PERIODE Lineaire, Kwadratische en Exponentiele functies. Logaritmen.

Transcriptie

1 PERIODE Lineaire, Kwadraische en Exponeniele funcies. Logarimen. Lineaire processen. OPDRACHT 1 Mijn kleine neefje kreeg 10 euro van opa in zijn spaarvarken. Daarna kreeg hij elke maand 10 euro van zijn moeder om ook in da spaarvarken e doen. a) Welke formule hoor bij he bedrag da zich in he varken ophoop? b) Mijn neefje kan slech sparen en haal zelf seeds elke week 15 euro erui. Na hoeveel weken na opa's donaie is he spaarvarken leeg? c) Opa kan he nie langer aanzien en beslui nu éénmalig 100 euro e doneren en beloof he neefje da er elke maand 15% bij zal komen va he in he varken aanwezige bedragje. Hoeveel geld heef neef na 10 maanden? Is di nog lineair? OPDRACHT Bamboe groei soms me 30 cm per week. Da is erg snel voor planen. a. Aangenomen da zich da voordoe vanaf dag 45, is de vraag welke formule hierbij hoor. Op dag 45 is he bamboe al,50 m. b. In de nauur is eigenlijk niks lineair. Hoogui een gedeele van he groeiparoon,zoals hier. Aangenomen da bamboe de eerse 45 dagen anders groei dan lineair o,50m, bespreek me je buren welke groeivorm he mees voor de hand lig voor een dergelijke plan. OPDRACHT 3 Lineaire formules luiseren naar de formule: y=ax + b. Me a= rico en b he snijpun me de y-as Welke formule gaa door de punen: a) (0,0) en (10,0) b) (0,0) en (1, -4) c) (0,4) en (,10) d) (3,3) en (5,9) OPDRACHT 4 Bereken he snijpun van K=0,4p + 1 en K = 0,6p + 4,6 Familie de Vries beaal voor 10 m 3 gas een bedrag van 164,40 Familie de Boer beaal voor 10 m 3 gas een bedrag van 197,7 Welke formule gebruik he gasbedrijf voor deze rekeningen? OPDRACHT 5 Laa zien door omwerken da de volgende formules ook lineair zijn: y 1 3(0, x) ( x4)( x6) y ( x 4) 3x 4x y 6x 3 OPDRACHT 6 Een kop koffie die ne is ingeschonken is ongeveer 80 graden celcius. Na 10 minuen is de emperauur nog 30 graden.

2 a. Welke lineaire formule hoor hierbij? b. Waarom is he anwoord van vraag a wel goed maar nie realisisch? OPDRACHT 7 a) Teken in één figuur de lijnen y = x - 1 en y = 0,5x + 1 en de derde lijn y = -x + b) Noeer de coordinaen van de snijpunen van deze drie lijnen. OPDRACHT 8. De lijnen van vraag 3 zijn berekken eenvoudig; de meesen gaan door zogenaamde rooserpunen: makkelijk afleesbaar en geen kommageallen. Ter onderscheid noeren we A(x ; y). Welke formule van de reche lijn gaa door de punen A(1,5 ; 13,4) en B(16,8; 14,7)? Sel de formule op van de lijnen door de punen P en Q: a) P(10,4 ; 11,4) en Q(1,4 ; 0;4) b) P(-7,7 ; -5,5) en Q(4 ; 18,3) OPDRACHT 9. a. Sel de vergelijking op van de reche lijn die gaa door de punen A(3,5) en B(5, -1) b. Sel de vergelijking op van de reche lijn die parallel loop aan de vorige lijn en he pun C (-4,0) passeer. c. Er is een gebied da word opgesloen door de lijn k: y=-0.5x + 4, de lijn x=8 en de beide assen. Onderzoek wa de oppervlake is van di ingesloen gebied. OPDRACHT 10. Gegeven de lijn l: y=x - 4 a. Geef de formule van de lijn die parallel loop aan l en door he pun (4,10) gaa. b. Geef de formule van de lijn die l kruis in he pun me x=4 en een rico heef van -3 c. Bereken he snijpun van lijn l me lijn k: y= - 0,4x + 1 OPDRACHT 11. K is een lineaire funcie van m. Voor m = 5, K=10 en voor m=1, K=115. a. Schrijf K als funcie van m. b. Schrijf m als funcie van K. OPDRACHT 1 Los de volgende wee selsels op: x 4y 1 3x 5y 15 1, 4x3, y 1,88 0,89x5, 01y 4,36 OPDRACHT 13. Een parij besaa ui wee sooren producen A en B. Toaal zijn er 14 producen. De wins op A is 5,50 en de wins op B 7,50. Toaal word er 75 wins gemaak. Bereken aanallen A en B.

