10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :"

Transcriptie

1 1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur in e tweedimsionle figuur, bijvoorbeeld e rechthoekige metl plt, voor u(x, y, z, t) de tempertuur in e driedimsionl lichm. Zie ook Appdix A. Ook voor deze meerdimsionle wrmtevergelijking kunn we de methode vn scheid vn vribel toepss. Zie bijvoorbeeld opgve 22 vn 1.5 op pgin 581. Er tred dn echter meerdere seprtieconstnt op, wrdoor het lleml wt complexer wordt. In bovstnde wrmtevergelijking zoud we ons kunn beperk tot de stbiele toestnd ( stedy stte ) wrbij er ge verndering (meer) optreedt in de tijd t. Dk hierbij bijvoorbeeld n e rechthoekige metl plt die overl perfect geïsoleerd is met uitzondering vn de (vier) rnd. Op elk vn de vier rnd wordt e (constnte) wrmtebron ngeslot of wordt (ook) isoltie ngebrcht. N verloop vn tijd (t ) zl de tempertuur zich in de metl plt verdel niet meer vernder. Dn geldt dus overl dt u t =. Angezi α 2 > kunn bovstnde wrmtevergelijking dn verevoudigd word tot u xx + y yy = in R 2 u xx + u yy + u zz = in R 3. De tempertuur is dn lle nog fhnkelijk vn de pltsvribel x, y (evtueel) z. Deze vergelijking het respectievelijk de tweedimsionle driedimsionle Lplce vergelijking of pottilvergelijking. Deze vergelijking treedt in zeer veel verschillde situties op. Bijvoorbeeld bij meerdimsionle wrmteproblem zols hierbov geschetst. Mr ook voor de golfvergelijking bestn meerdimsionle vrint : in R 2 : 2 (u xx + u yy ) = u tt in R 3 : 2 (u xx + u yy + u zz ) = u tt. Ook hierbij leid evwichtssituties tot de Lplce of pottilvergelijking. We zull ons beperk tot de tweedimsionle Lplce vergelijking, wrbij de functie u(x, y) fhngt vn twee vribel x y. Het domein is hierbij dus e deelverzmeling vn R 2, bijvoorbeeld e rechthoek. Dus : u xx + u yy =, < x <, < y < b. In dt gevl heeft het domein vier verschillde zijd wrop rndvoorwrd kunn word opgelegd. Als op lle vier de rnd de functiewrde u(x, y) wordt vstgelegd (vste tempertuur), spreekt m vn e Dirichlet probleem (voor e rechthoek) : u xx + u yy =, < x <, < y < b u(x, ) = f 1 (x), u(x, b) = f 2 (x), x u(, y) = g 1 (y), u(, y) = g 2 (y), < y < b. 1

2 En ls op lle vier de rnd de fgeleide vn u(x, y) wordt vstgelegd (isoltie bijvoorbeeld), spreekt m vn e Neumnn probleem (voor e rechthoek) : u xx + u yy =, < x <, < y < b u y (x, ) = f 1 (x), u y (x, b) = f 2 (x), x u x (, y) = g 1 (y), u x (, y) = g 2 (y), < y < b. In het ltste gevl is de oplossing op e constnte n bepld. Zie bijvoorbeeld opgve 1. We beschouw nu e Dirichlet probleem voor e rechthoek u xx + u yy =, < x <, < y < b u(x, ) = f(x), u(x, b) =, < x < u(, y) =, u(, y) =, y b, wrbij op slechts één vn e rnd e niet-homoge rndvoorwrde geldt. We gebruik weer de methode vn scheid vn vribel : stel dt u(x, y) = X(x)Y (y), dn volgt : u xx + u yy = X Y + XY = = X X = Y Y = σ (seprtieconstnte). Dn volgt : X (x) σx(x) = Y (y) + σy (y) =. Uit de homoge rndvoorwrd volgt nu : u(x, b) = X(x)Y (b) = = Y (b) =, u(, y) = X()Y (y) = = X() = u(, y) = X()Y (y) = = X() =. Voor X(x) vind we dus het (tweepunts) homoge rndwrdeprobleem X (x) σx(x) =, < x < X() =, X() =. Hiervoor onderscheid we weer drie mogelijkhed : 1. σ = : X (x) = = X(x) = 1 x + 2. Met X() = X() = volgt dn dt 1 = 2 =. Dus : σ = is ge eigwrde. 2. σ = µ 2 > : X (x) µ 2 X(x) = = X(x) = b 1 cosh µx + b 2 sinh µx. Met X() = volgt dn dt b 1 =. En met X() = volgt dn dt b 2 sinh µ =. Hieruit volgt dt b 2 =, wnt > µ. Er zijn dus ge positieve eigwrd. 3. σ = µ 2 < : X (x) + µ 2 X(x) = = X(x) = c 1 cos µx + c 2 sin µx. Met X() = volgt dn dt c 1 =. En met X() = volgt dn dt c 2 sin µ =. Hieruit volgt dt c 2 willekeurig te kiez is ls sin µ =. Dus ls µ = nπ met n = 1, 2, 3,.... 2

3 Het rndwrdeprobleem voor X(x) heeft dus negtieve eigwrd bijbehorde eigfuncties vn de vorm σ n = n2 π 2 2 X n (x) = sin nπx, n = 1, 2, 3,.... Voor Y (y) hebb we dn : Y (y) µ 2 Y (y) = Y (b) =. Dus : Y (y) = d 1 cosh µy + d 2 sinh µy of Y (y) = d 1 cosh µ(b y) + d 2 sinh µ(b y). Met Y (b) = volgt dn dt d 1 =. Dus : Y n (y) = sinh, n = 1, 2, 3,.... Hieruit volgt : dus u n (x, y) = X n (x)y n (y) = sin nπx u(x, y) = c n u n (x, y) = sinh, n = 1, 2, 3,... c n sin nπx Uit de niet-homoge rndvoorwrde volgt tslotte : sinh. u(x, ) = f(x) sinh nπb c n sin nπx = f(x) voor < x <. Hieruit volgt t slotte dt : sinh nπb c n = 2 Hiermee is het probleem opgelost. f(x) sin nπx dx, n = 1, 2, 3,.... Bovstnde methode werkt steeds ls er twee homoge rndvoorwrd voor óf X(x) óf Y (y) te vind zijn. In meer lgeme situties gebruikt m het superpositie principe door dergelijke oplossing te combiner. Zie hiervoor opgve 3 opgve 4. In R 2 zijn ntuurlijk meer deelgebied dkbr dn lle rechthoekige gebied. E veelvoorkomde situtie is die vn e cirkel (of e deel drvn). In dt gevl ligt het voor de hnd om over te gn op poolcoördint : x = r cos θ y = r sin θ met r θ < 2π. De Lplce vergelijking u xx + u yy = gt dn over in de vorm u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = oftewel r 2 u rr + ru r + u θθ =. Het is niet zo evoudig om dit rechtstreeks f te leid. We kunn het resultt echter wel check met behulp vn de kettingregel : u r = u x x r + u y y r = cos θ u x + sin θ u y 3

4 Dn volgt : u θ = u x x θ + u y y θ = r sin θ u x + r cos θ u y. u rr = cos θ u xx x r + cos θ u xy y r + sin θ u yx x r + sin θ u yy y r = cos 2 θ u xx + sin θ cos θ u xy + sin θ cos θ u yx + sin 2 θ u yy u θθ = r cos θ u x r sin θ u xx x θ r sin θ u xy y θ r sin θ u y + r cos θ u yx x θ + r cos θ u yy y θ = r cos θ u x + r 2 sin 2 θ u xx r 2 sin θ cos θ u xy r sin θ u y r 2 sin θ cos θ u yx + r 2 cos 2 θ u yy. Hieruit volgt dt r 2 u rr + ru r + u θθ = r 2 cos 2 θ u xx + r 2 sin θ cos θ u xy + r 2 sin θ cos θ u yx + r 2 sin 2 θ u yy + r cos θ u x + r sin θ u y r cos θ u x + r 2 sin 2 θ u xx r 2 sin θ cos θ u xy r sin θ u y r 2 sin θ cos θ u yx + r 2 cos 2 θ u yy = r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) u xx + r 2 (sin 2 θ + cos 2 θ) u yy = r 2 (u xx + u yy ). Dus : u xx + u yy = u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ =. E Dirichlet probleem voor e cirkel met strl > ziet er dn zo uit : u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ =, < r <, < θ < 2π u(, θ) = f(θ), θ < 2π. Angezi zo n cirkel in feite mr één rnd heeft, hebb we hier slechts één rndvoorwrde. We zull lter zi dt er echter meer (verborg) voorwrd zijn. We zoek nu dus e oplossing u(r, θ) voor dit Dirichlet probleem. Drvoor mk we weer gebruik vn de methode vn scheid vn vribel : stel dt u(r, θ) = R(r)Θ(θ), dn volgt : R Θ + 1 r R Θ + 1 r 2 RΘ = = r 2 R R + r R R = Θ Θ = σ Hieruit volgt : (seprtieconstnte). r 2 R (r) + rr (r) σr(r) = Θ (θ) + σθ(θ) =. Voor Θ(θ) geldt dt deze periodiek moet zijn met periode 2π. Dit is één vn de extr (verborg) voorwrd vn het Dirichlet probleem. We onderscheid weer drie gevll : 4

5 1. σ = : Θ (θ) = = Θ(θ) = 1 θ + 2. Dit is lle periodiek ls 1 =. Dus : σ = is e eigwrde met bijbehorde eigfunctie Θ (θ) = σ = µ 2 < : Θ (θ) µ 2 Θ(θ) = = Θ(θ) = b 1 cosh µθ + b 2 sinh µθ. Dit is echter lle periodiek in het trivile gevl dt b 1 = b 2 =. Er zijn dus ge negtieve eigwrd. 3. σ = µ 2 > : Θ (θ) + µ 2 Θ(θ) = = Θ(θ) = c 1 cos µθ + c 2 sin µθ. Dit is periodiek voor lle wrd vn c 1 c 2 ls µ = n met n = 1, 2, 3,.... Het rndwrdeprobleem heeft dus positieve eigwrd bijbehorde eigfuncties vn de vorm σ n = n 2 Θ n (θ) = c n cos nθ + k n sin nθ, n = 1, 2, 3,.... Voor R(r) vind we in het gevl dt σ = : r 2 R (r) + rr (r) =. Dit is e Euler vergelijking (zie : 3.4 opgve ) met ls oplossing R(r) = k 1 + k 2 ln r. Nu moet echter k 2 = zijn, wnt nders zou de oplossing u(r, θ) onbegrsd word voor r dt kn ntuurlijk niet. Dit is ook weer zo n extr (verborg) voorwrde, nmelijk dt de oplossing op de gehele cirkelschijf begrsd moet zijn. Dit betekt dt voor σ = ook R(r) e constnte is dus : u (r, θ) = 1. Voor σ = n 2 met n = 1, 2, 3,... vind we voor R(r) : r 2 R (r) + rr (r) n 2 R(r) =. Dit is ook e Euler vergelijking (zie : 3.4 opgve ) met ls oplossing R(r) = k 1 r n + k 2 r n. Ook dn moet geld dt k 2 = omdt nders de oplossing onbegrsd is voor r dt kn niet. Dus : R n (r) = r n met n = 1, 2, 3,.... We vind dus : Hieruit volgt nu dt u n (r, θ) = R n (r)θ n (θ) = c n r n cos nθ + k n r n sin nθ, n = 1, 2, 3,.... u(r, θ) = c 2 + r n (c n cos nθ + k n sin nθ). T slotte volgt uit de (ige) rndvoorwrde : u(, θ) = f(θ) c 2 + n (c n cos nθ + k n sin nθ) = f(θ). De functie f(θ) is gedefinieerd voor θ < 2π, mr kn logischerwijs periodiek word voortgezet met periode 2π. De functie f(θ) kn dus in e Fourierreeks vn deze vorm word uitgedrukt. Door te integrer over e intervl ter lgte vn de periode 2π kunn we bijbehorde coëfficiënt berek. We vind dn : n c n = 1 π n k n = 1 π c = 1 π f(θ) dθ, f(θ) cos nθ dθ, n = 1, 2, 3,... f(θ) sin nθ dθ, n = 1, 2, 3,.... Merk op dt we in dit gevl e volledige Fourierreeks nodig hebb in plts vn slechts e Fourier sinus- of e Fourier cosinusreeks. 5

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentilvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 1 De Lplce vergelijking De tweedimensionle wrmtevergelijking

Nadere informatie

10.6. Andere warmteproblemen. We hebben warmteproblemen bekeken van de vorm. 0 < x < L, t > 0. w(0, t) = 0, w(l, t) = 0, t 0. u(x, 0) = f(x), 0 x L,

10.6. Andere warmteproblemen. We hebben warmteproblemen bekeken van de vorm. 0 < x < L, t > 0. w(0, t) = 0, w(l, t) = 0, t 0. u(x, 0) = f(x), 0 x L, .6. Andere warmteproblem. We hebb warmteproblem bekek van de vorm α 2 u xx = u t, < x u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, waarbij de temperatuur aan de beide uiteind constant bovdi gelijk is.

Nadere informatie

f even en g oneven = f g oneven. f(x) dx = 2 Stel dat f een even functie is en dat de Fourierreeks voor f gelijk is aan a n cos nπx + b n sin nπx )

f even en g oneven = f g oneven. f(x) dx = 2 Stel dat f een even functie is en dat de Fourierreeks voor f gelijk is aan a n cos nπx + b n sin nπx ) .4. Ev onev functies. E functie f heet ev als voor elke x in het domein van f ook x tot dat domein behoort f( x) = f(x) voor alle x in het domein van f. En e functie f heet onev als voor elke x in het

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Tentamenopgaven over hfdst. 1 t/m 4

Tentamenopgaven over hfdst. 1 t/m 4 Ttamopgav over hfdst. 1 t/m 4 1. donderdag 31 oktober 1996 Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y + 4y = 4 cos 2x, y(0) = 1, y (0) = 0. 2. donderdag 31 oktober 1996 Bepaal de algeme oplossing

Nadere informatie

Wiskundige Analyse 1

Wiskundige Analyse 1 Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe

Nadere informatie

Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze

Nadere informatie

== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u

== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u == Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Uitwerking herkansing Functies en Reeksen

Uitwerking herkansing Functies en Reeksen Uitwerking herknsing Functies en Reeksen 3 jnuri 14, 9: - 1: uur Opgve 1 () De functie ' is prtieel differentieerbr, met prtiële fgeleiden @'.x; y/ D.1; 1/T en @x @' @y.x; y/ D. v; v/t : Deze prtiële fgeleiden

Nadere informatie

2 Opgaven bij Hoofdstuk 2

2 Opgaven bij Hoofdstuk 2 2 Opgven bij Hoofdstuk 2 Opgve 2. De functie f : R 2 R is gedefinieerd door ) Bewijs dt f continu is op R 2 \ {(, )}. f(, y) = 2 y 2 + y 2 ls (, y) (, ) f(, ) =. b) Bewijs dt voor iedere R de functie y

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. N gekoppelde oscillatoren. 3.1 De bewegingsvergelijkingen

Hoofdstuk 3. N gekoppelde oscillatoren. 3.1 De bewegingsvergelijkingen Hoofdstuk 3 N gekoppelde oscilltoren 3.1 De bewegingsvergelijkingen We beschouwen ls een systeem vn N gekoppelde oscilltoren vn N puntmss s M die onderling met veren gekoppeld zijn, zols ngegeven in figuur

Nadere informatie

Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2

Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2 Oefeningen 1 G n of de gegeven functie een oplossing is vn de gegeven differentilvergelijking. () xy = 2y ; y = 5x 2 (b) (x + y) dx + y dy = 0 ; y = 1 x2 2x (c) y + y = 0 ; y = 3 sin x 4 cos x 2 Zoek een

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12 Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + (

Nadere informatie

Inleiding Natuurwetenschappen

Inleiding Natuurwetenschappen Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde

Nadere informatie

2) Kegelsneden (in basisvorm)

2) Kegelsneden (in basisvorm) ) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim

Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.

Nadere informatie

Inhoud college 7 Basiswiskunde

Inhoud college 7 Basiswiskunde Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

5.1 Rekenen met differentialen

5.1 Rekenen met differentialen Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,

Nadere informatie

BEKNOPTE ANTWOORDEN ( geen modeluitwerking! )

BEKNOPTE ANTWOORDEN ( geen modeluitwerking! ) Tentmen T0 onstructieechnic Jnuri 00 OPGVE EKNOPTE NTWOOREN ( geen modeluitwerking! ) ) e uitbuigingsvorm (knikvorm) is hieronder weergegeven. str b) Het probleem is op te splitsen in een str deel en een

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)

Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007) Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle

Nadere informatie

UITWERKING MET ANTWOORDEN

UITWERKING MET ANTWOORDEN UITWERKING ET ANTWOOREN Opgve e momentenlijn t.g.v. lle mogelijke steunpuntszkkingen kunnen worden smengesteld uit de superpositie vn twee bsisgevllen. eze twee gevllen zijn: - zkking vn het buitenste

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte

Nadere informatie

PR en QR snijden de grote as van E in respectievelijk U en V. Bewijs dat de vector UV. x 2y. a 4b. sin sin cos cos. a b 2 2. cos cos, sin sin.

PR en QR snijden de grote as van E in respectievelijk U en V. Bewijs dat de vector UV. x 2y. a 4b. sin sin cos cos. a b 2 2. cos cos, sin sin. Oplossing Op e ellips E neem je twee vste punt P Q e vernderlijk punt R De middelloodlijn vn e constnte PR QR snijd de grote s vn E in respectievelijk U V Bewijs dt de vector UV vector is (dus onfhnkelijk

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)

Nadere informatie

Formularium Analyse I

Formularium Analyse I Formulrium Anlyse I Getllen, functies en rijen coördintenstelsels: poolcoördinten (r, θ) sferische coördinten (r, θ, ϕ) x = r cos θ y = r sin θ cylindrische coördinten (u, θ, z) x = r sin ϕ cos θ r 0 y

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen 1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 2 voor B (2DB10, 2DB40), cursus 2005/2006.

Studiewijzer Wiskunde 2 voor B (2DB10, 2DB40), cursus 2005/2006. Studiewijzer Wiskunde voor B (DB0, DB40), cursus 005/006. Inleiding In de cursus Wiskunde voor B (DB0, DB40) wordt gebruikt het boek Clculus, Robert T. Smith, Rolnd B. Minton, second edition, Mc Grw Hill,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Parels van studenten tijdens een examen

Parels van studenten tijdens een examen Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)

Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251) 1 Tentmen Numerieke Wiskunde (WISB251) Mk één opgve per vel en schrijf op ieder vel duidelijk je nm en studentnummer. Lt duidelijk zien hoe je n de ntwoorden komt. Onderstnde formules en stellingen mg

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen

Nadere informatie

Kwadratische reciprociteit

Kwadratische reciprociteit Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Oplossingen Wiskundige Analyse III. Bert De Deckere

Oplossingen Wiskundige Analyse III. Bert De Deckere Oplossingen Wiskundige Analyse III Bert De Deckere Inhoudsopgave 1 Velden 3 1.1 Transformatie divergentie............................... 3 Krommen 4.1 Constante kromming..................................

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk

Nadere informatie

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

Integralen en de Stelling van Green

Integralen en de Stelling van Green Integrlen en de Stelling vn Green Les Functies vn twee vernderlijken Les ubbelintegrl Les 3 Lijnintegrl Les 4 Stelling vn Green en toepssingen Rob e Stelen sptie Een ster genereert mgnetische velden door

Nadere informatie

2 ). Door steeds de functiewaarde aan de linkerkant te kiezen, krijgen we de benaderingsformule

2 ). Door steeds de functiewaarde aan de linkerkant te kiezen, krijgen we de benaderingsformule Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 4 Deel I. Voortgezette Anlyse Les 9 Numerieke integrtie In de prktijk is het mr zelden het gevl dt we een functie expliciet kunnen primitiveren. Voorbeelden hiervoor

Nadere informatie

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde

Zomercursus Wiskunde Ktholieke Universiteit Leuven September 0 Module Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (versie ugustus 0) Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inhoudsopgve Primitieve

Nadere informatie

Oefeningen Analyse I

Oefeningen Analyse I Inleiding Oefeningen Anlyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dnk, Ynnick Meers e-mil: meers@skynet.be Hoofdstuk 5: Integrlen Oefening Gegeven: f is continu op [, b] en f(x) > in [, b] Drnst is

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011 ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje

Nadere informatie

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30 ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

De stelling van Rolle. De middelwaardestelling

De stelling van Rolle. De middelwaardestelling De stelling vn Rolle Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) en f() = f(b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = 0. De middelwrdestelling Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Syllabus Analyse 2A. door T. H. Koornwinder

Syllabus Analyse 2A. door T. H. Koornwinder Syllbus Anlyse 2A door T. H. Koornwinder Universiteit vn Amsterdm, Fculteit der Ntuurwetenschppen, Wiskunde en Informtic, Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde september 2001 Deze syllbus geeft de

Nadere informatie

Lengteverandering bij temperatuurverandering.

Lengteverandering bij temperatuurverandering. 2 Uitzetting. Opgve 2.1 Lengteverndering ij tempertuurverndering. De ene stof zet sterker uit dn de ndere. Deze mterileigenshp wordt ngegeven met de lineire uitzettingsoëffiiënt (α). De lineire uitzettingsoëffiiënt

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:

Nadere informatie

Resultatenoverzicht wiskunde B

Resultatenoverzicht wiskunde B Resulttenoverzicht wiskunde B In dit document zijn door dpt Wiskunde lle resultten vn het VWO-eindexmenprogrmm beknopt smengevt m.u.v. het domein Voortgezette Meetkunde. Kijk voor meer informtie op: www.dptwiskunde.nl.

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Checklist. Aanvulling ondersteuningsplan. integratie LWOO en PrO in passend onderwijs. 11 mei 2015. [Typ hier]

Checklist. Aanvulling ondersteuningsplan. integratie LWOO en PrO in passend onderwijs. 11 mei 2015. [Typ hier] [Typ hier] Checklist Anvulling ondersteuningspln integrtie LWOO en PrO in pssend onderwijs 11 mei 2015 Deze checklist is tot stnd gekomen in nuwe smenwerking met: Ministerie vn Onderwijs, Cultuur en Wetenschp

Nadere informatie

11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm :

11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : 11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : L[y] := [p(x)y ] + q(x)y = µr(x)y + f(x), < x < 1 (1) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1)

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie