Algemeen geformuleerd: a a a b) wanneer we machten met hetzelfde grondtal op elkaar delen, bijv. a

Transcriptie

1 Theorie mchtsverheffen, worteltreen en logritmen (gedeelte uit hoofdstu vn Ro Flohr (00). Bsiswisunde voor sttistie. Den Hg: Acdemic Service). Mchtsverheffen en worteltreen In deze rgrf esreen we de eweringen mchtsverheffen en worteltreen en reiden we de getlverzmeling vn rtionle getllen Q uit tot de verzmeling vn lle reële getllen R. Mchten Voor el getl geldt: , wrij el ositief geheel getl is. We zien dt de herhlde otelling vn uitmondt in een vermenigvuldiging, nders gezegd: de sommen, enz. worden geschreven ls de roducten, enz. Anloog hiern leidt de herhlde vermenigvuldiging vn el getl tot het mchtsverheffen:...., wrij el ositief geheel getl is. Vooreelden: We definiëren de volgende egrien: in de uitdruing noemen we het grondtl, de e exonent en de mcht (reciezer: de mcht vn of tot de mcht ). In het vooreeld vn eteent dit: is het grondtl, is de exonent en is tot de mcht. Eigenschen vn mchten ) wnneer we mchten met hetzelfde grondtl met elr vermenigvuldigen, ijv., dn rijgen we een mcht met hetzelfde grondtl en een exonent die gelij is n de som vn de oorsronelije exonenten. G mr n: ( ). Algemeen geformuleerd: ) wnneer we mchten met hetzelfde grondtl o elr delen, ijv. :, dn rijgen we een mcht met hetzelfde grondtl en een exonent die gelij is n het verschil vn de

2 oorsronelije exonenten. G mr n: ) ( :. Algemeen geformuleerd: : c) uit het ovenstnde volgt: 0 : en ) ( :. We unnen de regel voor het delen oo fleiden uit die voor het vermenigvuldigen. Immers, indien geldt, geldt oo : en :. Vervolgens ijen we nr d) de mcht vn een mcht, ijvooreeld 6. We zien dt we de exonenten moeten vermenigvuldigen, immers 6. Algemeen geformuleerd: e) de mcht vn een roduct, ijvooreeld Er geldt dus lijr dt (wellicht ten overvloede wijzen we ero, dt een vermenigvuldiging o verschillende mnieren n worden weergegeven:. ). Algemeen geformuleerd: r r r f) de mcht vn een uotiënt, ijvooreeld. We zien dt, lgemeen geformuleerd: r r r Smengevt:..., wrij el ositief geheel getl is. : 0 r r r r r r n.. - ij 0 hoort de voorwrde 0, omdt 0 0 niet gedefinieerd is -wnneer de grondtllen verschillend zijn, gn de ovenstnde regels niet o, vergelij: en

3 : Ogve..) ) h) ) i) 0 j) ).. c) d) 0 0 l). e). 0 f) m).. g) n) Worteltreen In het ovenstnde heen we de egrien grondtl, exonent en mcht leren ennen. Bij mchtsverheffen gt het om het vinden vn de mcht, gegeven een eld grondtl en een elde exonent. Een vrgstu dt etreing heeft o mchtsverheffen, heeft nmelij de vorm?. Wnneer de exonent en de mcht gegeven zijn mr het grondtl niet, rijgen we een vrgstu vn de vorm?. Een r vooreelden:?. Het ntwoord is wnt.?. Het ntwoord is wnt.?. Het ntwoord is wnt. Bij dit soort vrgstuen zoeen we dus het grondtl en de ewering die hierij hoort heet worteltreen. Kijen we nog even nr het eerste vooreeld?, dn is de vrg: wel getl tot de tweede mcht (of: in het wdrt) is gelij n? Nu geldt zowel dt ls en omdt we ons eeren tot de ositieve uitomst, definiëren we het volgende: de tweedemchtswortel vn is het niet-negtieve getl wrvoor geldt dt. We schrijven dit ls volgt:, wrin we het wortelteen, de wortelexonent en het ereenen vn het worteltreen noemen (i..v. schrijven we doorgns gewoon, wnneer de wortelexonent niet vermeld wordt gt het dus om een tweedemchtswortel). Ogve..) ) f) 6 ) 00 g) 0 c) 6 h) 6 00 i) d)

4 j) 6 e) 6 Het nemen vn een tweedemchtswortel is dus de omgeeerde (inverse) ewering vn het wdrteren, zo geldt ijvooreeld wnt. Dit eteent, dt het getl onder het wortelteen groter dn of gelij n nul moet zijn. Immers, stel dt gelij is n een getl, dn moet dus gelden dt. Mr omdt een wdrt vn een getl een ositief getl olevert, n dit niet het gevl zijn. We unnen nu in het lgemeen definiëren: de (tweedemchts)wortel vn een getl 0 is het getl wrvoor geldt dt 0 en. In de vooreelden en de ogven tot nog toe wm het worteltreen recies uit : de uitomst ws telens een getl dt gewdrteerd het getl onder het wortelteen oleverde. Er zijn echter tlloze vooreelden te edenen wrij dit niet het gevl is. In zo n gevl roeren we zoveel mogelij wdrten in het getl onder het wortelteen o te soren om de wortel te unnen vereenvoudigen. Neem ijvooreeld 0 ; nu is 6 en 6, dus de uitomst vn 0 moet ergens tussen en in liggen. Dit eteent dt 0 geen geheel getl ls uitomst heeft (verdero zullen we zien dt de uitomst vn 0 oo geen reu is!). Om de wdrten in het getl 0 o te soren, unnen we een herhlde deling uitvoeren, wrij we eerst zoveel mogelij door delen, dn door enz. We rijgen in het gevl vn 0 dn: 0: 0 0: : : : Dit houdt in dt we 0 unnen schrijven ls het roduct. Drdoor geldt 0 6. Controle: ls 0 6, dn moet gelden: 6 0. Welnu, (dt gelij is n, volgt direct uit de definitie vn worteltreen: is het getl dt, gewdrteerd, olevert, m..w. ). O dezelfde wijze unnen we 00 vereenvoudigen: Controle: Ogve..) Vereenvoudig o dezelfde wijze de volgende wortels: ) f) ) g) 00 c) h) d) 0 i) e) 6 j) 00 Anloog n hetgeen hiervoor gezegd is over worteltreen t..v. gehele getllen, unnen we wortels vn reuen ereenen res. vereenvoudigen. Zo geldt ijvooreeld:

5 wnt 6 6 en wnt Bij het vereenvoudigen zorgen we er voor dt, indien er in de noemer geen wdrt vooromt, we dr een wdrt rijgen door teller en noemer met hetzelfde getl te vermenigvuldigen. Bijvooreeld: (er stt in de noemer l een wdrt) 6 mr en Ogve..) Vereenvoudig de volgende reuen: ) d) ) c) e) Tot nog toe heen we het gehd over tweedemchtswortels ( of ), oo wel vierntswortels genoemd. Drnst estn er oo hogeremchtswortels wrij de wortelexonent is. Vooreelden: wnt wnt wnt wnt en oo wnt wnt wnt wnt mr estt niet omdt een ositieve uitomst heeft, nmelij. Zo omen we tot de volgende mogelijheden: de wortelexonent is een de wortelexonent is een

6 het getl onder het wortelteen is ositief het getl onder het wortelteen is negtief even getl oneven getl even ositief ositief oneven ositief ositief even negtief estt niet oneven negtief negtief Het ereenen en vereenvoudigen vn hogeremchtswortels verloot nloog n de wijze wro dit hieroven voor tweedemchtswortels is uiteengezet. Vooreelden: ) ) 6 d) wnt 6 c) e) wnt g) wnt h) 0 wnt mr: i) 6 estt niet. f) wnt 6 Ogve..) Vereenvoudig res. ereen de volgende wortels: ) e) 6 ) f) c) 6 6 g) 6 d) 0 h) 6 Uit hetgeen we hieroven eschreven heen met etreing tot worteltreen, unnen we het volgende fleiden: 6 6 ); wnneer we nu de gelijheid 6 in de vorm vn mchten met grondtl schrijven, rijgen we: 6 6. We unnen 6 6 dus schrijven ls. Algemeen geformuleerd: (voor el ositief grondtl ). Zo geldt ijvooreeld (controle: ). Nemen we voor ijvooreeld het getl, dn rijgen we:

7 wnt of, nders gezegd, wnt. Omgeeerd geldt ijvooreeld dt en. Dit ltste levert ij terugreenen het volgende resultt o:.. We sreen in deze gevllen vn geroen mchten, ngezien de exonent een reu is (in het ltste vooreeld ). Enele vooreelden ter toelichting: en omgeeerd: (of: ) We unnen oo te men rijgen met negtieve geroen exonenten. Vergelij het volgende vooreeld:. Omgeeerd n geschreven worden ls Vooreelden (odrcht: schrijf ls mcht) (odrcht: schrijf ls wortel) ( ) 0 ( ) Ogve..6) Schrijf ls wortel res. ls mcht: ) f) ) g) ( ). c) x h)

8 i) d) 0 e) j) 0.. Irrtionle getllen en de verzmeling vn reële getllen R In rgrf. heen we eerst N (de verzmeling vn ntuurlije getllen) uitgereid tot Z (de verzmeling vn gehele getllen), en vervolgens Z weer uitgereid tot Q (de verzmeling vn rtionle getllen). Door het invoeren vn de ewering worteltreen, zien we ons genoodzt om onieuw tot een uitreiding vn onze getlverzmeling over te gn. Zo heen we onder meer het getl leren ennen. Nu n geen geheel getl zijn, ngezien en. moet dus tussen en liggen ( ). Mr we unnen ntonen dt oo geen rtionl getl vn de vorm is (d.w.z. een getl dt ls een reu geschreven n worden). Bewijs vn de stelling dt geen rtionl getl is. Stel dt geschreven n worden ls een niet vereenvoudigre reu. Dn geldt volgens de definitie vn een tweedemchtswortel dt, dus oo en. Dit eteent dt een even getl is (g mr n: ls je een getl met vermenigvuldigt, rijg je ltijd een even getl, ijv. mr oo 6 ). Mr ls een even getl is, moet dt oo zijn (ls oneven zou zijn, zou - het roduct vn twee oneven getllen oo oneven zijn). Omdt een even getl is, mogen we schrijven: r. Wnneer we dit invullen in, dn rijgen r, dus r, dus we r ofwel r. Dit eteent dt een even getl is. Mr dn is oo een even getl. Het gevolg is dt de reu vereenvoudigr is, ngezien zowel ls even getllen zijn. Mr dit is in strijd met onze veronderstelling dt een niet vereenvoudigre reu is. Conclusie: is geen rtionl getl. is een vooreeld vn een irrtionl getl. Om het onderscheid tussen rtionle getllen (getllen die ls een reu geschreven unnen worden) en irrtionle getllen (wrij dt niet het gevl is) te verduidelijen, geven we vn de volgende getllen de decimle schrijfwijze (d.w.z. met cijfers chter de omm)

9 0... mr: We zien dt sommige rtionle getllen (, 0, ) een eindige decimle ontwieling heen (het ntl cijfers chter de omm stot o een geven moment omdt de deling ogt ) en dt ndere rtionle getllen (,, ) een oneindige decimle ontwieling 0 heen mr wel een reeterend troon vertonen (vnf een eld unt in de decimle ontwieling dt er getl verschillend n zijn is er sre vn een zich herhlende rees vn getllen). We zien oo dt dit ltste niet geldt voor : de cijfers chter de omm gn tot in lle eeuwigheid door zonder zichzelf te reeteren. Om dit nog eens goed voor het voetlicht te rengen, geven we hieronder de decimle schrijfwijze vn twee ndere irrtionle getllen, nl. het getl e (zie hoofdstu 6) en het getl (het getl dt de verhouding weergeeft tussen de omtre vn een cirel en de middellijn ervn): e Hoeveel cijfers chter de omm er oo verschijnen, er is geen terugerend troon te eennen! U unt zich misschien wel voorstellen dt het enige tijd heeft geduurd voordt irrtionle getllen getllen die in zeere zin ltijd ongrijr lijven ls echte getllen werden gezien (net zols de ccettie vn negtieve getllen niet vn de ene o de ndere dg is gegn). Zo schrijft de Duitse wisundige Michel Stifel in zijn Arithmetic Integr uit : On the other hnd, other considertions comel us to deny tht irrtionl numers re numers t ll. To wit, when we see to suject them to numertion [deciml reresenttion] we find tht they flee wy eretully, so tht not one of them cn e rehended recisely in itself Now tht cnnot e clled true numer which is of such nture tht it lcs recision..therefore, just s n infinite numer is not numer, so n irrtionl numer is not true numer, ut lies hidden in ind of cloud of infinity (Kline: ). Wnneer we de irrtionle getllen toevoegen n de verzmeling vn rtionle getllen Q, dn rijgen we de verzmeling vn lle reële getllen R : R...,,...,,...,,...,,...,0,...,,...,,...,,...,... De volgende uitreiding, nmelij die met de imginire en comlexe getllen, vlt uiten het este vn dit oe. De solute wrde vn een getl Soms zijn we voorl geïnteresseerd in de fstnd vn een getl tot het getl 0 o de getllenlijn. In dt gevl n het teen (+ of -) uiten eschouwing worden gelten, wnt de fstnd vn ijvooreeld - tot 0 is dezelfde ls die vn tot 0, nmelij. Dit n zich voordoen wnneer we de fwijingen ten ozichte vn een eld unt (v het unt 0) willen weten, los vn de vrg of het fwijingen nr oven of nr eneden etreft. In de wisunde sreen we in dit gevl vn de solute wrde (of modulus) vn een getl dt wordt ngegeven door twee verticle streen. We definiëren drom het volgende: onder de solute wrde vn een getl verstn we het getl zelf, met weglting vn het er voor stnde teen. Enele vooreelden zijn:

10 . Logritmen In rgrf. heen we gezien dt een vrgstu dt etreing heeft o mchtsverheffen vn de vorm? is, terwijl het ij worteltreen de vorm? etreft. Anders gezegd, ij mchtsverheffen zoeen we de mcht (oo wel rgument genoemd) en ij worteltreen? het grondtl. We unnen echter oo o zoe zijn nr de exonent wrij de vorm hoort. Het zoeen vn de exonent noemen we logritme nemen. We noteren dit ls volgt: ls, dn is log. Dit eteent: log is de exonent wrtoe we moeten verheffen om te rijgen. M..w., log en omen o hetzelfde neer. Wnneer we log invullen ( sustitueren ) in log rijgen we: wruit lijt dt inderdd de exonent is wrtoe we moeten verheffen om te rijgen. Verder sreen we f dt wnneer het grondtl gelij is n 0, we ortweg log schrijven, log eteent dus hetzelfde ls smen: ls geldt dn is - mchtsverheffen het ereenen vn - worteltreen het ereenen vn - logritme nemen het ereenen vn 0 log. We vtten het ovenstnde ls volgt log Wnneer we ls cijfervooreeld nemen, dn omt - mchtsverheffen neer o het uitvoeren vn de ereening (de uitomst is tot de mcht, nl. het getl ) - worteltreen o het uitvoeren vn de ereening (de uitomst is het grondtl ) - en logritme nemen o het uitvoeren vn de ereening log (de uitomst is de exonent ) Vooreelden: ) log wnt f) log 0 wnt 0 0 ) log6 wnt 6 g) log 0 wnt 0 0 c) log00 log00 wnt 0 00 h) log 6 wnt 6 6 d) log 0. wnt 0 0. i) log wnt 0 6 e) log0 wnt 0 0 j) log wnt Ogve..) ) log f) log ) log6 c) log d) log g) log 0.0 h) log 0 i) log 6

11 e) log j) log Voor de volledigheid geven we hieronder nog de regels die gelden voor logritmen wrij we gemshlve uitgn vn het grondtl 0 (hoewel de conclusies geldig zijn voor el grondtl). Regel : log log log log loglog Om n te tonen dt dit zo is, schrijven we: 0 0 (dit volgt uit regel ). Nu men we gerui vn de regel dt Dn volgt hieruit en uit de definitie vn logritme dt: log log 0 0. Linerlid en rechterlid zijn dus n elr gelij, dus is regel juist. Regel : log log log 0 We geruien dezelfde redenering ls ij regel, lleen ssen we hier de regel 0 0 log log loglog 0 toe. We rijgen dn: uit log log log volgt 0 0 en dit omt neer log 0 o. Liner- en rechterlid zijn n elr gelij, dus is regel juist. Regel : log n nlog Afleiding: o dezelfde wijze, lleen met ehul vn de regel n 0 0. Uit n log n log nlog volgt n log log n n n n, dus. Uit de gelijheid vn liner- en rechterlid concluderen we dt regel juist is. n n N.B. Omdt en, volgt hieruit en uit regel dt log log log en n n log log log. n log c Regel : log c log We volgen weer dezelfde werwijze met ehul vn de regel Uit. log c log c volgt log c log log c (ruiselings vermenigvuldigen). We mogen log vervolgens schrijven: c logc log logc c logc log logc wruit (er definitie) volgt:. Liner- en rechterlid zijn n elr gelij, dus is regel juist. Met ehul vn regel unnen we o een willeeurig grondtl overgn hetgeen goed vn 0 log 6 log 6 s n omen. Zo is log 6 met ehul vn regel te herschrijven ls, 0 log log hetgeen met ehul vn de reenmchine eenvoudig uit te reenen is (het ntwoord is ongeveer. en de controle is: , dus ongeveer 6). Ter fsluiting vn deze rgrf volgen nog enele vooreelden wrij de ovenstnde regels unnen worden toegest (dit soort ogven n v o verschillende mnieren ogelost worden).

12 Vooreelden: log ) log log log log log 00 log log0 0 ) 0 log (controle: 00 ) 0 log c) Gegeven is: log 0., log 6 0. en log 0. (fgerond). Bereen met ehul vn deze gegevens: log, log, log en log. ntwoorden: 6 log log log 6 log 0.0 log log 6 log log6. log log log log.0 log log 6 6 log log log 6 log d)?. O de lts vn het vrgteen moet omen te stn: fgerond. (controle: ) log log 6 log. log log en dit is log Uitweringen en ntwoorden: Ogve..) ), wnt ) - c) 6 d) e) f) wnt g) wnt h) wnt i) 0 wnt j) wnt ) wnt.. l) wnt m) 0 wnt... 0

13 n) 6 wnt Ogve..) ) wnt f) wnt ) 0 g) c) h) 6 0 wnt wnt 6 6 d) 0 i) wnt e) wnt 6 j) 6 Ogve..) ) wnt ) 6 wnt 6 c) wnt d) 0 e) f) g) 0 h) 6 i) j) Ogve..) ) ntwoord: 6 60 wnt 6 of 6 ) ntwoord: 6 wnt 6 6 c) ntwoord: wnt d) ntwoord: 0 e) ntwoord: Ogve..) ) ntwoord: ) ntwoord: wnt c) ntwoord: estt niet wnt 6

14 6 d) ntwoord: wnt e)ntwoord: wnt f) ntwoord: wnt g) ntwoord: 0 wnt h) ntwoord: 0 wnt en 0 0 Ogve..6 ) f) ) g) (wnt ) c) x h) (wnt ) d) i) (wnt ) e) j) 0 (wnt ) 0 Ogve..) ) f) ) g) - c) h) wnt d) i) wnt e) 0 j) wnt