Voorwoord. Hoofdstukken:
|
|
- Tessa Claessens
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend geheel Begrippen en mehoden, waarmee we op school op min of meer inuïieve wijze kennis hebben gemaak, worden in di boek op een wiskundig veranwoorde manier van de grond af aan opnieuw opgebouwd Een belangrijk doel is he zelf leren bewijzen door kennis e maken me de gangbare bewijsmehoden De focus is hier meer op de heoreische srucuur van genoemde wiskundegebieden gerich dan op prakisch rekenwerk en concree oepassingen Elemenaire rekenvaardigheid mb algebraïsche formules, eponeniële, logarimische en goniomerische funcies, differeniëren en inegreren en enige kennis van de schoolmeekunde word bekend veronderseld Hoofdsuk geef een kore samenvaing van de begrippen en noaies die nie o de vwo-sof behoren, maar die wel nodig zijn voor een goed begrip van de volgende hoofdsukken Hoofdsukken: Basisbegrippen De geallenlijn 3 Limieen, coninuïei en afgeleide 4 Inegralen 5 De eenheidscirkel en goniomerie 6 Vlakke meekunde 7 Cirkels, driehoeken en ransformaies van he plae vlak 8 Primiieven en Riemannsommen 9 Hogere afgeleiden 0 Krommen en oppervlake Kennis van deze onderwerpen is noodzakelijk voor iedereen die een eac vak sudeer op universiair bachelorniveau Als voorkennis is in principe wiskunde B op vwoniveau voldoende IJls, okober 0 Rinse Pooringa
2 Inhoud Basisbegrippen Verzamelingen Geordende paren 4 3 Funcies, afbeeldingen 5 4 Indenoaie, rijen 8 5 De lege verzameling nader bekeken 6 Bewerkingen 7 Groep 4 8 Direc produc 5 9 Srucuurbehoudende afbeeldingen 5 0 Ondergroep 6 Een inern direc produc 8 De kern van een groepshomomorfie 9 3 De nauurlijke geallen 0 4 Decimale schrijfwijze 3 5 Gehele veelvouden 4 6 Groose gemene deler 6 7 Priemgeallen 7 8 Afelbare verzamelingen 8 9 Equivalenierelaies 9 0 Ordening 3 Lichamen 34 Complee geallen 38 De Geallenlijn 40 De lijn 40 Een lijnsuk in gelijke delen verdelen 43 3 Archimedische ordening 45 4 Inervallennes 47 5 He besaan van worels 50 6 Kleinse bovengrens en groose ondergrens 5 7 Scalair produc 56 8 Lenge, afsand en absolue waarde 60 9 Verhoudingen op een lijn 6 0 Lineaire ruimen 63 Afsand, inproduc en orhogonaliei 7 Geordende lichamen 74 3 Lijnen me vase oorsprong 75 4 Eponeniële en logarimische funcies 79 5 Besaan er eigenlijk wel reële geallen? 8
3 3 Limieen, coninuïei en afgeleide 85 3 Monoone funcies 85 3 Convergene rijen Inervallen, open en gesloen verzamelingen Monoone funcies en coninuïei Coninuïei Machen me raionale eponenen De limie van een funcie in een verdichingspun van zijn domein De afgeleide Ereme waarden 30 Selling van Rolle, middelwaardeselling 3 Sijgen en dalen 3 3 Producregel, quoiënregel en keingregel 4 33 Plus en min oneindig 7 34 Lipschizconinuïei en uniforme coninuïei 9 35 He convergeniekenmerk van Cauchy 36 Differenieerbaarheid van de eponeniële en logarimische funcies 37 Alernaieve definiies van de eponeniële en logarimische funcies 6 4 Inegralen 30 4 Middelwaardeselling en oppervlake 30 4 Primiieve 3 43 Oppervlake onder de grafiek van een funcie 3 44 Inegraalfuncie Samfuncie Inegreerbaarheid 4 47 Primiieven en samfuncies He inegraaleken De nauurlijke logarime Eponeniële funcies 5 4 Logarimische funcies 55 4 Machsfuncies Enkele belangrijke limieen Oneigenlijke inegralen 59 5 De eenheidscirkel en goniomerie 6 5 Sinus, cosinus en angens 6 5 Cosinusregel, sinusregel en oppervlakeformule 6 53 De symmerieën van de eenheidscirkel Radialen Cosinus en sinus als funcies me domein Eigenschappen en formules van de sinus en cosinus Uniekheid van de sinus en de cosinus De arcsinus en arccosinus 7 59 De angens 73
4 50 Arcangens 74 5 He besaan van de sinus, cosinus en angens 76 5 Nog een andere karakerisering van de sinus en de cosinus De lenge van een grafiekboog Booglenge bij monoone funcies Andere eigenschappen die recificeerbaarheid garanderen 8 56 De cyclomerische funcies als oppervlake van de eenheidscirkel Argumen en modulus van een pun Roaies om O en georiëneerde hoeken Spiegelen ov een lijn door O 88 5 Complee geallen en poolcoördinaen 89 6 Vlakke meekunde 9 6 als lineaire ruime 9 6 Lijnen in 9 63 Translaies De parameervoorselling van een lijn Beschrijving van een lijn dmv deerminan of inproduc He comple produc 0 67 Spiegelen ov de -as De draaivermenigvuldiging Eigenschappen van inproduc en deerminan Oriënaie en hoofdwaarde van georiëneerde hoeken 06 6 Nie-georiëneerde hoeken 08 6 Cosinusregel en sinusregel 0 63 De hoek ussen wee lijnen 64 Verhoudingen 4 65 Geriche lenge 4 66 De afsand van een pun o een lijn, de afsand van wee evenwijdige lijnen 6 67 Halfvlakken 7 68 F-hoeken en Z-hoeken 9 69 Oppervlake van driehoeken en parallellogrammen 0 60 Lineaire en affiene afbeeldingen 3 6 Gelijkvormigheden en congruenies 30 6 Overgang op een nieuw coördinaenselsel 34 7 Cirkels, driehoeken en ransformaies van he plae vlak 36 7 Cirkel 36 7 Bissecrice Oppervlakecoördinaen 4 74 De sellingen van Ceva en Menelaus Congruene driehoeken Gelijkvormige driehoeken Congruenies 5 78 Vermenigvuldigen ov een pun Equivalene figuren 58
5 70 Ellipsen, hyperbolen en parabolen 59 7 De mach van een pun ov een cirkel 66 7 Inversie ov een cirkel Harmonisch scheiden 7 74 Sereografische projecie Cenrale projecie Möbiusransformaies 79 8 Primiieven en Riemannsommen 83 8 Differeniëren 83 8 Primiiveren Subsiuieregel 9 84 Pariële inegraie Oppervlake Riemannsommen Hogere afgeleiden De bese lokale affiene benadering van een funcie He o-symbool van Landau Hogere afgeleiden Een uibreiding van de middelwaardeselling De regel van l Hospial 3 96 Lokale benadering door Taylorpolynomen De selling van Taylor Taylorpolynoom Ta, n ( ) bij vase en oenemende n 3 99 De reserm in inegraalvorm Conve en concaaf Uniforme convergenie 33 0 Krommen en oppervlake Krommen in Differenieerbaarheid en raaklijnen De lenge van een kromme De oppervlake van een vlakdeel Poolcoördinaen De lenge van een kromme in poolcoördinaen De oppervlake van een secor Oppervlake en inervalsommen 380 Lierauur 385 Trefwoorden 386
6
7
8 5 De eenheidscirkel en goniomerie 5 Sinus, cosinus en angens Op school zijn we de goniomerische funcies sinus, cosinus en angens voor he eers egengekomen in een meekundige cone Goniomerie beeken leerlijk hoekmeing In de rechhoekige driehoek ABC hiernaas geld de selling van Pyhagoras: a b c He omgekeerde geld ook: als a b c, dan C 90 Er geld: aanliggende rechhoekszijde cos b c schuine zijde, oversaande rechhoekszijde sin a c schuine zijde, a oversaande rechhoekszijde an b aanliggende rechhoekszijde en nauurlijk cos a, sin b en an b We merken op da 90, wan c c a de hoeken van een driehoek zijn samen 80 Hierui blijk: cos(90 ) sin, sin(90 ) cos, an(90 ) an Twee hoeken die samen 90 zijn, noemen we elkaars complemen De co-sinus van is eigenlijk de sinus van he complemen van : cos sin(90 ) Om dezelfde reden word ook wel de coangens van genoemd: an coan an(90 sin ) Er geld an an cos We zien de selling van Pyhagoras erug in [We schrijven cos ipv (cos ) en analoog cos sin sin ] Vermenigvuldigen we de zijden van ABC me een facor r 0, dan blijven sin, cos en an gelijk
9 6 Analyse + Meekunde Als a 0, dan hebben we geen driehoek meer en c b He lig voor de hand om sin 0 an 0 0 en cos0 e sellen Willen we da bovensaande formules voor 90 blijven gelden als 0, dan moeen we definiëren sin90, cos90 0 ; an90 besaa nie Opgave Ga me behulp van een gelijkzijdige driehoek ABC, me daarin hoogelijn CD, na da sin30 cos60, sin 60 cos30 3 en an30 3,an 60 3 Toon ook aan da sin 45 cos 45 en an 45 He is de gewoone om in ABC (de grooe van) de hoeken bij A, B en C aan e duiden me, resp en (de lengen van) de zijden egenover deze hoeken me a, b en c 5 Cosinusregel, sinusregel en oppervlakeformule Cosinusregel: in ABC geld: b a c ac cos Bewijs In de figuur hiernaas geld volgens Pyhagoras: b ( c ) h en h a, dus b ( c ) a a c c a c ac cos, wan cos a Verwisselen van leers geef ook a b c bc cos en c a b ab cos h In driehoek ABC geld sin, dus h asin De oppervlake van deze driehoek is basis hooge c h acsin Door verwisselen van leers krijgen a we: Oppervlakeformule opp ABC acsin ab sin bcsin 3 De sinusregel sin sin sin volg ui de oppervlakeformule a b c Deze bewijzen gaan alleen op voor een ABC CD op zijde AB lig Als 90 b a c ac cos word waarin he voepun D van hoogelijn, dan 0 en cos 0, dus b a c We krijgen dan de selling van Pyhagoras als speciaal geval van de cosinusregel Omgekeerd: als b a c, dan cos 0 en 90 Ook de oppervlakeformule klop voor een rechhoekige driehoek, wan sin 90 Opda de cosinusregel en oppervlakeformule ook voor een somphoekige driehoek als hiernaas blijf gelden definiëren we cos(80 ) cos
10 5 De eenheidscirkel en goniomerie 63 0 Voor 0 geef di cos80 cos 0 Verder sellen we sin(80 ) sin Voor 0 0 geef di sin80 sin 0 0 Me deze definiies gelden de cosinusregel a b c bc cos en de oppervlake- formule opp ABC bc sin, als 0 80 Toon di aan Twee hoeken die samen 80 zijn heen elkaars supplemen 53 De symmerieën van de eenheidscirkel Lijnen en cirkels beschouwen we als verzamelingen waarvan de elemenen punen zijn Een verzameling punen in noemen we ook wel een figuur Een afbeelding van op zichzelf waarbij afsanden behouden blijven word een congruenieafbeelding of korweg een congruenie genoemd Zo'n afbeelding beeld een lijnsuk af op een even lang lijnsuk, een cirkelboog op een even - lange cirkelboog en een driehoek op een daarmee congruene driehoek Voorbeelden van congruenies zijn ranslaies, roaies, en spiegelingen He na elkaar uivoeren van congruenies lever weer een congruenie op Een congruenie is omkeerbaar en de inverse afbeelding is ook weer een congruenie Een congruenie die een figuur op zichzelf afbeeld noemen we een symmerieafbeelding of korweg symmerie van die figuur Bij een spiegeling me lijn als spiegelas word elk pun op op zichzelf afgebeeld Liggen de punen P en Q nie op, dan zijn P en Q elkaars spiegelbeeld ov precies dan, wanneer de middelloodlijn van lijnsuk PQ is He gaa ons hier om de symmerieën van de eenheidscirkel me sraal en middelpun O Op de eenheidscirkel liggen de punen die voldoen aan de vergelijking y We gebruiken he symbool voor de eenheidscirkel, {(, y) y } Iedere middellijn van is een symmerieas van de eenheidscirkel, dwz een spiegeling ov een lijn door O beeld de eenheidscirkel op zichzelf af Zijn P en Q wee punen op, dan zijn P en Q elkaars spiegelbeeld bij de spiegeling ov de middelloodlijn van lijnsuk PQ Deze middelloodlijn gaa door O [Als P Q, dan is middellijn OP ( OQ) de spiegelas] He samensellen van wee spiegelingen ov lijnen door O geef een roaie om O, waarbij de eenheidscirkel op zichzelf word afgebeeld Als P en Q wee punen op de eenheidscirkel zijn, dan is er precies één roaie om O waarbij Q he roaiebeeld is van P Als P Q, dan is deze roaie de idenieke afbeelding, die ieder pun op zichzelf afbeeld Als P Q, dan kan deze roaie o sand worden gebrach door eers e spiegelen me spiegelas OP en daarna me de middelloodlijn van lijnsuk PQ als spiegelas [maak een ekening!] Iedere symmerie van de eenheidscirkel is een spiegeling ov een lijn door O of een roaie om O De symmerieën van vormen een groep me he samensellen van afbeeldingen als groepsbewerking Deze groep hee de symmeriegroep van De roaies om O vormen een ondergroep van deze symmeriegroep
11 64 Analyse + Meekunde Opmerking Er is precies één roaie om O die pun E (,0) afbeeld op pun E (0,) Of er een kwarslag egen de klok in gedraaid is of driekwarslag me de klok mee doe er nie oe Wie alleen op he eindresulaa le zie geen verschil Twee afbeeldingen F en G me gemeenschappelijk domein D zijn gelijk precies dan, wanneer F( X ) G( X ) voor iedere X D 54 Radialen Op school is op een gegeven momen me behulp van de eenheidscirkel een nieuwe hoekmaa ingevoerd, waarbij hoeken worden gemeen in radialen ipv graden Is AOB een hoek me hoekpun O en benen OA en OB me A en B op de eenheidscirkel, erwijl in graden 0 AOB 80, dan sellen we de grooe van AOB in radialen gelijk aan de lenge van de cirkelboog AB die binnen AOB lig, dwz we nemen lenge van de korse van de beide cirkelbogen me eindpunen A en B Hoe we de lenge van een cirkelboog definiëren en berekenen gaan we laer bekijken We nemen aan da bij een spiegeling van de eenheidscirkel ov een lijn door O een cirkelboog (van ) en zijn spiegelbeeld dezelfde lenge hebben Roaie om O kom neer op keer spiegelen ov een lijn door O, dus ook bij een roaie verander de lenge van een cirkelboog nie We hebben geleerd da de omrek van een cirkel me sraal r gelijk is aan r, dus een lijn door O verdeel in wee even lange cirkelbogen, ieder me lenge Zijn A en B wee verschillende punen op de, dan noemen we lijnsuk AB een koorde van Liggen A en B op een lijn door O dan is lijnsuk AB en ook lijn AB een middellijn van Is AB geen middellijn, dan hoor bij koorde AB precies één boog AB me een lenge kleiner dan en de grooe van AOB in radialen is dan gelijk aan de lenge van deze boog Als grensgevallen sellen we de grooe van AOB op 0 radialen, wanneer A B en op radialen wanneer AB een middellijn van is Voor he omrekenen van graden naar radialen en omgekeerd gebruiken we de omrekenformule 80 rad Bijvoorbeeld 90 rad, 45 rad, 30 rad, 60 rad ec Verder 80 4 rad 80 en rad 6 Een gesreke hoek is een hoek van radialen en een reche hoek is een hoek van radialen 3
12 5 De eenheidscirkel en goniomerie Cosinus en sinus als funcies me domein Nog ies laer in onze schoolcarrière zijn we de sinus, cosinus en angens gaan opvaen als funcies me domein De in cos resp sin sel dan een reëel geal voor da nie noodzakelijk geassocieerd is me een hoek Om di e moiveren gaan we in eerse insanie meekundig e werk Bekijk de figuur hiernaas Is P(, y ) een pun op de bovense helf P p van de eenheidscirkel, dan is yp 0 en AOP me A E (,0) is een hoek van radialen, wanneer boog AP de lenge heef Er geld 0 Boog AP is de boog die doorlopen word als we over de cirkel van A naar P gaan egen de wijzers van de klok in We definiëren nu voor he geal [0, ] de cosinus en sinus dmv cos P en sin yp Als,0, dan nemen we pun P( P, yp ) op he deel van da onder de -as lig Dan lig ook de bijbehorende cirkelboog AP (me uizondering van pun A) onder de -as en we kiezen P zodanig da de lenge van boog AP is Boog AP word doorlopen wanneer we me de wijzers van klok mee over de cirkel van A naar P gaan We sellen weer cos en sin y Daarmee zijn cos en sin nu gedefinieerd voor, ] P P Er geld cos( ) cos en sin( ) sin( ) Verder pun (, y) geld y waarden van, ] zo da cos 0 We definiëren de angens dmv cos sin, wan voor een sin an cos voor Voorbeeld In de figuur hiernaas geld (in radialen): AOP, AOQ u, dus POQ u Verder ( p, p ) (cos,sin ), ( q, q ) (cos u,sin u), me p p, q q In POQ geef de cosinusregel PQ OP OQ OP OQ cos( u) Ga na da he linkerlid gelijk is aan ( pq pq ) en da he recherlid zich laa herleiden o cos( u), zoda cos( u) pq pq cos cosu sin sin u Hiermee is de verschilformule cos( u) cos cos u sin sin u bewezen voor he geval da 0 u Ui de figuur blijk verder da cos 0 voor [0, en da cos 0
13 66 Analyse + Meekunde We hebben geleerd da de oppervlake van een cirkel me sraal r gelijk is aan r, dus de oppervlake van de eenheidscirkel is Zijn A en B punen op zo da de lenge van boog AB gelijk is aan me 0,, dan is de oppervlake van de cirkelsecor begrensd door boog AB en de beide sralen OA en OB gelijk aan (opp ) omrek We gaan nu na da sin lim 0 Neem daaroe pun P(, y) me, y 0 op De lijn OP snijd de vericale lijn in he pun S AS is de raaklijn aan de eenheidscirkel in pun A (, 0) Vergelijken we de oppervlaken van OAP, OAS en de cirkelsecor begrensd door de sralen OA, OP en boog AP, dan zien we da opp OAP oppsecor opp OAS [Als V W, dan opp V opp W wanneer de figuren V en W een oppervlake hebben] Da beeken da sin an ofwel sin cos me 0, sin Hierui volg lim en dus ook lim Me sin( ) sin vinden we 0 sin 0 sin dan lim 0 Om ensloe cos en sin e definiëren voor iedere gaan we als volg e werk: we sellen cos cosu en sin sin u, wanneer u mod Di laase beeken da er een geal k is zo da u k ofwel u k Bij iedere is er precies één u, ] zo da u mod Hiermee worden de cosinus en de sinus periodieke funcies me periode (= omrek eenheidscirkel) me domein Me k geld cos( k ) cos en sin( k ) sin We definiëren de angens sin weer dmv an voor waarden van zo da cos 0 cos 5 Voorbeeld Een pun P beweeg zich over een cirkel in posiieve draairiching, wanneer P egen de wijzers van de klok in beweeg De negaieve draairiching over de cirkel gaa me de klok mee Wanneer pun P( P, yp ) zich vanui pun A(, 0) in posiieve draairiching over een afsand 0 over de eenheidcirkel bewogen heef, dan cos P en sin yp Pun P kan hierbij meerdere keren de cirkel rond gewees zijn Als bijv, dan bevind P zich in pun (0, ) [ keer rond en daarna nog driekwar cirkel verder, alles egen de klok in vanui A]
14 5 De eenheidscirkel en goniomerie 67 Wanneer pun P(, y ) zich vanui pun A(, 0) in negaieve draairiching over een P P afsand 0 over de eenheidscirkel bewogen heef, dan cos( ) P en sin( ) yp Als bijv P zich over een afsand in negaieve draairiching vanui A over de 3 3 cirkel bewogen heef, dan is P één keer rond gewees, daarna nog een halve cirkel verder en ensloe nog eens over een afsand van 3 ofwel deel van een halve cirkel, 3 alles me de klok mee P bevind zich dan in pun (, 3), dus cos( 3 ) en 3 sin( 3 ) Eigenschappen en formules van de sinus- en cosinus In de voorgaande paragrafen is op een meekundige manier aannemelijk gemaak [maar nie ech bewezen] da er funcies sinus en cosinus me domein besaan me de hieronder genoemde eigenschappen G /m G4: 56 Eigenschappen van de funcies cos, sin me domein G cos( u) cos cos u sin sinu G cos 0 en cos 0, als 0 G3 sin( ) sin sin G4 lim 0 Bij de meekundige moivaie van deze eigenschappen hebben we aangenomen da de omrek van de eenheidscirkel gelijk is aan en da he geal ook de oppervlake van de eenheidscirkel voorsel Volgens G is he geal he kleinse posiieve geal zo da cos 0 Da he hierbij seeds om hezelfde geal gaa, moeen we nog bewijzen De meekundige moivaie die leidde o de in 56 geformuleerde eigenschappen van de sinus, cosinus en he geal mogen we vanaf nu vergeen In de volgende paragrafen gaan we bewijzen da er inderdaad een geal en funcies cosinus en sinus me de eigenschappen G, G, G3 en G4 besaan In deze paragraaf zullen we eers onderzoeken welke eigenschappen he geal en de funcies sinus en cosinus ui 56 nog meer moeen hebben, veronderseld da ze besaan Ui G /m G4 volg: () sin 0 0, cos0, sin en sin 0, als 0, () cos sin, (3) cos( ) cos, (4) cos( ) sin, sin( ) cos Opmerking Ui () blijk da he pun (cos, sin ) voor iedere op de eenheidscirkel lig Er geld dus cos, sin Bewijs Ui G3 volg me 0 da sin(0) sin 0, dus sin(0) 0 Ui G4 volg da sin nie voor iedere gelijk aan 0 is Ui G volg me u 0 da cos 0 cos 0, dus cos0 0 of cos0 Me u volg ui G da cos sin cos 0 voor iedere, dus cos0 0 kan nie, wan da zou beekenen da cos sin 0 voor iedere
15 68 Analyse + Meekunde Hiermee is aangeoond da cos0 en cos sin Ui cos 0 en cos sin volg sin of sin We laen zien da sin Ui G4 volg namelijk da er een r 0 is zo da sin voor r, r Dan geld voor 0 r da sin en dus sin 0 Als r 0, da sin en dus sin 0 We nemen hierbij r zodanig da 0 r Voor 0 r geld dan cos( ) 0, sin 0 en cos( ) cos cos sin sin sin sin, dus sin en nie sin Tegelijk is aangeoond da cos( ) sin Vervangen we in de laase formule door, dan krijgen we cos sin( ) Hiermee is (4) bewezen Da sin 0, als 0, volg ui cos( ) sin en G Wa beref (3): ui G volg cos( u) cos( u ) Nemen we hierin u 0, dan krijgen we cos cos( ) (5) Som en verschilformules cos( u) cos cos u sin sinu, cos( u) cos cosu sin sinu, sin( u) sin cos u cos sin u, sin( u) sin cosu cos sin u Bewijs De formule voor cos( u) is G en de formule voor cos( u) krijgen we hierui door u e vervangen door u en daarna G3 en (3) oe e passen De formules voor sin( u) volgen ui die voor cos( u) dmv sin cos( ) Ui (5) volgen direc: (6) Formules voor cos cos sin cos sin, sin sin cos (7) Formules voor en cos( ) sin, sin( ) cos, cos( ) sin, sin( ) cos, cos( ) cos, sin( ) sin (8) Cosinus en sinus zijn periodiek me periode Voor k geld: cos( k ) cos, sin( k ) sin Opmerking Ui de formules voor cos in (6) volgen de formules cos ( cos ) en sin ( cos )
16 5 De eenheidscirkel en goniomerie 69 Voorbeeld 4 sin ( cos ) en sin 0 [zie ()], dus sin 4 4 Ook cos Op deze manier zien we bevesigd wa we ui de meekunde al wisen 4 (9) De cosinus en de sinus zijn differenieerbaar op Er geld cos ( ) sin en sin ( ) cos voor iedere sin h sin h sin 0 Bewijs Ui lim volg, da de sinus differenieerbaar is in 0 en h0 h h 0 da sin (0) De sinus is dus ook coninu in 0 Verder geld sin ( h) ( cos h) en dus cos h cos 0 lim h 0 h0 h cos h sin ( h) lim lim h0 h h0 sin( h) sin( h) lim sin( h) h0 lim h sin( h) lim 0 0 h0 0 h Da beeken da ook de cosinus differenieerbaar is in 0 en da cos (0) 0 sin( h) sin( ) (cos sin h cos h sin ) sin sin h cos h Ui cos sin h h h h sin( h) sin( ) volg nu lim cos ofwel sin ( ) cos Toon zelf op soorgelijke h0 h manier aan da cos ( ) sin Opmerking In de volgende paragraaf laen we zien da er hoogsens één funciepaar cosinus en sinus is me de in (9) genoemde eigenschap Gevolg: (0) De cosinus en sinus zijn coninu, () De cosinus is srik dalend en de sinus is srik sijgend op he inerval [0, ] () Formules voor cos cosu en sin sin u cos cosu cos ( u)cos ( u), cos cosu sin ( u)sin ( u), sin sin u sin ( u)cos ( u), sin sin u cos ( u)sin ( u) Bewijs Ui sin( a b) sin a cosb cos asin b en sin( a b) sin acos b cos asinb volg door opellen: sin( a b) sin( a b) sin acos b Er geld: a b, a b u a ( u), b ( u) Ec Idem voor de res van ()
17 70 Analyse + Meekunde Opgave Toon me behulp van () aan da (i) cos cos u u k of u k voor zekere k (ii) sin sinu u k of u k voor zekere k Ga ook na: cos cosu èn sin sin u u (mod ), maw de afbeelding : (cos,sin ) is een --afbeelding van [0, op de eenheidscirkel Voorbeeld We gaan na da cos 3 en sin 6 6 Er geld cos 3 cos( ) cos cos sin sin (cos ) cos cos sin Vervangen we hierin 3 sin door cos, dan krijgen we cos 3 4cos 3cos Me krijgen we waarin cos We ween da 0, dus ofwel y sin geld y 0 en y, dus y Ui (4) volg dan 3 3 cos en sin / 4 3 Me 57 Uniekheid van de sinus en de cosinus Volgens eigenschap (9) ui 56 zijn de sinus en cosinus differenieerbaar en sin ( ) cos, cos ( ) sin voor Is een funcie f differenieerbaar, dan is he mogelijk da ook de afgeleide f op zijn beur weer differenieerbaar is De afgeleide van de afgeleide van f noemen we de weede afgeleide van f en duiden we me een dubbel accen aan als f Ga na da zowel de sinus als de cosinus op voldoen aan (*) f f Een funcie f me deze eigenschap is oneindig vaak differenieerbaar en op geld f f f f f f f f 0 Dus is een consane funcie ofwel f ( f ) [ f ( f ) ] ( f ( )) ( f ( )) ( f (0)) ( f (0)) voor iedere Me f ( ) sin geef di bijv sin cos Ga verder na: zijn f en g wee funcies die voldoen aan (*), dan geld di ook voor a f b g als a, b Ihb voldoen alle funcies a cos b sin me a, b aan (*) We gaan nu na da deze funcies de enige funcies zijn die voldoen aan (*) Sel namelijk da ook g : voldoe aan (*) en da g(0) a en g(0) b Dan voldoe f ( ) g( ) ( a cos b sin ) aan (*) en f (0) g(0) a a a 0 en ook f (0) g(0) ( a sin 0 b cos0) b b 0 Dus geld ( f ( )) ( f ( )) ( f (0)) ( f (0)) 0 voor iedere Da beeken da f ( ) f ( ) 0 ofwel g( ) a cos b sin voor iedere 57 Voor een minsens weemaal differenieerbare funcie f : geld: f f op f ( ) f (0) cos f (0) sin voor iedere 57 houd in da (i) iedere minsens weemaal differenieerbare funcie f zo da f f op, f (0) 0 en f (0) samenval me de sinusfuncie en da (ii) iedere funcie g zo da g g op, g(0) en g(0) 0 samenval me de cosinusfuncie Door deze eigenschappen worden de sinus en de cosinus eenduidig gekarakeriseerd en alle verdere eigenschappen van de sinus en de cosinus kunnen we hierui af-
18 5 De eenheidscirkel en goniomerie 7 leiden Da beeken overigens nie da we de sinus en de cosinus simpelweg kunnen definiëren dmv (i) resp (ii), wan he besaan van funcies die voldoen aan (i) en (ii) is dmv bovensaande selling alleen gegarandeerd door ui e gaan van he besaan van de sinus en de cosinus Voorbeeld De somregels voor de sinus en cosinus zijn een onmiddellijk gevolg van bovensaande selling Bekijk g( ) sin( p) Voor deze funcie geld g g, g(0) sin p en g(0) cos p, dus g( ) sin p cos cos p sin voor iedere Op dezelfde manier bewijzen we cos( p) cos p cos sin p sin Ga na: 57 Als f, g : differenieerbare funcies zijn zo da (i) f (0), g(0) 0, (ii) f g, g f, dan f ( ) cos en g( ) sin, voor iedere Uigaande van he besaan van sinus en cosinus beschikken we over genoeg gegevens om de grafieken van deze funcies e kunnen ekenen De waarden van cos en sin zijn bekend wanneer een geheel veelvoud van is Hezelfde geld voor de gehele 4 veelvouden van [Zie 56] Ga na da deze grafieken er ui zien als de grafieken 6 hieronder He bereik van de funcies is [,] 58 De arcsinus en arccosinus Ga na da de beperking f van de sinus o he inerval [, ] srik sijgend is He bereik van f is [,] Dus f heef een inverse g me domein [,] en bereik [, ] De grafiek van g f krijgen we door de grafiek van f in de lijn y e spiegelen Funcie f heef een posiieve afgeleide op, en f ( ) f ( ) 0 Volgens 33 beeken di da funcie g een posiieve afgeleide heef op, en nie differenieerbaar in de randpunen en [zie de vericale raaklijnen aan de grafiek]
19 7 Analyse + Meekunde Funcie g is coninu op [,] me g( ) en g() Funcie g word de arcsinus genoemd Voor [,] geld sin(arcsin ) Voor, geef differeniëren me behulp van de keingregel sin (arcsin ) arcsin ofwel cos(arcsin ) arcsin Me y arcsin geld sin y, y, en cos y 0 Dus voor, cos y sin y en arcsin cos y Maw de arcsinus is op, een primiieve van de coninue funcie Verder geld arcsin 0 0 Di alles beeken da geld voor iedere [,] Me of is (/, ) een oneigenlijke inegraal Samengeva: 58 Arcsinus Voor [,] geld 0 0 arcsin (/, ) 0 arcsin (/, ), een oneigenlijke inegraal als of De arcsinus is coninu op [,] en coninu differenieerbaar op, Voor, geld arcsin ( ) / Op soorgelijke wijze kunnen we de arccosinus definiëren als de omkeerfuncie g van de funcie f, wanneer we voor f de beperking van de cosinus o he inerval [0, ] nemen Funcie f is daar differenieerbaar me negaieve afgeleide op 0, en f (0) f ( ) 0 De omkeerfuncie g is coninu op [,] en differenieerbaar me negaieve afgeleide op, He bereik van g is [0, ] Ui cos sin( ) volg arccos arcsin of wel arccos arcsin Me deze formule volgen de eigenschappen van de arccosinus onmiddellijk ui die van de arcsinus
20 5 De eenheidscirkel en goniomerie Arccosinus De arccosinus is de omkeerfuncie van de beperking van de cosinus o he inerval [0, ] Op [,] geld arccos arcsin De arccosinus is srik dalend en coninu op zijn domein [,], arccos( ), arccos0, arccos 0 He bereik van arccos is [0, ] De arccosinus is coninu differenieerbaar op, en arccos ( ) / voor, Voor [,] geld arccos ( /, ), een oneigenlijke inegraal 59 De angens Nog seeds uigaande van he besaan van sinus en cosinus definiëren we de angensfuncie sin dmv an De angensfuncie is in,,,,, cos nie gedefinieerd De grafiek heef daar vericale asympoen He bereik van de angensfuncie is Ga na da de periode van de angens gelijk is aan : er geld an an( k ), als k Zie ook de grafiek hiernaas Er geld an 0 0, an 3, an, an 3 Maak verder gebruik van an( ) an 3 De angens is differenieerbaar, dus ook coninu, op zijn domein De quoiënregel geef: 59 an an cos sin De formules voor an volgen ui de formules voor cosinus en sinus cos We noemen nog: 59 Eigenschappen van de angens (a) an 0 0, an 3, an, an 3 en an besaa nie 6 3 (b) an( ) an (c) an( ) an an an u an anu (d) an( u), an( u) an an u an anu an (e) an an an an (f) cos, sin an an 4 3
21 74 Analyse + Meekunde Opgave De formules in (f) volgen ui an Hoe? cos Opgave Toon aan da voor geld: cos an en sin an an Geef een meekundige inerpreaie van deze formules voor he geval 0 [Teken de eenheidscirkel en daarop pun P(, y) me, y 0 Lijn OP snijd de lijn in pun R Q is he pun Q(, 0) Bekijk de driehoeken OQP en OER ] Voorbeeld sin 0 0, sin0,an 0 0, an0, dus de lijn k : y is de raaklijn in O aan de grafieken van y sin en y an Voor 0 lig de angensgrafiek boven de raaklijn k en de sinusgrafiek lig onder de raaklijn k Om di e bewijzen bekijken we de funcies f ( ) an en g( ) sin Hun afgeleiden zijn f ( ) an resp g( ) cos f ( ) 0 en g ( ) 0 voor 0, dus f is daar sijgend en g is daar dalend, f (0) g(0) 0, dus f ( ) 0 en g( ) 0 op 0, ofwel sin an 50 Arcangens Op he inerval, is de angensfuncie srik sijgend, dus omkeerbaar De beperking van de angens o he inerval, heef dus een omkeerfuncie, de arcangens De angens is differenieerbaar, dus coninu, me posiieve afgeleide en da geld dan ook voor de arcangens He domein van de arcangens is en bereik is, Er geld lim arcan en lim arcan De grafiek de arcangens heef wee horizonale asympoen, de lijnen y en y De raaklijn in O aan de grafiek is de lijn y Zie de grafiek Ui an(arcan ) volg me de keingregel an (arcan ) arcan ( ) voor Dus arcan ( ) Anders gezegd: an (arcan ) an (arcan ) de arcangens is een primiieve van f ( ) op en f is daar coninu, dus ine- greerbaar Verder geld arcan 0 0 Da beeken da (/ ( ) ) arcan 0
22 5 De eenheidscirkel en goniomerie 75 Samengeva: 50 De arcangens is de omkeerfuncie van (an, ) He domein van de arcangens is en he bereik is, De arcangens is differenieerbaar en arcan ( ) voor De arcangens is srik sijgend op Er geld arcan (/ ( ) ) 0 Voorbeeld De arcangens geef ons nieuwe voorbeelden van een oneigenlijke inegralen, ga na da bijv Opmerking De coangensfuncie ( / ( ) ) 0 en co (/ ( ) ) word gedefinieerd door voor zo da sin 0 Er geld co an( ) Ga na da [co ] ( co ) voor k ( k ) sin cos co sin De beperking van de coangens o he inerval 0, is omkeerbaar en de omkeerfuncie is de arccoangens Er geld y co arcco y voor 0, en en y Ui arcco(co ) volg [arcco(co )] arcco (co ) co Dus voor y arcco (co ) co co ofwel [arcco y] y Ga na da [arcan arcco ] 0 Daarui volg arcan arcco consan voor Invullen van 0 geef voor arcan arcco Opgave Sel y an me, ofwel arcan y Ga na da sin(arcan y) y / y en cos(arcan y) / y voor y Opgave Sel X (, y) is een pun da boven de -as lig Bekijk de rui OPQX me P( y,0) op de -as en Q ( y, y) De zijden van de rui hebben de lenge y en OQ is de bissecrice van POX Is he argumen van Q ussen 0 en, dan is he argumen van X ussen 0 en Ga na da y y an en dus arcan y y
Analyse + Meetkunde. op de lijn en in het vlak
Analyse + Meekunde op de lijn en in he vlak Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo I
indeamen wiskunde B vwo 009 - I Over een parabool gespannen In figuur is de grafiek van de funcie f me f ( ) = 3 geekend. Tussen wee punen en S die even ver van O op de -as liggen, word denkbeeldig een
Nadere informatieDeel 2. Basiskennis wiskunde
Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0
Nadere informatieSnelheid en richting
Snelheid en riching Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven
Nadere informatieDe Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreidere antwoorden Hoofdstuk 4 Goniometrie
De Wageningse Mehode & VWO wiskunde B Uigebreidere anwoorden Hoofdsuk Goniomerie Paragraaf Cirkelbewegingen a. De hooge van he wiel is de y-coördinaa van he hoogse pun van de grafiek, dus 80 cm b. De periode
Nadere informatieEindexamen wiskunde B 1 vwo 2003-I
Eindexamen wiskunde B vwo 2003-I Lenge Ui saisisch onderzoek is gebleken da de volwassen Nederlandse mannen in 999 gemiddeld 80,0 cm lang waren, en da er een sandaardafwijking van 2,8 cm was in de lengeverdeling.
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 86 punen e behalen; he examen besaa ui 9 vragen. Voor
Nadere informatieUitwerkingen Toets 1 IEEE, Modules 1 en 2
Uiwerkingen Toes IEEE, Modules en Daum: 9 sepember 007 Tijd: 0.40.0 (90 minuen) Opgave I) Di is een warmmakerje. In woorden is V is de serieschakeling van, en (de parallelschakeling van 3 en 4) of V =
Nadere informatieKrommen in het platte vlak
Krommen in he plae vlak 1 Een komee beschrijf een baan om de zon. We brengen een assenselsel aan in he vlak van de baan van de komee, me de zon als oorsprong. Als eenheid in he assenselsel nemen we de
Nadere informatie2.4 Oppervlaktemethode
2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de
Nadere informatieTentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Do 2 feb :30 11:30
Normering Tenamen WISN12 Wiskundige Technieken 2 Do 2 feb 217 8:3 11:3 voor 4 p vragen (andere vragen naar rao: 4p Goed begrepen en goed uigevoerd me voldoende oeliching, evenueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieOEFENTOETS HAVO B DEEL 1
EFENTETS HAV B DEEL 1 HFDSTUK 2 VERANDERINGEN PGAVE 1 Een oliehandelaar heef gedurende 24 uur nauwkeurig de olieprijs bijgehouden. Zie de figuur hieronder. Hierin is P de prijs in dollar per va. P 76 75
Nadere informatieBlok 1 - Vaardigheden
6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel
Nadere informatieC. von Schwartzenberg 1/11
G&R havo A deel C von Schwarzenberg 1/11 1a m 18:00 uur He verbruik was oen ongeveer 1150 kwh 1b Minimaal ongeveer 7750 kwh (100%), maimaal ongeveer 1150 kwh (145,%) Een oename van ongeveer 45,% 1c 1d
Nadere informatie1 Inleidende begrippen
1 Inleidende begrippen 1.1 Wanneer is een pun in beweging? Leg di ui aan de hand van een figuur. Rus en beweging (blz. 19) Figuur 1.1 Een pun in beweging 1.2 Wanneer is een pun in rus? Leg di ui aan de
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieOPQ OQ PQ p p p 3 p. C. von Schwartzenberg 1/27 A = O = = 1 1 2 = 1 1 1 = = = =. = = 1. ax A( ) 2 8 2 8 6 3 6.
G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a PQ y Q f ( O OPQR OP PQ b PQ yq f ( p p p OOPQR OP PQ p p p p c p p (opie maimum ma, (voor p,7 a OQ Q P p en PQ yp f ( p p O OPQ OQ PQ p p p p b d + p
Nadere informatieOverzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1
Overzich Inleiding Classificaie NP compleeheid Algorime van Johnson Oplossing via TSP Newerkalgorime Job shop scheduling 1 Inleiding Gegeven zijn Machines: M 1,,..., M m Taken: T 1, T 2,... T n Per aak
Nadere informatie3) Homogene coördinaten het projectieve vlak
3) Homogene coördinaen he projecieve vlak a) Homogene coördinaen van een pun Homogene coördinaen van punen in he affiene vlak Voor een pun P me caresische coördinaen x, in he affiene vlak noemen we elk
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Differentiaalvergelijkingen
Hoofdsuk 5 - Differeniaalvergelijkingen 5. Differenievergelijkingen ladzijde a 0 3 4 5 A 00 0 04 06 08 0 oename B 00 30 69,00 9,70 85,6 37,9 oename 30 39 50,70 65,9 85,68 C 00 3 73,60 7,68 97,98 389,38
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo I
Eindexamen wiskunde B vwo - I Beoordelingsmodel Gelijke oervlaken maximumscore x x ax x a ( x x a y a( a a a ( a, a a lig o de lijn y ax, wan a a a( a Aangeoond moe worden da ook a a ( a ( a ( a ( a herleiden
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Formules voor groei
Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor
Nadere informatieAnaloge Elektronika 1 DE SCHMITT TRIGGER
Analoge Elekronika DE SCHMITT TIGGE Een Schmi rigger is een komparaor me hyseresis. Ne zoals bij een komparaor is de ingang een analoog signaal, erwijl de uigang een digiaal signaal is. De uigangsspanning
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Overige verbanden
Moderne Wiskunde Uiwerkingen bij vwo C deel Hoofdsuk Overige verbanden Hoofdsuk - Overige verbanden bladzijde < a D 4 4,, 8 dus heef de vergelijking 4p p +, geen oplossingen en zijn er geen snijpunen van
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Overige verbanden
Hoofdsuk - Overige verbanden bladzijde < a D 4 4,, 8 dus heef de vergelijking 4p p +, geen oplossingen en zijn er geen snijpunen van de grafiek me de horizonale as. b 4p p +,, p 4p p of p 4 + c Voor p
Nadere informatieHet wiskunde B1,2-examen
Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl
Nadere informatieAppendix E Goniometrie. Open Universiteit Nederland Voorbereidingscursussen Wiskunde
Appendix E Goniomerie Open Universiei Nederland Voorbereidingscursussen Wiskunde november 00 ii Bewerk van een oorspronkelijk manuscrip van Hans Wisbrun en behoeve van de Voorbereidingscursussen Wiskunde
Nadere informatieLogaritmen, Logaritmische processen.
PERIODE Lineaire, Kwadraische en Exponeniele funcies. Logarimen. Logarimen, Logarimische processen. OPDRACHT 1 Gebruik je (G)RM voor de berekening van: 1) log 2) log 0 3) log 00 4) log 000 5) log 1 6)
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Exponentiële functies
Hoofdsuk - Eponeniële funcies Voorkennis: Groeifacoren ladzijde 7 V-a 060, 80 8, - euro 079, 0, 9, 88 c 0, 98, - 998, V-a De facor waarmee je de oude prijs vermenigvuldig om de nieuwe prijs e krijgen is
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieBlok 4 - Vaardigheden
Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Blok - Vaardigheden bladzijde a domein en bereik b x = = = c Me behulp van onderdeel b en de grafiek: d Eers: log x = ofwel x = = Dan me behulp van de grafiek:
Nadere informatieE 1. Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t sin t y (t) = sin t t sin t
Buieling Gegeven een halve cirkel me sraal. Lijnsuk raak de halve cirkel in pun R. De lenge van is consan π meer, erwijl he raakpun R langs de cirkel loop, me een snelheid van m/s. Gebruik de ekening.
Nadere informatiefaseverschuiving wisselstroomweerstand frequentieafhankelijk weerstand 0 R onafhankelijk spoel stroom ijlt 90 na ωl toename met frequentie ELI 1 ωc
6.2.5 ergelijking faseverschuiving wisselsroomweersand frequenieafhankelijk weersand 0 onafhankelijk spoel sroom ijl 90 na ω oename me frequenie E condensaor sroom ijl 90 voor ω afname me frequenie E Fasordiagramma
Nadere informatieExtra oefening bij hoofdstuk 1
Era oefening ij hoofdsuk a Een goede venserinselling voor de funie f is : X min en X ma en Y min eny ma 0. Voor de funie g X min 0 en X ma 0 en Y min 0 eny ma 0. y 0 8 8 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Veriale
Nadere informatieOefeningen Elektriciteit I Deel Ia
Oefeningen Elekriciei I Deel Ia Di documen beva opgaven die aansluien bij de cursuseks Elekriciei I deel Ia ui he jaarprogramma van de e kandidauur Indusrieel Ingenieur KaHo Sin-Lieven.. De elekrische
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieop het interval 5, 15 betekent 5 x 15. 4b x op het interval 6, 10 betekent 6 x < 10. 5d Bij 3 < x π hoort het interval 3, π
G&R havo B deel Veranderingen C. von Schwarzenberg / a b c Tussen en uur. Van en uur neem de sijging oe. Van o 6 uur neem de sijging af. Van o 8 uur neem de daling oe. Van 8 o uur neem de daling af. 6,,,,,
Nadere informatieGebruik van condensatoren
Gebruik van condensaoren He spanningsverloop ijdens he laden Als we de schakelaar s sluien laden we de condensaor op. De condensaorspanning zal oenemen volgens een exponeniële funcie en de spanning over
Nadere informatieHoofdstuk 3 Exponentiële functies
Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,
Nadere informatie. Tijd 75 min, dyslecten 90min. MAX: 44 punten 1. (3,3,3,3,2,2p) Chemische stof
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T112-HCMEM-H579 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punen kunnen worden behaald. Anwoorden moeen alijd zijn voorzien van een berekening, oeliching
Nadere informatieAntwoordmodel VWO wa II. Speelgoedfabriek
Anwoordmodel VWO wa 00-II Anwoorden Speelgoedfabriek Voorwaarde II hoor bij immeren Voor immeren zijn 60x + 40y minuen nodig Voor immeren zijn 80 uur dus 4800 minuen beschikbaar 60x + 40y 4800 kom overeen
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2015-I
Piramiden maximumscore a = en x =,5 geef h = 6,5 (dm) De oppervlake van he grondvlak is,5,5 = 6, 5 (dm²) De inhoud is 6, 5 6,5 4 (dm³) ( nauwkeuriger) maximumscore 4 I = x (9 x ) geef di 6 d = x x x x
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
a b c d e a Analyse De omze was in 987 ongeveer, miljard (de recher as) De wins was ongeveer 6 miljoen (linker as) 6 miljoen 6 miljoen = %, % Er is sprake van verlies als de wins/verlies-grafiek negaief
Nadere informatieUitslagen voorspellen
Eindexamen vwo wiskunde A pilo 04-I Vraag Anwoord Scores Uislagen voorspellen maximumscore 3 De afsand ussen Wilders en Thieme is 4 De conclusie: nie meer dan wee maal zo groo maximumscore 3 Bij gelijke
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
de Bachelor EIT Academiejaar -4 se semeser 8 januari 4 Aanvullingen van de Wiskunde. Gegeven een homogene lineaire parile differeniaalvergelijking van eerse orde: a x,, x n u x a n x,, x n u x n. a Wa
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieAnaloge Elektronika 1 DE KOMPARATOR
naloge Elekronika DE KOMPRTOR De mees eenvoudige oepassing van de operaionele verserker is de komparaor. Om de werking van de komparaor e begrijpen, bekijken we de karakerisiek van de opamp, zoals geekend
Nadere informatieWat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur
Emen VW 018 ijdvk woensdg 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Di emen bes ui 16 vrgen. Voor di emen zijn miml 77 punen e behlen. Voor elk vrgnummer s hoeveel punen me een goed nwoord behld kunnen worden. Als
Nadere informatiedigitale signaalverwerking
digiale signaalverwerking deel 2: sampling en digiale filerechniek Hoewel we de vorige keer reeds over he samplen van signalen gesproken hebben, komen we daar nu op erug, om de ermee samenhangende effecen
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2003-I
Eindexamen wiskunde A- vwo 003-I 4 Anwoordmodel Levensduur van kfiezeapparaen Maximumscore 4 Na,5 jaar zijn er 500 0,99 0,97 apparaen Na 3,5 jaar zijn er 500 0,99 0,97 0,87 apparaen He verschil hierussen
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieAntwoordmodel VWO 2002-II wiskunde A (oude stijl) Speelgoedfabriek
Anwoordmodel VWO 00-II wiskunde A (oude sijl) Anwoorden Speelgoedfabriek Voorwaarde II hoor bij immeren Voor immeren zijn 60x + 40y minuen nodig Voor immeren zijn 80 uur dus 4800 minuen beschikbaar 60x
Nadere informatieZe krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen.
1a 1b G&R havo A deel 1 Tabellen en grafieken C. von Schwarzenberg 1/14 Een buspakje kan door de brievenbus, een pakke nie. Een zending die voorrang krijg. 1c 5, 40. (Worldpack Basic prioriy Buien Europa
Nadere informatieelektriciteit voor 5TSO
e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je
Nadere informatieC. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.
a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as
Nadere informatieJuli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten
Canonpercenages He vassellen van canonpercenages bij de herziening van erfpachconracen Juli 23 SBV School of Real Esae Drs. L.B. Uienbogaard Drs. J.P. Traudes Inhoud Blz. 1. Inleiding... 3 2. Toeliching
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur
Emen VW 018 ijdvk woensdg 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Di emen bes ui 16 vrgen. Voor di emen zijn miml 77 punen e behlen. Voor elk vrgnummer s hoeveel punen me een goed nwoord behld kunnen worden. Als
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO
Correcievoorschrif VWO 009 ijdvak wiskunde A, He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieExamen beeldverwerking 30/1/2013
Richlijnen Examen beeldverwerking 30//03 Di is een gesloen boek examen. Communicaieapparauur en beschreven of bedruk papier of andere voorwerpen zijn dus nie oegelaen. Schrijf je naam op elk blad. Schrijf
Nadere informatie1 Herhalingsoefeningen december
1 Herhalingsoefeningen december Een lichaam word vericaal omhoog geworpen. Welke van de ondersaande v, diagrammen geef dan he juise verloop van de snelheidscomponen weer? Jan rijd me de fies over een lange
Nadere informatieELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008
EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008 1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige
Nadere informatiewww.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde
Voor een profielwerksuk over de aarde www.aarde nu In opdrach van: Vrije Universiei Amserdam Universiei van Amserdam Technische Universiei Delf Universiei Urech Wageningen Universiei Teksen: Gerard Heijmeriks
Nadere informatieSamenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatie0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen
0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieExamen beeldverwerking 10/2/2006
Richlijnen Examen beeldverwerking 10/2/2006 Di is een gesloen boek examen. Communicaieapparauur en beschreven of bedruk papier of andere voorwerpen zijn dus nie oegelaen. Schrijf je naam op elk blad. Schrijf
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Exponentiële formules
V-1a 4 Hoofdsuk 1 - Exponeniële formules Hoofdsuk 1 - Exponeniële formules Voorkennis prijs in euro s 70 78,0 percenage 100 119 1,19 b Je moe de prijs me he geal 1,19 vermenigvuldigen. c De BTW op de fies
Nadere informatiedwarsrichting Doelstellingen van dit hoofdstuk
7 Afschuiving HOOFDSTUK in langs- en dwarsriching Ga naar www.pearsonmylab.nl voor sudiemaeriaal en oesen om je begrip en kennis van di hoofdsuk ui e breiden en e oefenen. Ook vind je daar videouiwerkingen
Nadere informatieUitwerkingen H14 Algebraïsche vaardigheden 1a. x = 6 2 = 4 en y = 9,60 5 = 4,60
Uiwerkingen H Algebraïsche vaardigheden = 6 = en y = 9,60 5 =,60 Voor km een bedrag van,60 euro Per km dus een bedrag van,5 euro. Da is he quoiën van y en. Bij km zijn de kosen 5 euro dus bij 0 km zijn
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatie7.9. Inhomogene lineaire stelsels. We keren nu weer terug naar de situatie
79 Inhomogene lineaire selsels We keren nu weer erug naar de siuaie x ( A(x( + g(, ( waarbij A( een (n n-marix is en g( een vecor me n coördinaen Vergelijkbaar me de heorie voor gewone lineaire differeniaalvergelijking
Nadere informatieHoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden
Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije A: Geen lineair veran, als x me oeneem, neem y nie sees me ezelfe waare oe. B: Lineair veran, als x me oeneem, neem y sees me, oe. C: Geen lineair veran,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieHoofdstuk 1: Rust en beweging
Hoofdsuk 1: Rus en beweging 1.1 Rus en beweging zijn relaief Ten opziche van he vlieguig is de passagier in................................................ Ten opziche van he aardoppervlak is he vlieguig
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieSamenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging
Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
60 Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid, dus 0 g is de groeifaor, dus g d gewih
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieInhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatie7.9. Inhomogene lineaire stelsels. We keren nu weer terug naar de situatie
79 Inhomogene lineaire selsels We keren nu weer erug naar de siuaie x ( A(x( + g(, ( waarbij A( een (n n-marix is en g( een vecor me n coördinaen Vergelijkbaar me de heorie voor gewone lineaire differeniaalvergelijking
Nadere informatie