Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen

Transcriptie

1 1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende wrheidstel: (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) Bender de etekenis vn de zin: De president legt de eed f op de 20e, mr omdt dt dit jr een zondg is, vindt het feest ps plts op de 21e. zo goed mogelijk door een formule vn de propositielogic. Geruik hierij ls woordenoek: E F Z de president legt de eed f op 20 jnuri het feest vindt in 2013 plts op 21 jnuri in 2013 is 20 jnuri een zondg In hoeveel vn de cht modellen v die een wrheidswrde n deze drie tomen toekennen is deze uitsprk wr? E Z F Deze formule is in één vn de cht modellen wr, nmelijk lleen in het model: v(e) = v(z) = v(f ) = 1 3. Geef vier verschillende formules vn de propositielogic die ls enige tomire formule de tomire formule evtten, en die lleml onderling niet logisch equivlent zijn. Hoeveel vn deze vier formules zijn logisch wr? Verklr je ntwoorden. De volgende vier formules zijn logisch niet equivlent: De eerste twee formules zullen eide precies één 1 in de wrheidstel heen, mr op een verschillende plek. Vn de ltste twee formules is logisch wr, en is. De ltste twee formules moeten nog geschreven worden volgens de propositielogic met lleen de tomire formule, dt kn ijvooreeld door respectievelijk ( ) en ( ) te kiezen. 4. Bender de etekenis vn de zin: 1

2 De ltste trein stopt ij ieder sttion, mr dt geldt niet voor lle treinen drvoor. zo goed mogelijk door een formule vn de prediktlogic. Geruik hierij ls woordenoek: T S o B(x, y) H(x, y) het domein vn de treinen het domein vn de sttions het sttion Onze Lieve Vrouwe ter Nood trein x rijdt gelijk of eerder dn trein y trein x stopt ij sttion y De opgve wordt heel inzichtelijk ls we twee hulpsymolen introduceren (uiterrd krijg je ook de volle punten ls je de hulpsymolen correct uitgeschreven het in de zin): De trein t is de ltste trein: L(t) := x T B(x, t) De trein t stopt op lle sttions: A(t) := s SH(t, s) Nu kunnen we de zin vertlen ls: er is een ltste trein die op lle sttions stopt, en het is niet zo dt lle treinen op lle sttions stoppen. t T (L(t) A(t)) t T A(t) Het is ook goedgekeurd ls je het ltste deel gelezen het: en lle treinen die niet de ltste zijn stoppen niet op lle sttions. t T (L(t) A(t)) t T ( L(t) A(t)) Hoewel een model wrin geen enkele trein de ltste is (omdt er ltijd wel een ltere trein is) hier ook n zou voldoen, krijg je voor deze zin ook lle punten: t T (L(t) A(t)) 5. Bender de etekenis vn de zin: Er is precies één trein die op sttion Onze Lieve Vrouwe ter Nood stopt. zo goed mogelijk door een formule vn de prediktlogic met gelijkheid. Geruik hierij opnieuw het woordenoek uit de vorige opgve. x T y T [x = y H(y, o)] ( x T ( y T ((x = y) H(y, o)))) x T [H(x, o) y T [H(y, o) y = x]] ( x T (H(x, o) ( y T (H(y, o) (y = x))))) 6. Schrijf de volgende formule ( x, y D z D (R(x, z) R(y, z))) ( x D y D R(x, y)) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef zowel een interprettie in een model wronder deze formule wr is, ls een interprettie in een model wronder hij niet wr is. Verklr je ntwoorden. 2

3 (( x D ( y D ( z D (R(x, z) R(y, z))))) ( x D ( y D R(x, y)))) In het model M 1 := (N, <) onder interprettie I 1 : D N R(x, y) x < y is de formule wr, wnt ij x en y is x + y + 1 ltijd groter, mr er is geen x wrvoor lle y groter zijn, wnt x is nooit groter dn zichzelf. In het model M 2 := (N, =) onder interprettie I 2 : D N R(x, y) x < y is de formule niet wr, wnt ls in de linkerknt vn de conjunctie x en y verschillend zijn, is er geen z die gelijk is n lleei. 7. Bestt er een tl L met LLL, mr met LLL? Verklr je ntwoord. J, iedere tl wrvoor L, λ L mr L en L voldoet hiern. (Een tl die n één vn ovenstnde voorwrden niet voldoet is onjuist.) 8. Geef een eindige utomt die de tl herkent. L 8 := {w {, } w evt mr w evt geen } q 0 q 2 q 1 q 5 q 3 q 4 Deze utomt hngt nuw smen met de grmmtic vn de volgende opgve: S hoort ij q 0, A ij q 1, B ij q 2, C ij q 3, D ij q 4 en q 5 is toegevoegd ls noodzkelijke put. 9. Gegeven de contextvrije grmmtic G 9 :, S A B A C B B A C C D λ D C λ Iemnd wil ntonen dt woorden in de tl L(G 9 ) nooit ls deelwoord evtten. Hij climt dt de eigenschp P (w) := w evt geen, geen S, geen A, en geen C hier een goede invrint voor is. Klopt dit? Verklr je ntwoord. (Als dit niet klopt, dn hoef je niet een invrint te geven die hier wél geschikt voor is.) Dit is geen goede invrint. Zo geldt P (D) wel, mr P () niet terwijl er wel een éénstpsproductie D is. 3

4 10. Geef een smenhngende grf met vier punten, die geen oom is, geen Euler-cykel evt, mr wel een Euler-pd evt. Wt is het kleurgetl vn deze grf? Verklr je ntwoorden. Er zijn op isomorfie n twee oplossingen: d c d c Voor eide oplossingen geldt: De grf is smenhngend. De grf evt een cykel, dus het is geen oom. De grf evt twee punten met oneven grd, dus de grf evt geen Eulercykel, mr wel een Eulerpd. Het kleurgetl is 3. De kleuring geeft l n dt het met drie kleuren kn en doordt K 3 een deelgrf is, kn het niet met minder dn drie kleuren. 11. Bewijs met inductie dt (2n)! deelr is door 2 n voor lle n 1. Stelling. (2n)! is deelr door 2 n voor lle n 1. Bewijs. We ewijzen dit met inductie nr n. Het predikt dt we met inductie gn 1 ewijzen is 2 P (n) := (2n)! is deelr door 2 n wrij dit predikt gedefinieerd is voor iedere n 1. (Merk op dt... voor iedere n 1 niet ij de definitie vn P (n) hoort.) Er zijn nu twee stppen: Bsisstp. Omdt we het predikt willen ewijzen vnf n = 1, moeten we lten zien dt 3 P (1) geldt, ofwel dt (2 1)! deelr is door 2 1. En dit is zo, wnt (2 1)! = 2! = 2, 2 1 = 2 en 2 is deelr door 2, wnt 2/2 = 1 is een geheel getl. 4 Inductiestp. Nu moeten we voor willekeurige n 1 lten zien dt ls we P (n) nnemen, 5 we kunnen ewijzen dt P (n + 1) ook geldt. Dus neem n dt we weten dt P (n) geldt, ofwel dt (2n)! deelr is door 2 n (de inductiehypothese IH), ofwel: 6 (2n)! 2 n is een geheel getl. (2(n + 1))! We moeten nu lten zien dt P (n + 1) geldt, ofwel dt 2 n+1 óók een geheel getl 7 is. We geruiken dt 8 (2(n + 1))! = (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! = 2(n + 1)(2n + 1)(2n)! Druit volgt dt (2(n + 1))! 2(n + 1)(2n + 1)(2n)! 2 n+1 = 2 2 n = 2(n + 1)(2n + 1) (2n)! 2 2 n = (n + 1)(2n + 1) (2n)! 2 n Hier stt het product vn gehele getllen (drvoor geruiken we dus IH), en drom is de hele expressie ook een geheel getl. Hiermee heen we ook de inductiestp ewezen. 4

5 Met inductie nr n volgt dus dt P (n) geldt voor iedere n 1, wt de te ewijzen stelling 9 ws. 12. Schrijf (x + y) 7 volgens het inomium vn Newton, geef een deel vn de driehoek vn Pscl, en geef drin n wr de coëfficiënten vn deze veelterm in de driehoek vn Pscl voorkomen. Het inomium zegt: (x + y) 7 7 = x 7 k y k k k=0 = x x 6 y + 1 x 5 y x 4 y x 3 y = x 7 + 7x 6 y + 21x 5 y x 4 y x 3 y x 2 y 5 + 7xy 6 + y 7 x 2 y xy y 7 7 Deze coëfficiënten zijn te vinden op de ltste regel vn het hier getoonde deel vn de driehoek vn Pscl Geef een formule vn de modle logic, die onder iedere interprettie in de epistemische logic wr is, terwijl hij in de doxstische logic niet ltijd wr hoeft te zijn. Verklr je ntwoord. Neem de formule f f. In epistemische logic etekent dit: ls ik weet dt f geldt, dn geldt f. En dt klopt. In doxstische logic etekent dit: ls ik geloof dt f geldt, dn geldt f. En dt klopt niet, wnt mensen kunnen zich vergissen. 14. Bestt er een Kripke model wrin de volgende formule vn de modle logic ( ) ( ) niet wr is? Zo j, geef zo n model. Zo nee, verklr wrom zo n model niet estt. Nee, zo n model estt niet. Je kunt dit op twee mnieren verklren () de zin ( ) ( ) is tutologisch wr: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = Een Kripke model wrin een tutologisch wre uitsprk niet geldt in tenminste één toestnd, estt niet. () Voor elke toestnd x geldt: ofwel lle uitgnde pijlen gn nr een toestnd wrin geldt, of er is een uitgnde pijl wrin geldt. In het eerste gevl geldt ( ) voor x, in het tweede geldt ( ). In eide gevllen geldt ( ) ( ) voor x. Angezien de formule voor lle toestnden geldt, is de uitsprk wr in ieder Kripke model. 5

6 15. Bender de etekenis vn de zin: N sneeuw komt dooi. zo goed mogelijk door een LTL-formule. Geruik hierij ls woordenoek: s d het sneeuwt het dooit Definieer vervolgens een LTL-model wrin deze zin niet wr is. Er zijn verschillende verdedigre vertlingen denkr: Er moet een G n de uitenknt stn, en G(s X Fd) G(s X d) G(s Fd) G(s s U d) G(s U d) is te simpel: dn kn het niet voorkomen dt het noch sneeuwt, noch dooit. Een LTL-model wrin deze vertlingen niet wr zijn is er één wrin het in elke wereld sneeuwt, en in geen enkele dooit. Formeel is dit het model W, R, V met: W = {x i i 0} R(x i ) = {x j j i} V (x i ) = {s} 6