Voorwoord. Hoofdstukken:

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorwoord. Hoofdstukken:"

Transcriptie

1 Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend geheel Begrippen en mehoden, waarmee we op school op min of meer inuïieve wijze kennis hebben gemaak, worden in di boek op een wiskundig veranwoorde manier van de grond af aan opnieuw opgebouwd Een belangrijk doel is he zelf leren bewijzen door kennis e maken me de gangbare bewijsmehoden De focus is hier meer op de heoreische srucuur van genoemde wiskundegebieden gerich dan op prakisch rekenwerk en concree oepassingen Elemenaire rekenvaardigheid mb algebraïsche formules, eponeniële, logarimische en goniomerische funcies, differeniëren en inegreren en enige kennis van de schoolmeekunde word bekend veronderseld Hoofdsuk geef een kore samenvaing van de begrippen en noaies die nie o de vwo-sof behoren, maar die wel nodig zijn voor een goed begrip van de volgende hoofdsukken Hoofdsukken: Basisbegrippen De geallenlijn 3 Limieen, coninuïei en afgeleide 4 Inegralen 5 De eenheidscirkel en goniomerie 6 Vlakke meekunde 7 Cirkels, driehoeken en ransformaies van he plae vlak 8 Primiieven en Riemannsommen 9 Hogere afgeleiden 0 Krommen en oppervlake Kennis van deze onderwerpen is noodzakelijk voor iedereen die een eac vak sudeer op universiair bachelorniveau Als voorkennis is in principe wiskunde B op vwoniveau voldoende IJls, okober 0 Rinse Pooringa

2 Inhoud Basisbegrippen Verzamelingen Geordende paren 4 3 Funcies, afbeeldingen 5 4 Indenoaie, rijen 8 5 De lege verzameling nader bekeken 6 Bewerkingen 7 Groep 4 8 Direc produc 5 9 Srucuurbehoudende afbeeldingen 5 0 Ondergroep 6 Een inern direc produc 8 De kern van een groepshomomorfie 9 3 De nauurlijke geallen 0 4 Decimale schrijfwijze 3 5 Gehele veelvouden 4 6 Groose gemene deler 6 7 Priemgeallen 7 8 Afelbare verzamelingen 8 9 Equivalenierelaies 9 0 Ordening 3 Lichamen 34 Complee geallen 38 De Geallenlijn 40 De lijn 40 Een lijnsuk in gelijke delen verdelen 43 3 Archimedische ordening 45 4 Inervallennes 47 5 He besaan van worels 50 6 Kleinse bovengrens en groose ondergrens 5 7 Scalair produc 56 8 Lenge, afsand en absolue waarde 60 9 Verhoudingen op een lijn 6 0 Lineaire ruimen 63 Afsand, inproduc en orhogonaliei 7 Geordende lichamen 74 3 Lijnen me vase oorsprong 75 4 Eponeniële en logarimische funcies 79 5 Besaan er eigenlijk wel reële geallen? 8

3 3 Limieen, coninuïei en afgeleide 85 3 Monoone funcies 85 3 Convergene rijen Inervallen, open en gesloen verzamelingen Monoone funcies en coninuïei Coninuïei Machen me raionale eponenen De limie van een funcie in een verdichingspun van zijn domein De afgeleide Ereme waarden 30 Selling van Rolle, middelwaardeselling 3 Sijgen en dalen 3 3 Producregel, quoiënregel en keingregel 4 33 Plus en min oneindig 7 34 Lipschizconinuïei en uniforme coninuïei 9 35 He convergeniekenmerk van Cauchy 36 Differenieerbaarheid van de eponeniële en logarimische funcies 37 Alernaieve definiies van de eponeniële en logarimische funcies 6 4 Inegralen 30 4 Middelwaardeselling en oppervlake 30 4 Primiieve 3 43 Oppervlake onder de grafiek van een funcie 3 44 Inegraalfuncie Samfuncie Inegreerbaarheid 4 47 Primiieven en samfuncies He inegraaleken De nauurlijke logarime Eponeniële funcies 5 4 Logarimische funcies 55 4 Machsfuncies Enkele belangrijke limieen Oneigenlijke inegralen 59 5 De eenheidscirkel en goniomerie 6 5 Sinus, cosinus en angens 6 5 Cosinusregel, sinusregel en oppervlakeformule 6 53 De symmerieën van de eenheidscirkel Radialen Cosinus en sinus als funcies me domein Eigenschappen en formules van de sinus en cosinus Uniekheid van de sinus en de cosinus De arcsinus en arccosinus 7 59 De angens 73

4 50 Arcangens 74 5 He besaan van de sinus, cosinus en angens 76 5 Nog een andere karakerisering van de sinus en de cosinus De lenge van een grafiekboog Booglenge bij monoone funcies Andere eigenschappen die recificeerbaarheid garanderen 8 56 De cyclomerische funcies als oppervlake van de eenheidscirkel Argumen en modulus van een pun Roaies om O en georiëneerde hoeken Spiegelen ov een lijn door O 88 5 Complee geallen en poolcoördinaen 89 6 Vlakke meekunde 9 6 als lineaire ruime 9 6 Lijnen in 9 63 Translaies De parameervoorselling van een lijn Beschrijving van een lijn dmv deerminan of inproduc He comple produc 0 67 Spiegelen ov de -as De draaivermenigvuldiging Eigenschappen van inproduc en deerminan Oriënaie en hoofdwaarde van georiëneerde hoeken 06 6 Nie-georiëneerde hoeken 08 6 Cosinusregel en sinusregel 0 63 De hoek ussen wee lijnen 64 Verhoudingen 4 65 Geriche lenge 4 66 De afsand van een pun o een lijn, de afsand van wee evenwijdige lijnen 6 67 Halfvlakken 7 68 F-hoeken en Z-hoeken 9 69 Oppervlake van driehoeken en parallellogrammen 0 60 Lineaire en affiene afbeeldingen 3 6 Gelijkvormigheden en congruenies 30 6 Overgang op een nieuw coördinaenselsel 34 7 Cirkels, driehoeken en ransformaies van he plae vlak 36 7 Cirkel 36 7 Bissecrice Oppervlakecoördinaen 4 74 De sellingen van Ceva en Menelaus Congruene driehoeken Gelijkvormige driehoeken Congruenies 5 78 Vermenigvuldigen ov een pun Equivalene figuren 58

5 70 Ellipsen, hyperbolen en parabolen 59 7 De mach van een pun ov een cirkel 66 7 Inversie ov een cirkel Harmonisch scheiden 7 74 Sereografische projecie Cenrale projecie Möbiusransformaies 79 8 Primiieven en Riemannsommen 83 8 Differeniëren 83 8 Primiiveren Subsiuieregel 9 84 Pariële inegraie Oppervlake Riemannsommen Hogere afgeleiden De bese lokale affiene benadering van een funcie He o-symbool van Landau Hogere afgeleiden Een uibreiding van de middelwaardeselling De regel van l Hospial 3 96 Lokale benadering door Taylorpolynomen De selling van Taylor Taylorpolynoom Ta, n ( ) bij vase en oenemende n 3 99 De reserm in inegraalvorm Conve en concaaf Uniforme convergenie 33 0 Krommen en oppervlake Krommen in Differenieerbaarheid en raaklijnen De lenge van een kromme De oppervlake van een vlakdeel Poolcoördinaen De lenge van een kromme in poolcoördinaen De oppervlake van een secor Oppervlake en inervalsommen 380 Lierauur 385 Trefwoorden 386