3 OPDRACHT 14 Andere lineaire vormen: De volgende formules komen op hezelfde neer: 1) y 4x 4 ) y4x8 3) y x 1 4 a) Toon di aan. b) Wa zou he verschil zijn? Zijn er voordelen? Le eens op de snijpunen me de assen! OPDRACHT 15 3 Een kosenformule : K 0,004( x 1) 0,0x 1 beschrijf de kosen in mijoenen euro's van een arikel. x is aanal suks in duizendallen, K de Kosen He window is hier: [0,0] x [-10,30]. Nie Zoom-fi, maar GRAPH gebruiken. a. Bereken de kosen bij de producie van 3500 suks. b. Hoeveel kan men produceren indien de kosen lager dan 13 miljoen moeen blijven? c. Ook de opbrengsen in miljoenen euro's hebben hun eigen formule: 6 O ( 8) (1 x 1,5 0,7 ) Le goed op hoé je di in de GRM ze: Y=6/(1+1,5*0,7^(x-8)) Teken beide grafieken nu in één figuur. NETJES!!!!!! d. Laa je GRM de verschilfuncie Wins ekenen als Opbrengsen - Kosen. Neem di ook over in je eigen ekening. e. Onderzoek me de GRM bij welke waarden van x he verlies he groos is en bij welke x de wins he groos is. f. Wiskundige modellen hebben een beperk domein = beperke geldigheid. Ik gaf je he window: [0,0] Verruim nu he window van 0 o 50 en beredeneer waarom deze grafiekenbundels nie meer de werkelijkheid zullen beschrijven. Je kan de Ymin op =10 laen saan en de Ymax op 30.

4 Kwadraische processen. OPDRACHT 1 Uigaande van y = 3x Naam ondersaande abel over en vul de rijen in (ook 1e en e verschilrij.) x y 1e v e v x Welke geallen onsaa in de e verschilrij? OPDRACHT Een groeiproces volrek zich kwadraisch. A = 0,5p - p + 4 Gebruik de abc-formule om de nulpunen van deze formule e bepalen. Teken globaal deze grafiek. abc : D b 4ac x 1, b D a OPDRACHT 3 Bepaal de nulpunen van ondersaande funcies. Gebruik de abc-formule om ervaring op e doen. a) f ( x) x 3x 3 b x x x ) k( ) 4 1 c) f ( x) 0.x 7x d f x x x ) ( ) OPDRACHT 4 Een spoorbrug heef een boogvorm die lijk op: H 0,00( x80) 13, H in meers. a. Gebruik je GRM om de juise grafiek e ekenen. b. Welke hooge heef deze boog op he pun x=0? c. En welke hooge op pun x=80? Hoe is da aan de formule e zien? d) Werk de haakjes weg en herschrijf je formule. Is deze vorm nog geschik voor analyse? e) Bedenk een formule van een boog die dezelfde op heef (op x=80) maar 4 m hoger lig en (ongeveer) op dezelfde punen sar. OPDRACHT 5 Ook kwadraen zijn geen geschike groeimodellen. a) Waarom eigenlijk nie? b) Een poging: Een populaie heren groei volgens: N = ,4x x in maanden. Na hoeveel jaar zijn er 1300 heren? c) Een realisischer model zou zijn da er seeds 1,% elk jaar bijkom. Bereken na hoeveel jaar er 1300 heren zijn als je sar me 150 en er jaarlijks 1,% bijkom. d) Waarom is di (exponeniele) model realisischer?

5 EXPONENTIELE PROCESSEN OPDRACHT 1 Geef aan wa de groeifacor is als he percenage is: a) 10% b) 33% c) 1,% d) 0,1% e) 80% f) 110% g) -5% OPDRACHT Groeipercenage en Facoren. Als ies groei me 1% kan je ook vermenigvuldigen me 1,1. Als ies afneem me 17%, kan je ook vermenigvuldigen me 0,83. Leg di aan elkaar ui. OPDRACHT 3 Gegeven de funcie : N 10 1,5 in dagen. N=aanal a) Maak een abel beginnend bij =0 o en me =10 b) Wa is he groeipercenage? c) Waarom is hier nie sprake van lineaire groei? Geef argumenen. OPDRACHT 4 Een exponeniële groei gaa volgens de formule: N in weken a. Vul ondersaande abel in en bereken N-waarden N b. Gebruik de en N-waarden om de grafiek van N e ekenen. c. Men beslui de formule e veranderen in een formule waarin de ijd in dagen voorsel. Welke formule hoor hier dan bij? d. Geef een schaing op welke week N de waarde: 50 heef. e. De eche waarde van blijk e zijn: = weken!! Conroleer door invullen in de eerse formule of da klop. OPDRACHT 5. Gis groei ook exponenieel zolang er voldoende voedsel is en geen vervuiling opreed. Een giskolonie besaa op een momen ui cellen. Elke 40 uur verdubbel de kolonie zich. Geef de formule van deze groei me in uren. OPDRACHT 6 3. He gaa slech me de ijsberen. Waren er in 1990 nog zo'n 45000, nu 4 jaar laer zijn he er nog maar Volgens biologen is er sprake van een exponeniële daling. a. Geef de juise exponeniële formule me in jaren. b. Probeer ui e rekenen wanneer er minder dan 100 ijsberen over zijn als de afname zo door blijf gaan.

6 OPDRACHT 7 4. Een luchballon is zojuis geland. Hij beva nog 190 m 3 hee luch die exponenieël wegsroom. Elke minuu verdwijn er 19% van de aanwezige luch. a. Geef de juise formule me in minuen en V in m 3. b. Na hoeveel uur is van he oorspronkelijk volume nog maar 10% over? OPDRACHT 8 5. Een miljonair heef voor zichzelf een leuk spelleje bedach. Hij heef wee spaarvarkens me elk 1000 euro erin. Van spaarvarken 1 haal hij elke dag 35 euro ui. Van spaarvarken neem hij seeds 4% weg van de nog aanwezige hoeveelheid. a) Geef van beide spaarvarkens de juise formule. b) Welk spaarvarken zal he eers minder dan 100 euro bevaen? c) Gebruik de abel hieronder om ui e vinden op welk momen(en) de spaarvarkens evenveel geld bevaen Spaar 1 Spaar OPDRACHT 9 De lenge van een plan groei in he begin exponenieel. Elke maand groei de sengel me 18%. a) Welke formule hoor hierbij als op ijdsip =0 de sengel al 40 cm hoog is? b) Welke formule hoor hierbij als op ijdsip = de sengel al 51 cm hoog is? c) Deze groei houd de plan nie vol; deze zou immers seeds langer worden Vanaf een ander (laer) ijdsip geld de formule: L = 10 (1-0,7 ) L in cm en in maanden geldig vanaf de vijfde maand. Vul de abel verder in L d) Is de genoemde formule eigenlijk exponenieel? OPDRACHT 10 He aanal inwoners van he dorp Vierhouen is gegeven door de formule: N = 1000*0,95 Bij de plaas Nunspee is da 7500 * 1,06.. Voor beide formules geld da =0 overeenkom me 1 januari 013. Tijd in jaren. Men neem een venser [0,15]x[0,0000]. Plo deze grafieken. a. Bereken in welk jaar Vierhouen en Nunspee evenveel inwoners hebben. b. Hoeveel verschil he aanal ussen beide dorpen op 1 januari 015? c. Me hoeveel inwoners zal Vierhouen in 016 afnemen? d. Me hoeveel procen zal de inwonerpopulaie in Nunspee in 00 oenemen? e. In welk jaar heef Nunspee x zoveel inwoners als Vierhouen? f. In welke jaren verschillen de inwoneraanallen 4000?

7 OPDRACHT 11 Een baceriekolonie verdubbel iedere 0 minuen. Da gaa heel erg snel. Bij aanvang is de kolonie slechs 100 baceriën. Vanui de biologie ween we da da me he bloe oog nie e zien is. Pas bij een kolonie van baceriën, zie je een speldeknop groe vlek. Die is dan wel na 0 minuen al wee keer zo groo. We gaan onderzoeken op welk momen de kolonie een oppervlake van 100 cm bedraag. Een speldeknop is slechs 1 mm groo. Onderzoek in weeallen de volgende vragen: a) Uigaande van 100 baceriën: hoe lang duur he voorda er baceriën zijn? b) Hoeveel ijd kos he om van 1 mm naar 100 cm e groeien? c) Sel da deze groei een jaar zo doorgaa hoeveel oppervlake word er door deze kolonie dan bedek? Waarom gebeur da in de werkelijkheid nie? OPDRACHT 1 Een benzineank is gevuld me 500 lier benzine. Door een klein gaaje onsnap seeds 0,5% per uur van de benzine. Die verdamp meeen waardoor he ook nie opval. Na hoeveel uren is de de hoeveelheid nog maar 50 lier? OPDRACHT 13 Een bioloog consaeer da de groei van een populaie konijnen exponenieel groei. Aanvankelijk is de groei slechs 8% per jaar. Men sar men 35 konijnen. a) Na hoeveel jaar zijn er 100 konijnen? b) Wa is he aanal na 0 jaar? c) He blijk da he groeipercenage veel hoger lig. Na 10 jaar is hun aanal al meer dan 108. Om welk percenage gaa he hier dan? d) De populaie vossen groei ook, maar verraagd in de ijd. Doorda zij van de konijnen leven, ( + ) groei ook hun populaie. N= 1 * 1,06 De konijnen gebruiken: N= 35 * 1,15 Maak nu voor de konijnen én de vossen de volgende abel: Konijnen Vossen e) In werkelijkheid groei een populaie nie eindeloos door, maar word geremd. De konijnen zullen massaal doodgaan door voedselgebrek of enorme druk van de populaie vossen. Helaas is he gevolg daarvan weer da ook de vossen weer in aanal afnemen. Een nieuwe formule voor de konijnen is: 50 N, me in jaren. (1 50 0,7 ) Ze deze in de GRM (gebruik haakje voor de onderzijde van de breuk) en plo deze in een veser: Xmin = 0, Xmax = 40, Ymin = 0 en Ymax = 60. f) Verklaar de vorm van deze ypische grafiek.

8 OPDRACHT 14 Onderzoek in de volgende abellen of sprake is van exponeniële groei: K N P Z Hoe kom je acher de formule van he volgende exponeniele proces K OPDRACHT 15 Een populaie zee-eenden op de Noordzee luiser naar de formule: N ,06 55 Maak een abel van deze formule en onderzoek of ondanks de lineaire componen in de formule, de oale formule nie och ook exponenieel is. Gebruik log papier of check me berekening of sprake is van een consane groeifacor. 5. He aanal inwoners van Appingendam is beschreven door: N ,10, me in jaren en N aanal mensen. Voor alle omringende gemeenen geld samen: N ,93 a. Maak van Appingendam en omliggende gemeenen een abel voor de eerse 10 jaar en schrijf die ook op. b. Laa je GRM he posieve verschil uirekenen ussen Appingendam en Omringende gemeenen en onderzoek me log-papier of deze verschilabel och exponenieel is. OPDRACHT 16 Een kop koffie die ne geze is, zou volgens horeca-mensen ca 80 graden hee moeen zijn. Men ze op die manier een kan koffie, die na he zeen (op =0) precies 80 graden warm is. Deze po laa men afkoelen in een kamer die 3 graden is. De nauurkundige Newon ondeke da hee voorwerpen geplaas in een koelere omgeving langzaam exponenieel afkoelen o de omgevingsemperauur. Volgens hem geld dan: T 3 57*0,90, in minuen. a) Me hoeveel % koel deze koffie af? Welke beekenis heef he geal 3? en 57? b) Hoe warm is deze koffie na 10 minuen nog? c) De koffie is nie meer lekker als deze ene emperauur heef beneden de 50 graden. Hoe lang mag men deze kan koffie maximaal laen afkoelen? d) Men kies voor een geïsoleerde hermoskan in plaas van een glazen kan. Hierdoor blijf de koffie langer warm. Uieindelijk vind alijd afkoeling plaas. T ,96 Teken beide grafieken in één plaaje. e) Onderzoek op welk momen he verschil in emperauur ussen beide kannen koffie he groos is. f) Een pan erwensoep word op ijdsip =0 van he vuur gehaald en heef een emperauur van 90 graden. Deze pan koel in 10 minuen af o 45 graden. Als men heel lang wach is de pan soep ne zo koud als de keuken: 18 graden. Welke formule hoor hierbij?

9 OPDRACHT 17 (VWO-B) Logisische processen. Een kenmerk van Logisische processen is de rusige langzame sar, de versnelling en daarna he langzaam bereiken van een soor bovengrens. G De formule heef de algemene vorm: N 1 ag, me g ussen 0 en 1 Drie slim gekozen waarden voor verklaren deze vorm: 1) Als nul is, is de erm ag 1 (ga na) en dus is N de helf van G. ) Als heeel groo is, is de erm ag vrijwel nul en dus N vrijwel gelijk aan G 3) Als heel groo negaief is, is de erm ag ook heel groo en N dus nagenoeg Gegeven N 1 0,84 a) Plo deze grafiek en conroleer of deze bij de y-as passage inderdaad 600 is. b) Bereken N voor =1000 en voor = c) 100 De grafiek word naar rechs verplaas: N ( 5) 1 0,84 Conroleer da he pun (0,600) inderdaad op (5, 600) is erech gekomen. d) 100 He lijk alsof de grafiek: N 1,4 0,84 hezelfde beeld geef. Conroleer da en verklaar he (evenuele minime verschil). e) 100 Probeer e voorspellen waar de grafiek: N 1 8,1 0,84 geekend moe 100 worden als verschuiving.o.v. N 1 0,84 OPDRACHT 18 Geremde groei Een nieuwsfei verspreid zich in de school snel. He aanal leerlingen da op de hooge is van een nieuwje is: N=100(1-0,7 ). in uren: =0: 09:00 uur. a. Verklaar de grafiekvorm b. Welke bovengrens heef deze formule? Pracische beekenis? c. Als =0 beeken 09:00 uur 's ochends, hoe laa hebben 950 leerlingen he nieuws gehoord? OPDRACHT 19 Beredeneer of de volgende grafieken sijgend of dalend zijn me oenemende : a) N b) N 8,1 1, ,9 c) N 650(1 0,35 )

10 OPDRACHT 0 Waarom wij nie bang hoeven e zijn voor Ebola (maar wel hulp moeen suren naar Wes-Afrika) Verschenen in Columns en Opinie, Focus, Volkskran 8 reacies Sinds de eerse uibraak in maar in Guinee grijp he Ebola-virus seeds verder om zich heen in Wes- Afrika. Me nu al meer dan 900 doden is he de dodelijkse uibraak van he virus ooi. Liberia kondigde zelfs deze week de noodoesand af om de siuaie nie verder ui de hand e laen lopen. Verschillende weserse landen, als Engeland en de VS, maken zich ook zorgen over de koms van (mogelijke) Ebola-paiënen naar hun land en de risico s daarvan voor de bevolking. Is deze angs overdreven, of zou Nederland er óók goed aan doen alvas voorzorgsmaaregelen e nemen? Hoge moraliei He Ebola-virus is een naar ding. Wanneer een paiën besme is me he virus, krijg hij of zij al snel griep-achige sympomen zoals koors, keelpijn, hoofdpijn en spierpijn, gevolgd door misselijkheid, diarree en overgeven. Laer gaan deze sympomen over in inerne bloedingen, nierfalen, en in 50-90% van de gevallen heef besmeing de dood als gevolg. Een veel hogere moraliei dus dan bijvoorbeeld he influenza-virus da griep veroorzaak, waarbij de sympomen in he begin vergelijkbaar zijn, maar slechs zo n 0,% van de geïnfeceerden overlijd. Opdrachen: Neem de vragen over en beanwoord ze. 1. Maaschappelijk: Waarom is de zieke zo infecueus?. Ondersaande grafiek oon de aanallen. Op di momen is de wereld in rep en roer. De viruszieke ebola grijp om zich heen; de overheden hebben e laa gereageerd. Gevolg? De zieke neem de vorm aan van een epidemie. Ondersaande grafiek oon wee eponeniële lijnen: Cases (ziekegevallen) en deah (de overledenen). Probeer de formule vas e sellen als he hier inderdaad gaa om exponeniële groei. Neem de ijd in weken. 3. Herschrijf de formule ook in de vorm waarin de ijdseenheid in maanden is. Hierbij kan je 4 weken aan een maand gelijksellen.

11 4. Aangenomen da he grafiekdeel van de Cases-grafiek lineair verloop vanaf o , Welke formule hoor daar dan bij? 5. We hopen da de weenschappers snel een passend vaccin heef onwikkeld da de enorme oename doe soppen. Als ze da luk is de zieke nie in een week meeen weg maar is de groose groei wel beheersbaarder geworden. Neem globaal deze grafiek over en verleng deze zoda de gunsige afloop zichbaar word. Hierbij is de vraag: Welk ype afname is hierbij van oepassing denk je? 6. Opnieuw kijkend naar beide grafieken: Geef ook de formule van de deah-grafiek. 7. Wa zou de formule kunnen zijn van de somgrafiek van deze wee grafieken? De somgrafiek geef op elk momen weer wa he aanal doden én zieken is. (VWO-opdrach) 8. Aangenomen da de formule van de deah-grafiek is: N = 100 * 1,0 is, me in dagen. Bepaal me deze formule he aanal doden na 365 dagen vanaf ijdsip =0. (31 maar 014) 9. Op welk momen is he aanal doden precies 3000? 10. He word een epidemie als he aanal doden boven de kom. Na hoeveel dagen is da he geval?

12