Dynamische Modellen (in de biologie, scheikunde en natuurkunde)

Transcriptie

1 1 8 G Z 6 4 I Dynamische Modellen (in de biologie, scheikunde en nauurkunde 3 x-y,5 y 1,5 1, x

2

3 Inhoud 1 Coninue dynamische modellen 1.1 Groeimodellen Opdrachen 1.4 Modelleren.1 Modelleren is vereenvoudigen Opdrachen.3.3 Modelleren is vereenvoudigen....4 en dan weer complexer maken.4 Opdrachen.5.5 Richingsvelden bij wee variabelen.6.6 Opdrachen.9 3 Evenwich 3.1 Evenwichen bepalen bij een variabele Opdrachen Evenwichen bepalen bij meer variabelen Opdrachen Modellen in de biologie 4.1 Roofdier-prooi-modellen Opdrachen Epidemieën Opdrachen Modellen in de nauurkunde 5.1 Vallen Trillen Opdrachen Modellen in de scheikunde 6.1 Reacievergelijkingen Verspreidingsmodellen Opdrachen Anwoorden

4

5 1 Coninue dynamische modellen Di hoofdsuk moe je zien als zien als een hoofdsuk waarin leersof ui he domein coninue dynamische modellen opgefris word. De belangrijkse seekwoorden zijn: differenievergelijking en differeniaalvergelijking, richingsveld, sapgrooe, groeimodel van Malhus en logisische groei. Als je goed wee wa me deze ermen bedoeld is dan kun je paragraaf 1.1 overslaan en meeen opdrach 1.1 en opdrach 1. maken. Inhoud van di Hoofdsuk 1.1 groeimodellen 1. Opdrachen 1.1 Groeimodellen In he domein Coninue Dynamische Modellen heb je kennis gemaak me modellen waarin geprobeerd werd om he gedrag van een variabele in de ijd e beschrijven. Een voorbeeld van een coninue dynamische variabele is he aanal dieren in een populaie. Als je aanneem da de groei alleen evenredig is me de omvang van de populaie dan krijg je he groeimodel van Malhus. De vergelijking die de omvang van de populaie beschrijf is: P( + P( + g P( De bovensaande vergelijking hee een differenievergelijking. P ( geef he aanal dieren aan op ijdsip, me word de lenge van he beschouwde ijdsinerval bedoeld en g is een onbekende groeifacor die alleen ui meingen bepaald kan worden. In een model doe je da meesal nie omda je ne de invloed van de onbekende facoren wil onderzoeken. Om berekeningen e maken moe je ook nog de omvang van de populaie op ween: de parameer P (. Deze waarde is een consane maar in he model onderzoek je ook wa de invloed van deze facor is. Ook heb je geleerd hoe de differenievergelijking overgaa in een differeniaalvergelijking als de ijdsap "oneindig" klein word. In di geval word de differeniaalvergelijking. Eers breng je P( naar één kan, vervolgens deel je door. Da mag wan is ongelijk aan nul. P( P( + P( g P( + P( g P(

6 Wiskundige Modellen 1. 1 Coninue dynamische modellen Aan de recherkan saa he differeniequoiën P/. Als naar nul gaa dan gaa di geal naar he differeniaalquoiën, of anders gezegd de afgeleide van P. Je krijg dan de differeniaalvergelijking: P '( g P( He model van Malhus is vrij onrealisisch. De populaie dieren word oneindig groo als g >, onongeach de omvang van de populaie op. Da kun je zien aan een abel me berekeningen. Ook kun je da zien in he richingsveld da bij de differeniaalvergelijking hoor. groeifacor,1 sarpopulaie 1 dela,1 1 groeimodel Malhus ijd populaie, 1,,1 1,1, 1,,3 1,3,4 1,41,5 1,51,6 1,6,7 1,7,8 1,83,9 1,94 1, 1,15 1,1 1,116 1, 1,17 1,3 1,138 1,4 1,149 populaieomvang ijd Een realisischer groeimodel is he logisische groeimodel. In da model word ook veronderseld da de populaie bij een bepaalde omvang K nie meer groei. De differenie- en de differeniaalvergelijking in da model zijn: + c P( ( K P( ( K P( P( + P( P '( c P( He is gebruikelijk om de populaieomvang e meen in eenheden van K. De nieuwe variabele word dan N ( P( / K. Bovendien neem men meesal K 1. De vergelijkingen zijn dan: ( 1 N( ( N( + N( + c N( N '( c N( 1 N(

7 Wiskundige Modellen Coninue dynamische modellen In coninue dynamische modellen heb je ook geleerd da er een direc voorschrif voor de logisische groeikromme besaa. De oplossing van de differeniaalvergelijking is: N A. e ( c, me A 1 N( N( Omda de e-mach seeds dicher bij kom als groer word, gaa N uieindelijk naar 1. De populaie groei dus naar de waarde K. Vrij voor de hand liggend als je bedenk er bij omvang K geen groei meer is. De waarden van c (c > en N( hebben geen invloed op die "eindwaarde". In he ondersaande richingsveld zie je de groeikromme waarvoor geld da 1 c,1 en N(,3. He funcievoorschrif is dan N( 7, e 3 logisisch groeimodel 1,5 populaieomvang 1, ijd Hieronder zie je logisische groeikrommen voor verschillende waarden van N(, seeds geld c,1. logisisch groeimodel : invloed N( 1,5 populaieomvang 1, ijd

8 Wiskundige Modellen Coninue dynamische modellen En in he plaaje hieronder zie je de invloed van de groeifacor c, nu geld seeds N(,3. logisisch groeimodel : invloed c 1,5 populaieomvang 1, ijd Ook he logisische groeimodel is in veel prakijksiuaies weinig realisisch. De groei van een populaie word immers beïnvloed door de seizoenen. Maar he logisische groeimodel vorm een basismodel. In de opdrachen word di model verder uigebreid. De logische groeikromme word he "duidelijks" beschreven door he funcievoorschrif. Daaraan kun je direc zien wa er gebeur als c of N( groer word De afleiding van die formule is echer nie eenvoudig. Ook voor de modellen in de volgende hoofdsukken is da een moeilijke en soms onmogelijke klus. De differeniaalvergelijkingen zijn daarvoor e ingewikkeld. Gelukkig kun je de variabelen alijd numeriek besuderen me behulp van de differenievergelijking. Je kun abellen en grafieken maken en op die manier de invloed van de parameers van he model onderzoeken. 1. Opdrachen opdrach 1..1 Er besaan verschillende pakkeen waarmee je coninue dynamische modellen kun onderzoeken. Voorbeelden zijn ODE-Archiec, Dynasys, Dynamics solver, IP-coach, Mahemaica, Maple, Malab en VU-grafiek. Elk pakke heef voor- en nadelen. Maak me he pakke da je er beschikking heb de wee laase grafieken van paragraaf 1. Besudeer als da nodig is de handleiding of he insrucieblad bij he pakke. opdrach 1.. In he logisische model ga je ervan ui da er ook bij kleine populaie-omvang sprake is van groei. Da geld voor veel sooren nie. Denk aan mannejesdieren die vrij geïsoleerd leven en op zoek moeen gaan naar vrouwjes. Als de populaie e klein is dan word de kans op he vinden van een parner erg klein. Als je aanneem da de groei pas plaas kan vinden vanaf een zekere drempelwaarde d dan moe je de facor N vervangen door N( - d.

9 Wiskundige Modellen Coninue dynamische modellen De differenievergelijking word dan N( ( N( d ( 1 N( + N( + c Neem voor c de waarde,1 (de waarde ui paragraaf 1.1 en eken voor verschillende waarden van d ui <,,5> he richingsveld me een aanal oplossingskrommen. Analyseer m.b.v. grafieken de gevolgen van deze aanname. Wa zijn de verschillen me he logisische model?

10 Modelleren He maken van een model is nie eenvoudig. In werkelijkheid zijn er meesal veel facoren die een rol spelen. In di hoofdsuk zul je zien hoe je sap voor sap een model opbouw. He model in paragraaf.1 ben je misschien al eerder egengekomen. He beschrijf hoe een voorwerp word opgewarmd in een omgeving waarin de emperauur consan blijf. In paragraaf.3 word die eis losgelaen. Dan is ook de omgevingsemperauur variabel. In de opgaven mag je laen zien da je me model kun werken maar bovendien moe je voor een aanal nieuwe siuaies modellen opsellen. Verder maak je in di hoofdsuk kennis me een veldplo. Me een veldplo kun je he verband ussen wee variabelen visualiseren. Inhoud van di Hoofdsuk.1 Modelleren is vereenvoudigen.... Opdrachen.3 Modelleren is vereenvoudigen... en dan weer complexer maken.4 Opdrachen.5 Richingsvelden bij wee variabelen.6 Opdrachen.1 Modelleren is vereenvoudigen... Nie alleen populaies worden besudeerd me coninue dynamische modellen. De nauurweenschappen zien vol me dynamische variabelen. Denk aan de beweging van een vallend voorwerp of aan de concenraie van een vloeisof waarin een bepaalde sof word opgelos. Ook de hoeveelheid zuursof in een café verander voordurend. Een ander duidelijk voorbeeld is de emperauur van een voorwerp da ploseling in een gekoelde of verwarmde ruime erech kom.

11 . Modelleren Een van de moeilijkse problemen is he opsellen van he model. He is versandig om e saren me een eenvoudig model. Da houd in da je eers eenvoudige aannamen neem. Bekijk een pizza die je in een voorverwarmde oven ze. De pizza heef een bepaalde saremperauur; bijvoorbeeld 6 graden Celsius. De oven heef een emperauur van graden Celsius. Op he momen da je de pizza in de oven ze word de pizza verwarmd. Hoe de warme uiwisseling precies verloop is nie duidelijk. De oven zal ook in emperauur dalen. Da maak he model echer meeen moeilijk wan er zijn dan wee emperauren die veranderen. Daarom is he versandig om e verondersellen da de emperauur van de oven consan º Celsius blijf. He verwarmingselemen werk dus bijzonder goed en snel. Door deze aanname word de siuaie overzichelijker. De pizza word warmer. Maar de volgende sap is de vraag: hoe word de pizza warmer? Voor de differenievergelijking houd da in da je je afvraag hoeveel graden de pizza sijg in een ijdsduur. T pizza ( + Tpizza( +? Ook nu moe je aannames doen. De mees eenvoudige aanname zou zijn da de oename evenredig is me de lenge van de ijdsduur. Da beeken da elke ijdseenheid neem de pizza eenzelfde aanal graden oe in emperauur. Nauurlijk mag je deze aanname doen. Je krijg dan de vergelijking: T pizza ( pizza + T ( + c Da houd in da de emperauur lineair sijg. Maar da saa ver af van de ervaring. In he begin is he verschil 14º Celsius. Veel laer is he verschil veel kleiner. De warmeuiwisseling zal dan veel kleiner zijn. Een realisischere aanname is de aanname da de emperauuroename ook evenredig is me he verschil in emperauur ussen de oven en de pizza, dus me ( - Tpizza. Nauurlijk moe je voor de Tpizza de emperauur aan he begin van he ijdsinerval nemen. Die benadering is goed als klein is. De differenievergelijking word dan: T ( T ( pizza ( pizza pizza + T ( + c De parameer c in deze vergelijking is een posiief geal, de pizza sijg immers in emperauur. Deze vergelijking zal de wekelijkheid waarschijnlijk beer beschrijven dan de eerse vergelijking. He is zinvol om di model door e rekenen en e vergelijken me werkelijke meingen. De eindemperauur van de pizza zal in di model º Celsius worden.