6

7

8 5 De eenheidscirkel en goniomerie 5 Sinus, cosinus en angens Op school zijn we de goniomerische funcies sinus, cosinus en angens voor he eers egengekomen in een meekundige cone Goniomerie beeken leerlijk hoekmeing In de rechhoekige driehoek ABC hiernaas geld de selling van Pyhagoras: a b c He omgekeerde geld ook: als a b c, dan C 90 Er geld: aanliggende rechhoekszijde cos b c schuine zijde, oversaande rechhoekszijde sin a c schuine zijde, a oversaande rechhoekszijde an b aanliggende rechhoekszijde en nauurlijk cos a, sin b en an b We merken op da 90, wan c c a de hoeken van een driehoek zijn samen 80 Hierui blijk: cos(90 ) sin, sin(90 ) cos, an(90 ) an Twee hoeken die samen 90 zijn, noemen we elkaars complemen De co-sinus van is eigenlijk de sinus van he complemen van : cos sin(90 ) Om dezelfde reden word ook wel de coangens van genoemd: an coan an(90 sin ) Er geld an an cos We zien de selling van Pyhagoras erug in [We schrijven cos ipv (cos ) en analoog cos sin sin ] Vermenigvuldigen we de zijden van ABC me een facor r 0, dan blijven sin, cos en an gelijk

9 6 Analyse + Meekunde Als a 0, dan hebben we geen driehoek meer en c b He lig voor de hand om sin 0 an 0 0 en cos0 e sellen Willen we da bovensaande formules voor 90 blijven gelden als 0, dan moeen we definiëren sin90, cos90 0 ; an90 besaa nie Opgave Ga me behulp van een gelijkzijdige driehoek ABC, me daarin hoogelijn CD, na da sin30 cos60, sin 60 cos30 3 en an30 3,an 60 3 Toon ook aan da sin 45 cos 45 en an 45 He is de gewoone om in ABC (de grooe van) de hoeken bij A, B en C aan e duiden me, resp en (de lengen van) de zijden egenover deze hoeken me a, b en c 5 Cosinusregel, sinusregel en oppervlakeformule Cosinusregel: in ABC geld: b a c ac cos Bewijs In de figuur hiernaas geld volgens Pyhagoras: b ( c ) h en h a, dus b ( c ) a a c c a c ac cos, wan cos a Verwisselen van leers geef ook a b c bc cos en c a b ab cos h In driehoek ABC geld sin, dus h asin De oppervlake van deze driehoek is basis hooge c h acsin Door verwisselen van leers krijgen a we: Oppervlakeformule opp ABC acsin ab sin bcsin 3 De sinusregel sin sin sin volg ui de oppervlakeformule a b c Deze bewijzen gaan alleen op voor een ABC CD op zijde AB lig Als 90 b a c ac cos word waarin he voepun D van hoogelijn, dan 0 en cos 0, dus b a c We krijgen dan de selling van Pyhagoras als speciaal geval van de cosinusregel Omgekeerd: als b a c, dan cos 0 en 90 Ook de oppervlakeformule klop voor een rechhoekige driehoek, wan sin 90 Opda de cosinusregel en oppervlakeformule ook voor een somphoekige driehoek als hiernaas blijf gelden definiëren we cos(80 ) cos

10 5 De eenheidscirkel en goniomerie 63 0 Voor 0 geef di cos80 cos 0 Verder sellen we sin(80 ) sin Voor 0 0 geef di sin80 sin 0 0 Me deze definiies gelden de cosinusregel a b c bc cos en de oppervlake- formule opp ABC bc sin, als 0 80 Toon di aan Twee hoeken die samen 80 zijn heen elkaars supplemen 53 De symmerieën van de eenheidscirkel Lijnen en cirkels beschouwen we als verzamelingen waarvan de elemenen punen zijn Een verzameling punen in noemen we ook wel een figuur Een afbeelding van op zichzelf waarbij afsanden behouden blijven word een congruenieafbeelding of korweg een congruenie genoemd Zo'n afbeelding beeld een lijnsuk af op een even lang lijnsuk, een cirkelboog op een even - lange cirkelboog en een driehoek op een daarmee congruene driehoek Voorbeelden van congruenies zijn ranslaies, roaies, en spiegelingen He na elkaar uivoeren van congruenies lever weer een congruenie op Een congruenie is omkeerbaar en de inverse afbeelding is ook weer een congruenie Een congruenie die een figuur op zichzelf afbeeld noemen we een symmerieafbeelding of korweg symmerie van die figuur Bij een spiegeling me lijn als spiegelas word elk pun op op zichzelf afgebeeld Liggen de punen P en Q nie op, dan zijn P en Q elkaars spiegelbeeld ov precies dan, wanneer de middelloodlijn van lijnsuk PQ is He gaa ons hier om de symmerieën van de eenheidscirkel me sraal en middelpun O Op de eenheidscirkel liggen de punen die voldoen aan de vergelijking y We gebruiken he symbool voor de eenheidscirkel, {(, y) y } Iedere middellijn van is een symmerieas van de eenheidscirkel, dwz een spiegeling ov een lijn door O beeld de eenheidscirkel op zichzelf af Zijn P en Q wee punen op, dan zijn P en Q elkaars spiegelbeeld bij de spiegeling ov de middelloodlijn van lijnsuk PQ Deze middelloodlijn gaa door O [Als P Q, dan is middellijn OP ( OQ) de spiegelas] He samensellen van wee spiegelingen ov lijnen door O geef een roaie om O, waarbij de eenheidscirkel op zichzelf word afgebeeld Als P en Q wee punen op de eenheidscirkel zijn, dan is er precies één roaie om O waarbij Q he roaiebeeld is van P Als P Q, dan is deze roaie de idenieke afbeelding, die ieder pun op zichzelf afbeeld Als P Q, dan kan deze roaie o sand worden gebrach door eers e spiegelen me spiegelas OP en daarna me de middelloodlijn van lijnsuk PQ als spiegelas [maak een ekening!] Iedere symmerie van de eenheidscirkel is een spiegeling ov een lijn door O of een roaie om O De symmerieën van vormen een groep me he samensellen van afbeeldingen als groepsbewerking Deze groep hee de symmeriegroep van De roaies om O vormen een ondergroep van deze symmeriegroep

11 64 Analyse + Meekunde Opmerking Er is precies één roaie om O die pun E (,0) afbeeld op pun E (0,) Of er een kwarslag egen de klok in gedraaid is of driekwarslag me de klok mee doe er nie oe Wie alleen op he eindresulaa le zie geen verschil Twee afbeeldingen F en G me gemeenschappelijk domein D zijn gelijk precies dan, wanneer F( X ) G( X ) voor iedere X D 54 Radialen Op school is op een gegeven momen me behulp van de eenheidscirkel een nieuwe hoekmaa ingevoerd, waarbij hoeken worden gemeen in radialen ipv graden Is AOB een hoek me hoekpun O en benen OA en OB me A en B op de eenheidscirkel, erwijl in graden 0 AOB 80, dan sellen we de grooe van AOB in radialen gelijk aan de lenge van de cirkelboog AB die binnen AOB lig, dwz we nemen lenge van de korse van de beide cirkelbogen me eindpunen A en B Hoe we de lenge van een cirkelboog definiëren en berekenen gaan we laer bekijken We nemen aan da bij een spiegeling van de eenheidscirkel ov een lijn door O een cirkelboog (van ) en zijn spiegelbeeld dezelfde lenge hebben Roaie om O kom neer op keer spiegelen ov een lijn door O, dus ook bij een roaie verander de lenge van een cirkelboog nie We hebben geleerd da de omrek van een cirkel me sraal r gelijk is aan r, dus een lijn door O verdeel in wee even lange cirkelbogen, ieder me lenge Zijn A en B wee verschillende punen op de, dan noemen we lijnsuk AB een koorde van Liggen A en B op een lijn door O dan is lijnsuk AB en ook lijn AB een middellijn van Is AB geen middellijn, dan hoor bij koorde AB precies één boog AB me een lenge kleiner dan en de grooe van AOB in radialen is dan gelijk aan de lenge van deze boog Als grensgevallen sellen we de grooe van AOB op 0 radialen, wanneer A B en op radialen wanneer AB een middellijn van is Voor he omrekenen van graden naar radialen en omgekeerd gebruiken we de omrekenformule 80 rad Bijvoorbeeld 90 rad, 45 rad, 30 rad, 60 rad ec Verder 80 4 rad 80 en rad 6 Een gesreke hoek is een hoek van radialen en een reche hoek is een hoek van radialen 3

12 5 De eenheidscirkel en goniomerie Cosinus en sinus als funcies me domein Nog ies laer in onze schoolcarrière zijn we de sinus, cosinus en angens gaan opvaen als funcies me domein De in cos resp sin sel dan een reëel geal voor da nie noodzakelijk geassocieerd is me een hoek Om di e moiveren gaan we in eerse insanie meekundig e werk Bekijk de figuur hiernaas Is P(, y ) een pun op de bovense helf P p van de eenheidscirkel, dan is yp 0 en AOP me A E (,0) is een hoek van radialen, wanneer boog AP de lenge heef Er geld 0 Boog AP is de boog die doorlopen word als we over de cirkel van A naar P gaan egen de wijzers van de klok in We definiëren nu voor he geal [0, ] de cosinus en sinus dmv cos P en sin yp Als,0, dan nemen we pun P( P, yp ) op he deel van da onder de -as lig Dan lig ook de bijbehorende cirkelboog AP (me uizondering van pun A) onder de -as en we kiezen P zodanig da de lenge van boog AP is Boog AP word doorlopen wanneer we me de wijzers van klok mee over de cirkel van A naar P gaan We sellen weer cos en sin y Daarmee zijn cos en sin nu gedefinieerd voor, ] P P Er geld cos( ) cos en sin( ) sin( ) Verder pun (, y) geld y waarden van, ] zo da cos 0 We definiëren de angens dmv cos sin, wan voor een sin an cos voor Voorbeeld In de figuur hiernaas geld (in radialen): AOP, AOQ u, dus POQ u Verder ( p, p ) (cos,sin ), ( q, q ) (cos u,sin u), me p p, q q In POQ geef de cosinusregel PQ OP OQ OP OQ cos( u) Ga na da he linkerlid gelijk is aan ( pq pq ) en da he recherlid zich laa herleiden o cos( u), zoda cos( u) pq pq cos cosu sin sin u Hiermee is de verschilformule cos( u) cos cos u sin sin u bewezen voor he geval da 0 u Ui de figuur blijk verder da cos 0 voor [0, en da cos 0

13 66 Analyse + Meekunde We hebben geleerd da de oppervlake van een cirkel me sraal r gelijk is aan r, dus de oppervlake van de eenheidscirkel is Zijn A en B punen op zo da de lenge van boog AB gelijk is aan me 0,, dan is de oppervlake van de cirkelsecor begrensd door boog AB en de beide sralen OA en OB gelijk aan (opp ) omrek We gaan nu na da sin lim 0 Neem daaroe pun P(, y) me, y 0 op De lijn OP snijd de vericale lijn in he pun S AS is de raaklijn aan de eenheidscirkel in pun A (, 0) Vergelijken we de oppervlaken van OAP, OAS en de cirkelsecor begrensd door de sralen OA, OP en boog AP, dan zien we da opp OAP oppsecor opp OAS [Als V W, dan opp V opp W wanneer de figuren V en W een oppervlake hebben] Da beeken da sin an ofwel sin cos me 0, sin Hierui volg lim en dus ook lim Me sin( ) sin vinden we 0 sin 0 sin dan lim 0 Om ensloe cos en sin e definiëren voor iedere gaan we als volg e werk: we sellen cos cosu en sin sin u, wanneer u mod Di laase beeken da er een geal k is zo da u k ofwel u k Bij iedere is er precies één u, ] zo da u mod Hiermee worden de cosinus en de sinus periodieke funcies me periode (= omrek eenheidscirkel) me domein Me k geld cos( k ) cos en sin( k ) sin We definiëren de angens sin weer dmv an voor waarden van zo da cos 0 cos 5 Voorbeeld Een pun P beweeg zich over een cirkel in posiieve draairiching, wanneer P egen de wijzers van de klok in beweeg De negaieve draairiching over de cirkel gaa me de klok mee Wanneer pun P( P, yp ) zich vanui pun A(, 0) in posiieve draairiching over een afsand 0 over de eenheidcirkel bewogen heef, dan cos P en sin yp Pun P kan hierbij meerdere keren de cirkel rond gewees zijn Als bijv, dan bevind P zich in pun (0, ) [ keer rond en daarna nog driekwar cirkel verder, alles egen de klok in vanui A]

14 5 De eenheidscirkel en goniomerie 67 Wanneer pun P(, y ) zich vanui pun A(, 0) in negaieve draairiching over een P P afsand 0 over de eenheidscirkel bewogen heef, dan cos( ) P en sin( ) yp Als bijv P zich over een afsand in negaieve draairiching vanui A over de 3 3 cirkel bewogen heef, dan is P één keer rond gewees, daarna nog een halve cirkel verder en ensloe nog eens over een afsand van 3 ofwel deel van een halve cirkel, 3 alles me de klok mee P bevind zich dan in pun (, 3), dus cos( 3 ) en 3 sin( 3 ) Eigenschappen en formules van de sinus- en cosinus In de voorgaande paragrafen is op een meekundige manier aannemelijk gemaak [maar nie ech bewezen] da er funcies sinus en cosinus me domein besaan me de hieronder genoemde eigenschappen G /m G4: 56 Eigenschappen van de funcies cos, sin me domein G cos( u) cos cos u sin sinu G cos 0 en cos 0, als 0 G3 sin( ) sin sin G4 lim 0 Bij de meekundige moivaie van deze eigenschappen hebben we aangenomen da de omrek van de eenheidscirkel gelijk is aan en da he geal ook de oppervlake van de eenheidscirkel voorsel Volgens G is he geal he kleinse posiieve geal zo da cos 0 Da he hierbij seeds om hezelfde geal gaa, moeen we nog bewijzen De meekundige moivaie die leidde o de in 56 geformuleerde eigenschappen van de sinus, cosinus en he geal mogen we vanaf nu vergeen In de volgende paragrafen gaan we bewijzen da er inderdaad een geal en funcies cosinus en sinus me de eigenschappen G, G, G3 en G4 besaan In deze paragraaf zullen we eers onderzoeken welke eigenschappen he geal en de funcies sinus en cosinus ui 56 nog meer moeen hebben, veronderseld da ze besaan Ui G /m G4 volg: () sin 0 0, cos0, sin en sin 0, als 0, () cos sin, (3) cos( ) cos, (4) cos( ) sin, sin( ) cos Opmerking Ui () blijk da he pun (cos, sin ) voor iedere op de eenheidscirkel lig Er geld dus cos, sin Bewijs Ui G3 volg me 0 da sin(0) sin 0, dus sin(0) 0 Ui G4 volg da sin nie voor iedere gelijk aan 0 is Ui G volg me u 0 da cos 0 cos 0, dus cos0 0 of cos0 Me u volg ui G da cos sin cos 0 voor iedere, dus cos0 0 kan nie, wan da zou beekenen da cos sin 0 voor iedere

15 68 Analyse + Meekunde Hiermee is aangeoond da cos0 en cos sin Ui cos 0 en cos sin volg sin of sin We laen zien da sin Ui G4 volg namelijk da er een r 0 is zo da sin voor r, r Dan geld voor 0 r da sin en dus sin 0 Als r 0, da sin en dus sin 0 We nemen hierbij r zodanig da 0 r Voor 0 r geld dan cos( ) 0, sin 0 en cos( ) cos cos sin sin sin sin, dus sin en nie sin Tegelijk is aangeoond da cos( ) sin Vervangen we in de laase formule door, dan krijgen we cos sin( ) Hiermee is (4) bewezen Da sin 0, als 0, volg ui cos( ) sin en G Wa beref (3): ui G volg cos( u) cos( u ) Nemen we hierin u 0, dan krijgen we cos cos( ) (5) Som en verschilformules cos( u) cos cos u sin sinu, cos( u) cos cosu sin sinu, sin( u) sin cos u cos sin u, sin( u) sin cosu cos sin u Bewijs De formule voor cos( u) is G en de formule voor cos( u) krijgen we hierui door u e vervangen door u en daarna G3 en (3) oe e passen De formules voor sin( u) volgen ui die voor cos( u) dmv sin cos( ) Ui (5) volgen direc: (6) Formules voor cos cos sin cos sin, sin sin cos (7) Formules voor en cos( ) sin, sin( ) cos, cos( ) sin, sin( ) cos, cos( ) cos, sin( ) sin (8) Cosinus en sinus zijn periodiek me periode Voor k geld: cos( k ) cos, sin( k ) sin Opmerking Ui de formules voor cos in (6) volgen de formules cos ( cos ) en sin ( cos )

16 5 De eenheidscirkel en goniomerie 69 Voorbeeld 4 sin ( cos ) en sin 0 [zie ()], dus sin 4 4 Ook cos Op deze manier zien we bevesigd wa we ui de meekunde al wisen 4 (9) De cosinus en de sinus zijn differenieerbaar op Er geld cos ( ) sin en sin ( ) cos voor iedere sin h sin h sin 0 Bewijs Ui lim volg, da de sinus differenieerbaar is in 0 en h0 h h 0 da sin (0) De sinus is dus ook coninu in 0 Verder geld sin ( h) ( cos h) en dus cos h cos 0 lim h 0 h0 h cos h sin ( h) lim lim h0 h h0 sin( h) sin( h) lim sin( h) h0 lim h sin( h) lim 0 0 h0 0 h Da beeken da ook de cosinus differenieerbaar is in 0 en da cos (0) 0 sin( h) sin( ) (cos sin h cos h sin ) sin sin h cos h Ui cos sin h h h h sin( h) sin( ) volg nu lim cos ofwel sin ( ) cos Toon zelf op soorgelijke h0 h manier aan da cos ( ) sin Opmerking In de volgende paragraaf laen we zien da er hoogsens één funciepaar cosinus en sinus is me de in (9) genoemde eigenschap Gevolg: (0) De cosinus en sinus zijn coninu, () De cosinus is srik dalend en de sinus is srik sijgend op he inerval [0, ] () Formules voor cos cosu en sin sin u cos cosu cos ( u)cos ( u), cos cosu sin ( u)sin ( u), sin sin u sin ( u)cos ( u), sin sin u cos ( u)sin ( u) Bewijs Ui sin( a b) sin a cosb cos asin b en sin( a b) sin acos b cos asinb volg door opellen: sin( a b) sin( a b) sin acos b Er geld: a b, a b u a ( u), b ( u) Ec Idem voor de res van ()

17 70 Analyse + Meekunde Opgave Toon me behulp van () aan da (i) cos cos u u k of u k voor zekere k (ii) sin sinu u k of u k voor zekere k Ga ook na: cos cosu èn sin sin u u (mod ), maw de afbeelding : (cos,sin ) is een --afbeelding van [0, op de eenheidscirkel Voorbeeld We gaan na da cos 3 en sin 6 6 Er geld cos 3 cos( ) cos cos sin sin (cos ) cos cos sin Vervangen we hierin 3 sin door cos, dan krijgen we cos 3 4cos 3cos Me krijgen we waarin cos We ween da 0, dus ofwel y sin geld y 0 en y, dus y Ui (4) volg dan 3 3 cos en sin / 4 3 Me 57 Uniekheid van de sinus en de cosinus Volgens eigenschap (9) ui 56 zijn de sinus en cosinus differenieerbaar en sin ( ) cos, cos ( ) sin voor Is een funcie f differenieerbaar, dan is he mogelijk da ook de afgeleide f op zijn beur weer differenieerbaar is De afgeleide van de afgeleide van f noemen we de weede afgeleide van f en duiden we me een dubbel accen aan als f Ga na da zowel de sinus als de cosinus op voldoen aan (*) f f Een funcie f me deze eigenschap is oneindig vaak differenieerbaar en op geld f f f f f f f f 0 Dus is een consane funcie ofwel f ( f ) [ f ( f ) ] ( f ( )) ( f ( )) ( f (0)) ( f (0)) voor iedere Me f ( ) sin geef di bijv sin cos Ga verder na: zijn f en g wee funcies die voldoen aan (*), dan geld di ook voor a f b g als a, b Ihb voldoen alle funcies a cos b sin me a, b aan (*) We gaan nu na da deze funcies de enige funcies zijn die voldoen aan (*) Sel namelijk da ook g : voldoe aan (*) en da g(0) a en g(0) b Dan voldoe f ( ) g( ) ( a cos b sin ) aan (*) en f (0) g(0) a a a 0 en ook f (0) g(0) ( a sin 0 b cos0) b b 0 Dus geld ( f ( )) ( f ( )) ( f (0)) ( f (0)) 0 voor iedere Da beeken da f ( ) f ( ) 0 ofwel g( ) a cos b sin voor iedere 57 Voor een minsens weemaal differenieerbare funcie f : geld: f f op f ( ) f (0) cos f (0) sin voor iedere 57 houd in da (i) iedere minsens weemaal differenieerbare funcie f zo da f f op, f (0) 0 en f (0) samenval me de sinusfuncie en da (ii) iedere funcie g zo da g g op, g(0) en g(0) 0 samenval me de cosinusfuncie Door deze eigenschappen worden de sinus en de cosinus eenduidig gekarakeriseerd en alle verdere eigenschappen van de sinus en de cosinus kunnen we hierui af-

18 5 De eenheidscirkel en goniomerie 7 leiden Da beeken overigens nie da we de sinus en de cosinus simpelweg kunnen definiëren dmv (i) resp (ii), wan he besaan van funcies die voldoen aan (i) en (ii) is dmv bovensaande selling alleen gegarandeerd door ui e gaan van he besaan van de sinus en de cosinus Voorbeeld De somregels voor de sinus en cosinus zijn een onmiddellijk gevolg van bovensaande selling Bekijk g( ) sin( p) Voor deze funcie geld g g, g(0) sin p en g(0) cos p, dus g( ) sin p cos cos p sin voor iedere Op dezelfde manier bewijzen we cos( p) cos p cos sin p sin Ga na: 57 Als f, g : differenieerbare funcies zijn zo da (i) f (0), g(0) 0, (ii) f g, g f, dan f ( ) cos en g( ) sin, voor iedere Uigaande van he besaan van sinus en cosinus beschikken we over genoeg gegevens om de grafieken van deze funcies e kunnen ekenen De waarden van cos en sin zijn bekend wanneer een geheel veelvoud van is Hezelfde geld voor de gehele 4 veelvouden van [Zie 56] Ga na da deze grafieken er ui zien als de grafieken 6 hieronder He bereik van de funcies is [,] 58 De arcsinus en arccosinus Ga na da de beperking f van de sinus o he inerval [, ] srik sijgend is He bereik van f is [,] Dus f heef een inverse g me domein [,] en bereik [, ] De grafiek van g f krijgen we door de grafiek van f in de lijn y e spiegelen Funcie f heef een posiieve afgeleide op, en f ( ) f ( ) 0 Volgens 33 beeken di da funcie g een posiieve afgeleide heef op, en nie differenieerbaar in de randpunen en [zie de vericale raaklijnen aan de grafiek]

19 7 Analyse + Meekunde Funcie g is coninu op [,] me g( ) en g() Funcie g word de arcsinus genoemd Voor [,] geld sin(arcsin ) Voor, geef differeniëren me behulp van de keingregel sin (arcsin ) arcsin ofwel cos(arcsin ) arcsin Me y arcsin geld sin y, y, en cos y 0 Dus voor, cos y sin y en arcsin cos y Maw de arcsinus is op, een primiieve van de coninue funcie Verder geld arcsin 0 0 Di alles beeken da geld voor iedere [,] Me of is (/, ) een oneigenlijke inegraal Samengeva: 58 Arcsinus Voor [,] geld 0 0 arcsin (/, ) 0 arcsin (/, ), een oneigenlijke inegraal als of De arcsinus is coninu op [,] en coninu differenieerbaar op, Voor, geld arcsin ( ) / Op soorgelijke wijze kunnen we de arccosinus definiëren als de omkeerfuncie g van de funcie f, wanneer we voor f de beperking van de cosinus o he inerval [0, ] nemen Funcie f is daar differenieerbaar me negaieve afgeleide op 0, en f (0) f ( ) 0 De omkeerfuncie g is coninu op [,] en differenieerbaar me negaieve afgeleide op, He bereik van g is [0, ] Ui cos sin( ) volg arccos arcsin of wel arccos arcsin Me deze formule volgen de eigenschappen van de arccosinus onmiddellijk ui die van de arcsinus

20 5 De eenheidscirkel en goniomerie Arccosinus De arccosinus is de omkeerfuncie van de beperking van de cosinus o he inerval [0, ] Op [,] geld arccos arcsin De arccosinus is srik dalend en coninu op zijn domein [,], arccos( ), arccos0, arccos 0 He bereik van arccos is [0, ] De arccosinus is coninu differenieerbaar op, en arccos ( ) / voor, Voor [,] geld arccos ( /, ), een oneigenlijke inegraal 59 De angens Nog seeds uigaande van he besaan van sinus en cosinus definiëren we de angensfuncie sin dmv an De angensfuncie is in,,,,, cos nie gedefinieerd De grafiek heef daar vericale asympoen He bereik van de angensfuncie is Ga na da de periode van de angens gelijk is aan : er geld an an( k ), als k Zie ook de grafiek hiernaas Er geld an 0 0, an 3, an, an 3 Maak verder gebruik van an( ) an 3 De angens is differenieerbaar, dus ook coninu, op zijn domein De quoiënregel geef: 59 an an cos sin De formules voor an volgen ui de formules voor cosinus en sinus cos We noemen nog: 59 Eigenschappen van de angens (a) an 0 0, an 3, an, an 3 en an besaa nie 6 3 (b) an( ) an (c) an( ) an an an u an anu (d) an( u), an( u) an an u an anu an (e) an an an an (f) cos, sin an an 4 3

21 74 Analyse + Meekunde Opgave De formules in (f) volgen ui an Hoe? cos Opgave Toon aan da voor geld: cos an en sin an an Geef een meekundige inerpreaie van deze formules voor he geval 0 [Teken de eenheidscirkel en daarop pun P(, y) me, y 0 Lijn OP snijd de lijn in pun R Q is he pun Q(, 0) Bekijk de driehoeken OQP en OER ] Voorbeeld sin 0 0, sin0,an 0 0, an0, dus de lijn k : y is de raaklijn in O aan de grafieken van y sin en y an Voor 0 lig de angensgrafiek boven de raaklijn k en de sinusgrafiek lig onder de raaklijn k Om di e bewijzen bekijken we de funcies f ( ) an en g( ) sin Hun afgeleiden zijn f ( ) an resp g( ) cos f ( ) 0 en g ( ) 0 voor 0, dus f is daar sijgend en g is daar dalend, f (0) g(0) 0, dus f ( ) 0 en g( ) 0 op 0, ofwel sin an 50 Arcangens Op he inerval, is de angensfuncie srik sijgend, dus omkeerbaar De beperking van de angens o he inerval, heef dus een omkeerfuncie, de arcangens De angens is differenieerbaar, dus coninu, me posiieve afgeleide en da geld dan ook voor de arcangens He domein van de arcangens is en bereik is, Er geld lim arcan en lim arcan De grafiek de arcangens heef wee horizonale asympoen, de lijnen y en y De raaklijn in O aan de grafiek is de lijn y Zie de grafiek Ui an(arcan ) volg me de keingregel an (arcan ) arcan ( ) voor Dus arcan ( ) Anders gezegd: an (arcan ) an (arcan ) de arcangens is een primiieve van f ( ) op en f is daar coninu, dus ine- greerbaar Verder geld arcan 0 0 Da beeken da (/ ( ) ) arcan 0

22 5 De eenheidscirkel en goniomerie 75 Samengeva: 50 De arcangens is de omkeerfuncie van (an, ) He domein van de arcangens is en he bereik is, De arcangens is differenieerbaar en arcan ( ) voor De arcangens is srik sijgend op Er geld arcan (/ ( ) ) 0 Voorbeeld De arcangens geef ons nieuwe voorbeelden van een oneigenlijke inegralen, ga na da bijv Opmerking De coangensfuncie ( / ( ) ) 0 en co (/ ( ) ) word gedefinieerd door voor zo da sin 0 Er geld co an( ) Ga na da [co ] ( co ) voor k ( k ) sin cos co sin De beperking van de coangens o he inerval 0, is omkeerbaar en de omkeerfuncie is de arccoangens Er geld y co arcco y voor 0, en en y Ui arcco(co ) volg [arcco(co )] arcco (co ) co Dus voor y arcco (co ) co co ofwel [arcco y] y Ga na da [arcan arcco ] 0 Daarui volg arcan arcco consan voor Invullen van 0 geef voor arcan arcco Opgave Sel y an me, ofwel arcan y Ga na da sin(arcan y) y / y en cos(arcan y) / y voor y Opgave Sel X (, y) is een pun da boven de -as lig Bekijk de rui OPQX me P( y,0) op de -as en Q ( y, y) De zijden van de rui hebben de lenge y en OQ is de bissecrice van POX Is he argumen van Q ussen 0 en, dan is he argumen van X ussen 0 en Ga na da y y an en dus arcan y y

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 83 punen e behalen; he examen besaa ui 20 vragen. Voor

Nadere informatie

Snelheid en richting

Snelheid en richting Snelheid en riching Di is een onderdeel van Meekunde me coördinaen en behoeve van he nieuwe programma (05) wiskunde B vwo. Opgaven me di merkeken kun je, zonder de opbouw aan e asen, overslaan. * Bij opgaven

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de funcie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de funcie f in he pun 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D) f 0

Nadere informatie

2.4 Oppervlaktemethode

2.4 Oppervlaktemethode 2.4 Opperlakemehode Teken he --diagram an de eenparige beweging me een snelheid an 10 m/s die begin na 2 seconden en eindig na 4 seconden. De afgelegde weg is: =. (m/s) In he --diagram is de hooge an de

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/11

C. von Schwartzenberg 1/11 G&R havo A deel C von Schwarzenberg 1/11 1a m 18:00 uur He verbruik was oen ongeveer 1150 kwh 1b Minimaal ongeveer 7750 kwh (100%), maimaal ongeveer 1150 kwh (145,%) Een oename van ongeveer 45,% 1c 1d

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden 6 Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Exra oefening - Basis B-a Bij abel A zijn de facoren achereenvolgens 8 : = 6 ; 08 : 8 = 6 en 68 : 08 = 6. Bij abel A is sprake van exponeniële groei. Bij abel

Nadere informatie

OPQ OQ PQ p p p 3 p. C. von Schwartzenberg 1/27 A = O = = 1 1 2 = 1 1 1 = = = =. = = 1. ax A( ) 2 8 2 8 6 3 6.

OPQ OQ PQ p p p 3 p. C. von Schwartzenberg 1/27 A = O = = 1 1 2 = 1 1 1 = = = =. = = 1. ax A( ) 2 8 2 8 6 3 6. G&R vwo deel Toepassingen C von Schwarzenberg /7 a PQ y Q f ( O OPQR OP PQ b PQ yq f ( p p p OOPQR OP PQ p p p p c p p (opie maimum ma, (voor p,7 a OQ Q P p en PQ yp f ( p p O OPQ OQ PQ p p p p b d + p

Nadere informatie

1 Inleidende begrippen

1 Inleidende begrippen 1 Inleidende begrippen 1.1 Wanneer is een pun in beweging? Leg di ui aan de hand van een figuur. Rus en beweging (blz. 19) Figuur 1.1 Een pun in beweging 1.2 Wanneer is een pun in rus? Leg di ui aan de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei

Hoofdstuk 2 - Formules voor groei Moderne wiskunde 9e ediie Havo A deel Uiwerkingen Hoofdsuk - Formules voor groei bladzijde 00 V-a = 08, ; 870 08, ; 70 0, 8; 60 00 00 870 70 08,, gemiddeld 0,8 b De beginhoeveelheid is 00 en de groeifacor

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1

Overzicht. Inleiding. Classificatie. NP compleetheid. Algoritme van Johnson. Oplossing via TSP. Netwerkalgoritme. Job shop scheduling 1 Overzich Inleiding Classificaie NP compleeheid Algorime van Johnson Oplossing via TSP Newerkalgorime Job shop scheduling 1 Inleiding Gegeven zijn Machines: M 1,,..., M m Taken: T 1, T 2,... T n Per aak

Nadere informatie

Het wiskunde B1,2-examen

Het wiskunde B1,2-examen Ger Koole, Alex van den Brandhof He wiskunde B,2 examen NAW 5/4 nr. 2 juni 2003 65 Ger Koole Faculei der Exace Weenschappen, Afdeling Wiskunde, Vrije Universiei, De Boelelaan 08 a, 08 HV Amserdam koole@cs.vu.nl

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Era oefening ij hoofdsuk a Een goede venserinselling voor de funie f is : X min en X ma en Y min eny ma 0. Voor de funie g X min 0 en X ma 0 en Y min 0 eny ma 0. y 0 8 8 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Veriale

Nadere informatie

E 1. Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t sin t y (t) = sin t t sin t

E 1. Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t sin t y (t) = sin t t sin t Buieling Gegeven een halve cirkel me sraal. Lijnsuk raak de halve cirkel in pun R. De lenge van is consan π meer, erwijl he raakpun R langs de cirkel loop, me een snelheid van m/s. Gebruik de ekening.

Nadere informatie

Gebruik van condensatoren

Gebruik van condensatoren Gebruik van condensaoren He spanningsverloop ijdens he laden Als we de schakelaar s sluien laden we de condensaor op. De condensaorspanning zal oenemen volgens een exponeniële funcie en de spanning over

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies Havo B deel Uiwerkingen Moderne wiskunde Hoofdsuk Eponeniële funies ladzijde 6 V-a Door zih in weeën e delen vermenigvuldig he aanal aeriën per ijdseenheid zih seeds me een faor is de eginhoeveelheid,

Nadere informatie

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia

Oefeningen Elektriciteit I Deel Ia Oefeningen Elekriciei I Deel Ia Di documen beva opgaven die aansluien bij de cursuseks Elekriciei I deel Ia ui he jaarprogramma van de e kandidauur Indusrieel Ingenieur KaHo Sin-Lieven.. De elekrische

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

elektriciteit voor 5TSO

elektriciteit voor 5TSO e Dirk Sarens 45 elekriciei voor 5TSO versie 1.0 1 2011 Dirk Sarens Versie 1.0 Schooljaar 2011-2012 Gemaak voor he leerplan D/2009/7841/036 Di boek kan worden gekoch via de websie www.nibook.com Had je

Nadere informatie

digitale signaalverwerking

digitale signaalverwerking digiale signaalverwerking deel 2: sampling en digiale filerechniek Hoewel we de vorige keer reeds over he samplen van signalen gesproken hebben, komen we daar nu op erug, om de ermee samenhangende effecen

Nadere informatie

Ze krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen.

Ze krijgt 60% korting op het basisbedrag van 1000,- (jaarpremie) en moet dan 400,- (jaarpremie) betalen. 1a 1b G&R havo A deel 1 Tabellen en grafieken C. von Schwarzenberg 1/14 Een buspakje kan door de brievenbus, een pakke nie. Een zending die voorrang krijg. 1c 5, 40. (Worldpack Basic prioriy Buien Europa

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008

ELEKTRICITEIT WISSELSTROOMTHEORIE. Technisch Instituut Sint-Jozef, Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen. Cursus : Ian Claesen. Versie: 19-10-2008 EEKTTET WSSESTOOMTHEOE Technisch nsiuu Sin-Jozef, Wijersraa 28, B-3740 Bilzen ursus : an laesen Versie: 19-10-2008 1 Sooren spanningen en sromen... 3 1.1 Gelijksroom... 3 1.2 Wisselsroom... 4 2 Sinusvormige

Nadere informatie

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten

Juli 2003. Canonpercentages Het vaststellen van canonpercentages bij de herziening van erfpachtcontracten Canonpercenages He vassellen van canonpercenages bij de herziening van erfpachconracen Juli 23 SBV School of Real Esae Drs. L.B. Uienbogaard Drs. J.P. Traudes Inhoud Blz. 1. Inleiding... 3 2. Toeliching

Nadere informatie

www.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde

www.aarde nu Voor een profielwerkstuk over de aarde Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde Voor een profielwerksuk over de aarde www.aarde nu In opdrach van: Vrije Universiei Amserdam Universiei van Amserdam Technische Universiei Delf Universiei Urech Wageningen Universiei Teksen: Gerard Heijmeriks

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correcievoorschrif VWO 009 ijdvak wiskunde A, He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast.

C. von Schwartzenberg 1/18. 1b Dat zijn de punten (0, 0) en (1; 0,5). Zie de plot hiernaast. a G&R havo B deel 9 Allerlei uncies C von Schwarzenber /8 Zie de plo hiernaas b Da zijn de punen (0, 0) en (; 0,5) c Van de raieken van en li een enkel pun onder de -as d De raieken van en hebben de -as

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging

Samenvatting Natuurkunde 1 HAVO Beweging Beweging Samenvaing Nauurkunde HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Effecten van het budgettair beleid op private consumptie en besparingen: een onderzoek naar Ricardiaanse equivalentie

Effecten van het budgettair beleid op private consumptie en besparingen: een onderzoek naar Ricardiaanse equivalentie UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 00-003 Effecen van he budgeair beleid op privae consumpie en besparingen: een onderzoek naar Ricardiaanse equivalenie Scripie voorgedragen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Rust en beweging

Hoofdstuk 1: Rust en beweging Hoofdsuk 1: Rus en beweging 1.1 Rus en beweging zijn relaief Ten opziche van he vlieguig is de passagier in................................................ Ten opziche van he aardoppervlak is he vlieguig

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden

Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële verbanden Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije A: Geen lineair veran, als x me oeneem, neem y nie sees me ezelfe waare oe. B: Lineair veran, als x me oeneem, neem y sees me, oe. C: Geen lineair veran,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Overzicht Examenstof Wiskunde A

Overzicht Examenstof Wiskunde A Oefenoes ij hoofdsuk en Overzih Examensof Wiskunde A a X min 0, X max 0, Y min 0 en Y max 000. 0 lier per minuu. Als de ank leeg is, dan is W 0, dus 00 0 0 dus 0. Na 0 minuen is de ank leeg. a Neem de

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2015

Correctievoorschrift VWO 2015 Correcievoorschrif VWO 205 ijdvak wiskunde C (pilo) He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Privacy en cloud computing

Privacy en cloud computing legale kaders Privacy en cloud compuing Beveiliging van persoonsgegevens in de cloud E-mail leen zich goed als cloudservice. He voordeel is da de ICT-afdeling geen eigen mailserver hoef op e zeen, wa efficiëner

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correcievoorschrif VWO 04 ijdvak nauurkunde He correcievoorschrif besaa ui: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Tuinstijlen. Tuinstijlen. Het ontstaan van tuinstijlen. Formele tuinstijl. Informele tuinstijl. Moderne tijd

Tuinstijlen. Tuinstijlen. Het ontstaan van tuinstijlen. Formele tuinstijl. Informele tuinstijl. Moderne tijd Tuinsijlen Tuinsijlen He aanleggen van een uin word voorafgegaan door he maken van een uinonwerp. Om de uin o een geheel e maken moe u in he onwerp rekening houden me een bepaalde uinsijl. Door allerlei

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z

Opgave 1 (30 punten) + + = B h Z Tenamen CT222 Dynamica van Sysemen 25 juni 212 14.-17. Le op: - Vermeld op ieder blad je naam en sudienummer - Maak elk van de drie opgaven op een apar vel Opgave 1 (3 punen) 2 Een bekken (links) me berging

Nadere informatie

Studiekosten of andere scholingsuitgaven

Studiekosten of andere scholingsuitgaven Bij voorlopige aanslag inkomsenbelasing 2013 IB 275-1T31FD Volg u in 2013 een opleiding of een sudie voor uw (oekomsige) beroep? Of had u kosen voor een EVC-procedure (Erkenning Verworven Compeenies)?

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

haarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John

haarlemmerolie van de IT? Tobias Kuipers en Per John Complexiei onder conrole, kosen inzichelijk? Naar een diensbare Gezien de populariei van is he goed eens erug e gaan naar de basis en e kijken naar wa SOA eigenlijk is, wa de redenen zijn om he in e voeren,

Nadere informatie

Over de functies arcsin, arccos en arctan

Over de functies arcsin, arccos en arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,

Nadere informatie

Outsourcing. in control. kracht geworden. Ad Buckens en Dennis Houtekamer

Outsourcing. in control. kracht geworden. Ad Buckens en Dennis Houtekamer IT-audi & Ousourcing in conrol Leveranciersmanagemen en hird pary reporing Via ousourcing van sandaardprocessen proberen veel organisaies hun diensverlening aan de klan e verbeeren. Om in conrol e blijven

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

De Woordpoort. De besteksverwerker van Het Digitale Huis

De Woordpoort. De besteksverwerker van Het Digitale Huis De Woordpoor De beseksverwerker van He Digiale Huis Een STABU-beseksverwerker zonder weerga. Verfrissend eenvoudig en och me meer mogelijkheden dan welke andere beseksverwerker ook. Zeer uigebreide mogelijkheden

Nadere informatie

Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games)

Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games) Technische Univesiei Delf Faculei Elekoechniek, Wiskunde en Infomaica Delf Insiue of Applied Mahemaics Opimale saegieën voo gunsige binomiale spellen (Engelse iel: Opimal conol of favouable binomial games)

Nadere informatie

Master data management

Master data management meadaa Maser daa Aanpak voor opzeen van maserdaa-programma De kwaliei van de oenemende hoeveelheid daa in ondernemingen is van groo belang. Om die kwaliei e waarborgen kan maser daa worden oegepas. De

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d

C. von Schwartzenberg 1/20. Zie de plot hiernaast. 1b Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5). 1c 1d a G&R vwo A deel 0 Allerlei uncie C. von Schwarzenber /0 Zie de plo hiernaas. b Alle raiek aan door O (0,0) en (;0,). c d De raieken van y = 0, en y = 0, komen nie onder de -as. De raieken van y = 0, en

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS

Wind en water in de Westerschelde. Behorende bij de Bacheloropdracht HS Behorende bij de Bacheloropdrach HS Door: Julia Berkhou Lena Jezuia Sephen Willink Begeleider: Prof.dr. A.A. Soorvogel Daum: 17 juni 2013 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Achergrondinformaie 3 2.1 He geij.................................

Nadere informatie

De Stelling van Pascal Inhoud

De Stelling van Pascal Inhoud De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren

Nadere informatie

t Ik bekijk de plaatjes, de titel en de tussenkopjes.

t Ik bekijk de plaatjes, de titel en de tussenkopjes. 2.1 LWB 7A-20 Les: Geen vis INFORMATIE Leeseks Teks 1: informaieve eks over walvissen. Teks 1: oud AVI 9; nieuw AVI M6. Zie ook sofware. Cenrale sraegie/leerdoel Teks inerpreeren: je bedenk de hoofdvraag

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Formules maken

Hoofdstuk 6 - Formules maken Hoofdsuk 6 - Formules maken ladzijde 0 V-a Formule, wan de grafiek gaa door he pun (,) 0 en formule is exponenieel. Formule heef voor x = 0 geen eekenis, erwijl de grafiek door he pun (0, 3) gaa. Formule,

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: Draadloze communicatie

Hoofdstuk 6: Draadloze communicatie Elekronica: Tweede kandidauur indusrieel ingenieur 1 Hoofdsuk 6: Draadloze communicaie 1: Principewerking He is de bedoeling in di hoofdsuk de elemenaire principes van draadloze communicaie e besuderen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: LOGISCHE SCHAKELINGEN

Hoofdstuk 2: LOGISCHE SCHAKELINGEN Hoofdsuk 2: LOGISCHE SCHKELINGEN 2.1 lgemeenheden Gedurende vele jaren sond de Digiale echniek in hoofdzaak in funcie van compuersysemen. Daarin is er de laase jaren veel verandering gekomen. Denken we

Nadere informatie

LABO. Elektriciteit OPGAVE: Meten van vermogen in een driegeleidernet. Totaal :.../20. .../.../ Datum van afgifte:

LABO. Elektriciteit OPGAVE: Meten van vermogen in een driegeleidernet. Totaal :.../20. .../.../ Datum van afgifte: LABO Elekriciei OPGAVE: Meen van vermogen in een driegeleiderne Daum van opgave:.../.../ Daum van afgife: Verslag nr. : 8 Leerling: Assisenen: Klas: 3.1 EIT.../.../ Evaluaie :.../10 Theorie :.../10 Meeopselling

Nadere informatie

Rekenen banken te veel voor een hypotheek?

Rekenen banken te veel voor een hypotheek? Rekenen banken e veel voor een hypoheek? J.P.A.M. Jacobs en L.A. Toolsema Me enige regelmaa word door consumenen en belangenorganisaies gesuggereerd da banken de hypoheekrene onmiddellijk naar boven aanpassen

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VWO

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VWO UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 00-I VAK: WISKUNDE A, NIVEAU: VWO EXAMEN: 00-I De uigever heef ernaar gesreefd de aueursrechen e regelen volgens de weelijke bepalingen. Degenen die

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende

Nadere informatie

De impact van vergrijzing op de overheidsfinanciën. voorstel ontwerp eindrapport 1ste versie 27 augustus 2008

De impact van vergrijzing op de overheidsfinanciën. voorstel ontwerp eindrapport 1ste versie 27 augustus 2008 Spoor A2: De impac van vergrijzing op de overheidsfinanciën voorsel onwerp eindrappor 1se versie 27 augusus 2008 K. Algoed KULeuven CES Vlekho Business School Augusus 2008 Algemeen secreariaa Seunpun beleidsrelevan

Nadere informatie

Integratiepracticum III

Integratiepracticum III Inegraiepracicum III Casus I Projecevaluaie Irrigaie landbouwgronden in Ruriania Bas Beerenhou (556622) & Cliff Voeelink (554506) Deadline casus I: 2 januari 2007 TR2 Inleiding Er zijn een hoop derdewereldlanden.

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Blok - Vaardigheden ladzijde d 9 B B 6 f a a e r 9 9r r r r 8 a De rihingsoëffiiën van de lijn is gelijk aan en he sargeal is dus 7 0 de vergelijking is y x+ De rihingsoëffiiën van de lijn is gelijk

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Wat is een training? Het doel van een trainingssessie is om met het team en de spelers vastgestelde doelstellingen te bereiken.

Wat is een training? Het doel van een trainingssessie is om met het team en de spelers vastgestelde doelstellingen te bereiken. Wa is een raining? He doel van een rainingssessie is om me he eam en de spelers vasgeselde doelsellingen e bereiken. De doelselling van de raining bepaal de inhoud van de rainingssessie. De keuze van de

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

t-toets met één steekproef Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 t obs = s N Marjan van den Akker Tweezijdige t-toets met één steekproef

t-toets met één steekproef Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 t obs = s N Marjan van den Akker Tweezijdige t-toets met één steekproef -oe me één eekproef vergelijking van één eekproefgemiddelde me een norm (een van e voren bepaald gemiddelde probleem: σ ui populaie i nie bekend en he eekproefaanal i klein (

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Belasting en schenken 2013

Belasting en schenken 2013 Belasing en schenken 2013 Krijg u een schenking? Dan moe u misschien schenkbelasing bealen. Doe u een schenking? Dan kun u die schenking mogelijk als gif van de belasing afrekken. In deze brochure lees

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 4. 4.1 Soorten straling en stralingsbronnen Uiwerkingen opgaven hoofdsuk 4 Opgave 1 a 4.1 Sooren sraling en sralingsbronnen Eröngenfoon = h f h f 4 = 6, 6607 10 Js 19 = 1, 9 10 Hz E = = röngenfoon 4 19 14 6, 6607 10 1,9 10 1, 59 10 J b De hoeveelheid

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

GEBRUIKSAANWIJZING. Binnenunit voor lucht-waterwarmtepompsysteem EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1

GEBRUIKSAANWIJZING. Binnenunit voor lucht-waterwarmtepompsysteem EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 GEBRUIKSAANWIJZING Binnenuni voor luch-waerwarmepompsyseem en opies EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 EKHBRD011ACV1 EKHBRD014ACV1 EKHBRD016ACV1 EKHBRD011ACY1

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde 1,2 HAVO

Samenvatting Natuurkunde 1,2 HAVO Beweging Samenvaing Nauurkunde, HAVO Eenparig rechlijnige beweging a Eenparig versnelde rechlijnige beweging a a = consan a = 0 m/s Oppervlake = v = 0 m/s Oppervlake = v v v v = consan v() = a Oppervlake

Nadere informatie

Uw auto in 3 simpele stappen

Uw auto in 3 simpele stappen Uw auo in 3 simpele sappen 1 Als financieringsmaaschappij van Fia Group Auomobiles SA is Fia Financial Soluions als geen ander op de hooge van he Ialiaanse auoaanbod. Daarnaas beschik Fia Financial Soluions

Nadere informatie