Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten Sommen van twee kwadraten

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1 modulo 4. De reden is simpel, er geldt dat a 2 b 2 (mod p). Het getal b kan niet deelbaar door p zijn, anders zou a dat ook zijn. Vermenigvuldig nu aan beide zijden met de inverse van b 2 (mod p) en we zien dat (ab 1 ) 2 1 (mod p). Met andere woorden, 1 is kwadraatrest modulo p en dus p 1 (mod 4). Verder experimenteren brengt aan het licht dat ieder priemgetal, gelijk aan 1 modulo 4, geschreven kan worden als som van twee kwadraten. Dat een getal als som van twee kwadraten geschreven kan worden is niet vanzelfsprekend. Bij een getal dat 3 (mod 4) is kan dat bijvoorbeeld niet. Daarentegen bleek dat wel elk getal getal te schrijven is als som van vier kwadraten. Dit was reeds in de oudheid geconstateerd, maar pas in 1770 voor het eerst door Lagrange bewezen werd. We merken hierbij op dat 0 2 in ons verhaal ook als kwadraat gezien wordt. Problemen van deze soort vormen de inhoud van dit hoofdstuk. Allereerst behandelen we sommen van twee kwadraten. Stelling (Fermat) Zij p een priemgetal zó dat p 1 (mod 4). Dan zijn er a, b Z zó dat p = a 2 + b 2. Voor deze stelling zijn een groot aantal bewijzen in omloop. We geven hier een iets minder gangbare die gebruik maakt van het zogenaamde hokjesprincipe of ladenprincipe. Dit principe zegt dat als we M + 1 voorwerpen verdelen over hoogstens M hokjes, minstens één van die hokjes twee of meer voorwerpen zal bevatten. Een iets andere formulering, die wij zullen gebruiken, zegt dat als we M + 1 getallen verdelen over een gesloten interval ter lengte L, er minstens twee getallen op afstand L/M van elkaar komen te liggen. De hokjes die we in dit geval gebruiken zijn M intervallen, elk van lengte L/M. Allereerst, klopt de stelling voor p = 5 want 5 = We nemen nu aan dat p

2 104 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN Omdat p 1 (mod 4) bestaat er een getal x 0 zó dat x (mod p). Beschouw nu de verzameling {ax 0 (mod p) a = 0, 1, 2,..., [ p]} waarin we de resten ax 0 (mod p) in het interval [0, p 1] gelegd denken. We hebben [ p] + 1 resten in dit interval. Dat betekent volgens het hokjesprincipe dat er a 1, a 2 zijn met 0 a 1 < a 2 [ p] en afstand tussen a 2 x 0 (mod p) en a 1 x 0 (mod p) kleiner of gelijk aan (p 1)/[ p] < (p 1)/( p 1) = p + 1. Stel α = a 2 a 1. Dan geldt 0 < α < p en de restklasse αx 0 (mod p) bevat een element dat tussen p 1 en p + 1 ligt. Noem dit element β. Dan geldt, α 2 + β 2 α 2 + (αx 0 ) 2 α 2 (1 + x 2 0) 0 (mod p) Met andere woorden, α 2 + β 2 is deelbaar door p. Anderzijds weten we dat α < p en β < p + 1. Dus α 2 + β 2 < 2p + 2 p + 1 < 3p. De laatste ongelijkheid geldt omdat p 13. De enige veelvouden van p kleiner dan 3p zijn p en 2p. Dus ofwel α 2 + β 2 = p, in welk geval we klaar zijn, ofwel α 2 + β 2 = 2p. Echter in het laatste geval moeten α, β beiden even of beiden oneven zijn. Maar dan zijn ook (α + β)/2 en (α β)/2 geheel en er geldt ((α + β)/2) 2 + ((α β)/2) 2 = (α 2 + β 2 )/2 = p. Dus ook in dit geval is p som van twee kwadraten. Het is zelfs mogelijk om precies te zeggen op hoeveel manieren een getal geschreven kan worden als som van twee kwadraten. We zullen hier niet al te diep op ingaan maar wel de stelling vermelden. Stelling Zij n N en r 2 (n) het aantal oplossingen x, y Z van n = x 2 + y De funktie r 2 (n)/4 is multiplikatief, dat wil zeggen als ggd(m, n) = 1 dan geldt r 2 (mn)/4 = (r 2 (m)/4)(r 2 (n)/4). 2. Zij p priem en k N. Dan geldt, r 2 (p k ) 4 k + 1 als p 1 (mod 4) 0 als p 3 (mod 4), k oneven = 1 als p 3 (mod 4), k even 1 als p = 2

3 12.1. SOMMEN VAN TWEE KWADRATEN 105 Allereerst zien we dat r 2 (n) altijd deelbaar door vier is. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat oplossingen altijd in viertallen voorkomen. Naast elke oplossing (x, y) van n = x 2 + y 2 hebben we namelijk ook de oplossingen ( x, y), ( y, x) en (y, x). We laten het aan de lezer over om na te gaan dat dit inderdaad vier verschillende oplossingen zijn, mits n 0. Uiteraard hebben we ook nog de oplossingen (y, x), ( y, x), ( x, y), (x, y) maar deze zijn niet noodzakelijk verschillend van (x, y). De genoemde acht oplossingen zijn echt verschillend als xy 0 en x y. Als n dus geen kwadraat en niet tweemaal een kwadraat, dan komen de oplossingen van n = x 2 + y 2 in 8-tallen voor. Teneinde bovenstaande stelling iets beter te begrijpen, zullen we laten zien hoe we alle oplossingen van de vergelijking n = x 2 + y 2 kunnen vinden voor gegeven n. Hiertoe maken we, met excuus aan degenen die er niet bekend mee zijn, gebruik van de complexe getallen a + bi met i 2 = 1. In het bijzonder gebruiken we de gehele getallen van Gauss, dat zijn complexe getallen waarvan reëel en imaginair deel geheel zijn. De belangrijke opmerking die we willen maken is dat n = x 2 + y 2 op hetzelfde neerkomt als n = (x + yi)(x yi). Met andere woorden, elke schrijfwijze van n als som van twee gehele kwadraten is hetzelfde als n schrijven als product van een getal van Gauss met zijn geconjugeerde. We beperken onze uitleg tot een voorbeeld, n = De priemontbinding ziet eruit als n = Volgens onze stelling geldt r 2 (n) 4 = r 2(3 2 ) 4 r 2 (5 2 ) 4 r 2 (541) r 2 (829) = Dus r 2 (n) = 48. Boven merkten we al op dat als n = a 2 +b 2, dan ook n = (±a) 2 + (±b) 2 = (±b) 2 + (±a) 2. Omdat 48 geen kwadraat of tweemaal een kwadraat is, zijn deze acht oplossingen ook verschillend. Onder elk achttal oplossingen a, b komt er één voor met a > b > 0. Onder deze voorwaarde verwachten we nu 48/8 = 6 wezenlijk verschillende oplossingen. Eerst pakken we de factor 3 aan. Omdat 3 een deler is van n = a 2 + b 2 en 3 1 (mod 4) geldt dat 3 een deler is van a en b. Dus n/9 = (a/3) 2 + (b/3) 2. Het is dus voldoende om m = n/9 = als som van twee kwadraten te schrijven. We gebruiken hiertoe de gehele getallen van gauss. Merk op dat Dus 5 = = (1 + 2i)(1 2i) 541 = = ( i)(21 10i) 829 = = ( i)(27 10i) m = (1 + 2i) 2 (1 2i) 2 ( i)(21 10i) ( i)(27 10i). Van elk paar geconjugeerde factoren in dit product kiezen we er één uit. Bijvoorbeeld (1 + 2i) 2 ( i)( i) = i

