Tellen. Denkactiviteiten bij het subdomein 'Tellen'

Transcriptie

1 Tellen Denkactiviteiten bij het subdomein 'Tellen'

2

3 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie Telproblemen in het nieuwe wiskundeprogramma Wiskundige denkactiviteiten Lessenserie (beschrijving)... 7 Bijlagen (werkbladen en uitwerkingen bij de lessenserie)

4 Achtergrondinformatie Auteurs: Lidy Wesker- Elzinga; José Spaan; Mariska Sas; Marijke Vallentgoed; Marina Jansen; Doelgroep: Deze lessenserie is geschikt voor de vierde klas van de havo en het vwo. Voorkennis: Onderbouwkennis van tellen. Visualisaties van telproblemen worden herhaald in deze lessenserie. Waaruit bestaat het materiaal? Dit document bevat een docentenhandleiding met bijbehorende lessenserie van 14 lessen voor het gehele domein Tellen. De lessen bestaan vooral uit (bewerkte) opgaven uit de Kangoeroewedstrijden en de wiskundeolympiaden die wiskundige denkactiviteiten stimuleren. De leerlingen krijgen een handvat om dit soort opgaven aan te pakken. Daarbij wordt de probleemaanpak van Polya gevolgd, welke hij beschrijft in zijn boek How to solve it. Daarnaast zijn er lessen waarin de leerlingen spellen analyseren (Mastermind, SET en Regenwormen). De lessenserie wordt afgesloten met een praktische opdracht waarin de leerling zelf een spel moet ontwerpen. In deze handleiding wordt in hoofdstuk 1 kort verteld welke plaats het onderwerp Tellen in het nieuwe wiskundeprogramma inneemt en welke leerdoelen er zijn. In hoofdstuk 2 wordt uitgelegd wat wiskundige denkactiviteiten inhouden en hoe leerlingen geholpen kunnen worden bij het oplossen van dit soort problemen met behulp van de methode van Polya. In hoofdstuk 3 wordt de lessenserie van 16 lessen beschreven inclusief leerdoelen en activiteiten voor leerling en docent. Het materiaal hiervoor is in de bijlage toegevoegd: uitdeelbladen met opgaven en opdrachten voor de leerlingen, de bijbehorende antwoorden en een beoordelingsmodel voor de eindopdracht. Wat was de aanleiding om dit te ontwerpen? In 2015 gaat het vernieuwde wiskundeprogramma van start. Wiskundige denkactiviteiten nemen daar een belangrijke plaats in. In dit document proberen wij het domein Tellen te vatten in een dekkende lessenserie bestaande uit opbouwende opgaven die een beroep doen op wiskundige denkactiviteiten. Oorspronkelijk wilden we ook het domein Kansen erbij nemen. Dit domein is echter uit het havo- programma geschrapt en bij vwo slechts een schoolexamenonderwerp. Bovendien is er pilotmateriaal dat er al goed uitzag (zie discrete verdelingen op de website ). Wat zijn de ervaringen met dit materiaal? Les 1 en een deel van les 2 en de wiskunde- estafette zijn uitgeprobeerd in twee vwo5- klassen. Deze leerlingen hebben meer ervaring met tellen dan vierdeklassers, maar dit bleek niet veel uit te maken: de verschillende manieren om telproblemen te visualiseren waren toch weggezakt. Daardoor waren de opgaven echte wiskundige denkactiviteiten en kon de methode van Polya goed gebruikt worden hiervoor. Bij opgave 1 bleek de oplossing snel te vinden, maar een goede redenering waarom dit zo was, was toch lastig te geven. Opgave 2 kostte iets meer moeite, maar vooral op opgave 3 kon Polya goed losgelaten worden. Met deze drie opgaven is de eerste les goed te vullen. 2

5 Van de opgaven van les 2 zijn de meeste leerlingen niet verder gekomen dan opgaven 4 of 5, doordat er al behoorlijk wat tijd verloren was gegaan bij het opstarten van de les (discussie die niet met deze lessenserie te maken had). Maar ik verwacht dat deze drie opgaven goed te doen zijn in een les normaal gesproken. De wiskunde- estafette was een groot succes. De leerlingen werden er enthousiast en fanatiek van. Een half uur opgaven maken was ruim genoeg gezien de concentratieboog van de leerlingen. De tips werden vaak triviaal gevonden ( Dat hadden we zelf ook wel bedacht ), maar ondanks dat brachten de tips ze vaak toch op het goede spoor. De praktische opdracht Regenwormen is al vaker gebruikt in de les door Lidy, maar de ervaringen daarmee hebben we nog niet uitgewisseld. Wat zijn de aanbevelingen voor verdere ontwerpen? Het zou mooi zijn als meer lessen uitgeprobeerd worden om te kijken of het haalbaar is. 3

6 1. Telproblemen in het nieuwe wiskundeprogramma In het vernieuwde wiskundeprogramma heeft het onderwerp Tellen een beperkte rol. In dit hoofdstuk wordt op een rijtje gezet, welke plaats dit onderwerp in het wiskundeprogramma inneemt en welke vaardigheden en wiskundige begrippen geleerd moeten worden. In het oude wiskundeprogramma besloeg de kansrekening een groot deel van de te leren stof voor het centraal examen en was het onderwerp Tellen een belangrijke basis hiervoor. In het vernieuwde wiskundeprogramma is kansrekening op de havo verdwenen en op het vwo nog slechts een schoolexamenonderwerp en een stuk beperkter dan in het oude programma. In de plaats daarvan is het onderwerp Statistiek op grote datasets gekomen. Zowel bij havo wiskunde A als bij vwo wiskunde A en C valt het onderdeel tellen in het subdomein B2: Telproblemen van het domein B: Algebra en tellen. Dit subdomein wordt als volgt omschreven in de syllabus van zowel havo als vwo wiskunde A: De kandidaat kan telproblemen structureren en schematiseren en dat gebruiken bij berekeningen en redeneringen. Het grote verschil is echter dat het voor havo een schoolexamenonderwerp is, terwijl het voor vwo centraal examenstof is. In de (laatste versie van de) syllabus voor vwo wiskunde A worden de volgende vaardigheden genoemd. Parate vaardigheden: 1. De kandidaat kan permutaties en combinaties berekenen. Productieve vaardigheden 1. De kandidaat kan telproblemen structureren en schematiseren met behulp van boomdiagram, wegendiagram of rooster; 2. gebruik maken van permutaties en combinaties; 1. een probleem als een telprobleem identificeren; 2. bij een telprobleem een strategie bedenken en daarmee het probleem oplossen. Wiskundige begrippen die de leerling moet kennen, zijn daarbij: boomdiagram, wegendiagram, rooster, permutaties, combinaties en driehoek van Pascal. In de lessenserie die in hoofdstuk 3 wordt besproken, hebben we deze vaardigheden en wiskundige begrippen verwerkt. Een groot deel hiervan wordt waarschijnlijk al in de onderbouw behandeld. Daarom zijn de beginlessen van de lessenserie vooral bedoeld als het ophalen van voorkennis en het stimuleren van wiskundige denkactiviteiten en het leren hoe dergelijke problemen aangepakt kunnen worden. 4

7 2. Wiskundige denkactiviteiten Wat zijn wiskundige denkactiviteiten? Paul Drijvers probeert deze vraag te beantwoorden in het artikel Wat bedoelen ze toch met denkactiviteiten' uit de Nieuwe Wiskrant 31-2 van december 2011 ( Zijn conclusie is dat opgaven een beroep doen op wiskundige denkactiviteiten als bij deze opgaven niet in één oogopslag duidelijk is welke berekening gedaan moet worden. Het zijn dus geen routineopgaven waarbij de leerlingen op de automatisch piloot kunnen werken, maar opgaven waarbij ze meer moeten doen dan simpelweg een algoritme toepassen. In het boek How to solve it beschrijft Polya precies hoe een wiskundige normaal gesproken denkt, wanneer hij een probleem oplost. Hij onderscheidt binnen dit denkproces vier stappen. Bij elke stap kun je jezelf een aantal vragen stellen om dichter bij de oplossing van het probleem te komen. Wiskundigen stellen deze vragen automatisch bij het oplossen van problemen. Leerlingen moeten hier nog bij geholpen worden. Docenten kunnen deze vragen stellen aan de leerling om ze te helpen zelf tot een oplossing te komen. Wanneer de docent ook expliciet uitlegt, dat je elke keer deze zelfde vragen kunt stellen om de oplossing van een lastig probleem te vinden, geeft dit leerlingen houvast bij het maken van wiskundige denkactiviteiten. In tabel Tabel 1 Stappenplan voor probleemoplossen op de volgende bladzijde staat een versie van het schema met denkstappen en vragen uit het boek van Polya. De eerste stap is het probleem te begrijpen. Hierbij hoort natuurlijk: eerst de tekst goed lezen, de belangrijkste gegevens noteren en dit in een plaatje of schets verwerken. Of enkele voorbeelden uitproberen om een idee te krijgen wat er aan de hand is, wat de gegevens en voorwaarden precies inhouden. Vaak nemen leerlingen deze stap veel te snel waardoor ze bij stap 2 vastlopen. Vervolgens moet er een plan gemaakt worden om het gevraagde te kunnen vinden. Daarvoor moet de leerling het probleem bijvoorbeeld herkennen als iets, dat hij eerder gezien heeft, het herfomuleren in een bekend probleem of het omzetten in een probleem dat hij wel kan oplossen door het kleiner te maken of in delen op te hakken. Als er eenmaal een plan is, kan het stap voor stap zorgvuldig uitgewerkt worden. Op zo n manier opgeschreven dat je het later nog kunt nagaan of het klopt. De laatste stap bestaat uit het controleren van het antwoord: kan het antwoord wel kloppen logisch gezien, kan het in een formule ingevuld worden om het te controleren? Maar ook hoort hierbij: is de vraag helemaal beantwoord? 5

8 Tabel 1 Stappenplan voor probleemoplossen 1. Het probleem begrijpen Je moet eerst het probleem begrijpen. 2. Een plan maken Vind het verband tussen de gegevens en de onbekende. Soms kun je die niet direct vinden en moet je eerst een hulpprobleem oplossen. Uiteindelijk moet je een plan kunnen opstellen voor de oplossing. 3. Het plan uitvoeren Voer het plan uit. 4. Terugkijken Onderzoek de verkregen oplossing Wat wordt er gevraagd? Wat is de onbekende? Geef deze eventueel een naam. Wat wil je vinden? Wat moet je zoeken? Welke gegevens zijn er? Welke voorwaarden zijn er? Volgt de onbekende uit de voorwaarden? Heb je een plaatje/schets gemaakt? Heb je dit probleem eerder gezien? Misschien in een iets andere vorm? Hoe loste je dat probleem op? Kun je dat toepassen op dit probleem? Kun je het probleem anders formuleren, zodat je het wel kunt oplossen? Kun je het probleem vereenvoudigen tot een probleem dat je wel kunt oplossen: een algemener probleem, een specialer probleem, een analoog probleem? Kun je een deel van het probleem oplossen? Heb je alle gegevens en voorwaarden gebruikt? Wat zou je graag willen hebben? Kun je dat krijgen? Terwijl je het plan uitvoert, controleer elke stap. Weet je zeker dat elke stap goed is? Kun je het resultaat controleren? Kun je het resultaat ook op een andere manier verkrijgen? Vraag beantwoord? 6

9 3. Lessenserie In dit deel van de handleiding wordt een lessenserie van 14 lessen beschreven, waarin zo veel mogelijk met opgaven gewerkt wordt, waarin een beroep gedaan wordt op wiskundige denkactiviteiten. De lessenserie is gemaakt voor de vierde klas en kan zowel in de havo als op het vwo gebruikt worden. In de lessenserie zit een opbouw van eenvoudig naar steeds moeilijker. De bedoeling is dat de leerlingen zo veel mogelijk zelf ontdekken, mogelijkheden uitschrijven en proberen regelmaat te ontdekken. De rol van de docent is ten eerste natuurlijk om de leerlingen te begeleiden bij het oplossen. De docent stelt daarbij vooral vragen en doet eventueel suggesties, zodat de leerlingen zelf op ideeën komen: zie hoofdstuk 2. De tweede rol van de docent is om de opgaven na te bespreken en te inventariseren wat de leerlingen tegengekomen zijn en vervolgens de oplossingsmethoden te structureren en de benodigde voorkennis op te halen of wiskundige begrippen te introduceren. Het eerste deel van de lessenserie bestaat uit opgaven van Kangoeroewedstrijden. Deze opgaven zijn bewerkt, zodat leerlingen niet snel op internet naar de antwoorden kunnen zoeken. De opgaven zijn vooral bedoeld om te herhalen welke mogelijkheden er zijn om telproblemen te visualiseren (boomdiagram, wegendiagram, rooster en systematisch noteren) en daarnaast om te leren gestructureerd een probleem aan te pakken met behulp van de methode van Polya. Het tweede deel bestaat grotendeels uit opgaven uit de Wiskunde Olympiade, meestal weer bewerkt. Het doel van deze opgaven is om de permutaties en de combinaties met faculteiten te introduceren en daarnaast om steeds complexere problemen te leren oplossen. Veel opgaven zijn afzonderlijk op een pagina geplaatst, zodat de docent eenvoudig kan printen en kopiëren. Als toepassing worden tussendoor twee spellen geanalyseerd, Mastermind en Regenwormen. Ook wordt in één van de lessen het spel SET gebruikt om te oefenen met tellen. Verder moeten de leerlingen in de eindopdracht zelf een spel ontwerpen. 7

10 Les 1: Inleidende les Polya Doel: leerlingen kennis te laten maken met telproblemen. Leerlingen gaan, in tweetallen, zonder voorkennis puzzelen aan de opgaven 1 en 2 in de bijlagen. De docent bespreekt daarna beide opgaven. Verschillende oplossingsmethodes van de leerlingen worden besproken. Wat zou een stappenplan kunnen zijn om zo n probleem aan te pakken? Denk bij het antwoord op deze vraag aan het stappenplan van Polya uit hoofdstuk 4, bijvoorbeeld: - Probleem begrijpen:! Wat wordt er gevraagd?! Welke gegevens zijn er?! Maak een plaatje - Plan maken! Heb je dit probleem eerder gezien?! Kun je het probleem vereenvoudigen?! Heb je alle gegevens gebruikt? - Plan uitvoeren! Elke stap controleren - Terugkijken! Terug kijken, kan het antwoord kloppen?! Vraag beantwoord? 8

11 Les 2: Inleidende les Polya: visualiseren Doel: de stap probleem begrijpen van Polya kunnen toepassen op nieuwe opgaven. Leerlingen gaan, in tweetallen, puzzelen aan de opgaven op bijlage 3, 4, 5 en bijlage 6. De docent bespreekt daarna de antwoorden van alle opgaven kort, maar gaat dieper in op de stappen van probleem begrijpen : o Wat wordt er gevraagd? o Welke gegevens zijn er? o Maak een plaatje De nadruk komt dan te liggen op de laatste stap Maak een plaatje. Denk daarbij aan een: boomdiagram (opgave 5), rooster (opgave 6), wegendiagram (opgave 3), systematisch noteren (opgave 4) Huiswerk voor les 3: 1. Kun je zelf een opgave bedenken waarbij je in je uitwerking een boomdiagram gebruikt? 2. Kun je zelf een opgave bedenken waarbij je in je uitwerking een rooster gebruikt? 3. Kun je zelf een opgave bedenken waarbij je in je uitwerking een wegendiagram gebruikt? 4. Kun je zelf een opgave bedenken waarbij je in je uitwerking een gebruik maakt van systematisch uitschrijven? 5. Download een App Mastermind, bijvoorbeeld Android en Apple: Color code Mastermind. De opgaven inclusief de uitwerkingen (op achterkant/apart blad) en voorzien van de naam van de maker worden de volgende les ingenomen en in les 5 in tweetallen uitgeprobeerd. Het spel Mastermind wordt de volgende les uitgeprobeerd. Les 3: Afsluiten visualiseren, opstarten Mastermind Doel: overzicht van de verschillende visualisaties en Polya, kennis maken met het spel Mastermind en vat krijgen op het spel en mogelijke spelverlopen. Innemen van de zelfgemaakte opdrachten met uitwerkingen (staat de naam van de maker erop?). Structuur bespreken van les 2. Spelen Mastermind via de App. Les 4: Mastermind Opdracht Mastermind maken, zie de bijlagen. 9

12 Les 5: Mastermind en nogmaals visualisaties/polya Mastermind- opdracht bespreken. De zelfgemaakte opdrachten die tijdens les 3 zijn ingeleverd kopiëren. In deze les testen de leerlingen deze opdrachten. De leerlingen worden daartoe in tweetallen verdeeld. Elk tweetal krijgt 2 opgaven van een ander tweetal en proberen deze te maken. Vervolgens bespreekt elk tweetal de opgaven met de makers, dus in viertallen. Les 6: Wiskunde- estafette Doel: op tempo telproblemen oplossen. Leerlingen gaan, in viertallen, met voorkennis puzzelen aan verschillende telopgaven. Leerlingen kunnen kiezen uit een makkelijke opgave (deze levert 4 punten op) of een moeilijke opgave (deze levert 10 punten op). Als leerlingen niet uit een opgave komen, kunnen ze een Tip kopen. De vraag levert dan nog maar de helft van de punten op. Leerlingen krijgen pas een nieuwe vraag als de vorige met de juiste oplossing is ingeleverd. Bij 3 keer een fout antwoord voor dezelfde vraag volgen er 3 strafpunten en dan kiest het groepje een nieuwe vraag. Na 30 minuten is het spel over. De leerlingen met de meeste punten hebben gewonnen. Elk groepje kiest een vraag door makkelijk of moeilijk te zeggen en dan een cijfer 1 t/m 8. Met deze vraag gaan de leerlingen aan de slag. Print de opgaven zo vaak uit als er groepjes zijn. Houd per groep een scoreformulier bij. Voor de tips zijn knipbladen gemaakt: horizontaal snijden en in het midden vouwen. Er zijn twee mogelijkheden: - de tips kunnen alleen bij de tafel van de wedstrijdleider gelezen worden; in dit geval is één set tips voldoende. - de leerlingen kunnen de tips mee naar hun groepje nemen; in dit geval moet er per groepje een set tips gemaakt worden. Les 7: Productregel Doel: leerlingen ontdekken door het maken van opgaven de productregel. Door verschillende opgaven met telproblemen te maken komen de leerlingen tot de conclusie dat in sommige gevallen er niet systematisch genoteerd hoeft te worden, maar dat door middel van vermenigvuldigen een snellere oplossing gemaakt kan worden. Bij andere opgaven gaat het om logisch denken en regelmaat zoeken. Beginsituatie : leerlingen kunnen systematisch tellen en telproblemen visualiseren. Werkvorm : Deel 1: klassikaal, Deel 2: Denken, delen, uitwisselen of werken in tweetallen. Leerlingenactiviteit : opletten, aantekeningen maken/ opgaven oplossen en overleggen met medeleerlingen. Docentactiviteit : samenvatting geven van afgelopen zes lessen / hints geven voor het oplossen (aan de hand van Polya) / productregel onder woorden brengen aan de hand van oplossingen leerlingen. Start van de les is een samenvatting van les 1 tot en met 6 met de nadruk op systematisch tellen en het visualiseren van telproblemen. Daarna gaan de leerlingen aan de slag met de opgaven. Hierbij kan de werkvorm denken- delen- uitwisselen worden gebruikt. Hierbij gaat de leerling eerst voor zich zelf aan de slag (denken), vervolgens deelt hij het resultaat met een buurman (delen), waarna er in een grotere groep de resultaten worden besproken (uitwisselen). Afsluiting van de les bestaat uit een vooruitzicht op de volgende les waar de productregel expliciet genoemd wordt. Huiswerk kan bestaan uit het maken van opdrachten waar in de les nog niet mee gewerkt is en de nummerbordenopgave. Benodigde materialen: opdrachten voor leerlingen, zie bijlage. 10

13 Les 8: Productregel, permutaties en faculteiten Doel van de les: naar aanleiding van voorgaande lessen de productregel expliciet maken en dit doortrekken naar het berekenen van faculteiten. Na deze les kunnen leerlingen de productregel en faculteiten gebruiken bij het oplossen van telproblemen. Beginsituatie: leerlingen hebben in de vorige les de productregel zelf bedacht. Werkvorm : Doceerles en zelfstandig werken (eventueel in tweetallen). Docentactiviteit: de productregel expliciet uitleggen en benoemen, na enkele voorbeelden waarbij steeds afgeteld wordt ook de termen permutaties (rijtjes) en faculteit uitleggen. Leerlingenactiviteit : opletten, aantekeningen maken en opgaven oplossen en overleggen met medeleerlingen. Start van de les: uitleg van de productregel, permutaties en faculteiten. Eventueel opgedeeld in stukjes. Daarna gaan de leerlingen aan de slag met de opgaven. Afsluiting van de les: bespreken van veelvoorkomende problemen/fouten bij de opgave. Benodigde materialen: opdrachten voor leerlingen, zie bijlage. Voorbeeld: Jorien heeft de zelfbedachte code van 4 cijfers van haar cijferslot vergeten. Ze weet dat ze vier verschillende getallen gebruikt heeft in de code, dat het eindigde met een 7 en dat de cijfers oplopend waren zoals in Vraag: Hoeveel verschillende codes moet Jorien maximaal uitproberen om de code weer terug te vinden? Het antwoord is als volgt te berekenen: Begin met de beperkingen. Je weet dat de code eindigt op een 7. Je weet ook dat de cijfers oplopend zijn, dus werk van achter naar voren: Maak bijvoorbeeld een schema: 4567, 3567, 2567, , 2467, 1467, 2367, , 2457, , , Je ziet dat je in dit geval door systematisch te tellen snel het antwoord op een redelijk ingewikkelde vraag hebt kunnen vinden. Antwoord: Er zijn 20 codes mogelijk. Valt mee, toch? Voorbeeld: Ook als de problemen wat ingewikkelder zijn is het vaak zoeken naar een handige manier om een regelmaat te vinden in het telprobleem. Vaak begin je maar en vind je al doende een handige manier om het antwoord te bepalen. Een bedrijf codeert zijn artikelen met getallen van 5 cijfers. Alleen de cijfers 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden gebruikt. Vraag: Hoeveel van die getallen zijn er als a. elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden? b. elk cijfer vaker gebruikt mag worden en het getal groter dan moet zijn? 11

14 c. elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden en het getal kleiner moet zijn dan 65000? Berekening a. elk cijfer wordt éénmaal gebruikt. Je maakt 5 keuzes na elkaar, net als in een wegendiagram: voor het eerste cijfer is er een keuze uit 7 getallen, voor de volgende uit 6, dan zijn er nog 5, dan nog 4 en voor de vijfde nog 3. Antwoord: aantal = = b. het getal is groter dan 50000, meer beperkingen zijn er niet. Je maakt weer 5 keuzes, maar de beperking geeft je maar 4 mogelijkheden bij de eerste stap. Begin je met een 5, 6, 7 of 8 dan kun je daarna steeds uit 7 getallen kiezen. Antwoord: aantal = = c. elk cijfer wordt eenmaal gebruikt en het getal is kleiner dan Begin met de grootste beperking: begin je met 2, 3, 4, of 5 dan is het getal altijd kleiner dan Dan kun je daarna bij elke stap vrij kiezen, eerst uit 6 getallen, dan uit 5, dan uit 4 en dan uit 3 omdat het gekozen getal steeds afvalt. Begin je met een 6 dan kun je in de tweede stap alleen nog kiezen uit 2, 3 of 4. Als je deze twee getallen hebt gekozen dan kun je nog 5, daarna 4 en tot slot 3 getallen kiezen voor het vervolg. In schema ziet het er zo uit: 2, 3, 4 of 5 6 eerste getal 4 x 1 x één gebruikt 2, 3 of 4 tweede getal Antwoord: aantal = = 1620 derde getal twee gebruikt vierde getal vijfde getal 6x 5x 4x 3x 3x twee gebruikt 5x 4x 3x Les 9 en 10: Regenwormen In deze les wordt het spel Regenwormen geanalyseerd. Deze praktische opdracht is gebaseerd op de opdrachten van de wiskunde A- lympiadeopdracht uit. Benodigd materiaal: een aantal doosjes van het spel Regenwormen, zodat alle leerlingen dit kunnen spelen en de praktische opdracht uit de bijlage. De leerlingen maken eerst kennis met het spel Regenwormen : 20 minuten spelen. Vervolgens krijgen ze de opdracht uitgereikt, zie bijlage. Les 11: Combinaties Doel: de leerlingen kunnen een telprobleem herkennen als een probleem waarbij het van belang is dat er groepjes (combinaties) worden gemaakt ipv rijtjes (permutaties). De leerlingen kunnen het aantal mogelijke combinaties vertalen naar een multinomiaalcoëfficiënt. Het is niet perse de bedoeling dat de multinomiaalcoëfficiënten worden genoteerd als a Ncr b. Het uitschrijven kan met behulp van faculteiten. 12

15 Start van de les is uitleg van het spel SET. Deze uitleg kan ook voorafgaand aan de les worden gelezen door de leerlingen. Ze kunnen dan het spel als huiswerk al hebben gespeeld. Het spel is ook beschikbaar als app of online. Zie ook voor een uitleg van het spel met mogelijke vragen. Aan de hand van de kaartjes van SET kan worden uitgelegd hoeveel combinaties er mogelijk zijn met de kaartjes. Gebruik bij de uitleg multinomiaalcoëfficiënten. De theorie en de huiswerkopgaven staan in de bijlage. De les wordt afgesloten door een bespreking van de regels behorend bij combinaties. Als er genoeg tijd voor is, kan er nog aandacht worden besteed aan de driehoek van Pascal met een verwijzing naar de opgave over het rooster uit les 7. Les 12: Toepassen multinomiaalcoëfficiënt Doel: het toepassen van de multinomiaalcoëfficiënt op opgaven. Daarvoor moeten de leerlingen het gegeven probleem herkennen als een combinatorisch probleem en de juiste aantallen kiezen. Het is van belang dat de docent de leerlingen zelf de oplossingen laat vinden. Het gaat om het toepassen van heuristieken. Dat houdt in deze les weer in dat de oplossing van het probleem start met het begrijpen van het probleem door verkennende opdrachten te doen. Meestal lukt dat door een aantal mogelijkheden te proberen en daar regelmaat in te vinden. Start van de les kan door terug te blikken naar les 11 waar de multinomiaalcoëfficiënten zijn uitgelegd. De eerste opgave kan klassikaal worden gedaan, de andere opgaven kunnen worden verdeeld onder groepen leerlingen. De leerlingen maken nette uitwerkingen die worden verstrekt aan de andere groepen. Eventuele uitleg over de uitwerkingen kan worden gegeven door de leerlingen die de uitwerkingen hebben gemaakt. Als leerlingen eerder klaar zijn, kunnen ze zich verspreiden over de andere groepen om met die groep mee te gaan denken. Les 13 en 14: Telspel ontwerpen Lesplan : Telspel Ontwerpen. Doel: leerlingen ontwerpen een spel waarin het tellen van mogelijkheden een rol speelt. Duur : 2 weken Tijd : minimaal 2 lessen Leerlingen maken zelf een spel waarin het tellen van mogelijkheden een grote rol speelt. Dit spel moet gemaakt worden inclusief spelregels en een uitwerking waarin de verschillende mogelijkheden uitgerekend worden. Natuurlijk hoeven niet alle mogelijkheden uitgerekend te worden, alleen de rekenkundig verschillenden. Tijdens het uitvoeren van dit lespakket zijn verschillende spellen aan bod gekomen waarin tellen een rol speelt, deze kunnen als voorbeeld dienen voor de leerlingen. De minimaal benodigde tijd is twee lessen, waarbij er tussen de twee lessen ongeveer twee weken tijd zit, waarin de leerlingen het spel ontwerpen en maken. Daartussen kunnen lessen worden gereserveerd, waarin leerlingen zelf aan de slag zijn met de opdracht of waar ze vragen kunnen stellen aan de docent, maar dit is niet noodzakelijk. Les 1 uitleg van de opdracht inclusief regels tijdsplanning groepjes maken aan de slag met ideeën voor een spel 13

16 Les 2 inleveren van het spel spel laten spelen door een ander groepje Variatie Spel spelen met een andere (lagere) klas en eventueel ook laten beoordelen op de punten speelbaarheid, spelregels en originaliteit. 14

17 Bijlagen 15

18 Les 1 Leerlingmateriaal: drie pagina s met elk één opgave. (Hier weergegeven op 1 pagina) Docentmateriaal: de uitwerkingen van de drie opgaven. Opgave 1 Je gaat een spel spelen. Je wilt een pionnetje over het bord verschuiven. De pion moet precies één keer in ieder hokje gestaan hebben. Je mag je pionnetje alleen horizontaal of verticaal verschuiven. In welke hokjes kun je beginnen om dit voor elkaar te krijgen? Opgave 2 Peter schrijft getallen van tien cijfers. De getallen bestaan alleen uit de cijfers 1, 2 en 3. Ook wil Peter dat cijfers die naast elkaar staan precies 1 verschillen. Hoeveel getallen kan Piet maximaal opschrijven? Opgave 3 In een doos zitten 12 kaarten in vier kleuren: rood, wit, blauw en oranje. Van elke kleur zijn er drie kaarten genummerd 1,2 en 3. Je pakt drie willekeurige kaarten uit de doos. Welke van de volgende gebeurtenissen heeft de grootste kans om op te treden? A de drie kaarten hebben hetzelfde nummer B de drie kaarten hebben alle drie een ander nummer C de volgende kaarten zijn getrokken: rood 1, wit 2 en blauw 3 D de drie kaarten hebben dezelfde kleur E de drie kaarten hebben drie verschillende kleuren 16

19 Antwoorden Opgaven 1, 2 en 3 Antwoord opgave 1: In elk grijs hokje. Bij iedere verschuiving gaat de pion van een wit veld naar een grijs veld of omgekeerd. Als je dan op een wit veld begint, dan heb je na 7 keer verschuiven wit- grijs- wit- grijs- wit- grijs- wit- grijs. Nu moet je nog een grijs veld hebben, maar dan moet je eerst weer naar een wit veld en dat heb je al gehad. Je kunt dus niet op een wit veld beginnen. Vanuit elk grijs veld lukt het wel. Als je bijvoorbeeld in een hoek begint, schuif dan eerst rondom de gehele rand en gaan het laatste witte veld naar binnen. Begin je in het midden, ga dan naar veld aan de rand en schuif vervolgens langs de hele rand. Antwoord opgave 2: 64 Piet heeft twee mogelijkheden. Begint hij met een 1 of een 3, dan moet het tweede cijfer een 2 zijn en komt daarna op elke oneven plaats een 1 of een 3 en op elke even plaats een 2. Er zijn 2x2x2x2x2=32 van dergelijke getallen. Begint Piet met een 2, dan komt er op elke oneven plaats een 2 en op elke even plaats een 1 of een 3. Ook van deze getallen zijn er 32. Antwoord opgave 3: (wegendiagram) E Het aantal mogelijkheden voor A is 12 x 3 x 2 = 72 1e kaart 2e kaart 3e kaart Het aantal mogelijkheden voor B is 12 x 8 x 4 = 384 Het aantal mogelijkheden voor C is 3 x 2 x 1 = 6 Het aantal mogelijkheden voor D is 12 x 2 x 1 = 24 Het aantal mogelijkheden voor E is 12 x 9 x 6 = 648 De kans op E is het grootst. 17

20 Les 2 Leerlingmateriaal: drie pagina s met elk één opgave. Docentmateriaal: de uitwerkingen van de drie opgaven. Opgave 4 We maken een getal van zes cijfers. Het derde cijfer en elk cijfer daarna is de som van de voorgaande twee cijfers. Hoeveel getallen van zes cijfers zijn er zo te maken? Opgave 5 Hiernaast zie je een spelbord. Je begint het spel met het plaatsen van een pion op S (Start). Bij elke zet wordt de pion over één lijntje verschoven. Zodra de pion in F (Finish) komt, stopt het spel. Het is de bedoeling om de pion in precies 13 zetten van S naar F te krijgen. Op hoeveel manieren kan dat? Opgave 6 Twee schoolteams van elk 5 spelers spelen een tafeltenniswedstrijd. Elk mogelijk tweetal van het ene team speelt tegen elk mogelijk tweetal van het andere team. Hoeveel wedstrijden moet elke speler spelen? 18

21 Antwoorden opgaven 4, 5 en 6 Antwoord opgave 4: (systematisch noteren) 4 Proberen geeft de volgende mogelijkheden: (Begin je bijvoorbeeld met 12 dan lukt het niet: kun je niet met een cijfer afmaken) Antwoord opgave 5: (boomdiagram) 64 Bij het begin moet je van S naar A. In A gekomen, heb je twee mogelijkheden: naar S of naar B. De eerste keren moet je dan terug naar A, pas de 13e zet kun/mag je naar F. Dit geeft de volgende serie: S- A- B/S- A- B/S- A- B/S- A- B/S- A- B/S- A- B/S- F. Je moet dus 6 keer kiezen uit 2 mogelijkheden. Dit geeft 2 6 = 64 manieren. Antwoord opgave 6: (rooster) 40 Elke speler zit in 4 tweetallen. (Zie bijvoorbeeld 1 e kolom voor speler 1) Met de 5 personen van een schoolteam kun je 10 tweetallen maken (Zie lege vakjes) Dus speelt elke speler 4 x 10 = 40 wedstrijden. Speler 1 Speler 2 Speler 3 Speler 4 Speler 5 Speler 1 x x x x x Speler 2 x x x x Speler 3 x x x Speler 4 x x Speler 5 x 19

22 Les 3: Mastermind - deel 1 Bij het spel Mastermind moet je een code kraken. Je speelt het spel met z'n tweeën. De ene speler maakt de code. De andere speler, die de code niet kan zien, probeert die code in zo weinig mogelijk beurten te vinden. Een code bestaat uit 4 posities en elke positie wordt gevuld met een pinnetje van een bepaalde kleur. Er zijn 6 kleuren in het spel en er mogen geen posities leeg blijven. Speel in tweetallen een half uur lang het spel Mastermind. De bedoeling is om vat te krijgen op het spel en mogelijke spelverlopen. 20

23 Les 4: Mastermind - deel 2 In de vorige les heb je het spel Mastermind gespeeld. Bij het spel Mastermind moet je een code kraken. Je speelt het spel met z'n tweeën. De ene speler maakt de code. De andere speler, die de code niet kan zien, probeert die code in zo weinig mogelijk beurten te vinden. Als het goed is, begrijp je nu hoe het spel gespeeld wordt en weet je het een en ander van mogelijke spelverlopen. Dat heb je nodig bij de onderstaande telproblemen. Bij het maken van de opdrachten mag je gebruik maken van het spel, maar vergeet niet om bij elke opdracht een duidelijke toelichting op je antwoord te geven. Een toelichting kan bijvoorbeeld bestaan uit een tabel, waarin alle mogelijkheden uitgeschreven worden. Een code bestaat uit 4 posities en elke positie wordt gevuld met een pinnetje van een bepaalde kleur. Er zijn 6 kleuren in het spel: WIT, GEEL, ROOD, PAARS, BLAUW, en ZWART. Er mogen geen posities leeg blijven. We gaan er in eerste instantie van uit dat iedere kleur slechts ten hoogste 1 keer in de code voorkomt. Dat betekent dat je 4 verschillende kleuren uit de 6 aanwezige kleuren moet kiezen. 1 Onderzoek op hoeveel manieren je 4 verschillende kleuren kan kiezen. Sjors en Lukas spelen samen Mastermind. Sjors heeft een code bedacht en Lukas doet een eerste poging om de code te raden. Hij kiest de kleuren GEEL, ROOD, BLAUW en ZWART. 2 Onderzoek op hoeveel manieren Lukas deze kleuren kan neerleggen. 3 Hoeveel verschillende codes met 4 verschillende kleuren zijn er? Lukas raadt de code BLAUW- GEEL- ROOD- ZWART. Het blijkt dat hij alle kleuren goed heeft, maar het blijkt ook dat geen van de kleuren op de juiste positie staat. 4 Onderzoek hoeveel mogelijkheden er nu nog over zijn voor Lukas. Sjors en Lukas besluiten de spelregels te veranderen. Je mag een kleur nu vaker gebruiken in een code. Dit betekent dat de code kan bestaan uit 1, 2, 3 of 4 kleuren. Elke positie moet wel gevuld zijn. Lukas is aan de beurt om een code te maken. De eerste poging van Sjors is GEEL- GEEL- BLAUW- ROOD. Dit levert meteen een goed resultaat op: hij heeft de 4 juiste pinnetjes, alleen staat er maar 1 op de goede plek. Sjors weet uiteraard niet welke van de pinnetjes op de goede plek staat. 5 Leg uit waarom het niet het blauwe of het rode pinnetje kan zijn dat op de goede plek staat. 6 Onderzoek hoeveel mogelijkheden er nog over zijn voor Sjors. 21

24 Les 5: Uitwerkingen opdracht Mastermind 1 WGRP WRPB GRPB 15 manieren WGRB WRPZ GRPZ WGRZ WRBZ GRBZ WGPB WGPZ WPBZ GPBZ WGBZ RPBZ 2 GRBZ RGBZ BGRZ ZGRB 24 manieren GRZB RGZB BGZR ZGBR GBRZ RBGZ BRGZ ZRGB GBZR RBZG BRZG ZRBG GZRB RZGB BZGR ZBGR GZBR RZBG BZRG ZBRG 3 Je moet eerst 4 kleuren kiezen; dat kan op 15 manieren. Vervolgens moet je met deze 4 kleuren een volgorde kiezen; dat kan op 24 manieren. Er zijn dus 15 x 24 = 360 codes. 4 GRBZ RGBZ BGRZ ZGRB 9 manieren over GRZB RGZB BGZR ZGBR GBRZ RBGZ BRGZ ZRGB GBZR RBZG BRZG ZRBG GZRB RZGB BZGR ZBGR GZBR RZBG BZRG ZBRG 5 Als het blauwe pinnetje op de goede plek staat, dan moeten 2 gele pinnetjes en 1 rood pinnetje verhuizen. Daarbij komt (minstens) 1 geel pinnetje weer op een "gele" plek. Als het rode pinnetje op de goede plek staat, kun je dezelfde redenering volgen. 6 Wanneer het gele pinnetje op de 1e plek goed staat, zijn er nog twee mogelijkheden voor de rest: GRGB en GBRG. Wanneer het gele pinnetje op de 2e plek goed staat, zijn er ook nog twee mogelijkheden voor de rest: RGGB en BGRG. Er zijn dus nog 4 mogelijkheden over voor Sjors. 22

25 Les 6 Materiaal wiskunde- estafette Deze bijlage bevat het materiaal voor de wiskunde- estafette: - 8 makkelijke opgaven - 8 moeilijke opgaven - een overzicht van de tips, antwoorden en korte uitwerkingen - een groepsscoreformulier - twee knipbladen met de tips van de opgaven. 23

26 1. Makkelijk Een windmolentje heeft vier wieken. Pieter gaat de blaadjes van het windmolentje verven. Elk blaadje verft Pieter geel of rood. Hoeveel verschillende windmolentjes kan Pieter maken? 2. Makkelijk Je ziet hier een netwerk van touw. Op punt V vat het touw vlam. Alle stukken touw branden even snel. Bij welk punt komt de vlam als laatst? 3. Makkelijk Marielle en Esther spelen zeeslag op een 5 x 5- rechthoek. Marielle heeft al twee schepen (één en twee lang) geplaatst; zie het plaatje. Ze moet nog een schip van 3 hokjes lang plaatsen. Schepen mogen elkaar niet raken, ook niet in een punt. Hoeveel mogelijkheden heeft Marielle voor haar derde schip? 4. Makkelijk Emma maakt een halsketting met drie gele en vijf rode kralen. Hiernaast staat een voorbeeld. Hoeveel verschillende halskettingen kan Emma maken? 5. Makkelijk Een vierkant bestaat uit vier hokjes. Elk hokje wordt of rood of groen gekleurd. Twee vierkanten zijn gelijk gekleurd, als je het ene zo kunt draaien dat het er hetzelfde uitziet als het andere vierkant. Hoeveel verschillende vierkanten kunnen er gekleurd worden? 6. Makkelijk In een knikkerzak zitten 10 rode, 20 gele en 40 groene knikkers. Zonder te kijken pakken we knikkers uit de zak. Hoeveel knikkers moet je minimaal pakken om zeker te weten dat je tenminste 1 gele in je hand hebt? 24

27 7. Makkelijk In een knikkerzak zitten 10 rode, 20 gele en 40 groene knikkers. Zonder te kijken pakken we (zonder terugleggen) knikkers uit de zak. Hoeveel knikkers moet je minimaal pakken om zeker te weten dat je 3 knikkers met dezelfde kleur in je hand hebt? 8. Makkelijk In een knikkerzak zitten 10 rode, 20 gele en 40 groene knikkers. Zonder te kijken pakken we (zonder terugleggen) knikkers uit de zak. Hoeveel knikkers moet je minimaal pakken om zeker te weten dat je 13 knikkers met dezelfde kleur in je hand hebt? 25

28 1. Moeilijk Inge heeft heel veel kleine kubusjes van 1 bij 1 bij 1 cm. Ieder kubusje heeft één kleur. Zij wil van 27 van deze kubusjes een grote kubus maken van 3 bij 3 bij 3 cm. Elke twee kubusjes die één hoekpunt (of meer dan één) gemeen hebben, moeten verschillend van kleur zijn. Hoeveel verschillende kleuren kubusjes moet zij dan minstens hebben? 2. Moeilijk Iemand maakt een lijst van de getallen van vier cijfers waarvan de som van de cijfers 4 is, van groot naar klein. Op welke plaats staat het getal 2011? 3. Moeilijk Een streepjescode als hiernaast bestaat uit een aantal strepen, om en om wit zwart. De eerste en de laatste streep zijn zwart. Elke streep (wit en zwart) heeft of breedte 1 of breedte 2; de totale breedte is 12. Hoeveel verschillende van deze streepjescodes zijn er mogelijk? 4. Moeilijk In een regelmatige 9- hoek maken we alle driehoeken met als hoekpunten punten van de 9- hoek. Binnen hoeveel van deze driehoeken ligt het middelpunt van de 9- hoek? 5. Moeilijk In een knikkerzak zitten 10 rode, 20 gele en 40 groene knikkers. Zonder te kijken pakken we knikkers uit de zak. Hoeveel knikkers moet je minimaal pakken om zeker te weten dat je 3 verschillende kleuren in je hand hebt? 6. Moeilijk In een knikkerzak zitten 10 rode, 20 gele en 40 groene knikkers. Zonder te kijken pakken we knikkers uit de zak. Hoeveel knikkers moet je minimaal pakken om zeker te weten dat je 2 keer achter elkaar een groene pakt? 26

29 7. Moeilijk Hoeveel verschillende kortste routes zijn er van A naar B? 8. Moeilijk In een knikkerzak zitten 10 rode, 20 gele en 40 groene knikkers. Zonder te kijken pakken we knikkers uit de zak. Hoeveel knikkers moet je minimaal pakken om zeker te weten dat je 2 verschillende kleuren achter elkaar pakt? 27

30 Vraag Type Tip Antwoord Uitwerking 1 Makkelijk Het doordraaien van een molen, maakt geen andere combinatie. 2 Makkelijk Bekijk de kortste route naar elk punt. 3 Makkelijk Ga gestructureerd inkleuren. 6 Je hebt: alles geel; 1 blaadje rood; 2 blaadjes naast elkaar rood; 2 blaadjes tegenover elkaar rood; 3 blaadjes rood; alles rood. A Het vuur moet drie stukjes touw doorbranden om bij de punten B, C, D en E te komen. Om bij punt A te komen moet je vier stukjes touw doorbranden. 8 Zie hiernaast: verticaal zijn er 3 x 2 = 6 mogelijkheden (hier zijn er 2 getekend), horizontaal zijn er 2 mogelijkheden. 4 Makkelijk Het doordraaien van de ketting maakt geen andere combinatie. 5 Makkelijk Kijk per aantal rode blokjes hoeveel mogelijkheden er zijn. 6 Makkelijk Als je veel pech hebt, pak je eerst alle verkeerde knikkers. 7 Makkelijk Wanneer heb je voor het eerst r,r,r of g,g,g of gr,gr,gr. 8 Makkelijk 13 rode is niet mogelijk, je moet sowieso de 10 rode gepakt hebben. 5 De verschillende halskettingen zijn: wwwzzzzz, wwzwzzzz, wwzzwzzz, wzwzwzzz en wzwzzwzz. 6 Je hebt de volgende zes mogelijkheden: alles lichtgrijs; 1 hokje donker; 2 hokjes naast elkaar donker; 2 hokjes diagonaal tegenover elkaar donker; 3 hokjes donker; alles donker groene + 10 rode en 1 gele 7 Voor 3 keer groen, pak je eerst 2 rode, 2 gele en dan 3 groene. 35 Voor 13 geel: 12 groene, 10 rode en 13 gele = 35 knikkers Voor 13 groen: 10 rood, 12 geel en 13 groene = 35 knikkers 13 rode is niet mogelijk 28

31 1 Moeilijk Denk vanuit hoekpunten. 8 Aan een hoekpunt binnenin grenzen acht kleine kubusjes, dus je hebt minstens acht kleuren nodig. Daar lukt het ook mee: kleur de onderste en bovenste laag zoals hiernaast met de kleuren 1 t/m 4, gebruik vier andere kleuren voor de middelste laag. 2 Moeilijk Bedenk eerst alle getallen, zet ze daarna van groot naar klein. 9e De lijst begint met 4000, 3100, 3010, 3001, 2200, 2110, 2101, 2020, Moeilijk Er is één zwarte streep meer, het aantal strepen is dus oneven. Maar dan moet er een oneven aantal brede en een even aantal smalle strepen zijn. 4 Moeilijk Kijk eerst naar alle driehoeken met A als hoekpunt. 5. Moeilijk Weet je bij 31 en 51 pakken zeker dat je 3 verschillende hebt? 6. Moeilijk Groen, andere kleur, groen, andere kleur Er is één zwarte streep meer, het aantal strepen is dus oneven. Maar dan moet er een oneven aantal brede en een even aantal smalle strepen zijn. Dit geeft de volgende tabel aan mogelijkheden: smal breed aantal mog We tellen eerst het aantal driehoeken waar M binnen ligt met hoekpunt A. Dit zijn ABF, ACF, ACG, ADF, ADG, ADH, AEF, AEG, AEH en AEI, totaal 10. Als we dit voor alle punten van de negenhoek doen, dan vinden we 9x10=90 driehoeken. Maar we hebben nu elke driehoek drie keer geteld. Er zijn dus 90/3=30 driehoeken waar M binnen ligt. 61 Eerst 40 groene, dan 20 gele en 1 rode, als je eindigt met een gele of groene is het aantal minder. 62 Als het om en om gaat: Groen, andere, groen andere Dan zijn bij 60 knikkers de andere kleuren op, daarna moet je wel 2 groene pakken 7. Moeilijk Tel het aantal routes door voor ieder punt te noteren op hoeveel manieren je daar kunt komen. 12 Tel het aantal routes door voor ieder punt te noteren op hoeveel manieren je daar kunt komen. Voor ieder punt is dat de som van de aan- tallen bij de punten van- waaruit je in de laatste stap 29

32 bent gekomen. Het resultaat is hier gegeven. 8. Moeilijk Oplossing is worst case scenario groene, daarna moet een andere kleur komen. 30

33 Les 7 Opgave 1 Negen stoelen staan naast elkaar in een wachtkamer. Zes vrouwen en drie mannen, de heer A, de heer B en de heer C, nemen plaats op deze stoelen. De mannen komen eerst binnen en zorgen ervoor dat tussen elke man twee vrouwen komen te zitten. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de mannen om stoelen te kiezen? Opgave 2 Bovenstaande code stond op een envelop. Hoe denk je dat de cijfers 3,5,7 en 8 zijn gecodeerd? 31

34 De ascii codes voor hoofdletters verschillen op de laatste 5 plaatsen. Voor de hoofdletter A is dat De hoofdletter A, Z en L zie je hiernaast in de binaire boom getekend. Welke letters horen op de plaats van de stippen? Opgave 3 Gegeven is een alfabet dat bestaat uit 20 medeklinkers en 5 klinkers. We maken woorden volgens de volgende regels. Er mogen geen 3 klinkers achter elkaar staan. Er mogen geen 3 medeklinkers achter elkaar staan. Hoeveel goed gespelde woorden van precies 4 letters zijn er mogelijk? Opgave 4 Iemand heeft een prijs gewonnen. Er worden hem twee stapeltjes kaarten voorgehouden. Op elke kaart staat een geldbedrag vermeld. Hij mag (blindelings) uit elk stapeltje vijf kaarten trekken; de som van de bedragen op de tien getrokken kaarten krijgt hij uitbetaald. Het eerste stapeltje bevat vijf kaarten met 0, vijf kaarten met 4, vijf kaarten met 14. Het tweede stapeltje bevat vijf kaarten met 0, vijf kaarten met 50, vijf kaarten met 60. De prijswinnaar krijgt 132. Hoeveel kaarten met 0 erop heeft hij getrokken? 32

35 Opgave 5 Vijf vrouwen Anna, Bianca, Chantal, Daphne, en Erica en vijf mannen Karel, Leo, Mark, Nico en Otto zitten aan een ronde tafel, in de hieronder getekende posities. Elk van de vrouwen is getrouwd met één van de mannen. Anna is getrouwd met Karel; verder zit geen man naast zijn echtgenote. Eén vrouw zit tegenover haar man. Met wie zijn Bianca, Chantal, Daphne en Erica respectievelijk getrouwd? Opgave 6 Je hebt een speelbord dat een strook van vijf vierkanten is, en vier damstenen: twee witte en twee zwarte. De beginsituatie is hier getekend: de witte stenen liggen links, de zwarte rechts. De bedoeling van de puzzel is, om door een serie verhuizingen de witte stenen rechts te krijgen en de zwarte links, met het lege veld ertussen. Een verhuizing is een verplaatsing van een steen naar een leeg veld, maar daarbij mag de steen over hoogstens e en andere steen springen. Begonnen wordt met verhuizing van een zwarte steen. Beschrijf een zo kort mogelijke manier om dat doel te bereiken. Doe dit door het rijtje nummers op te schrijven van de velden die in de achtereenvolgende spelsituaties leeg staan. Zou je bijvoorbeeld eerst de meest rechtse steen naar het midden verhuizen en hem dan weer terugzetten, dan zou het antwoord beginnen met

36 Opgave 7 We gaan een 17 bij 17 bord kleuren in diagonale banen met zeven kleuren: rood, wit, blauw, oranje, geel, paars, zwart, rood, wit, blauw, oranje,... Van welke kleur zijn er de meeste velden? Opgave 8 Kentekens Sinds 5 maart 2013 is er voor personenauto s een nieuwe kentekencombinatie, deze kentekencombinatie begint met 1 cijfer, gevolgd door 3 letters en dan weer twee cijfers. a. Hoeveel verschillende kentekens zijn er met deze kentekencombinatie te maken als er geen beperkingen gelden? Natuurlijk gelden er wel beperkingen. Zo kan je aan het kenteken zien of het bijvoorbeeld een vrachtwagen, een bedrijfswagen of een personenwagen is. Daarnaast mogen bepaalde lettercombinaties niet, zoals bepaalde afkortingen. b. Ga op internet op onderzoek uit om te kijken welke beperkingen er gelden voor deze kentekencombinatie en bereken hoeveel kentekencombinaties mogelijk zijn voor personenauto s. 34

37 Uitwerkingen opgaven 1 t/m 8 Opgave 1 Met de hand tellen is lastig. Je moet het probleem dus op een andere manier bekijken, en dan wordt het een stuk makkelijker. De enige beperking is dat de mannen tussen de vrouwen willen zitten, dus als je nou denkbeeldig de vrouwen in een rij laat staan, dan kan elke man tussen twee vrouwen gaan staan. Er zijn 6 vrouwen dus 5 tussenruimtes. C heeft dus 5 keuzemogelijkheden, B 4 en A 3. In totaal zijn er = 60 mogelijkheden. Een andere manier is dat je denkbeeldig aan elke man alvast een vrouw aan de rechterkant plakt. Verder zet je op de meest linker stoel ook alvast een vrouw. Dan zijn er dus maar twee vrouwen en drie mannen (met elk een vrouw aan de rechterkant vastgeplakt), die op een of andere manier in een rij moeten gaan staan. Dat kan op = 120 manieren, maar het omwisselen van die twee vrouwen geeft qua plek van de mannen hetzelfde resultaat. We hebben dus alle mogelijkheden dubbel geteld en komen weer tot 60 manieren. Opgave 2 De code bestaat uit 5 hokjes waarvan er steeds 3 zwart zijn gemaakt om een cijfer weer te geven, de X in onderstaande tabel. Tussen de verschillende cijfers verschuift er steeds een vakje om het volgende cijfer te maken X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Ascii- boom Stip tussen A en L moet H zijn, de stip tussen L en Z moet Q. Dit kan worden gevonden door tellen. Als je bij A begint te tellen (bolletje boven A doet dus niet mee) en per set van 4 bolletjes aan een takje in een rondje doortelt zijn er precies 26 bolletjes vanaf A tot en met Z. Het bolletje voor A en de bolletjes na Z zijn blijkbaar geen hoofdletters. Opgave 3 Bekijk het algemenere geval waar het alfabet bestaat uit k klinkers en m medeklinkers. Er zijn twee patronen met drie klinkers en één medeklinker, namelijk KKMK en KMKK. Elk daarvan kan op k^3m manieren met concrete klinkers en medeklinkers worden ingevuld: k mogelijkheden voor de eerste klinker, k mogelijkheden voor de tweede klinker, enzovoorts. In de opgave zijn er dat 5^3 20 = 2500 manieren voor elk van beide patronen, dus in totaal Eveneens zijn er twee patronen met één klinker en drie medeklinkers, namelijk MMKM en MKMM. Elk daarvan kan op km^3 manieren worden ingevuld. In de opgave zijn er dat 5 20^3 = manieren voor elke van beide patronen, dus in totaal Tenslotte zijn er zes patronen met twee klinkers en twee medeklinkers, namelijk KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK en MMKK. Elk daarvan kan op k^2m^2 manieren worden ingevuld. In de opgave zijn er dat 5^2 20^2 = manieren voor elk van de zes patronen, dus in totaal In de opgave zijn dat er = Opgave 4 We bekijken eerst de verschillende mogelijkheden voor kaarten uit het tweede stapeltje: Als er twee of minder kaarten met 0 getrokken zijn, dan zijn er drie of meer kaarten met 50 of 60 getrokken. Dat maakt het totale bedrag minstens 150, in strijd met het gegeven. 35

38 Als er vier of meer kaarten met 0 getrokken zijn, dan is er hoogstens één kaart met 50 of 60 getrokken. Er moet dan nog minstens 72 door het eerste stapeltje geleverd worden. Dat kan niet, want dat vergt minstens 72/14 > 5 kaarten, in strijd met het gegeven. Er zijn dus precies drie kaarten met 0 getrokken. Voor de overige kaarten uit het tweede stapeltje blijven drie mogelijkheden over: Twee kaarten met 60. In dat geval komt er 12 uit het eerste stapeltje, en dat kan alleen door drie kaarten van 4. Een kaart met 60 en een kaart met 50. In dat geval komt er 22 uit het eerste stapeltje, en dat kan alleen door één kaart van 14 en twee kaarten van 4. Twee kaarten met 50. In dat geval komt er 32 uit het eerste stapeltje, en dat kan alleen door twee kaarten van 14 en één kaart van 4 (want er kunnen geen 8 kaarten van 4 getrokken zijn). In alle gevallen zijn er in totaal 5 kaarten met 0 getrokken. Opgave 5 De man die tegenover zijn vrouw zit moet Mark, Leo of Otto zijn. We onderzoeken elk van deze mogelijkheden. Stel dat Mark en Erica een paar zijn. We weten dat Leo niet met Bianca getrouwd is (want die zit naast hem) en niet met Daphne (want die zit tegenover hem), en niet met Anna of Erica (want die hebben een andere partner), dus moet hij met Chantal getrouwd zijn. Verder is Bianca niet met Leo getrouwd (want die zit naast haar) en niet met Otto (want die zit tegenover haar) en niet met Mark of Karel, dus moet zij met Nico getrouwd zijn. Zo blijven alleen Daphne en Otto over, maar die kunnen niet bij elkaar horen, want ze zitten naast elkaar. Door verwisseling van links en rechts krijgen we evenzo een tegenspraak als we aannemen dat Leo met Daphne gehuwd is. Uit het voorgaande volgt dat Otto en Bianca gehuwd zijn. Verder kan Daphne niet met Karel, Leo, Nico of Otto gehuwd zijn en hoort ze dus bij Mark. Omdat Nico en Chantal niet gehuwd zijn hoort ten slotte Nico bij Erica en Chantal bij Leo. Opgave 6 In het schema op de volgende bladzijde zijn alle 30 mogelijke standen opgeschreven: we noteren w voor een witte steen, z voor een zwarte steen en l voor een leeg veld. Twee standen zijn verbonden door een rechte lijn als de ene stand uit de andere ontstaat door een sprongzet, en door een slangenlijn als de ene stand uit de andere ontstaat door een schuifzet. Het schema maakt duidelijk dat elke route van de bovenrand naar de onderrand minstens vier sprongzetten en vier schuifzetten vergt, en dat de routes langs de linkerrand of rechterrand dat ook realiseren. De oplossing kan worden weergegeven in het volgende filmpje: 36

39 Opgave 7 In elke horizontale strook van lengte 7 komen alle kleuren één keer voor. Dus in de laatste 14 kolommen komen alle kleuren precies 2 17 = 34 keer voor. Ook in elke verticale strook van lengte 7 komen alle kleuren één keer voor. Dus in de bovenste 14 rijen van de eerste drie kolommen komen ze allemaal 6 keer voor. De 3 3 velden linksonder schieten dus over, en daar komt blauw drie keer voor. Opgave 8 a 10 x 26 x 26 x 26 x 10 x 10 = b Voor de cijfers gelden geen beperkingen. Klinkers worden niet (meer) gebruikt in kentekens De eerste letter mag alleen komen uit de groep : G,H,J,K,L,N,P,R,S,T,X,Z De C en de Q worden niet gebruikt omdat deze teveel lijkt op 0 Lettercombinaties die niet mogen zijn politieke partijen VVD,PVV en GVD, KKK, NSB, PKK, PSV, TBS. Met bovenstaande beperkingen is het aantal drie letter combinaties 12x18x18 7=3881 (VVD komt niet voor bij personenauto s omdat V niet de eerste letter mag zijn) 37

40 Dit samen met de cijfers levert 3881x10x10x10= kentekencombinaties voor personenauto s. (volgens een andere bron worden bij deze serie alleen K,S,T,X en Z als eerste letter gebruikt; de berekening wordt dan 5x18x18-1=1619. Dus met de cijfers ) Bron: over- de- cijfers- en- letters- op- de- kentekenplaat.aspx?path=portal/particulier/de%20kentekenplaat/het%20kenteken%20op%20de%2 0plaat 38

41 Les 8 Opgave 1 Een getal heeft 4 cijfers. Alleen de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 komen er in voor. Hoeveel van die getallen zijn er als a. elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden? b. elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden en het getal kleiner is dan 6000? c. elk cijfer maar één keer gebruikt mag worden en het getal groter is dan 6500? Opgave 2 In 2004 heeft de RDW Voertuiginformatie en toelating besloten de nieuwe kentekens te laten bestaan uit achtereenvolgens 2 cijfers drie letters één cijfer. a. Hoeveel kentekens zijn er op deze manier te vormen als er geen beperkingen zijn? b. Vanaf 1 november 2006 is elke brommer voorzien van zo n kenteken. Dat een voertuig een brommer is, kun je zien aan de eerste letter in het kenteken. Bij een brommer is dit namelijk een D of een F. Klinkers (a- e- i- o- u) komen niet voor c. Hoeveel bromfietskentekens zijn mogelijk? d. Maximaal hoeveel bromfietskentekens hebben geen gelijke letters en geen gelijke cijfers? Kentekens waarvan de eerste letter een B is horen bij bedrijfsauto s en kentekens waarvan de eerste letter een C is zijn auto s van het Corps Diplomatique. Omdat ook bij auto s klinkers niet voorkomen, is 02 GBB 7 een van de eerste nieuwe kentekens voor de overige auto s. e. Hoeveel kentekens voor de overige auto s zijn er zo te vormen als er verder geen beperkingen zijn? Opgave 3 Een bedrijf codeert zijn artikelen door gebruik te maken van de symbolen,, en Elke code bestaat uit een rijtje van 5 symbolen. a. Laat met een berekening zien dat er 1024 codes mogelijk zijn. b. Hoeveel van deze codes beginnen met een? c. Bij hoeveel codes staan er geen gelijke symbolen naast elkaar? d. Hoeveel van deze codes zijn er met precies vier keer het symbool? Opgave 4 Een fabrikant voorziet zijn artikelen van een code door in een 5 x 5 rooster elk hokje al dan niet zwart te maken. a. Hoeveel codes zijn er op deze manier mogelijk? b. Als je alle codes eenzijdig afdrukt op A4 tjes, hoe hoog wordt dan de stapel A4 tjes? Ga er van uit dat een velletje 0,1 mm dik is en dat er 60 codes op één vel worden afgedrukt. c. Hoeveel codes zijn er waarbij alle hokjes aan de rand zwart zijn? 39

42 Opgave 5 Gegeven is een alfabet dat bestaat uit 20 medeklinkers en 5 klinkers. We maken woorden volgens de volgende regels. Er mogen geen 3 klinkers achter elkaar staan. Er mogen geen 3 medeklinkers achter elkaar staan. Hoeveel goed gespelde woorden van precies 4 letters zijn er mogelijk? Opgave 6 In een wielerwedstrijd komt de kopgroep bestaande uit Marianne, Nicole, Susanne en Judith over de finish. Het is mogelijk dat meer dan één deelneemster tegelijk finisht. Een uitslag zou kunnen zijn: Marianne en Judith ex aequo, gevolgd door Nicole en Susanne ex aequo. Een andere uitslag zou kunnen zijn: Nicole gevolgd door Marianne en Judith ex aequo, gevolgd door Susanne. Hoeveel uitslagen zijn er mogelijk? 40

43 Uitwerkingen opgaven 1 t/m 6 Opgave 1 a 6x5x4x3 =360 b eerste cijfer moet 5 of lager zijn, dus 3 mogelijkheden; 3x5x4x3=180 c het getal begint met een 7 of 8 en de laatste drie cijfers komen uit de overgebleven cijfers of het getal begint met een 6, met daarna een 5 of hoger en de laatste twee komen uit de over gebleven cijfers. Dus 2x5x4x3 + 1x3x4x3 = 156 Opgave 2 a 10x10x26x26x26x10 = b 10x10x2x21x21x10 = c 10x10x2x20x19x10 = d 10x10x17x21x21x10 = Opgave 3 a 4x4x4x4x4 = 1024 b 1x4x4x4x4 = 256 c 4x3x3x3x3 = 324 d 5x3 =15 Opgave 4 a 2 25 = b 2 25 :60 = velletjes papier, die dus 55924,1 mm dik zijn (of bijna 56 m) c 2 9 = 512 Opgave 5 Bekijk het algemenere geval waar het alfabet bestaat uit k klinkers en m medeklinkers. Er zijn twee patronen met drie klinkers en één medeklinker, namelijk KKMK en KMKK. Elk daarvan kan op k^3m manieren met concrete klinkers en medeklinkers worden ingevuld: k mogelijkheden voor de eerste klinker, k mogelijkheden voor de tweede klinker, enzovoorts. In de opgave zijn er dat 5^3 20 = 2500 manieren voor elk van beide patronen, dus in totaal Eveneens zijn er twee patronen met één klinker en drie medeklinkers, namelijk MMKM en MKMM. Elk daarvan kan op km^3 manieren worden ingevuld. In de opgave zijn er dat 5 20^3 = manieren voor elke van beide patronen, dus in totaal Tenslotte zijn er zes patronen met twee klinkers en twee medeklinkers, namelijk KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK en MMKK. Elk daarvan kan op k^2m^2 manieren worden ingevuld. In de opgave zijn er dat 5^2 20^2 = manieren voor elk van de zes patronen, dus in totaal In de opgave zijn dat er = Opgave 6 We verdelen de uitslagen in typen, afhankelijk van welke groepen wielrensters ex aequo eindigen: Alle deelnemers finishen afzonderlijk. Dan zijn er vier mogelijkheden voor de eerste plaats, drie mogelijkheden voor de tweede plaats en twee voor de derde plaats. Daarmee ligt de uitslag van de kopgroep vast: de resterende renster wordt vierde. In totaal zijn er = 24 mogelijkheden. 41

44 Alleen de derde en vierde plaats vallen samen. Dan zijn er vier mogelijkheden voor de eerste plaats en drie voor de tweede, en daarmee ligt de uitslag vast. In totaal zijn er 4 3 = 12 zulke mogelijkheden. Alleen de tweede en derde plaats vallen samen. Dat geeft op dezelfde manier 12 mogelijkheden. Alleen de eerste en tweede plaats vallen samen. Dat geeft op dezelfde manier 12 mogelijkheden. De tweede, derde en vierde plaats vallen samen. Er zijn vier mogelijkheden voor de eerste plaats, en daarmee ligt de uitslag vast. De eerste, tweede en derde plaats vallen samen. Er zijn vier mogelijkheden voor de vierde plaats, en daarmee ligt de uitslag vast. De eerste en tweede plaats vallen samen, en ook de derde en vierde. Er zijn (4 3)/2 = 6 mogelijkheden om uit vier personen een groepje van twee te kiezen. De hele kopgroep eindigt tegelijk. In totaal zijn er dus = 75 uitslagen. 42

45 Les 9 en 10 PRAKTISCHE OPDRACHT REGENWORMEN Inleiding In deze praktische opdracht ga je uitzoeken hoe het spel Regenwormen in elkaar zit. Je onderzoekt mogelijkheden binnen het spel en je gaat na met welke keuzes je tijdens het spelen te maken kunt krijgen en wat daarvan de gevolgen zijn. Kortom, je denkt dus na over spelstrategieën. Het spel Bij het spel Regenwormen moeten de spelers zoveel mogelijk regenwormen verzamelen. Het speelmateriaal bestaat uit 16 tegels genummerd 21 tot en met 36, met elk 1 tot 4 regenwormen, en 8 dobbelstenen, elk met de cijfers 1 tot en met 5 en een regenworm. Het getal op een tegel geeft aan hoeveel punten een speler moet hebben gedobbeld om deze - en de erop afgebeelde wormen - te verdienen. Hoe hoger het getal op de tegel, hoe meer regenwormen. Voorbereiding Speel in viertallen 20 minuten lang het spel Regenwormen. Lees eerst de spelregels door. De bedoeling is om vat te krijgen op de spelregels, het spel en mogelijke spelverlopen. Opdracht 1 Onderzoek waarom het spel en de spelregels zijn ontworpen zoals ze zijn en geef je bevindingen weer in een lopend verhaal. Geef hierin onderbouwde antwoorden op vragen als: Waarom zijn er acht dobbelstenen, waarom niet meer of minder? Waarom staan juist de getallen 21 t/m 36 op de tegels, en niet kleinere of grotere getallen? Waarom duurt elke beurt maximaal zes worpen? Waarom zijn de wormen over de kaartjes verdeeld op de manier zoals het in het spel gedaan is? 43

46 Opdracht 2 Je hebt waarschijnlijk tijdens het spelen wel gemerkt dat de hoge tegels moeilijk te halen zijn. Onderzoek op hoeveel manieren je in een speelbeurt tegel 36 kunt pakken én op hoeveel manieren je in een speelbeurt tegel 24 kunt pakken. Geef deze manieren overzichtelijk weer en gebruik deze voorbeelden in een verklaring waarom hoge tegels moeilijk te halen zijn. Opdracht 3 Je hebt de volgende tegels uitgenomen: Je hebt dus nog twee dobbelstenen over. Hoeveel manieren zijn er om in deze speelbeurt een tegel te kunnen pakken? Geef deze manieren overzichtelijk weer. We gaan er hierbij van uit dat alle tegels nog open liggen. Opdracht 4 Een speler heeft in zijn beurt vijf keer geworpen. Hij heeft tegels uitgenomen met een Regenworm en met 1, 2, 3 en 5 ogen. Hij heeft hiermee in totaal precies 19 punten liggen. a. Geef alle mogelijke resultaten (tegels). b. Geef steeds aan met welke score hij maximaal en minimaal kan eindigen. Opdracht 5 Een speler heeft in zijn beurt vier keer geworpen. Hij heeft tegels uitgenomen met een Regenworm en met 1, 3 en 5 ogen. Je weet verder dat deze speler in de eerste vier worpen maximaal 20 punten heeft behaald. Geef alle mogelijkheden (tegels én scores) die de speler in de eerste vier worpen gehad kan hebben. Opdracht 6 Als je in de eerste worp 5 - R gooit, kun je twee 4- en apart leggen, of de Regenworm, of de 5, of de 2, of de drie 3- en. Je keuze voor elk van deze mogelijkheden bepaalt al in zekere mate hoeveel punten je kunt halen en hoe de kansen daarop zijn. Als eerste worp gooi je R - 4. Je doel is een zo hoog mogelijk puntenaantal in je beurt te behalen. Je keuzes moet je op dit doel afstemmen. Beschrijf wat je apart zou leggen en geef je overwegingen. Opdracht 7 We gaan uit van een beurt met de volgende serie worpen Dob1 Dob2 Dob3 Dob4 Dob5 Dob6 Dob7 Dob R R R R R R R R R R en we gebruiken deze worpen als volgt: Omdat je steeds dobbelstenen uitneemt, gebruik je vanaf de tweede beurt maar een deel van de worp: namelijk alleen die dobbelstenen die nog over zijn. Als je bijvoorbeeld in de eerste worp de twee 2- en apart legt, gebruik je voor de volgende worp niet meer de uitkomsten van dobbelsteen nummer 2 (Dob2) en dobbelsteen 3 (Dob3). Onderzoek wat de minimale en de maximale score in deze spelbeurt kunnen zijn. Geef steeds het spelverloop dat daartoe leidt. Gebruik hiervoor de kopieën van de bovenstaande worpen. 44

47 Bijlage: de worpen van opdracht R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

48 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

49 NAKIJKMODEL PRAKTISCHE OPDRACHT REGENWORMEN Opdracht 1 (10 punten) De bedoeling van deze opdracht is dat leerlingen laten zien dat ze het spel enigszins doorhebben. Opdracht 2 (15 punten) De manieren om tegel 36 te kunnen pakken zijn: 1 x 1, 7 x 5/R 8 manieren 1 x 2, 1 x 4, 6 x 5/R 7 manieren 2 x 3, 6 x 5/R 7 manieren 1 x 3, 2 x 4, 4 x 5/R 6 manieren 4 x 4, 4 x 5/R 5 manieren Er zijn in totaal dus 33 manieren om tegel 36 te kunnen pakken De manieren om tegel 24 te kunnen pakken zijn: 4 x 5/R, 1 x 4 5 manieren 4 x 5/R, 1 x 3, 1 x 1 5 manieren 4 x 5/R, 2 x 2 5 manieren 3 x 5/R, 2 x 4, 1 x 1 4 manieren 3 x 5/R, 1 x 4, 1 x 3, 1 x 2 4 manieren 3 x 5/R, 3 x x 5/R, 1 x 4, 1 x 3, 2 x 1 3 x 5/R, 2 x 3, 1 x 2, 1 x 1 3 x 5/R, 1 x 3, 3 x 2 3 x 5/R, 1 x 4, 1 x 2, 3 x 1 3 x 5/R, 2 x 3, 3 x 1 3 x 5/R, 1 x 3, 2 x 2, 2 x 1 3 x 5/R, 4 x 2, 1 x 1 2 x 5/R, 3 x 4, 1 x 2 3 manieren 2 x 5/R, 2 x 4, 3 x 3 3 manieren 2 x 5/R, 3 x 4, 2 x 1 2 x 5/R, 2 x 4, 1 x 3, 1 x 2, 1 x 1 2 x 5/R, 2 x 4, 3 x 2 2 x 5/R, 1 x 4, 3 x 3, 1 x 1 2 x 5/R1 x 4, 2 x 3, 2 x 2 2 x 5/R, 4 x 3, 1 x 2 2 x 5/R, 2 x 4, 1 x 3, 3 x 1 2 x 5/R, 2 x 4, 2 x 2, 2 x 1 2 x 5/R, 1 x 4, 2 x 3, 1 x 2, 2 x 1 2 x 5/R1 x 4, 1 x 3, 3 x 2, 1 x 1 2 x 5/R, 4 x 3, 2 x 1 2 x 5/R, 3 x 3, 2 x 2, 1 x 1 2 x 5/R, 2 x 3, 4 x 2 Er zijn dus in totaal 3 x x x 3 = 100 manieren om tegel 24 te kunnen pakken. Het aantal manieren om tegel 24 te kunnen pakken is dus veel groter dan het aantal manieren om tegel 36 te kunnen pakken. Tussen andere hoge tegels en andere lage tegels zit een vergelijkbaar 47

50 verschil. Dat heeft tot gevolg dat het veel waarschijnlijker is dat je een lage tegel kunt pakken en zijn hoge tegels moeilijk te halen. Opdracht 3 (10 punten) Met de uitgenomen tegels zijn 16 punten gehaald. Er zijn nog 2 dobbelstenen over en alleen 5 ogen en een Regenworm mogen nog gekozen worden. De mogelijkheden voor het uiteindelijke aantal punten zijn dus 16 (geen tegel), 21 en 26. Het aantal manieren om tegel 21 te kunnen pakken zijn: 5 - geen 5/R 4 manieren R - geen 5/R 4 manieren Het aantal manieren om tegel 26 te kunnen pakken zijn: manier 5 - R 1 manier R - R 1 manier Er zijn in totaal dus nog 13 manieren om een tegel te kunnen pakken. Opdracht 4a (5 punten) De speler heeft in ieder geval van elk van R één dobbelsteen uitgenomen. Dat zijn samen 16 punten. Omdat hij precies 19 punten heeft liggen, moeten er nog 3 punten bij. Dat kan met nog drie 1- en, een 1 en een 2, of een 3 erbij: R R R Opdracht 4b (5 punten) R Geen dobbelstenen over: 19 punten R Minimaal 19 punten Maximaal = 23 punten (nog één dobbelsteen over) R Minimaal 19 punten Maximaal x 4 = 27 punten (nog twee dobbelstenen over) Opdracht 5 (15 punten) Met 4 uitgenomen dobbelstenen: R 14 punten Met 5 uitgenomen dobbelstenen: R 15 punten R 17 punten R 19 punten R - R 19 punten Met 6 uitgenomen dobbelstenen: R 16 punten R 18 punten R 20 punten R - R 20 punten R 18 punten R 20 punten 48

51 R 20 punten R - R 20 punten Met 7 uitgenomen dobbelstenen: R 17 punten R 19 punten R 19 punten R 19 punten Met 8 uitgenomen dobbelstenen: R 18 punten R 20 punten R 20 punten R 20 punten R 20 punten Opdracht 6 (15 punten) Er is hier geen eenduidig antwoord mogelijk. Het gaat erom dat de leerlingen laten merken dat ze voldoende nagedacht hebben over de mogelijke keuze naar aanleiding van de eerste worp. Mogelijke overdenkingen zijn hierbij: Wanneer je de R aflegt zijn er nog weinig mogelijkheden om een hoge score te halen. In een volgende beurt met veel Regenwormen kan je deze namelijk niet meer pakken. Wanneer je de twee enen aflegt, hou je de mogelijkheid open voor een beurt met veel 5- en of veel Regenwormen. Maar je heb dan al wel twee stenen gebruikt voor een minimaal aantal punten. Opdracht 7 (25 punten) Hoewel er in de opdracht gevraagd wordt naar de minimale en de maximale score, is de manier van onderzoeken het belangrijkst. Leerlingen moeten enigszins duidelijk maken wat hun aanpak is geweest. Het inleveren van alle kladjes volstaat niet. Natuurlijk zijn de - volgens hen - minimale en maximale score met bijbehorend spelverloop hier een onderdeel van. 49

52 Les 11 Voorbeeld Vraag: Op hoeveel manieren kun je getallen van vier cijfers met de cijfers 5, 6,7 en 8 maken als elk cijfer éénmaal gebruikt wordt? Het antwoord kun je vinden door systematisch te tellen Conclusie: Voor de eerste plaats kun je kiezen uit 4 cijfers. Heb je de eerste plaats ingevuld dan blijven er drie cijfers over. Heb je de tweede plaats ingevuld dan blijven er twee cijfers over. Voor de laatste plaats is er nog 1 cijfer beschikbaar. Antwoord: aantal rangschikkingen = = 24 Opgave 1 Een groep van 10 vrienden gaat een weekend kamperen. Eén van hen reserveert de camping, één regelt het vervoer en een derde doet de inkopen. a. Op hoeveel manieren kunnen deze taken verdeeld worden? b. Op hoeveel manieren kunnen 10 verschillende taken over deze 10 vrienden verdeeld worden? Opgave 2 Martin is de pincode van zijn bankpas vergeten, maar hij weet nog wel dat daarin de cijfers 2, 5, 8 en 9 voorkomen. a. Hoeveel pincodes zijn er met deze cijfers? b. Hoeveel van deze pincodes beginnen met een 5? 50

53 Wat nu als we niet verschillende cijfers gebruiken maar cijfers die twee keer hetzelfde zijn? Voorbeeld Vraag: Op hoeveel manieren kun je getallen van vier cijfers met de cijfers 5, 6,7 en 8 maken als een cijfer tweemaal gebruikt wordt? Als je bijvoorbeeld in het schema hierboven de 8 vervangt door nóg een 7: Al gauw wordt duidelijk dat elk getal nu tweemaal voorkomt omdat de twee zevens in het schema 2 rangschikkingen hebben en een andere rangschikking van de zevens geen ander getal oplevert. Het aantal rangschikkingen van vier cijfers waarvan er twee hetzelfde zijn is Antwoord: aantal rangschikkingen = = 12 2 Wat nu als we niet vier verschillende cijfers gebruiken maar vier cijfers waarvan er drie hetzelfde zijn; als je bijvoorbeeld in het schema hierboven ook de 6 vervangt door nóg een 7. Het is duidelijk dat er dan maar 4 verschillende getallen mogelijk zijn, namelijk 5777, 7577, 7757 en Alleen een andere plaats van de 5 maakt het getal anders. Bij dit soort eenvoudige voorbeelden is het doenlijk om gewoon te tellen en vaak is dat ook de beste manier. Om een regel op te stellen voor permutaties van meer symbolen kijken we nog even naar het schema waarbij we de 6 nu ook vervangen door een 7: Er blijven 4 verschillende getallen over, namelijk 5777, 7577, 7757 en De 3 gelijke symbolen zorgen ervoor dat ieder getal nu zesmaal voorkomt. Het aantal verschillende rangschikkingen is dus = 4. Het lijkt wat omslachtig, maar toch geeft dit ons een manier 6 om lastige vraagstukken efficiënt aan te pakken. 51

54 Voorbeeld Vraag: Op hoeveel manieren kun je met vier dobbelstenen in totaal 18 ogen gooien? Tel systematisch. Berekening Het antwoord is overzichtelijk in onderstaande tabel terug te vinden. Bedenk daarbij dat het aantal mogelijke rangschikkingen van 4 cijfers wanneer deze twee aan twee hetzelfde zijn gelijk is aan = 6. Zo heb je bijvoorbeeld met 2 zessen maar 12 verschillende rangschikkingen, maar 2 2 zorgen de 2 drieën opnieuw voor dubbelen. 6,6,5,1 12 keer 6,6,4,2 12 keer 6,6,3,3 6 keer 6,5,5,2 12 keer 6,5,4,3 24 keer 6,4,4,4 4 keer 5,5,5,3 4 keer 5,5,4,4 6 keer TOTAAL 80 keer Opgave 3 a. Laat zien dat het aantal rangschikkingen van de cijfers 6, 6, 3 en 3 inderdaad gelijk is aan 6. b. Laat zien dat het aantal rangschikkingen van de cijfers 6, 6, 5 en 1 inderdaad gelijk is aan 12. c. Waarom is het aantal rangschikkingen van 6, 5, 4 en 3 gelijk aan 24?. Opmerking: In de bovenstaande tabel is de strategie om de getallen te noteren van hoog naar laag om te voorkomen dat er dubbelen ontstaan. Door van achteruit de getallen op te hogen tot het niet verder kan, weet je zeker dat je geen mogelijkheden over het hoofd ziet. Het Mississippi model In de vorige paragraaf heb je geoefend met rijtjes symbolen. Een andere rangschikking levert een ander rijtje. Het aantal verschillende rijtjes van n verschillende symbolen wordt in de wiskunde genoteerd als n!, dus als een n met een uitroepteken en je spreekt dit uit als n faculteit. Je vindt het faculteitsteken in je rekenmachine in het menu Kansen. Je hebt een voorbeeld gezien van 4 verschillende symbolen. In totaal leverde dat 4! = = 24 verschillende rijtjes. Vervolgens heb je gezien dat het aantal snel minder wordt als er in het rijtje gelijke symbolen voorkomen. 5, 6, 7 en 8 geven 24 verschillende rangschikkingen, maar 5, 7, 7 en 7 geeft maar 4 verschillende rangschikkingen omdat de drie 7 s ervoor zorgen dat elk verschillend rijtje 3! = = 6 keer voorkomt in de 24 rangschikkingen. 4! 24 Het aantal verschillende rijtjes is daarom maar = = 4. 3! 6 Als je dit begrijpt, is de stap niet meer zo groot naar een regel om dit soort berekeningen te maken. Een beetje populaire benaming voor deze regel is het Mississippi model. 52

55 Voorbeeld Vraag: Hoeveel verschillende rijtjes kun je maken met de letters van het woord Mississippi? Berekening Er zijn 11 letters zijn en dus 11! rangschikkingen, oftewel = rijtjes. Hier zitten echter veel dubbele rijtjes tussen waardoor het aantal verschillende rijtjes veel kleiner is. Er zijn 4 i s, 4 s- en en 2 p s, waardoor het aantal verschillende rijtjes eerst 24, dan nog eens 24 en dan nog eens tweemaal zo klein wordt. Antwoord: Het aantal verschillende rijtjes van de letters van het woord Mississippi is 11! aantal = = = !4!2! Het is handig als je volgende faculteiten uit je hoofd weet: 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 Opgave 4 a. Schrijf alle rangschikkingen op van het woord DOP b. Schrijf alle rangschikkingen op van het woord POP c. Waarom is het aantal rangschikkingen (permutaties) van het woord POP niet gelijk aan 3!? Opgave 5 Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord a. ANNAMARIA b. ELLEMIEKE c. TELEVISIETOESTEL d. KANARIEPIETJE Opgave 6 Vroeger gaven schepen signalen door met behulp van vlaggen. Neem aan dat een signaal door een rij van 10 vlaggen gegeven wordt en dat er van die 10 vlaggen vier rood, drie blauw en drie wit zijn. Hoeveel verschillende signalen kun je dan geven? 53

56 Uitwerkingen les 11 Opgave 1 a. aantal = = 720 b. aantal = = Opgave 2 a. aantal = = 24 b. aantal = = 6 (voor de eerste stap maar 1 mogelijkheid) Opgave 3 a of 6363 of 6336 of 3663 of 3636 of 3366 b of 6615 of 6561 of 6516 of 6165 of 6156 of 5661 of 5616 of 5166 of 1665 of 1656 of 1566 c. aantal = = 24 Opgave 4 a. DOP of POD of ODP of OPD of PDO of DPO b. POP of OPP of PPO c. als de D een P wordt, komt elke volgorde 2 keer voor. Het aantal volgordes is daarom 3. Opgave 5 9! 9! a. aantal = = 7560 of aantal = = ! 2! 4! 2! 111!!! ANNAMARIA: 9 letters, waarvan 4 keer A en 2 keer N 9! 9! b. aantal = = 7560 of aantal = = !2! 4! 2! 111!!! ELLEMIEKE: 9 letters, waarvan 4 keer E en 2 keer L 16! 16! c. aantal = = of aantal = = ! 3! 2! 2! 2! 5! 3! 2! 2! 2! 11!! TELEVISIETOESTEL: 16 letters, waarvan 5 keer E, 3 keer T, 2 keer L,I en S 13! 13! d. aantal = = of aantal = = ! 2! 2! 3! 2! 2! !!!!!! KANARIEPIETJE: 13 letters, waarvan 3 keer E, 2 keer A en I Opgave 6 10! aantal rangschikkingen = = !3!3! 54

57 Les 12 Opgave 1 Hierboven staan negen punten getekend. We willen drie punten met elkaar verbinden zodat we een driehoek krijgen. Op hoeveel manieren kan dat? Hoeveel verschillende vierhoeken kunnen we maken door vier van de punten in een 3 bij 3 grid te verbinden? Hoeveel vierhoeken kun je maken in een a bij b grid? Hierboven zijn de 21 punten op de cirkel met elkaar verbonden. De verbindingen vormen driehoeken. Hoeveel driehoeken kun je op deze manier maken? 55

58 Opgave 2 Hoeveel verschillende woorden kun je maken die de onderstaande 7 letters bevatten? A A A B B C C Een vogelwachter heeft, om mussen te ringen, de keuze uit vijf soorten ringetjes. Hij mag per poot niet meer dan één ringetje bevestigen. Hoeveel verschillende manieren van ringen heeft hij? We hebben tot onze beschikking over veel briefjes van 5, 10 en 20 euro. Op hoeveel manieren kun je 50 euro betalen met de briefjes? Je hebt doosjes met 1, 2, 3 of 4 knikkers er in, van elk soort meer dan genoeg. Je wilt aan kinderen ieder 10 doosjes geven met in totaal 16 knikkers, zó dat elk kind een andere combinatie krijgt. Wat is het grootste aantal kinderen waarvoor dat lukt? 56

59 Opgave 3 Het spel MOZAA bevat gekleurde kaartjes die zijn gekleurd met vier verschillende kleuren. Hoeveel verschillende kaartjes kun je maken? De velden van een 4 4- bord worden wit of zwart gekleurd. Naast elke rij en onder elke kolom staat aangegeven hoeveel velden in die rij of kolom zwart moeten zijn. Op hoeveel manieren kan het bord gekleurd worden? 57

60 Opgave 4 Iemand wil een kubus verven. Hij heeft twee potten verf: rood en blauw. Elk zijvlak van de kubus moet één kleur krijgen (niet mengen). Op hoeveel manieren kan dat? (Kleuringen die alleen verschillen in de stand van de kubus worden als één mogelijkheid geteld.) Van een trap met 15 treden wordt elke trede blauw of geel geverfd, waarbij geen twee opeenvolgende treden beide blauw mogen zijn. Op hoeveel manieren kan de trap geverfd worden? Opgave 5 De volleybalclub math bestaat uit twaalf leden: vijf meisjes en zeven jongens. Op trainingsavonden worden oefenpartijen gespeeld: bij elke partij wordt de club opgesplitst in twee zestallen: aan elke kant van het net één zestal. Hoeveel opsplitsingen zijn er waarbij geen van beide zestallen alle meisjes bevat? Het stratenplan van een stad ziet eruit zoals hieronder geschetst is. Iemand wandelt elke morgen van zijn huis bij A naar zijn werk bij B, en wel zonder omwegen, dus op elk moment naar het noorden of naar het oosten. Hij heeft daarbij de keus uit een groot aantal routes, waarvan er één getekend is. Op een ochtend zijn de kruispunten die op het stratenplan met een kringetje gemerkt zijn, geblokkeerd. Uit hoeveel routes kan hij nu nog kiezen? 58

61 Uitwerkingen les 12 Opgave 1 Uitwerking Je zult misschien eerst proberen de driehoeken handmatig te tellen. Na wat tijd daaraan verspild te hebben, bedenk je dat dat niet werkt. Maar een driehoek heeft gewoon drie verschillende punten die niet op e en lijn liggen. Je moet dus berekenen hoeveel van zulke drietallen punten er in de figuur te vinden zijn. Voor het eerste punt van de driehoek zijn er 9 mogelijkheden, voor het tweede punt 8 en voor het derde punt 7, dus zijn er = 504 mogelijkheden om een eerste, een tweede en een derde punt te kiezen. Maar als je de punten van een driehoek verwisselt blijft het dezelfde driehoek, dus hebben we elk mogelijk drietal = 6 keer geteld. Er zijn dus maar 504/6 = 84 verschillende manieren om drie punten te kiezen. Maar drie punten zijn geen driehoek als ze op e en lijn liggen. In het rooster liggen bij 8 van de 84 drietallen de punten op e en lijn: drie horizontaal, drie verticaal en twee diagonaal. Er zijn dus 84 8 = 76 driehoeken te vinden. Opgave 2 Stel dat we 7 verschillende blokjes hebben, dan hebben we voor het neerleggen van het eerste blokje 7 mogelijkheden, voor het tweede blokje 6, enzovoort. Dan kunnen we in totaal woorden maken (dit noteren we ook wel met 7!). Alleen is in dit geval het probleem dat niet alle letters verschillend zijn (dus alle woorden zijn ook niet verschillend). Allereerst kijken we naar de B. In het woord komt de B twee keer voor. We kunnen deze twee blokjes op 2! (= 2 1) manieren neerleggen zonder het woord te veranderen. We tellen elke oplossing dus 2! keer. Op dezelfde wijze geldt dat we door de C elke oplossing ook 2! keer tellen en door de A zelfs 3! keer. We tellen elke oplossing dus 2! 2! 3! = = 24 keer. Het aantal verschillende oplossingen is dan 7!/24 = 5040/24 = 210. De vogelwachter mag 1 of 0 ringetjes plaatsen aan de linker- of rechterpoot. Voor de linkerpoot zijn er dus 6 mogelijkheden en voor de rechterpoot ook. Maar geen enkele ring om beide poten mag niet. Dus in totaal 6 x 6-1 = 35 mogelijkheden. 50 = 10 x 5 (1 mog) 8 x 5, 1 x 10 ( 9!/8!=9 mog) 6 x 5, 2 x 10 (8!/(2!x6!) 6 x 5, 1 x 20 (7 mog) 4 x 5, 3 x 10 (7!/(4!x3!) 4 x 5, 1 x 20, 2 x 10 (7!/(4!x1!x2!) 2 x 5, 4 x 10 (6!/(2!x4!) 2 x 5, 2x10, 1x20 (5!/(2!x2!x1!) 2 x 5, 2x20 ( 4!/(2!x2!) 5 x 10 (1 mog) 3 x 10, 1x20 (4 mog) 1x10, 2X20 (3 mog) In ieder doosje zit minstens één knikker. We hebben nog 6 extra knikkers te verdelen. Dat moet z o dat een doosje niet meer dan 3 extra knikkers bevat. We moeten dus kijken op welke manieren we 6 kunnen schrijven als som van getallen 1, 2 of 3. De volgorde van de termen doet er niet toe. We schrijven de aantallen in dalende volgorde op: 59

62 3 + 3, , , , , , Totaal 7 mogelijkheden. Opgave 3 4x4x4x4/4 = 64, want er zijn steeds vier kaartjes hetzelfde. Merk eerst op dat alle vakjes in de tweede rij en in de tweede kolom wit gekleurd moeten zijn. We bekijken twee gevallen, afhankelijk van de kleur van het vakje linksboven. Als dit vakje wit is, moeten de laatste twee vakjes in de eerste rij en kolom zwart zijn. Dit legt de kleuring vast. Zie de bovenste figuur. Als dit vakje zwart is, moet in de eerste kolom en in de eerste rij elk nog één vakje zwart gekleurd worden. Voor elk van de 2 2 = 4 keuzes is er precies één oplossing. Er is dan namelijk nog één rij en één kolom die een zwart vakje mist. Het vakje in die rij en kolom moet dus zwart worden en de rest wit, zie de onderste vier figuren. Opgave 4 10 en 1597 (maak bij de opgave over de trap eerst ene trap met veel minder treden) Opgave 5 Opsplitsingen liggen vast door één van beide zestallen aan te geven. Er zij12!/(6!x6!)=924 groepjes van zes. Hiervan vallen diegenen af waarbij in een zestal slechts één jongen zit en ook die waarbij in een zestal zes jongens zitten. Dat zijn er 7 respectievelijk 7. Er zijn daarom 910 groepjes van zes, dus daar de helft van is 455 opsplitsingen. We schrijven bij elk kruispunt K het aantal routes zonder omwegen van A naar K. Dit aantal is gelijk aan de som van het aantal routes waarvan het laatste stuk naar het oosten loopt, en het aantal routes waarvan het laatste stuk naar het noorden loopt. Het aantal is dus gelijk aan de som van het aantal routes naar het kruispunt onmiddellijk westelijk van K, en het aantal routes naar het kruispunt onmiddellijk zuidelijk van K. Daarbij moet het aantal routes naar zo n voorgaand kruispunt als nul worden gelezen als dat kruispunt geblokkeerd is (aangegeven door een kringetje) of 60

63 dat kruispunt zuidelijker of westelijker dan A ligt Dat leidt tot het volgende diagram Het antwoord is dus 486. Er valt nog op te merken dat de getallen langs de diagonaal van A naar B een eenvoudig patroon volgen: die getallen zijn van de vorm 2 3^n. 61