Parels van studenten tijdens een examen

Transcriptie

1 Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) = c k z k mximl n verschillende wortels heeft, d.w.z. oplossingen vn f(z) = 0. per sper d str 7 jr geen wiskunde en plots Anlyse 1 hehe Prel 3. In het uitzonderlijke gevl dt de omgeving enkel rtionle getllen bevt kn men ineens verder gn nr deel 2.. Prel 4 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling over de reltie tussen de convexiteit vn de functie f en hr??? fgeleide. f is een convexe functie en continu in [, b] dn zegt men dt de k-de fgeleide vn f ook convex is. Prel 5 Vrg: Formuleer het orde-xiom voor reële getllen. In de verzmeling vn de reële getllen bestt er een bsolute ordening, die ervoor zorgt dt de reële getllen ten opzichte vn elkr vergeleken kunnen worden met ls referentie 0. Dit kn worden voorgesteld door een reële s. Prel 6 Vrg: Formuleer de stelling over de convergentie vn de wisselreeksen. Een wisselreeks is nooit convergent wnt ze wisselt voortdurend vn teken. 1

2 Prel 7 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling vn Cuchy-Hdmrd over de convergentie vn een PMR. pfff... zucht Deze ochtend op de rdio: De Opel-sloncondities, enkel die blijven in je hoofd zitten! Ik zou het nog gn geloven. Prel 8 Vrg: Formuleer en bewijs de formule vn Tylor. Beste, vn Tylor kn ik mij nu hels niets voor geest hlen. Dus, om u niet in de kou lten stn, hier de stelling + bewijs vn Archimedes. Prel 9 Ik vind het spijtig dt u niets gevrgd heeft over de convexe eigenschppen of uniforme continuïteit over intervl. Dit en nog veel ndere wren zeer mooie bewijzen die ik net iets beter beheerste. Niettemin zijn deze bewijzen ook zeer interessnt. Ik heb geprobeerd l mijn bewijzen op 1 lijntje te krijgen, mr het verhl ging ls volgt: Mijn lijntje ws te lng en mijn bld te kort. Tot wederziens! (My prchute ml-functioned. I m going to try nd sve wht s left to sve.) Prel 10 Wegens niet genoeg kennis en inzicht te hebben in het bewijs, zl ik in plts de kettingregel bewijzen. Prel 11 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling over de fleidbrheid vn de limietfunctie f = lim f n. De limietfunctie f = lim f n is fleidbr ls en slechts ls voor lle n N de functies f n fleidbr zijn. Bewijs : nodige voorwrde: trivil voldoende voorwrde: uit het ongerijmde. Prel 12 Vrg: Formuleer de zgn. M-test vn Weierstrß. De M-test vn Weierstrß gt over integrlen en zegt dt ls M > 0 is, we iets kunnen besluiten uit een beplde vgl., en dt ls M < 0, we iets nders kunnen besluiten uit beplde vgl. Prel 13 Zij en b reële getllen. Dn < b b 1. 2

3 Prel Afleiden geeft f(x) f(x 0 ) + A 2 x x 0 + A 2 x x 0 2. f (x) A 2 + A x x Prel 15 f n (x) dx = f n+1 (b) f n+1 (). Prel 16 Vrg: Zij f en g reële continu functies op [, b] en zij g positief. Dn bestt er een c [, b] met de eigenschp Bewijs! f(x)g(x) dx = f(c) f(x)g(x) dx = f(x) dx gebruik vn stelling 1.8 p.92: c [, b] c-is willekeurig = = f(c) f(x) = f(c) (f(c) = F (c)) g(x) dx. g(x) dx g(x) //. Prel 17 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling over de dichtheid vn Q in R. nx... Als een getl rtionl is en fgebeeld wordt op, dn zijn zijn 2 n + x dichtsbijzijnde buren irrtionl en... Prel 18 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling over de dichtheid vn Q in R.... De intervllen tussen twee opeenvolgende rtionle getllen... Prel 19 Vrg: Formuleer het orde-xiom voor reële getllen. Alle reële getllen zijn vn dezelfde orde. 3

4 Prel 20 Vrg: Formuleer de stelling vn Cuchy-Kowlevski. Poor people hve it, Rich people need it nd when you et it you might strve to deth. Wht is it? Hint: Dezelfde hoeveelheid punten die ik krijg voor deze vrg. Prel 21 Vrg: Formuleer en bewijs de substitutiestelling voor integrlen. f(t) dt = f(x) dx t = x dt = dx Prel 22 Vrg: Formuleer een equivlente uitsprk met de functie f : A C is niet uniform continu in A. De functie f : A C is niet uniform continu in A = f kn niet uniform convergeren in A. Prel 23 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling over de continuïteit vn de limietfunctie vn een functierij. Als lle f n puntsgewijs convergeren nr f in [, b] en ls f continu is in [, b], dn is lim f n continu in [, b]. Prel 24 Vrg: Formuleer en bewijs de stelling over de convergentie vn wisselreeksen. De wisselreeks ( 1) n u n+1 convergeert. n=0 Prel 25 Beschouw de functierij f(x n ), wrvoor n geldt dt f(x n ) continu is. Stel dt f(x n ) bsoluut convergeert nr f(x) dn convergeert de limietfunctie f(x). Prel 26 In een gesloten intervl [, b] zl een functie f : [, b] R, C ltijd uniform continu zijn! 4

5 Prel 27 Een divergente meetkundige rij heeft ltijd minstens 1 subrij die convergent is. Prel 28 Een numerieke reeks n divergeert ls lim n+1 n < 0. n=1 Prel 29 Als je de functie f met F (x) = een niveu hoger is dn f. x 0 f(t) dt vergelijkt dn kn je zeggen dt F vn Prel 30 De functie f is convex f is holomorf. Prel 31 Een functie is convergent in een gesloten intervl. Prel 32 Wnneer de norm vn z z 0 < 0 dn is de reeks n (z z 0 ) n convergent in C. n=0 Prel 33 x 2 n 2 n+2 0 = x2 n 2 n+2 Prel 34 Zij lim k x k =. Dn lim n x k = lim x k lim n = lim x k lim n = n lim n = lim n n =. 5