4 106 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN De overige factoren geven uiteraard de complex geconjugeerde, En dus, (1 2i) 2 (21 10i)(27 10i) = i. m = ( i)( i) = De lijstje mogelijkheden om complexe factoren van m te kiezen luidt, (1 + 2i) 2 ( i)( i) = i (1 + 2i)(1 2i)( i)( i) = i (1 2i) 2 ( i)( i) = i (1 + 2i) 2 (21 10i)( i) = i (1 + 2i)(1 2i)(21 10i)( i) = i (1 2i) 2 (21 10i)( i) = i en een even grote lijst van alle complex geconjugeerde produkten. We schrijven deze echter niet op omdat ze dezelfde sommen van kwadraten opleveren. We vinden dus uiteindelijk, m = = = = = = = De oplossing van n = 9m = = x 2 + y 2 volgt door bovenstaande sommen aan beide zijden met 3 2 te vermenigvuldigen. Samenvattend kunnen we zeggen dat we het probleem om n = x 2 + y 2 hebben teruggebracht tot de problemen om n in priemfactoren te ontbinden en om een priemgetal te schrijven als som van twee kwadraten. Het probleem om een getal in factoren te ontbinden staat, voor zeer grote getallen, als uiterst moeilijk bekend. Voor het probleem om een priemgetal als som van twee kwadraten te schrijven is er daarentegen een zeer snel algoritme beschikbaar in de vorm van Cornacchia s algoritme. Zie hiervoor Stelling Tenslotte vermelden we nog een heel aardige formule die afgeleid kan worden als men wat van reductie van kwadratische vormen weet, Stelling (Jacobi, 1828) Voor elke n N geldt, r 2 (n) = 4 ( 1) d 1 2. d n,d oneven 12.2 Sommen van vier kwadraten Het verschijnsel dat elk natuurlijk getal geschreven kan worden als som van vier kwadraten (waarbij 0 2 ook als kwadraat gezien wordt) is vaak opgemerkt in de geschiedenis van de getaltheorie. Maar pas in 1770 kwam Lagrange met een goed bewijs ervoor.

5 12.2. SOMMEN VAN VIER KWADRATEN 107 Stelling (Lagrange, 1770) Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als som van vier kwadraten. Hierbij wordt 0 2 ook als kwadraat gezien. Voor het bewijs gebruiken we de volgende opmerkelijke identiteit van Euler die zegt dat (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) gelijk is aan (aa + bb + cc + dd ) 2 + (ab ba + cd dc ) 2 + +(ac bd ca + db ) 2 + (ad + bc cb da ) 2 In het bijzonder volgt hieruit dat als m en n geschreven kunnen worden als som van vier kwadraten, dan is mn ook som van vier kwadraten. Voor het bewijs van de stelling van Lagrange is het dus voldoende om de stelling aan te tonen voor priemgetallen. Zij p een oneven priemgetal, die we als som van vier kwadraten willen schrijven. We laten eerst zien dat er een m N is zó dat mp som van vier kwadraten is. Beschouw hiertoe de restklassen x (mod p) voor x = 0, 1,..., (p 1)/2 en de restklassen y 2 (mod p) voor y = 0, 1,..., (p 1)/2. Elk van deze verzamelingen bevat (p+1)/2 verschillende elementen. Dat is samen p+1, één meer dan er restklassen modulo p zijn. Dus hebben de twee verzamelingen een gemeenschappelijk element. Dat wil zeggen, er zijn x, y te vinden met 0 x, y (p 1)/2 zó dat x y 2 (mod p). Met andere woorden, er is een m zodat x 2 + y = mp. Bovendien, omdat 0 x, y < p/2, geldt m < p. Zij nu m het kleinste natuurlijke getal zo dat mp som van vier kwadraten is. We willen natuurlijk laten zien dat m = 1. In dat geval hebben we p als som van vier kwadraten geschreven en zijn we klaar. mp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2. (12.1) We weten trouwens al dat m < p. Kies nu m/2 < A, B, C, D m/2 zó dat a A (mod m), b B (mod m), c C (mod m), d D (mod m). Dan geldt, A 2 + B 2 + C 2 + D 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 mp 0 (mod m). Gevolg, A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = mr, r 0 (12.2) waarin r = (A 2 + B 2 + C 2 + D 2 )/m (4 (m/2) 2 )/m = m. Dus 0 r m. We onderscheiden nu de mogelijkheden r = 0, r = m en 0 < r < m. Stel eerst r = 0. Dan moeten A, B, C, D allen nul zijn en dus a, b, c, d deelbaar door m. Gevolg, mp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 is deelbaar door m 2 en dus p deelbaar door m. Omdat m < p volgt hieruit dat m = 1 en zijn we klaar. Stel nu r = m. Dit kan alleen maar als A, B, C, D maximaal zijn, dat wil zeggen gelijk aan m/2. Dus, bijvoorbeeld, a m/2 (mod m), ofwel, a = m/2 + ma 1

6 108 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN voor zekere gehele a 1. Merk nu op dat a 2 = (m/2) 2 + m 2 a 1 + m 2 a 2 1 en dus, a 2 (m/2) 2 (mod m 2 ). Een zelfde opmerking geldt voor b, c, d. Gevolg, mp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4 (m/2) 2 0 (mod m 2 ). Dus m 2 deelt mp en m deelt p. Omdat m < p volgt wederom dat m = 1. Nu het geval 0 < r < m. Dit is de grote stap in ons bewijs. Vermenigvuldig gelijkheden ((12.1) en ((12.2) en gebruik Euler s identiteit. We vinden, mp mr = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(A 2 + B 2 + C 2 + D 2 ) = α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 (12.3) waarin, α = aa + bb + cc + dd a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 (mod m) β = ab ba + cd dc ab ba + cd dc 0 (mod m) γ = ac ca + db bd ac ca + db bd 0 (mod m) δ = ad da + bc cb ad da + bc cb 0 (mod m) We zien dus dat m een deler is van alle getallen α, β, γ, δ. Na deling door m 2 aan beide zijden van ((12.3) houden we over, rp = (α/m) 2 + (β/m) 2 + (γ/m) 2 + (δ/m) 2. Dus rp is ook een som van vier kwadraten. Bovedien was gegeven dat 0 < r < m. Dit laatste is echter in tegenspraak met de minimaliteit van onze keuze van m. We concluderen dat dit geval niet kan optreden. De eindconclusie luidt daarmee dat m = 1, hetgeen w ewilden hebben. Het is zelfs bekend op hoeveel manieren een getal als som van vier kwadraten geschreven kan worden. We vermelden hier alleen de stelling. Het bewijs ervan maakt gebruik van zogenaamde modulaire vormen, een onderwerp dat helaas buiten het bestek van dit boek valt. Stelling (Jacobi,1829) Zij n N dan heeft de vergelijking n = x x x x 2 4 in x 1, x 2, x 3, x 4 Z precies 8 d d n,d 0 (mod 4) oplossingen.

7 12.3. VARIATIES OP SOMMEN VAN KWADRATEN Variaties op sommen van kwadraten Het zal misschien opgevallen zijn dat we het nog niet over sommen van drie kwadraten gehad hebben. In vergelijking met twee en vier kwadraten is dit probleem een stuk lastiger aan te pakken. In ieder geval kan niet elk getal geschreven worden als som van drie kwadraten. We weten namelijk dat een kwadraat modulo 8 altijd gelijk is aan 0, 1 of 4. Met drie van deze resten is het niet mogelijk de rest 7 als som te krijgen. Dat betekent dus dat getallen, die 7 (mod 8) zijn, geen som van drie kwadraten kunnen zijn. Verder, als n deelbaar is door vier en n = a 2 +b 2 +c 2 dan moeten a, b, c elk even zijn. Dus n/4 = (a/2) 2 + (b/2) 2 + (c/2) 2. Gevolg, als n som van drie kwadraten is en deelbaar door 4 dan is n/4 ook som van drie kwadraten. Omgekeerd betekent dit dat een getal van de vorm 4(8k+7) geen som van drie kwadraten kan zijn, omdat 8k + 7 dat niet is. Evenzo kunnen getallen van de vorm 4 l (8k + 7) geen som van drie kwadraten zijn. We hebben dus laten zien, Stelling Zij n N en van de vorm 4 l (8k + 7) met k, l Z 0. Dan is n geen som van drie kwadraten. De complementaire uitspraak dat ieder getal niet van bovenstaande vorm wel som van drie kwadraten is, is veel lastiger te bewijzen. Stelling (Gauss) Elk natuurlijk getal, niet van de vorm 4 l (8k + 7) met k, l Z 0 is te schrijven als som van drie kwadraten. Uit deze stelling leiden we een opmerkelijk resultaat van Gauss af, dat over driehoeksgetallen gaat. De rij driehoeksgetallen begint met 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21,... en wordt gekenmerkt door het feit dat het verschil tussen opeenvolgende getallen steeds met 1 toeneemt. De naam driehoeksgetallen volgt uit de volgende ilustratie van driehoeksgetallen, De algemene formule voor driehoeksgetallen luidt n(n + 1)/2 voor n = 1, 2, 3,.... Hier is Gauss resultaat voor de driehoeksgetallen. Gevolg Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als som van drie driehoeksgetallen (d.w.z. getallen van de vorm n(n + 1)/2).

8 110 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN Stel we willen n als som van driehoeksgetallen schrijven. Schrijf hiertoe eerst 8n + 3 als som van drie kwadraten, 8n + 3 = a 2 + b 2 + c 2. Omdat kwadraten modulo 8 gelijk zijn aan 0, 1 of 4, volgt dat a, b, c alle drie oneven zijn. Stel a = 2p+1, b = 2q+1, c = 2r+1. Dan geldt 8n+3 = 4(p 2 +p)+4(q 2 +q)+4(r 2 +r)+3. Na wegstrepen van 3 en deling door 8 volgt, n = p(p + 1) 2 + q(q + 1) 2 + r(r + 1). 2 Om met Gauss te spreken, EUREKA: num = + +!! De rij kwadraten past ook in een zelfde soort patroon als de driehoeksgetallen. Merk op dat de rij 0, 1, 4, 9, 16, 25,... gekenmerkt wordt door het feit dat het verschil tussen opvolgende getallen steeds met 2 toeneemt (controleer maar en bewijs het!). Ook is er een illustratieve voorstelling, We kunnen de kwadraten dus opvatten als vierhoeksgetallen en Lagrange s stelling zou cryptisch kunnen worden samengevat met EUREKA: num = + + +!! Evenzo hebben we de vijfhoeksgetallen de zeshoeksgetallen 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145,... 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190,... etcetera. In deze gevallen kunnen we ook plaatjes tekenen zoals boven, maar ik vind ze lang niet zo mooi als voor drie- en vierhoeksgetallen. De algemene formule voor k-hoeksgetallen luidt (k 2) n(n 1) + n. De volgende stelling werd 2 vermoed door Fermat, maar pas in 1825 bewezen door Cauchy. Stelling (Cauchy, 1825) Elk natuurlijk getal is te schrijven als som van k k-hoeksgetallen. Het geval k = 3 komt overeen met Gevolg , het geval k = 4 met Stelling Een iets andere variant op bovenstaande problemen is vanaf Euler s tijd uitgebreid bestudeerd. De vormen x 2 + y 2 en x 2 + y 2 + z 2 + u 2 zijn voorbeelden van

9 12.3. VARIATIES OP SOMMEN VAN KWADRATEN 111 kwadratische vormen. Dat zijn homogene polynomen van graad twee. Het aantal variabelen kan willekeurig groot zijn. Voorbeelden zijn x 2 3y 2, x 2 + 5y 2, x 2 + xy y 2 + z 2, x 2 + 2y 2 + 2z 2 + yz + yu 3uz + u 2,... Zij nu F (x 1,..., x k ) zo n kwadratische vorm. We kunnen ons afvragen welke getallen n te schrijven zijn in de vorm n = F (x 1,..., x k ) met x 1,..., x k Z. Anders gezegd, welke getallen worden door F (x 1,..., x k ) gerepresenteerd? Nu kan één gek altijd meer vragen dan tien getaltheoretici kunnen beantwoorden en bij veel vragen weet men het antwoord ook niet. Echter, een vraag wordt pas echt interessant als we weten dat er ook een interessant antwoord is. In het geval van representatie van getallen door kwadratische vormen blijkt zelfs in het geval van twee variabelen (k = 2) het antwoord interessant. Het kan als toegangsweg gebruikt worden tot de zogenaamde klassenlichamen theorie, een geavanceerd onderwerp uit de algebraïsche getaltheorie. Er is zelfs een heel boek aan gewijd dat recent is verschenen, zie [Cox]. In het geval van twee of drie variabelen kunnen we niet verwachten dat een kwadratische vorm alle natuurlijke getallen representeert. Voor vier of meer variabelen wordt de kans op die mogelijkheid groter. Zo stelde Ramanujan (1917) zich de vraag voor welke waarden van a, b, c, d N met a b c d elk natuurlijk getal door ax 2 + by 2 + cz 2 + du 2 gerepresenteerd kan worden. Als a 2 dan gaat het al niet, want 1 kan niet gerepresenteerd worden. Anderzijds weten we voor a = b = c = d = 1 dat het inderdaad kan. Ramanujan ontdekte dat er nog 54 andere mogelijkheden bestonden en gaf daarvan de complete lijst. Onder die lijst bevindt zich bijvoorbeeld het geval a = 1, b = 2, c = 2, d = 5. Dat wil zeggen dat elk natuurlijk getal in de vorm x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 5u 2 geschreven kan worden met x, y, z, u geheel. Recent ontdekte John Conway de volgende zeer opmerkelijke stelling. Stelling (Conway,Schneeberger 1993) Zij F (x 1,..., x k ) een even positief definiete kwadratische vorm met gehele coëfficienten. Als F de getallen n = 1, 2,..., 15 representeert, dan representeert F alle natuurlijke getallen. Een kwadratische vorm heet positief definiet als F (x 1,..., x k ) > 0 voor alle keuzen van x 1,..., x k R behalve x 1 = = x k = 0. De vorm (x y) 2 is bijvoorbeeld niet positief definiet. Er geldt weliswaar (x y) 2 0 voor alle x, y, maar we willen (x y) 2 > 0 voor alle x, y met (x, y) (0, 0). De vormen x 2 + y 2 en x 2 xy + y 2 zijn daarentegen wel positief definiet. De kwadratische vorm F (x 1,..., x k ) heet even als de coëfficient van x i x j even is voor elk paar i, j met i j. Zouden we deze eis niet hebben, dan moet het getal 15 in de Stelling vervangen worden door een veel groter getal. We zouden nu Stelling kunnen bewijzen door te verifiëren dat 1, 2, 3,..., 15 geschreven kunnen worden als som van vier kwadraten. Dit is echter enigszins bedriegeljk, omdat het bewijs van Conway zwaar leunt op stellingen van het type

10 112 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN en Wel is het nu mogelijk om met behulp van Conway s stelling en een flinke portie geduld de lijst vormen ax 2 + by 2 + cz 2 + du 2 van Ramanujan terug te vinden Het probleem van Waring In dezelfde tijd waarin Lagrange zijn Stelling bewees, stelde Waring de volgende vraag. Vraag (Waring, 1770) Stel k Z en k 2. Is er een getal g(k) zo dat ieder natuurlijk getal als som van hoogstens g(k) positieve k-de machten geschreven kan worden? Zo n 140 jaar later, in 1909, liet D.Hilbert zien dat het antwoord ja is voor elke k 2. Zijn bewijs is tamelijk ingewikkeld en we zullen het hier niet reproduceren. Iets later gaven Hardy en Littlewood een wat systematischer bewijs dat berust op de zogenaamde cirkelmethode. Helaas is ook deze techniek te technisch voor dit boek. In ieder geval toonden Hardy en Littlewood aan dat er een g(k) < 3 2 k bestaat. Van nu af zullen we met g(k) het kleinste getal aangeven waarvoor het probleem van Waring een oplossing heeft. We hebben bijvoorbeeld gezien dat g(2) = 4. Verder geldt g(3) = 9 (Wieferich, Kempner, 1912), g(4) = 19 (Balusabramanian, Deshouillers, Dress, 1986), g(5) = 37 (Chen-Jingrun, 1964). Er is zelfs een algemene formule voor alle k 2. Als (3/2) k [(3/2) k ] < 1 (3/4) k dan geldt g(k) = [(3/2) k ] + 2 k 2. Het is zeer waarschijnlijk, maar nog niet bewezen, dat aan de voorwaarde altijd voldaan is, waardoor de formule voor g(k) waarschijnlijk altijd correct is. De merkwaardige vorm voor de formule van g(k) kan gedeeltelijk verklaard worden door het feit dat deze eigenlijk bepaald wordt door de kleine getallen. Stel dat we bijvoorbeeld 2 k 1 als som van k-de machten willen schrijven. In deze som kan niet 2 k voorkomen, want dan wordt de som te groot. Dus moet 2 k 1 geschreven worden als som van k-de machten van 1. En hiervoor hebben we er 2 k 1 nodig, dus g(k) 2 k 1. We kunnen nog iets verder gaan. Bekijk het getal n = [(3/2) k ]2 k 1 en schrijf dit als som van k-de machten. Merk op dat n < 3 k. Dus we kunnen geen termen 3 k in onze som hebben. De gunstigste opdeling is [(3/2) k ] 1 termen 2 k en 2 k 1 termen 1 k. Dit geeft g(k) [(3/2) k ] + 2 k 2. De waarde van g(k) wordt dus bepaald door de kleine waarden van het getal n dat we als som van k-de machten willen schrijven. Men kan zich afvragen of we voor grote waarden van n ook zoveel k-de machten nodig hebben. Dat blijkt niet het geval te zijn. Zo weten we bijvoorbeeld voor k = 3 dat alleen de getallen 23 en 239 negen derdemachten nodig hebben. Voor de overige getallen is het bekend dat er hoogstens 8 derde machten nodig zijn. Het is zelfs bekend dat

11 12.4. HET PROBLEEM VAN WARING 113 ieder voldoend groot getal som is van hoogstens 7 derde machten. Dit suggereert de volgende vraag, Vraag Zij k 2. Wat is het kleinste getal G(k) zo dat ieder voldoend groot getal te schrijven is als som van hooguit G(k) positieve k-de machten? De waarde van G(k) is een nog onopgelost probleem, er is alleen bekend dat G(2) = 4 en G(4) = 16. Verder is G(k) meestal een stuk kleiner dan g(k). Wederom met de cirkelmethode bewees Vinogradov dat G(k) 6k(log k log 216). Beperken we ons even tot derde machten, daar kunnen we laten zien dat G(3) 4. Hiertoe moeten we oneindig veel getallen aangeven die niet als som van hoogstens drie derde machten geschreven kunnen worden. We nemen daarvoor de getallen n die 4 modulo 9 zijn. Merk op dat derde machten modulo 9 altijd 0, 1, 1 zijn. De som van drie dergelijke getallen kan nooit 4 opleveren. Dus hebben we voor getallen n 4 (mod 9) minstens 4 derde machten nodig. Aan de andere kant is het waarschijnlijk zo dat ieder voldoend groot getal als som van hooguit vier derde machten te schrijven is, dus G(3) = 4, maar niemand heeft enig idee hoe dit aan te tonen. Hier is nog een variant op Waring s probleem. Vraag Zij k 2. Wat is het kleinste getal s(k) dat nodig is om elk natuurlijk getal te schrijven als som van s(k) rationale niet-negatieve k-de machten. In ieder geval geldt dat s(k) G(k). Stel namelijk dat elk getal > n 0 som is van niet meer dan G(k) k-de machten. Stel nu n N die we als som van rationale machten willen schrijven. Kies r zo groot dat nr k > n 0. Schrijf nr k als som van G(k) gehele k-de machten en deel aan beide zijden door r k om n als som van G(k) rationale k-de machten te krijgen. Voor sommige k kan zelfs gelden dat s(k) < G(k) zoals blijkt uit de volgende stelling. Stelling (Riley,1825) Elk natuurlijk getal kan op oneindig veel verschillende manieren geschreven worden als som van drie rationale derde machten. Het bewijs is verbazingwekkend eenvoudig, zeker in vergelijking met de problemen die men heeft om G(3) = 4 aan te tonen. Beschouw namelijk de identiteit A 3 + B 3 + C 3 = 72t(t + 1) 6 waarin A = 12t(t + 1) (t + 1) 3, B = (t + 1) 3 12t(t 1) en C = 12t(t 1). Stel n N. Kies u Q zo dat 1 < nu 3 /72 < 2 en vul t = nu 3 /72 in de identiteit in. De getallen A, B, C, t, t + 1 zijn allen positief en na deling aan weerszijden door u 3 (t + 1) 6 vinden we, ( ) 3 ( A + u(t + 1) 2 B u(t + 1) 2 ) 3 + ( ) 3 C = n u(t + 1) 2

12 114 HOOFDSTUK 12. SOMMEN VAN KWADRATEN Bovendien kan u op oneindig veel verschillende manieren gekozen worden. Het is heel goed denkbaar dat er een bewijs voor het bestaan van s(k) is dat veel eenvoudiger is dan de oplossing van Waring s probleem. Helaas ken ik er geen.

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1 Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken, Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Mersenne- en Fermatgetallen

Mersenne- en Fermatgetallen Hoofdstuk 5 Mersenne- en Fermatgetallen 5.1 Mersennegetallen Uit Hoofdstuk 4 is naar voren gekomen dat getallen van de vorm 2 n 1 met n 2 en hun al of niet priem zijn van belang is voor de constructie

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen

Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Dirk Dekker Van Uytrechtlaan 25 1901 JK Castricum T.J.Dekker@uva.nl. 1. Inleiding Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Het ontbinden van getallen in factoren en de daaruit te verkrijgen

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

De Laatste Stelling van Fermat

De Laatste Stelling van Fermat De Laatste Stelling van Fermat Een introductie tot groepen, ringen, lichamen en idealen Lars van den Berg, Merlijn Koek, Serop Lazarian Onder begeleiding van prof. dr. J.P. Hogendijk 20 november 2011 Voorwoord

Nadere informatie

Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege.

Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Tweede Huiswerk Security 26 of 28 oktober, 11.00, Nabespreken op Werkcollege. Kijk het huiswerk van je collega s na en schrijf de namen van de nakijkers linksboven en het totaalcijfer rechts onder de namen

Nadere informatie

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van

Nadere informatie

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011 Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn. Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal

Nadere informatie

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Public Key Cryptography. Wieb Bosma

Public Key Cryptography. Wieb Bosma Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie

Nadere informatie

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012 VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie