opgaven formele structuren procesalgebra

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "opgaven formele structuren procesalgebra"

Transcriptie

1 opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve 1: (i) Een mogelijke wndeling is, dus nr rehts, nr hter, nr oven. (ii) Er zijn 3! = 6 vershillende wndelingen mogelijk. (iii) Er zijn vershillende ntwoorden mogelijk: = ( + ) + ( + ) + ( + ) en ook ijvooreeld ( ) +( ) +( ) = Opgve 2. (opgve op p.98 vn het ditt 2005) Uitwerking vn opgve 2: Er zijn weer ook ndere ntwoorden mogelijk. Opgve 3. Gegeven zijn de reursief gedefinieerde proessen X = Y + Y = X Hier is Y een hulpproes. () Teken de proesgrf vn X. () Geef drie vershillende eindige tres vn X. () Geef het oneindige tre vn X. Uitwerking vn opgve 3: () De proesgrf vn X is: X Y 1

2 () Drie eindige tres vn X zijn ijvooreeld,, en. () Het oneindige tre vn X is... ook wel geshreven ls ( ) ω. Opgve 4: Deze opgve gt over de merge zonder ommunitie. Je kunt n de ties s(1) en r(1) denken ls send(1) en reeive(1), en net zo voor s en r met rgument 2. We ekijken de proesterm P = (s(1) r(2)) (r(1) s(2)) () Geruik de xiom s om de term P te hershrijven tot een term zonder merge en zonder left-merge. () Teken de proesgrf vn P. Uitwerking vn opgve 4: () s(1) r(2) r(1) s(2) = s(1) r(2) r(1) s(2) + r(1) s(2) s(1) r(2) = s(1) (r(2) r(1) s(2)) + r(1) (s(2) s(1) r(2)) = s(1) (r(2) r(1) s(2) + r(1) s(2) r(2)) + r(1) (s(2) s(1) r(2) + s(1) r(2) s(2)) = s(1) (r(2) r(1) s(2) + r(1) (s(2) r(2) + r(2) s(2))) +r(1) (s(2) s(1) r(2) + s(1) (r(2) s(2) + s(2) r(2))) () We geven de grf hier niet; de strutuur is hetzelfde ls die vn Figuur 3.2 vn het ditt Opgve 5: Deze opgve gt over de merge met ommunitie. We ekijken weer de proesterm P = (s(1) r(2)) (r(1) s(2)) en gn nu uit vn de volgende ommunities: s(1) r(1) = (1) s(2) r(2) = (2) Je kunt n de tie (1) denken ls ommunition(1), en net zo voor met rgument 2. () Geef een tre vn P wr twee keer ommunitie pltsvindt. () Geef een tre vn P wr geen ommunitie pltsvindt. () Teken (G(P )). Uitwerking vn opgve 5: 2

3 () (1) (2). () Bijvooreeld s(1) r(2) r(1) s(2). () Die ziet eruit ls het ntwoord op opgve 4, met drij nog een middentk vn de vorm tie (1) gevolgd door of r(2) s(2) of door tie (2) of door s(2) r(2). Opgve 6. We ekijken weer de proesterm P = (s(1) r(2)) (r(1) s(2)) met ommunities gedefinieerd ls in het vorige onderdeel. Teken (P ). Uitwerking vn opgve 6: (1) (1) Opgve 7. We gn uit vn de ommunitie De ndere ommunities leveren δ op. = Teken (G(( d ) ( d))). Uitwerking vn opgve 7: Het proes (( d ) ( d)) heeft drie tres: De proesgrf ziet er zo uit: dd, dd, dd 3

4 d d Betere tekening: d d d d d d d d d d d d d d d d d d Opgve 8. Gegeven zijn de reursief gedefinieerde proessen X = 1 2 X Y = Y wr we weer uitgn vn de ommunitie = Geef twee vershillende oneindige tres vn (X Y ). 4

5 Uitwerking vn opgve 8: Een oneindig tre vn X is ijvooreeld , dus ( ) ω, en ook , dus ( ) ω. Betere nottie(?): Twee vershillende oneindige tres: en Opgve 9. (We werken hier met merge zonder ommunitie.) Reken de proesterm ( + ) uit tot een proesterm wr merge ( ) en left-merge ( ) niet in voorkomen, en teken de proesgrf vn de gevonden sisterm. Uitwerking vn opgve 9: ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + ( ( + )) = + ( ) + ( ( + ) + ( + ) ) = + ( + ) + ( ( + ) + + ) = + ( + ( + ))+ ( ( + ) + + ( + )) De proesgrf tekenen we hier niet. Opgve 10. () Bekijk de reursief gedefinieerde proessen X = ( + )Y + Y = Y Hier is Y het hulpproes. Geef de proesgrf vn X. () Vereenvoudig de proesterm (δ δ + )( + δ) zoveel mogelijk. Is dit proes dedlok-vrij? Uitwerking vn opgve 10: () De proesgrf ziet er ls volgt uit: 5

6 () Voor de vereenvoudiging geruiken we de regels vn tel 6.2.1: Dit proes is dedlok-vrij. (δ δ + ) ( + δ) = (δ + ) ( + δ) = ( + δ) = Opgve 11. (uit tentmen 30 mei 2000) () We werken hier met merge zonder ommunitie; de xiom s vn proeslger zijn gegeven ls ijlge. Reken de proesterm vn (+) uit tot sisproesterm (zonder merge ( ) en left-merge ( )), en teken de proesgrf vn de gevonden sisterm. () Geef de proesgrf vn X, gedefinieerd ls (met Y het hulpproes): X = ( + ) + ( + ) Y Y = Y Opgve 12. (uit hertentmen 17 ugustus 2000) () We werken hier met merge zonder ommunitie; de xiom s vn proeslger zijn gegeven ls ijlge. Reken de proesterm vn ( ) ( + ) uit tot sisproesterm (zonder merge ( ) en left-merge ( )). () Teken de proesgrf vn de sisterm gevonden in (). () Teken de proesgrf vn het reursieve proes X dt eerst een -stp doet, dn òf een -stp òf een -stp, en drn weer zihzelf is. (d) Geef de reursievergelijking vn het proes X getekend ls ntwoord op vrg (). Uitwerking vn opgve 12: 6

