Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z

Transcriptie

1 Tenamen CT222 Dynamica van Sysemen 25 juni Le op: - Vermeld op ieder blad je naam en sudienummer - Maak elk van de drie opgaven op een apar vel Opgave 1 (3 punen) 2 Een bekken (links) me berging B word verbonden me een zee (rechs) door een kanaal me raagheid M. He kanaal heef ook een weersand, waarvoor een consane waarde W word gescha. In M en W zijn overgangsgebieden aan de kanaaleinden inbegrepen. Bekken, kanaal en zee hebben op he ijdsrip = dezelfde waersand (de geekende sippellijn) en he debie Q in he kanaal is nul. He debie word posiief genoemd als he waer sroom in de riching van he zee. a) Hoe luiden voor di syseem de bergingsvergelijking en de gecombineerde raagheids/weersandsvergelijking (Le op de goede ekens bij de gekozen Q). b) Toon aan da ui genoemde vergelijkingen een differeniaalvergelijking volg voor de waersand h() van he bekken die als volg kan worden geschreven: Mhɺɺ Whɺ 1 B h = B h Z

2 c) De waersand in de zee sijg van h= (rusoesand op =, sippellijn in figuur) naar een eindwaarde h. De waersandsverandering verloop in de ijd als volg: Gegeven is: e j h z ( ) = h e τ 1 τ h = 1s =, m B = 4 1 m 5 2 W = 1 sm 3 2 ( bijna 3 uur) 2 2 M = 1s m De oplossing voor de waersand in he bekken besaa ui een homogeen deel: δ hh ( ) = Ae sin b ω e + φ g me periode T e = 2π ω e en een pariculier deel: hp( ) = h α + β e γ e j Bepaal δ en ω e. Bepaal α, β en γ en laa zien da he anwoord voor β kan worden geschreven als: 2 2 ω τ β = 1 2δτ + ω 2 τ 2 (Formules die u heb of ken mag u direc gebruiken). Sches de homogene oplossing voor A = 1 m en φ =. Sches de pariculiere oplossing. (Kies een horizonale as me een lenge van 12 uur). d) Aan welke beginvoorwaarde(n) moe de oale oplossing van h() voldoen en welke onbekende(n) kunnen daarui worden berekend. (De berekening hoef nie uigevoerd e worden).

3 Opgave 2 (35 punen) x F() z M z k c Een boo, me een zeer groo laadruim, lig in de haven om schoongemaak e worden. Nada de boo schoongemaak is blijf er een enorme hoeveelheid vervuild waer in he laadruim acher, waardoor de boo dieper in he waer kom e liggen. Voor de boo weer geladen kan worden dien di waer m.b.v. een pomp afgezogen e worden. Om de opwaarse beweging van de boo ijdens di afzuigen e berekenen modelleren we he geheel o een gedemp 1-massa-veer syseem. De massa van de boo M z word geconcenreerd gedach in he zwaarepun. De uiwendige krach F ( ) beschrijf he afzuigproces van he vervuild waer en sar vanaf = exponenieel dalend, zie ondersaande figuur. F( ) F F ( ) = F e β Voor is he geheel in rus. We beschouwen de vericale beweging u van he zwaarepun z van de boo. He -niveau is de vericale posiie van de ongeladen boo zonder waer in he laadruim. a) Hoe kan de parameer β beïnvloed worden? b) Geef wee parameers waarvan de sijfheid k afhankelijk is. Neem aan da: M M z w = 5 1 kg 4 1 kg = β =.1s -1 k = N 5 1 m c = 1.1 c (overgedemp) w kr F = M g m g = 1 s 2 De massa M w mag verwaarloosd worden.o.v. M z. c) Formuleer de wee beginvoorwaarden voor he probleem (denk aan assenselsel).

4 d) Toon aan da de gedwongen beweging (pariculiere oplossing) e schrijven is als: u p = F ξ e β, me ξ = ( M z β 2 cβ + k) 1. e) Los de oale beweging van he syseem op. Tip: vereenvoudig de formules me: λ = δ m 2 k c δ =, 2m, m = M z

5 Opgave 3 (35 punen) L = 1 m fig 3a fig 3b fig 3c Een sar rechhoekig verkeersbord me een massa m= 1 kg is gemoneerd op een elasische poraalconsrucie. He syseem poraal-me-verkeersbord word gemodelleerd als een massa-veer-syseem me wee graden van vrijheid: een horizonale verplaasing u en een roaie ϕ, beide in he massazwaarepun van he bord. De bewegingsvergelijkingen voor di verkeersporaal me bord luiden: 1 2 ɺɺu ɺɺ ϕ u ϕ = F u T ϕ (eenheden N, kg, rad en m) a) Geef in woorden aan (kor; elegramsijl) hoe u de sijfheidsmarix in de bewegingsvergelijking kun bepalen als u beschik over een compuerprogramma voor de berekening van saafconsrucies. b) Bepaal de eigenhoekfrequenies en de eigenvecoren van he syseem poraal-mebord. c) Geef de eigenrilvormen weer in een sches zoals fig.3b. d) De onwerper wil he syseem poraal-me-bord na oplevering beproeven door in de riching van u een harmonische krach aan e brengen: F u = 5cos(1 ) (eenheden N en s) Bereken de responsie van he syseem in seady sae. De sarijd word gelegd zodanig da de oplossing meeen aan de beginvoorwaarden voldoe (geen faseverschuivingen)