Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten Sommen van twee kwadraten

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1 modulo 4. De reden is simpel, er geldt dat a 2 b 2 (mod p). Het getal b kan niet deelbaar door p zijn, anders zou a dat ook zijn. Vermenigvuldig nu aan beide zijden met de inverse van b 2 (mod p) en we zien dat (ab 1 ) 2 1 (mod p). Met andere woorden, 1 is kwadraatrest modulo p en dus p 1 (mod 4). Verder experimenteren brengt aan het licht dat ieder priemgetal, gelijk aan 1 modulo 4, geschreven kan worden als som van twee kwadraten. Dat een getal als som van twee kwadraten geschreven kan worden is niet vanzelfsprekend. Bij een getal dat 3 (mod 4) is kan dat bijvoorbeeld niet. Daarentegen bleek dat wel elk getal getal te schrijven is als som van vier kwadraten. Dit was reeds in de oudheid geconstateerd, maar pas in 1770 voor het eerst door Lagrange bewezen werd. We merken hierbij op dat 0 2 in ons verhaal ook als kwadraat gezien wordt. Problemen van deze soort vormen de inhoud van dit hoofdstuk. Allereerst behandelen we sommen van twee kwadraten. Stelling (Fermat) Zij p een priemgetal zó dat p 1 (mod 4). Dan zijn er a, b Z zó dat p = a 2 + b 2. Voor deze stelling zijn een groot aantal bewijzen in omloop. We geven hier een iets minder gangbare die gebruik maakt van het zogenaamde hokjesprincipe of ladenprincipe. Dit principe zegt dat als we M + 1 voorwerpen verdelen over hoogstens M hokjes, minstens één van die hokjes twee of meer voorwerpen zal bevatten. Een iets andere formulering, die wij zullen gebruiken, zegt dat als we M + 1 getallen verdelen over een gesloten interval ter lengte L, er minstens twee getallen op afstand L/M van elkaar komen te liggen. De hokjes die we in dit geval gebruiken zijn M intervallen, elk van lengte L/M. Allereerst, klopt de stelling voor p = 5 want 5 = We nemen nu aan dat p

2 104 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN Omdat p 1 (mod 4) bestaat er een getal x 0 zó dat x (mod p). Beschouw nu de verzameling {ax 0 (mod p) a = 0, 1, 2,..., [ p]} waarin we de resten ax 0 (mod p) in het interval [0, p 1] gelegd denken. We hebben [ p] + 1 resten in dit interval. Dat betekent volgens het hokjesprincipe dat er a 1, a 2 zijn met 0 a 1 < a 2 [ p] en afstand tussen a 2 x 0 (mod p) en a 1 x 0 (mod p) kleiner of gelijk aan (p 1)/[ p] < (p 1)/( p 1) = p + 1. Stel α = a 2 a 1. Dan geldt 0 < α < p en de restklasse αx 0 (mod p) bevat een element dat tussen p 1 en p + 1 ligt. Noem dit element β. Dan geldt, α 2 + β 2 α 2 + (αx 0 ) 2 α 2 (1 + x 2 0) 0 (mod p) Met andere woorden, α 2 + β 2 is deelbaar door p. Anderzijds weten we dat α < p en β < p + 1. Dus α 2 + β 2 < 2p + 2 p + 1 < 3p. De laatste ongelijkheid geldt omdat p 13. De enige veelvouden van p kleiner dan 3p zijn p en 2p. Dus ofwel α 2 + β 2 = p, in welk geval we klaar zijn, ofwel α 2 + β 2 = 2p. Echter in het laatste geval moeten α, β beiden even of beiden oneven zijn. Maar dan zijn ook (α + β)/2 en (α β)/2 geheel en er geldt ((α + β)/2) 2 + ((α β)/2) 2 = (α 2 + β 2 )/2 = p. Dus ook in dit geval is p som van twee kwadraten. Het is zelfs mogelijk om precies te zeggen op hoeveel manieren een getal geschreven kan worden als som van twee kwadraten. We zullen hier niet al te diep op ingaan maar wel de stelling vermelden. Stelling Zij n N en r 2 (n) het aantal oplossingen x, y Z van n = x 2 + y De funktie r 2 (n)/4 is multiplikatief, dat wil zeggen als ggd(m, n) = 1 dan geldt r 2 (mn)/4 = (r 2 (m)/4)(r 2 (n)/4). 2. Zij p priem en k N. Dan geldt, r 2 (p k ) 4 k + 1 als p 1 (mod 4) 0 als p 3 (mod 4), k oneven = 1 als p 3 (mod 4), k even 1 als p = 2

3 12.1. SOMMEN VAN TWEE KWADRATEN 105 Allereerst zien we dat r 2 (n) altijd deelbaar door vier is. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat oplossingen altijd in viertallen voorkomen. Naast elke oplossing (x, y) van n = x 2 + y 2 hebben we namelijk ook de oplossingen ( x, y), ( y, x) en (y, x). We laten het aan de lezer over om na te gaan dat dit inderdaad vier verschillende oplossingen zijn, mits n 0. Uiteraard hebben we ook nog de oplossingen (y, x), ( y, x), ( x, y), (x, y) maar deze zijn niet noodzakelijk verschillend van (x, y). De genoemde acht oplossingen zijn echt verschillend als xy 0 en x y. Als n dus geen kwadraat en niet tweemaal een kwadraat, dan komen de oplossingen van n = x 2 + y 2 in 8-tallen voor. Teneinde bovenstaande stelling iets beter te begrijpen, zullen we laten zien hoe we alle oplossingen van de vergelijking n = x 2 + y 2 kunnen vinden voor gegeven n. Hiertoe maken we, met excuus aan degenen die er niet bekend mee zijn, gebruik van de complexe getallen a + bi met i 2 = 1. In het bijzonder gebruiken we de gehele getallen van Gauss, dat zijn complexe getallen waarvan reëel en imaginair deel geheel zijn. De belangrijke opmerking die we willen maken is dat n = x 2 + y 2 op hetzelfde neerkomt als n = (x + yi)(x yi). Met andere woorden, elke schrijfwijze van n als som van twee gehele kwadraten is hetzelfde als n schrijven als product van een getal van Gauss met zijn geconjugeerde. We beperken onze uitleg tot een voorbeeld, n = De priemontbinding ziet eruit als n = Volgens onze stelling geldt r 2 (n) 4 = r 2(3 2 ) 4 r 2 (5 2 ) 4 r 2 (541) r 2 (829) = Dus r 2 (n) = 48. Boven merkten we al op dat als n = a 2 +b 2, dan ook n = (±a) 2 + (±b) 2 = (±b) 2 + (±a) 2. Omdat 48 geen kwadraat of tweemaal een kwadraat is, zijn deze acht oplossingen ook verschillend. Onder elk achttal oplossingen a, b komt er één voor met a > b > 0. Onder deze voorwaarde verwachten we nu 48/8 = 6 wezenlijk verschillende oplossingen. Eerst pakken we de factor 3 aan. Omdat 3 een deler is van n = a 2 + b 2 en 3 1 (mod 4) geldt dat 3 een deler is van a en b. Dus n/9 = (a/3) 2 + (b/3) 2. Het is dus voldoende om m = n/9 = als som van twee kwadraten te schrijven. We gebruiken hiertoe de gehele getallen van gauss. Merk op dat Dus 5 = = (1 + 2i)(1 2i) 541 = = ( i)(21 10i) 829 = = ( i)(27 10i) m = (1 + 2i) 2 (1 2i) 2 ( i)(21 10i) ( i)(27 10i). Van elk paar geconjugeerde factoren in dit product kiezen we er één uit. Bijvoorbeeld (1 + 2i) 2 ( i)( i) = i

4 106 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN De overige factoren geven uiteraard de complex geconjugeerde, En dus, (1 2i) 2 (21 10i)(27 10i) = i. m = ( i)( i) = De lijstje mogelijkheden om complexe factoren van m te kiezen luidt, (1 + 2i) 2 ( i)( i) = i (1 + 2i)(1 2i)( i)( i) = i (1 2i) 2 ( i)( i) = i (1 + 2i) 2 (21 10i)( i) = i (1 + 2i)(1 2i)(21 10i)( i) = i (1 2i) 2 (21 10i)( i) = i en een even grote lijst van alle complex geconjugeerde produkten. We schrijven deze echter niet op omdat ze dezelfde sommen van kwadraten opleveren. We vinden dus uiteindelijk, m = = = = = = = De oplossing van n = 9m = = x 2 + y 2 volgt door bovenstaande sommen aan beide zijden met 3 2 te vermenigvuldigen. Samenvattend kunnen we zeggen dat we het probleem om n = x 2 + y 2 hebben teruggebracht tot de problemen om n in priemfactoren te ontbinden en om een priemgetal te schrijven als som van twee kwadraten. Het probleem om een getal in factoren te ontbinden staat, voor zeer grote getallen, als uiterst moeilijk bekend. Voor het probleem om een priemgetal als som van twee kwadraten te schrijven is er daarentegen een zeer snel algoritme beschikbaar in de vorm van Cornacchia s algoritme. Zie hiervoor Stelling Tenslotte vermelden we nog een heel aardige formule die afgeleid kan worden als men wat van reductie van kwadratische vormen weet, Stelling (Jacobi, 1828) Voor elke n N geldt, r 2 (n) = 4 ( 1) d 1 2. d n,d oneven 12.2 Sommen van vier kwadraten Het verschijnsel dat elk natuurlijk getal geschreven kan worden als som van vier kwadraten (waarbij 0 2 ook als kwadraat gezien wordt) is vaak opgemerkt in de geschiedenis van de getaltheorie. Maar pas in 1770 kwam Lagrange met een goed bewijs ervoor.

5 12.2. SOMMEN VAN VIER KWADRATEN 107 Stelling (Lagrange, 1770) Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als som van vier kwadraten. Hierbij wordt 0 2 ook als kwadraat gezien. Voor het bewijs gebruiken we de volgende opmerkelijke identiteit van Euler die zegt dat (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) gelijk is aan (aa + bb + cc + dd ) 2 + (ab ba + cd dc ) 2 + +(ac bd ca + db ) 2 + (ad + bc cb da ) 2 In het bijzonder volgt hieruit dat als m en n geschreven kunnen worden als som van vier kwadraten, dan is mn ook som van vier kwadraten. Voor het bewijs van de stelling van Lagrange is het dus voldoende om de stelling aan te tonen voor priemgetallen. Zij p een oneven priemgetal, die we als som van vier kwadraten willen schrijven. We laten eerst zien dat er een m N is zó dat mp som van vier kwadraten is. Beschouw hiertoe de restklassen x (mod p) voor x = 0, 1,..., (p 1)/2 en de restklassen y 2 (mod p) voor y = 0, 1,..., (p 1)/2. Elk van deze verzamelingen bevat (p+1)/2 verschillende elementen. Dat is samen p+1, één meer dan er restklassen modulo p zijn. Dus hebben de twee verzamelingen een gemeenschappelijk element. Dat wil zeggen, er zijn x, y te vinden met 0 x, y (p 1)/2 zó dat x y 2 (mod p). Met andere woorden, er is een m zodat x 2 + y = mp. Bovendien, omdat 0 x, y < p/2, geldt m < p. Zij nu m het kleinste natuurlijke getal zo dat mp som van vier kwadraten is. We willen natuurlijk laten zien dat m = 1. In dat geval hebben we p als som van vier kwadraten geschreven en zijn we klaar. mp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2. (12.1) We weten trouwens al dat m < p. Kies nu m/2 < A, B, C, D m/2 zó dat a A (mod m), b B (mod m), c C (mod m), d D (mod m). Dan geldt, A 2 + B 2 + C 2 + D 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 mp 0 (mod m). Gevolg, A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = mr, r 0 (12.2) waarin r = (A 2 + B 2 + C 2 + D 2 )/m (4 (m/2) 2 )/m = m. Dus 0 r m. We onderscheiden nu de mogelijkheden r = 0, r = m en 0 < r < m. Stel eerst r = 0. Dan moeten A, B, C, D allen nul zijn en dus a, b, c, d deelbaar door m. Gevolg, mp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 is deelbaar door m 2 en dus p deelbaar door m. Omdat m < p volgt hieruit dat m = 1 en zijn we klaar. Stel nu r = m. Dit kan alleen maar als A, B, C, D maximaal zijn, dat wil zeggen gelijk aan m/2. Dus, bijvoorbeeld, a m/2 (mod m), ofwel, a = m/2 + ma 1

6 108 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN voor zekere gehele a 1. Merk nu op dat a 2 = (m/2) 2 + m 2 a 1 + m 2 a 2 1 en dus, a 2 (m/2) 2 (mod m 2 ). Een zelfde opmerking geldt voor b, c, d. Gevolg, mp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4 (m/2) 2 0 (mod m 2 ). Dus m 2 deelt mp en m deelt p. Omdat m < p volgt wederom dat m = 1. Nu het geval 0 < r < m. Dit is de grote stap in ons bewijs. Vermenigvuldig gelijkheden ((12.1) en ((12.2) en gebruik Euler s identiteit. We vinden, mp mr = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(A 2 + B 2 + C 2 + D 2 ) = α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 (12.3) waarin, α = aa + bb + cc + dd a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 (mod m) β = ab ba + cd dc ab ba + cd dc 0 (mod m) γ = ac ca + db bd ac ca + db bd 0 (mod m) δ = ad da + bc cb ad da + bc cb 0 (mod m) We zien dus dat m een deler is van alle getallen α, β, γ, δ. Na deling door m 2 aan beide zijden van ((12.3) houden we over, rp = (α/m) 2 + (β/m) 2 + (γ/m) 2 + (δ/m) 2. Dus rp is ook een som van vier kwadraten. Bovedien was gegeven dat 0 < r < m. Dit laatste is echter in tegenspraak met de minimaliteit van onze keuze van m. We concluderen dat dit geval niet kan optreden. De eindconclusie luidt daarmee dat m = 1, hetgeen w ewilden hebben. Het is zelfs bekend op hoeveel manieren een getal als som van vier kwadraten geschreven kan worden. We vermelden hier alleen de stelling. Het bewijs ervan maakt gebruik van zogenaamde modulaire vormen, een onderwerp dat helaas buiten het bestek van dit boek valt. Stelling (Jacobi,1829) Zij n N dan heeft de vergelijking n = x x x x 2 4 in x 1, x 2, x 3, x 4 Z precies 8 d d n,d 0 (mod 4) oplossingen.

7 12.3. VARIATIES OP SOMMEN VAN KWADRATEN Variaties op sommen van kwadraten Het zal misschien opgevallen zijn dat we het nog niet over sommen van drie kwadraten gehad hebben. In vergelijking met twee en vier kwadraten is dit probleem een stuk lastiger aan te pakken. In ieder geval kan niet elk getal geschreven worden als som van drie kwadraten. We weten namelijk dat een kwadraat modulo 8 altijd gelijk is aan 0, 1 of 4. Met drie van deze resten is het niet mogelijk de rest 7 als som te krijgen. Dat betekent dus dat getallen, die 7 (mod 8) zijn, geen som van drie kwadraten kunnen zijn. Verder, als n deelbaar is door vier en n = a 2 +b 2 +c 2 dan moeten a, b, c elk even zijn. Dus n/4 = (a/2) 2 + (b/2) 2 + (c/2) 2. Gevolg, als n som van drie kwadraten is en deelbaar door 4 dan is n/4 ook som van drie kwadraten. Omgekeerd betekent dit dat een getal van de vorm 4(8k+7) geen som van drie kwadraten kan zijn, omdat 8k + 7 dat niet is. Evenzo kunnen getallen van de vorm 4 l (8k + 7) geen som van drie kwadraten zijn. We hebben dus laten zien, Stelling Zij n N en van de vorm 4 l (8k + 7) met k, l Z 0. Dan is n geen som van drie kwadraten. De complementaire uitspraak dat ieder getal niet van bovenstaande vorm wel som van drie kwadraten is, is veel lastiger te bewijzen. Stelling (Gauss) Elk natuurlijk getal, niet van de vorm 4 l (8k + 7) met k, l Z 0 is te schrijven als som van drie kwadraten. Uit deze stelling leiden we een opmerkelijk resultaat van Gauss af, dat over driehoeksgetallen gaat. De rij driehoeksgetallen begint met 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21,... en wordt gekenmerkt door het feit dat het verschil tussen opeenvolgende getallen steeds met 1 toeneemt. De naam driehoeksgetallen volgt uit de volgende ilustratie van driehoeksgetallen, De algemene formule voor driehoeksgetallen luidt n(n + 1)/2 voor n = 1, 2, 3,.... Hier is Gauss resultaat voor de driehoeksgetallen. Gevolg Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als som van drie driehoeksgetallen (d.w.z. getallen van de vorm n(n + 1)/2).

8 110 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN Stel we willen n als som van driehoeksgetallen schrijven. Schrijf hiertoe eerst 8n + 3 als som van drie kwadraten, 8n + 3 = a 2 + b 2 + c 2. Omdat kwadraten modulo 8 gelijk zijn aan 0, 1 of 4, volgt dat a, b, c alle drie oneven zijn. Stel a = 2p+1, b = 2q+1, c = 2r+1. Dan geldt 8n+3 = 4(p 2 +p)+4(q 2 +q)+4(r 2 +r)+3. Na wegstrepen van 3 en deling door 8 volgt, n = p(p + 1) 2 + q(q + 1) 2 + r(r + 1). 2 Om met Gauss te spreken, EUREKA: num = + +!! De rij kwadraten past ook in een zelfde soort patroon als de driehoeksgetallen. Merk op dat de rij 0, 1, 4, 9, 16, 25,... gekenmerkt wordt door het feit dat het verschil tussen opvolgende getallen steeds met 2 toeneemt (controleer maar en bewijs het!). Ook is er een illustratieve voorstelling, We kunnen de kwadraten dus opvatten als vierhoeksgetallen en Lagrange s stelling zou cryptisch kunnen worden samengevat met EUREKA: num = + + +!! Evenzo hebben we de vijfhoeksgetallen de zeshoeksgetallen 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145,... 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190,... etcetera. In deze gevallen kunnen we ook plaatjes tekenen zoals boven, maar ik vind ze lang niet zo mooi als voor drie- en vierhoeksgetallen. De algemene formule voor k-hoeksgetallen luidt (k 2) n(n 1) + n. De volgende stelling werd 2 vermoed door Fermat, maar pas in 1825 bewezen door Cauchy. Stelling (Cauchy, 1825) Elk natuurlijk getal is te schrijven als som van k k-hoeksgetallen. Het geval k = 3 komt overeen met Gevolg , het geval k = 4 met Stelling Een iets andere variant op bovenstaande problemen is vanaf Euler s tijd uitgebreid bestudeerd. De vormen x 2 + y 2 en x 2 + y 2 + z 2 + u 2 zijn voorbeelden van

9 12.3. VARIATIES OP SOMMEN VAN KWADRATEN 111 kwadratische vormen. Dat zijn homogene polynomen van graad twee. Het aantal variabelen kan willekeurig groot zijn. Voorbeelden zijn x 2 3y 2, x 2 + 5y 2, x 2 + xy y 2 + z 2, x 2 + 2y 2 + 2z 2 + yz + yu 3uz + u 2,... Zij nu F (x 1,..., x k ) zo n kwadratische vorm. We kunnen ons afvragen welke getallen n te schrijven zijn in de vorm n = F (x 1,..., x k ) met x 1,..., x k Z. Anders gezegd, welke getallen worden door F (x 1,..., x k ) gerepresenteerd? Nu kan één gek altijd meer vragen dan tien getaltheoretici kunnen beantwoorden en bij veel vragen weet men het antwoord ook niet. Echter, een vraag wordt pas echt interessant als we weten dat er ook een interessant antwoord is. In het geval van representatie van getallen door kwadratische vormen blijkt zelfs in het geval van twee variabelen (k = 2) het antwoord interessant. Het kan als toegangsweg gebruikt worden tot de zogenaamde klassenlichamen theorie, een geavanceerd onderwerp uit de algebraïsche getaltheorie. Er is zelfs een heel boek aan gewijd dat recent is verschenen, zie [Cox]. In het geval van twee of drie variabelen kunnen we niet verwachten dat een kwadratische vorm alle natuurlijke getallen representeert. Voor vier of meer variabelen wordt de kans op die mogelijkheid groter. Zo stelde Ramanujan (1917) zich de vraag voor welke waarden van a, b, c, d N met a b c d elk natuurlijk getal door ax 2 + by 2 + cz 2 + du 2 gerepresenteerd kan worden. Als a 2 dan gaat het al niet, want 1 kan niet gerepresenteerd worden. Anderzijds weten we voor a = b = c = d = 1 dat het inderdaad kan. Ramanujan ontdekte dat er nog 54 andere mogelijkheden bestonden en gaf daarvan de complete lijst. Onder die lijst bevindt zich bijvoorbeeld het geval a = 1, b = 2, c = 2, d = 5. Dat wil zeggen dat elk natuurlijk getal in de vorm x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 5u 2 geschreven kan worden met x, y, z, u geheel. Recent ontdekte John Conway de volgende zeer opmerkelijke stelling. Stelling (Conway,Schneeberger 1993) Zij F (x 1,..., x k ) een even positief definiete kwadratische vorm met gehele coëfficienten. Als F de getallen n = 1, 2,..., 15 representeert, dan representeert F alle natuurlijke getallen. Een kwadratische vorm heet positief definiet als F (x 1,..., x k ) > 0 voor alle keuzen van x 1,..., x k R behalve x 1 = = x k = 0. De vorm (x y) 2 is bijvoorbeeld niet positief definiet. Er geldt weliswaar (x y) 2 0 voor alle x, y, maar we willen (x y) 2 > 0 voor alle x, y met (x, y) (0, 0). De vormen x 2 + y 2 en x 2 xy + y 2 zijn daarentegen wel positief definiet. De kwadratische vorm F (x 1,..., x k ) heet even als de coëfficient van x i x j even is voor elk paar i, j met i j. Zouden we deze eis niet hebben, dan moet het getal 15 in de Stelling vervangen worden door een veel groter getal. We zouden nu Stelling kunnen bewijzen door te verifiëren dat 1, 2, 3,..., 15 geschreven kunnen worden als som van vier kwadraten. Dit is echter enigszins bedriegeljk, omdat het bewijs van Conway zwaar leunt op stellingen van het type

