wiskunde A bezem havo 2017-I

Transcriptie

1 Disribuieriem Een disribuieriem is een geribbelde riem die in een moderne verbrandingsmoor van een auo zi. Zo n riem heef en opziche van een keing voordelen: hij maak minder lawaai en er is geen smering nodig. Een riem heef als nadeel da hij slij en op een gegeven momen defec raak. Een defece riem veroorzaak veel schade aan de moor. He is dus belangrijk om de disribuieriem e vervangen voorda die defec raak. Di noem men prevenief vervangen. disribuieriem De levensduur van een disribuieriem is he aanal kilomeers da ermee gereden word o de riem defec raak. We gaan ervan ui da de levensduur van disribuieriemen normaal verdeeld is me een gemiddelde van km en een sandaardafwijking van km. Auomoneurs adviseren om de riem bij km prevenief e laen vervangen. 3p 1 Bereken de kans da een disribuieriem al defec is vóór de prevenieve vervanging bij km. Rond je anwoord af op vijf decimalen. Omda deze kans zo klein is, wil een auobezier de riem nie al bij km vervangen, maar pas na veel meer kilomeers. Hij wil echer nie da de kans op een defece riem groer is dan 0,10. 3p 2 Bereken he maximale aanal kilomeers waarbij hij dan de riem prevenief kan laen vervangen. Ineke heef km gereden me haar disribuieriem. He komende jaar verwach zij km e rijden. Zij saa voor de afweging: laa ik nu de riem prevenief vervangen of probeer ik he nog een jaar? Ineke vergelijk de kosen. Een nieuwe disribuieriem kos 505. Als ze de disribuieriem nu prevenief laa vervangen, is ze dus 505 kwij, maar dan kan ze ervan uigaan da de nieuwe riem he komende jaar geen problemen oplever. Als ze de disribuieriem nie laa vervangen, zijn er wee mogelijkheden. De riem die ze heef, raak nie defec en dan heef ze geen kosen. Maar als de riem in he komende jaar defec raak, kosen een nieuwe riem en he repareren van de schade aan de moor haar Ineke vraag zich af of ze da risico wil lopen. 1

2 In de garage gebruik men een abel waarin je kun aflezen hoe groo de kans p is da de disribuieriem in he komende jaar defec raak. Zie abel 1. Je zie bijvoorbeeld da iemand die km gereden heef me een disribuieriem en daarmee he komende jaar km zal gaan rijden, een kans van 0,39 heef op een defece disribuieriem. abel 1 aanal gereden kilomeers me disribuieriem (x 1000) verwache aanal e rijden kilomeers (x 1000) ,01 0,02 0,03 0,04 0,07 0,10 0,13 0,18 0,24 0,31 0,38 0, ,03 0,05 0,08 0,11 0,15 0,21 0,27 0,34 0,42 0,50 0,58 0, ,08 0,12 0,17 0,23 0,30 0,37 0,45 0,53 0,61 0,69 0,75 0, ,17 0,23 0,31 0,39 0,47 0,55 0,64 0,71 0,78 0,83 0,88 0, ,29 0,38 0,47 0,56 0,64 0,72 0,79 0,84 0,89 0,92 0,95 0, ,42 0,53 0,62 0,71 0,78 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 Ineke maak een kansverdeling van de kosen in he geval ze de riem nie laa vervangen. Zie abel 2. Hierin is p de kans da de riem in he komende jaar defec raak. abel 2 Kosen (in euro) wanneer de riem nie vervangen word Kans 1 p Ineke, die al km heef gereden me haar disribuieriem en in he komende jaar verwach km e rijden, laa de disribuieriem vervangen als de kosen van prevenieve vervanging lager zijn dan de verwachingswaarde van de kosen wanneer ze de riem nie laa vervangen. 4p 3 Zal Ineke haar disribuieriem prevenief laen vervangen? Lich je anwoord oe me een berekening. Ineke heef besloen om haar disribuieriem nie prevenief e laen vervangen en ze rijd he daaropvolgende jaar kilomeer zonder problemen. Maar na da jaar saa ze opnieuw voor de beslissing: prevenief laen vervangen of nie? Ook nu wil ze haar disribuieriem prevenief laen vervangen als de kosen hiervan lager zijn dan de verwachingswaarde van de kosen wanneer ze de riem nie prevenief laa vervangen. He aanal e rijden kilomeers in he daaropvolgende jaar saa voor haar echer nog nie vas. Bij een bepaald aanal e rijden kilomeers zijn de kosen van prevenieve vervanging even hoog als de verwachingswaarde van de kosen wanneer ze haar disribuieriem nie prevenief laa vervangen. 5p 4 Onderzoek bij welk aanal kilomeers di he geval is. p 2

3 Kleurenorenjes Kleurenorenjes is een spel voor figuur 1 kleine kinderen. Bij di spel horen vier sejes van zes kralen in zes verschillende kleuren, namelijk blauw, groen, rood, oranje, geel en wi. Ook hoor bij di spel een dobbelseen me op elk zijvlak een van de genoemde kleuren. Elke speler krijg een seje kralen en een saafje. Zie figuur 1. In de spelregels saa da elke speler me figuur 2 behulp van de dobbelseen zijn orenje moe opbouwen in de volgorde die in figuur 2 is aangegeven. De spelers gooien om en om me de dobbelseen. Als een speler de kleur gooi die volgens figuur 2 aan de beur is, dan mag hij de kraal me die kleur op zijn saafje plaasen, waarna zijn beur voorbij is. Als hij een andere kleur gooi, dan mag hij geen kraal plaasen en is zijn beur meeen voorbij. Wie he eers zijn orenje heef opgebouwd, is de winnaar. Chris gaa he spel me zijn oma spelen. Hij wee da hij eers blauw moe gooien, omda da de onderse kleur is in figuur 2. 3p 5 Bereken de kans da Chris, nada hij drie keer aan de beur is gewees, nog seeds geen blauw heef gegooid. Als oma drie keer aan de beur is gewees, kan ze óf geen kralen op haar saafje hebben óf één (een blauwe) óf wee (een blauwe en een groene) óf drie (een blauwe, een groene en een rode). 4p 6 Bereken de kans da de groene kraal op he saafje van oma zi, nada zij drie keer aan de beur is gewees. 3

4 Chris en zijn oma vinden de spelregels maar sreng. Ze besluien om de spelregels aan e passen en spreken af da de volgorde van de kleuren nie uimaak. Er moe wel een orenje van zes kralen gemaak worden da alle zes kleuren beva en een kraal mag pas geplaas worden als de bereffende kleur me de dobbelseen is gegooid. Ze beginnen ieder weer me een leeg saafje. 3p 7 Bereken de kans da Chris, nada hij drie keer aan de beur is gewees, drie kralen op zijn saafje heef. He spel gaa door, me de gewijzigde spelregels. Op een bepaald momen heef oma 1 kraal op haar saafje. Chris is al een suk verder, wan hij mis alleen nog de kleuren geel en blauw op zijn saafje. Je kun de kans berekenen da hij nog precies vier beuren nodig heef om zijn kleurenorenje complee e maken. Een van de mogelijkheden is da hij eers weemaal een kleur gooi die hij al op zijn saafje heef. Daarna gooi hij een van de kleuren geel of blauw en en sloe gooi hij de nog onbrekende kleur. Hij mag dus eers weemaal nie en vervolgens weemaal wel een kraal plaasen. Di kun je noeren als N-N-W-W. Zo zijn er meer manieren om na precies vier beuren klaar e zijn. 5p 8 Bereken de kans da Chris nog precies vier beuren nodig heef om zijn kleurenorenje complee e maken. 4

5 Smarphones Er zijn verschillende manieren waarop fabrikanen van smarphones de verkoopcijfers van hun producen preseneren. Smarphonefabrikan Belsonics, die de Cue-serie op de mark breng, hield bij hoeveel dagen he duurde voorda een bepaald aanal smarphones verkoch was. In de abel zie je een deel van deze gegevens. abel ype smarphone eerse miljoen verkoch in: eerse drie miljoen verkoch in: eerse ien miljoen verkoch in: Cue 1 70 dagen 85 dagen 138 dagen Cue 2 30 dagen 56 dagen Cue 3 12 dagen 40 dagen 71 dagen De verkoop van de Cue 2 is vanaf de eerse miljoen exemplaren o en me de eerse ien miljoen exemplaren lineair verlopen. Me behulp van lineair exrapoleren kun je berekenen in hoeveel dagen de eerse ien miljoen exemplaren van de Cue 2 verkoch zijn. 4p 9 Bereken hoeveel dagen minder he duurde om ien miljoen exemplaren van de Cue 1 e verkopen dan ien miljoen van de Cue 2. In de abel kun je zien da de verkoop van de Cue 3 veel sneller ging dan de verkoop van de andere wee ypes. Bij de Cue 3 bleek he aanal verkoche exemplaren vanaf de eerse miljoen nie lineair maar exponenieel e sijgen. 4p 10 Bereken me hoeveel procen he oale aanal verkoche exemplaren van de Cue 3 dagelijks oenam. Seeds meer mensen kopen een smarphone. Er vinden in Nederland onderzoeken plaas waarin onderzoch word hoeveel mensen een smarphone gebruiken. Hierbij kijk men alleen naar de doelgroep: alle Nederlanders van 12 o 80 jaar. De peneraiegraad van de smarphone is he percenage van de doelgroep da een smarphone gebruik. De peneraiegraad van de smarphone in Nederland kan berekend worden me de formule 100 P ,494 Hierin is P de peneraiegraad in procenen en de ijd in jaren vanaf 1 januari p 11 Bereken in welk jaar de peneraiegraad he mees oeneem. 5

6 Op 1 januari 2014 waren er 10 miljoen smarphonegebruikers in Nederland. 4p 12 Bereken hoe groo de doelgroep op 1 januari 2014 was. Op den duur gebruik vrijwel iedereen in de doelgroep een smarphone. 3p 13 Laa di zien me behulp van de formule. 6

7 Giflozing In een rivier is per ongeluk een gifige sof geloosd. Omda men wee om welke sof he gaa en om welke hoeveelheid, kan men een formule opsellen die bij benadering de concenraie van he gif in de rivier beschrijf. Deze formule is opgebouwd ui wee delen: ,37 p C me ( x ) p 2 Hierin is C de gifconcenraie in mg per lier, x he aanal km sroomafwaars langs de rivier vanaf de plaas van de giflozing en de ijd in uren vanaf he momen van de giflozing. De giflozing vond plaas om 10:45 uur. 3p 14 Bereken de gifconcenraie in de rivier om 14:30 uur op een afsand van 6 km sroomafwaars. In ondersaande figuur saa voor wee plaasen langs de rivier, één op 20 km afsand en één op 40 km, hoe de concenraie in de loop van de ijd verander. Op 20 km afsand is de concenraie na 16 uur ongeveer 100 mg per lier. figuur 250 C (in mg/lier) Legenda: concenraie op 20 km afsand vanaf de plaas van de giflozing concenraie op 40 km afsand vanaf de plaas van de giflozing (in uren) 7

8 Je kun in de figuur zien da de maximale concenraie op 20 km afsand ongeveer bereik word na 20 uur, en op 40 km afsand na 40 uur, dus als x. We gaan in de res van de opgave ervan ui da voor iedere afsand x geld da de maximale concenraie word bereik op ijdsip x. Me he bovensaande gegeven is een formule voor de maximale concenraie C max (in mg per lier) af e leiden ui de oorspronkelijke formule voor de concenraie C. Voor de maximale concenraie onsaa de formule C max 1000 waarin de ijd in uren vanaf he momen van de giflozing is. 3p 15 Laa zien hoe deze formule afgeleid kan worden ui de andere gegevens. Me behulp van deze formule kun je berekenen na hoeveel ijd de maximale concenraie C max gelijk is aan 80 mg per lier. 4p 16 Bereken deze ijdsduur in dagen. Geef je anwoord in één decimaal. De oorspronkelijke formule voor de gifconcenraie C kan worden geschreven als: ( ) x 1000 C 0,37 2 Hierin is C de gifconcenraie in mg per lier, x he aanal km sroomafwaars langs de rivier vanaf de plaas van de giflozing en de ijd in uren vanaf he momen van de giflozing. Op 25 km afsand van de giflozing lig een riviersrandje. Bij he srandje word voordurend de gifconcenraie in de gaen gehouden. Er geld hier een zwemverbod wanneer de concenraie C hoger is dan 65 mg per lier. 5p 17 Bereken hoelang he zwemverbod bij he srandje duur. 8

9 Smurfen Nederland was begin 2008 een aanal weken in de ban van smurfen. Bij een groe supermark me veel vesigingen liep een acie waarbij bij elke 15,00 aan boodschappen een smurf werd weggegeven. Er werden enorme hoeveelheden smurfen geproduceerd. Er waren 15 verschillende sooren smurfen en van elk soor werden er evenveel gemaak. Daarna werden ze goed door elkaar gemengd en aselec aan de kassa uigedeeld. De supermark wilde me deze acie meer omze maken. En da gebeurde. In februari 2008 bedroeg de oale omze van de supermark in Nederland 559 miljoen euro, da was 7,9% meer dan in februari Ook werd er per klanenbezoek in februari 2008 meer geld uigegeven dan in februari 2007: he gemiddelde bedrag op de kassabon seeg van 20,25 naar 21,55. 6p 18 Bereken hoeveel klanenbezoeken de supermark in februari 2008 méér heef gehad dan in februari Leonie heef 6 smurfen gekregen: 2 brilsmurfen en 4 andere, onderling verschillende, sooren smurfen. Ze wil ze op een rijje op de venserbank zeen. Rijjes waarin alleen de brilsmurfen worden verwisseld, zijn hezelfde. Leonie zeg da ze 365 dagen lang elke dag een ander rijje me haar 6 smurfen kan maken. 4p 19 Onderzoek me een berekening of Leonie gelijk heef. Peer Paul heef zijn verzameling bijna complee. Hij mis alleen Muzieksmurf nog. Hij gaa daarom bij deze supermark boodschappen doen. Hij beseed 63,50. 5p 20 Bereken de kans da hij nu zijn verzameling complee heef. 9