7 () ( ) ( + ) = ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = ( ( + )) + ( ) + ( ) = ( ( + ) + ( + ) ) + + = ( ( + ) + + ) + + = ( ( + ) + + ) + + () () ( + )X ( + )X (d) X = ( + )X. Opgve 13. (opgve op p98 vn het ditt 2005) Uitwerking vn opgve 13: ( ). (Er zijn ook ndere ntwoorden mogelijk.) Dit proes heeft 12 tres. Opgve 14. (uit tentmen 30 mrt 2001) () Reken de proesterm ( ( + )) d uit tot sisproesterm. () Teken de proesgrf vn de sisproesterm gevonden ls ntwoord op 5(). () Geef de proesgrf vn X, gedefinieerd ls volgt (met Y het hulpproes): X = ( + d) Y Y = ( + d) X 7

8 Uitwerking vn opgve 14: () () ( ( + )) d = ( + ) d + d ( + ) = (( + ) d) + d ( + ) = (( + ) d + d ( + )) + d ( + ) = ( d + d + d ( + )) + d ( + ) = ( d + d + d ( + )) + d ( + ) d d d d () X d d Opgve 15. (uit hertentmen 17 ugustus 2001) () Reken de proesterm ( + ) ( d) uit tot sisproesterm. () Teken de proesgrf vn de sisproesterm gevonden ls ntwoord op 5(). () Geef de speifitie vn een proes X met het oneindige tre.... Uitwerking vn opgve 15: () ( + ) ( d) = ( + ) ( d) + ( d) ( + ) = ( d) + ( d) + (d ( + )) = d + d + (d ( + ) + ( + ) d) = d + d + (d ( + ) + d + d) = d + d + (d ( + ) + d + d) () 8

9 d d d d d () X = X. Opgve 16. Gegeven is het proes P = (( ) + ) (d ). We heen de ommunite = ; de ndere ommunities leveren δ op. () Geef de proesgrf vn P. () Geef de proesgrf vn (P ), wrij de hlve ties en weggeveegd worden en lle ndere ties ehouden lijven. Opgve 17. Gegeven zijn de reursief gedefinieerde proessen X en Y : X = ( + ) X Y = d e Y met ommunitie = ; de ndere ommunities leveren δ op. Geef twee vershillende oneindige tres vn (X Y ) (zonder dedlok). Opgve 18. Geef een reursief proes X dt ls tres heeft:... en.... (Er mogen ook ndere tres zijn dn deze twee.) Opgve 19. (uit tentmen 5 juni 2002) () Reken de proesterm ( + ) d uit tot sisproesterm. () Geef een eshrijving vn een proes met het oneindige tre.... () Teken de proesgrf vn het proes gegeven door de vergelijkingen (met Y ls hulpproes). Uitwerking vn opgve 19: () X = ( + ) Y + d Y = X ( + ) d = ( + ) d + d ( + ) = d + d + d ( + ) = d + ( d) + d( + ) = d + ( d + d ) + d( + ) = d + (d + d) + d( + ) 9

10 () X = X. () d X Y X Opgve 20: (uit hertentmen 16 ugustus 2002) () Reken de proesterm ( + ) (d e) uit tot sisproesterm. (De xiom s vn de proeslger worden hieronder gegeven.) () Teken de proesgrf vn de sisterm gevonden in 5. () Geef de proesgrf vn X, gedefinieerd door het stelsel X = X + Y Y = ( + ) X Opgve 21. (uit tentmen 26 mrt 2003) () Werk de proesterm (+) uit tot een sis proesterm (dus zonder en zonder ). Mk hierij geruik vn de xiom s ondern de pgin. () De proessen X en Y zijn reursief gedefinieerd door: Teken de proesgrf vn X. X = Y Y = X + Y () Hier zijn en hlve ties met ommunitie = =. (i) Teken de proesgrf vn ( ( + )). (Dit is de proesgrf wr de δ s zoveel mogelijk uit verwijderd zijn, dus de opgeshoonde vrint.) (ii) Geef vn dit proes ( ( + )) het dedlokvrije tre. (d) Ook hier zijn en hlve ties met ommunitie = =. Beshouw de reursieve proessen X =...X Y =...Y Geef een oneindig tre vn (X Y ). 10

