiek Neem Y= X^( / ) en Y = X^( / ) Met intersect vind je de oplossingen = 0 en = De oplossing is 0, c Plot Y= X^( / ) en Y = Met intersect krijg je de oplossing = d Plot Y= X^( / ) en Y = Met intersect krijg je de oplossing = 7a Bijehorende grafiek is stijgend, zie ook onderdeel Plot Y= 8, X^( / ) en neem 0 Yma 00 enxscl = Ycl = 00 Je krijgt: c Je moet nu de vergelijking 8, A = 00 oplossen Plot ehalve Y= 8, X^( / ) nu ook Y = 00 Met intersect vind je A vierkante mijlen ladzijde a = = ; 8 8 = 7 ( 7 ) = = ; = ( ) = 7 8 = ( 8 ) = 8 = ( 8 ) = = ; ( 8) = ( 8 ) = = c = = volgens de GR Dat is logisch omdat = ( ) = = = 9 9 d =,87; = ( ), 8 ; 0, = ( 0, ) 0,88 9a omloop tijd afstand 000 Neem ijvooreeld Uranus en vul die in: 00 = c 870 c = 00 0, 99 dus c 0, 870 c =, A A = = 0 A = 0 7, 8 Dus Mercurius ligt op een afstand 0, van ongeveer 8 miljoen km van de zon d De aarde heeft een omlooptijd van, dagen,, = 0, A A = = 8, A = 8, 9, Dus de aarde 0, ligt op een afstand van ongeveer 9 miljoen km van de zon

9 Hoofdstuk - Machtsfuncties 0a HG = 0, LG = 0, 000 =, dus gram De vergelijking die hier moet worden opgelost is 0, LG = 70 Plot Y= 0, * X^( / ) en Y = 70 met vensterinstelling 0 X en 0 Y 000 Met intersect krijg je: Het gemiddelde lichaamsgewicht van giraffes is dus ongeveer 9 kg Eact oplossen ladzijde 00 a ( ) = = = Dit verklaart de overgang van de e naar de e regel = ( ) = = c = 0 = 0 = 0 = 0 of = 0 = 0 Omdat de eponent even is zijn er nu twee oplossingen Zie ook de theorie op ladzijde 9 d =,; =,; 0 = 0 7,, de oplossingen zijn dus ±, 7 ladzijde a = 000 = 000 = 000 ; 000 = 000, = = = () = ; = () 0, c = ( ) = = ( ) = = 8 a a a a even, maar 0 ; als a > 0: = en =, als a < = a 0 : en = = = = = () 0, 0000 c is negatief en even, dus > 0 en er is geen oplossing a = = = = = a 0 ( ) + = 0 = ; de eponent is even en negatief, dus is altijd positief en er is hier geen oplossing c = = = ; omdat de eponent even is zijn er twee 7 8 oplossingen, dit zijn = = en = = d = = 8 = 8 of = 8, ook hier dus twee oplossingen omdat de eponent even is e = 0 = = of =, ook hier twee oplossingen omdat de eponent even is f = 0 = = = ; hier maar één oplossing omdat de eponent oneven is 7

10 Hoofdstuk - Machtsfuncties a Plot Y= 8X^ en Y = X^7 met ijvooreeld 000 Y 000 Er lijken snijpunten te zijn 8 = = 0 ( 8 ) = 0 = 0 of 8 = 0 = 0 of = 8 = 0 of = 8 of = 8 c Je krijgt alleen de oplossingen = 8 en = 8 ; de vergelijking 8 = 7 kun je herleiden tot ( 8 ) = 0, dus is = 0 ook een oplossing, die echter verdwijnt als je door deelt a = = 0 ( ) = 0 = 0 of = = 0 of = of = = 9 9 = 0 ( + ) = 0 of = 9 c + = 0 ( + 0) = 0 of + 0 = 0; + 0 is echter altijd positief en dus is = 0 hier de enige oplossing 7 7 d = = 0 ( ) = 0 of = 0 = 0 of = = 0 of = of = 9 e + = ( + 0); omdat + 0 altijd groter is dan 0 is precies dan als 0 en dit is het geval als 0 ; de oplossing van de ongelijkheid is dus [, 0 ; het is natuurlijk ook mogelijk de ongelijkheid via een plot op te lossen f Eerst los je de gelijkheid = op: = = = = of = Plot Y= X^ en Y = met ijvooreeld vensterinstelling X en 0 Y 0 : De oplossing van de ongelijkheid is dus, ] [, Som en verschil van machtsfuncties ladzijde 0 7a f( 0, 0) = 0000, 0, f( 00, ) = 9999, 99 ; de term zorgt ervoor dat de functiewaarde groot is Plot Y= X+ X^ eny= X met vensterinstelling X en Y : c als ver van 0 af ligt, dan is de invloed van de term op de functiewaarde erg klein en is dus f ()= + 8

11 Hoofdstuk - Machtsfuncties 8a,,,, 0, 9,,9 7, 8, 0, 0,0 0,0 0,0 0,08 0, 0, 0, 0, 0,,,,, 0,, 8, 7,9 9, 0, 0, 0, 0, 0,08 0,0 0,0 0,0 De term heeft voor grote waarden van de meeste invloed op de functiewaarde g () In de uurt van = 0 heeft de term de meeste invloed ladzijde 0 9 De gevraagde functies zijn g ()= en h ()= Controle: 0a Voor grote waarden van is f () Voor grote waarden van is g () c Voor grote waarden van is h (), voor waarden dicht ij 0 is f (), voor waarden dicht ij 0 is g (), voor waarden dicht ij 0 is h () a de invloed van de term a verdwijnt voor grote waarden van, dat geldt voor eide a waarden f ()= + a = + a ; f ()kan alleen 0 zijn als + a = 0 en de laatste vergelijking heeft slechts oplossingen als a 0 Het antwoord is dus : voor a 0 c Voor grote waarden van is de term a verwaarloosaar, welke waarde a ook heeft De waarde van a is daar dus nauwelijks van invloed De waarde van a is wel van invloed op het gedrag van de functie dichtij de y as Als a ijvooreeld een andere teken heeft, ziet de grafiek er in de uurt van = 0 heel anders uit a Plot Y= X+ X^ eny = X met vensterinstelling X en Y Je krijgt: Afgezien van = 0 is de term is altijd positief, dus is + > voor elke 0 Voor = 0 estaat f ()en ook niet Maar je kunt wel zeggen dat f ()> voor alle waarden van waarvoor f ()een waarde heeft 9

12 Hoofdstuk - Machtsfuncties + = 0 + = 0 + = 0 = = 9 c Omdat is altijd positief ligt de grafiek van g ()= overal waar g ()een waarde heeft onder die van y= a Dichtij de y as is de term dominant, ver weg van de oorsprong is de invloed van eide termen verwaarloosaar en gaat de functiewaarde naar 0; de y as verticale en de as is horizontale asymptoot g () = 0 = = = 0 ( ) = 0 ( + )( ) = 0 = 0 of = of = ; de oplossing = 0 vervalt omdat voor die waarde g ()geen waarde heeft c De term is steeds negatief Controle: Gemengde opdrachten a ladzijde 0 De reedte is, dm, de lengte dm en de hoogte = 88, dm, de oppervlakte, is dan, + (, 88, ) + (, 88) =, 7 en dus K =, 7 (dm ) De hoogte h = 8 Voor oppervlakte K geldt: K = + ( h) + ( h) = + ( 8 ) + ( 8 ) = + 08 c Er moet gelden > 0, het gaat immers om de reedte van een doos d K( ) K( 0) =, 8 0, 8 =, 0 en K( 8) K( 7) = 8, = 9, De vergroting van de reedte van 7 naar 8 dm leidt dus tot de grootste toename qua oppervlakte e Voer in: Y= X + 08 / X met vensterinstelling 0 X 7 en 0 Y 00 Bepaal het minimum en je vindt = Dan is de reedte dm, de lengte dm en de hoogte a Z = 0, L = 0, 00 0, 099 ; de totale hoeveelheid zuurstof is 0, , ml Z = 0, L = 0, 0 0, 7 ; de totale hoeveelheid zuurstof is 0, 7 0 =, 7ml c Los op de vergelijking 008, = 0, L L = 0, L = L = = ; dus L = kg 70

13 Hoofdstuk - Machtsfuncties d Een geit is 8 keer zo zwaar als een haas Dan is het zuurstof geruik per kg lichaamsgewicht van de geit is 8 = keer zo klein als die van de haas Het zuurstofgeruik per kg is namelijk omgekeerd evenredig met de derdemachtswortel van het lichaamsgewicht e L = 0, 0 Dan is Z = 0, ( 0, 0), 99 en het verruik ij het afleggen van 00 m is, 99 0, 0 0, 0, 00 ml Kleine dieren geruiken in verhouding (per kg lichaamsgewicht) veel zuurstof ladzijde 0 a Hieronder vind je grafieken voor achtereenvolgens a = 0, a =, a = 8 en a = 8 Als a = 0 of a = 8 zijn er geen nulpunten omdat = = = d Omdat f( ) = 0is dus a 0 = en a = e ijvooreeld a =, a =, a = 9 Een plot van de grafiek voor a = vind je hieroven Plots van de grafieken voor a = en a = 9: f voor a = is het maimum met waarden ± 0, 7 ; voor a = is het maimum met waarden ±, ; voor a = 9 is het maimum ongeveer 0, met waarden ±, g Je moet dus aantonen dat a voor alle a > 0 Deze ongelijkheid is a gelijkwaardig met a( a) a a + 0 ( a ) 0 Deze laatste ongelijkheid is duidelijk waar (een kwadraat is positief of 0) en het =teken geldt als = a of = ± a 7

14 Hoofdstuk - Machtsfuncties ICT - Negatieve eponenten ladzijde 0 I-a ze heen nooit de waarde 0, de y as is steeds verticale asymptoot, de as steeds horizontale asymptoot even machten: alle functiewaarden zijn positief en worden twee keer aangenomen, oneven machten: elke functiewaarde 0 wordt precies één keer aangenomen c dat functiewaarden ij machtsfuncties met negatieve even eponenten machten positief zijn is in te zien doordat je zo n macht kunt schrijven als een macht van Omdat (evenals ) altijd positief is, geldt dat ijvooreeld ook voor 8 9 = ( ) d gevallen n= en n=: domein, 0 0, en ereik 0, ; gevallen n= en n=: domein, 0 0, en ereik, 0 0, e n= en n=: lijnsymmetrisch in lijn = 0 f n= en n=: puntsymmetrisch in de oorsprong I-a horizontale asymptoot: y= 0( - as) en verticale asymptoot: = 0( y- as) f ()= c d Als n even is zijn alle functiewaarden positief f () =, f ( ) =, f () = ladzijde 07 I-a Ze gaan allemaal door (, 0 0 ) Omdat a 0 = 0 voor elke a c Ze gaan allemaal door (, 0 0 ) Voor elk eemplaar uit de familie met a 0 geldt dat f ()= c voor elke c precies één oplossing heeft I-a c n is even één oplossing twee oplossingen I-a = 70 = = 0, (oneven eponent etekent één oplossing) + = 0 = geen oplossing 7

15 Hoofdstuk - Machtsfuncties c = 8 = 9 = 9,9 of = 9,9 (even eponent etekent twee oplossingen) d = = 8 = 8 8, of = 8 8, I-a Voor alle c 0 is de vergelijking h ()= c oplosaar Er is dan steeds precies één oplossing p=, n= Test jezelf ladzijde 0 T-a f is lijnsymmetrisch in lijn = 0 ; g is puntsymmetrisch in de oorsprong Voor een machtsfunctie van de vorm h ()= n geldt dat de grafiek door punt (; ) gaat Als h () = f () + g () dan is h() = f() + g() =, dus kan h ()hier niet zo n machtsfunctie zijn c Volgens de rekenregels voor eponenten is k ()= = = Dus k ()is een machtsfunctie, met eponent T-a Plot Y= + X^ en Y = met vensterinstelling X en Y 8 De vergelijking moet eact worden opgelost, dus + = = = = Eerst de vergelijking + = 00 oplossen = = = 0, of = 0, Aan de grafiek van f is te zien dat de oplossing van de ongelijkheid wordt, 00 ; 00 ;, c Beide termen in het functievoorschrift zijn positief De som is dus ook positief T-a Als het leefgeied 0,7 vierkante mijl is, dan is het aantal vogelsoorten S = 0 (, 07) 8 Als het leefgeied 00 vierkante mijl is, dan is het aantal vogelsoorten S = = 0 A A =, A =, 8, vierkante mijl c Het aantal vogelsoorten wordt dan 0 7, maal zo groot Het aantal vogelsoorten is immers evenredig met de zesdemachts-wortel van de oppervlakte d Voor kleinere geieden leidt dit tot een asoluut gezien grotere stijging van het aantal vogelsoorten Neem ijvooreeld een klein geied van 0 vierkante mijl dat 0 vierkante mijl wordt uitgereid tot 00 vierkante mijl Het aantal vogelsoorten reidt zich dan uit van S = naar S = , dus met 9 soorten Bekijk ook een groot geied van 00 vierkante mijl dat 0 vierkante mijl wordt uitgereid Bij a he je uitgerekend dat 00 vierkante mijl vogelsoorten etekent Bij 0 vierkante mijl horen S = 0 0 vogelsoorten, dus een stijging van slechts één soort e S = A A = S A = S f O=, A A= O Vul dit in de formule S = 0 A in Je krijgt dan, S = 0 ( O), O Dus c,, 7

16 Hoofdstuk - Machtsfuncties ladzijde T-a = = + = 0 ( + ) = 0 = 0 of = = 0 of = c = = () = = 8 d = 8 = () e =7 + 7 = 0 ( + 7) = 0 f Je lost eerst de gelijkheid op = = 0 ( ) = 0 of = Voor 0 wordt voldaan aan de ongelijkheid omdat dan 0 en 0 Verder zal de ongelijkheid ook gelden als groot genoeg De oplossing van de ongelijkheid is dus, 0] [, g Je lost eerst de gelijkheid = = = ( ) = 8 Plot nu Y= X^( / ) en Y =0, en je ziet dat de oplossing is: h Je lost eerst de gelijkheid op: = = () = Plot Y= X^( / ) en Y = 0, : En je ziet dat de oplossing van de ongelijkheid [ 0, is T-a + = 0 + = 0 + = 0 = = ; het nulpunt is dus (, 0 ) De invloed van de term wordt klein c De term heeft ongeveer de waarde 0 T-a Deze functiewaarden gaan steeds meer naar de waarde toe Alle functiewaarden liggen oven : voor elke > 0 (het domein van f ) is 00 positief c Eerst de gelijkheden + 00 = en + 00 = 8 oplossen = = = = 0 ; = = = = Een plot van f leert dat deze functie overal dalend is: En dus de oplossing van de ongelijkheid[ ; 0 ] T-7a f ()= Een machtsfunctie waarij het domein,0 is estaat niet Een functie die voldoet zou van de vorm g () = ( ) kunnen zijn ijvooreeld, maar deze voldoet niet aan de definitie van machtsfunctie T-8a f ()= 0 = 0 = 0 of = 0 ; De grafiek van g ontstaat uit die van f door naar rechts te schuiven De oplossing van g ()= 0 is dan = 0 of = + 0 h() = ( + a) = + a = of + a = a = of a =8 h() = ( + ) = of h() = ( 8) = c a = : ( ) = ( + ) ( ) = ( + ) geen oplossing of ( ) = ( + ) = = = a = 8: ( ) = ( 8) = 8 geen oplossing of ( ) = ( 8) = + 8 = = 7 T-9 Het verschil tussen a en is een even getal