Constructies met passer en liniaal, origami en meccano. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Constructies met passer en liniaal, origami en meccano. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht"

Transcriptie

1 Constructies met passer en liniaal, origami en meccano Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht

2 Deze module is in ontwikkeling en wordt uitgeprobeerd in het najaar van 2012 op het Junior College Utrecht (JCU). De auteur bedankt Ton van der Valk (JCU) en Johan van de Leur (Universiteit Utrecht) voor uitleg over de gang van zaken op het JCU en Joke Daemen (IVLOS) en Aad Goddijn (Freudenthal Instituut, JCU) voor het lezen van een eerdere versie. Fouten en onvolkomenheden blijven uiteraard geheel voor de verantwoordelijkheid van de auteur. De ontwikkeling en het uittesten van het materiaal is mede mogelijk gemaakt door de Hogeschool Utrecht, het Junior College Utrecht (JCU) en het Geometry and Quantum Theory (GQT) cluster. Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding- NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie (2012). Voorkant: detail van de Atheense School van Rafaël. Het is onduidelijk of de hoofdpersoon Euclides voorstelt of Archimedes, beiden spelen een belangrijke rol in deze module.

3 Inhoudsopgave Inleiding 1 Constructies 1 Geschiedenis van constructies met passer en liniaal 1 Deel 1. Constructies met passer en liniaal 5 Hoofdstuk 1. Constructies met passer en liniaal Spelregels en bewijzen Basisconstructies Ongeoorloofde en onmogelijke constructies Beroemde problemen 16 Samenvatting H1 23 Hoofdstuk 2. Van tekenen naar rekenen Zijn lengtes van lijnstukken getallen? Wat zijn getallen? De meetkundige rekenmachine Geogebra 32 Samenvatting H2 36 Hoofdstuk 3. Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal Snijpunten van lijnen en cirkels Lichaamsuitbreidingen Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar 47 Samenvatting H3 51 Bijlage A. Veronderstelde voorkennis van vlakke meetkunde 53 Bijlage B. Een bewijs uit het ongerijmde 55 Antwoorden 57 Antwoorden 57

4 Inleiding Voor je ligt een Wiskunde D module over constructies met passer en liniaal, origami en meccano. In het eerste deel bekijken we vier beroemde problemen uit de Griekse Oudheid die gaan over constructies met passer en liniaal. Je zult zien hoe de Grieken hun uiterste best hebben gedaan om deze problemen op te lossen, maar het is ze uiteindelijk niet gelukt. Pas 2000 jaar later werd duidelijk waarom. In het tweede deel zien we dat er meer mogelijk is met Origami of Meccano als alternatieve constructiemethode. Dit deel is op het moment nog in ontwikkeling. Constructies Heb je je wel eens afgevraagd waarom je wel van een bisectrice hebt gehoord maar nog nooit van een trisectrice? Of waarom je een regelmatige negenhoek niet kunt construeren met passer en liniaal, maar wel kunt vouwen met een blaadje papier? Wist je dat Origami wordt toegepast in de ruimtevaart en de medische wetenschap? En dat het speelgoed Meccano kan worden gebruikt om een lineaire beweging om te zetten in een cirkelbeweging zoals bij een stoomlocomotief? Er zijn talloze hulpmiddelen en gereedschappen om meetkundige figuren te tekenen, elk met zijn eigen grenzen. Voor een wiskundige is het interessant om het gereedschap te idealiseren, nauwkeurig te omschrijven hoe het gereedschap gebruikt mag worden en vervolgens de grenzen van dit gebruik op te zoeken. Dat zullen we in deze Module doen voor de constructiegereedschappen Passer en liniaal, Origami en Meccano. Geschiedenis van constructies met passer en liniaal Vanaf ongeveer 3000 v. chr. hebben de Babyloniërs en Egyptenaren hun vorderingen in de wiskunde opgeschreven en doorgegeven aan ons. Voor hen diende wiskunde meestal een praktisch doel: ze deden berekeningen voor bijvoorbeeld architectuur, landverdeling of het voorspellen van zonsverduisteringen. Daar kwam verandering in bij de Grieken die rond 400 v.chr. een grote bloeiperiode kenden. Zij dachten na over dingen gewoon omdat ze het interessant vonden en dit noemen we tegenwoordig met een Grieks woord filosofie (filein=houden van, sofia=kennis). De opbloei van (wiskundige) kennis, logisch nadenken en de Griekse cultuur gingen hand in hand. De filosoof Plato had niet voor niets boven de ingang van zijn Academie een inscriptie laten plaatsen AGEWMETRHTOS MHDEIS EISITO Laat geen meetkundig ongeschoolde hier ooit binnentreden 1

5 Je zult deze tekst tegenwoordig weliswaar niet boven een arbeidsbureau zien hangen, maar toch vinden bedrijven het nog steeds belangrijk dat hun werknemers wiskundig geschoold zijn als bewijs dat ze logisch kunnen nadenken. De zuiverste vorm van meetkunde was voor de Grieken de meetkunde in het platte vlak, waarbij alleen gebruik mocht worden gemaakt van passer en liniaal. Een belangrijke stelling over driehoeken in het vlak is bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras: voor een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van lengte a en b en schuine zijde c geldt a 2 + b 2 = c 2 Het bewijs werd meetkundig geleverd volgens een vast stramien: Probleem Constructie Bewijs Je construeert dus eerst met behulp van passer en liniaal een rechthoekige driehoek volgens bepaalde afspraken die uitgebreid aan bod komen in hoofdstuk 1. Vervolgens geef je een bewijs dat het vierkant met zijde c een even grote oppervlakte heeft als de vierkanten met zijde a en zijde b bij elkaar opgeteld. Dit stramien was zeer succesvol: we noemen deze stelling immers nog steeds naar Pythagoras ondanks dat de beste man al meer dan 2000 jaar dood is. Het indrukwekkende boek de Elementen van Euclides (ca. 300 v. chr.) bevat vrijwel alle wiskunde die tot dan toe was gedaan. Euclides schreef hierbij duidelijk alle aannames op voordat hij iets ging bewijzen. Met een minimum aan aannames (5 postulaten en 5 axioma s) werd een maximum aan resultaat geboekt: 176 stellingen over vlakke meetkunde! Ondanks de indrukwekkende hoeveelheid constructies die de Grieken maakten en de meetkundige stellingen die ze konden bewijzen bleef er een aantal taaie problemen over waarvan een constructie met passer en liniaal ze ontging. En daar wordt het interessant voor onze Module: zijn dit de grenzen van de gereedschappen Passer en liniaal? We introduceren die problemen hier kort: Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Kun je een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte als een cirkel met straal 1? Beroemd probleem 2. Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren? Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Kun je een willekeurige hoek met behulp van een constructie in drieën delen? 2

6 Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). Als een kubus met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan een kubus construeren met twee keer zo groot volume? Zo dus niet... want nu wordt het volume verachtvoudigd. Bij dit laatste probleem staan we nog even stil. Volgens de legende 1 had de god Apollo gezorgd voor pestepidemie op het Griekse eiland Delos. Toen de Deliërs naar het orakel van Delphi gingen om te vragen hoe ze weer van de plaag af konden komen kregen ze te horen dat ze het altaar van Apollo op Delos moesten verdubbelen. De Delische beeldhouwers verdubbelden de zijden van het altaar, maar de pest ging niet over. Ten einde raad wendden ze zich tot Plato s Academie. Daar kregen ze te horen dat het eigenlijke probleem was om het altaar te verdubbelen in volume en dat de Delische geleerden dus op zoek moesten gaan naar een constructie van een zijde met de juiste lengte. Volgens Plato was het een terechtwijzing van de god Apollo: de Grieken moesten minder aandacht besteden aan ruzie maken en oorlog voeren, en meer aan de wetenschap. Sindsdien heet dit ook wel het Delische probleem. De Grieken schijnen zich goed te hebben beseft dat het eigenlijk een probleem van de ruimtemeetkunde is, niet van de vlakke meetkunde. Ze konden het probleem wel degelijk oplossen met behulp van ruimtemeetkunde of andere instrumenten dan passer en liniaal, de wiskundige en geschiedschrijver Thomas Heath noemt zelfs 9 oplossingen in zijn History of Greek Mathematics, maar geen van allen gebruikten alleen maar passer en liniaal. De constructie van Archimedes bijvoorbeeld gebruikt een liniaal met streepjes (opgave 25), en die van Menaechmus gebruikt parabolen (opgave 43). Deze constructies zijn dan ook niet opgenomen in de Elementen van Euclides. Na de inspanningen van de Grieken bleef de vraag dus overeind: zijn de vier beroemde problemen te construeren met passer en liniaal? Na de middeleeuwen werd deze vraag opgepikt door veel vooraanstaande wetenschappers zoals Descartes, Newton en Gauss. Maar hoewel Gauss bijna kon bewijzen welke regelmatige veelhoeken kunnen worden geconstrueerd is het de weinig bekende Fransman Pierre Laurent Wantzel geweest die in 1837 problemen 2, 3 en 4 volledig heeft opgelost. Voordat het zover was zijn er dus meer dan 2000 jaar overheen gegaan, is er een moord gepleegd (op Archimedes), is er een wiskundige aan ziekte en armoede gestorven (Niels Abel), een ander is in een pistoolduel omgekomen (Évariste Galois) en Wantzel zelf is niet beroemd geworden maar in de vergetelheid geraakt en heeft zich doodgewerkt onder de invloed van opium. Maar daarover meer in de volgende hoofdstukken... 1 Vrij geciteerd uit De E apud Delphos van de Griekse geschiedschrijver Plutarchos, 1 e eeuw n.chr. 3

7

8 Deel 1 Constructies met passer en liniaal

9

10 HOOFDSTUK 1 Constructies met passer en liniaal Dit hoofdstuk gaat over het construeren van punten, lijnen en cirkels in het platte vlak met behulp van passer en liniaal. Typische vragen die we ons daarbij stellen zijn: kunnen we een gelijkzijdige driehoek construeren? En een regelmatige vijfhoek? Kunnen we een hoek in tweeën delen? En in drieën? Kunnen we een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel? Om antwoorden te geven op deze vragen moeten we heel precies omschrijven wat we eigenlijk bedoelen met construeren. Hierbij volgen we ongeveer de spelregels zoals de Griekse wiskundige Euclides ze opschreef rond 300 v. chr. in zijn beroemde boek de Elementen. De regels van Euclides zijn niet zaligmakend: het is goed mogelijk om een andere verzameling spelregels te verzinnen waarmee je vergelijkbare constructies kunt maken. In deel 2 zullen we onderzoeken wat je allemaal kunt doen met origami en meccano. Als de spelregels eenmaal zijn vastgelegd kunnen we onderzoeken wat mogelijk en vooral ook onmogelijk is met passer en liniaal. Daarbij stuiten we uiteindelijk op een aantal klassieke problemen uit de Griekse Oudheid. Ten slotte nemen we nog een loopje met de spelregels: door vals te spelen kunnen sommige constructies plotseling wél worden gemaakt! 1.1. Spelregels en bewijzen In dit hoofdstuk bekijken we de vlakke meetkunde van punten, lijnen en cirkels. Het boek de Elementen van Euclides van omstreeks 300 v.chr. gaat hierover en geldt al eeuwenlang als een blauwdruk voor een wiskundige tekst omdat het duidelijk onderscheid maakt tussen de volgende aspecten van wiskunde: Aannames Logische regels Stellingen Bewijzen Euclides begint met 23 definities waarin hij uitlegt wat meetkundige begrippen zoals punt, lijn, driehoek, cirkel etcetera betekenen. Dan volgen 5 postulaten, waarin aannames worden gedaan over relaties tussen deze begrippen: (1) Er gaat één lijnstuk door twee gegeven punten. (2) Een lijnstuk kan in beide richtingen worden verlengd tot een rechte lijn. (3) Er is één cirkel met gegeven middelpunt en gegeven straal. (4) Alle rechte hoeken zijn gelijk. (5) Stel dat twee lijnen worden gesneden door een derde. De twee lijnen snijden elkaar alleen als de kleinste hoeken die ze maken met de derde lijn samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken. De eerste drie postulaten gaan over toegestane meetkundige constructies, de laatste twee kunnen worden gebruikt om te bewijzen dat die constructies voldoen aan bepaalde eigenschappen. Omdat Euclides zo duidelijk maakt wat zijn aannames zijn, kun je onderzoeken wat er gebeurt als je een aanname verandert. Vooral over het vijfde postulaat (het parallellenpostulaat) is in de loop der eeuwen veel discussie ontstaan en het is inderdaad mogelijk gebleken 7

11 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal om zonder dit postulaat een consistente theorie op te bouwen: de niet-euclidische meetkunde. Een voorbeeld hiervan is meetkunde op een boloppervlak, waarin twee evenwijdige lijnen elkaar inderdaad kunnen snijden, denk maar aan de meridianen op het aardoppervlak die elkaar snijden in de noord- en zuidpool. De opbouw van de Elementen is weliswaar lovenswaardig, maar er is nog wel het één en ander op af te dingen 1. We kijken nog eens kritisch naar de eerste drie postulaten en we merken op dat ze niet helemaal volledig zijn: hoe construeren we bijvoorbeeld nieuwe punten? Euclides zwijgt daarover in zijn postulaten, maar in de tekst worden wel degelijk nieuwe punten geconstrueerd. We vullen daarom de eerste drie postulaten aan tot een verzameling spelregels die wij zullen hanteren bij het construeren: Spelregels voor constructie met passer en liniaal Constructie van nieuwe lijnen en cirkels: PL1. Een lijn door twee gegeven punten. PL2. Een cirkel door een gegeven punt met een ander gegeven punt als middelpunt. Constructie van nieuwe punten: PL3. Een willekeurig punt in het vlak (geen bijzondere eigenschappen) PL4. Snijpunt van twee lijnen. PL5. Snijpunt(en) van een lijn en een cirkel. PL6. Snijpunt(en) van twee cirkels. 1 Er is vanuit modern wiskundige oogpunt nog wel meer af te dingen op de Elementen dan wat we hier vermelden, en daarom heeft David Hilbert in 1899 een verbeterd stelsel voorgesteld met daarin 21 aannames. 8

