Kwadratische reciprociteit

Transcriptie

1 Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete en kn deze vrg worden ngekt met behul vn de kwdrtische recirociteitswet, die in de loo vn de 18 e eeuw ontdekt werd door Euler en Legendre, en in 1801 door Guss bewezen. De kwdrtische recirociteit geeft verder, voor twee oneven riemen,, een verrssend verbnd tussen de vrg of een kwdrt is modulo en de vrg of een kwdrt is modulo. Het Legendresymbool Roe in herinnering dt het Legendresymbool gedefinieerd is voor, Z en > 0 een riemgetl. In dt gevl geldt 0 wnneer, 1 wnneer en er x Z bestt met x mod in dt gevl noemen we een kwdrtisch residu modulo en wnneer en er niet een x Z bestt met x mod heet dn een kwdrtisch non-residu modulo. b b Belngrijk is de multilictieve eigensch vn het Legendresymbool:. Verder is het Legendresymbool hst er definitie eriodiek: ls b mod, dn geldt b. Ons centrle robleem is dus het belen vn riemgetllen. Enkele vermoedens vn Euler voor lle gehele getllen en lle Euler bestudeerde de Legendresymbolen gedurende zijn hele leven en formuleerde de volgende vermoedens, wrin een omerkelijk troon te beseuren vlt: 1

2 dn en slechts dn ls ±1 mod 1 ; 1 dn en slechts dn ls ±1, ±9 mod 0 ; 1 dn en slechts dn ls ±1, ±9, ±5 mod 8 ; Hieruit destilleerde Euler het volgende, lgemenere vermoeden: Vermoeden 1. Als oneven riemgetllen zijn, dn is 1 dn en slechts dn ls ±β mod 4 voor zekere oneven β Z. We gebruiken gedurende deze voordrcht de volgende definitie: Definitie. Zij een oneven riemgetl, dn is : /. Oftewel, ls 1 mod 4, dn en ls 3 mod 4, dn. Het is niet moeilijk om n te gn dt Eulers vermoeden euivlent is met: Vermoeden 3 euivlent met 1. Als oneven riemgetllen zijn, dn is. Even gemkkelijk is het om n te tonen dt de volgende bewering eveneens euivlent is, die bekend is geworden ls de eigenlijke kwdrtische recirociteitswet: Vermoeden 4 Kwdrtische Recirociteit, euivlent met 1 en 3. Als oneven riemgetllen zijn, dn is /4. Je gebruikt dt een kwdrt is modulo dn en slechts dn ls 1 mod 4. Bewijzen vn de euivlenties tussen deze beweringen kunnen worden gevonden in D.A. Cox, Primes of the form x +ny, een boek dt één lng reclmeblok is voor het bestuderen vn lgebrïsche getltheorie. Tijdens deze voordrcht zullen we de voorgnde drie vermoedens bewijzen met behul vn onze kennis over Gloistheorie. Cyclotomische uitbreidingen Het bewijs dt we willen geven mkt gebruik vn de theorie vn -cyclotomische lichmsuitbreidingen over Q. We roeen dus enkele feiten hierover in herinnering. Zij een oneven riemgetl en ζ een rimitieve -de eenheidswortel. Dn is Q Qζ een lichmsuitbreiding vn grd 1 die Glois is met Gloisgroe Z/Z F. Een isomorfisme wordt gegeven door σ : F GlQζ /Q die mod nr σ : ζ ζ stuurt. Omdt oneven is, geldt dt F cyclisch is vn even orde, dus heeft een

3 3 unieke ondergroe vn index, nmelijk S : F, de groe vn kwdrten modulo. De utomorfismen die horen bij de ondergroe S hebben ls invrintenlichm een tweedegrdsuitbreiding vn Q: dit is zols bekend het lichm Qη, wrbij η de kwdrtische Guss-eriode is. Het blijkt dt η + 1, met / zols hierboven gedefinieerd, dus hebben we Qη Q. Er volgt bovendien dt bevt is in de deelring Z[ζ ] vn Qζ. Dus we hebben Q Q Qζ en de elementen vn de Gloisgroe die met S corresonderen zijn recies de utomorfismen die Q vst lten, en drmee ook recies de elementen die vst lten. Het bewijs De kwdrtische recirociteit volgt door een korte berekening in het -de cyclotomische lichm. Zijn nu, oneven riemgetllen met, dn geldt de volgende reeks euivlente beweringen: 1 S σ. De ltste imlictie vn rechts nr links volgt doordt ls σ het element vst lt, ze de hele Q vst lt. Vn de rest vn het rgument geven we eerst een schets: ls we de zk reduceren modulo eigenlijk modulo een riemidel dt bevt, dn wordt het utomorfisme σ gewoon verheffen tot de mcht. De uitdrukking σ is dn euivlent met 1 / 1 wrbij de ltste gewoon gelijkheid vn gehele getllen modulo is. De ltste congruentie is ermee euivlent dt een kwdrt is modulo, wnt de kwdrten in F zijn recies de elementen wrvn de orde deelt. Nu het formele bewijs. We beschouwen we de ring Z[ζ ] die zols ogemerkt bevt en nemen we voor F een lgebrïsche fsluiting vn F. Kies ook een rimitieve -de eenheidswortel ζ in F. Breid nu, de stndrd reductie modulo, uit tot een fbeelding : Z[ζ ] F door i iζ i te sturen nr i iζ i. Het is een stndrdoefening in lgebr om te lten zien dt deze fbeelding welgedefinieerd is. Lt σ x x de restrictie zijn vn het overeenkomstige element uit de Gloisgroe en F : F F de Frobeniusfbeelding x x. We hebben nu een commuttief digrm: Z[ζ ] σ F F Z[ζ ] F De commuttiviteit is trivil en volgt uit de definities vn en σ : σ i i ζ i i i ζ i i i ζ i i i F ζ i F i i ζ i F i i ζ i.

4 4 Nemen we nu w, dn is σ euivlent met F w w w 1 / 1 en de rest gt zols boven. De hulwetten De kwdrtische recirociteitswet kn nu worden gebruikt voor het betrekkelijk efficiënt berekenen vn Legendresymbolen. Hiervoor zijn wegens de eis dt, oneven riemgetllen zijn in de rktijk nog twee hulwetten nodig. Voor oneven geldt: 1 dn en slechts dn ls 1 mod 4 ; 1 dn en slechts dn ls ±1 mod 8. Deze worden vk in verkorte nottie weergegeven ls / en /8. Een bewijs vn deze hulwetten kn worden gevonden in J.P. Serre, A course in rithmetic, lhoewel Serre zich slechts verwrdigt om voor de tweede hulwet een bewijs te geven. Voorbeeld vn het rekenen met Legendresymbolen De sten in onderstnde berekening bestn uit: de eriodiciteit en multilictiviteit vn het Legendresymbool, de kwdrtische recirociteit en de twee hulwetten. Eerst willen we weten of 1073 een kwdrt is modulo 453 de exonent vn het e Mersenneriemgetl: Dus 1073 is een kwdrt modulo 453. En inderdd geldt mod 453. Het Jcobisymbool Met het Legendresymbool moet in het lgemeen nogl wt gefctoriseerd worden. Hierboven hoefde dt slechts twee keer, mr in het lgemeen geldt dt het toessen vn de kwdrtische recirociteitswet lleen gt ls beide getllen in het Legendresymbool riem zijn. Het verrssende is dt er een generlistie bestt vn het Legendresymbool, nmelijk het Jcobisymbool, dt niet n deze beerking onderhevig is.

5 Definieer het Jcobisymbool voor, n Z en n > 0 oneven ls volgt: ls n Jc n e 1 1 e k k, wrbij de k riemgetllen zijn, lt dn n Jc : e1 1 ek, k wrbij in het rechterlid gewone Legendresymbolen stn. Als riem is, dn is Jc het gewone Legendresymbool, hetgeen klot met de omerking dt het Jcobisymbool het Legendresymbool generliseert, dus lten we vnf nu bij het Jcobisymbool het subscrit weg. Alle belngrijke eigenschen vn het Legendresymbool gn door voor het Jcobisymbool, zols: 1 eriodiciteit: ls b mod n, dn geldt n b n ; mul- tilictiviteit, zowel in de teller ls in de noemer : b n b n n en mn m n ; mr wellicht onverwchter is dt ls m, n beide oneven ositieve gehele getllen zijn met ggdm, n 1, dt we hebben: 3 kwdrtische recirociteit: m n n m mn/4 ; en 4 voor oneven ositieve n gelden de hulwetten n n/ en n n /8. Al deze eigenschen volgen o hst trivile wijze uit de ei- genschen vn het Legendresymbool. Wrschuwing: n betekent dt noodzkelijk geen kwdrt is modulo n, mr ls n 1 betekent dt niet dt een kwdrt is modulo n: , mr is geen kwdrt modulo 15, wnt het is niet eens een kwdrt modulo 3 of 5! Het Jcobisymbool generliseert dus het Legendresymbool, en kennelijk mogen we ook lle rekenregels gebruiken die voor het Legendresymbool gelden. Derhlve kunnen we het Legendresymbool uitrekenen door in de tussensten ook de meer lgemene Jcobisymbolen toe te lten! Lten we ons vorige voorbeeld erbij kken. We gebruiken dt ggd1073, 453 1, zols we met het Euclidische lgoritme snel kunnen chterhlen De helft zo kort, en we hoefden niet te fctoriseren! 5