12 .3 Modelleren In he ondersaande figuur zie je de emperauur van de pizza in de ijd voor verschillende waarden van c. 5 model voor Tpizza 15 Tpizza ijd Overigens is di model al beschreven door Newon. De bijbehorende differeniaalvergelijking is algemeen: ( T T( T '( c omgeving me c > Als Tomgeving kleiner is dan de beginemperauur van he voorwerp dan zal he voorwerp afkoelen, in de andere siuaie is er sprake van opwarmen.. Opdrachen opdrach..1 De pizza "ui paragraaf.1" word in de oven geplaas. Ui eerdere meingen is bekend da de evenredigheidsconsane in he model gelijk is aan,18ºc per minuu. a Na hoeveel minuen is de emperauur 1ºC als de ovenemperauur º is en blijf? b In werkelijkheid is de pizzaemperauur al na 13 minuen 1º C. Bepaal een beere waarde voor de evenredigheidsconsane. opdrach.. De poliie vind in een koud onverwarmd huis waar een emperauur van 13ºC heers he dode lichaam van een man. Alles wijs erop da de man gewelddadig aan zijn einde gekomen is. De emperauur van he lijk is 3,ºC. Als de anaoompaholoog wee uur laer arriveer dan is de lichaamsemperauur nog maar 3,ºC. Als je aanneem da he dode lichaam afkoel volgens de in paragraaf.1 beschreven koelwe dan kun je he ijdsip van overlijden schaen. Op welk ijdsip is de man (vermoedelijk vermoord?

13 .4 Modelleren opdrach..3 De differeniaalvergelijking T '( c ( Tomgeving T( is exac oplosbaar. a Laa zien da T( A + B e c voor "geschike waarden" van A en B aan de differeniaalvergelijking voldoe. Geef de beginemperauur me T( aan. b Bepaal m.b.v. de formule ui a de anwoorden van opdrach Modelleren is vereenvoudigen... en dan weer complexer maken In de vorige paragraaf is de emperauur van de oven consan veronderseld. Als je die eis laa vallen dan onsaa er een model waarin wee variabelen onbekend zijn. De emperauur van de pizza en de emperauur van de oven. Beide emperauren zijn op ijdsip bekend: Tpizza( 6ºC en Toven( ºC Di keer zul je wee differenievergelijkingen moeen opsellen. Maar je kun nauurlijk wel weer de oude modeleis gebruiken: de oename van de pizza is evenredig me he emperauurverschil ussen pizza en oven: ( T ( T ( Tpizza ( + Tpizza( + c oven pizza me c > Voor de emperauur van de oven kun je dezelfde vergelijking gebruiken. Je moe dan wel uigaan van een emperauurafname: de oven daal immers in emperauur. Je moe dus eisen da de parameer d di keer negaief is ( T ( T ( Toven ( + Toven( + d oven pizza me d < De wee differenievergelijkingen in he model zijn T T pizza oven ( + T ( + T pizza oven ( + c ( + d ( Toven( Tpizza( ( T ( T ( oven pizza De beginemperauren zijn: Tpizza( 6ºC en Toven( ºC Me deze differenievergelijkingen kun je nu he verloop van de emperauren besuderen. Hieronder zie je voor c,1 en d -, he verloop van beide emperauren in een grafiek.

14 .5 Modelleren 5 model voor Tpizza Toven Tpizza 1 3 ijd De emperauur van de pizza sijg en die van de oven daal naar een evenwichsemperauur. Als de emperauren elkaar naderen dan word de afname van de ovenemperauur en de oename van de pizzaemperauur seeds kleiner. Als c,1 en d -, dan is die evenwichsemperauur ongeveer 18ºC. Een ineressane vraag is nu nauurlijk: wa is he verband ussen de parameers a en b en de evenwichsemperauur? He anwoord op die vraag kom je egen in hoofdsuk 3..4 Opdrachen opdrach.4.1 Deze opgave gaa over he model in paragraaf.3. Ga ui van de waarden c,1 en d -, en de beginemperauren Tpizza( 6ºC en Toven( ºC a Op welk ijdsip is de emperauur van de pizza 1ºC? b Bepaal de evenwichsemperauur op hele graden nauwkeurig. c Onderzoek de invloed van de parameers c, d, Tpizza( en Toven(. Ga seeds na hoe de grafieken veranderen als je één parameer verander. opdrach.4. In he pizzamodel werd veronderseld da de emperauurafname evenredig is me Toven - Tpizza. Da is nie realisisch. In de oven zi een hermosaa die ervoor zorg da de emperauur van de oven varieer rond ºC. Hiernaas zie je de grafiek die de emperauurschommeling om die ºC weergeef.

15 .6 Modelleren a Bepaal een funcievoorschrif voor Toven. b Sel de nieuwe differenievergelijking op die uigaa van de in a bepaalde formule voor Toven. c Hoe zie he richingsveld er nu ui? d Hoe zie de grafiek van de pizzaemperauur erui? Neem weer aan da c,1 en da Tpizza( 6ºC. e Welke emperauur krijg de pizza nu "na lange ijd"?.5 Richingsvelden bij wee variabelen He pizzamodel in paragraaf.3 word beschreven door he volgende selsel (gekoppelde differenievergelijkingen: T T pizza oven ( + T ( + T pizza oven ( + c ( + d ( Toven( Tpizza( ( T ( T ( Bij di selsel kun je nie meer een richingsveld maken waarbij je op de x-as de ijd en op de y-as de emperauur van de pizza uize. Je wee immers nie hoe groo de emperauur van de oven is op een willekeurig ijdsip en dus kun je de riching van he sukje raaklijn nie berekenen. oven pizza Toch besaa er een ander plaaje waarin je he onderlinge gedrag van de variabelen goed kun zien. Er geld namelijk: T T ( + T ( T oven oven oven pizza( + Tpizza( T pizza Deze vergelijking geef aan da de oe- of afname van de emperauur van de pizza evenredig is me de oe- of afname van de emperauur van de oven. Als c,1 en d -, dan is de verhouding -1/5. He maak daarbij nie ui wa de emperauur van de oven en de pizza is. In een willekeurig pun (Tpizza, Toven kun je dus een sukje raaklijn ekenen me riching -1/5. d c T oven (T pizza, T oven T pizza T oven T pizza

16 .7 Modelleren Als je in veel punen een sukje raaklijn uize dan krijg je he richingsveld. da hieronder saa. In di geval is he onsane veld zeer overzichelijk. Bovendien "zie" je nu duidelijk de samenhang ussen de beide emperauren. Die samenhang is lineair. 4 pizza in oven: c,1 en d -, Temperauur oven Temperauur pizza In he ondersaande plaaje zie je he veld en de oplossing die door he pun (6, gaa. Die oplossing is een reche lijn. De lijn die door de beginemperauren (6, gaa en richingscoëfficiën d/c -1/5 heef. 4 pizza in oven: c,1 en d -, Temperauur oven Temperauur pizza He voorschrif van de geekende reche lijn is dus: ( 6 T of T ( T 6 oven, Tpizza + pizza 5 oven + Ook bij andere waarden van c en d en bij andere saremperauren vind je een lineair verband ussen de wee emperauren. In he volgende plaaje zie je de invloed van de beginemperauur van de oven.

17 .8 Modelleren 4 pizza in oven: c,1 en d -, Temperauur oven Temperauur pizza In di plaaje kun je nie zien hoe de emperauur van de pizza in de ijd oeneem en hoe de emperauur van de oven in de ijd afneem. Ook zie je nie da de beide emperauren naar een evenwich oegaan. Da zie je alleen in de ijdgrafieken. De figuren hierboven noem je een veldplo. He maken van zo' n veld is een kleine klus me geschike sofware. Hieronder zie je een gedeele van he veld da hoor bij he model. x( + x( + x( y( + y( + y( ( y( ( x( y 1,5 1 1,5,5 x Di paroon is veel ingewikkelder. He verband ussen de oename in x en de oename in y word di keer bepaald door de waarde van x en y. In he pun (, 3 bijvoorbeeld is de riching gelijk aan 3/. In di veld zie je ook een aanal krommen die de samenhang ussen x en y onen. Bij elke kromme hoor een ander beginpun (x(, y(. Duidelijk word da x en y periodiek in de ijd verlopen. De ijd-grafieken zullen dus beide periodiek zijn. In de volgende paragraaf word da verder besproken.

18 .9 Modelleren.6 Opdrachen opdrach.6.1 Ga ui van he "pizza in oven" - model van paragraaf.3. Hieronder saan enkele meeresulaen. (minuen Tpizza ( o C Toven ( o C 13,8 8,7 5,1,7 1,16 199,96 199,1 198,5 198,16 Bepaal me behulp van formules in paragraaf.5 "goede" waarden voor de parameers c en d. opdrach.6. In he begin van deze eeuw heef F.W. Lancaser ( he ondersaande model gebruik bij de analyse van een veldslag. x( y( + x( a y( + y( b x( Hierin sellen x en y de omvang van wee legers A en B voor die me elkaar slaags raken; a is de gevechsefficiënie van leger A, b van leger B. a Kun je uileggen waarom a de gevechsefficiënie van leger A word genoemd. b Maak een veldplo voor a,8 en b,6. Neem x en y ussen en 5 eenheden. c Teken een aanal oplossingskrommen in de veldplo. De veldslag eindig als x of y gelijk is aan nul. d Sel da x( 4. Onderzoek voor verschillende sarwaarden y( de uislag van de veldslag. e Voor welke waarden van y( "win" leger A (als a,8, b,6 en x( 4? f Als y( dan verlies leger B als a,8, b,6 en x( 4. Hoe groo moe de gevechsefficiënie b maximaal zijn om nie e verliezen? opdrach.6.3 In paragraaf.5 is gebleken da er een lineair verband ussen de emperauur van de oven en van de pizza besaa. Als c,1 en d -, dan geld T oven, ( Tpizza 6 +. Di verband kun je in de eerse differenievergelijking subsiueren. a Toon aan: Tpizza ( + Tpizza ( + (,1, 1 Tpizza b Bepaal de differeniaalvergelijking bij de differenievergelijking in onderdeel a.

19 .1 Modelleren c Laa door conrole zien: T pizza ( e,1 d Bepaal een formule voor de emperauur van de oven. e Welke emperauur krijgen de pizza en de oven "na lange ijd"? Vergelijk di anwoord me he resulaa bij opdrach.4.1b

20 3 Evenwich In veel modellen gedraag de variabele zich in he begin vrij grillig. Maar naarmae de ijd versrijk verander de variabele seeds minder en uieindelijk gedraag de variabele zich dan als een consane. In de modellen van hoofdsuk werd de emperauur van de oven en van de pizza uieindelijk consan. Wiskundig zeg je dan da de variabele naar een limie of een evenwich gaa. In di hoofdsuk saa evenwichen cenraal. Je zul o.a. leren hoe je evenwichen kun berekenen als er sprake is van een variabele maar ook als er sprake is van meer variabelen. Ook zul je zien da er modellen zijn waarin de variabelen nie naar de evenwichswaarden gaan. maar waar de variabelen gaan "slingeren" om een evenwich. Inhoud van di Hoofdsuk 3.1 Evenwichen bepalen bij een variabele 3. Opdrachen 3.3 Evenwichen bepalen bij meer variabelen 3.4 Opdrachen 3.1 Evenwichen bepalen bij één variabele Vaak ben je in een model vooral geïneresseerd in he gedrag na lange ijd. Je vraag je dan af of de variabelen naar een vase waarde gaan. Als da he geval is dan is er een evenwichsoplossing. Door numerieke berekeningen word da gedrag goed zichbaar. De precieze waarde van he evenwich is echer moeilijk e zien. Die waarde(n worden immers door de waarden van de parameers van he model. De evenwichswaarden kun je echer ook me de vergelijkingen van he model vinden. Da kan op verschillende manieren. voorbeeld 1 Bekijk als voorbeeld weer he bekende logische groeimodel. In da model groei de populaie naar de evenwichswaarde N ( 1. manier 1 Als je differenievergelijkingen gebruik dan geld bij evenwich da de nieuwe waarde gelijk is aan de oude waarde. Dus je mag sellen da N ( + N(. N e Maar dan volg ui N + N( + c N( ( 1 N( ( de vergelijking: ( N N e N e + c N e 1 e dus c N 1 N ( e e De oplossingen hiervan zijn Ne 1 en Ne

21 3. 3 Evenwich Overigens kun je aan de berekening nie zien naar welke evenwichs-oplossing de populaie groei. Da zie je aan de numerieke berekeningen of aan he richingsveld. manier De differeniaalvergelijking is N '( c N( ( 1 N(. In een evenwich is er geen verandering meer en dus is de afgeleide N'( dan gelijk aan : ( 1 N( N '( c N(. dus N ( of N( 1 En da lever weer dezelfde evenwichsoplossingen. In he richingsveld zijn evenwichsoplossingen horizonale lijnen. logisisch groeimodel; c,1 1,6 populaie 1,,8 1, ijd In he plaaje zie je da de lijnelemenen boven de evenwichsoplossing de oplossing naar beneden duwen, onder de evenwichsoplossing duwen de lijnelemenen de oplossing naar boven. He evenwich noem je dan sabiel. Alleen als je sar me N( dan krijg je (de flauwe evenwichsoplossing. manier 3 Als je een funcievoorschrif ken dan kun je nagaan hoe de funcie zich gedraag voor "groe" : Als naar oneindig gaa, dan gaa e -c naar (bedenk c > en 1 dus gaa N( naar 1. c 1 + A. e Op deze manier wee je meeen zeker da de variabele daadwerkelijk naar di evenwich oegaa. In he volgende voorbeeld is de derde manier nie mogelijk omda je geen direce formule voor de populaiegrooe ken.

22 3.3 3 Evenwich voorbeeld In een groeimodel gebruik men de differenievergelijking: me c > en < k < 1 ( N( 1, ( 1 N( N ( + N( + c k N( In di model is er sprake van afname als N <,1 omda er onder die grens e weinig dieren zijn die kunnen zorgen voor genoeg aanwas: "de mannejes en vrouwjes vinden elkaar nie goed" (zie ook opdrach. Ook is er geen groei bij N 1. Een modeleis ui he logisische model. De facor kn( houd in da k % van de populaie per ijdseenheid word gevangen. De evenwichsoplossingen vind je door subsiuie van Je krijg dan de vergelijking: N ( + N( N. e ( N e,1 ( 1 N e k e c N Di is een kwadraische vergelijking. De oplossingen zijn afhankelijk van c en k. Als c,5 en k, dan vind je me behulp van de abc-formule de oplossingen Ne,11 en Ne,91. In he veld kun je zien da de eerse oplossing nie sabiel is en de weede wel. 1,5 groeimodel: N'.5 * (N -,1*(1 - N -,*N 1 populaie, ijd Ook word in de figuur duidelijk da de populaie uiserf als N( <,11. Als N(,11 dan blijf de populaie consan en voor N( >,1 groei de populaie naar ongeveer,91. Menselijk ingrijpen zorg er dus voor da he evenwich lager kom e liggen. Bij onderhandelingen over de hoeveelheid vis die gevangen mag worden zou di model een goede rol kunnen spelen.

23 3.4 3 Evenwich 3. Opdrachen opdrach 3..1 Deze opdrach gaa over he groeimodel in voorbeeld. me c > en < k< 1 ( N( 1, ( 1 N( N ( + N( + c k N( Sel je voor da di model gebruik word om de hoeveelheid Tonijn in een bepaald gebied e beschrijven. De groeifacor c is gelijk aan,5. En verder is bekend da er momeneel,5 eenheden Tonijn zijn. a Sches de oplossingskromme in he richingsveld als k,5. b Bereken he evenwich voor k,5 c Voor welke k serf de populaie ui? Als k nie al e groo is dan zijn er wee evenwichen. d Bepaal formules voor die evenwichen en eken me een grafiekenprogramma de evenwichen in een grafiek. Ze k ui op de x-as. Bij onderhandeling ussen de vissersorganisaie en overheid word afgesproken da de populaie onijnen nie onder de,4 mag komen. e Hoe groo mag k maximaal zijn? Ui onderzoek blijk da de onijnen in één groe school leven. Da beeken volgens de vissers da er gemakkelijk voorplaning plaasvind en da de facor,1 in N (, 1 overbodig is. f Sel da de vissers gelijk hebben, hoeveel vissen mogen ze dan per ijdseenheid vangen. Ook me da laase resulaa is de vissersorganisaie nie evreden en daarom beweren ze da de onijnen voldoende leefruime hebben en dus nie logisisch maar volgens he groeimodel van Malhus groeien. g Bepaal he percenage da er dan mag worden gevangen.

24 3.5 3 Evenwich 3.3 Evenwichen bepalen bij meer variabelen Op dezelfde wijze als in paragraaf 3.1 kun je evenwichen van coninue dynamische sysemen analyseren waarbij meer variabelen een rol spelen. Je krijg dan een selsel vergelijkingen. voorbeeld 1 In he model voor de pizza in de oven zijn de differenievergelijkingen. T T pizza oven ( + T ( + T pizza oven ( + c ( + d ( Toven( Tpizza( ( T ( T ( In he voorbeeld was c gelijk aan,1, d gelijk aan -,. In de ijdgrafiek van paragraaf.3 lijk he erop da beide emperauren naar een zelfde evenwich groeien. Da evenwich is ongeveer 18 Celsius. Di evenwich kun je ook via vergelijkingen vinden. Noem da evenwich Te. Invullen in de differenievergelijkingen lever: oven pizza T T e e T T e e + 1,, ( Te Te ( T T e e Deze wee vergelijkingen zijn waar voor elke waarde van Te. Zo n selsel hee afhankelijk en heef oneindig veel oplossingen. He selsel lever dus geen informaie op over de evenwichsemperauur. In paragraaf.5 heb je echer ook gezien da er lineair verband besaa ussen de beide emperauren: ( 6 T oven, Tpizza + Als je in deze vergelijking subsiueer Tpizza Toven Te dan krijg je een lineaire vergelijking: Te, ( Te 6 + Deze vergelijking heef precies één oplossing. Oplossen lever Te 184,3 Celsius. Deze evenwichsemperauur word bepaald door de modelparameers c en d en bovendien door de beginemperauren van de pizza en de oven. In he logisische groeimodel en de varian daarop in voorbeeld van de vorige paragraaf speel de beginwaarde geen rol. De invloed van de beginemperauren kun je zien als je in de veldplo de lijn Tpizza Toven eken. De oplossingskrommen eindigen op deze lijn, de eindpunen zijn de evenwichsemperauren.

25 3.6 3 Evenwich voorbeeld Hieronder zie je nogmaals de veldplo me een aanal xy-oplossingskrommen bij he selsel ui paragraaf.5 x( + d x( + x( y( + d y( + y( ( y( d ( x( 1 d 4 3 y 1,5 1 1,5,5 x Di keer gaan de variabelen nie naar een evenwich oe. Toch is he zinvol om evenwichen e berekenen. Sel da x naar xe en y naar ye gaa. Deze waarden hoeven nie gelijk e zijn. Subsiuie in he selsel geef dan: x y e e ( y e ( x 1 e Ui de bovense vergelijking volg xe of ye. Als je da in de onderse vergelijking invul dan vind je de wee evenwichspunen: (, en (1,. Als je sar in die wee punen dan blijf je in da pun. He pun (, zie je nie in de veldplo. Wel he pun (1,. De oplossingskrommen beschrijven een lus om da pun. He gedrag van de variabelen kun je ook goed besuderen als je de lijnen x 1 en y eken. Die wee lijnen verdelen he xy-vlak in vier delen.

26 3.7 3 Evenwich y y gebied Ûx < Ûy < (1, gebied 1 Ûx < Ûy > gebied 3 Ûx > Ûy < gebied 4 Ûx > Ûy > x 1 x In gebied 1 is x > 1 en y >. Da beeken da in da gebied de oename x x ( y d negaief is en de oename y y ( x 1 posiief. De kromme "loop dus naar links en naar boven". Op de lijn x 1 is de oename van y gelijk aan nul. De kromme heef daar een horizonale raaklijn. De kromme schie" dan gebied in. In gebied neem x nog alijd af en ook y neem in da gebied ook af en dus gaa de kromme naar "links en omlaag". Op de lijn y heef de kromme een vericale asympoo. In gebied 3 neem x weer oe maar blijf y dalen. In gebied 4 ensloe neem de x en de y oe oda de kromme weer in gebied 1 kom. De oplossingskromme word dus egen de wijzers van de klok in doorlopen. y y gebied x neem af y neem af (1, gebied 1 x neem af y neem oe gebied 3 x neem oe y neem af gebied 4 x neem oe y neem oe x 1 x He verloop van de variabelen in de ijd kun je in de wee volgende grafieken zien. Bij die grafieken zijn x en y op ijdsip gelijk aan 1. Omda de xykromme gesloen is, zijn de grafieken van x en y in de ijd periodiek. Als x maximaal of minimaal is dan is y gelijk aan, als y maximaal of minimaal is dan is x gelijk aan 1. He paroon van sijgen en dalen is verschoven.

27 3.8 3 Evenwich 4 3,,4 y 1,6, ijd 4 3,,4 x 1,6, ijd In hoofdsuk 4 komen deze plaajes erug. Ze horen bij een model da de groei van roofdieren en prooidieren beschrijf.

28 3.9 3 Evenwich 3.5 Opdrachen opdrach In een bepaald model word he volgende selsel gebruik: x( + x( + y( + y( + x en y zijn nie-negaieve geallen ( 1 x( + y( ( 4 x( y( a Teken de veldplo me een (flink aanal oplossingen. Neem x ussen en 5 en y ussen en 3 b Zijn er evenwichen? c Hoe zien de x - en y -krommen erui? opdrach 3.5. In opdrach ben je he model van Lancaser egengekomen. x( y( + x( a y( + y( b x( Hierin sellen x en y de omvang van wee legers A en B voor die me elkaar slaags raken; a is de gevechsefficiëncy van leger A, b van leger B. a Bereken de evenwichen in di model. In he model ga je ervan ui da er geen verserkingen mogelijk is. Een model da daar rekening mee houd is. x( + x( + y( + y( + ( R1( a y( ( R ( b x( De funcies R 1( en R ( sellen de verserkingsfuncies voor. Deze geven aan in welk empo de legers nieuwe manschappen onvangen b Maak een veldplo me oplossingskrommen voor a,8, b,6, R 1 ( en R (. Neem x en y ussen en 6. c Bereken de evenwichen en eken die in de veldplo d Onderzoek me behulp van de veldplo voor verschillende sarwaarden van x en y de uislag van de veldslag. e Sel da x ( 4. Voor welke y ( "win" leger A?

29 4 Modellen in de biologie Dynamische modellen worden zeel gebruik in de biologie, in he bijzonder in de populaiedynamica. In da onderdeel van de biologie word de groei van populaies besudeerd. In hoofdsuk 1 of in je schoolboek voor wiskunde heb je al kennis gemaak me he logisische groeimodel en he groeimodel van Malhus. In di hoofdsuk maak je kennis me varianen van he beroemde model van Loka- Volerra, een model da de ineracie ussen wee diersooren beschrijf en waarin logisische groei en Malhusiaanse groei gebruik word. Verder maak je kennis me een model da de verspreiding van een epidemie beschrijf. Een onderwerp da helaas voordurend acueel is. Bij da model zijn er zelfs drie variabelen: he aanal zieken, he aanal geïnfeceerden en he aanal gezonden. He maken van een veldplo is dan onmogelijk. Inhoud van di Hoofdsuk 4.1 Roofdier-prooi-modellen 4. Opdrachen 4.3 Epidemieën 4.4 Opdrachen 4.1 Roofdier-prooi-modellen Me de logisische groeimodel beschrijf je de groei van een bepaalde populaie dieren of planen. In de opgaven heb je al gezien hoe je da model ui kun breiden. In di hoofdsuk gebeur da ook. He model word uigebreid naar meer sooren. De eerse die deze vraag selde was Humbero D'Ancona. Humbero D'Ancona was een Ialiaanse bioloog die in de winiger jaren van deze eeuw onderzoek deed naar de populaies vissen in de Adriaische zee. D'Ancona vroeg aan zijn schoonvader Volerra, een wiskundige die leefde van 186 o 194 of er een wiskundig model was da de oename van roofvissen en de afname van prooivissen kon verklaren die hij observeerde gedurende de eerse WO (oen er vrijwel nie meer gevis werd!!!. In de maanden daarna onwikkelde Volerra een aanal modellen voor de ineracie ussen wee sooren. Deze modellen noem men egenwoordig roofdier-prooi-modellen. Je kun daarbij denken aan roofvissen en prooivissen, aan spinnen en vliegen, aan vossen en konijnen maar ook aan muskieen en mensen. De muskieen leven van de mens en zijn de roofdieren. De mens word gebruik en is dus he prooidier. De eerse sap is he opsellen van vergelijkingen voor de beide sooren als de andere soor afwezig is. Vanaf nu worden de prooidieren aangegeven me de leer P en de roofdieren me een R. Je kun bijvoorbeeld aannemen da de prooidieren bij afwezigheid van de roofdieren logisisch groeien. Bij de vissen in de Adriaische zee is da geen onrealisische aanname.

30 4. 4 Modellen in de biologie De vergelijking voor de prooidieren word dan ( 1 P( P( + P( + a P( me a > Om he model nie meeen e ingewikkeld e maken kun je he bese aannemen da de roofdieren uisluiend leven van de prooidieren. Als die prooidieren er dan nie zijn, dan serf de populaie roofdieren ui. Da kun je eenvoudig beschrijven me de vergelijking: R( + R( b R( me b > Als je nu aanneem da er wel roofdieren zijn dan groei de populaie prooidieren nauurlijk nie zo hard. Hoe meer roofdieren er zijn des e meer prooidieren er opgegeen word. Da beeken da er in de differenievergelijking voor de prooidieren een facor moe worden opgenomen die afhankelijk is van he aanal roofdieren maar ook van he aanal prooidieren. Da kun je als volg inzien: Sel da er 1 prooidieren zijn en 15 roofdieren en da die prooidieren in een bepaalde ijdsperiode 3 prooidieren ween e vangen. Als er slechs 5 prooidieren zouden zijn dan vangen de roofdieren nauurlijk geen 3 dieren meer. He is dan namelijk veel moeilijker geworden om prooidieren e vangen. Omda de kans op een onmoeing ussen roofdier en prooi dan wee keer zo klein is, is he nie onredelijk om aan e nemen da er nog maar 15 prooidieren gevangen worden. Deze overweging kun je ook maken bij verandering van he aanal roofdieren. Als er 3 roofdieren en 1 prooidieren zijn dan vangen die roofdieren samen 6 prooidieren. Een eenvoudig model da rekening houd me deze eisen krijg je als je aanneem da de afname van he aanal prooidieren evenredig is me he produc van he aanal roofdieren en he aanal roofdieren. bovendien is die afname nauurlijk evenredig me he ijdinerval. De nieuwe differenievergelijking word dan: ( 1 P( c P( R( P( + P( + a P( me a, c > Ook voor de oename van de roofdieren kun je he bovensaande idee gebruiken: de oename van he aanal roofdieren is evenredig me he aanal roofdieren, he aanal prooidieren en de ijd. R( + R( b R( + d P( R( me b, d >

31 4.3 4 Modellen in de biologie Deze wee vergelijkingen worden gebruik in een van de klassieke roofdierenprooi-modellen. Deze modellen zijn onwikkeld door Volerra. Maar omda de Amerikaanse bioloog Alfred J. Loka in dezelfde ijd soorgelijke modellen opselde worden de modellen nu de modellen van Loka-Volerra genoemd. Hieronder zie je he verloop van de populaies in de ijd voor a,4, c,, b,8 en d,1. 4 rooofdier-prooi-model 3 roofdieren 1 prooidieren ijd De beginpopulaies zijn P( 1, eenheden prooidieren en R(,3 eenheden prooidieren. De prooidieren nemen bij deze parameers in he begin flink af maar na een ijdje sabiliseren ze zich op een bepaald evenwich. Da geld ook voor de roofdieren. Die populaie groei eers serk en daal daarna slingerend naar een evenwich. He evenwich is een van de oplossingen van he selsel: ( 1 P a P c P R b R + d P R Ui de onderse vergelijking volg R of P b/d. Invullen in de bovense b a (d b vergelijking geef de oplossingen (,, (1, en,. d cd Als a,4, c,, b,8 en d,1 dan vind je me he acherse evenwich P,8 en R,4. De waarden die je ook in de grafieken kun aflezen. He beginsuk van de grafieken verklaar fraai de observaies van de vispopulaies in de Adriaische zee die D'Ancona opmerke. Een model waarin de prooidieren exponenieel groeien in plaas van logisisch bij afwezigheid van de roofdieren is:

32 4.4 4 Modellen in de biologie P( + P( + a P( c P( R( R( + R( - b R( + d P( R( me a, b, c en d > Di keer groeien de populaies nie naar een evenwich maar is er sprake van een periodieke groei. In he ondersaande plaaje zie je de groei van de beide sooren. De waarden van de parameers zijn hezelfde als bij he vorige model. 1 rooofdier-prooi-model 1 8 roofdieren 6 4 prooidieren ijd Da periodieke karaker zie je ook fraai in de veldplo. In he ondersaande figuur zie je bovendien oplossingen voor verschillende sarpopulaies 4 3 roofdieren 1,5 1 1,5,5 prooidieren Nauurlijk is er kriiek mogelijk op deze modellen. De roofdieren raken nooi verzadigd. Als 15 roofdieren 3 van de 1 prooidieren vangen en opeen dan zouden die 15 roofdieren er 3 vangen bij 1 prooidieren. En bij 1 prooidieren vangen ze in dezelfde ijdsperiode 3 prooidieren. Ook kun je kriiek hebben op de oename van de roofdieren. Die word ook seeds groer bij groere aanallen prooidieren. Ook da is biologisch gezien nie erg waarschijnlijk. Ook zijn er weinig roofdieren die slechs leven van een andere soor. Bij elke realisische siuaie zal besudering van he gedrag van de sooren leiden o ingewikkeldere modellen.

33 4 Modellen in de biologie Opdrachen opdrach 4..1 Deze opdrach gaa o.a. over he roofdier-prooi in paragraaf R P R R R R P P P P P ( ( d ( b - ( ( ( ( c ( (1 ( a ( ( De parameers hebben de waarden a,4, c,, b,8 en d,1. De beginpopulaie prooidieren is P(,3 (eenheid. a Maak de veldplo me oplossingen erin bij di model voor verschillende beginwaarden R( ussen en 1. b Bepaal he maximaal aanal prooidieren als R(,5. Neem d, c Groeien de populaies seeds naar een evenwich? Zo ja, welk? d Geld da ook als de prooidieren exponenieel groeien bij afwezigheid van de roofdieren (en als de parameers gelijk zijn. opdrach 4.. Hieronder saa een model voor wee elkaar beconcurrerende sooren; a, b, c en d zijn nie-negaieve geallen Y X Y Y Y Y Y X X X X X ( ( d ( (1 ( b ( ( ( ( c ( 1( ( a ( ( De aanwezigheid van de ene soor is nadelig van de andere soor en andersom. Uieraard geld X( en Y( >. a Leg da ui. Kun je een realisisch voorbeeld van deze siuaie geven? b Hoe groeien de beide sooren bij afwezigheid van de andere soor. c Bereken alle evenwichspunen? d Maak een veldplo me daarin een aanal oplossingen voor a,, b,75, c,1 en d,5. e Groeien de populaies naar een evenwich. Zo ja, welk evenwich? f En wa gebeur er als a,1?

34 4.6 4 Modellen in de biologie 4.3 Epidemieën Bij roofdier-prooi-modellen is de groei van populaies aan elkaar gekoppeld. Da geld in zekere zin ook bij epidemieën. Veel ziekes worden veroorzaak door virussen. Die virussen verspreiden zich nie zelf maar worden overgebrach door een drager. Bij he griepvirus is da een mens. Die persoon is geïnfeceerd me he virus. Da beeken nie da die persoon de zieke heef of krijg. He lichaam kan namelijk serk genoeg zijn om he virus e overwinnen. Maar een geïnfeceerd iemand kan wel iemand anders me he virus besmeen en die persoon kan op zijn beur wel ziek worden. In feie is er dus sprake van drie populaies; 1 de populaie die geïnfeceerd is en wellich de zieke krijg: de geïnfeceerden I. de geïnfeceerden die ook ziek zijn: de zieken Z 3 de (nog nie geïnfeceerden die de zieke (nog nie hebben: de gezonden G De vraag bij een epidemie is nu: hoe onwikkelen de populaies I, Z en G zich? zieken Z geïnfeceerden I Di keer zijn er drie variabelen. De som van de drie aanallen is consan. Da beeken da je wee vergelijkingen nodig heb. In de figuur zie je mogelijke overgangen van een persoon. gezonden Z Een gezond persoon kan geïnfeceerd raken (en laer ziek, een geïnfeceerd persoon kan ziek worden. Als je eenmaal ziek ben dan blijf je in die groep. Bij een vrij onschuldig griepepidemie word je nauurlijk weer gezond maar da is een andere oesand dan "gezond" in he schema. Je ben dan immuun geraak voor da bepaalde griepvirus. Een vergelijking voor G De gezonden kunnen geïnfeceerd worden door de geïnfeceerde maar ook door de zieken, deze beide groepen dragen immers he virus. De kans da je door een geïnfeceerd iemand word geïnfeceerd is echer veel groer dan door een ziek iemand. Immers zieken blijven vaak ziek in bed liggen erwijl geïnfeceerden vaak nie eens ween da ze geïnfeceerd zijn en gewoon blijven rondlopen. Voor he gemak kun je aannemen da de besmeing door zieken verwaarloosbaar klein is. He aanal gezonden da geïnfeceerd raak kun je evenredig verondersellen me he produc van he aanal gezonden en he aanal geïnfeceerde. Als er namelijk wee keer zoveel geïnfeceerden personen rondlopen worden er ook wee keer zoveel gezonden geïnfeceerd. En da gebeur ook bij een wee keer zo groo aanal gezonden. De differenievergelijking word onder deze aannamen: G ( + d G( a G( I( d a >

35 4.7 4 Modellen in de biologie Een vergelijking voor Z Ziek kunnen alleen de geïnfeceerden worden. He aanal mensen da ziek word is afhankelijk van de gezondheidsoesand van de bevolking. Een bepaald percenage zal ziek worden. Da is e beschrijven me: Een vergelijking voor I Z ( + Z( + b I( b > He aanal geïnfeceerden lig nu vas. De oename is gelijk aan de afname van he aanal gezonden, de afname is gelijk aan de oename van he aanal zieken. Da lever: I( + I( + a G( I( b I( De drie differenievergelijkingen in di model zijn dus: G( + Z( + I( + G( a G( I( Z( + b I( I( + a G( I( b I( Er zijn veel evenwichen mogelijk. Ui a G I b I + a G I b I volg I. De andere wee variabelen zijn nie bepaald. Wel wee je da G + Z dan gelijk is aan he oale aanal mensen. In he ondersaande plaaje saan de grafieken voor G, I en Z. De parameers die daarbij horen zijn a,, b,3. De beginwaarden zijn G ( 9, 99, I(,1en Z( eenheid. 1 8 gezonden G model voor een epidemie zieken Z 6 4 geïnfeceerden I ijd

36 4.8 4 Modellen in de biologie Bij deze waarden van a en b word uieindelijk iedereen ziek. De variabelen groeien naar de evenwichsoplossing I, Z 1 en G. De overgang van gezond naar geïnfeceerd gaa sneller dan de overgang van geïnfeceerd naar ziek. Een ander beeld krijg je als a kleiner word. Dan groei he aanal gezonden da geïnfeceerd word minder snel. Als de overgang van geïnfeceerd naar ziek dan gelijk blijf (b gelijkdan zullen uieindelijk minder mensen ziek worden. Immers geïnfeceerden die ziek worden kunnen gezonden nie meer infeceren. In he ondersaande plaaje geld a,4 en b,3. 1 model voor een epidemie 8 gezonden G 6 4 zieken Z geïnfeceerden I ijd Me di eenvoudige model kun je nauurlijk nie zomaar een eche epidemie analyseren. Er zijn namelijk veel meer facoren die een rol spelen. Bijvoorbeeld: Zieken kunnen ook in aanraking komen me gezonden, Bij veel zieken is he virus na een bepaalde ijd uigewerk. Een geïnfeceerd iemand kan dan niemand meer besmeen. De variabele ijd zal dan in he model verwerk moeen worden; He gebruik van medicijnen kan de kans op besmeing verkleinen; Ook moe je meer bevolkingsgroepen onderscheiden. Bij bepaalde zieken is een gedeele van de populaie gevoeliger voor infecie. Denk aan oudere mensen bij griep of aan risicogroepen bij Aids De modellen worden dan seeds ingewikkelder. Ook is he nie eenvoudig om goede schaingen voor de modelparameers e vinden. Toch is he belangrijk da deze schaingen gemaak worden. Een epidemie als Aids heef zeer groe gevolgen voor de oekoms

37 4.9 4 Modellen in de biologie 4.4 Opdrachen opdrach Deze opdrach gaa over he model voor een epidemie in paragraaf 4.. G( + Z( + I( + G( a G( I( Z( + b I( I( + a G( I( b I( a He oaal aanal personen N G + I + Z is consan. Wa kun je dan zeggen over de som van de drie afgeleiden G ' + I ' + Z ' Neem N 1 en sel da er op geen zieken zijn en da 1% van de bevolking geïnfeceerd is. Neem verder aan da a,. b Sel da b,1. Op welk ijdsip is he aanal geïnfeceerden maximaal? c Maak voor een flink aanal waarden van b ussen en,4 de grafiek van I egen. Men zeg da er geen sprake is van een epidemie als I vanaf dalend is. Boven een bepaalde drempelwaarde k voor b is er dus wel sprake van een epidemie. d Benader k grafisch. e Welk percenage van de populaie word bij deze drempelwaarde ziek? f De waarde k kun je ook me behulp van de modelvergelijkingen bepalen. Bereken k ook op die manier opdrach 4.4. Hieronder saa een ander model voor een griepepidemie. De variabelen G, I en Z saan weer voor gezonden, geïnfeceerden en zieken. De parameers a, b en d zijn nie-negaief. Als d dan gaa di model over in he model van 4.3. G( Z( I( G( a G( I( d G( Z( Z( + b I( I( + a G( I( b I( + d G( Z( a Welke exra aanname is er gemaak? b Bepaal de evenwichen in di model. c Neem d,5 en a,4, b,3 en maak de drie ijdgrafieken.neem als beginwaarden G ( 9, 99, I(, 1en Z( eenheid.word iedereen ziek? d Idem c. Maar neem nu a, (b,3 en d,5. e Analyseer de invloed van de parameer d op de groei van drie groepen. f Vergelijk di model me he model ui paragraaf 4.3.

38 5 Modellen in de nauurkunde In di hoofdsuk gaa he over vallende en rillende voorwerpen. Bij he beschrijven van die bewegingen heb je de ween van Newon nodig. Die we zorg ervoor da je in de modellen weedeorde differeniaalvergelijkingen egenkom. da zijn differeniaalvergelijkingen waarin naas de variabelen zelf ook de eerse en weede afgeleides saan. Je zul ook leren hoe je die vergelijkingen omschrijf naar een selsel eerse-orde differeniaalvergelijkingen. Me de mehoden van hoofdsuk 3 kun je dan oplossingen vinden. Inhoud van di Hoofdsuk 5.1 Vallen 5. Trillen 5.3 Opdrachen 5.1 Vallen In de vorige hoofdsukken is vooral gebruik gemaak van differenievergelijkingen. In de mechanica maak je meesal gebruik van differeniaalvergelijkingen. Da gebeur omda de belangrijke bewegingswe van Newon in feie een differeniaalvergelijking is. Deze we geef he verband ussen de krachen die op he deelje werk en de versnelling a die he deelje daardoor krijg. De we luid in he kor: F m a Hierin sel m de massa van he deelje voor. De krach F is de resulerende krach van alle krachen. De leers F en a zijn ve afgedruk omda de resulerende krach en de versnelling vecoren zijn; ze hebben een grooe en een riching. De riching van de versnelling is gelijk aan de riching van de resulerende krach. Je kun de beweging van he deelje ook in een assenselsel besuderen. Je krijg dan in he algemeen drie vergelijkingen. De resulerende krach in de x-riching is dan gelijk aan de massa keer de versnelling in x-riching. Hezelfde geld voor de wee andere richingen: Fx m a x Fy m a y Fz m a z Als de resulerende krach verander in de ijd dan verander de versnelling ook in de ijd.

39 5. 5 Modellen in de nauurkunde Nu is de versnelling niks anders als de verandering van de snelheid en de snelheid is op zijn beur de verandering van de afgelegde weg. Da beeken: voor de beweging in x-riching: a ( v ' ( en v ( x '( dus a ( x ''( x x De bewegingsween worden daarom vaak geschreven als: F F x y z ( m x ''( ( m y ''( F ( m z ''( x Omda er in de differeniaalvergelijking een weede afgeleide saa heen de differeniaalvergelijkingen weede orde differeniaalvergelijkingen. Verderop zul je zien da je de vergelijkingen och vaak kun omschrijven naar een vergelijking waarin alleen de eerse afgeleide saa. Als je wee welke krachen er gelden dan kun je me deze drie vergelijkingen de beweging van he deelje acherhalen. In deze paragraaf bekijken we de beweging van een vallend deelje. model 1: geen wrijving x Als een deelje van een bepaalde hooge word losgelaen dan word da deelje door de aarde aangerokken. De zwaarekrach is naar beneden gerich en heef dich bij de aarde grooe mg. Als er geen geen wind is en als je de wrijving verwaarloos dan is da de enige krach. Als je de oorprong O in he beginpun kies en de vericale riching y noem (de +-riching naar boven dan word de beweging van he deelje beschreven door + y O F z mg grond m g m y ''( Deze differeniaalvergelijking is eenvoudig. De massa speel geen rol en de weede afgeleide van y is consan: y ''( g. Da beeken da y '( v( g + A en da 1 y ( g + A + B De consane B is gelijk aan. Op bevind he deelje zich immers op hooge y. De consane A is gelijk aan de snelheid v op ijdsip.

40 5.3 5 Modellen in de nauurkunde 1 De oplossing is dus: y( g + v(. Een nie erg realisisch resulaa. De snelheid word seeds (lineair groer. Een blaadje da van 3 meer naar beneden val, kom me een snelheid van ongeveer m/s op de grond!!!! model : me wrijving Vallende voorwerpen ondervinden wrijving. Als er geen wind saa dan onsaa de wrijving door de beweging naar beneden. De wrijvingskrach is dan naar boven gerich. Maar wa is de grooe van de wrijvingskrach? Omda de wrijvingskrach groer word als de snelheid van de seen groer word, is de wrijvingskrach een funcie van de snelheid. O F w F z mg He eenvoudigse verband da je dan kun verondersellen is een lineair verband: F C v(. w + y grond De evenredigheidsconsane k word bepaald door de dichheid van de luch en de vorm en he maeriaal van he vallende voorwerp. Op groe hooge zal k waarschijnlijk kleiner zijn. We nemen dan ook maar aan da we dich bij he aardoppervlak blijven en da k consan is. De differeniaalvergelijking die de beweging van de seen beschrijf word dan: m y ''( m g C v( In deze vergelijking saan drie variabelen: de ijd, de snelheid v (in y- riching en de versnelling in y-riching. De vergelijking word eenvoudiger als je bedenk da de versnelling de afgeleide van de snelheid is. Je krijg dan he selsel: v '( y '( g v( C m v( De differenievergelijkingen zie er dan als volg ui: C v( + v( + g v( m y( + y( + v(

41 5.4 5 Modellen in de nauurkunde Hieronder zie je voor verschillende beginsnelheden en voor C/m 1 de grafieken van de snelheid v en de afgelegde weg y in de ijd. 1 vallen: model 5 vallen: model 8 4 snelheid 6 4 afsand x ijd ijd De snelheid gaa in alle gevallen naar ongeveer 1 m/s. Da kun je ook als volg inzien. De wrijvingskrach word seeds groer. Als hij gelijk is aan de zwaarekrach mg dan heffen de beide krachen elkaar op. De versnelling word dan nul en he deelje val verder me consane snelheid. Die limiesnelheid volg ui m g C v dus de limiesnelheid is mg/c. Als C/m 1 dan is de limiesnelheid gelijk aan de grooe van g en da is dus ongeveer 9,8 m/s. model 3 me wrijving en een exra zijkrach Als er wind saa dan ondervind he vallende deelje nog een exra krach. Voor de eenvoud nemen we aan da de windkrach consan in riching en grooe is en seeds naar he oosen gerich is. Di keer moe je de beweging in wee richingen opsplisen. In de vericale riching, de y-riching, gelden de formules ui model : m g C v y '( y ( m v ' v ( y y ( En in horizonale riching; de x-riching geld O + y F w Cv F wind +x F z mg grond Fzijwind x '( m v ' v x x ( ( Di keer zijn er vele grafieken mogelijk. Snelheid in x-riching en in y-riching egen ijd, afsanden in beide richingen egen ijd.

42 5.5 5 Modellen in de nauurkunde Hieronder zie je wee van de grafieken. 1 x (horizonaal 1 x egen y 1 Fzij,1 96 Fzij, x (horizonaal 7 48 Fzij, ijd 4 Fzij, y (vericaal De ineressanse grafiek is de rechergrafiek. Die grafiek laa zien hoe he deelje afgedreven word. Hieronder zie je voor verschillende waarden voor de zijdelingse krach de grafiek. Seeds geld da m,1 kg en C,5 N/(m/s. Als he deelje van 4 meer hooge naar beneden val dan word he ongeveer meer afgedreven (als Fzij, N. Als de zijkrach oeneem dan word de afwijking groer. Di derde model kun je zien als een uibreiding van de andere modellen. Als Fzij dan gaa he model over in model en als je C kies dan ben je erug bij model 1. Overigens kun je deze modellen alleen maar gebruiken als he vallende voorwerp zich dich bij de aarde bevind. Bij groe afsanden word de afsand o he middelpun van de aarde belangrijk. De wrijvingskrach speel dan geen rol meer.

43 5.6 5 Modellen in de nauurkunde 5. Trillen In de vorige paragraaf zijn differeniaalvergelijkingen opgeseld voor vallende voorwerpen. Als je he voorwerp aan een veer of een ouw hang en in beweging breng dan gaa he voorwerp rillen of slingeren om een evenwichsand. In de ekening zie je wee momenopnamen. In de linkerekening hang een veer aan he plafond. In de recherekening hang aan die veer een massa m. He geheel is in rus en de veer is een afsand u en opziche van de eerse siuaie uigerek. Di noem je de evenwichssand. F veer1 u o F z mg m Op he deelje werken wee krachen. Ook da zie je in de bovensaande ekening. Naar beneden werk de zwaarekrach. De grooe van die krach is mg. De weede krach is de zogenaamde veerkrach. Die krach onsaa omda de massa aan de veer rek. Daardoor rek de veer op zijn beur aan de massa. He is dus een reaciekrach en hij werk in deze siuaie naar boven. In de evenwichssand zijn de zwaarekrach en de veerkrach aan elkaar gelijk egengeseld. Er geld dus F m g z F veer1 Als je de veer ui de evenwichssand rek dan gaa hij op en neer bewegen. Hieronder zie je in de recherekening een een momenopname. u o m x

44 5.7 5 Modellen in de nauurkunde De massa beweeg naar beneden en zi ussen de evenwichssand en de onderse uierse sand. De afsand x is de afsand ussen de evenwichssand en de plaas van de massa. De +-riching is naar beneden gekozen. Als je nu wee welke krachen er werken dan kun je de beweging van de massa beschrijven. He mees eenvoudige model is een model waarin je wrijving verwaarloos. model 1: geen wrijving Als je de wrijving verwaarloos dan werken er ook nu weer wee krachen. Naar beneden de zwaarekrach me grooe mg. Naar boven werk een veerkrach. Deze veerkrach is groer dan de oorspronkelijke veerkrach Fveer1, de veer is immers x cenimeer exra uigerek. F veer u o m x F z mg Een eenvoudige modelaanname is nu da de veerkrach evenredig is me de afsand x. Ui experimeneel onderzoek is gebleken da da klop als de uirekking nie al e groo is. Deze we noem men de we van Hooke. De evenredigheidsconsane hee de veerconsane. De nieuwe veerkrach Fveer heef dus grooe Fveer1 + C x. De resulerende krach is dus: m g - veer1 ( F + Cx m g m g C x C x Er geld immers F veer1 m g. De beweging van he deelje word dus beschreven door de differeniaalvergelijking m x ''( C x( Di is een voorbeeld van een weede-orde differeniaalvergelijking. Ne als bij he model van paragraaf 5.1 kun je oversappen naar een selsel differeniaalvergelijkingen.

45 5.8 5 Modellen in de nauurkunde Je krijg dan: v '( x '( C x( m v( Toch is er een groo verschil me he selsel in de vorige paragraaf. Nu saan er in de eerse vergelijking wee grooheden: de snelheid en de uirekking x. Je kun bij die vergelijking geen richingsveld meer ekenen. Da kun je ook anders inzien: als je de weede afgeleide in een pun ken dan wee je nog niks over de eerse afgeleide! De differenievergelijkingen in di model zijn. - C v( + v( + x( m x( + x( + v( Hieronder zie je in één plaaje de grafiek van de snelheid v en de grafiek van de uirekking x. Op ijdsip word de massa losgelaen op,1 meer van de evenwichssand. De massa is m,1 kg en de veerconsane bedraag C,9 N/m.,5 massa aan veer,3 snelheid v,1 uirekking x -,1 -,3 -, ijd Beide grafieken lijken op een sinusoide. De periode is ongeveer seconden. Me behulp van subsiuies in de vergelijkingen kun je aanonen da he inderdaad zuivere sinusoiden zijn Als de uirekking een zuivere sinusoide is, dan is he voorschrif van de vorm x ( A sin( B + θ. Hierui volg da: ( B +θ sin( B +θ v( x '( AB cos en v '( x ''( AB

46 5.9 5 Modellen in de nauurkunde Deze oplossingen moeen echer wel voldoen aan de differeniaalvergelijking m x ''( C x(. Er geld dus: m AB m AB sin B CA ( + θ CA sin( B + θ dus Hierui volg da B C,9 B 3. m,1 C m. Voor de siuaie die bij de grafiek hoor geld De waarden van A en θ zijn nog nie bepaald, die worden door de beginwaarden v ( en x ( bepaald. In he voorbeeld geld: ( + θ 3A cos( v ( AB cos θ en x ( A sin + θ, ( 1 De ampliudo A is ongelijk aan, ui de eerse vergelijking volg dan En dan volg ui de weede vergelijking da A,1 m. De formule voor de uirekking x is dus in he voorbeeld: π x ( 1, sin 3 +. π De periode van deze sinusoide is.1 s. Op dezelfde wijze kun je 3 aanonen da in he algemeen geld da, π θ. x ( x( sin C m π + de oplossing is van de vergelijking m x ''( C x( me voorwaarde v( Volgens deze oplossing zou de veer eindeloos op en neer blijven bewegen. Da kan nauurlijk nie. In werkelijkheid kom de massa o silsand door wrijving. Ook die facor kun je in he model berekken.

47 5.1 5 Modellen in de nauurkunde model : me wrijving Ne als in paragraaf 5.1 nemen we aan da de wrijving egengeseld is aan de riching van bewegen en in grooe evenredig is me de snelheid. Sel da he deelje naar beneden beweeg. Naar beneden werk dan weer de zwaarekrach. Naar boven werken nu wee krachen: de wrijvingskrach me grooe k.v en de veerkrach F veer. De resulerende krach word di keer: F m g - F + C x k v res C x k v ( veer1 m g m g C x k v De beweging van he deelje word nu dus beschreven door de differeniaalvergelijking m x ''( C x( k x '( of anders geschreven: m x ''( + k x '( + C x( Di is een voorbeeld van een weede-orde differeniaalvergelijking waarin de funcie x, en zijn eerse en weede afgeleide saan. Deze vergelijking kom overeen me he selsel v '( x '( C x( + m v( k v( m Hieronder zie je de oplossing. De veerconsane C is weer,9 N/m, de massa is weer,1 kg en ook geld weer x(,1 m en v( m/s,5 massa aan veer me wrijving (C,3,3 snelheid v,1 uirekking x -,1 -,3 -, ijd

48 Modellen in de nauurkunde De oplossing is geen sinusoide meer. De oppen komen namelijk seeds lager e liggen. Da beeken da de massa seeds minder ver om de evenwichssand beweeg. Deze beweging noem je een gedempe rilling. Als de wrijvingscoefficien groer word dan is er helemaal geen slingering meer om de evenwichssand. Dazelfde effec onsaa ook als de massa groer word. In de ondersaande grafiek zie je de invloed van de parameer k. Di keer is de grafiek van de snelheid acherwege gelaen.,1 massa aan veer me wrijving (invloed k,6, -, -,6 -,1 1,6 3, 4,8 6,4 8 ijd Een formule voor de uirekking is di keer nie zo eenvoudig e zien en af e leiden. 5.3 Opdrachen opdrach Op een koude dag begin he e hagelen. De hagelsenen vallen ui een wolk die op 1 meer hooge hang. De massa van de hagelseen bedraag,1 kg. a Sel de differeniaalvergelijking op voor de snelheid van de hagelseen Je mag aannemen da de wrijving evenredig is me de snelheid van de seen; noem de evenredigheidsconsane C. C m g m b Laa zien da v( + A e voldoe aan die eerse orde dv en bepaal C de consane A. Neem g 9,8 m/s, C,8 N / (m/s. c x is de afgelegde weg van een hagelseen. Bepaal he funcievoorschrif van x( en plo de grafiek van x. d Na hoeveel seconden val de seen op de grond als hij van 1 m hooge val? En me welke snelheid val de seen op de grond?

49 5.1 5 Modellen in de nauurkunde opdrach 5.3. De massa van he hagelseenje ui opdrach neem door verdamping k af. Verondersel da da exponenieel gebeur: m( m( e. De massa neem dan af en daardoor neem de snelheid minder snel oe. a Hoe groo word de snelheid maximaal als k,1. De beginmassa m( blijf,1 kg. b Na hoeveel seconden en me welke snelheid val de seen nu bij benadering op de grond? c Onderzoek grafisch de invloed van de parameer k. Als je aanneem da de massaverandering evenredig me de oppervlake van he hagelseenjes is dan kun je voor een bolvormig hagelseenje afleiden da m ( ( a + b 3 me a en b >. d Bepaal de parameers a en b als de massa na 3 seconden,5 kg is en m(,8 kg. e Bepaal de maximale snelheid van he seenje in di model. opdrach De rillingen in paragraaf 5. heen vrije rillingen. Als er op he deelje die aan een veer hang een exra uiwendige krach word uigeoefend dan hee de rilling "gedwongen". Neem aan da de exra krach gegeven word door F( cos(a. Verder geld: m,5 kg, C 1, N/m en k N/(m/s. a Sel een differeniaalvergelijking op die de beweging van de massa vasleg. b Maak de x--grafiek voor a,5 en voor a 1. De beginvoorwaarden zijn x (,1 m en x '( m/s. Bepaal ook in elk geval de maximale uiwijking. π c Als a dan krijg je een sinusoide. Bereken de periodeijd. d Herhaal onderdeel b voor een aanal andere waarden van a. Hoe groo kan de uiwijking van de massa maximaal worden? Maak grafieken!! Hoe noem men di verschijnsel?

50 6 Modellen in de scheikunde In di hoofdsuk komen modellen aan de orde die de vorming of verspreiding van chemische soffen beschrijven. In "reacievergelijkingen" word een model opgeseld voor de vorming van soffen bij een gegeven reacievergelijking. Ook in paragraaf 6. "verspreidingsmodellen" gaa he over chemische soffen. In die paragraaf vraag je je af hoe de sof zich over verschillende delen van een syseem, bijvoorbeeld he menselijk lichaam, verspreid. Inhoud van di Hoofdsuk 6.1 Reacievergelijkingen 6. Verspreidingsmodellen 6.3 Opdrachen 6.1 Reacievergelijkingen In de scheikunde spelen reacievergelijkingen een belangrijke rol. Sel da je wee vloeisoffen A en B o je beschikking heb en da ui de reacie van A me B sof X onsaa volgens de reacievergelijking A + B X. Deze reacievergelijking houd in da 1 molecuul van sof A reageer me 1 molecuul van sof B, en da daardoor 1 molecuul van sof X gevormd word. Je kun ook zeggen da je voor de vorming van x eenheden van sof X, x eenheden van sof A en x eenheden van sof B nodig heb. Als eenheid word in de scheikunde overigens meesal de mol genomen. Als je op, a moleculen van sof A bij b moleculen van sof B voeg onsaa er sof X. Di proces houd op als sof A of B op is. De vraag die men nu kan sellen is: hoe neem de hoeveelheid sof X in de ijd gezien oe? Als we de hoeveelheid sof C me de funcie x ( beschrijven volg ui de gegevens da x (. Je kun ook wel de eindhoeveelheid voorspellen. Je moe dan wel wee gevallen onderscheiden. Als a groer is dan b dan is sof B als eerse op en geld x b. Als b groer is dan a dan is sof A als eind eerse op en geld x eind a. Maar wa kun je over de hoeveelheden op de ussenliggende ijdsippen zeggen? Als je op ijdsip de soffen A en B bij elkaar voeg is er relaief veel sof A en B. Deze soffen kunnen dan (na roeren gemakkelijk me elkaar in conac komen: de moleculen van sof A "vinden gemakkelijk" moleculen van sof B om samen o sof X e reageren. Na enige ijd zijn de hoeveelheden van A en B afgenomen.

51 6. 6 Modellen in de scheikunde In he mengsel bevind zich nu ook sof X. De moleculen van sof A en sof B kunnen elkaar nu "minder snel vinden": er zijn per ijdseenheid minder onmoeingen ussen A en B. He lijk nie onredelijk om aan e nemen da he aanal moleculen van sof X da in een kore ijdsperiode onsaa evenredig is me he oaal aanal mogelijke onmoeingen ussen de moleculen van sof A en B in die ijdsperiode. Een rekenvoorbeeld bij di model: als ijdseenheid nemen we een minuu. Sel da er op, 1 moleculen van sof A en 3 moleculen van sof B aanwezig zijn en da de evenredigheidsconsane 1/,5 per minuu is. In de eerse minuu zijn er dan 1.3 mogelijke "onmoeingen" ussen de moleculen van sof A en sof B. Di houd in da er naar verwaching, moleculen van sof X gevormd worden. Aan he einde van minuu 1 zijn er dus 85 moleculen A, 85 moleculen B en 15 moleculen X. In de volgende minuu zijn er dan mogelijke onmoeingen, hegeen weer, moleculen X oplever. Dus in oaal zijn er dan moleculen van sof X ec. Bij deze berekening doe je alsof er ijdens elke minuu geen moleculen omgeze worden. He aanal mogelijke onmoeingen is in werkelijkheid kleiner. De beschouwde ijdsperiode is e groo. Noem de ijdsperiode. In de eerse ijdsperiode zijn er dan mogelijke "onmoeingen" en worden er, moleculen van X gemaak. Na minuen zijn er dan 1 15 moleculen van A en 3 15 moleculen van B ec. Nog algemener: als he aanal moleculen op een bepaald ijdsip x ( is, dan zijn er 1 x( moleculen van sof A en moleculen van sof B. In minuen zijn er dan ( 1 x( ( 3 x( mogelijke onmoeingen en worden er,5 ( 1 x( ( 3 x( moleculen van sof X gevormd. Di aanal moe je opellen bij x( om he aanal moleculen op + e vinden. Da lever de differenievergelijking: x( ( 1 x( ( 3 x( + x( +,5 De differeniaalvergelijking word: x' (,5 ( 1 x( ( 3 x( Di is een eerse orde differeniaalvergelijking. In de scheikunde noem men een proces da zich zo gedraag een weede-orde proces (vanwege de erm x². Een beeje verwarrend me he wiskundige begrip orde van een differeniaalvergelijking.

52 6.3 6 Modellen in de scheikunde De oplossing zie je in de grafiek hieronder. De hoeveelheid x sijg naar de horizonale asympoo x 1. 3 A + B -> C 4 sof A sof C sof B ijd In de grafiek zie je ook de afname van de soffen A en B. Die hoeveelheden zijn bekend als x bekend is. Elk geproduceerd molecuul van sof X kos immers een molecuul van sof A en een molecuul van sof B. Als je die hoeveelheden resp. aangeef me a ( en b( dan geld dus: a( 3 x( b( 1 x( Als je in he voorafgaande verhaal respecievelijk de beginhoeveelheden 1, 3 en de evenredigheidsconsane,5 vervang door a (, b( en k, dan word he reacieproces beschreven door: x '( k a( a( x( b( b( x( ( a( x( ( b( x( De evenredigheidsconsane k is afhankelijk van de soffen die je bij elkaar voeg en allerlei exerne omsandigheden zoals de druk en de emperauur. Als je aan beide kanen in de wee onderse vergelijkingen differenieer dan krijg je differeniaalvergelijkingen voor de afname van sof A en van sof B. Je beschrijf he proces dan me een selsel differeniaalvergelijkingen. x '( a '( b '( k x '( x '( ( a( x( ( b( x( k a( b( k a( b( k a( b(

53 6.4 6 Modellen in de scheikunde Als de reacievergelijking verander dan verander ook de differeniaalvergelijking. Bekijk bijvoorbeeld he reacieproces me de reacievergelijking A + B X Di keer reageer 1 molecuul me moleculen. Sof B word wee keer zo snel opgebruik. Als er nu x( moleculen van sof X gevormd zijn dan zijn er nog a( a( x( moleculen van sof A en nog maar b( b( x( moleculen van sof B. He produc van de aanwezige hoeveelheden van sof A en B op ijdsip is nu dus a( b( ( a( x( ( b( x(. Als je dezelfde modelaannamen maak dan word deze reacie beschreven door de differeniaalvergelijking: x' ( k ( a( x( ( b( x( Hieronder zie je de oplossing voor a ( 1, b ( 3 en k 1/. Als je de grafiek vergelijk me de vorige grafiek dan zie je da de hoeveelheid sof C minder snel sijg. 3 A + B -> C 4 18 sof B 1 6 sof C sof A ijd Ook nu kun je he proces me een selsel van drie differeniaalvergelijkingen beschrijven. In werkelijkheid zijn de meese chemische processen veel ingewikkelder. Een reacie leid vaak o producen die onmiddellijk weer in een andere reacie berokken raken. Bijvoorbeeld: A + B X X + A Y Ook is in he voorafgaande verhaal seeds van een aflopende reacie uigegaan. He is ook mogelijk da de onsane sof weer uieenval in de oorspronkelijke soffen. He empo waarin da gebeur hoef nie gelijk e zijn aan he empo waarin de sof gevormd word.

54 6.5 6 Modellen in de scheikunde Da word in he ondersaande voorbeeld aangegeven door de verschillende geallen k1 en k. k 1 A + B X k En ook is he mogelijk da een sof zichzelf produceer. Een voorbeeld daarvan is de reacie. A + X 3X Zo'n proces hee auokaalyse. In alle gevallen moe he model aangepas worden. In de opgaven kom je deze voorbeelden weer egen 6. Verspreidingsmodellen Lood is een gevaarlijke sof die in he menselijke lichaam erech kan komen via vergifigd voedsel en waer. Ook in uilaagassen en in verfluch kan lood zien. Als he lood eenmaal in de bloedsomloop erech gekomen is, dan word he verder geransporeerd en kom he erech in allerlei weefsels en in de boen. Via de nagels, de haren en via ranspiraie word een bepaald percenage lood weer door he lichaam uigesoen. En gelukkig breken de nieren ook een bepaalde hoeveelheid lood ui de bloedsomloop af. Da lood kom dus weer in de buienwereld erech. Vanui de weefsels en de boen word overigens ook een bepaald percenage lood weer erug in de bloedsomloop gebrach. In he ondersaande schema zie je wa er me he lood gebeur. Voor de eenvoud worden de diverse onderdelen beschouwd als afgesloen eenheid. Zo'n eenheid noem men een comparmen. weefsel bloed boen In di verspreidingsmodel zijn er drie comparmens: he bloed, he weefsel en de boen. De horizonale pijlen in he schema geven aan da er ussen die onderdelen uiwisseling kan plaasvinden. De vericale pijlen geven de sromen in en ui he lichaam aan.

55 6.6 6 Modellen in de scheikunde In di model zijn er drie variabelen; x : de hoeveelheid lood in he bloed, y : de hoeveelheid lood in he weefsel, z : de hoeveelheid lood in de boen. Ui onderzoek is gebleken da snelheid waarmee he lood vanui he ene deel naar he andere deel sroom bij benadering evenredig is me de hoeveelheid die ui he comparmen sroom. De erm k 1 x in he schema geef bijvoorbeeld aan da he aanal microgram per dag da van he bloed naar de organen sroom gelijk is aan k x 1 L weefsel y k 5 y k y k 1 x bloed x k 6 x k 4 z k 3 x boen z En de erm k 5 y geef aan da he aanal microgram lood per dag da vanui de weefsels ui he lichaam gebrach word (via de nieren gelijk is aan k 5 y. Me L word de insroomsnelheid van he lood aangegeven. Hoe zie he model er nu verder wiskundig ui? Op ijdsip zi er in de bloedsomloop x ( microgram lood. In ijdseenheden kom er van buienaf L mg lood bij. Ui de weefsels kom k y( en ui de boen kom z( erbij. Ook gaa er in die ijdseenheid lood naar andere delen: boen, dus: k 4 k 3 x( naar de k 1 x( naar de weefsels en k 6 x( naar buien. Er geld x + x( ( L + k y( + k z( k x( k x( + k x( ( De differeniaalvergelijking voor de hoeveelheid lood in he bloed is dus. ( k + k + k x( x '( L + k y( + k 4 z( Op dezelfde wijze kun je de veranderingen in de weefsels en in de boen opsellen. He verspreidingsproces word beschreven door he volgende selsel differeniaalvergelijkingen x '( L + k y( + k 4 z( y'( k ( ( k + k 1 x 5 y( z '( k3 x( k 4 z( ( k + k + k x(

56 6.7 6 Modellen in de scheikunde Hieronder zie je de hoeveelheden in de diverse onderdelen. De parameers zijn k1,39 ; k,111 ; k3,14 ; k4,16 ; k5,35 en k6,11. De waarde van L is 49,3 µg (microgram per dag. Deze waarden zijn in een klinisch onderzoek me menselijke vrijwilligers rond 197 in Los Angeles bepaald. 5 lood in lichaam bloed microgram lood 15 1 boen 5 weefsel ijd Vooral een e hoog loodgehale in he weefsel is he gevaarlijk. In de ondersaande grafiek zie je voor verschillende waarden van L de hoeveelheid lood in he weefsel. Hoe groer L des e hoger de eindwaarde. 4 lood in weefsel 3 microgram ijd Deze sudies hebben eroe geleid da er loodvrije benzine onwikkeld is en ook in verf word egenwoordig vrijwel geen lood meer oegevoegd.

57 6.8 6 Modellen in de scheikunde 6.3 Opdrachen opdrach In paragraaf 6.1 is een model opgeseld voor de reacievergelijking gegeven door A + B X A + B fi X. Ga weer ui van de geallen a ( 3, b ( 1 en k 1/. De oplossing was een sijgende funcie naar de asympoo x 1. b Ga na of er een p besaa zó, da de funcie me voorschrif -p x( 1 1 e een oplossing is van de differeniaalvergelijking. c Laa zien da bij de oplossing he voorschrif 3 e x( 3 e opdrach 6.3. Een chemische reacie word beschreven door de reacievergelijking k 1 A + B X k 1 hoor. (zie ook he einde van paragraaf 6.1. De hoeveelheden van sof A, B en X op ijdsip zijn resp. a (, b( en x (. Je mag aannemen da he empo waarin sof X omgeze word evenredig is me de aanwezige hoeveelheid van sof X. a Maak aannemelijk da x '( k1 a( b( k x(. b Maak aannemelijk da de hoeveelheid sof A beschreven word a '( k1 a( b( + k x( c Geef ook een differeniaalvergelijking voor sof B. Neem aan da a( 3, b( 1, x( en da k1 1/ en k 1/1. d Laa in een grafiek de vorming van de soffen zien. Vergelijk de grafiek me de eerse grafiek in paragraaf 6.1. Hoeveel sof X word er gevormd? e Wa verander er als k groer word, bijvoorbeeld k 1/1. Hoeveel sof X word er nu gevormd? opdrach Een auokaalyse (zie einde paragraaf 6.1 word beschreven door de reacievergelijking A + X 3X Op ijdsip is 3 eenheden sof A en 1 eenheden sof X aanwezig. De hoeveelheden van A en van X worden resp. beschreven door a ( en x (.

58 6.9 6 Modellen in de scheikunde a Sel een model op voor di proces. b Maak een grafiek waarin je de invloed van de parameer ui je model op de hoeveelheid sof X zie. Op 1is a gelijk aan eenheden c Bepaal x 1(. d Bepaal (grafisch x (. opdrach Deze opdrach gaa over he comparmenmodel voor lood in he lichaam ui paragraaf 6.. De differeniaalvergelijkingen waren in da model x '( L + k y( + k 4 z( y'( k x( ( k + k y( 1 5 z '( k3 x( k 4 z( ( k + k + k x( De parameers zijn k1,39 ; k,111 ; k3,14 ; k4,16 ; k5,35 ; k6,11 en L 49,3 µg a Bepaal de evenwichswaarden me behulp van een selsel vergelijkingen. Er besaan medicijnen waarmee men de uisroom via de nieren kan vergroen. b Onderzoek me behulp van abellen en grafieken wa er gebeur als k6 kleiner word. opdrach Hieronder zie je een schemaische weergave van een comparmenmodel. De hoeveelheden in de comparimenen zijn x, y en z. De pijlen naas de comparmens geven de ransporriching aan. He empo waarin da plaasvind saa ernaas. 1 x x 4z y 5y 6z 3x z a Sel een selsel differeniaalvergelijkingen op voor he ondersaande syseem. b Bepaal de evenwichen van di syseem.

59 Anwoorden Anwoorden Opdrach 1.. Hieronder zie je de oplossingkrommen voor d, d,1, d,, d,3, d,4 en d,5. Seeds is N(,5. Als d > N( dan serf de populaie ui en als d < N( dan groei de populaie naar de evenwichswaarde 1. Als d N( dan blijf de populaiegrooe consan logisisch groeimodel me drempelgroei 1,5 populaieomvang 1,5 d d,1 d, d, ijd Opdrach..1 a na ongeveer 3 minuen b c,45 Opdrach.. De consane c in T '( c (Tomgeving T( is ongeveer,56. Als je aanneem da de dode gesorven is zonder koors dan lig de lichaamsemperauur ussen 36,5 en 37,5 graden Celsius. Als je uigaa van 37 graden dan is de man ongeveer 4, uur voor de vonds door de poliie overleden. Opdrach..3 a A Tomgeving en B T( - Tomgeving 5 ln(6/17 b vraag ui..1b: 3, 14 minuen 9 ln(6/17 vraag ui..1b: c, Opdrach.4.1 a 6, minuen b 184

60 7. 7 Anwoorden Opdrach.4. a 1 T oven + 3 sin π 5 T + T ( + c + 3 sin(, π T ( b ( c pizza ( pizza pizza d De emperauur gaa een beeje schommelen rond Opdrach.6.1 d/c -,1, c,5, d -,6 Opdrach.6. b en c 5 4 omvang B omvang A d In de bovensaande plo geld seeds x ( 4. Te zien is da leger A "win" als y ( 3, als y( 4 dan "win" leger B zeker. e Als y ( 3, 65 dan "win" leger A f b mag maximaal,45 zijn. Opdrach d Toven ( + e 3 3 e , 3 C 3,1

61 Anwoorden Opdrach 3..1 a 1,8 populaieomvang,6,4, ijd b N,77 c De populaie serf ui als k kleiner is dan (ongeveer,1169 d De evenwichen liggen bij 11 k k + 16k 81 88k + 16k k + en e k,115 dus maximaal11,5% f k,15 dus maximaal 15% g k,5 dus maximaal 5%

62 Anwoorden Opdrach a 3 x-y,5 y 1,5 1, x b He evenwich is he pun (5/, 3/. c x gaa naar,5, y gaa naar 1, x y Opdrach 3.5. a he evenwichspun is (, b 6 x-y 4 y 4 6 x c he evenwichspun is (1/3, 5/ d als x( 5 en y ( 1 dan is y eerder en dus "win" leger A e Als y( < 5, 6dan "win" leger A.

63 Anwoorden Opdrach 4..1 a 4 3 Roofdieren 1,3,6,9 1, 1,5 Prooidieren b Ongeveer,98 eenheden c Ja, naar P, 8 en R 4. d Nee, dan gaan de populaies schommelen Opdrach 4.. a De facor c X ( Y( is negaief en zorg er dus voor een afname in de,. b Logisisch. b(a c a(b d c De evenwichen zijn (,, (, 1, (1, en, ab cd ab cd d periode [ + ] 1,5 X-Y 1 Y,5,5 1 1,5 X e De populaies groeien naar he evenwich (,75,,5 f Dan serf X ui en groei Y naar 1.

64 I Wiskundige modellen Anwoorden Opdrach a gelijk aan b I word maximaal (ongeveer. da gebeur op (ongeveer 8. c d k is ongeveer,18 e ongeveer 5% f Als b > a G (. 18 Opdrach 4.4. a Nu vind er ook besmeing plaas door de conacen ussen gezonden en zieken. b De evenwichsoplossing is: G, I en Z 1. c Ja, iedereen word uieindelijk "ziek". 1 8 G Z 6 4 I d Ook nu word iedereen "ziek" (alleen eerder