12 Als het goed is ken je nog een aantal constructies uit de onderbouw, zoals bijvoorbeeld de bissectrice van een hoek en de middelloodlijn van een lijnstuk. 1a Opgave Maak een lijstje van constructies die je al eens hebt gezien en probeer ze weer uit te voeren. 1b Opgave Bedenk tenminste drie constructies in het platte vlak die je nooit hebt gezien maar waarvan je denkt dat ze uitvoerbaar zijn. We komen later nog op deze lijstjes terug Wat bedoelt Euclides met een bewijs? Normaal gesproken loopt een wiskundig bewijs als volgt: Stelling aannames+logica! Bewijs Euclides vond het echter belangrijk dat een meetkundige stelling niet alleen voorstelbaar is, maar ook construeerbaar op basis van de spelregels. Hij hanteerde daarom het volgende stramien Stelling spelregels! Constructie aannames+logica! Bewijs Later zullen we zien dat bijvoorbeeld een regelmatige zevenhoek niet construeerbaar is en Euclides zwijgt dan ook in alle toonaarden over zo n figuur, terwijl we geen enkele moeite hebben om ons een regelmatige zevenhoek voor te stellen. Laten we eens kijken hoe Euclides zijn eerste stelling uit de Elementen bewijst: Er bestaat een gelijkzijdige driehoek ABC met een gegeven lijnstuk AB als zijde. 2a Opgave (eerste stelling uit de Elementen) Construeer volgens de bovenstaande spelregels de gevraagde gelijkzijdige driehoek Schrijf bij elke stap op welke spelregel van PL1 t/m PL6 het is. ABC. 2b Opgave Bewijs dat de driehoek die je hebt geconstrueerd inderdaad gelijkzijdig is. Het is dus mogelijk om een gelijkzijdige driehoek te construeren vanuit een gegeven zijde. 3a Opgave (tweede stelling uit de Elementen) In de figuur hiernaast staat een constructie afgebeeld. Lijnstuk PQen punt R zijn gegeven, lijnstuk RS is het eindresultaat. Zijn de lengtes PQ en RS gelijk? Wat denk je dat het doel is van de constructie? 3b Opgave Schrijf een stappenplan, waarbij de deelconstructie van opgave 2 één stap is. 3c Opgave Bewijs dat het doel van de constructie inderdaad wordt bereikt. 9

13 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal De rol van de passer en de liniaal Euclides noemt nergens de woorden passer en liniaal". Toch is het uit zijn tekst duidelijk dat hij grote waarde hecht aan constructies, en dat daarbij alleen specifieke gereedschappen op een bepaalde manier mogen worden gebruikt. Je bent zelf bijvoorbeeld gewend te werken met een geodriehoek. Daarmee kun je zowel afstanden als hoeken opmeten, wat heel handig kan zijn bij het construeren. Als je bijvoorbeeld een hoek in tweeën moet delen, dan meet je de hoek op en je deelt dit getal door twee. De Grieken vonden dit niet zuiver: de meting is nooit precies en dus aards. Liniaal Passer Een liniaal bevat geen markeringen en mag alleen worden gebruikt om reeds geconstrueerde punten te verbinden. De passer mag alleen worden gebruikt om cirkels te construeren met een reeds geconstrueerd middelpunt en randpunt. Moderne passers hebben een radartje waarmee je de benen vast kunt zetten. Op die manier kun je de afstand tussen twee punten P en Q meten met je passer en vervolgens de passerpunt ergens anders neerzetten. Volgens de spelregels hierboven mag dit niet zomaar! Uit de vorige opgave volgt echter dat het toch mogelijk is om net te doen of je een moderne passer hebt. Op het ongeoorloofd gebruik van de passer en liniaal (valsspelen dus) komen we terug in paragraaf Basisconstructies In deze paragraaf proberen we structuur aan te brengen in het denken over constructies. We bekijken een aantal basisconstructies: niet al te ingewikkelde constructies die vaak van pas komen als bouwsteen in grotere constructies. De constructie van een gelijkzijdige driehoek in opgave 2 kwam bijvoorbeeld meteen van pas in opgave 3. Eerst even opwarmen: 4 Opgave Geef een samengestelde constructie die uiteenvalt in basisconstructies. Gebruik als inspiratie de lijstjes die je hebt gemaakt in opgave 1. Je hoeft niet te beschrijven hoe de basisconstructies moeten worden uitgevoerd, je kunt deze behandelen als black box. 5a Opgave Met het aantal stappen van een constructie bedoelen we het aantal keren dat PL1 of PL2 wordt gebruikt. Geef een constructie waarmee het midden van een lijnstuk wordt bepaald (3 stappen). 5b Opgave Gegeven is een lijn m en een punt P dat niet op m ligt. Geef een constructie voor de loodlijn op m die door P gaat (het kan in 3 stappen). 5c Opgave Gegeven is een lijn m met daarop een punt P. Geef een constructie voor de loodlijn op m die door P gaat (het kan in 3 stappen). 10

14 T. Basisconstructies B1 Het midden van lijnstuk AB. B2 De loodlijn van AB door punt C. Punt C ligt niet op AB.... B3... B4 De combinatie van I en III. Hoe heet dit?... B5 De lijn door C evenwijdig aan AB. B6 De bissectrice: lijn die de hoek \CAB door midden deelt. B In tabel 1 staat een lijst van basisconstructies met de opdracht aan de lezer om deze aan te vullen, de details van de constructies te geven en te bewijzen dat ze voldoen aan de gevraagde eigenschappen. 6 Opgave Vul tabel 1 aan en bewijs dat de constructies doen wat ze moeten doen. 11

15 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal Beschrijf van de volgende constructies welke basisconstructie van pas komt: 7a Opgave Het snijpunt van de drie zwaartelijnen van een driehoek. 7b Opgave Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek. 7c Opgave Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek. 7d Opgave Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek. 8 Opgave Gegeven zijn punten M en N en de cirkel met middelpunt M en randpunt N. Construeer de gelijkzijdige driehoek NPQ waarbij P en Q op de cirkel liggen. Hint: Begin met het construeren van een regelmatige zeshoek. 9 Opgave Zijn er constructies in opgave 1b) die je inmiddels met passer en liniaal kunt maken? De volgende constructies zijn goede oefeningen en hebben iets te maken met de beroemde problemen uit de Griekse Oudheid. Geef bij iedere constructie nieuwe punten een naam (in hoofdletters) en nieuwe lijnen en cirkels een naam (in kleine letters). Schrijf nummertjes in je tekening om aan te geven wat de volgorde is en beschrijf bij ieder nummer kort welke basisconstructie het is. 10a Opgave (Verdubbeling van een vierkant) Gegeven is een vierkant ABCD waarvan de zijde 1cm lang is. Construeer een vierkant met oppervlakte 2cm 2. 10b Opgave Gegeven is een vierkant ABCD. Construeer een vierkant waarvan de oppervlakte twee keer zo groot is. 11 Opgave (Kwadratuur van een rechthoek) Gegeven is een rechthoek ABCD. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte. Hint: Introduceer getallen a = AB en b = BC. De oppervlakte van de rechthoek is dus gelijk aan ab en we zoeken een vierkant met zijde p ab. Ga na dat a + b 2 a b ab =

16 Als we dit lezen met een Pythagorasbril op, dan staat hier dat een rechthoekige driehoek met schuine zijde a+b 2 en rechte zijde a b 2 een tweede rechte zijde heeft met lengte p ab. Construeer zo n rechthoekige driehoek. 12a Opgave (Kwadratuur van een veelhoek) Gegeven is 4ABC. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte. Geef hierbij nauwkeurig aan welke constructies van de voorgaande opgaven je hebt gebruikt. Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van een rechthoek. 12b Opgave Gegeven is een regelmatige veelhoek. Laat zien dat je een vierkant kunt construeren met dezelfde oppervlakte. Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van driehoeken en rechthoeken. 13 Opgave (Regelmatige veelhoeken) Je kleine zusje krijgt voor school de opdracht om op een lege wijzerplaat de uren van de klok aan te geven. Je besluit haar aan een tien te helpen door met behulp van passer en liniaal de streepjes op de juiste plek te zetten. Hint: begin met een gelijkzijdige zeshoek (zie opgave 8) en gebruik bissectrices. Er is ook een andere aanpak mogelijk om de uren op de wijzerplaat van een klok te construeren: de constructie van een regelmatige 12-hoek vanuit een regelmatige driehoek en vierhoek. Daarover gaat de volgende opgave. 14a Opgave (Regelmatige veelhoeken) Gegeven is een cirkel met daarin een gelijkzijdige 4P 0 P 1 P 2 en vierkant Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 met één gemeenschappelijk punt P 0 = Q 0. De hoekpunten P i liggen op i e 3 deel van de cirkel, de hoekpunten Q j liggen op j e 4 deel. Leg uit dat P1 Q 1 gelijk is aan 1 e 12 deel van de cirkel en dus de zijde is van een regelmatige twaalfhoek. 14b Opgave Je zou het vermoeden kunnen krijgen dat met behulp van een regelmatige m-hoek en n-hoek een regelmatige m n-hoek kan worden geconstrueerd. Leg uit dat dit vermoeden waar is voor een regelmatige vijftienhoek. 14c Opgave Start met een vierkant en een regelmatige achthoek met wederom P 0 = Q 0. Leg uit dat je zo geen regelmatige 32-hoek kunt construeren. 14d Opgave Probeer te ontdekken waaraan m en n moeten voldoen zodat het vermoeden wél waar is (schrijf duidelijk je vermoeden op en controleer het voor een aantal gevallen. Een bewijs wordt niet gevraagd maar levert wel bonuspunten op) Ongeoorloofde en onmogelijke constructies Het is natuurlijk leuk om te zien dat je met de basisconstructies in de hand een aantal ingewikkelde constructies kunt uitvoeren. Interessanter zijn echter de constructies die je (nog) niet kunt maken! In deze paragraaf bekijken we niet wat de mogelijkheden zijn, maar juist wat de onmogelijkheden zijn. We lopen tegen de beperkingen van de spelregels op, enerzijds omdat sommige constructies met cirkels en lijnen niet zijn toegestaan en anderzijds omdat we alleen mogen werken met lijnen en cirkels en niet met bijvoorbeeld parabolen, hyperbolen of andere figuren. 13

17 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal Ongeoorloofde constructies met lijnen en cirkels Er zijn constructies met lijnen en cirkels die je volgens de spelregels niet zomaar mag uitvoeren terwijl ze in de praktijk geen probleem opleveren. Als er een cirkel en een punt buiten de cirkel gegeven is kun je bijvoorbeeld een lijn tekenen die raakt aan de cirkel en door het punt gaat (er zijn zelfs twee van deze lijnen). Volgens de spelregels is dit niet zomaar toegestaan. Is er een manier om deze constructie toch te maken op een legale manier? 15 Opgave Probeer zo precies mogelijk uit te leggen waarom het tekenen van een raaklijn aan een cirkel niet aan de spelregels PL1 t/m PL6 voldoet. Gelukkig bestaat er wél een eerlijke constructie van een raaklijn aan een cirkel. 16a Opgave Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en randpunt S. Bewijs dat de lijn door S loodrecht op lijnstuk MS maar één snijpunt heeft met c. De raaklijn aan c door S staat dus loodrecht op de straal. Hint: Een tweede snijpunt S 0 zou leiden tot een onmogelijke driehoek 4SMS 0. De stelling van Thales luidt: een driehoek ingeschreven in een cirkel, waarbij één van de zijden een middellijn is van de cirkel, is altijd een rechthoekige driehoek. 16b Opgave Gegeven is een punt P buiten de cirkel c. Construeer een nieuwe cirkel met middellijn MP en noem de snijpunten met c respectievelijk S 1 en S 2. Leg met behulp van de stelling van Thales en onderdeel a) uit waarom de lijnen PS 1 en PS 2 raken aan de cirkel. 16c Opgave Wat gebeurt er als het punt P op de cirkel ligt? En als het er binnen ligt? 17 Opgave Van twee gegeven cirkels (niet even groot, niet snijdend of rakend) kun je eenvoudig de vier gemeenschappelijke raaklijnen tekenen. Maar kun je ze ook volgens de spelregels construeren? Probeer de vorige opgave te gebruiken, bijvoorbeeld door beide cirkels te krimpen totdat één van de cirkels een punt is geworden. In opgave 25 zien we hoe Archimedes een loopje neemt met de spelregels om een hoek in drieën te kunnen delen. Ook in die situatie is het lang niet zo duidelijk of er ook een eerlijke constructie als alternatief bestaat Onmogelijke constructies Je stuit wel eens op een constructie die je niet kunt uitvoeren. Dit kan twee oorzaken hebben: je bent ofwel niet handig genoeg geweest bij het verzinnen van een mogelijke constructie, of de constructie is principieel onmogelijk. 14

18 Soms is het meteen duidelijk dat een constructie onmogelijk is: je kunt met passer en liniaal nou eenmaal geen ellips construeren. Een interessante vraag is of er ook constructies bestaan die onuitvoerbaar zijn, maar waarvan je dat niet meteen kunt zien. En of je van een onuitvoerbare constructie kunt bewijzen dat dat zo is. Als wiskundigen lange tijd een constructie niet hebben kunnen maken dan bewijst dat natuurlijk nog niets, er zijn genoeg wiskundige stellingen waar pas na eeuwen een bewijs voor is gegeven. Een voorbeeld is de beroemde laatste stelling van Fermat (1637) die uiteindelijk is bewezen door Andrew Wiles (1994). Op deze bewijsbare onmogelijkheid komen we terug in latere hoofdstukken. In de volgende paragraaf bespreken we eerst nog de vier beroemde constructies uit de Griekse Oudheid die 2000 jaar lang onuitgevoerd bleven. Zijn ze misschien onmogelijk? 15

19 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal 1.4. Beroemde problemen De Oude Grieken zijn ware passer en liniaal kunstenaars geweest. Toch is er een viertal constructieproblemen dat zelfs hun pet te boven ging: (1) De kwadratuur van een cirkel. (2) De constructie van bepaalde regelmatige veelhoeken. (3) De driedeling van een hoek. (4) De verdubbeling van een kubus. In de komende paragrafen geven we een beschrijving van deze problemen. De Grieken hebben ze niet kunnen oplossen met passer en liniaal, hoe goed ze ook zochten naar constructies Kwadratuur van de cirkel De oppervlakte van een cirkel met straal 1 noemen we, dit is ongeveer 3, Het getal heeft een lange geschiedenis en bijna elke beschaving sinds de Babyloniërs heeft zich ermee bezig gehouden. Soms werd het erg onnauwkeurig benaderd (de bijbel rekent in 2 Kronieken 4:2 en 1 Koningen 7:23 bijvoorbeeld met =3), maar soms was een benadering opmerkelijk nauwkeurig. Een erg efficiënte methode was die van Archimedes: hij tekende een regelmatige veelhoek zowel binnen de cirkel (zie figuur 1) als eromheen en hij bedacht dat de oppervlakte van de cirkel tussen die van de veelhoeken moest liggen. Door een regelmatige n-hoek te gebruiken met grote n wordt de benadering nauwkeuriger. 18 Opgave Bekijk de eenheidscirkel en bereken de oppervlakte van een ingeschreven en omgeschreven zeshoek, zie figuur 1. Net als Archimedes mag je daarbij de volgende ongelijkheid gebruiken < p 3 < De methode van Archimedes roept een aantal vragen op: (1) Hoe construeerde hij een regelmatige veelhoek? (2) Hoe berekende hij de oppervlakte van een regelmatige veelhoek? In een gegeven cirkel is een regelmatige zeshoek construeerbaar, bijvoorbeeld door alle gelijkzijdige driehoeken in figuur 1 te construeren (zie ook opgave 13). Welke veelhoeken wel en niet construeerbaar zijn is het volgende beroemde probleem, we richten ons daarom op de tweede vraag. De oppervlakte van een regelmatige veelhoek is te reduceren tot een som van oppervlakten van driehoeken door vanuit het middelpunt lijnen te trekken naar de hoekpunten, zoals gedaan is in figuur 1. Op basis van opgave 12 kun je hier rechthoeken van maken, die je ook nog eens aan elkaar kunt plakken tot één grote rechthoek. De methode van Archimedes geeft dus een benadering van de oppervlakte van de cirkel in termen van de oppervlakten van een rechthoek. Dit leidt tot de essentie van de kwadratuur van de cirkel: kan de ware oppervlakte van een gekromd object als de cirkel evenals zijn benaderingen worden uitgedrukt in termen van de oppervlakte van een rechthoek? Of, omdat er ook een vierkant te construeren is met dezelfde oppervlakte als een rechthoek (opgave 11): bestaat er een vierkant met dezelfde oppervlakte als de cirkel met straal 1? Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Gegeven is een cirkel met straal 1. Kun je een vierkant met dezelfde oppervlakte construeren? 16

20 F. Een ingeschreven en omgeschreven regelmatige zeshoek voor een cirkel met straal 1. Uiteindelijk tekende Archimedes ingeschreven en omgeschreven 96-hoeken (construeerbaar: deel de hoeken van een gelijkzijdige driehoek vijf keer in tweeën) en kwam 2 tot de benadering < <3 1 7 die tot op twee decimalen nauwkeurig is. Archimedes erkende dat zijn methode de kwadratuur van de cirkel niet oplost: de veelhoeken blijven benaderingen voor de oppervlakte van de cirkel. Voor een echte kwadratuur van de cirkel is de constructie van een lijnstuk met lengte p vereist. 2 In de berekening gebruikt Archimedes allerlei afschattingen voor wortels die hij niet uitlegt, zoals de afschattingen voor p 3. Zie bijvoorbeeld de website van Dick Klingens voor de hele berekening. 17

21 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal De constructie van regelmatige veelhoeken. We zagen dat Archimedes voor zijn benadering van ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken gebruikte. In opgaven 2, 8 en 10 heb je regelmatige veelhoeken geconstrueerd met passer en liniaal, bijvoorbeeld een driehoek, vierkant en zeshoek. We gaan nu in stappen de nog ontbrekende regelmatige vijfhoek bekijken. F. Een springende kangoeroe 19a Opgave (Constructie van een regelmatige vijfhoek) Gegeven zijn twee halve lijnen die met elkaar een hoek a maken in het punt A. Een kangoeroe maakt telkens even grote sprongen van de ene lijn naar de andere, indien mogelijk naar een ander punt dan waar hij net vandaan kwam, zie figuur 2. Druk de hoeken \a 1, \a 2 enz. uit in \a (gebruik eventueel de stelling van de buitenhoek). 19b Opgave Leg uit: als \a = 36, dan is 4A 2 A 3 A gelijkbenig met tophoek \a. Schets deze situatie. 19c Opgave Leg uit: als \a = 36, dan kunnen A, A 2 en A 3 worden gebruikt om een regelmatige tienhoek te construeren binnen de cirkel met middelpunt A en straal A 2 A. 19d Opgave Als \a = 36 en A 2 A =1, hoe groot is dan A 1 A? Is deze lengte construeerbaar? Hint: zoek gelijkvormige driehoeken en gebruik verhoudingen tussen lengtes van zijden om een vergelijking te vinden waaraan x = A 1 A moet voldoen. 19e Opgave Construeer een regelmatige vijfhoek in een cirkel met straal 1. Vrije interepretatie van de kangoeroewedstrijd wizprof 2010, opgave 25. De Grieken konden dus een regelmatige drie-, vier-, vijf- en zeshoek construeren. Dit roept de vraag op of het mogelijk is om elke regelmatige veelhoek te construeren. Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken). Is het mogelijk om elke regelmatige veelhoek te construeren? 18

22 F. Het standbeeld van Gauss in Braunschweig 20 Opgave De Grieken zijn niet verder gekomen dan de drie-, vier-, vijf- en zeshoek en de veelhoeken die je hieruit kunt construeren door hoeken in tweeën te delen. Maak een lijstje van de regelmatige veelhoeken die de Grieken konden construeren. Waar zitten de gaten? Pas toen de wiskundige Carl Friedrich Gauss zich er rond 1800 mee ging bemoeien werd dit probleem volledig opgelost: hij gaf een beschrijving van de veelhoeken die wel en niet kunnen worden geconstrueerd. Hij heeft bijvoorbeeld op 18-jarige leeftijd een regelmatige 17-hoek geconstrueerd en hierop was hij zo trots dat hij besloot wiskunde te gaan studeren (en geen taalkunde). In het volgende hoofdstuk treed je in zijn voetsporen door zelf in het computerprogramma geogebra een regelmatige zeventienhoek te construeren. In zijn geboorteplaats Braunschweig staat een standbeeld van Gauss met een sokkel in de vorm van een zeventienpuntige ster. De constructie van regelmatige veelhoeken is gerelateerd aan het delen van hoeken, zoals blijkt uit de volgende opgaven. 21 Opgave Leg uit: als je een willekeurige hoek in n gelijke hoeken kunt verdelen, dan is iedere regelmatige n-hoek construeerbaar. De vraag of we hoeken in n gelijke stukken kunnen delen is dus algemener dan de vraag of we een regelmatige n-hoek kunnen construeren. 22 Opgave Als we hoeken in drieën kunnen delen, hoe verwacht je dat het lijstje van opgave 20 dan verandert? 19

23 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal Driedeling van een hoek Via de basisconstructies kunnen we inmiddels lijnstukken en hoeken in tweeën delen. Door deze weer in tweeën te delen, en deze weer in tweeën, enzovoorts kunnen we dus ieder lijnstuk en iedere hoek verdelen in 2 k gelijke delen voor iedere k. Zouden we nu ook een lijnstuk of een hoek in drieën kunnen delen? Stelling: Met passer en liniaal kan een lijnstuk in een willekeurig aantal gelijke stukken worden verdeeld. B. We leggen eerst uit hoe een lijnstuk in drieën kan worden gedeeld, zie figuur 4. Kies twee willekeurige punten A, B op de lijn en een punt C 1 dat niet op de lijn ligt. Verleng het lijnstuk AC 1 twee keer en noem de tussenliggende punten C 2 en C 3. We krijgen dus AC 1 = C 1 C 2 = C 2 C 3. Teken nu de lijnen door C 1 en C 2 die evenwijdig zijn aan BC 3. De snijpunten D 1,D 2 met AB delen dit lijnstuk op in 3 gelijke delen omdat de driehoeken ABC 3, AD 2 C 2 en AD 1 C 1 allen gelijkvormig zijn. In figuur 4 staat dit bewijs geïllustreerd. Het opdelen in meer gelijke stukken gaat analoog, door het lijnstuk AC 1 vaker te verlengen. Het teken geeft aan dat het bewijs hier eindigt. F. De driedeling van een lijnstuk gebruiken voor de driedeling van een hoek? De driedeling (trisectie) van een hoek is een ander verhaal. De Grieken hadden hier grote moeite mee. Zijn wij slimmer dan de Grieken? 23 Opgave Bekijk een driehoek 4ABC. Verdeel zijde BC in drie gelijke delen. Kun je dit gebruiken om de hoek \CAB in drieën te delen (zie figuur 4)? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld. Dit is dus geen goede algemene strategie. Nu proberen we een bijzonder geval. 24 Opgave Verzin een constructie om een hoek van 90 oftewel 2 in drieën te delen. Hint: Welke regelmatige veelhoek hoort bij een hoek van 30? Het is dus in ieder geval mogelijk om sommige hoeken met passer en liniaal in drieën te delen. Archimedes (ja, dezelfde van de kwadratuur van de cirkel) heeft een manier bedacht om alle hoeken in drieën te delen. Voor de constructie van de regelmatige vijfhoek maakten we in opgave 19 gebruik van figuur 2 waarbij \a = 36. Voor de driedeling van Archimedes gebruiken we geen specifieke waarde. In figuur 5 is de volgorde van tekenen anders dan in figuur 2: Archimedes start met de punten B,C en D en tekent daarna E en A. 20

24 F. Driedeling van een hoek volgens Archimedes 25a Opgave (De constructie van Archimedes) Leg uit dat \A en driedeler is van \DBC (zie ook opgave 19). 25b Opgave Leg uit A dat de tekening van Archimedes geen geldige constructie is met passer en liniaal. Welke stap voldoet niet aan de regels PL1 t/m PL6? De Grieken konden dus wel degelijk alle hoeken in drieën delen, maar ze maakten daarbij gebruik van extra hulpmiddelen naast de gewone passer en liniaal zoals de neusis (Grieks: " &). Dit is een liniaal waarop je streepjes mag zetten (zoals op je geodriehoek) en die je mag schuiven zodat je één streepje op een gegeven lijn mag zetten en een ander streepje op een andere gegeven lijn of een cirkel. Ruim 2000 jaar lang bleef het onbekend of een hoek in drieën kan worden gedeeld. Het is ons derde beroemde passer en liniaal probleem. Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Kun je een willekeurige hoek met passer en liniaal in drieën delen? Archimedes van Syracuse ( v.chr.) was een Grieks wiskundige, natuurkundige, ingenieur, uitvinder en sterrenkundige. In opdracht van de koning moest hij een kroon testen op het goudgehalte zonder deze kapot te maken. Hij zat in bad na te denken, ontdekte in een flits de wet van de opwaartse kracht, sprong uit bad en rende naakt door de straten van Syrakuse. Hij schreeuwde: urhka (eureka) ik heb het gevonden! Hier zie je Archimedes afgebeeld op de Fields Medaille, de Nobelprijs voor de wiskunde. 21

25 Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal Verdubbeling van een kubus Het laatste beroemde probleem is al uitegebreid aan bod gekomen in de inleiding via een legende die ermee samenhangt. In opgave 10 heb je de oppervlakte van een vierkant verdubbeld. Als het oorspronkelijke vierkant zijden met lengte 1 heeft, dan heeft volgens de stelling van Pythagoras het nieuwe vierkant zijden met lengte p 2. Nu moeten we een soortgelijke constructie maken voor een kubus: Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). Is een lijnstuk met lengte 3p 2 construeerbaar? 22

26 Samenvatting H1 Dit hoofdstuk ging over vlakke meetkunde met passer en liniaal, gebaseerd op het boek de Elementen van Euclides. In dit boek doet hij meetkunde volgens het paradigma Aannames Logische regels Stellingen Constructies Bewijzen Wij richten ons in deze module vooral op de constructies. Daarin mag alleen gebruik worden gemaakt van een passer en liniaal volgens de spelregels PL1 t/m PL6. Passer Met de passer mag je bovendien nog een geconstrueerd lijnstuk opmeten en ergens anders een cirkel met deze straal maken. Liniaal De liniaal heeft geen streepjes, en je mag er niet mee schuiven om bijvoorbeeld raaklijnen te vinden. Eerder gemaakte constructies dienen als bouwstenen voor nieuwe constructies, bijvoorbeeld de veel gebruikte basisconstructies B1 t/m B6. Spelregels voor constructie met passer en liniaal PL1. Lijn door twee gegeven punten. PL2. Cirkel met gegeven middelpunt en randpunt. PL3. Willekeurig punt in het vlak PL4. Snijpunt van twee lijnen. PL5. Snijpunt(en) van lijn en cirkel. PL6. Snijpunt(en) van twee cirkels. Basisconstructies B1 Midden van lijnstuk. B2 Loodlijn op lijn door punt dat niet op lijn ligt. B3 Loodlijn op lijn door punt dat wel op lijn ligt. B4 Middelloodlijn van lijnstuk. B5 Lijn door punt evenwijdig aan gegeven lijn. B6 Bissectrice van twee gegeven lijnen. Een paar beroemde constructieproblemen bleven eeuwen lang onopgelost: Kwadratuur van de cirkel: Regelmatige veelhoeken: Driedeling van een hoek: Het Delische probleem: (verdubbeling van een kubus) Kun je een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte als een cirkel met straal 1? Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren? Kun je een willekeurige hoek met behulp van een constructie in drieën delen? Als een kubus met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan een kubus construeren met twee keer zo groot volume? Een aantal constructies bleken uitvoerbaar met passer en liniaal, bijvoorbeeld: De raaklijn aan een cirkel door een punt. Een vierkant met opp. twee keer zo groot als dat van een gegeven vierkant. Een vierkant met dezelfde opp. als een driehoek, rechthoek of regelmatige veelhoek. Het verdelen van een lijnstuk in n gelijke stukken Een regelmatige driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, achthoek, twaalfhoek. 23

27

28 HOOFDSTUK 2 Van tekenen naar rekenen Tant que l Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché ensemble d un pas rapide vers la perfection Lagrange Zolang algebra en meetkunde gescheiden waren was hun voortgang traag en hun bruikbaarheid beperkt; maar toen deze wetenschappen bij elkaar gebracht werden hebben ze elkaar versterkt en zijn ze gezamenlijk met snelle tred naar de perfectie gemarcheerd Lagrange In dit hoofdstuk voeren we coördinaten in en leggen we het verband tussen meetkunde en algebra van tekenen naar rekenen. Een punt (x, y) in het vlak wordt vastgelegd twee getallen x, y en andersom. Met die getallen kunnen we berekeningen doen om uiteindelijk terug te komen bij de meetkunde en een uitspraak te doen over het punt (x, y): Meetkunde coördinaten! Algebra berekeningen! Algebra coördinaten! Meetkunde We bouwen een meetkundige rekenmachine om te laten zien dat we meetkundig kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. We onderzoeken de coördinaten van snijpunten van lijnen en cirkels om te bewijzen dat we met de meetkundige rekenmachine niets anders kunnen dan de bovengenoemde bewerkingen. Ten slotte wordt als voorbeeld het Delische probleem (verdubbeling van de kubus) vertaald van meetkunde naar algebra en daarmee losgemaakt van de meetkundige context Zijn lengtes van lijnstukken getallen? De tegenstelling tussen de opvattingen van de Grieken en onze moderne kijk op getallen komt mooi tot uitdrukking als het citaat hierboven van de Fransman Lagrange wordt vergeleken met een uitspraak 1 van Aristoteles, een leerling van Plato: OŒk ära Ístin x ällou gënouc metabànta de ixai, o on t gewmetrik n Çrithmhtik >AristotËlhc Het is dus niet toegestaan tijdens een bewijs van de ene op de andere soort [wiskunde] over te gaan, zoals bijvoorbeeld van meetkunde naar arithmetiek Aristoteles De Grieken hebben geworsteld met de vraag of lengtes van lijnstukken wel of niet kunnen worden opgevat als gewone getallen. Eén van de eersten die zich hiermee bezighielden was Pythagoras. Hij is natuurlijk bekend van de naar hem genoemde stelling, maar ook voor zijn werk in de muziekleer en harmonie van klanken. Op basis van die muziekleer definieerde hij gewone getallen als verhoudingen (breuken) van alle natuurlijke getallen. Tijdens het doen van meetkundige constructies vroeg hij zich af of p 2 de lengte van een diagonaal van een eenheidsvierkant wel of geen breuk is. 1 Aristoteles, Analytica posteriora, Boek 1 deel 7. Het Griekse alfabet staat in figuur 1. 25

29 Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen F. Het Griekse alfabet 26a Opgave Neem aan dat p q een oplossing is van de vergelijking x2 =2, waarbij we deze breuk zo ver hebben vereenvoudigd dat de natuurlijke getallen p en q geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Gebruik de vergelijking x 2 =2om te laten zien dat p even is. 26b Opgave Schrijf p =2r en laat vervolgens zien dat q even is. 26c Opgave Leg uit dat dit in tegenspraak is met onze aannames en dat p 2 dus geen breuk kan zijn. Het kan zijn dat je even moest wennen aan het bewijs in deze opgave. Het type bewijs waarbij je eerst aanneemt dat iets wél waar is, om vervolgens te concluderen dat het níet waar kan zijn heet een bewijs uit het ongerijmde, zie ook appendix B. Getallen die geen breuk zijn noemen we tegenwoordig irrationale getallen. Voor Pythagoras was het een enorme schok dat dit soort dingen bestonden, en een reden voor de Grieken om lengtes van lijnstukken met enig wantrouwen tegemoet te zien. Voortaan mochten lengtes niet worden opgevat als getallen, maar als puur meetkundige objecten. 27 Opgave Laat op soortgelijke wijze zien dat p 3 geen breuk is. 28 Opgave Het getal p 4=2is wél een breuk. Waarom leidt de strategie van de vorige twee opgaven niet tot een tegenspraak? Als bijvoorbeeld de lengte van een zijde gelijk is aan p 2, dan mag je deze lengte niet opvatten als een getal waarmee je algebraïsche manipulaties kunt uitvoeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voordat je hebt gecontroleerd dat deze een meetkundige betekenis 26

30 hebben. Voor een vergelijking als p p p 2 3= 6 moet dus om te beginnen worden bewezen dat lijnstukken kunnen worden geconstrueerd met lengte p 2, p 3, p 6 en p 2 p 3. Vervolgens moet worden bewezen dat vierkanten met zijde p 6 en zijde p 2 p 3 dezelfde oppervlakte 6 hebben. In onze moderne tijd zeggen we dat x = p 2 de positieve oplossing is van de vergelijking x 2 =2, y = p 3 van y 2 =3en dus (xy) 2 = x 2 y 2 =6 ) p 2 p 3=xy = p 6 De verplichte omweg via de meetkunde van de Grieken bleek erg vertragend te werken: in de Elementen komt Euclides bij de studie van wortels (Boek X) bijvoorbeeld niet verder dan de constructie van lijnstukken met lengte p p p m ± n. Wij hebben tegenwoordig geen moeite met getallen zoals p q 2 of 1+ p 1+ p 5 omdat we ze zien als oplossing van een vergelijking. 29 Opgave Leg uit dat q 1+ p 1+ p 5 voldoet aan de vergelijking x =5. Een manier om grip te krijgen op zo n getal is om het te tekenen: het is de x-coördinaat van een snijpunt van de grafiek van y = x met de lijn y =5. Maar om dat te kunnen doen heb je wel coördinaten en een assenstelsel nodig. Deze brug tussen meetkunde en getallen werd geslagen door René Descartes in zijn geschrift La Géometrie (1637). In een volledig leeg vlak bestaat geen voorkeursrichting, en er is ook geen natuurlijke afstandsmaat. Maar zodra twee punten zijn gegeven is het mogelijk om een x-as te definiëren en de afstand tussen de twee punten gelijk te stellen aan 1. Dit levert de punten (0, 0) en (1, 0). Het idee van Descartes was om dit te doen, en ook een y-as te definiëren loodrecht op de x-as. Het resultaat is een naar hem genoemd Cartesisch assenstelsel. In een plat vlak dat is uitgerust met een Cartesisch assenstelsel kun je elk punt coderen door middel van zijn coördinaten: een getallenpaar (x, y) waarbij x het aantal stappen op de x-as voorstelt en y het aantal stappen op de y-as. Het is goed om je te realiseren dat de coördinaten alleen een punt niet vastleggen: je moet weten welk assenstelsel wordt gebruikt. Toen twee teams van ingenieurs van NASA in 1999 met verschillende eenheden voor afstand werkten, leidde dat bijvoorbeeld tot het verbranden van de Mars Climate Orbiter in de dampkring van Mars, een catastrophe van 125 miljoen dollar Wat zijn getallen? De Grieken vonden dat p 2 geen getal is waar gewoon mee gerekend mag worden, tegenwoordig vinden we van wel. Reden om het begrip getal wat beter te bekijken. Natuurlijke getallen De natuurlijke getallen N zijn alle positieve gehele getallen N = {1, 2, 3,...} Dit zijn de eenvoudigste soort getallen, ze heten niet voor niets natuurlijk. Binnen de natuurlijke getallen kun je naar hartelust optellen en vermenigvuldigen: de som en het produkt van elk tweetal natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal. We zeggen ook wel dat N 2 Bron: 27

31 Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging. Bovendien voldoen deze operaties aan een aantal wetten: (1) a + b = b + a (2) a b = b a (3) (a + b)+c = a +(b + c) (4) (a b) c = a (b c) (5) a (b + c) =a b + a c Geslotenheid onder aftrekken: gehele getallen Maar hoe zit het dan met de omgekeerde operatie van optellen, namelijk aftrekken? Uiteraard is 5 3 weer een natuurlijk getal, maar 3 5 niet. We kunnen de natuurlijke getallen uitbreiden naar de verzameling Z van gehele getallen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Deze verzameling bevat het getal 0 en is wél gesloten onder aftrekken. De rekenregels moeten daarom worden uitgebreid, bijvoorbeeld met de bekende regel dat het produkt van twee negatieve getallen positief is. We gaan hier verder niet op in 3. De Grieken kenden geen negatieve getallen, en ook het getal 0 was hen vreemd. Hoewel wij inmiddels vertrouwd zijn geraakt met negatieve getallen is het toch goed om hier nog even stil te staan bij deze doorbraak. We hebben ons getalbegrip uitgebreid en een nieuw concept omarmd (negatieve getallen) door de focus te leggen op de rekenregels waaraan deze getallen moeten voldoen. De verzameling Z is gesloten onder zowel optellen als aftrekken en de symmetrie tussen optellen en aftrekken is weer hersteld. Geslotenheid onder delen: breuken De natuurlijke en de gehele getallen zijn ook gesloten onder een andere elementaire operatie, namelijk de vermenigvuldiging. Maar hoe zit het met de omgekeerde operatie: delen? Uiteraard is 6/3 weer een geheel getal, maar 5/3 is een breuk. Weer kunnen we onze verzameling getallen uitbreiden en er alle mogelijke breuken bij stoppen. Deze voldoen aan de gebruikelijke rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die je kent. We krijgen dan de verzameling van rationale getallen Q, waarbij we de volgende afspraken maken: We delen niet door 0. m Als teller en noemer beide negatief zijn, dan laten we de mintekens weg: n = m n. Als teller óf noemer negatief is, dan zetten we het minteken bij de teller. De noemer is dus altijd een natuurlijk getal. Een breuk zoals vereenvoudigen we altijd tot 5 7, dus we zorgen ervoor dat teller en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Uiteraard moeten de rekenregels weer worden uitgebreid met de nieuwe operatie, we gaan hier verder niet uitvoerig op in. Maar als we dan toch aan het uitbreiden zijn, waarom stoppen we getallen van de vorm p 0 ook niet in Q? Met de gebruikelijke rekenregels zou dit leiden tot de volgende vreemde situatie: 1= 0 0 = = =1+1=2 3 Als je hier meer over wilt weten raad ik het artikel Min maal min is plus aan van Frits Beukers in de Euclides jaargang 81 nr. 4, online beschikbaar via 28

32 Om de gewone rekenregels te kunnen behouden staan we dit dus niet toe: delen door nul is flauwekul. We hebben de natuurlijke getallen N (gesloten onder optelling en vermenigvuldiging) uitgebreid tot Z (ook nog gesloten onder aftrekken) en tot Q (ook nog gesloten onder deling): n o N Z Q = p q p 2 Z,q 2 N Korte uitleg bij de notatie: A B a 2 A betekent dat de verzameling A een deelverzameling is van B betekent dat a een element is van de verzameling A betekent waarvoor geldt De notatie voor Q betekent dus de verzameling van alle getallen p q geheel getal is en q een natuurlijk getal. waarvoor geldt dat p een Lichamen Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn elementaire operaties op getallen. Verzamelingen die gesloten zijn onder deze operaties krijgen een aparte naam: we noemen dit lichamen. Definitie 1. Een lichaam L is een verzameling getallen die 0 en 1 bevat en gesloten is onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met de gebruikelijke rekenregels. 30 Opgave Bewijs dat Q, de verzameling van breuken, een lichaam is. Je mag daarbij gebruik maken van de normale rekenregels voor breuken en het feit dat Z gesloten is onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. De gebruikelijke manier om verder te gaan met het getalsbegrip is om te kijken naar de reële getallen, maar dat hebben we in deze Module niet nodig. In plaats daarvan breiden we de verzameling van rationale getallen uit naar de verzameling van construeerbare getallen. Dit blijkt ook een lichaam te zijn zodat we lengtes van construeerbare lijnstukken naar hartelust mogen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen De meetkundige rekenmachine In deze paragraaf laten we zien dat de Grieken ten onrechte dachten dat je lengtes van lijnstukken (zoals p 2) niet zomaar kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met behulp van het computerprogramma Geogebra bouwen we een meetkundige rekenmachine die deze operaties uit kan voeren. Nou kunnen lengtes van lijnstukken niet negatief worden, en daarom hebben we het liever over de coördinaten van construeerbare punten. Als een lijnstuk met lengte a kan worden geconstrueerd, kunnen we via de constructie uit opgave 3 dit lijnstuk verplaatsen naar de oorsprong en ook de punten met coördinaten ( a, 0), (a, 0), (0, a) en (0,a) construeren. Definitie 2. Als startverzameling nemen we de punten (0, 0) en (1, 0). De verzameling van coördinaten van construeerbare punten noemen we K. 29

33 Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen Optellen in K Als a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0,b) construeerbaar. Via de constructie uit opgave 3 kunnen we een cirkel met middelpunt (a, 0) en straal b snijden met de x-as. Eén van de twee snijpunten is het punt (a + b, 0). Daarom weten we dat a + b 2 K. Aftrekken in K In de laatste stap van de constructie hierboven krijg je twee snijpunten, het andere punt is (a b, 0). Daarom weten we dat a b 2 K. Vermenigvuldigen in K Als a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0,b) construeerbaar. Via evenwijdige lijnen (B5) is het punt (0,ab) construeerbaar, zie figuur 2. Het bewijs loopt via gelijkvormige driehoeken. Daarom weten we dat c = ab 2 K. F. Constructie van ab en a b (links) en p a (rechts). Delen in K Delen het omgekeerde van vermenigvuldigen, ook meetkundig gezien: we gebruiken dezelfde figuur 2 in de omgekeerde volgorde. Als a, c 2 K dan zijn (a, 0) en (0,c) construeerbaar. Via evenwijdige lijnen (B5) is het punt (0,b) construeerbaar, waarbij b = c a. Daarom weten we dat b = c a 2 K. Worteltrekken in K Het is te verwachten dat onze meetkundige rekenmachine meer kan dan allleen +,.,. Het is immers vrij eenvoudig om de diagonaal van een eenheidsvierkant te construeren en deze heeft lengte p 2. Kunnen we misschien elke wortel van een construeerbaar getal construeren? 31 Opgave Stel dat a 2 K, dus (a, 0) is construeerbaar. Construeer een cirkel zoals in figuur 2. Bewijs dat (0, ± p a) de snijpunten zijn van de cirkel met de y-as. De conclusie is dat voor alle a 2 K geldt dat p a 2 K. Hint: gebruik bijvoorbeeld de stelling van Thales en drie keer de stelling van Pythagoras. Conclusie: de verzameling K van coördinaten van construeerbare punten is een lichaam dat gesloten is onder worteltrekken. We hebben nu in theorie een meetkundige rekenmachine gebouwd voor construeerbare coördinaten met de volgende knoppen: +,,,, p die we in de volgende paragraaf in de praktijk zullen brengen. 30

34 Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen Constructieproblemen vertaald naar algebra Elk constructieprobleem kan nu worden vertaald naar algebra: een punt is construeerbaar precies wanneer zijn coördinaten in de getallenverzameling K zitten. 32a Opgave Leg uit dat het getal 32b Opgave Leg uit dat het getal cos 2 17 = 1 16 q 1+ p 1+ p 5 uit opgave 29 construeerbaar is. 1+ p 17 + q 34 2 p r p 17 q 34 2 p q p! 17 construeerbaar is. Dit is de x-coördinaat van een punt van de regelmatige zeventienhoek, die we in de volgende paragraaf met behulp van het programma Geogebra gaan construeren. De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra: Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Zit p in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken). Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten 4 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Laat een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos 3 en sin 3 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). Zit 3p 2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? 2.4. Geogebra Het computerprogramma Geogebra is een veelzijdig en gratis programma waar je wiskunde mee kunt doen en eenvoudig tekeningen en applets mee kunt maken. Met name de meetkundige mogelijkheden van het programma sluiten goed aan bij het onderwerp van deze Module: het construeren met passer en liniaal. Er zijn knoppen voor ieder van de spelregels PL1 t/m PL6 en de basisconstructies B1 t/m B6 uit het vorige hoofdstuk. Bovendien is interactief: als je eenmaal een meetkundige constructie hebt gemaakt kun je met punten slepen om te onderzoeken wat de gevolgen zijn. Hebben we een bepaalde constructie eenmaal uitgevoerd en begrepen, dan kan deze dienen als bouwsteen in volgende constructies. In de Elementen gebruikt Euclides dit principe heel strikt: dit boek is een bouwwerk, waarbij eerder bewezen stellingen worden ingezet om nieuwe stellingen te bewijzen. Als iets bewezen is, dan is dat voor de eeuwigheid en Euclides bewijst dan ook nooit twee keer hetzelfde. Ook in Geogebra kun je dit idee mooi uitvoeren: naast de voorgeprogrammeerde basisconstructies kun je als gebruiker ook je eigen knoppen maken via de zogenaamde Macro s. Via uitgedeelde werkbladen en een computerpracticum maak je kennis met (de meetkundige kant van) Geogebra en werken we samen aan nieuwe knoppen voor een meetkundige rekenmachine. 4 De scherpe lezer zal opmerken dat het eigenlijk gaat om de hoek 2 n die construeerbaar moet zijn. De exacte positie van de hoekpunten hangt immers af van de afstand van de hoekpunten tot het middelpunt van de veelhoek. Toch blijkt dit voor de construeerbaarheid uiteindelijk niet uit te maken. 32

35 Geogebra werkblad: de meetkundige rekenmachine Ga naar de volgende website en download de webstart versie van het programma geogebra Je ziet twee vensters: links het algebra venster waarin de namen en eigenschappen van getekende objecten staan en rechts het tekenvenster. Bovenin staat een knoppenbalk met daarin de meetkundige gereedschappen gesorteerd op type: punten, lijnen, veelhoeken, cirkels en transformaties. Onder elk icoontje zijn weer andere tools te vinden van hetzelfde type via het kleine driehoekje. Dit zijn alle tools: Icoon nummer 5 is bijvoorbeeld het snijpunt van twee objecten, nummer 8 de middelloodlijn van een lijnstuk enzovoorts. Zodra je een knop hebt geselecteerd kun je naast de knoppenbalk lezen wat voor input Geogebra van je verwacht. Opdracht 1: de omgeschreven cirkel van een driehoek In deze Geogebra-opdracht maak je een nieuwe Macro een nieuw stuk gereedschap in Geogebra en onderzoek je eigenschappen van de omgeschreven cirkel van een driehoek. 1 Geogebra opdracht Teken een driehoek 4ABC met behulp van het icoontje. Construeer met behulp van middelloodlijnen de omgeschreven cirkel van 4ABC. Geogebra werkt met onafhankelijke en afhankelijke objecten. In de constructie die je zojuist hebt gemaakt zijn de hoekpunten van de driehoek onafhankelijk je kunt ze verplaatsen door met het pijltjesicoon erop te klikken en de andere objecten zijn afhankelijk: ze veranderen automatisch mee. 33

36 Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen 2 Geogebra opdracht Sleep met de hoekpunten van de driehoek. Voor welke bijzondere driehoeken ligt het middelpunt van de omgeschreven cirkel op één van de zijden? En waar op de zijde kan dit middelpunt liggen? De knoppen van geogebra zijn natuurlijk handig, maar soms niet voldoende: als je een bepaalde basisconstructie vaak moet uitvoeren is het prettig om zelf een nieuwe knop te kunnen toevoegen. 3 Geogebra opdracht Maak via het menu Macro s een nieuwe Macro aan, die als beginobject de drie hoekpunten van de driehoek heeft en als eindobject de omgeschreven cirkel. Geef de nieuwe knop een naam, begin weer met een schoon geogebra-blad en probeer hem eens uit! 4 Geogebra opdracht Wat gebeurt er met de omgeschreven cirkel als de drie punten (bijna) op één lijn liggen? Inleveropdracht: de meetkundige rekenmachine Teken op een willekeurige plek een lijnstuk, waarvan we de eindpunten A en B lengte de lengte a noemen. In het algebra venster aan de linkerkant zie je deze punten en het lijnstuk als het goed is verschijnen. Teken daaronder een kleiner lijnstuk met eindpunten C en D en lengte b. Teken daaronder een nieuw punt P. 5 Geogebra opdracht Construeer het punt (a, 0) en het punt (0,b). Om de lijnstukken naar de oorsprong te verplaatsen kan het icoontje handig zijn. Gebruik vervolgens de constructie van paragraaf 2.3 om een lijnstuk met lengte a + b te construeren. Gebruik ten slotte het icoontje. Klik op het punt P en kijk in het Algebra venster aan de linkerkant zien hoe het lijnstuk met lengte a + b heet. Die naam typ je in. Het resultaat is als het goed is een lijnstuk met lengte a + b en punt P als één van de eindpunten. De oorsprong heeft nu waarschijnlijk een naam gekregen, zeg punt E. Ga naar het Algebra venster en vervang nu eerst in alle definities waar het punt E in voorkomt deze door (0, 0). Dus Segment[E,F] wordt Segment[(0,0),F] etcetera. Maak een nieuwe macro (knop) in geogebra met als input de punten A, B, C, D, P en als output het lijnstuk met lengte a + b en eindpunt P (haal de coördinaatassen weg bij de input). Je kunt in het menu Macro s beheren en opslaan als klein bestandje met extensie.ggt. Deze bestanden zetten we neer op een centrale plek zodat we ze kunnen uitwisselen. 34

37 6 Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdracht, maar nu voor een lijnstuk met lengte a dat je in het begin a>bhad gekozen.. b. Let op 7 Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte ab. Gebruik de bijbehorende constructie uit paragraaf Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte a b. Gebruik de bijbehorende constructie uit paragraaf Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte p a. Gebruik de bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3. Als het goed is hebben we nu een aantal macrobestanden waarmee we de operaties +, meetkundig kunnen uitvoeren.,,, p De eerste wiskundige die na de Grieken een nieuwe regelmatige veelhoek construeerde was Karl Friedrich Gauss. Toen hij in 1799 achttien jaar oud was gebruikte hij complexe getallen en algebra om te bewijzen dat cos 2 17 = p 17 + q 34 2 p r p 17 q 34 2 p q p! Geogebra opdracht (Eindopdracht) Leg uit waarom de regelmatige 17-hoek construeerbaar is met passer en liniaal. Construeer met behulp van de macro s in geogebra een regelmatige 17-hoek en treed in de voetsporen van Gauss. 35

38 Hoofdstuk 2 Van tekenen naar rekenen Samenvatting H2 Door het invoeren van een assenstelsel konden we praten over de verzameling van coördinaten van construeerbare punten K. Dit is een verzameling van getallen, waardoor constructieproblemen kunnen worden vertaald naar algebra. We hebben op een nieuwe manier naar getallen gekeken: het zijn verzamelingen die gesloten onder operaties zoals +,,, met de gebruikelijke rekenregels. Een verzameling die 0 en 1 bevat en gesloten is onder al deze operaties heet een lichaam. De verzameling K bleek een lichaam te zijn dat ook nog eens gesloten is onder worteltrekken. In het volgende hoofdstuk bewijzen we dat K het kleinste lichaam is met deze eigenschap. operaties p gesloten onder operaties N Z Q K We hebben in geogebra een meetkundige rekenmachine gemaakt waarmee de operaties + p kunnen worden uitgevoerd. Rond het jaar 1800 ontdekte Gauss via algebra dat één van de punten van een regelmatige zeventienhoek als x-coördinaat heeft cos 2 17 = p 17 + q 34 2 p r p 17 q 34 2 p 17 2 q p! 17 Met deze informatie en de meetkundige rekenmachine hebben we in navolging van Gauss een regelmatige zeventienhoek geconstrueerd. De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra: Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Zit p in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken). Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Laat een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos 3 en sin 3 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). Zit 3p 2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? 36

39 HOOFDSTUK 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk Leopold Kronecker Onze Lieve Heer heeft de gehele getallen gemaakt, de rest is mensenwerk Uit het vorige hoofdstuk weten we dat de verzameling construeerbare coördinaten is een lichaam dat gesloten is onder worteltrekken: we kunnen met passer en liniaal coördinaten van punten optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. Om te onderzoeken welke coördinaten van punten wel en niet construeerbaar zijn is het belangrijk om zeker te weten dat dit ook alle bewerkingen zijn die we kunnen doen. Via berekeningen van snijpunten van lijnen en cirkels komen we erachter dat dit inderdaad zo is. Iedere geconstrueerde coördinaat is daarom opgebouwd uit breuken en tweedemachtswortels. Via de theorie van lichaamsuitbreidingen bekijken we wat de gevolgen hiervan zijn voor de beroemde Griekse constructieproblemen Snijpunten van lijnen en cirkels Omdat passer-en-liniaal constructies alleen gaan over punten, lijnen en cirkels zullen we in dit hoofdstuk vooral lijnen, cirkels en hun snijpunten nader bekijken. Bij origami spelen parabolen en hun raaklijnen een belangrijke rol, daarover dus meer in het tweede deel van deze module Snijpunten van algebraïsche krommen Bij elke vergelijking in twee variabelen x, y hoort een kromme in het xy-vlak. Bekende voorbeelden zijn de lijn gegeven door de vergelijking y = x en de cirkel gegeven door de vergelijking x 2 + y 2 =1. In het programma Geogebra kun je hiermee experimenteren. Eerst voeren we wat terminologie in. Een term in twee variabelen x, y is een uitdrukking van de vorm cx m y n met c een constante en m, n natuurlijke getallen, bijvoorbeeld xy 2 of 3x 4 y 11. Een veelterm of polynoom (poly = veel) is een combinatie van termen, bijvoorbeeld p(x, y) =3x 3 y 2 11xy 4 {z } termen van graad 5 + 2x 2 23y 2 {z } termen van graad {z} graad 0 Een algebraïsche kromme wordt gegeven door een vergelijking van het type p(x, y) =0met p(x, y) een veelterm. De graad van een veelterm wordt gegeven door het maximum van m + n voor alle termen cx m y n. De veelterm p(x, y) hierboven heeft dus graad 5 omdat m + n de waarden 5, 2 en 0 kan aannemen. Er zijn twee termen van graad 5, twee termen van graad 2 en één term van graad 0. Met sommige krommen ben je al vertrouwd, zeker als de graad laag is: Een kromme van graad 1 is altijd een lijn. Een voorbeeld van een kromme van graad 2 is een cirkel. 37

40 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal In de volgende opgave onderzoek je alle mogelijke krommen van graad Opgave Maak zes schuifknoppen aan in geogebra met de namen a, b, c, d, e, f en waarden lopend van 5 tot 5 (dit zijn de standaardinstellingen van geogebra, je hoeft dus alleen zes schuifknoppen aan te maken). Typ bij de invoer onder in het scherm de vergelijking a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f =0 Vergeet hierbij niet de vermenigvuldigingstekens. Sleep met de schuifknoppen en beschrijf welke soorten krommen je allemaal kunt krijgen. Gebruik bij dit onderzoek ook de kennis die je al hebt: verwacht je lijnen? En parabolen? Hoeveel snijpunten twee krommen kunnen hebben hangt af van hun graad. Twee lijnen kunnen bijvoorbeeld nooit meer dan één snijpunt hebben en een cirkel en een lijn nooit meer dan twee. 34 Opgave Bekijk de onderlinge snijpunten van twee krommen uit de volgende verzameling: cirkel, ellips, parabool en hyperbool. Dus cirkel-cirkel, cirkel-ellips enzovoorts. Laat in schetsjes zien dat er maximaal 4 snijpunten zijn, op één uitzondering na. Welk geval is dat en hoeveel snijpunten zijn er dan maximaal? De uitzondering heeft grote gevolgen voor de passer-en-liniaal problemen, zie ook opgaven 42 en 43. Intermezzo: de stelling van Bézout De Stelling van Bézout zegt dat twee algebraïsche krommen van graad m en n maximaal mn snijpunten hebben. Deze stelling is voor het eerst opgeschreven door Newton in lemma 28 van zijn Principia Mathematica zonder bewijs. In 1779 deed Étienne Bézout een poging deze stelling te bewijzen in zijn Théorie générale des équations algébriques. Een verbeterde versie van de stelling (bekend bij Newton en Bézout) houdt rekening met complexe oplossingen en multipliciteit van snijpunten, waardoor de algebraïsche krommen precies mn snijpunten hebben. De stelling wordt fraai geïllustreerd door de derdegraadskromme y =5x 3 5x en de vijfdegraadskromme x =2y 5 7y 3 +5y die samen 15 snijpunten hebben. Isaac Newton ( ) Étienne Bézout ( ) Vergelijking van een lijn Na het invoeren van een assenstelsel ben je gewend om een lijn te schrijven als y = ax + b. Anderzijds moet er precies één lijn gaan door twee punten, dus ook door de punten (0, 0) en (0, 1) en de vergelijking x =0voor deze lijn is niet van de vorm y = ax + b. Het is daarom beter om voor de meest algemene uitdrukking voor een lijn de meest algemene uitdrukking voor een algebraïsche veelterm van graad 1 te gebruiken: ax + by = c. 38

41 35 Opgave Bekijk de lijn gegeven door de vergelijking 3x+2y =5. Laat zien dat deze lijn door de punten (1, 1) en (3, 2) gaat. 36a Opgave De twee punten P =(x 1,y 1 ) en Q =(x 2,y 2 ) zijn gegeven. Bekijk de vergelijking (x 2 x 1 )(y y 1 )=(y 2 y 1 )(x x 1 ) Werk de haakjes weg en laat zien dat dit een vergelijking is van de vorm ax + by = c. Druk a, b en c uit in x 1,x 2,y 1,y 2. De verzameling van punten (x, y) die voldoen aan bovenstaande vergelijking vormen dus samen een lijn. 36b Opgave Laat zien dat zowel het punt P als het punt Q op deze lijn ligt. 36c Opgave Wat is de richtingscoëfficiënt van de lijn door P en Q? De algemene vergelijking voor een lijn is ax + by = c De algemene vergelijking voor een lijn door twee punten P =(x 1,y 1 ) en Q =(x 2,y 2 ) is (x 2 x 1 )(y y 1 )=(y 2 y 1 )(x x 1 ) 37 Opgave Gebruik de formule voor de lijn door twee punten om een vergelijking op te stellen voor de lijn die door (1, 1) en (3, 2) gaat. Kijk nu nog eens naar opgave Vergelijking van een cirkel Bekijk twee punten O, P in het vlak en de cirkel met middelpunt O en straal r = OP. We kiezen coördinaten zodat O de oorsprong (0, 0) is en P het punt (r, 0). De cirkel bestaat uit alle punten (x, y) met afstand r tot de oorpsrong, en vanwege de stelling van Pythagoras zijn dit de punten die voldoen aan de vergelijking x 2 + y 2 = r 2. We kiezen nu een ander assenstelsel zodat O niet langer de oorsprong is maar het punt (x 1,y 1 ). De algemene vergelijking voor een cirkel met middelpunt (x 1,y 1 ) en straal r is Hierin kunnen we nog de haakjes uitwerken. De algemene vergelijking van een cirkel is (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 = r 2 x 2 + y 2 + dx + ey + f =0 Als we dit vergelijken met de algemene tweedegraads kromme ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f =0 dan zien we dus dat a = b =1en c =0. 39

42 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal Snijpunten van twee lijnen Twee lijnen hebben, als ze niet samenvallen, hooguit 1 snijpunt. Dit zie je in een plaatje en het klopt met de stelling van Bézout. Om het snijpunt van twee lijnen te vinden heb je geleerd om een stelsel vergelijkingen op te lossen. Dit kan bijvoorbeeld door substitutie of eliminatie, zie het kader Het oplossen van stelsels. 38a Opgave Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking 3x +6y =2en x +4y =7. 38b Opgave Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking 3x +6y =2en x +2y =3. Wat is hier meetkundig aan de hand? 38c Opgave Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking 3x +6y =2en x +2y = 2 3. Wat is hier meetkundig aan de hand? 39a Opgave Bereken het snijpunt van de lijnen met vergelijking a 1 x + b 1 y = c 1 en a 2 x + b 2 y = c 2. 39b Opgave Hoeveel snijpunten zijn er als a 1 b 2 = b 1 a 2 en c 1 a 2 6= a 1 c 2? Wat betekent dit meetkundig? (zie opgave 38 b) 39c Opgave Hoeveel snijpunten zijn er als a 1 b 2 = b 1 a 2 en c 1 a 2 = a 1 c 2? Wat betekent dit meetkundig? (zie opgave 38 c) Het oplossen van stelsels We bekijken twee methoden voor het oplossen van het stelsel n x +2y =2 2x +3y =3 Substitutie Eerst wordt één van de vergelijkingen zo geschreven dat een variabele kan worden uitgedrukt in de andere. Bijvoorbeeld: x =2 2y Invullen in 2x +3y =3geeft 2(2 2y)+3y =3 dus y =1 Dit invullen (substitueren) in de oorspronkelijke vergelijkingen geeft x =0 40 Eliminatie Het idee is om de vergelijkingen op een geschikte manier van elkaar af te trekken of bij elkaar op te trekken zodat één van de variabelen wordt weggewerkt (geëlimineerd). Daarom vermenigvuldingen we de hele bovenste vergelijking met 2: n 2x +4y =4 2x +3y =3 Van elkaar aftrekken geeft y =1 Dit invullen (substitueren) in de oorspronkelijke vergelijkingen geeft x =0

43 Als de lijnen gegeven door a 1 x + b 1 y = c 1 en a 2 x + b 2 y = c 2 niet samenvallen of evenwijdig zijn, dan wordt het snijpunt gegeven door c2 b 1 b 2 c 1 (1) (x, y) =, a 2c 1 c 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 Belangrijk om te onthouden is dat er in de coördinaten van de snijpunten alleen breuken te zien zijn en niet bijvoorbeeld tweedemachtswortels Snijpunten van een lijn en een cirkel Om het snijpunt van een lijn en een cirkel te vinden kun je weer een stelsel vergelijkingen op te lossen. 40a Opgave Teken de lijn x + y =0en de cirkel x 2 + y 2 =1. Hoeveel snijpunten zie je? 40b Opgave Bereken deze snijpunten algebraïsch door het stelsel n x + y =0 x 2 + y 2 =1 op te lossen. 41a Opgave Teken de lijn x + y =4en de cirkel x 2 + y 2 =1. Hoeveel snijpunten zie je? 41b Opgave Probeer het stelsel n x + y =4 x 2 + y 2 =1 op te lossen. Hoeveel oplossingen zijn er en waarom? We beschrijven nu een manier om de snijpunten te vinden van een algemene lijn met een algemene cirkel k : ax + by = c C : x 2 + y 2 + dx + ey + f =0 Als de lijn niet verticaal is (dus b 6= 0) dan kunnen we substitueren in C. We krijgen dan (2) x 2 + a b x + c b y = a b x + c b 2 + dx + e a b x + c b + f =0 Dit is een tweedegraads vergelijking voor x en we kunnen dus in principe de abc-formule gebruiken om de snijpunten te vinden. Dat wordt echter een grote formule-brij die we een beetje overzichtelijk willen houden. We schrijven de vergelijking (2) daarom als (3) Ax 2 + Bx + C =0 met a A =1 2 b 2 B = d 2c b C = ec a + f 41 ea b

44 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal De abc-formule geeft nu de x-coördinaten van de snijpunten x 1 = B + p B 2 4AC en x 2 = B p B 2 4AC 2A 2A Door deze waarden van x te substitueren in de vergelijking voor de lijn k vinden we de bijbehorende y-waarden van de snijpunten y 1 = a b x 1 + c a en y 2 = a b x 2 + c a Het gaat ons niet om de precieze uitdrukkingen voor de coördinaten van deze snijpunten. Wat echter opvalt is een duidelijk verschil tussen de snijpunten van een lijn met een lijn en van een lijn met een cirkel: er komen nu wortels voor in de formules. Dit is niet zo verrassend, aangezien we al met de meetkundige rekenmachine konden worteltrekken, zie paragraaf 2.3. Belangrijk om te onthouden is dat er niets méér ontstaat dan breuken en wortels in de coördinaten van de snijpunten Snijpunten van twee cirkels We gaan nu op zoek naar de snijpunten van twee cirkels. We lossen daarom het stelsel n x 2 + y 2 + dx + ey + f =0 x 2 + y 2 + gx + hy + i =0 op door de vergelijkingen van elkaar af te trekken (eliminatie). We krijgen dan het nieuwe stelsel n x 2 + y 2 + dx+ ey+ f =0 (d g)x+ (e h)y+ (f i) = 0 Maar de tweede vergelijking in dit stelsel ziet eruit als een lijn! De snijpunten van twee cirkels liggen dus op een lijn. Dit betekent dat we dezelfde soort snijpunten krijgen als in de vorige paragraaf en ook dezelfde soort formules voor de coördinaten van de snijpunten. Er kunnen dus weer alleen wortels optreden in deze formules. 42 Opgave Bereken de snijpunten van de cirkels x 2 + y 2 = 1 en (x 1) 2 +(y 1) 2 = 4. Welke tweedegraads vergelijking moet je uiteindelijk oplossen? Belangrijk om te onthouden is dat er weer niets méér ontstaat dan breuken en wortels in de coördinaten van de snijpunten Snijpunten van parabolen en het Delische probleem Het is onmogelijk dat er bij snijpunten van twee cirkels bijvoorbeeld derdemachtswortels optreden. Dit heeft te maken met de tweedegraads vergelijking (2) die ontstaat bij het berekenen van de snijpunten van een lijn en een cirkel: een tweedegraads vergelijking heeft maximaal twee oplossingen. Er kunnen wél derdemachtswortels optreden bij snijpunten van parabolen: deze hebben onderling maximaal 4 snijpunten en dit is een indicatie dat er een vierdegraads vergelijking in het spel is. 43 Opgave Bekijk de algemene vergelijkingen y = ax 2 en x = by 2 van een staande en een liggende parabool. Kies a en b zo, dat de x-coördinaat van één van de snijpunten voldoet aan de vergelijking x 3 =2, zie figuur 1. Hiermee heb je (door vals te spelen) de coördinaat 3p 2 en dus de verdubbeling van de kubus geconstrueerd. Deze constructie was al bekend bij de Griek Menaechmus ( v. chr.). 42

45 F. De x-coördinaat van het snijpunt van twee parabolen is 3p Lichaamsuitbreidingen Historische inleiding Sinds het werk van Descartes was het mogelijk om meetkunde te bestuderen met behulp van vergelijkingen, algebra dus. Een grondige studie van algebra begon echter pas in de negentiende eeuw, toen de Fransman Évariste Galois en de Noor Niels Abel onafhankelijk van elkaar nauwkeurig bestudeerden hoe de oplossingen van een vergelijking eruit kunnen zien. Ze deden dit werk allebei toen ze nog erg jong waren en ze kregen er tijdens hun leven weinig erkenning voor. Galois is op 20-jarige leeftijd neergeschoten in een pistoolduel en Abel is aan tuberculose overleden toen hij 26 was. Aan de basis van hun onderzoek stond het begrip lichaam dat we al even zijn tegengekomen in hoofdstuk 2. We zullen in deze module niet toekomen aan de mooie resultaten die Abel en Galois uiteindelijk hebben behaald, maar we willen ze hier graag even noemen. Abel kon bijvoorbeeld bewijzen dat het onmogelijk is om de oplossingen van een willekeurige vijfdegraads vergelijking op te schrijven als je alleen gebruik mag maken van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en het trekken van (hogere machts) wortels. Er bestaat dus geen abc-formule voor vijfdegraads vergelijkingen (wel voor derde- en vierdegraads vergelijkingen). Alleen als de vergelijking van een heel speciaal type is bestaat er een eenvoudige uitdrukking voor zijn oplossingen. Galois ging nog een stapje verder en beschreef heel nauwkeurig van welke vorm een n e -graads vergelijking moet zijn als er een eenvoudige uitdrukking bestaat voor de oplossingen. Hij verzon een algoritme waarmee je dit kunt bepalen. Deze theorie noemen we nu Galois theorie. Eén van de uitvinders van de theorie van lichamen was de Fransman Évariste Galois ( ). Hij was een wiskundig genie die op school zijn andere vakken verwaarloosde en op de universiteit (École Polytechnique) werd geweigerd. Ondertussen raakte Galois steeds meer betrokken bij de Republikeinse politieke beweging. Of één van zijn politieke tegenstanders of een concurrent in de liefde hem uitdaagde voor een pistoolduel zal wel altijd onduidelijk blijven. Feit is dat Galois op 29 mei 1832 op twintigjarige leeftijd de nacht inging vrezend dat hij de volgende ochtend zou sterven. Hij werkte de hele nacht koortsachtig aan zijn wiskundige ideeën en schreef ze slordig en gehaast in een brief aan de wiskundige Chevalier. Deze brief van nog geen tien pagina s is een van de peilers van de moderne algebra. De volgende dag werd hij in het duel dodelijk getroffen. 43

46 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal Het lichaam Q( p 2) Het getal p 2 is irrationaal, maar wel het resultaat van een constructie. Het zit dus niet in het lichaam van de breuken Q maar wel in het lichaam van construeerbare coördinaten K. Om K op te bouwen uit Q voegen we daarom eerst eens het element p 2 hieraan toe. Dit is echter nog lang niet genoeg: getallen zoals 1+ p 5 3 2, p 3, +2p zijn allemaal construeerbaar en die moeten we dus ook toevoegen aan Q. Het lijkt misschien een hopeloze zaak om alle noodzakelijke toevoegingen te beschrijven, omdat de uitdrukkingen er nogal ingewikkeld uit kunnen gaan zien. Kijk echter nog eens naar opgave 30, waarin ingewikkelde breuken worden vereenvoudigd naar een standaardvorm p q. Zoiets zullen we ook nu weer proberen te doen. Definitie 3. Het lichaam Q( p 2) is de kleinste verzameling die Q en p 2 bevat en zelf weer een lichaam is. Dit heet de lichaamsuitbreiding van Q met p 2. We willen graag beter weten hoe de getallen in Q( p 2) eruit zien. Is het wel echt nodig om noemers te hebben waar p 2 in voorkomt? Je kunt deze wegwerken met de zogenaamde worteltruc p 5 2 p 3 = +2p p 2 2p 2 5 p 6 = + p 5 2 6p = p Opgave Werk p 2 weg in de noemer van p p 2 We kunnen p 2 in de noemers dus gerust weglaten en alleen getallen bekijken van de vorm a + b p 2 met a, b 2 Q. Het is niet moeilijk om te controleren dat deze verzameling gesloten is onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en (vanwege bovenstaande truc) ook onder delen; ze vormen samen een lichaam. De enige vraag die overblijft is of dit wel het kleinste lichaam is dat p 2 bevat. 45 Opgave Bewijs dat Q( p 2) = a + b p 2 a, b 2 Q door te laten zien dat ieder lichaam dat Q en p 2 bevat ook alle getallen van de vorm a + b p 2 moet bevatten. Hoe groot is Q( p 2) eigenlijk? Om dit te testen kijken we of p 3 (ook construeerbaar) een element is van Q( p 2). 46 Opgave Bewijs dat p 3 geen breuk is, dus p 3 62 Q. 47 Opgave Stel dat p 3 een element is van Q( p 2), dus p 3=a + b p 2. Kwadrateer deze vergelijking en laat zien dat p 2 dan een breuk zou moeten zijn. De conclusie moet dus wel zijn dat p 3 geen element is van Q( p 2). Maar dit is wél een construeerbaar getal, dus een element van K. We voegen het daarom toe aan Q( p 2) in de hoop dichter bij K te komen. Hoe ziet de lichaamsuitbreiding van Q met p 2 én p 3, het 44 p 2 11

47 kleinste lichaam dat zowel Q als p 2 als p 3 bevat, eruit? Aangemoedigd door ons succes doen we een eerste poging: zou dit de verzameling kunnen zijn? {a + b p 2+c p 3 a, b, c 2 Q} 48 Opgave Is de verzameling getallen van de vorm a + b p 2+c p 3 gesloten onder a) Optellen? b) Aftrekken? c) Vemenigvuldigen? 49 Opgave Laat zien dat de verzameling getallen van de vorm a + b p 2+c p 3+d p 2 p 3 gesloten is onder vermenigvuldiging. Om te laten zien dat deze verzameling ook gesloten is onder delen moeten we weer aantonen dat p 2, p 3 en p 2 p 3 uit de noemers kunnen worden verwijderd. 50 Opgave Bekijk het getal 1 1+ p 2+ p 3+ p 2 p 3 en verwijder eerst p 3 uit de noemer en vervolgens p 2. Haal hiervoor eerst p 3 buiten haakjes. 51 Opgave Bewijs dat Q( p 2, p 3) = Q( p 2+ p 3). We hebben nu het kleinste lichaam gevonden dat Q, p 2 en p 3 bevat: Q( p 2, p 3) = {a + b p 2+c p 3+d p 2 p 3} a, b, c, d 2 Q Definitie 4. Een algemene lichaamsuitbreiding M van een lichaam L is een lichaam dat L bevat. Het aantal elementen van L dat we minimaal nodig hebben om elementen van de lichaamsuitbreiding uit te drukken noemen we de graad van de lichaamsuitbreiding. We noteren dit met vierkante haken, bijvoorbeeld [Q( p 2) : Q] =2 omdat alle elementen van Q( p 2) uniek te schrijven zijn als a + b p 2. We hebben dus twee breuken a, b 2 Q nodig om een element van Q( p 2) vast te leggen. Evenzo vinden we dat [Q( p 2, p 3) : Q] =4 om dat we vier breuken a, b, c, d 2 Q nodig hebben om een element a+b p 2+c p 3+d p 2 p 3 2 Q( p 2, p 3) vast te leggen. De graad geeft aan hoeveel groter de uitbreiding is dan het originele lichaam: hoe groter de uitbreiding des te hoger de graad. 52 Opgave Begin met de verzameling {0, 1}. Laat zien dat Q het kleinste lichaam is dat deze verzameling bevat Opgave Leg uit dat [Q( p 4) : Q] =1en [Q( p 3, p 12) : Q] =2. Onderzoek of de volgende beweringen waar zijn: 1 Er zijn ook andere definities mogelijk van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen waarmee kleinere lichamen mogelijk zijn. 45

48 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal 54a Opgave p 3+2 p 2 2 Q( p 2) 54b Opgave q 3+ p p 3 2 Q( p 3) We kunnen wel eindeloos doorgaan met toevoegen van wortels maar dan komen we nooit bij een goede beschrijving van K. We verleggen nu een klein beetje onze aandacht. In plaats van een antwoord op de vraag Hoe ziet K eruit? willen we eigenlijk liever weten hoe het lichaam eruit kan zien dat bij een specifieke constructie hoort. Daarmee bedoelen we het kleinste lichaam dat de coördinaten bevat van alle punten die tijdens deze constructie ontstaan Lichaamsuitbreiding horend bij een constructie We bekijken nu een willekeurige constructie. Niet iedere constructiestap zorgt voor een lichaamsuitbreiding: bij het snijden van twee lijnen bijvoorbeeld ontstaat een nieuw punt waarvan de coördinaten nog steeds in hetzelfde lichaam zitten (waarom?). In de formules voor de snijpunten van lijnen en cirkels komen hooguit tweedemachts wortels voor van één getal. Dit zorgt ervoor dat de lichaamsuitbreidingen die eventueel bij een constructiestap horen van graad 2 zijn. We bekijken nu een willekeurige constructie aan de hand van de bijbehorende lichamen. Vóór de eerste stap van de constructie hebben we alleen de startverzameling (0, 0), (1, 0). Het kleinste lichaam dat deze getallen bevat is K 0 = Q. De eerste keer dat de coördinaat van een nieuw geconstrueerd punt niet meer in K 0 zit moeten we dit lichaam uitbreiden. Vanwege de vorige opgave zal dit een kwadratische uitbreiding K 1 = K 0 ( p c) zijn voor één of andere c 2 K 0. Niet alle elementen van K 1 maken deel uit van de constructie, maar ze zijn wel allemaal construeerbaar (waarom?). Na een aantal constructiestappen kan het gebeuren dat een coördinaat van een geconstrueerd punt niet meer in K 1 zit; dan breiden we dit lichaam uit tot K 2, enzovoorts. Na de laatste stap van de constructie zijn we aangeland bij K n voor één of andere n 2 N. Dit is het kleinste lichaam dat de coördinaten bevat van alle punten die tijdens de constructie ontstaan. Bij iedere constructie hoort dus een toren van lichamen (4) Q = K 0 K 1 K 2... K n K We weten dat K n K omdat ieder van de K i alleen maar construeerbare getallen bevat. Iedere uitbreiding heeft graad 2, dus [K 1 : K 0 ]=[K 2 : K 1 ]=...=[K n : K n 1 ]=2 Omgekeerd geldt ook: als een getal in een toren van kwadratische uitbreidingen van Q zit, dan is dit getal construeerbaar. 55a Opgave Welke toren hoort bij de constructie van een gelijkzijdige driehoek vanuit de startverzameling {(0, 0), (1, 0)} zoals in opgave 2? 55b Opgave Welke toren hoort bij de constructie van een regelmatige driehoek vanuit de startverzameling {(0, 0), (1, 0)} zoals in figuur 1 uit hoofdstuk 1? 56 Opgave Zijn de oplossingen van de vergelijking 3x 4 317x = 0 46

49 construeerbaar? Probeer zo min mogelijk te berekenen en zoveel mogelijk te beargumenteren. 57 Opgave Geef een mogelijke toren van lichamen horend bij een constructie van een regelmatige zeventienhoek. Kijk hiervoor nog eens terug naar de Geogebra opdracht uit het vorige hoofdstuk Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar Een ode aan Pierre Laurent Wantzel In het eerste hoofdstuk hebben we het gehad over meetkundige constructies met passer en liniaal en hebben we de nadruk gelegd op vier onopgeloste problemen uit de Griekse Oudheid: verdubbeling van de kubus, driedeling van een hoek, kwadratuur van de cirkel en constructies van regelmatige veelhoeken. In het tweede hoofdstuk hebben we gezien hoe het invoeren van coördinaten ons in staat stelt om met coördinaten van construeerbare getallen te rekenen. De verzameling construeerbare coördinaten bleek een lichaam te zijn. In dit derde hoofdstuk hebben we uitgelegd waarom constructies met passer en liniaal leiden tot een toren van tweedegraads lichaamsuitbreidingen. Het is tijd om te oogsten wat we hebben gezaaid: we gebruiken lichaamsuitbreidingen om te bewijzen dat verdubbeling van de kubus met passer en liniaal onmogelijk is. De eerste wiskundige in de geschiedenis die dit kon bewijzen was de Fransman Pierre Laurent Wantzel (1837), ruim 2000 jaar nadat de Grieken dit probleem voor het eerst hadden onderzocht! Een wiskundige is een apparaat dat koffie omzet in stellingen Paul Erdös In één wiskundige tijdschriftartikel bewees Wantzel dat driedeling van een hoek en verdubbeling van een kubus onmogelijk zijn en bovendien bewees hij welke veelhoeken niet construeerbaar zijn met passer en liniaal. Ondanks deze fantastische prestaties, waarmee hij drie van de vier Griekse problemen voor eens en voor altijd opgelost heeft, kreeg zijn werk gedurende bijna honderd jaar vrijwel geen aandacht. De voornaamste reden hiervoor is volgens de Deense historicus Lützen dat onmogelijkheidsbewijzen was op dat moment uit de mode waren. Toen dat een halve eeuw later was veranderd waren de wiskundigen het werk van Wantzel alweer vergeten. Pas in 1917 probeert Cajori de aandacht van de wiskundigen op Wantzel te vestigen in een voordracht voor de American Mathematical Society en in 1934 verscheen de Encyclopädie der Elementarmathematik waarin Wantzel werd genoemd en in ere hersteld bijna honderd jaar na zijn ontdekkingen. Volgens zijn vriend Saint-Venant had Wantzel slechte slaap- en eetgewoonten en heeft hij zich op 33-jarige leeftijd onder invloed van opium doodgewerkt Onmogelijkheden Via de Cartesische coördinaten en de theorie van lichamen zijn we nu in staat om de meetkundige vragen die worden opgeroepen door de Griekse constructieproblemen te vertalen naar duidelijke vragen in de algebra: Meetkunde Is punt (x, y) construeerbaar? Algebra Zitten de coördinaten x, y in een toren K 0... K n van kwadratische uitbreidingen van Q? Eindelijk zijn we dan zover dat we kunnen bewijzen dat de verdubbeling van de kubus en de driedeling van een willekeurige hoek onmogelijk is met alleen passer en liniaal. 47

50 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar We zullen bewijzen dat 3p 2 niet construeerbaar is via een bewijs uit het ongerijmde. Stel namelijk dat 3p 2 wél construeerbaar is, dan bestaat er een constructie met een bijbehorende toren van lichaamsuitbreidingen zodat 3p 2 2 K n. Eerst laten we zien dat 3p 2 62 Q = K Opgave Bewijs dat 3p 2 irrationaal is. We mogen aannemen dat de zogenaamde constructie van 3p 2 zo efficiënt mogelijk is, dat wil zeggen er bestaat geen constructie met een kleinere toren van lichaamsuitbreidingen. Omdat [K n : K n 1 ]=2is er in deze laatste uitbreiding een tweedemachts wortel van één element uit K n 1 toegevoegd. We kunnen dus schrijven 3p p 2=a + b c met a, b, c 2 K n 1. 59a Opgave Uit de aannames volgt dat b 6= 0,c>0 en p c 62 K n 1. Leg dit uit. 59b Opgave Verhef de linker- en rechterkant tot de derde macht en laat zien dat (a 3 +3ab 2 c 2) + b(3a 2 + b 2 c) p c =0 59c Opgave Laat met behulp van onderdeel a) zien dat p c 2 K n 1. 59d Opgave Leg uit dat dat in tegenspraak is met de aanname dat de constructie zo efficiënt mogelijk is. Conclusie: verdubbeling van de kubus met passer en liniaal is onmogelijk! 60 Opgave Is verdubbeling van (het volume van) de bol wel mogelijk met passer en liniaal? Epiloog: de andere Griekse constructieproblemen We geven een korte opsomming van de (on)mogelijkheid van de andere drie beroemde constructieproblemen. Driedeling van een hoek Niet alle hoeken kunnen in drieën worden gedeeld met passer en liniaal. Een voorbeeld is een hoek van 60, waarvoor kan worden bewezen dat deze niet in drieën kan worden gedeeld. Voor hoeken met een geheel aantal graden geldt de volgende karakterisatie: Een hoek van n graden kan worden geconstrueerd precies wanneer n deelbaar is door 3. Daarmee is ook meteen duidelijk welke hoeken van n in drieën kunnen worden gedeeld. Als een hoek niet bestaat uit een geheel aantal graden, is het een stuk lastiger om te bepalen of de hoek in drieën kan worden gedeeld of niet.. hiervoor is Galois theorie nodig. Regelmatige veelhoeken Gauss en Wantzel geven een volledige opsomming van de regelmatige veelhoeken die wel en niet construeerbaar zijn. Om te beginnen introduceren we een bijzonder soort getallen: de Fermat getallen hebben de vorm F m =2 2m m 2 N

51 Vanwege de machten in deze formule worden deze getallen snel groot. Het rijtje begint met 3, 5, 17, 257, 65537, , ,... Pierre de Fermat, beroemd vanwege de Laatste stelling van Fermat, dacht dat deze getallen allemaal priemgetallen waren. De eerste vijf zijn dat inderdaad ook, maar het gaat mis bij de zesde omdat = Het is onbekend(!) welke Fermat getallen precies priem zijn, de grootste is tot dusver Het resultaat van Gauss is nu als volgt: een regelmatige n-hoek is construeerbaar precies wanneer n de volgende vorm heeft n =2 m p 1 p 2... p k m, k 2 N waarbij de p i verschillende Fermat priemgetallen zijn. Vanwege het bestaan van bisectrices impliceert de construeerbaarheid van een n-hoek meteen de construeerbaarheid van de 2nhoek, 4n-hoek enzovoorts. Dit verklaart de factor 2 m in de formule. Het lijstje construeerbare n-hoeken begint met 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 18,... Een regelmatige 15-hoek is bijvoorbeeld construeerbaar omdat een driehoek en een vijfhoek dat zijn, zie ook opgave 14. De zevenhoek is het eerste gat in de reeks omdat het wel priem is maar geen Fermat getal, terwijl een negenhoek niet construeerbaar is omdat 3 3 een product is van twee dezelfde Fermat priemgetallen. De zeventienhoek is de eerste in de rij die niet bekend was bij de Grieken, zie ook Geogebra opdracht 10. Kwadratuur van de cirkel Elke construeerbare coördinaat voldoet aan één of andere vergelijking met een veelterm. Het construeerbare getal r q x = p 3 voldoet bijvoorbeeld aan de vergelijkingen x 2 =2+ q 7 3 p 3 x =7 3 p 3 x = 27 We hebben eerder al gezien in paragraaf dat kwadratuur van de cirkel neerkomt op het construeren van een lijnstuk met lengte p. Als dit getal zou voldoen aan een veeltermvergelijking, dan zouden we op zoek moeten gaan naar zijn uitbreidingsgraad om te kijken of het construeerbaar zou kunnen zijn of niet. Er bestaan echter ook getallen die niet voldoen aan een veeltermvergelijking. Zulke getallen noemen we transcendent. Een beroemde stelling van von Lindemann uit 1882 vertelt ons dat zowel p als transcendent zijn en dus onmogelijk construeerbaar. Helaas is deze stelling te moeilijk om in deze module te behandelen. Echt onmogelijk? Voor veel amateurwiskundigen is hoofdstuk 1 goed te begrijpen en ze worden soms gegrepen door de constructiekoorts. Met name op de beroemde problemen die 2000 jaar onopgelost bleven hebben in de loop der eeuwen heel veel mensen hun tanden stuk gebeten. Hieraan had een einde moeten komen toen Pierre-Laurent Wantzel in 1837 voor het eerst bewees dat verdubbeling van een kubus en driedeling van een hoek onmogelijk zijn, gevolgd in 1882 door het bewijs van von Lindemann dat kwadratuur van de cirkel onmogelijk is. Helaas zijn de andere twee hoofdstukken voor veel mensen moeilijk te bevatten en dus blijven de ingezonden 49

52 Hoofdstuk 3 Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal brieven met constructies binnenstromen in de wiskunde departementen van de grote universiteiten. De wiskundige Underwood Dudley heeft dit soort ingezonden brieven verzameld en gebundeld in een boekje getiteld The Trisectors. Aristoteles, Euclides of Archimedes daarentegen hebben nooit foute constructies gegeven met de claim dat ze één van de drie problemen konden oplossen. Als ze nu nog leefden zouden ze waarschijnlijk vrede hebben met het bewijs dat de constructies echt onmogelijk zijn. Sometimes I ve believed as many as six impossible things before breakfast Lewis Caroll 50

53 Samenvatting H3 In het vorige hoofdstuk zagen we dat het lichaam van coördinaten van construeerbare punten K gesloten is onder worteltrekken. In dit hoofdstuk hebben we laten zien K het kleinste lichaam is met deze eigenschap: via snijpunten van lijnen en cirkels krijgen we alleen uitdrukkingen met + en p type snijpunten vergelijkingen coördinaten van snijpunten lijn-lijn a 1 x + b 1 y = c 1 breuken in a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2 a 2 x + b 2 y = c 2 lijn-cirkel ax + by = c breuken en wortels in a, b, c, d, e, f x 2 + y 2 + dx + ey + f =0 cirkel-cirkel x 2 + y 2 + dx + ey + f =0 breuken en wortels in d, e, f, g, h, i x 2 + y 2 + gx + hy + i =0 Een lichaamsuitbreiding M van een lichaam L is een lichaam dat L bevat. De graad van de uitbreiding is het aantal elementen van dat nodig is om een element van M uniek vast te leggen. Een lichaamsuitbreiding van graad 2 heet een kwadratische lichaamsuitbreiding. Een toren van lichaamsuitbreidingen is een aantal lichaamsuitbreidingen na elkaar. Aan iedere constructie koppelen we een unieke toren van kwadratische lichaamsuitbreidingen van Q: aan de startverzameling {(0, 0), (1, 0)} koppelen we K 0 = Q zelf. Als er in een constructiestap een nieuwe wortel p a wordt geconstrueerd die nog niet in het lichaam zit dan breiden we het lichaam uit met deze wortel. Op die manier ontstaat een toren van kwadratische lichaamsuitbreidingen K 0 K 1... K n Een getal is construeerbaar precies wanneer het in zo n toren zit, elk element van K zit dus in zo n toren. Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). p 62 K dus de kwadratuur van de cirkel is onmogelijk met passer en liniaal. Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken). Een regelmatige n-hoek is construeerbaar precies wanneer n van de volgende vorm is: n =2 m p 1 p 2... p k met de p i verschillende Fermat priemgetallen. m, k 2 N Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Er bestaan hoeken waarvoor driedeling met passer en liniaal onmogelijk is. Hoeken met een geheel aantal graden n zijn alleen driedeelbaar als n een veelvoud is van 3. Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). 3p 2 62 K dus de verdubbeling van de kubus is onmogelijk met passer en liniaal. 51

54

55 BIJLAGE A Veronderstelde voorkennis van vlakke meetkunde Hoeken en lijnen De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstaande hoeken). Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan zijn de F -hoeken en Z- hoeken gelijk (F -hoeken, Z-hoeken). Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn waarbij er een paar gelijke F -hoeken of Z-hoeken optreedt, dan zijn die twee lijnen evenwijdig (F -hoeken, Z-hoeken). Een rechte hoek is 90, een gestrekte hoek is 180. De som van de hoeken van een driehoek is 180 (hoekensom driehoek). Congruente driehoeken Twee meetkundige figuren zijn congruent (gelijk) als ze in elkaar overgaan na een translatie, rotatie en/of spiegeling. Notatie: A = B. Twee driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben: (HZH) Een zijde en twee aanliggende hoeken. (ZHH) Een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek. (ZHZ) Twee zijden en de ingesloten hoek. (ZZZ) Alle zijden. (ZZR) Twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden. De eerste twee gevallen zijn hetzelfde: twee gelijke hoeken impliceert direct drie gelijke hoeken. Gelijkvormige driehoeken Twee meetkundige figuren zijn gelijkvormig als ze in elkaar overgaan na een translatie, rotatie, spiegeling en/of schaling. Notatie: A B. Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben: (hh) Twee (en dus drie) paren gelijke hoeken. (zhz) Een paar hoeken en de verhouding van de omliggende zijden. (zzz) De verhouding van de zijden. (zzr) Een paar rechte hoeken en de verhouding van de twee niet-omliggende zijden. Cirkels Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal. Stelling van Thales: als A, B, C op een cirkel liggen en AB is een middellijn van de cirkel dan is ABC een rechthoekige driehoek. En andersom: als ABC een rechthoekige driehoek is, dan is het middelpunt van de omgeschreven cirkel het midden van de schuine zijde. Stelling van Thales: als A, B, C op een cirkel liggen en AB is een middellijn van de cirkel, dan zijn AMC en BMC gelijkbenig dus 2 +2 = 180 (hoekensom driehoek). Dus + =

56

Niet-euclidische meetkunde

Niet-euclidische meetkunde Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 15 februari 2013 Een Wiskunde D-module voor HAVO/VWO 5 leerlingen die: Meer willen weten over Niet-euclidische meetkunde

Nadere informatie

Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie

Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie Logica in actie Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck Logica in actie Dit boek bevat de teksten van de cursus Logica in actie. De volledige cursus is beschikbaar op www.spinoza.ou.nl. Meer

Nadere informatie

De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder

De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder De Geometria non- Euclides liber Pascal Wissink & Jelmer Mulder I Wat is niet-euclidische Meetkunde? Om uit te leggen wat niet-euclidische meetkunde, een specifieke tak in de wiskunde, precies inhoudt

Nadere informatie

3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen aan lijnen 3 Rekenen aan lijnen Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten lok Lijnen, richtingen en waaiers van ad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (015) wiskunde vwo. pgaven met dit merkteken

Nadere informatie

Je zult eerst moeten ontdekken hoe leerlingen denken

Je zult eerst moeten ontdekken hoe leerlingen denken 1 54 NAW 5/13 nr. 1 maart 2012 Je zult eerst moeten ontdekken hoe leerlingen denken Nellie Verhoef Nellie Verhoef Faculteit Gedragswetenschappen, instituut ELAN Universiteit Twente Postbus 217 7500 AE

Nadere informatie

c) Maak een startschema De titel schrijf je in het midden, daaromheen de kopjes of de belangrijkste woorden en begrippen.

c) Maak een startschema De titel schrijf je in het midden, daaromheen de kopjes of de belangrijkste woorden en begrippen. 1) Hoe lees ik een tekst? Een tekst lezen is iets anders dan een tekst leren. Deze vaardigheid behandelt het zogenaamde oriënterend lezen. Dit noemt men ook wel verkennend of extensief lezen. Je leest

Nadere informatie

Inleiding tot de incidentiemeetkunde

Inleiding tot de incidentiemeetkunde HOOFDSTUK 3 Inleiding tot de incidentiemeetkunde Incidentiemeetkunde is een theoretisch kader waarin bijna elke vorm van meetkunde past. Wij zullen onder andere zien hoe affiene en projectieve meetkunde

Nadere informatie

Handleiding Dit moet je weten! - 1 Lereniseenmakkie Werkboek

Handleiding Dit moet je weten! - 1 Lereniseenmakkie Werkboek Handleiding Dit moet je weten! - 1 Inhoud Rekenen en Leren Leren... 2 Rekenportfolio... 3 Leren Leren pijlers... 3 Zelfbeeld... 3 Motivatie... 5 Memoriseren in plaats van leren... 6 Strategieën... 7 Globale

Nadere informatie

Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg? De invloed van vertrouwen en samenwerking op de organisaties binnen het Centrum voor Jeugd en Gezin.

Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg? De invloed van vertrouwen en samenwerking op de organisaties binnen het Centrum voor Jeugd en Gezin. Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg? De invloed van vertrouwen en samenwerking op de organisaties binnen het Centrum voor Jeugd en Gezin. Auteur: Eva Geesing 2 Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg?

Nadere informatie

Meten aan melkwegstelsels

Meten aan melkwegstelsels Meten aan melkwegstelsels " Plots realiseerde ik me dat die kleine, mooie blauwe 'erwt' de Aarde was. Ik stak mijn duim op, sloot één oog, en mijn duim bedekte de Aarde volledig. Ik voelde me niet als

Nadere informatie

De 10 tips voor. Succesvol Communiceren

De 10 tips voor. Succesvol Communiceren De 10 tips voor Succesvol Communiceren Wat je geeft, ontvang je terug ICM Uitgave De 10 tips voor Succesvol Communiceren Extra tip: Print dit 10 tips e-book voor optimaal resultaat 1 De 10 tips voor Succesvol

Nadere informatie

Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar!

Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar! Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar! Kees Hoogland Dolf Janson Madeleine Vliegenthart Rachel van Vugt Ellen Zonneveld Annemieke Zwart Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar! Kees Hoogland Dolf Janson

Nadere informatie

EN NU DE DOCENT NOG...!

EN NU DE DOCENT NOG...! EN NU DE DOCENT NOG...! kernredacteur van dit nummer: Prof. Dr. J.G.L.C. Lodewijks MesoConsult B.V. Tilburg april 1996 1996 MesoConsult B.V. Tilburg Uit deze uitgave mag niets worden verveelvoudigd en/of

Nadere informatie

Tellen. Denkactiviteiten bij het subdomein 'Tellen'

Tellen. Denkactiviteiten bij het subdomein 'Tellen' Tellen Denkactiviteiten bij het subdomein 'Tellen' Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 2 1. Telproblemen in het nieuwe wiskundeprogramma... 4 2. Wiskundige denkactiviteiten... 5 3. Lessenserie (beschrijving)...

Nadere informatie

Studenten over succesfactoren en verbeterpunten in hun rekenonderwijs

Studenten over succesfactoren en verbeterpunten in hun rekenonderwijs Studenten over succesfactoren en verbeterpunten in hun rekenonderwijs Amsterdam, 28 april 2015 Voorwoord Ook wel eens gehad dat je docent een cruciale rekenfout maakte, waardoor de klas dacht dat ze het

Nadere informatie

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Inhoudsopgave Vectoren en meetkunde 1 Vectoren 1 2 Vectoren in een assenstelsel 7 3 Vlakken en lijnen in de ruimte 13 4 Rekenen in de ruimte 17 5 De cosinusregel 27

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Er was eens een verhaal te vertellen

Er was eens een verhaal te vertellen Er was eens een verhaal te vertellen Ergens op de aarde wordt onderstaand verhaal verteld, aan kinderen! De kinderen hebben de leeftijd van ongeveer zes jaar en hun leraar vertelt hen het verhaal omdat

Nadere informatie

ARTIKEL. Dr. Kees Buijs, SLO Leerplanontwikkelaar rekenen-wiskunde

ARTIKEL. Dr. Kees Buijs, SLO Leerplanontwikkelaar rekenen-wiskunde DIDACTISCHE AANDACHTSPUNTEN bij verbetertrajecten ARTIKEL Rekenbeleid Dr. Kees Buijs, SLO Leerplanontwikkelaar rekenen-wiskunde Inleiding Streven naar hogere leeropbrengsten Schoolteams zijn niet altijd

Nadere informatie

Een schrijfwijzer om succesvolle interventies schriftelijk overdraagbaar te maken

Een schrijfwijzer om succesvolle interventies schriftelijk overdraagbaar te maken Een schrijfwijzer om succesvolle interventies schriftelijk overdraagbaar te maken Dit is een uitgave van het Samenwerkingsverband effectieve interventies. Auteurs: Marijke Booijink, Christine Kuiper, Gery

Nadere informatie

Wat is syntaxis? 1.1 Wat begrippen en misverstanden. 1.1.1 Waar gaat het om bij de syntaxis?

Wat is syntaxis? 1.1 Wat begrippen en misverstanden. 1.1.1 Waar gaat het om bij de syntaxis? 1 Wat is syntaxis? 1.1 Wat begrippen en misverstanden 1.1.1 Waar gaat het om bij de syntaxis? Dit boek behandelt een eigenschap van de menselijke taal die bekend staat onder de naam syntaxis. Syntaxis

Nadere informatie

Rekenen, maar dan anders! Naar een visiegeleide aanpak van rekenen op de basisschool

Rekenen, maar dan anders! Naar een visiegeleide aanpak van rekenen op de basisschool Rekenen, maar dan anders! Naar een visiegeleide aanpak van rekenen op de basisschool Kris Verbeeck Colofon Auteur Kris Verbeeck KPC Groep Yvonne Meulman, Astrid van den Hurk, Harry Gankema, Cees de Wit,

Nadere informatie

Koppen bij elkaar! Handleiding voor intercollegiaal overleg in de verzorging

Koppen bij elkaar! Handleiding voor intercollegiaal overleg in de verzorging Koppen bij elkaar! Handleiding voor intercollegiaal overleg in de verzorging Sting, maart 2008 Koppen bij elkaar! Handleiding voor intercollegiaal overleg in de verzorging. Tekst: Ineke Bakx, Rineke Sturm,

Nadere informatie

Hoe kun je als leerkracht pesten in je klas voorkomen en bestrijden?

Hoe kun je als leerkracht pesten in je klas voorkomen en bestrijden? Waarom ik werd gepest? Ik was anders dan de rest. Had niks met roze en speelde nooit met poppen. Op de middelbare school werd het pesten zo erg dat ik in de pauzes niet meer de kantine in durfde. Als de

Nadere informatie

Vragen over vroeger. Jelle Hagen. Handleiding voor het maken van historische interviews. Handleidingenreeks I

Vragen over vroeger. Jelle Hagen. Handleiding voor het maken van historische interviews. Handleidingenreeks I Handleidingenreeks I Vragen over vroeger Jelle Hagen Handleiding voor het maken van historische interviews Nederlands Centrum voor Volkscultuur, F.C. Dondersstraat 1, 3572 JA Utrecht Vragen over vroeger

Nadere informatie

Bepaal eerst de probleemstelling of hoofdvraag

Bepaal eerst de probleemstelling of hoofdvraag Bepaal eerst de probleemstelling of hoofdvraag De probleemstelling is eigenlijk het centrum waar het werkstuk om draait. Het is een precieze formulering van het onderwerp dat je onderzoekt. Omdat de probleemstelling

Nadere informatie

Inhoud hoofdstuk 9. Domeinmodellen. Introductie 89. Leerkern 90. Zelftoets 120. Terugkoppeling 121

Inhoud hoofdstuk 9. Domeinmodellen. Introductie 89. Leerkern 90. Zelftoets 120. Terugkoppeling 121 Inhoud hoofdstuk 9 Domeinmodellen Introductie 89 Leerkern 90 1 Wat is een domeinmodel? 90 2 De bouwstenen van een domeinmodel 91 2.1 Klassen en attributen 91 2.2 Afleidbare attributen 92 2.3 Attributen

Nadere informatie

[WE ZIJN GEEN LANGSTUDEERDERS OMDAT WE LUI ZIJN]

[WE ZIJN GEEN LANGSTUDEERDERS OMDAT WE LUI ZIJN] 2013 Universiteit Utrecht Faculteit Geesteswetenschappen Riva Godfried Irfaanah Pahladsingh Een onderzoek in het kader van het G5-project: In de wieg gelegd voor de wetenschap? Begeleider: Jan D. ten Thije

Nadere informatie

Vrijzinnig spreken over God

Vrijzinnig spreken over God G IS GOD KEN TRADITIE VAN IS GOD VRIJZINNIg WAAR DE EN TRADITIE VAN VRIJHEID GOD IS EEN GOD VRIJZINNIg WAAR DE GEEST IS, IS VRIJHEID ADITIE VAN VRIJHEID GOD IS EEN VERHAAL VEELKLEURIG L AN VRIJHEID GOD

Nadere informatie

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A 2 jan dezider kees koomen-majernik Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking:

Nadere informatie