vermenigvuldigd ten opzichte van de y-as, zo ontstaat de grafiek van y

Transcriptie

1 9 Herhling en uireiding vn fgeleide vn e.- en e.-grdsfuncies... B '( ) 4.;. B '( ) 4.47 ; c. B '( ) = 4.5 y '(4) T (0) = 6,5 C ; T ( 0) = 4,5 C 5. Bevolkingsgrooe op feruri 00 is ongeveer N ongeveer 5 mnden elde de evolking 5,900 miljoen c. B( ) = B(0) + B '(0) 6. y (5, 4) = 89, ;. y = y () = = 9 en y '() = = 6 ;. y = y '() = en de rklijn is y = 9. y '(,5) 5 en y '(,5) = ;. y '() = y '( ) =, ; c. j; d. nies y ' = ; y ' = + ; y ' = + ; y ' = y = + 6 ; y = ; y = + ; y = C( ) = B( ) + en C '( ) = B '( ) - D( ) = B( ) en D '( ) = B '( ) - E( ) = B( ) en E '( ) = B '( ) - F( ) = B( ) en F '( ) = B '( ) De grfiek vn y word me een vermenigvuldigd en opziche vn de y-s, zo ons de grfiek vn y. y '(0) = y '(0) c. d. y '(.5) =. =.6 e. y '( ) = y '( ) 7. vericle verplsing; (,4) ;.5. vericle vermenigvuldiging; (, 6) ; 9 c. horizonle verplsing; (5, ) ;.5 d. horizonle vermenigvuldiging; (, ) ; ( ) = en omgekeerd ( ) =. y = = y. 9 = ; = 9 4. y '() = = 6

2 5. 6 (spiegelen in y = ) 6 6. y( ) = ; y( ) = 7. y '( ) = 8. (spiegelen in y = ) 9. y = ; y = ; y = y. y = y = y ( ). ( ) y = ; y( ) = y( ) = 4. y '() = wn spiegeling in y = 5. y () = ; y () = ; y () = 6. y '() y ' () 7. y = y = y = = ; y '() = y ' () = 9

3 0 Mchsfuncies en hun fgeleide He verschil zi in he ereik vn de funcies. c. Gemeenschppelijke punen voor even funcies (0, 0) ; (,) ; (,) en voor oneven funcies (0,0) ; (,) ; (, ) α > 0 oenemende sijging; α < 0 fnemende sijging α.7; α ;. ( ) = ; c ;. y ( ) = y ( ) ; c. 0; d ; e. 9,7,8 f ;. 8 ; c. ; d. e en. - c ( ) ( ) = = 5 y y(.0) y() 5 4. ijvooreeld = =... ( y = ).0 y 5. Neem en opziche vn seeds kleiner, dn g nr y = y = y 5. y = ( ) y = y. zie opgve 8 y () = y () = y ' () y ' ( ) = = ; y ' () = y ' () = 80 ; y ' = y ' c. 0.. c. = 5 = 5 en 5 4 = 5 = = = 0 = 0 = 0 = d. = 5. y '( ) = ; y '( ) = ( 4, 4 ) ; ( 4, 4 ) c. y '( ) 0. y '( ) = ; y '( ) = (( 5 5 ),( ) ) c. y '( ) R 5 < < 0 0 < < = 5 = 5 5 4

4 . Toenme huidoppervlke is H = H (60.) H (60) 0.9. c. H '(60) =. dm 60.9 kg 5. E(.5) 0,596 kg kg. E '(.5) 0,79 kg c. E(.6) 0, = 0.69 kg 64 grm d. Volgens de formule ws de vogel ongeveer 08 kg zwr. e. ( ) E E = 0. G G = f. De vogel word dn ongeveer 4 grm zwrder. 6. y ' = c. 7.. c. d y ' = 0 y ' = 5.5 y ' = y ' = +.5 y ' = + + y ' = dm 00 grm c. d. Voor groe word klein en dus groo en voor kleine word dus klein. Geruik deze info ij je redenering. groo en e. Bij een seriegrooe vn 6 of Voor groe R word 6 R kleiner en g V nr een mimum vn V ' = is posiief dus is V sijgend en de oenme neem f, dus V is fnemend R sijgend. c. De mimle snelheid is5. km uur De mimle oppervlke is 800 m. c. Oppervlke is en is miml voor = 4 4. =. - c. = 40 ; Men heef 60 meer hekwerk nodig. 4. He edrg n susidie is 70 euro.. He edrg n susidie is susidiepercenge projeckosen. c. De mimle susidie is.000 euro. d. Neo projeckosen: y = Hierin s voor projeckosen en 0. G ijvooreeld n de hnd vn y ' n, d voor sijgende projeckosen geld d ook de neo projeckosen sijgend zijn en wel oenemend sijgend. 4. J, hier is ij een groepsgrooe vn 88 een nl vn 0 voldoende ( 00 > 88 ).. Bij een groere groep elngheenden is voor he enodigde groere nl voorsnders sprke vn fnemende sijging. c. G n d, ls de fgeleide posiief is en de grfiek vn de fgeleide dlend, dn is de grfiek vn de funcie fnemend sijgend..

5 44. y( ) = y( + 4) ofwel y is de horizonle verplsing nr links vn y me 4 eenheden 4. y '( ) = y '( + 4) = 0.5 () = c. y( ) = 8; y() =.5; y(.6) = ; y( ) = 0.5( + 4) 45. y( ) = y( ) ofwel y is de horizonle verplsing nr rechs vn y me eenheden. y '(5) = y '(5 ) = () = = c. y(4) = ; y(.5) = ; y(6) = ; y( ) = 46. y( ) = y( + ) ofwel y is de horizonle verplsing nr rechs vn y me eenheden, gevolgd door een vericle verplsing nr eneden me eenheden.. y '() = y '( ) =.5 / () =.5 c. y (6) = ; y (0) = ; y () = ; y ( ) = 8 ( )

6 Eponeniële funcies en een ijzonder gel N werkuren heef Jn (9 ) euro verdiend. Hij ezi dn (4 + 9 ) euro. De grfiek vn Jns edrg ls funcie vn de ijd is een reche lijn.. N jr heef Joep ( ) = 4 ( + 0.) = 4. euro. N jr heef Joep ( ) = 4. ( + 0.) = 4. euro. N jr heef Joep ls funcie vn de ijd f ( ) = 4. euro. c. He nl uren vinden ls he edrg 000 euro is, kn ijvooreeld door de el funcie vn de GR e geruiken of door de grfiek e ekenen of e ploen en he snijpun e eplen me de lijn y = 000. Herschrijven vn de vergelijking kn ook Jn kn oplossen ui de vergelijking 000 = door e sellen =. Joep kn oplossen ui de vergelijking Rene over rene: 48 Als 0000 e =.000, dn = 4. door e sellen 9 log(000) log(4.) = <.05 <.05 <.0 <.005 <.000 < e = (.000 ) =.000 = dus e = ;44;45;π en 5;44;45;π. 5;;,45;π en ; ;45;π c. 5;;,45;π en ; ;45;π 5. = ln().0; ln(5) = 0.85; = ln(7).95; en. = e 0.09; = 48.4; = e e 4 4

7 + 5 c. e ; e ; e ; e ; en ln( ); ln( ); ln( e ); ln( )

8 4 De fgeleide vn eponeniële en logrimische funcies 5. (ln( )) e = en omgekeerd ln( e ) =. y = ln( ) = e y (ln(9)). e = 9 ln(9) 4. y ' = e = 9 5. de groeisnelheid is de richingscoëfficiën vn de rklijn in he pun is 9 (ln( )) 6. e = ln( ) 7. y ' = e = 8. de groeisnelheid is de richingscoëfficiën vn de rklijn is 5 y ' = e y ' = 4 y ' = 4e 7 y ' = y ' = e y.. =, y(0) = en y '(0) = ' e y y e ( ) = ( ) = ; 6. y () = y ( ) = e ;. 4. y '(6) = y (6) = e y '() = y '(6) = e 6 '( ) = '( ) = 6 y ' = 5. y y e 55. Als ( ) y = e en y( ) = y( + ) = e + dn g he om een horizonle verplsing nr links me eenheden, de grfiek vernder verder nie en dus y '( ) = y '( + ) = e Als y( ) = e +, dn y '( ) = e +.. y ' = ln(). ln() c.. e = ; ln(). e = ;. ls y = e, dn y ' = e ln() 4. = ln() en e = 56- B '(0) = 9. Bij een rene vn 4% groei de sprrekening op ijdsip = 0 me deze snelheid. 57 y ' = 00 ln(0.9) 0.9 ; B '( ) = ln() 4 ; y ' = e + ; A ' =.5 ln(.). p ; y ' = 8 e + + ln() 58 y = 4 e Als y = ln( ) = ln( ) + ln( ) dn y ' = c. Als y = ln( + ) dn ' = y + d. Als y = ln( + ) = ln( ) + ln( + ) dn y ' = De koelksemperuur is 6 C. De kmeremperuur is 9 C.. -

9 6. c. T ' = ln(0.78) 0.78 ; T ' > 0 en de grfiek is dlend, dus T is fnemend sijgend. d. T ' = c ( T 9) me c = ln(0.78) 5.9 v = e.4 D = en D. = v D ' > v D ' 5.6. ' DAB v c. vdab D e = en vzoab ' ZOAB = v D 6.0. e 0 d. = ln(.9) en = Neem ijvooreeld 00 ln(4750) ln(.9) DAB v =, dn L( ) = ln(00 ) 0.0 (g n), plo de grfiek en conroleer of he vermoeden evesigd kn worden... L '( v) = v = 0 voor v =,5 km uur c. Of neem he lwi eers f en drn weer oe? 6. Een eonweg word sneller schoongespoeld dn een sflweg.. idem ZOAB c. Als groer word, g 0en ( ) en sijg P 00 d. P ' > 0 c e en de grfiek is dlend, dn is P fnemend sijgend. c e

10 5 Comineren vn funcies 64 Wins = TO TK = q + 60q Als p = q ; p = q + 8 en TO = p p TO = q ( q + 8) = q + 8q c. Bijvooreeld, ls q = p = en di geef he pun (,) op de grfiek vn p me q = p = + 8 = 4 en di geef he pun (,4) op de grfiek vn p dn me q = TO = p p = 4 = 8 en di geef he pun (,8) op de grfiek vn TO 66 p q+ 0. Als p = q ; p = TK = q + 0 en GK = GK( q) = p q me GK sel voor de gemiddelde kosen uigedruk in q.. Bijvooreeld, ls q = 8 p = 8 en di geef he pun (8,8) op de grfiek vn p me q = 8 p = TK = = 6, geef he pun (8,6) op de grfiek vn p 67 p 6 dn me q = 8 GK = = = en p 8 4 di geef he pun ( q, GK( q)) (8, ) op de grfiek vn GK. 4 68

11

12 6 Produc-, quoiën- en keingregel 75 Sel: p is he nl docenen en q is he mndslris Dn sel p q de loonkosen LK voor, me LK = p q. LKvolgend jr = pvolgend jr qvolgend jr LK volgend jr = (00 + ) ( ) LKdi jr = pdi jr qdi jr LK di jr = (00) (000) Sijging = LKvolgend jr LK Sijging = di jr O = l + l = 60 0 = 0 (endering).. O = l = 60 0 = 0 De oenme is ij endering O = ( p + p)( q + q) pq = pq + p q + q q + p q pq = p q + q p ls we p q verwrlozen.. O p q+ q p p q q p p q p p = p + p = p + q O q c. O ' en q ' O ' p q ' + q p p c. - d. Sel:.0 p = p ' = l n(.0).0 en q = 8 q ' = 8 Dn: O ' = l n(.0).0 80 y = ( 4)( + 5) y ' = ( 4) + ( + 5) = y = e + y = e + + e (5 6)( 4) ' (5 6) ( 4) 5 y = ( + 0) y ' = 00 ( ( + 0) ln(0.98) 0.98 ) = ( + ( + 0) ln(0.98)) y = y = + = y = y ' = ( + 5) ln( ) ' 6 ln( ) ( ln( )) 5e 6 ( 4) 5 e (5e 6) y = y ' = ( + 4) y = + 0 y ' = + ln( ) ( ln( )) ' y = y = 4 9

13 8 f ( ) = ( ) ( 4). Voor g y en voor g y. Twee eremen.. f '( ) = ( )( ) Twee ereme wrden: 0 voor = en 4 voor =. Snijpunen me de -s: (,0) en (4,0). c f ( ) = + 9 Links vn A en rechs vn B is he verschil negief en g nr min oneindig. In A, B, C is he verschil 0. Tussen A en C is he verschil posiief en g nr een mimum en d is ook zo ussen C en B. En dus een lokl minimum ij C. Dus eremen. Of schrijf f ( ) ls f ( ) = ( ) en epl he oneindig gedrg vn dezelfde funcie, mr dn ls producfuncie. f ( ) = ( ). Voor ± g y. Drie eremen.. f '( ) = 6 ( ) Drie ereme wrden: c. 0 voor = 0 en 6.75 voor = ± Snijpunen me de -s: (,0) ; (0,0) ; (,0) 85 Om he oneindig gedrg e eplen kunnen we de funcie ekijken ls sp voor sp opgeouwd ui een meer elemenire funcie. Mr welke? De opouw kunnen we vinden door herschrijven vn de funcie in een vorm die we kunnen uipkken. We pkken ui om de elemenire funcie e vinden en vervolgens ouwen we de funcie weer op. Onderussen eoordelen we he oneindig gedrg op sis vn de elemenire funcie. Sp : herschrijven G n d = ( + ) 4 de sleuel is om

14 + 4 f ( ) = = e herschrijven nr 4 f ( ) = +. Sp : uipkken We hlen er eers f, vermenigvuldigen dn me - en delen vervolgens door 4. ( f ( ) ) Noemen we he resul g( ), dn ons g( ) ui f ( ) door 4 G n d dn voor g( ) geld g( ) = + en sel: h( ) =. Drukken we h( ) ui in g( ) dn h( ) = g( ) Inermezzo Als h( ) =, dn is de ijehorende y -wrde y Is ( ) ( ) =. Voor ± volg 0 h = h + = +, dn y = + en voor ± volg y. h ( ) = = = h ( ) h( ) + +, dn y = + Is Sellen we g( ) = h ( ), dn g( ) = + me y = + en 0 < y voor ±. y. en voor ± volg 0 < y. De grfiek vn deze funcie is symmerisch in de y -s, heef ereme wrde y = voor = 0 en horizonle sympoo y = 0 ( immers, y = en voor ± + volg dn y 0 ). De grfiek ij g( ) zie er ls volg ui: Sp : Comineren Sel f ( ) = 4 g( ), dn 0 < y 4 voor ±. Spiegelen we f ( ) in de -s, dn volg f( ) = f( ) me 4 < y 0 voor ±. N een vericle verschuiving vn + in de y - riching volg f ( ) = f ( ) + me < y voor ±. f ( ) f ( ) f ( ) 4 g( ) Dus = + = + = + en g( ) = 4 + f ( ) = 4 g( ) + = = + + me < y voor ±.

15 Conclusie Als willekeurig groo word, posiief of negief, dn lig de grfiek vn f ( ) = ussen de grenzenwrden + < y. Grfiek 8 Afgeleide vn f ( ) = is f '( ) = 4 g '( ) = + ( + ) Eremen: Als de fgeleide is 0, f '( ) = 0 voor 8 = 0 dus = 0. Voor = 0 is f (0) = =, de ereme wrde is dus y =. Snijpunen me de -s voor f ( ) = 0. A Bedenk, d ls f ( ) = = 0 dn A = 0 en B 0. B 86. De oenme vn he nl woningen is consn 40 per 0 jr. De groeifcor vn he nl inwoners is consn.5 per 0 jr. He nl woningen groei dus lineir en he nl inwoners eponenieel.. Per jr is de oenme De eginwrde 49 word fgelezen ij B (0) = 404 word fgelezen ij 000. De groeifcor per jr is.5. N T ' T N ' N T ln( g) T T ( N ln( g) ) B ' = = = N N N N = ; N ' = 40. = c. en T = ; T ' = ln( g) T ; g =.04 N( ) B( ) = me 0, om me de fgeleide e kunnen eoordelen of B lijd sijg, T ( ) T ( N ln( g) ) gn we n of B ' 0 me B ' = N G n d T, N, N,ln( g), groer zijn dn 0 voor willekeurig groe 0. Alleen moeen we nog onderzoeken ( N ln( g) ) = 0 dus N= ln( g )

16 49 N = 49 + = = 5.5 ln( g) ln( g) Voor < 5.5 is B ' negief en B dus dlend, mr we ekijken B voor 0. Dus: voor willekeurig groe 0 is B sijgend. d. De ezeingsgrd, he nl mensen per woning, B (0) =.8; B (0) =.45; B (0) =.9; B (50) = 4.5 ; B (00) = 6.87 ; B (00) = 8.76 In de nije ijd lijf he redelijk innen de perken, mr op ermijn (500 jr) is de sijging ijn vericl. e. De ezeingsgrd per woning neem oe, op de kore ermijn minder dn op de lnge ermijn. Mregelen nemen hng f de ccepiegrens. 87. A(0) = 0 en A'(0) = 8 ln(0.85) voor willekeurig groe 0, dn ook ( ) 0, dn g ( + ( )), Voor willekeurig groe 0 word de noemer in de formule kleiner en g nr, de eller is consn. De reuk word dn groer, A neem oe, de grfiek is sijgend. c. A'( ) > 0 voor willekeurig groe 0, dus groei de populie. d. N ongeveer.5 jr groei de populie he snels. e. 00 is de grenswrde 88. De mimle concenrie is n 5 minuen, C '(5) = 0.. Conroleer de fgeleide links en rechs vn he mimum op negief of posiief en rek je conclusie De mimle doorsroming is 0. Voor willekeurig groe snelheid neem he nl uo s oe o miml 0. c. De mimle doorsroming is dn ongeveer 4 uo s ij een snelheid vn 50 m s 90 5 d. v =... D 6.9 (...) D... + D. D T = T T = Neem voor de wrde die je he opgemeen. 6.9 c. =.905 π en = π 9 ( ) ( ) ( ) ( e ) ; ( e ) ; e ; e ; e ; (...)... + ( + ) + ( )

17 ( ) e e e e + 5 ( ) ln (...) 6 ln ( 6) + + ( 0.9) log(...) + 5 log( + 5) ( ) ( )... e ln... e e + 4 ln e + 4 ln(...) ln( ) ln( ) ln 5 ln( ) De helling is ongeveer 0.6. De helling is een verhoudingsgel. 0.5 c. Neem =, dn y '() = 0.5(6 + 9) = 0.5 : 5 = 0. En d is nie w we ij. heen uigerekend. 0.5 G n d de fgeleide is 0.5 (6 + ) 95 Bedenk d de fgeleide vn is ln( ) gelijk n ln( e) e = 4 e 96. S = S ' = S ln(0.9) jr jr jr. mnden is jr, m..w. = c. Verndering per mnd. d. S ' : S ' = S : S jr mnd jr mnd ( ) mnd mnd mnd mnd, welnu dn is de fgeleide vn e = ( e ) S = S ' = S ln(0.9) = S ln(0.9) Een oom vn 6 jr heef een hooge vn 8 meer en een economische wrde vn 4 euro. c. Neem de leefijd me 0 jr oe, dn neem de hooge oe me meer en de wrde me 4 euro. 98 ( ) ( ) d. h = W = ( ) = d =.4 dh =. ; = ; = dw dh =. =.4 d dh d dh d P = ( ) h W h dw. Op dg- neem he nl werknemers f me een snelheid vn 50 per dg dp c. Bij een nl vn 600 werknemers is dw = d. dp = dp d = 5 d dw d S ' = 00 + ( ).5

18 0 5 4 y = ( + ) sel + = u y ' = 0 ( + ) y = 4 e sel = u y ' = 8e y u y = 5 sel 5 = ' = ( ) y = sel + 4 = u y ' = ( ) ( ) 5 4 y = sel 6 = u y ' = 0 6 y = sel 6 = u y ' = ln(0.9) ( ) y u y = 4 + ln + 4 sel + 4 = ' = + 4 ( + ) 9 6 y = ( + 6 ) sel + 6 = u y ' = 0. Voor = 0 zijn de ole kosen euro.. Voor = 0 zijn de ole kosen ( + ) euro. c. 0 d. De kosen zijn miniml voor = 7 e ln( ). g '( ) = 4. h '( ) = + 5 c. i '( ) = ( ) ( ) 05. De vericle fsnd ussen de grfieken vn f en g is h = f g h is miniml voor h ' = f ' g ' = 0 f ' = g ' = ± 06 f g f ' f g ' f f '. ' = = 0 voor g f ' f g ' = 0 g f ' = f g ' = g g g g ' f f ' De -coördin volg ui he snijpun vn de grfieken en g g ' en g f g ' g f ' g g ' ' = = 0 voor f g ' g f ' = 0 f g ' = g f ' = f f f f ' g g ' De -coördin volg ui he snijpun vn de grfieken en f f ' 0000 Oppervlke: O = 4000 = l en Lenge: L = l = 8 +. Als = 0 dn volg L = De ole muurlenge is L = l = 8 +

19 07 c Voor willekeurig groo 0 en zo ook Als 0 dn en 000 Voor willekeurig groo en ls 0 dn 0. Di eeken voor he oneindig gedrg vn de ole muurlenge d ls willekeurig groo word, dn nder de ole muurlenge nr een lenge vn d. L ' = 8 = 0 voor = 50. Dus, ij een reede vn 50 is de ole muurlenge miniml. e. 5 A 5 A 5 A L = 8 + en L ' = 8 = 0 voor = 8 G n d e en e elkrs spiegeleeld zijn in de y-s en d ls de grfiek vn oenemend sijgend is, dn is de grfiek vn e fnemend dlend. (...). 0. ( e ) ( e e ) e e e 80 e e e Als K( ) = e 0. en L( ) K( 5 ) e en M ( ) 0 80 L( ) dn M ( ) = e = = = + 0. In sppen: Beginsiuie: Nemen we voor K de sndrdfuncie e, dn is 0 < K voor < 0 en is K < voor 0 <, wrij de grfiek vn K oenemend sijgend is.

20 Volgende sp: Spiegelen we K in de y -s, dn g de funcie over in L = K( ) = e en voor 0 < geld dn 0 < L, wrij de grfiek vn L dus fnemend dlend is. Trnsformie: horizonle vermenigvuldiging me fcor -; L( ) = K( ). Volgende sp: Bedenk 0. = 5 en g n d 0. ls L = e L = e, dn 0 5 < 0 < me 0 < L. Trnsformie: horizonle vermenigvuldiging me fcor 5. Volgende sp: 0. Vermenigvuldigen we L me 80, dn g de funcie over in M = 80 L( ) = 80 e, we rekken de grenzen vn L op me fcor 80, dn geld voor willekeurig groe 0 d 0 < M 80, dus voor 0 < volg 0 < L 0 < M 80. Trnsformie: vericle vermenigvuldiging me fcor 80. Lse sp: 0. Len we M overgn in 0 + M, dn g de funcie over in M ( ) = e en voor 0 < volg 0 < M 80 0 < M 00. Trnsformie: vericle verschuiving me 0 eenheden omhoog. Dus: voor willekeurig groe 0 is de grfiek fnemend dlend vn 00 nr 0. An de formule is dus e zien d de koffie vn 00 C seeds minder snel fkoel nr een kmeremperuur vn 0 C. 0. De fgeleide: K ' = 6e De fgeleide is negief en sijgend, dus is de funcie fnemend dlend. uigedruk in K : K 0 = 5 ln 80

21 08. Beselkosen: = 00 euro Gemiddeld s een mchine een hlve periode op voorrd. Voorrdkosen: 4 (6000 ( 4 euro)) = 000 euro Tole kosen: = 500 euro. De kosen ( K) esn ui de eselkosen ( BK) smen me de voorrdkosen ( VK ). In formulevorm: K = BK + VK He nl esellingen hng f vn de omvng vn de eselling ( ) en is 4000 Een esellingomvng vn = 6000 resuleer dn in een nl vn = 4 esellingen op jrsis De eselkosen zijn 800 euro per eselling, dus BK = 800 = De voorrdkosen zijn 4 euro per mchine per jr. Als de verkoop gelijkmig over he jr verdeeld is, dn is een mchine gemiddeld een hlf jr op voorrd en zijn de voorrdkosen euro per eselde mchine., dus VK = Me K = BK + VK volg K = + c. De opimle eselgrooe is een nl vn ongeveer 098. d K = D + K ' = D

22 . r. PV ' = e ( r v + 4) me r is 6% en v = PV ' = 0 voor 49 jr 5 c. = + r 7