10 112 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN en Wel is het nu mogelijk om met behulp van Conway s stelling en een flinke portie geduld de lijst vormen ax 2 + by 2 + cz 2 + du 2 van Ramanujan terug te vinden Het probleem van Waring In dezelfde tijd waarin Lagrange zijn Stelling bewees, stelde Waring de volgende vraag. Vraag (Waring, 1770) Stel k Z en k 2. Is er een getal g(k) zo dat ieder natuurlijk getal als som van hoogstens g(k) positieve k-de machten geschreven kan worden? Zo n 140 jaar later, in 1909, liet D.Hilbert zien dat het antwoord ja is voor elke k 2. Zijn bewijs is tamelijk ingewikkeld en we zullen het hier niet reproduceren. Iets later gaven Hardy en Littlewood een wat systematischer bewijs dat berust op de zogenaamde cirkelmethode. Helaas is ook deze techniek te technisch voor dit boek. In ieder geval toonden Hardy en Littlewood aan dat er een g(k) < 3 2 k bestaat. Van nu af zullen we met g(k) het kleinste getal aangeven waarvoor het probleem van Waring een oplossing heeft. We hebben bijvoorbeeld gezien dat g(2) = 4. Verder geldt g(3) = 9 (Wieferich, Kempner, 1912), g(4) = 19 (Balusabramanian, Deshouillers, Dress, 1986), g(5) = 37 (Chen-Jingrun, 1964). Er is zelfs een algemene formule voor alle k 2. Als (3/2) k [(3/2) k ] < 1 (3/4) k dan geldt g(k) = [(3/2) k ] + 2 k 2. Het is zeer waarschijnlijk, maar nog niet bewezen, dat aan de voorwaarde altijd voldaan is, waardoor de formule voor g(k) waarschijnlijk altijd correct is. De merkwaardige vorm voor de formule van g(k) kan gedeeltelijk verklaard worden door het feit dat deze eigenlijk bepaald wordt door de kleine getallen. Stel dat we bijvoorbeeld 2 k 1 als som van k-de machten willen schrijven. In deze som kan niet 2 k voorkomen, want dan wordt de som te groot. Dus moet 2 k 1 geschreven worden als som van k-de machten van 1. En hiervoor hebben we er 2 k 1 nodig, dus g(k) 2 k 1. We kunnen nog iets verder gaan. Bekijk het getal n = [(3/2) k ]2 k 1 en schrijf dit als som van k-de machten. Merk op dat n < 3 k. Dus we kunnen geen termen 3 k in onze som hebben. De gunstigste opdeling is [(3/2) k ] 1 termen 2 k en 2 k 1 termen 1 k. Dit geeft g(k) [(3/2) k ] + 2 k 2. De waarde van g(k) wordt dus bepaald door de kleine waarden van het getal n dat we als som van k-de machten willen schrijven. Men kan zich afvragen of we voor grote waarden van n ook zoveel k-de machten nodig hebben. Dat blijkt niet het geval te zijn. Zo weten we bijvoorbeeld voor k = 3 dat alleen de getallen 23 en 239 negen derdemachten nodig hebben. Voor de overige getallen is het bekend dat er hoogstens 8 derde machten nodig zijn. Het is zelfs bekend dat

11 12.4. HET PROBLEEM VAN WARING 113 ieder voldoend groot getal som is van hoogstens 7 derde machten. Dit suggereert de volgende vraag, Vraag Zij k 2. Wat is het kleinste getal G(k) zo dat ieder voldoend groot getal te schrijven is als som van hooguit G(k) positieve k-de machten? De waarde van G(k) is een nog onopgelost probleem, er is alleen bekend dat G(2) = 4 en G(4) = 16. Verder is G(k) meestal een stuk kleiner dan g(k). Wederom met de cirkelmethode bewees Vinogradov dat G(k) 6k(log k log 216). Beperken we ons even tot derde machten, daar kunnen we laten zien dat G(3) 4. Hiertoe moeten we oneindig veel getallen aangeven die niet als som van hoogstens drie derde machten geschreven kunnen worden. We nemen daarvoor de getallen n die 4 modulo 9 zijn. Merk op dat derde machten modulo 9 altijd 0, 1, 1 zijn. De som van drie dergelijke getallen kan nooit 4 opleveren. Dus hebben we voor getallen n 4 (mod 9) minstens 4 derde machten nodig. Aan de andere kant is het waarschijnlijk zo dat ieder voldoend groot getal als som van hooguit vier derde machten te schrijven is, dus G(3) = 4, maar niemand heeft enig idee hoe dit aan te tonen. Hier is nog een variant op Waring s probleem. Vraag Zij k 2. Wat is het kleinste getal s(k) dat nodig is om elk natuurlijk getal te schrijven als som van s(k) rationale niet-negatieve k-de machten. In ieder geval geldt dat s(k) G(k). Stel namelijk dat elk getal > n 0 som is van niet meer dan G(k) k-de machten. Stel nu n N die we als som van rationale machten willen schrijven. Kies r zo groot dat nr k > n 0. Schrijf nr k als som van G(k) gehele k-de machten en deel aan beide zijden door r k om n als som van G(k) rationale k-de machten te krijgen. Voor sommige k kan zelfs gelden dat s(k) < G(k) zoals blijkt uit de volgende stelling. Stelling (Riley,1825) Elk natuurlijk getal kan op oneindig veel verschillende manieren geschreven worden als som van drie rationale derde machten. Het bewijs is verbazingwekkend eenvoudig, zeker in vergelijking met de problemen die men heeft om G(3) = 4 aan te tonen. Beschouw namelijk de identiteit A 3 + B 3 + C 3 = 72t(t + 1) 6 waarin A = 12t(t + 1) (t + 1) 3, B = (t + 1) 3 12t(t 1) en C = 12t(t 1). Stel n N. Kies u Q zo dat 1 < nu 3 /72 < 2 en vul t = nu 3 /72 in de identiteit in. De getallen A, B, C, t, t + 1 zijn allen positief en na deling aan weerszijden door u 3 (t + 1) 6 vinden we, ( ) 3 ( A + u(t + 1) 2 B u(t + 1) 2 ) 3 + ( ) 3 C = n u(t + 1) 2

12 114 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN Bovendien kan u op oneindig veel verschillende manieren gekozen worden. Het is heel goed denkbaar dat er een bewijs voor het bestaan van s(k) is dat veel eenvoudiger is dan de oplossing van Waring s probleem. Helaas ken ik er geen.

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken, Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

De Laatste Stelling van Fermat

De Laatste Stelling van Fermat De Laatste Stelling van Fermat Een introductie tot groepen, ringen, lichamen en idealen Lars van den Berg, Merlijn Koek, Serop Lazarian Onder begeleiding van prof. dr. J.P. Hogendijk 20 november 2011 Voorwoord

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn. Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal

Nadere informatie

Public Key Cryptography. Wieb Bosma

Public Key Cryptography. Wieb Bosma Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012 VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

De kleine stelling van Fermat

De kleine stelling van Fermat De kleine stelling van Fermat Moderne getaltheorie: deelbaarheidscriteria, rekenen met resten, stellingen van Fermat, Euler en Gauss Overzicht collegestof & encyclopedische toevoegingen mc.vanhoorn@wxs.nl

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675 Hoe een genie dacht. Van Leibniz zijn een groot aantal wiskundige handschriften bewaard. Leibniz deed wiskunde met de pen in zijn hand, en schreef al zijn gedachten direct op. Daardoor kunnen we zien hoe

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras 1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65,

GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, GETALTHEORIE 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, SAMENSTELLING: H. de Leuw - 1 - 1. NATUURLIJKE GETALLEN. Als kind hebben we allemaal leren tellen: 1,

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje.

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje. 4som kaart a In een 4som-puzzel moeten in vier hokjes getallen worden geschreven. Van de (horizontale) rijen en van de (verticale) kolommen is de som gegeven en ook van de diagonalen. Welke getallen moeten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3

16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d

Nadere informatie

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 - Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7. Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de

Nadere informatie

Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken

Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken Breuken - Brak - Gebroken Kettingbreuken Voorwoord Kettingbreuken is een boekje dat bedoeld is voor HAVO- en VWO leerlingen met wiskunde in hun profiel. Aan het einde van elk hoofdstuk is een aantal oefeningen

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde. 26 mei 2003

Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde. 26 mei 2003 Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde 26 mei 2003 1 Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging Oefening 1.1.1 Zoals gebruikelijk noteren wij

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

FUNCTIEVERGELIJKINGEN

FUNCTIEVERGELIJKINGEN FUNCTIEVERGELIJKINGEN FOKKO VAN DE BULT 1. Inleiding Het oplossen van functievergelijkingen is een onderwerp dat nog niet heel lang op IMO s voorkomt. Een deel van de reden dat ze nu toch wel regelmatig

Nadere informatie

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende

Nadere informatie

Cryptografie met krommen. Reinier Bröker. Universiteit Leiden

Cryptografie met krommen. Reinier Bröker. Universiteit Leiden Cryptografie met krommen Reinier Bröker Universiteit Leiden Nationale Wiskundedagen Februari 2006 Cryptografie Cryptografie gaat over geheimschriften en het versleutelen van informatie. Voorbeelden. Klassieke

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

BEWIJZEN EN REDENEREN

BEWIJZEN EN REDENEREN BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

1 - Geschiedenis van de Algebra

1 - Geschiedenis van de Algebra 1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2

Nadere informatie

Functievergelijkingen

Functievergelijkingen Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie