Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)

Transcriptie

1 Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt, voor de delibertie. De vrgen vind je chtern. En drn de globle uitslgen. Eerst nog een lgemene opmerking. Vele ntwoorden zijn toch nog erg slordig neergeschreven en niet ltijd goed leesbr. Dt zl wel iets met tijdsdruk te mken hebben, mr toch... Misschien moet je ook meer op voorhnd oefenen in het goed opschrijven vn ntwoorden en zo wt ervring opdoen, zodt je dt niet voor de eerste keer op een exmen moet doen? Vrg 1. Deze vrg ws een vrinte op opgve 3.8 ( Metrische ruimten ) uit de not s. Merk op dt in die opgve sprke is vn een volledige metrische ruimte, mr volledigheid is ntuurlijk niet nodig. Een oplossing voor deze opgve is te vinden op de website vn Win. De oplossing is zeer eenvoudig. Je moest hier ntwoorden dt de verzmeling P een fmilie is vn open verzmelingen en dt Q een fmilie is vn gesloten verzmelingen. Verder moest je dn rgumenteren dt V \ U open is en U \ V gesloten ls V open is en U gesloten (zols bij die opgve). Dt doe je door te schrijven dt V \U = V U c en U \V = U V c en te gebruiken dt de doorsnede vn twee opens open is, de doorsnede vn twee geslotens gesloten en het complement vn een open gesloten is en omgekeerd. Dit ws dus geen moeilijke vrg. Sommige studenten bewijzen een vn deze gevllen, mr slgen er niet in om het ndere, nloge gevl te bewijzen - iets wt ik een beetje rr vind. Andere studenten geven bewijzen die moeilijker zijn dn nodig. En dn is er nog een groep vn studenten die geen onderscheid mkt tussen de fmilie vn verzmelingen n de ene knt en de unie vn de verzmelingen uit die fmilie n de ndere knt. Ze zeggen dn bijvoorbeeld dt P open is en dt je over Q niets kn zeggen, tenzij je met eindig veel verzmelingen werkt. Dt is ntuurlijk zinloos en beschouw ik ls een gebrek n inzicht. Het gemiddelde op deze vrg is 2.95 op 5. Vrg 2. Ook deze vrg is een vrinte op een opgve uit de not s (Opgve 4.3 uit Metrische Ruimten ). Deze opgve is gemkt in de oefeningenzittingen en de oplossing vind je ook op de website vn Win. De verzmeling A is niet compct wnt ze is niet gesloten. Je vindt immers een rij in A die nr 1 convergeert terwijl 1 niet in A zit. Het is ook niet zo moeilijk om een open overdekking te vinden zonder eindige deeloverdekking. Neem bijvoorbeeld de intervllen ] 1 + δ, + [ wrbij δ > 0. De verzmeling B is wel compct wnt ze is gesloten en begrensd. Er zijn verschillende studenten die een verkeerd beeld hdden vn de verzmelingen A en B. Iemnd schreef bijvoorbeeld dt A = ] 1, 1[ en B = [ 1, 1]. Sommige ndere studenten hdden iets gelijkrdigs. Dt is ntuurlijk heleml fout. Verschillende open overdekkingen konden gebruikt worden, mr ook hier werden toch soms fouten gemkt 1

2 (bijvoorbeeld door geen open verzmelingen te nemen - of geen overdekking). Om n te tonen dt B wel compct is, hebben heel wt studenten zich lten leiden door de oplossing vn opgve 4.3. Ze hebben de verzmeling bekeken ls een unie vn twee verzmelingen die elk een convergente rij en de limiet ervn bevtten. Dn is het niet moeilijk n te tonen dt elke open overdekking een eindige deeloverdekking heeft (zie bijvoorbeeld de oplossing op de website vn Win). Dit is een goed ntwoord. Studenten die bewijzen dt B compct is door n te tonen dt de verzmeling begrensd en gesloten is, bewijzen dikwijls niet op een correcte wijze dt B gesloten is. Het gemiddelde op deze vrg is 2.34 op 5. Vrg 3. De rij vn functies wr het hier over gt, vind je terug in Opmerkingen 2.4 ( Afgeleiden I ). Dr vind je dt deze rij functies punstgewijs convergeert en wt de limiet is. Uniforme convergentie bewijs je op [δ, + [ door een eenvoudige fschtting. Op het negtief stuk gt het nloog. En dn neem je beide gevllen smen door het mximum vn de gevonden n 1 en n 2 te nemen. Omdt de uniforme limiet vn continue functies zelf ook continu moet zijn, vind je direct dt je geen uniforme convergentie op gns R kn krijgen. Er zijn een ntl studenten die de Stelling vn Dini gebruiken, mr dt kn niet op een onbegrensd intervl. Er zijn ook nog studenten die verkeerd fschtten. Ze schrijven bijvoorbeeld, voor t δ dt nt 1 + nt 1 nt nt 1 = 0 < ε. Dit kn ntuurlijk niet juist zijn omdt het linkerlid positief is en ls het kleiner moet zijn dn 0, dn zou het zelf ook 0 moeten zijn. Het gemiddelde op deze vrg is 1.86 op 5. Vrg 4. Een goed en volledig ntwoord besteed hier ndcht n verschillende specten vn het bewijs. Vooreerst moest je toch iets zeggen over het feit dt men zich kn beperken tot het gevl p = 2 en dn tot het gevl wrbij de twee indices verschillend zijn. Je moest dr niet veel over schrijven mr toch iets zodt je ntoonde dt je begreep dt ook hier reeds meer uitleg nodig is. Vervolgens moest je goed uitleggen hoe je precies deze eerste keer de middelwrdestelling toepst. Hier komt meer bij kijken dn de meeste studenten beseffen. Om te beginnen moet je uitleggen op welke functie je de middelwrdestelling precies toepst. Dit is niet de oorspronkelijk functie f mr wel de functie g : t f(t, x 2 ) f(t, 2 ). Wnneer je x voldoende dicht bij kiest zl deze functie gedefinieerd zijn op het intervl met eindpunten 1 en x 1. Dit is zo omdt A open is en A. De functie g is dn continu op dit gesloten intervl en differentieerbr op het open intervl omdt f prtieel fleidbr is nr de eerste vernderlijke in de open verzmeling A. De middelwrdestelling levert dn een 2

3 punt y 1 tussen 1 en x 1 zodt g(x 1 ) g( 1 ) = g (y 1 )(x 1 1 ). Wnneer je dit uitschrijft bekom je dn de eerste formule uit het bewijs in de not s. Dn ps je een tweede keer de middelwrdestelling toe. Deze keer op de functie h : s (D 1 f)(y 1, s) en het intervl met eindpunten 2 en x 2. Weer door x voldoende dicht bij te kiezen is deze functie op zo n intervl goed gedefinieerd, continu op het gesloten intervl en differentieerbr op het open intevl. Dit ltste omdt D 1 f prtieel differentieerbr wordt verondersteld op A. Dit levert dn een punt y 2 tussen de rndpunten 2 en x 2 zodt h(x 2 ) h( 2 ) = h (y 2 )(x 2 2 ) en dt betekent (D 1 f)(y 1, x 2 ) (D 1 f)(y 1, 2 ) = (D 2 D 1 f)(y 1, y 2 )(x 2 2 ). Het ws niet zo belngrijk om ook het nloge gevl nog eens in detil uit te leggen. Eventueel kon je hier zeggen dt je eerst de middelwrdestelling toepst op de functie s f(x 1, s) f( 1, s) op het intervl met rndpunten 2 en x 2. Ook het gebruik vn de continuïteit vn de dubbele prtiële fgeleiden moest je wt verder uitleggen. Je kon een ε kiezen en δ 1 en zodt (D 1 D 2 f)(x) (D 1 D 2 f)() < ε ls x < δ 1 en dn opmerken dt uit x < δ 1 ook volgt dt (z 1, z 2 ) ( 1, 2 ) < ε. Anloog neem je dn een δ 2 voor het ndere gevl. En uiteindelijk veronderstel je dn dt x < δ wrbij δ = min{δ 1, δ 2 }. Er zijn mr heel weinig studenten die hier goed op ntwoorden. Zo zijn er niet zo heel veel studenten die precies zeggen op welke functies je de middelwrdestelling toepst. Regelmtig wordt ook de fout gemkt om de stelling twee keer toe te pssen, bijvoorbeeld op de functies t f(t, x 2 ) en t f(t, 2 ). Het probleem drbij is dt je dn in principe twee verschillende punten y 1 krijgt. De gemiddelde score bedrgt hier 1.81 op 5 en dt is niet veel. Ik besluit hieruit dt studenten bij het studeren niet voldoende kritisch zijn. Wnneer je bijvoorbeeld een bewijs ls dt vn Propositie 1.6 instudeert, zou je je dn reeds moeten fvrgen wrom precies l deze stppen mogen gezet worden. Je zou je dn l moeten fgevrgd hebben op welke functies je precies de middelwrstestelling toepst, wrom dt mg,... Indien je dt hd gedn, dn zou je op het exmen gewoon mr je uitwerking vn het bewijs moeten overschrijven uit je eigen not s. Je mocht immers lles meebrengen. Ik denk dt de slechte gemiddelde score op deze vrg ook ntoont dt studenten te weinig inzicht hebben in de mterie - en vermoedelijk zelfs dt studenten dt bovendien ook niet beseffen. Vrg 5. Hier zl het voor velen niet zo duidelijk geweest zijn wt er precies moest gentwoord worden. Belngrijk is dt je verstndige dingen schrijft. Je kn bijvoorbeeld eerst wijzen op de gelijkenissen. Beide stellingen gn over de vrg of je n de fgeleiden kn zien of een punt een lokl minimum of een lokl mximum is. Telkens eis je dt de functie een ntl keer continu fleidbr is. Ook het bewijs is gelijkrdig. Het steunt op de stelling vn Tylor. Wt zijn nu de verschillen? In het ene gevl heb je een functie vn één vernderlijke en in het ndere gevl een functie vn meerdere vernderlijken. In die zin kn je zeggen dt de tweede stelling lgemener is dn de eerste. Dt is echter niet wr omdt je in het eerste gevl nr hogere orde fgeleiden gt kijken en in het tweede gevl enkel mr nr de tweede orde fgeleiden. 3

4 Geen vn beide stellingen is dus een verlgemening vn de ndere. Toch kun je iets meer zeggen. Stelling 5.7 is immers ook wr voor functies vn één vernderlijke en Stelling 5.2 is ook wr voor n = 2. In die beide gevllen zijn beide resultten (bijn) dezelfde. Immers, voor p = 1 herleidt de mtrix in Stelling 5.7 gewoon tot een getl en dt is dn precies f (). Als deze fgeleide nu niet nul is, dn geeft het resultt uit stelling 5.7 precies het resultt uit Stelling 5.2 voor n = 2. Zowel in het ene ls in het ndere gevl kn je niets besluiten ls die tweede fgeleide 0 is. Je kn dit nu verder nog illustreren met voorbeelden. Als je de functie x x 2 bekijkt in 0, dn kun je beide stellingen gebruiken om te besluiten dt je een lokl minimum hebt. Als je echter de functie x x 4 bekijkt, dn kun je wel nog 5.2 gebruiken, mr niet meer 5.7. Voor functies vn meerdere vernderlijken, kun je hoe dn ook niets doen met stelling 5.2. Het gemiddelde op deze vrg is 1.95 op 5. Vrg 6. We hebben nvnkelijk de integrl b f(s)ds gedefinieerd indien [, b] een begrensd gesloten intervl is en f : [, b] R een begrensde Riemnn integreerbre functie. Omdt f op gns R is gedefinieerd en continu wordt verondersteld, moeten we ons over dt ltste geen zorgen mken. Wel is er een probleem omdt niet noodzkelijk p(t) < q(t) voor elke t. Hiervoor kun je verwijzen nr Nottie 3.1 (uit Integrtietheorie). De fsprk moet dn ook gemkt worden dt b f(s)ds = 0 ls = b. Dn is de functie g netjes gedefinieerd. Kies nu een willekeurig punt R en schrijf g(t) = q(t) f(s)ds p(t) f(s)ds. Hiervoor verwijs je nr Propositie 3.2 en de opmerkingen die drop volgen. Dn moet je Propositie 3.3 gebruiken. Strikt genomen zou dn voldoende klein moeten gekozen worden zodt < p(t) en < q(t) voor t in de omgeving vn het punt wrin je wil ntonen dt g differentieerbr is. Dt kn omdt de functies p en q continu zijn en dus begrensd op begrensde intervllen. Uiteindelijk gebruik je dn nog dt de smenstelling vn differentieerbre functies differentieerbr is, evenls het verschil vn differentieerbre functies. Dit levert dn de differentieerbrheid vn g en dt g (t) = f(q(t))q (t) f(p(t))p (t) voor elke t. De meeste studenten hebben mr weinig of geen ndcht besteed n het probleem vn de grenzen, nodig voor het strikt toepssen vn bijvoorbeeld Propositie 3.3. Sommigen hebben dt wel gedn, mr niet heel goed. Er zijn ook een ntl studenten die gewerkt hebben met een functie F vn twee vernderlijken, gedefinieerd door F (x, y) = y f(s)ds. Dn hebben ze de kettingregel voor x functies vn meerdere vernderlijken toegepst. Dt is wel een hele omweg en het vergroot de risico s op slechte en onvolledige rgumenten en op fouten. De gegeven oplossing hierboven is duidelijk beter. Merk verder nog op dt deze vrg een vrint ws op opgve 3.2, die gemkt ws in de oefeningenzittingen en wrvn je ook een oplossing vind op de exmenwiki vn Win. 4

5 Het gemiddelde op deze vrg is 2.15 op 5. Vrg 7. Het ging hier om opgve 4.9 uit de not s (Specile functies). Het komt gewoon neer op het gebruiken vn de goede subsitutie. Het beste is t = sin 2 (θ) te nemen in de integrl met de tngens. Dn kom je onmiddellijk uit bij de uitdrukking voor de Bet functie. Eventueel moet je nog opmerken dt B(x, y) = B(y, x) voor lle x, y. Dit volgt gemkkelijk uit de definitie of uit de formule in Propositie Je kon de formule ook vinden door te steunen op de formule in de opgve 4.8 (mr die moest je dn ntuurlijk ook bewijzen). Verder zijn er nog studenten die Propositie 4.13 gebruikt hebben om de integrl echt uit te rekenen. Dt mocht wel, mr dt ws niet gevrgd. Het gemiddelde op deze vrg is 2.24 op 5. Besluit: Er zten drie vrgen bij die vrinten wren op opgven die in de oefeningen gezien wren en/of wrvn ntwoorden terug te vinden wren op de exmenwiki vn Win (vrgen 1, 2 en 6). Er ws verder nog een vrg die een opgve ws uit de cursusnot s (vrg 7). Er zten twee vrgen tussen wrbij rgumentties uit de not s moesten vervolledigd worden (vrg 3 en vrg 4). Uiteindelijk ws er nog een bespreekvrg bij wrbij twee eigenschppen met elkr moesten vergeleken worden. De uitslgen zijn een beetje beter dn nders. Er zijn 19 studenten op 40 die voldoende hlen (10 of meer) en het globle gemiddelde is 9.0 op 20. Er is niet zo n groot verschil tussen bijvoorbeeld het 1BW en 1BN wt het percentge geslgde studenten en het gemiddelde betreft. Wel vind je de hoogste scores terug bij 1BN. Juni

6 Anlyse 1 Reeks 1 Dtum: 21 juni 2007 Nm: (1) Beschouw een willekeurige metrische ruimte (X, d), een fmilie F vn open deelverzmelingen vn X en een fmilie G vn gesloten deelverzmelingen. Definieer nu twee nieuwe fmilies P en Q door P = {V \ U V F, U G} Q = {U \ V V F, U G}. Wt weet je dn over deze fmilies vn deelverzmelingen vn X? (2) Beschouw de volgende twee deelverzmelingen vn R (met de gewone metriek): A = {( 1) n + 1 n = 1, 2,... } n B = A { 1, 1}. Zijn deze verzmelingen compct? In het gevl de verzmeling niet compct is, geef dn een open overdekking zonder eindige deeloverdekking. (3) Definieer een rij functies f n : R R door f n (t) = nt 1+n t voor n = 1, 2, 3,.... Kies δ > 0. Toon n dt de rij (f n ) uniform convergeert op R\ ] δ, δ[, mr niet op gns R. (4) Werk het bewijs vn Propositie 1.6 (Afgeleiden II) in detil uit. Toon hierbij dt je dit bewijs goed begrijpt. (5) Vergelijk Stelling 5.2 met Stelling 5.7 (uit Afgeleiden II ) en bespreek. Illustreer eventueel met voorbeelden. Cfr. Opmerkingen 5.8.i en 5.8.ii. (6) Stel f : R R continu en p, q : R R differentieerbr. Definieer g : R R door g(t) = q(t) p(t) f(s) ds. Toon n dt g differentieerbr is. Wt is de fgeleide? (7) Toon n dt (wrbij B de Bet functie is). π 2 0 tg(θ) dθ = 1 2 B(1 4, 3 4 ) Veel geluk

7 Puntenverdeling: x x 16 x 15 xxx 14 xx 13 xxxxx 12 xx xxxx 9 8 xxxx 7 xxxx 6 xxx 5 xxx 4 x 3 xx 2 x 1 xx 0 x