Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Transcriptie

1 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te legitimeren met behulp vn een geldig bewijs vn inschrijving (collegekrt) en een geldig identiteitsbewijs voorzien vn een goed gelijkende psfoto. Indien u zich niet kunt legitimeren kn u de toegng tot het tentmen worden ontzegd. Indien u niet correct bent ngemeld voor dit vk vi SIS wordt het cijfer vn uw werk niet geregistreerd. Schrijf uw nm en studentnummer op elk prt bld dt u inlevert. Wrschuwing tegen frude: Studenten die betrpt worden op frude worden bestrft. Uw mobiele telefoon dient uitgeschkeld te zijn en opgeborgen in uw ts.. Dit geldt ook voor geluidspprtuur, koptelefoons, digitle horloges (I-wtches e.d.) of ndere elektronische hulpmiddelen. Uw ts dient gesloten nst uw tfel op de vloer te zijn gepltst. Tijdens het tentmen is toiletbezoek niet toegestn (tenzij het bij wijze vn uitzondering door de hoofdsurveillnt wordt toegestn). Toegestne hulpmiddelen: potlood (niet rood!), pen (niet rood!), gum, linil, (niet-grfische) rekenmchine Een grfische rekenmchine is niet toegestn. Tentmen nkijktermijn en Tentmen inzge: De uitslg vn dit tentmen wordt uiterlijk 18 werkdgen n de tentmendtum vi de Onderwijsdministrtie Economie en Bedrijfskunde in SIS bekend gemkt. Vi Blckbord en vi de mil zl de inzge gecommuniceerd worden. Specifieke toelichtingen voor dit tentmen: 8 vrgen met verschillende onderdelen, pgin s, het mximl ntl te behlen punten is 100. Per onderdeel stt de mximle score ngegeven. Bij dit tentmen worden tbellen verstrekt vn de stndrdnormle verdeling, lsmede een overzicht vn veelgebruikte verdelingen. SUCCES!

2

3 1 De continue stochst X heeft de volgende knsdichtheid, wrbij een positieve constnte is: [3] Bepl de wrde vn. x voor 0 x f ( x) 1 10 voor x 0 voor x0 en x b [5] Bepl de verdelingsfunctie vn X en schets deze. c [] Bepl de verwchte wrde vn X. d [5] Bepl de knsen P( X 1 ) en P( 0. X 0.). e [] Stel dt u = een willekeurige getrokken wrde voorstelt uit de uniform verdeelde stochst op het intervl (0, 1). Bepl n de hnd vn u een wrde voor x die kn worden opgevt ls een trekking uit de verdeling vn X. Lt C en D twee disjuncte gebeurtenissen zijn, die llebei onfhnkelijk zijn vn de gebeurtenis E. [6] Definieer de gebeurtenis A ls A C D. Geef een formeel bewijs dt A onfhnkelijk is vn E. Zorg er voor dt elke stp in het bewijs (kort) wordt toegelicht, wrbij eventueel nr bekende stellingen uit de reder mg worden verwezen. b [] Indien p P( C) P( D) en q P( E), druk dn P( C D E) uit ls functie vn p en q. 3 [8] Gebruik de trnsformtie-methode om de knsdichtheid te beplen vn Y 1 ( X 1), wrbij de continue stochst X wordt bepld door de volgende knsdichtheid: x e e voor x f( x) 0 elders Plts de getllen 1 tot en met 5 lukrk in een 5 bij 5 tbel. Dit zou bijvoorbeeld tot het volgende resultt kunnen leiden: [] Hoe groot is de kns dt er op de bovenste rij precies twee oneven getllen stn? b [5] Hoe groot is de kns dt lle getllen op de bovenste rij en/of lle getllen op de tweede rij oneven zijn (eventueel mogen dus ook beide rijen volledig uit oneven getllen bestn)? c [5] Bepl de kns dt precies één getl uit de eerste kolom even is én precies twee getllen uit diezelfde kolom deelbr zijn door 3.

4 5 [6] Stel dt X ~ N(, ). Definieer Y X b. Bewijs met behulp vn de momentgenererende functie vn X dt Y ook een normle verdeling volgt. Gebruik vervolgens de gevonden momentgenererende functie vn Y om druit de verwchte wrde vn Y te beplen (dus zonder gebruik te mken vn de kennis dt Y een normle verdeling heeft). 6 Twee typen hlogeenlmpen worden geproduceerd, de eerste met een levenduur (in uren) X ~ N(00,160 ) en de ndere met een levensduur Y ~ N(500, 600 ). [5] Een opdrchtgever moet voor een nieuwe bestelling een vn de twee typen kiezen. Omdt de verkoopprijzen exct gelijk zijn, formuleert de opdrchtgever ls enig criterium dt de kns dt een lmp het begeeft binnen 000 uur zo klein mogelijk moet zijn. Welk type zl de opdrchtgever dn moeten kiezen? b [5] Stel de opdrchtgever wil lmpen bestellen vn het type dt in onderdeel is gekozen. Wt is de kns dt de gemiddelde levensduur vn die lmpen minder is dn 000 uur? c [6] Bepl de kns dt een willekeurige lmp vn het eerste type minstens 100 uur lnger licht geeft dn een willekeurige lmp vn het tweede type. Hint: Bepl eerst de verdeling vn Y = ( 1)*Y. 7 [6] De knsdichtheid vn X ~ ( ) is gegeven in het bijgeleverde formulebld. Gebruik deze knsdichtheid om door middel vn integrtie de verwchte wrde vn X te beplen. (Hint: De r1 t Gmmfunctie () r t e dt heeft de eigenschp dt ( r) ( r 1) ( r 1) ) 0 8 In een continu productieproces vinden verstoringen plts volgens een Poisson proces met een intensiteit vn 0.1 per uur. Definieer X t ls het ntl gebeurtenissen in een tijdsintervl met een lengte vn t uur. [] b [] c [5] d [8] Bepl de kns dt er gedurende één klenderdg ( uur) geen enkele verstoring pltsvindt. Als gisteren (mndg!) een storingsvrije dg ws, bepl dn de kns dt de eerstvolgende storingsvrije klenderdg niet eerder dn.s. zterdg pltsvindt. Definieer V ls het ntl verstoringen op één klenderdg wrbij gegeven is dt die niet storingsvrij ws. Bepl een formule voor de knsfunctie vn V. Men bekijkt een willekeurig tijdsintervl met lengte t (wrbij t een willekeurig positief reëel getl voorstelt) en drin blijkt precies 1 Poisson gebeurtenis te zijn opgetreden (X t = 1). Toon dn n dt het tijdstip Y wrop die gebeurtenis heeft pltsgevonden een uniforme verdeling heeft op het intervl [0, t]. Hint: leid de CDF vn Y f.

5 Uitwerkingen 1 Er dient te gelden dt f ( x) dx 1 en dus 1 x dx dx 1. Druit volgt dt 1 x x ( ) / = 3/ b c d e 0 voor 0 x x 1 1 tdt x voor 0 x F( x) 3 x tdt dt x voor 3 x voor x Check: F F(0) 0 0, () 1 Merk ook op dt er geen zich bij x = geen sprong voordoet E( X ) x x dx x dx P( X 1 ) = 1 P( X 1 ) 1 F(1 ) P( 0. X 0.) x dx dx 75 Drvoor hebben we de inverse vn de CDF nodig; in dit gevl komt de wrde u = in het tweede stijgende deel vn de CDF terecht, en hoeven we lleen voor dt deel de CDF te beplen. Uit 3 1 u x x10u 6, dus voor u volgt dt x P( A E) P(( C D) E) P(( C E) ( D E)) (volgt uit verzmelingenleer, lt zien mbv Venn-digrm) Omdt C en D elkr uitsluiten, geldt dt ook voor ( C E) en ( D E). Drom volgt dt P(( C E) ( D E)) P( C E) P( D E) Vervolgens gebruiken we het gegeven dt C en E onfhnkelijk zijn, net zols D en E : P( C E) P( D E) P( C) P( E) P( D) P( E) ( P( C) P( D)) P( E) P( C D) P( E) Bij de ltste stp is wederom gebruik gemkt vn het gegeven dt C en D elkr uitsluiten, We hebben nu ls resultt dt P( AE) P( A) P( E), wruit volgt dt A onfhnkelijk is vn E. P( C D E) P( A E) P( A) P( E) P( A E) P( A) P( E) P( A) P( E) p q pq

6 3 Het is eenvoudig in te zien dt op de drger vn X de trnsformtie een 1-op-1 functie voorstelt wrbij de drger vn Y bestt uit het intervl (0, 1). De functie y u( x) 1 ( x 1) heeft ls inverse Dn volgt uit de trnsformtie-methode dt: 1 1 u ( y) x y d 1 ( y 1) 11 y fy( y) f X( u ( y)) u ( y) e e y 1 y e voor 0 y 1 dy De 5 getllen bestn uit 13 oneven en 1 even getllen. b c Definieer A = gebeurtenis dt lle getllen op de eerste rij oneven zijn, en B = gebeurtenis dt lle getllen op de tweede rij oneven zijn. Het zl duidelijk zijn dt P( A) P( B), dus Dn: Merk op: P( A B) P( A) P( B) P( A B) even getllen, wrvn deelbr door 3, en 8 niet deelbr door 3 13 oneven getllen, wrvn deelbr door 3 en 9 niet deelbr door 3. P(precies 1 even en deelbr) P(1 even-niet deelbr, oneven-deelbr, oneven-niet deelbr) P(1 even-deelbr, 1 oneven-deelbr, 3 oneven-niet deelbr) 5 t M () t e X t ty tx tb bt ( t) X bt bt t t ( b) t t x M ( t) E( e ) E( e ) e E( e ) e M ( t) e e e Y En deze mgf is weer te herkennen ls die vn een N( b, ) verdeelde stochst. ( b) t t M ' ( t) e ( b) t Y E( X ) M ' (0) b X 6 We vergelijken de knsen: P( X 000) en P( Y 000) X P( X 000) P( ) P( Z 1.5) P( Y 000) P( Z 0.833) 0.033

7 b De opdrchtgever moet drom het eerste type lmp kiezen. X i N( , 160 ) krijgen we: i i i i1 i1 Omdt P( X 000) P( X 8000) P( Z ) P( Z.5) 160 c Gevrgd wordt: P( X Y 100) P( X Y 100). Uit de vorige tentmenvrg blijkt onmiddellijk dt weer uit dt X Y X Y ( ) ~ N( 300, ). Drom volgt nu: Y ~ N( 500, 600 ). Vervolgens volgt dr P 100 ( 300) 00 ( X Y 100) P ( Z ) ( ) ( 0.6) P Z 61 P Z 7 (zie uitwerking opgve.7) 8 b c P X. ( 0) e Dt kn dus lleen gebeuren indien de vier dgen vnf mndg niet storingsvrij zullen zijn. Drom is de gevrgde kns hier (1 PX ( 0)) Voor i = 1,, 3, volgt dt:. P( X i X 0) P( X i). e fv ( i) P( V i) P( X i X 0) ( 0) ( 0)! (1 ) i.. P X P X i e d (zie ook opgve.3) Xt ~ POI( t). We beplen de CDF vn Y, voor 0 < y < t : P(1 gebeurtenis in (0, y] en geen gebeurtenis in ( y, t)) P( Y y) P(1 gebeurtenis in (0, y] Xt =1) PX ( 1) t P(1 gebeurtenis in (0, y)) P(geen gebeurtenis in ( y, t)) t e t knsen) (knsen in teller zijn weer Poisson y ( t y) e y e y t e t t En dit is de cdf vn een uniforme verdeling op (0, t ).