11 Opgve 22. (uit hertentmen 15 ugustus 2003) () Werk de proesterm (( + )) uit tot een sisterm (dus zonder en zonder ). Mk hierij geruik vn de xiom s ondern de pgin. () De proessen X en Y zijn reursief gedefinieerd door (i) Teken de proesgrf vn X. X = + X + Y Y = + Y (ii) Geef drie vershillende eindige tres vn X. (iii) Geef drie vershillende oneindige tres vn X. () Hier zijn en hlve ties met ommunitie = =. Gegeven zijn de reursieve proessen X = X Y = Y Geef vn het proes (X Y ) het oneindige dedlokvrije tre Opgve 23. Lt vn de volgende pren vn proestermen zien dt ze gelijk zijn met de xiom s vn BPA. Teken ook de proesgrfen, en lt zien dt die isimulir zijn.. ( + )( + ) = ( + ) + ( + ),. ( + ( + ))( + ) = (( + ) + ( + )) + ( + ). Uitwerking vn opgve 23:. ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) (A4). ( + ( + ))( + ) = (A4) ( + ) + ( + )( + ) = (A4) ( + ) + (( + ) + ( + )) = (A2) (( + ) + ( + )) + ( + ) De proesgrfen zijn op het ollege gegeven. Als je een isimultie moet ngeven tussen twee proesgrfen die hetzelfde zijn is het voldoende om op te merken dt ze hetzelfde zijn en dus isimilir. Als je een isimultie geeft tussen twee proesgrfen, zorg er dn voor dt je duidelijk ngeeft wt de reltie op de knopen is; d.w.z. hoe de knopen vn de ene proesgrf gerelteerd zijn n de knopen vn de ndere proesgrf. Denk n de drie eisen op isimulties gegeven in Definitie

12 Opgve 24. Lt zien dt de volgende gelijkheden niet gelden met de xiom s vn BPA, door te lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimulir zijn.. ( + ) = + ( + ) +,. ( + )( + ) = Uitwerking vn opgve 24:. BP A ( + ) = + ( + ) +. Teken de proesgrfen vn ( + ) (G) en vn + ( + ) + (H) en lt zien dt er geen isimultie tussen estt. De proesgrfen zijn op het ollege getekend. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de wortel vn G n de wortel vn H gerelteerd zijn. Vnuit de wortel vn G is er mr een mogelijkheid: een -stp nr een knoop die we p noemen. Vnuit de wortel vn H zijn er drie mogelijkheden: in lle gevllen -stppen nr knopen die we q 1, q 2, en q 3 noemen. Vnuit q 1 kun je lleen nog een -stp doen. Vnuit q 2 kun je zowel een -stp ls een -stp doen. Vnuit q 3 kun je lleen nog een -stp doen. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de knoop p in G gerelteerd zijn n de knopen q 1, q 2, en q 3 in H. Vnuit p kun je zowel een -stp ls een -stp doen. Vnuit q 1 kun je lleen een -stp doen. Dus er kn geen isimultie geonstrueerd worden tussen G en H.. BP A ( + )( + ) = Teken de proesgrfen vn ( + )( + ) (G) en vn (H ) en lt zien dt er geen isimultie tussen estt. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de wortel vn G n de wortel vn H gerelteerd zijn. Vnuit de wortel vn G zijn er twee mogelijkheden: een -stp en een -stp. Als je de -stp doet kom je in een knoop die we p noemen. Vnuit de wortel vn H zijn er vier mogelijkheden: twee -stppen en twee -stppen. We ekijken de - stppen; die rengen je in knopen die we q 1 en q 2 noemen. Vnuit q 1 kun je lleen nog een -stp doen. Vnuit q 2 kun je lleen nog een -stp doen. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de knoop p in G gerelteerd zijn n de knopen q 1 en q 2 in H. Vnuit p kn je zowel een -stp ls een -stp doen. Vnuit q 1 lleen een -stp. Dus er kn geen isimultie geonstrueerd worden tussen G en H. Opgve 25.. We werken hier met merge zonder ommunitie; Reken de proesterm vn ( ) ( + ) uit tot sisproesterm (zonder merge ( ) en left-merge ( )). 12

13 . Teken de proesgrf vn de sisterm gevonden in 1. Uitwerking vn opgve 25: () ( ) ( + ) = ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = ( ( + )) + ( ) + ( ) = ( ( + ) + ( + ) ) + + = ( ( + ) + + ) + + = ( ( + ) + + ) + + () Opgve 26.. Vereenvoudig de proesterm (δ δ + )( + δ) zoveel mogelijk.. Is het proes uit 2 dedlok-vrij? Uitwerking vn opgve 26:. (δδ + )( + δ) = (δ + )( + δ) = ( + δ) =. J wnt (δδ + )( + δ) is gelijk n een proesterm zonder δ. Opgve 27. (uit tentmen 23 mrt 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommunitie.. Werk de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Bewijs dt de volgende gelijkheid niet geldt: = ( + ).. Los op ls proesgrf (Y is het hulpproes): X = Y + Y = XX 13

14 Uitwerking vn opgve 27:. ( + ) (d + e) = ( + ) (d + e) + (d + e) ( + ) = (d + e) + (d + e) + (d) ( + ) + e ( + ) = (d + e) + (d + e) + (d ( + )) + e( + ) = (d + e) + (d + e) + (d ( + ) + ( + ) d) + e( + ) = (d + e) + (d + e) + (d( + ) + d + d) + e( + ) = (d + e) + (d + e) + (d( + ) + d + d) + e( + ). We lten zien dt de proesgrf vn niet isimilir is met die vn ( + ). Als we proeren een isimultie te onstrueren, dn moeten we om te eginnen de roots n elkr relteren. Vnuit de root kn je in lletwee de grfen lleen een -stp doen. Je moet de punten wr je dn in tereht komt ook n elkr relteren. Mr dn kn je in de grf vn ( + ) een -stp doen, terwijl dt in de grf vn niet mogelijk is. Conlusie: de twee grfen zijn niet isimilir, en de gelijkheid = ( + ) geldt dus ook niet.. De proesgrf vn X: X Y XX Y X XXX We geruiken het volgende: XX = (Y + )X = Y X + X Y X = XXX XXX = (Y + )XX = Y XX + XX Opgve 28. (uit tentmen 23 mrt 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge met ommunitie.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p = δ+(+δ)+δ(+). Teken ook het δ-shone overlijfsel vn G(p) (dt is (G(p))).. We werken met de verzmeling ties A = {,,,,, d, e}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) =. Teken G( de ). 14

15 . Dit is een vervolg op vrg 6; we heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( de )). Uitwerking vn opgve 28:. δ + ( + δ) + δ( + ) = δ + + δ = δ + Het δ-shone overlijfsel vn G(p): δ. G( de ): d d e e d d e e. H (G( de )): 15

16 d e Opgve 29. (uit hertentmen 29 juni 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommunitie.. Werk de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Bewijs dt de volgende gelijkheid niet geldt: ( + ) = +.. Los op ls proesgrf (Y is het hulpproes): X = Y Y Y = X + Opgve 30. (uit hertentmen 29 juni 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge met ommunitie.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p = δ(+)+(δ +)+δ. Teken ook het δ-shone overlijfsel vn G(p) (dt is (G(p))).. We werken met de verzmeling ties A = {,,,,, d}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) =. Teken de proesgrf vn d, dwz. het rtesish produt vn G() en G( d) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. (NB: Er wordt niet gevrgd om de term d uit te werken met de xiom s vn de proeslger.). Dit is een vervolg op vrg 6; we heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( d)). Opgve 31. Zijn de volgende pren vn proestermen gelijk? Zoj, geef een fleiding met de wetten vn de BPA, en geef een isimultie tussen de ijehorende proesgrfen. Zonee, leg uit wrom er geen isimultie mogelijk is. (i) ( + )( + ) =, 16

17 (ii) ( + ) = ( + ) +, (iii) ( + )( + ) = ( + ) + +. Uitwerking vn opgve 31: (i) De gelijkheid ( + )( + ) = is geldig in BPA. Een fleiding: De twee ijehorende proesgrfen: ( + )( + ) = (A3) ( + ) = (A3) R 1 R 2 R 3 S 1 S 2 S 3 Een isimultie tussen deze twee proesgrfen: {(R 1, S 1 ), (R 2, S 2 ), (R 3, S 3 )}. (Je mg een isimultie in een pltje ngeven.) (ii) De gelijkheid ( + ) = ( + ) + is niet geldig in BPA. De twee ijehorende proesgrfen zijn: R 3 R 1 R 2 R 4 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 17

18 Er is geen isimultie tussen deze proesgrfen mogelijk. In een isimultie zouden in elk gevl R 1 en S 1 gerelteerd moeten zijn. Dn zouden R 2 en S 3 ook gerelteerd moeten zijn. Mr in R 2 kn je nog kiezen tussen een -stp en een -stp, en in S 3 kn je lleen mr een -stp doen. (iii) De vergelijking ( + )( + ) = ( + ) + + is niet geldig in BPA. De twee ijehorende proesgrfen zijn: R 1 R 2 R 3 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 1 S 7 S 8 Er is geen isimultie tussen deze proesgrfen mogelijk. In een isimultie zouden in elk gevl R 1 en S 1 gerelteerd moeten zijn. Dn zou verder R 2 gerelteerd moeten zijn met S 3 (onder ndere). Vnuit R 2 kn je zowel een -stp ls een -stp zetten, mr vnuit S 3 is lleen een -stp mogelijk. Er estt dus geen isimultie. Opgve 32. (i) Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de reursieve speifitie: X = X + X (ii) Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de reursieve speifitie: X = XX + X (iii) Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de reursieve speifitie: X = XX + (iv) Welke vn de drie reursieve proessen in deze opgve zijn met elkr isimilir? Motiveer je ntwoord. Uitwerking vn opgve 32: (i) Een oplossing ls proesgrf vn X met X = X + X: 18

19 , X (We geruiken hier een fkorting: er is een -stp vn X nr X en een -stp vn X nr X.) (ii) Een oplossing ls proesgrf vn X met X = XX + X: X XX X 3... We moeten hier X 2 en X 3 zo uitwerken dt we weten wt lle mogelijke eerste ties zijn. Er geldt XX = (XX + X)X = X 3 + X 2 en X 3 = (XX + X)XX = X 4 + X 3, (iii) Een oplossing ls proesgrf voor X met X = XX + : X X 2 X 3 X 4... Om deze (oneindige) proesgrf te mken moeten we weer weten wt lle mogelijke eerste ties zijn vnuit ijvooreeld X 2. Er geldt X 2 = (XX + )X = X 3 + X en X 3 = (XX + )XX = X 4 + X 3. (iv) Er is een isimultie tussen de proesgrfen in (i) en in (ii): relteer lle knopen in (ii) n de enige knoop in (i). Tussen de proesgrf vn (iii) en (i) is geen isimultie mogelijk omdt je vnuit de wortel in (iii) een -stp kunt doen om vervolgens te termineren; vnuit de wortel in (i) kn dt niet. Evenzo is er geen isimultie tussen (iii) en (ii). Opgve 33. (uit tentmen 29 juni 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommunitie.. Werk met ehulp vn de xiom s vn de proeslger de term (d+e) uit tot sisproesterm.. Werk ook de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Teken de proesgrf vn de term ( + ). 19

20 Uitwerking opgve 33:. We werken (d + e) uit tot sisproesterm: (d + e) = (d + e) + (d + e) = (d + e) + d + e = (d + e) + d + e. We werken ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm; we geruiken onderdeel (): ( + ) (d + e) = ( + ) (d + e) + (d + e) ( + ) = (d + e) + () (d + e) + d ( + ) + e ( + ) = (d + e) + ( (d + e)) + d( + ) + e( + ) = (d + e) + ((d + e) + d + e) + d( + ) + e( + ). De proesgrf vn ( + ): Opgve 34. (uit tentmen 29 juni 2004) Gegeven is de proesterm p = δ( + ) + (δ + ) + δ.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p.. Teken de proesgrf G(p) vn p.. Teken het δ-shone overlijfsel (G(p)) vn G(p). Uitwerking opgve 34:.. De proesgrf G(p):. Het δ-shone overlijfsel (G(p)): δ( + ) + (δ + )δ = δ + + δ = + δ Opgve 35. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,,, d}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e.. Teken de proesgrf vn d, dwz. het rtesish produt vn G() en G( d) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. (NB: Er wordt niet gevrgd om de term d uit te werken met de xiom s vn de proeslger.) 20

21 . We heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( d)).. Gegeven zijn de proessen X, Y, gedefinieerd met de reursievergelijkingen X = X Y = Y Geef een oneindig tre vn het proes H (X Y ). Uitwerking opgve 35:. Het rtesish produt vn G() en G( d):. De proesgrf H (G( d)):. Een oneindig tre vn X Y : eeeee... Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommu- Opgve 36. nitie.. Werk met ehulp vn de xiom s vn de proeslger de term (d+e) uit tot sisproesterm.. Werk ook de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Teken de proesgrf vn de term ( + ). Uitwerking opgve 36: () We werken (d + e) uit tot sisproesterm: (d + e) = (d + e) + (d + e) = (d + e) + d + e = (d + e) + d + e () We werken ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm; we geruiken onderdeel (): ( + ) (d + e) = ( + ) (d + e) + (d + e) ( + ) = (d + e) + () (d + e) + d ( + ) + e ( + ) = (d + e) + ( (d + e)) + d( + ) + e( + ) = (d + e) + ((d + e) + d + e) + d( + ) + e( + ) () De proesgrf vn ( + ): 21

22 Opgve 37. Gegeven is de proesterm p = δ( + ) + (δ + ) + δ.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p.. Teken de proesgrf G(p) vn p.. Teken het δ-shone overlijfsel (G(p)) vn G(p). Uitwerking opgve 37: () () De proesgrf G(p): () Het δ-shone overlijfsel (G(p)): δ( + ) + (δ + )δ = δ + + δ = + δ Opgve 38. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,,, d}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e.. Teken de proesgrf vn d, dwz. het rtesish produt vn G() en G( d) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. (NB: Er wordt niet gevrgd om de term d uit te werken met de xiom s vn de proeslger.). We heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( d)).. Gegeven zijn de proessen X, Y, gedefinieerd met de reursievergelijkingen X = X Y = Y Geef een oneindig tre vn het proes H (X Y ). Uitwerking opgve 38: () Het rtesish produt vn G() en G( d): () De proesgrf H (G( d)): () Een oneindig tre vn X Y : eeeee... 22

23 Opgve 39. We werken in deze opgve in PA (dus zonder ommunitie) met de tomire ties,, en. Zijn de volgende vergelijkingen geldig? Zo j, geef een erekening; zo nee, toon n dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. () = ( ) () = ( ) + () ( ) + ( ) = ( + ) (d) = ( ) Uitwerking vn opgve 39: () PA = ( ). We redueren eide gesloten PA-termen tot BPA-termen, en lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. De redutie vn tot BPA-term: = + = + ( ) = + ( + ) = + ( + ) De ijehorende proesgrf g 1 is getekend in Figuur 1. r 1 p Figuur 1: g 1 = G( + ( + )) De redutie vn ( ) tot BPA-term: ( ) = ( + ) = ( + ) = + 23

24 De ijehorende proesgrf g 2 is getekend in Figuur 2. r 2 q Figuur 2: g 2 = G( + ) Het is duidelijk dt de proesgrfen g 1 (Fig. 1) en g 2 (Fig. 2) niet isimilir zijn. Immers, stel dt er wel een isimultie R tussen g 1 en g 2 estt. Dn geldt dt de wortels r 1 en r 2 vn respetievelijk g 1 en g 2 R-gerelteerd zijn, dus (r 1, r 2 ) R. Omdt er vnuit r 1 een -stp mogelijk is nr een knoop die we p noemen, volgt dt er een knoop k in g 2 is zodt r 2 k en dt (p, k) R. De enige kndidt voor k is q. Ehter, vnuit p is een -stp mogelijk, mr vnuit q niet. Dus p en q kunnen niet gerelteerd zijn. Drme heen we lten zien dt er geen isimultie tussen g 1 en g 2 kn worden geonstrueerd. Met de volledigheidsstelling voor BPA volgt dn BPA + ( + ) = + en dus ook dt PA + ( + ) = +. () PA = ( ) +. We werken linker- en rehterknt vn de gelijkheid uit tot de BPA-term +. Links: = + = ( ) + = ( + ) + = ( ) + = + 24

25 Rehts: ( ) + () PA + = ( + ). = ( + ) + = ( + ) + = ( + ) + = + ( + ) = ( + ) + = + We redueren eide gesloten PA-termen tot BPA-termen, en lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. Links: + = = De ijehorende proesgrf g 1 is fgeeeld in Figuur 3. r 1 p Figuur 3: g 1 = G( ) Rehts: ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) + + = ( + ) + + De ijehorende proesgrf g 2 is fgeeeld in Figuur 4. De proesgrfen in Figuren 3 en 4 zijn niet isimilir. Als er wel een isimultie R zou estn, dn zou r 1 R-gerelteerd zijn n r 2. Voorts, 25

26 r 2 q Figuur 4: g 2 = G(( + ) + + ) vnwege r 1 p, heen we dt (p, q) R (vnuit r2 vertrekt mr één -pijl, nr q). Dt ltste kn ehter niet het gevl zijn. Immers, vnuit p is geen -stp mogelijk, vnuit q wel. De nnme dt g 1 en g 2 isimilir zijn leidt tot een tegensprk; we onluderen dt ze niet isimilir zijn. Drmee is de gevrgde gelijkheid niet fleidr in PA. (d) PA = ( ). We redueren eide gesloten PA-termen tot BPA-termen, en lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. Links: = + = ( ) + = ( + ) + = ( + ) + De ijehorende proesgrf g 1 is fgeeeld in Figuur 5. r 1 p Figuur 5: g 1 = G(( + ) + ) 26

27 Rehts: ( ) = ( + ) = ( + ) De ijehorende proesgrf g 2 is fgeeeld in Figuur 6. r 2 q Figuur 6: g 2 = G(( + )) De proesgrfen in Figuren 5 en 6 zijn niet isimilir. Als er wel een isimultie R zou estn, dn zou r 1 R-gerelteerd zijn n r 2. Voorts, vnwege r 1 p, heen we dt (p, q) R (vnuit r2 vertrekt mr één -pijl, nr q). Dt ltste kn ehter niet het gevl zijn. Immers, vnuit p is geen -stp mogelijk, vnuit q wel. De nnme dt g 1 en g 2 isimilir zijn leidt tot een tegensprk; we onluderen dt ze niet isimilir zijn. Drmee is de gevrgde gelijkheid niet fleidr in PA. Opgve 40. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,, }. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e. Verder geruiken we H = {, }. () Teken de proesgrf vn, dwz. het rtesish produt vn G() en G( ) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. () Teken H (G( )). Uitwerking vn opgve 40: De verzmeling tomire ties is A = {,, e,, } en de ommunitiefuntie is gedefinieerd ls γ(, ) = e. () De proesgrf vn is fgeeeld in Figuur 7. () Verder is gegeven H = {, }. Het δ-shone overlijfsel H (G( )) is fgeeeld in Figuur 8. 27

28 e e Figuur 7: G( ) e δ Figuur 8: H (G( )) Opgve 41. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,, }. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e. Verder geruiken we H = {, }. () Teken de proesgrf vn X, gedefinieerd in de reursievergelijkingen: X = Y Y = Y + X + () Gegeven zijn de proessen X, Y, gedefinieerd met de reursievergelijkingen X = X Y = Y Geef een oneindig tre vn het proes H (X Y ). Uitwerking vn opgve 41: () De proesgrf vn X gedefinieerd door de reursievergelijkingen: X = Y Y = Y + X + 28

29 is fgeeeld in Figuur 9. X Y Y Figuur 9: De proesgrf vn X gedefinieerd door X = Y, Y = Y + X +. () Gegeven zijn de vergelijkingen: X = X Y = Y Gevrgd wordt een oneindig tre te geven vn H (X Y ). We gn uit vn γ en H zols die zijn gedefinieerd in Opgve 1. Uitrekenen vn H (X Y ) geeft e H (X Y ); en H (X Y ) geeft e H (Y X) + H (Y X). Dus, gegeven ommuttiviteit vn, kunnen we het proes definiëren met ehulp vn twee reursievergelijkingen (U voor het hoofdproes H (X Y ) en V voor het hulpproes H (X Y )): U = ev V = ev + U Dus, twee vooreelden vn oneindige tres vn het proes U zijn: (e) ω en e(e) ω. Opgve 42: () Teken de proesgrf vn, dwz. het rtesish produt vn G() en G( ) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. () Teken H (G( )). () Reken met de xiom s vn de proeslger (ACP) de term H (( + ) ) uit tot een term in BPA δ en teken de proesgrf H (G(( + ) )). Uitwerking vn opgve 42: 29

30 e Figuur 10: G( ) e Figuur 11: H (G( )) () Deze opgve lijkt erg op Opgve 1(). De proesgrf in Figuur 10 is geknipt uit die vn Figuur 7. A en H zijn ook ls in die opgve. () Het δ-shone overlijfsel vn G( ) is getekend in Figuur 11. () We redueren H (( + ) ) uit tot sisproesterm: H (( + ) ) = H (( + ) + ( + ) + ( + ) ) = H ( + + ( ( + )) + + ) = H ( + + ( ( + )) + ( ) + ( )) = H ( ) + H ( ) + H ( ( ( + ))) + H (( )) + H (( ))) = δ + δ + δ( (δ + )) + H (e) + H (δ)) = δ + δ + δ + e + δ = δ + e Opgve 43. () Teken de proesgrf vn X gedefinieerd in de reursievergelijkingen: 30

31 X = X + Y Y = Y + () Teken nu de proesgrf vn Z gedefinieerd in de reursievergelijkingen: Z = Z + Y Y = Y + () Zijn de in () en () gevonden proesgrfen isimilir? Zo j, geef een isimultie, zo nee, eredeneer wrom niet. Uitwerking vn opgve 43: () De proesgrf vn X gedefinieerd door reursievergelijkingen: is fgeeeld in Figuur 12. X = X + Y Y = Y + X Y Y Figuur 12: De proesgrf vn X gedefinieerd door: X = X +Y, Y = Y +. () De proesgrf vn Z gedefinieerd door: Z = X + Y met hetzelfde hulpproes Y ls in het vorige item, is fgeeeld in Figuur 13. () De proesgrfen vn X (Fig. 12) en Z (Fig. 13) zijn duidelijk niet isimilir. Een mogelijke tre vn Z is, terwijl je in het proes X minstens 2 -stppen moet doen voordt je met een -stp termineert. 31

32 X Y Figuur 13: De proesgrf vn Z gedefinieerd door: Z = Z + Y, Y = Y +. Opgve 44. Deze opgve gt over PA (dus zonder ommunitie). We geruiken tomire ties,,, en d. Zijn de volgende vergelijkingen geldig? Zo j, geef een fleiding in PA. Zo nee, toon n dt de ijehorende grfen niet isimilir zijn. () + = ( + ). () ( + ) ( + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ). () () = (). (d) ( + ) d = ( d) + ( d). Uitwerking vn opgve 44: Opgve 45. Deze opgve gt over PA, dus zonder ommunitie. Ook hier zijn en tomire ties. () Bepl een oplossing ls proesgrf vn de proessen X, Y, en Z: X = X + X Y = Y Y + Y Z = Z + ZZ () Welke vn de drie reursieve proessen X, Y, en Z in deze opgve zijn met elkr isimilir? Motiveer je ntwoord. Opgve 46. We geruiken tomire ties,,, en d. Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de volgende reursieve speifitie: X = (X + XX) + d Opgve 47. We geruiken tomire ties en. Bepl een oplossing ls proesgrf vn Y gedefinieerd door de reursievergelijkingen: Y = Y + Z Z = Z + Y Z 32

33 Opgve 48. Deze opgve gt over ACP (met ommunitie). We geruiken tomire ties,,, en. De ommunitiefuntie is gedefinieerd ls γ(, ) =. Verder is gegeven H = {, }. () Teken de proesgrf G( ). () Teken het δ-shone overlijfsel H (G( )). () Bereken H ( ). Opgve 49. Deze opgve gt over ACP (met ommunitie). We geruiken tomire ties,,, en. De ommunitiefuntie is gedefinieerd ls γ(, ) =. Verder is gegeven H = {, }. () Teken de proesgrf G( ( + )). () Teken het δ-shone overlijfsel H (G( ( + ))). () Bereken H ( ( + )). 33

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Hndreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Inleiding In het projet zij-instroom, onderdeel vn het progrmm Areidsmrkt & Opleiding Zuivelindustrie, is in de periode 2011-2012 onderzoek gedn nr mogelijkheden

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistishe ngiften in te vullen en door te sturen vi internet. Het etreft een door de FOD Eonomie volledig eveiligde

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Verschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD

Verschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD Vershil zl er zijn hv ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4. In

Nadere informatie

Assertiviteit. Agressiviteit

Assertiviteit. Agressiviteit ASSERTIVITEIT drs. M.F. Serrurier Shepper 1 SITUATIE Assertiviteit is een zelfewuste, psyhishe weerrheid wrdoor u in stt ent op te komen voor uw eigen elngen en uiting te geven n uw gevoelens, wensen en

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase Door Henk Jongsm, hoofduteur Op Niveu tweede fse Ontleden? Leuk! Inleiding Lstig soms, dt ontleden. Denk je net een regel te egrijpen, kom je weer een uitzondering tegen. En ls je denkt die uitzondering

Nadere informatie

Verschil zal er zijn mvbo bovenbouw WERKBLAD

Verschil zal er zijn mvbo bovenbouw WERKBLAD Vershil zl er zijn mvo ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4.

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Lucht in je longen. Streep de foute woorden door. Hoe komt lucht in je longen? Zet een cirkel om de dieren met longen.

Lucht in je longen. Streep de foute woorden door. Hoe komt lucht in je longen? Zet een cirkel om de dieren met longen. 9 Luht in je longen Hoe komt luht in je longen? = longen = middenrif Kleur op de tekening de volgende onderdelen: Streep de foute woorden door. Ons lihm heeft zuurstof / kooldioxide nodig. Bij het indemen

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Opdrachten Hoofdstuk 7

Opdrachten Hoofdstuk 7 Opdrhten Hoofdstuk 7 7.1 Herinner je een situtie vn je werk of privé wrvn je hterf geonludeerd het 'dt hd ik nders moeten doen'. Dit mg gerust vn tien jr oud zijn. Het hoeft geen grote morele misser te

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart.

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart. Route I 1 Flmingo's Flmingo's zeven met hun kromme snvel voedsel uit het wter. Jonge flmingo's heen een rehte snvel. De jonge dieren zeven niet zelf voedsel uit het wter, mr worden door de ouders gevoerd.

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter.

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter. Opgve 1 Dit is een roosterord. Elk roosterhokje is 5 m ij 5 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn dit ord? Opgve 2 Welke oppervlktemten ken je l? Noem er zoveel mogelijk. De oppervlkte-eenheid is de vierknte

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Auteurs: Renaud, De Keijzer isbn: 978-90-01-78886-5

Auteurs: Renaud, De Keijzer isbn: 978-90-01-78886-5 Hoofstuk 11 Opgve 1 An Het Finnieele Dgl vn zterg 16 pril 2011 zijn onerstne optienoteringen ontleen: Klsse Cll/Put Serie (flooptum) Uitoefenprijs Slotkoers Looptij Rente jrsis ING Cll April 2011 8,60

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Hndleiding edatenq Mndelijkse enquête toerisme en hotelwezen Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistische ngiften in te vullen en door te sturen vi internet.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage

Snelstartgids Access Online: Betalingen en Rapportage Snelstrtgids Access Online: Betlingen en Rpportge Snel op weg met Access Online Voor het geruik vn de pplictie De meest geruikte functies in overzichtelijke stppen Snelstrtgids Access Online: Betlingen

Nadere informatie

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount

Nadere informatie

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde.

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde. Route L - Oen 1 De route vn de Oen strt in de Bush. Volg de ordjes nr de Oen. De vrgen stn in hronologishe volgorde. Kwllen Dt er lngs de Nederlndse kust kwllen voorkomen, is lgemeen ekend. De oorkwl kun

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

V2.1 Eerlijk verdeeld?

V2.1 Eerlijk verdeeld? Wie verdient wt? v2 Mkt geld gelukkig? L Voor je sisehoeften zols eten, woonruimte en kleding en je l guw dit edrg kwijt. Bedenk mr eens wt de mndhuur is. En hoeveel etl je voor vste lsten 1s gs, liht

Nadere informatie

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief

Nadere informatie

8 Kostenverbijzondering (I)

8 Kostenverbijzondering (I) 8 Kostenverijzondering (I) V8.8 Speelgoedfriknt Autoys BV heeft onlngs de Jolls Joye ontwikkeld: een plsti speelgoeduto voor peuters in de leeftijdstegorie vn twee tot vijf jr. De produtie voor 2009 wordt

Nadere informatie

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk.

Je gaat naar de winkel en koopt 4 pakken melk van 1,40 per stuk. Opgve 1 Je gt nr de winkel en koopt 4 pkken melk vn 1,40 per stuk. Hoeveel etl je in totl? Wt he je met de getllen 4 en 1,40 gedn om het ntwoord te vinden? Hoe doe je dt zonder rekenmhine? Opgve 2 Je gt

Nadere informatie

Ipad APPLICATIES. Benodigde applicaties op het scherm: Beste ipad gebruiker,

Ipad APPLICATIES. Benodigde applicaties op het scherm: Beste ipad gebruiker, Ipd APPLICATIES Beste ipd gebruiker, Hierbij een hndleiding om efficiënt met de pplicties op uw ipd om te gn. Veel succes ermee! Benodigde pplicties op het scherm: App-store= App-winkel= Plts wr u pplicties

Nadere informatie

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder Accenten lok 0 0 De leerlingen leren het optellen vnf een tienvoud in één sprong, ijv. 0. 0 7 de helft minder 7 Bij het rekenen met geld leren de leerlingen edrgen ls,98 fronden. 7 7 minder meer meer 7

Nadere informatie

schets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29)

schets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29) shets 10 Bergrede: tweeërlei fundment (7:24-29) A Kernpunten * An het einde vn de Bergrede vergelijkt Jezus de mens met de ouwer vn een huis. Het is een eeld voor wt wij vn ons leven mken en vioor de hele

Nadere informatie

AFRIKA RAPPORT www.burgerszoo.nl

AFRIKA RAPPORT www.burgerszoo.nl AFRIKA RAPPORT Je gt op ontdekkingstoht nr de Afriknse dieren die in het Prk en in de Sfri vn Koninklijke Burgers Zoo leven. Bentwoord lle vrgen en hl je Afrik Rpport! Wrttenzwijnen Welkom in Burgers Prk!

Nadere informatie

Tentamen Schakeltechniek

Tentamen Schakeltechniek Fulteit Elektrotehniek - Cpiteitsgroep ICS Tentmen Shkeltehniek Vkoe 5A, 3 novemer 2, 9:u-2:u hternm : voorletters : ientiteitsnummer : opleiing : Tijens it tentmen is het geruik vn rekenmhine of omputer

Nadere informatie

Puntenslijper-robot. Stuklijst. Afmetingen (mm)

Puntenslijper-robot. Stuklijst. Afmetingen (mm) 108.535 Puntenslijper-robot Stuklijst Antl Afmetingen (mm) Houten blokje 1 50x50x50 Houten blokje 1 40x40x40 Houten ltje 1 250x15x15 Multiplex 1 200x200x4 Dubbele puntenslijper 1 25x25x15 Ktrolwiel, met

Nadere informatie

GBK Leden profiel beheer

GBK Leden profiel beheer GBK Leden profiel eheer Op de nieuwe GBK site kn het eigen leden profiel ijgehouden worden. Op dit profiel kn iogrfische informtie worden ingevoerd, werk kn n een portfolio worden toegevoegd, er kunnen

Nadere informatie

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen.

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen. vk Mtshppijleer them Multiulturele smenleving onderwerp Het multiulturele drm vn P. Sheffer ntwoorden ij de vrgen over het rtikel kls Hvo 5 dtum jnuri 2014 1 2 3 4 5 6 7 8 De vrg hoe de slehte werk-, woon-

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

1 De onderneming in de wereldeconomie

1 De onderneming in de wereldeconomie 1 De onderneming in de wereldeconomie Meerkeuzevrgen 1.1 Glolisering is een proces vn wereldwijde economische integrtie door een sterke toenme vn de interntionle hndel en investeringen. wrij de wereldproductie

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid.

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid. Tentmen Duurzme Ontwikkeling & Kringlopen, 1 juli 2009 9:00-12:00 Voordt je begint: schrijf je nm en studentnummer bovenn ieder vel begin iedere vrg op een nieuwe bldzijde ls je een vkterm wel kent in

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015 Bijlge gendpunt 7: Inhoudelijke plnning overlegtfels 2015 In de Ontwikkelgend (ijlge 5 ij de Deelovereenkomst mtwerkvoorziening egeleiding 18+) zijn 7 them s en 31 suthem s opgenomen die in 2015 tijdens

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen Discrete Wiskunde D. Bruin J.M. Jnsen Opleiding Hogere Informtic Noordelijke Hogeschool Leeuwrden Nederlndse defensie cdemie, fculteit militire wetenschppen Juni 1999 + oktoer 2013 Discrete Wiskunde 2

Nadere informatie

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet. kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie