Aantekeningen voor de cursus met Jan

Transcriptie

1 Antekeningen voor de cursus met Jn

2 Antekeningen voor de cursus met Jn JH Oegstgeest, Amsterdm

3 The Netherlnds c c 2015 tekst FF 2015 illustrtie Ruud Hulshof Fotogrfie omslg: nog onbekend Vormgeving omslg: nog onbekend ISBN NUR All rights reserved. No prt of this book my be reproduced, stored in retrievl system, or trnsmitted, in ny form or by ny mens, electronic, mechnicl, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written consent of the publisher. De uteursinkomsten uit dit boek komen o.. ten goede n het orkest.

4 VOORWOORD I like fonctions of one vrible Xvier Cbré dressing Abel prize winner Louis Nirenberg nd smll nlysis group t Tor Vergt in June This pdf is under construction. Ik ben de mmnotes vn vorige jr n het herschrijven. Komt er eigelijk op neer dt de inleidende smenvtting vn de voorkennis nu een soort Anlyse 1 college is geworden. Hoofdstuk 1 dus, bijn klr. Misschien blijft het dr mr bij voor mijn gedeelte. Op de plnk ligt nog veel meer, zie de mmnotes, ook onder de Mstermth zij-instroom blog op het BON-forum. Jn moet ook nog vectorclculus en complexe functies doen. Dr doe ik nu l wt voorwerk voor. Ik gebruik liever deze notties voor de bekende getllen verzmelingen: n 2 IN k 2 IZ q 2 IQ x 2 IR z 2 IC IN IZ IQ IR IC Dit vk gt over integrl- en di erentilrekening voor f : IR! IR, met generlisties nr f : X! IR, f :IR! X, f : X! X, en voorbeelden zoveel mogelijk X =IR 2.WtX is zie je vnzelf. NB Op de impliciet functie stelling ingevoegd in Sectie 9, VOOR de kettingregel nd ll tht. 5

5 NB Met korte inleiding voor H1 begint. Inhoudsopgve 1 Integrl- en di erentilrekening 12 2 Integrlen vi onder- en bovensommen 13 3 Tussensommen 19 4 Tweevoudige integrlen 20 5 Meer over continuiteit en limieten 20 6 Integreerbr: regels en voorbeelden 22 7 Het verbnd met en di erentilrekening 25 8 Integrlen vi primitieve functies 27 9 Impliciete functies Di erentieerbre functies: de rekenregels Integrlen met prmeters Mooie voorbeelden: mchtreeksen Rre voorbeelden De middelwrdestelling De Inverse Functie Stelling Speeltuin Di erentilvergelijkingen d hoc Genormeerde ruimten Integrlen vn X-wrdige functies Di erentilrekening voor functies op X 57 6

6 21 Di erentilrekening voor functies op IR Prtieel di erentieerbr =)? Wt metrische topologie Equivlente normen en in de buurt vn Integrlrekening in poolcoordinten Integrlrekening en knsverdelingen Hrmonische polynomen Intermezzo: het wterstoftoom Prtieel integreren en toepssingen Stirling s formule vi schlen en limieten Mkkelijke convergentiestellingen Limieten vn di erentiequotienten Di erentil- en integrlvergelijkingen 94 7

7

8 9

9 Voor we beginnen enige beschouwende herhlingen over (de verzmeling IR vn) de reële getllen en ftelbre sommen vn die getllen. Vnuit getllenrepresentties ls 1 3 = = X n= =3 X 1 n n= n ontstt op ntuurlijke wijze het inzicht of overtuiging dt ieder (reëel) getl vn de vorm 1X d n k + (0.1) 10 n n=1 is, met k 2 IZ e n d n 2 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} voor n 2 IN. De schrijfwijze is niet uniek omdt getllen vn de vorm k + mx n=1 twee representties hebben, bijvoorbeeld d n 10 n 1= = X n n=1 De ftelbre som in (0.1) is met k 0eenvoorbeeldvn 1X n (0.2) n=0 met n 0voorllen 2 IN 0. Als de prtiële sommen S N = NX n=0 begrensd zijn dn is de kleinste bovengrens vn [ N2IN 0 {S N } per definitie de som vn de reeks in (0.2), nottie 1X S = n. n=0 n 10

10 In het gevl vn (0.1) is S N pple k +1 voor lle N 2 IN 0 en kn deze uitsprk ls tutologie gezien worden: het reële getl S is de limiet vn zijn decimle ontwikkeling, een ontwikkeling wrin de decimlen d n uit de cijfers 0totenmet9gekozenworden. Als we hdden leren rekenen met d n 2 { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} dn ws (0.1) een voorbeeld geweest vn (0.2) zonder de priori informtie dt n 0mrwelmetdeeigenschpdt 1X n < 1. (0.3) n=0 In dt gevl geldt ook dt S N! S voor een unieke S 2 IR, dus S = 1X n, (0.4) n=0 en hernummeren vn de som verndert niets n die uitkomst. Reeksen vn de vorm (0.2) wrvoor (0.3) geldt zijn onvoorwrdelijk convergent: de volgorde vn sommeren mkt niet uit voor de wrde S vn de som. Voor S geldt bovendien dt S = 1X n pple n=0 1X n. (0.5) Het bewijs vn (0.4) gegeven (0.3), de invrintie drvn onder hernummeren, en de ftelbre 3-hoeksongelijkheid (0.5) lten we chterwege tot we de uitsprk in een lgemenere context nodig hebben. Ze zijn een gevolg vn het feit dt in de reële getllen rijtjes wrvoor n=0 x n x m! 0 ls m, n!1 een unieke limiet x hebben, i.e. x bestt ls het enige reële getl wrvoor x n! x ls n!1. De rtionle getllen IQ hebben die eigenschp niet en dt is de reden wrom we nlyse met IR doen, het unieke geordende getllenlichm wrin (lle) Cuchyrijen en bsoluut convergente reeksen convergent zijn. 11

11 1 Integrl- en di erentilrekening In deze cursus behndelen we ondermeer de clculus voor functies f : I! IR met I IR een intervl. Meestl, met, b 2 IR, is I drbij een gesloten begrensd intervl of een open begrensd intervl I =[, b] ={x 2 IR : pple x pple b}, I =(, b) ={x 2 IR : <x<b}. We beginnen met integrlrekening, eerst voor monotone functies, zonder over limieten te spreken, en drn voor uniform continue functies f :[, b]! IR, wrbij we voor het eerst het limietbegrip wel gebruiken. Met een vribele (bij voorkeur boven-)grens ontdekken we de opzet vn de di erentilrekening met behulp vn lineire benderingen en werken die meteen uit voor mchtreeksen P (x) = x + 2 x x 3 +, wrmee we meteen een grote klsse vn stndrdfunctie tot onze beschikking krijgen wrbij mg dt vrgen kort mr krchtig met j ntuurlijk te bentwoorden zijn. Binnen die klsse is de nlyse nmenlijk ondergeschikt n de lgebr, en zodr je die lgebr goed begrijpt voor x 7 of zo ben je klr. Zodr we buiten die klsse vn mchtreeksen treden verndert dt en is de middelwrdestelling, met de uitsprk dt di erentiequotiënten ls F (b) b F () niet lleen ls benderingen vn de fgeleide vn F in of b kunnen worden gebruikt, mr zelf doorgns ook gelijk zijn n een fgeleide vn F in een x-wrde tussen en b, ls belngrijkste hulpmiddel om ogenschijnlijk evidente uitsprken ook werkelijk te bewijzen. Eerst integrlrekening dus. Uitgngspunt is de consensus dt de oppervlkte tussen de lijnen x =0,x =1,y =0,y =1inhetxy-vlk bij fsprk gelijk is n 1. Integrlrekening kn dn beginnen met de observtie dt de oppervlkte tussen de lijnen x =1,y =0endeprbooly = x 2 gelijk is n 1 3, bijvoorbeeld door nr een stfdigrm met stfjes ter breedte 1 N te kijken met N 2 IN steeds groter, en een rekenprtijtje wrin de som N 2 = N N N 6 (1.1)

12 voorkomt. In [HM, hoofdstuk 6] wordt met zulke sommen eerst de integrlrekening voor polynomen behndeld. In het bijzonder leidt dit tot de conclusie dt Z 1 x 2 dx = 1 (1.2) 3 0 zonder dt drtoe eerst over continuiteit vn de functie f met formulevoorschrift f(x) =x 2 hoeft te worden gesproken. Ook de functie F met formulevoorschrift F (x) = 1 3 x3 komt in dt verhl niet voor. De uitkomst verschijnt simpelweg vi de eerste coe cient in het rechterlid vn (1.1) Integrlen vi onder- en bovensommen In (1.2) stt in het linkerlid de integrl vn x =0totx =1vnx 2,dtis bij fsprk de oppervlkte vn de verzmeling A = {(x, y) : x, y 2 IR, 0 pple y pple f(x), pple x pple b}, (2.1) met in dit voorbeeld =0,b =1enf(x) =x 2. Voor, b 2 IR met <b en een functie f :[, b]! IR met f(x) 0voor pple x pple b, beoogt de wiskundige definitie vn Z b f(x) dx (2.2) wiskundig betekenis te geven n de oppervlkte A vn A in (2.1). Drtoe worden zogenmde ondersommen en bovensommen gedefinieerd, wrvn het evident is dt ze bij de beoogde definitie vn de oppervlkte vn A kleiner respectievelijk groter dn A zijn. Als vervolgens blijkt dt er precies é é n r e ëel getl is dt groter is dn lle ondersommen en kleiner dn lle bovensommen, dn is dit getl de enige kndidt voor A, en vervolgens wordt dit getl de integrl vn f over [, b] genoemd, i.e. (2.2). We bekijken deze npk eerst voor het gevl dt f :[, b]! IR een niet-dlend nietnegtieve functie is. Definitie 2.1. Als, b 2 IR met <ben f :[, b]! IR, dn heet f nietnegtief ls f(x) 0 voor lle x 2 [, b]; f heet niet-dlend ls voor lle x 1,x 2 2 [, b] deze implictie geldt x 1 pple x 2 =) f(x 1 ) pple f(x 2 ). Voor zo n niet-dlend niet-negtieve functie ligt het voor de hnd om de oppervlkte A vn A in (2.1) vn onder te benderen met sommen vn de 13

13 vorm wrin S = NX f(x k 1 )(x k x k 1 ) (2.3) k=1 = f(x 0 )(x 1 x 0 )+ + f(x N 1 )(x N x N 1 ), = x 0 pple x 1 pple pple x N = b met N 2 IN. (2.4) Zo n keuze vn in feite x 1,...,x N 1 noemen we een prtitie P vn [, b] en S is niets nders dn de som vn de oppervlkten vn de rechthoekjes 1 R k =[x k 1,x k ] [0,f(x k 1 )] (k =1,...,N). Hoe A verder ook gedefinieerd wordt, je kunt je zelf er mkkelijk vn overtuigen dt bij iedere zinvolle definitie vn A wel moet gelden dt S pple A. Teken mr een pltje met grfiek en rechthoekjes. Evenzo is NX S = f(x k )(x k x k 1 ) (2.5) k=1 de som vn de oppervlkten vn de rechthoekjes R k =[x k 1,x k ] [0,f(x k )] (k =1,...,N). en moet wel gelden dt S A. Voor een zinvolle definitie vn de oppervlkte vn A moet dus gelden dt S pple A pple S. (2.6) Slordig 2 gezegd, de gezochte wrde A zitten tussen de ondersom S en de bovensom S, en het verschil vn die twee is S S = NX (f(x k ) f(x k 1 )(x k x k 1 ). k=1 Als we nu de prtitie P in (2.4) equi-distnt kiezen, i.e. x k x k 1 = b N (k =1,...,N), 1 Zo n rechthoekje kn ook een lijnstuk of een punt zijn. 2 Het kn gebeuren dt S = A en/of A = S. 14

14 dn volgt S S = NX k=1 (f(x k ) f(x k 1 )) b N =(f(b) f())b N en dt kunnen we willekeurig klein mken door N groot te kiezen. Er kn dn dus mr één getl tussen lle ondersommen en bovensommen liggen. Met N =1, 2, 4, 8, is ook onmiddelijk duidelijk dt de bijbehorende ondersommen S 1, S 2, S 4, S 8,... een niet-dlende rij getllen vormen. Evenzo vormen de bovensommen S 1, S 2, S 4, S 8,... een niet-stijgende rij. Omdt S 1 pple S 2 pple S 4 pple S 8 pple pple S 8 pple S 4 pple S 2 pple S 1, zijn beide rijen begrensd. De kleinste bovengrens J vn deze rij ondersommen kn niet groter zijn dn een bovensom en is drmee een ondergrens voor lle bovensommen in deze rij bovensommen. Voor de grootste ondergrens J vn lle bovensommen geldt dus J J. Omdt J J pple S 2 n S 2 n =(f(b) f()) b 2 n en 2 n willekeurig groot gekozen kn worden volgt J J =0. Zodefiniëren we een uniek getl J = J = J dt vervolgens de notties Z Z b Z b J = f = f = f(x) dx [,b] krijgt, spreek uit: de integrl vn f over [, b], respectievelijk de integrl vn f of f(x) vn of x = tot b of x = b. In de nottie is x een dummy vribele, die door elke ndere letter vervngen kn worden, mr bij voorkeur niet door of b, en liever ook niet door d. Opgve 2.2. Voor niet-stijgende niet-negtieve functies is het verhl hierboven op detils n hetzelfde. Schrijf dt uit. Opgve 2.3. Niet-stijgende functies en niet-dlende functies worden monotone functies genoemd. Ook ls deze functies niet niet-negtief zijn en zowel positieve ls negtieve wrden mogen nnemen, definiëren eindige sommen ls in (2.3) en (2.5) vi N =2 n een uniek getl J dt de integrl vn f over [, b] genoemd wordt. Wt is de interprettie vn deze integrl in termen vn de gebieden in het x, y-vlk begrensd door x =, x = b, y =0en y = f(x)? Leg uit wrom. 15

15 Hierboven is de integrl (vn een monotone functie f) gedefinieerdn de hnd vn equi-distnte prtities vn het intervl [, b]. Hoe zit het met ndere prtities en de ordening vn onder- en bovensommen? Een vrg om lgemeen te stellen mr eerst nog even het voor specifieke gevl hierboven. Opgve 2.4. Neem weer het gevl dt f niet-negtief en niet-dlend is. Neem een prtitie P gedefinieerd door (2.4) en een prtitie Q gedefinieerd door = y 0 pple y 1 pple pple y M = b met M 2 IN. Neem bij P de bovensom S in (2.5) en bij Q de ondersom S = MX f(y l 1 )(y l y l 1 ) l=1 Lt zien dt S pple S. Opgve 2.5. Lt A en B twee niet-lege deelverzmelingen zijn vn IR met de eigenschp dt A pple B. Per definitie wil dit zeggen dt pple b voor lle 2 A en lle b 2 B. Bewijs dt er een getl J is met pple J pple b voor lle 2 A en lle b 2 B. We zeggen dt J tussen A en B ligt, i.e. A pple {J} pple B. Stelling 2.6. Lt f :[, b]! IR een monotone functie zijn. Dn bestt er precies één getl J dt tussen de verzmeling vn lle sommen vn de vorm (2.3) en de verzmeling lle sommen vn de vorm (2.5) ligt. Dit getl J is per definitie de integrl vn f(x) vn x = tot x = b, nottie J = Z b f(x) dx. Bewijs. Het werk is hierboven gedn. Zonder beperking der lgemeenheid nemen we f niet-dlend. De ondersommen vormen een niet-lege verzmeling A en de bovensommen een niet-lege verzmeling B. Er geldt dt A pple B, dus er bestt een J tussen A en B. Met equi-distnte prtities zien we dt er mr één zo n J kn zijn. Klr. Monotone functies zijn dus integreerbr. Merk op dt gegeven een prtitie P zols in (2.4), en iedere keuze vn zogenmde tussenpunten x k 1 pple k pple x k (k =1,...,N), 16

16 ook S = NX f( k )(x k x k 1 ) (2.7) k=1 een voor de hnd liggende bendering vn R b f(x) dx is, ook ls f :[, b]! IR niet monotoon is, mr we kunnen dn niet meer op een ntuurlijke mnier vn boven- of ondersommen spreken. Als de wrdenverzmeling {f(x) : pple x pple b} = [ x2[,b] {f(x)} echter begrensd is, i.e. ls er m, M 2 IR bestn zodt m pple f(x) pple M voor lle x 2 [, b], dn is op elke deelintervl [x k 1,x k ] de wrdenverzmeling ook begrensd en bestn er bijbehorende m k en M k met m pple m k pple M k pple M, zodt we S = NX X N m k (x k x k 1 ) en S = M k (x k x k 1 ) (2.8) k=1 k=1 weer ls onder- en bovensommen voor zowel (3.1) ls de te definiëren integrl R b f(x) dx kunnen introduceren. Bij dezelfde prtitie P geldt dn onmiddelijk dt S pple S. Wt hebben we nu nodig om het bewijs vn Stelling 2.6 over te schrijven? Twee dingen. Ten eerste, de verzmelingen vn ondersommen A en bovensommen B moeten weer voldoen n A pple B. Ten tweede, we moeten de uniciteit vn het getl J tussen A en B ntonen, en drtoe nemen we voor m k en M k ntuurlijk de grootst respectievelijk kleinst mogelijk wrde, teneinde het verschil S S = NX (M k m k )(x k x k 1 ) k=1 zo klein mogelijk te krijgen. We nemen dus M k = sup f =sup{f(x) : x k 1 pple x pple x k } en m k = inf f. [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] Duidelijk is nu dt bij het verfijnen vn de prtitie, i.e. extr punten toevoegen in (2.4), ondersommen lleen mr groter en bovensommen lleen mr kleiner kunnen worden. Als nu voor lle k =1,...,N geldt dt M k m k pple " (2.9) 17

17 dn volgt dt S S = NX (M k m k )(x k x k 1 ) pple "(b ), (2.10) k=1 en wt we dus nodig hebben voor uniciteit vn J is dt elke " > 0reliseerbr is in (2.9), middels een geschikte keuze vn (2.4). In dt gevl geldt voor iedere ndere J dt J J pple S S pple "(b ), en omdt " > 0dnzokleingekozenmgwordenlswemrwillenvolgt J = J. De volgende definitie brengt nu uitkomst. Het is de eerste keer dt we een uitsprk formuleren wrin voor lle " > 0ietsmoetgeldendtmet die " te mken heeft. Definitie 2.7. Als, b 2 IR met < b en f : [, b]! IR, dn heet f uniform continu ls er voor lle " > 0 een > 0 bestt zodnig dt voor lle x, y 2 [, b] geldt dt x y pple =) f(x)) f(y) pple ". Stelling 2.8. Lt f :[, b]! IR een uniform continue functie zijn. Dn bestt er precies één getl J dt tussen de verzmeling vn lle ondersommen en de verzmeling vn lle bovensommen ligt, wrbij we onder de onder- en bovensommen de sommen in (2.8) verstn. Dit getl J is per definitie de integrl vn f(x) vn x = tot x = b, nottie J = Z b f(x) dx. Bewijs. Wederom is vrijwel l het werk l gedn. De ondersommen vormen een niet-lege verzmeling A en de bovensommen een niet-lege verzmeling B. Met > 0bij" > 0zolsinDefinitie2.8volgt 3 (2.9) ls de prtitie P in (2.4) zo gekozen wordt dt x k x k 1 pple voor lle k =1,...,N. Als we nu ook nog lten zien dt A pple B zijn we klr. Neem drtoe twee prtities P ls in (2.4) en Q net ls in Opgve 2.4, en vorm de gemeenschppelijke verfijning = z 0 pple z 1 pple pple z K = b 3 G dit n, l volgt nstonds dt m k en M k ngenomen worden in [x k 1,x k ]. 18

18 door x 1 pple pple x N 1 en y 1 pple pple y M 1 op volgorde te zetten. Dus K 1=M 1+N 1eniederez i is een x k of een y l. Met m l = volgt nu dt inf f, m i = inf f pple sup f = M i, M k = sup f [y l 1,y l ] [z i 1,z i ] [z i 1,z i ] [x k 1,x k ] MX m l (y l y l 1 ) pple l=1 KX i=1 m l (z i z i 1 ) pple KX i=1 M l (z i z i 1 ) pple NX M k (x k x k 1 ). l=1 Wrom? Omdt de eerste ongelijkheid een ondersom betreft vn een prtitie en een verfijning drvn, en de derde ongelijkheid een bovensom vn een ndere prtitie nr dezelfde verfijning. De tweede ongelijkheid spreekt vnzelf. 3 Tussensommen We zijn begonnen met onder- en bovensommen om integrlen vn monotone functies zo mkkelijk mogelijk te behndelen. Voor continue functies f : [, b]! IR kunnen we net zo goed nr sommen vn de vorm S = NX f( k )(x k x k 1 ), met k 2 [x k 1,x k ] (3.1) k=1 vrij te kiezen voor elke k =1,...,N gegeven de prtitie (2.4). Vnzelfsprekend geldt S pple S pple S met S en S ls in (2.8) en het bewijs vn Stelling 2.8 herlezend is vi (2.10) duidelijk dt ook S J pple "(b ) lsx k x k 1 pple voor lle k =1,...,N. Het is een rdige en nuttige oefening om wederom vi een rij equidistnte prtities met N = 1, 2, 4, 8, 16,..., met voor k steeds k = x k gekozen, direct en zonder de ordening vn boven- en ondersommen te gebruiken te lten zien dt er een limiet wrde J bestt, en drn voor deze J op dezelfde conclusie uit te komen. Als f :[, b]! IR uniform continu is dn is er een unieke J 2 IR wrvoor voor iedere S ls in (3.1) geldt dt S J pple "(b ) mitsx k x k 1 pple voor lle k =1,...,N,wrbij > 0bij" > 0gekozeniszolsindedefinitievn uniforme continuiteit vn f :[, b]! IR. 19

19 4 Tweevoudige integrlen Integrlrekening voor continue functies f :[, b] [c, d]! IR met [, b] [c, d] een rechthoek in IR 2 gt met prtities P ls in (2.4) voor [, b] en c = y 0 pple y 1 pple pple y M = b met M 2 IN (4.1) voor [c, d]. Om kort te gn, met onder- en bovensommen, of met tussensommen vn de vorm NX k=1 MX f( k, l )(x k x k 1 )(y l y l 1 ), l=1 met tussenwrden k 2 [x k 1,x k ] en l 2 [y l 1,y l ] volgt het bestn vn één unieke J 2 IR die de integrl vn f over [, b] [c, d] genoemd wordt, met nottie (en stelling over het vrij mogen kiezen vn de integrtievolgorde) ZZ Z b Z d Z d Z b J = f(x, y)d(x, y) = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy, [,b] [c,d] c en de herhlde integrlen worden uitgewerkt met de technieken en regels voor gewone integrlen die hieronder nog n de orde komen. We mken dr hier nu verder geen woorden n vuil. Merk echter op dt we over meer verzmelingen zullen willen integreren dn over rechthoeken. c 5 Meer over continuiteit en limieten Uniform continue functies f :[, b]! IR zijn dus integreerbr met dezelfde npk ls monotone functies. Hoe weet je of een functie uniform continu is? Bijvoorbeeld ls je een schtting vn de vorm f(x) f(y) pple C x y (5.1) hebt voor lle x, y 2 [, b] met een vste > 0eneenvsteC>0. In het gevl dt 2 (0, 1) spreekt men vn uniform Hölder continu met exponent, en ls = 1 vn uniform Lipschitz continu. Het gevl > 1isnietheel relevnt 4. Uniforme continuiteit betreft functies op hun hele domein, hierboven steeds [, b]. Gewone continuiteit betreft het gedrg vn een functie in een gegeven punt. 4 Wrom niet? 20

20 Definitie 5.1. Als we in Definitie 2.7 de y vst nemen en gegeven iedere " > 0 ltijd een > 0 kunnen vinden wrvoor de implictie geldt met lle x 2 [, b], dn heet f continu in y en zeggen we dt of ook wel f(y) =lim x!y f(x), f(x)! f(y) ls x! y (steeds met x 2 [, b]). Als deze uitsprk geldt met uitsluiting vn x = y en de functiewrde f(y) vervngen door een L 2 IR, dn zeggen we dt L de limiet is vn f(x) voor x! y. In Definitie 5.1 kn [, b] vervngen worden door een willekeurig intervl I IR en in de uitsprk f(x)! L hoeft y dn niet per se in I te liggen. De voor de hnd liggende vrg is ntuurlijk of een f :[, b]! IR die continu is in elke y 2 [, b] ook uniform continu is op heel [, b]. Drtoe herformuleren we nu eerst de definitie vn f(x)! L ls x! y in termen vn convergente rijen. Definitie 5.2. Een door n 2 IN genummerde rij reële getllen x n heet convergent ls er een (limiet) x 2 IR bestt zodnig dt er voor lle " > 0 een N 2 IN bestt wrvoor de implictie n N =) x n x pple " geldt voor lle n 2 IN. Zonder woorden luidt deze uitsprk 9 x 2 IR 8" > 0 9N 2 IN 8n 2 IN : n N =) x n x pple ". We zeggen dt x n! x (ls n!1). Opgve 5.3. Lt f : I! IR en y, L 2 IR. De uitsprk f(x)! L ls x! y is equivlent met de uitsprk dt voor elke rij x n in I de implictie x n! y =) f(x n )! L geldt. Bewijs dit. Hint: noem de " in de uitsprk dt x n! y mr.nbhetkn gebeuren dt er geen rijen x n in I zijn met x n! y. In dt gevl zijn beide uitsprken zinloos wr voor elke L 2 IR. 21

21 Opgve 5.4. De enige mnier wrop f :[, b]! IR niet uniform continu kn zijn is ls er een " > 0 bestt wrvoor geen bijbehorende > 0 te vinden is wrmee de uitsprk in Definitie 2.7 geldt. Kies nu een willekeurige rij 0 < n! 0. Vooriedere n 2 IN zijn er dn x n,y n 2 [, b] met wel x n y n pple n mr niet f(x n ) f(y n ) pple ". Neem nu n dt y n! 2 [, b] en leidt een tegensprk f met de continuiteit vn f in. Stelling 5.5. Lt f :[, b]! IR continu zijn in elk punt vn [, b]. Dn is f :[, b]! IR uniform continu. Bewijs. Mk de rij y n in Opgve 5.4 convergent door voldoende elementen vn de rij weg te lten (met ndere woorden, neem een deelrij) zodnig dt de rij convergent wordt. Gebruik hiertoe de stelling die zegt dt iedere begrensde rij in IR een convergente deelrij heeft. Noem de limiet, lt zien dt 2 [, b] en het werk is gedn. Opgve 5.6. Lt f :[, b]! IR continu zijn in elk punt vn [, b]. Bewijs dt f een mximum M en een minimum m op [, b] heeft. Hint: omdt f uniform continu is op [, b], isf begrensd op [, b] (wrom?). Lt M =sup{f(x) : pple x pple b}. Dn bestt er een rij x n in [, b] met f(x n )! M. Neem drvn een convergente deelrij. 6 Integreerbr: regels en voorbeelden We weten nu dt voor monotone functies en continue functies f :[, b]! IR met behulp vn onder- en bovensommen een ondubbelzinnige betekenis kn worden gegeven n Z b f(x) dx. Voor iedere begrensde functie kunnen we bij een prtitie (2.4) M k = sup f en m k = inf f [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] definiëren en de bijbehorende onder- en bovensom. Net ls in het bewijs vn Stelling 2.8 volgt nu dt de verzmeling vn lle ondersommen A en de verzmeling vn lle bovensommen B voldoen n A pple B. Op grond vn Opgve 2.5 is er dus tenminste één getl J dt tussen A en B ligt. 22

22 Definitie 6.1. Een begrensde functie f :[, b]! IR heet Riemnn integreerbr ls er precies één getl J tussen de verzmeling vn lle ondersommen en de verzmeling vn lle bovensommen ligt. In dt gevl is per definitie J = Z b f(x) dx. Opgve 6.2. Bewijs dt met M k =sup{f(x) : x k 1 <x<x k } en m k =inf{f(x) : x k 1 <x<x k } dezelfde begrensde functies integreerbr worden ls in Definitie 6.1. Opgve 6.3. Bewijs dt de functie f gedefinieerd door f(x) =1voor lle x 2 IQ en f(x) =0voor lle x 62 IQ niet integreerbr is op [0, 1]. Opgve 6.4. Bewijs dt de functie f gedefinieerd door f(0) = 0 en f(x) =sin 1 x voor x 6= 0integreerbr is op [0, 1]. Opgve 6.5. Iedere begrensde integreerbre functie f :[, b]! IR die op de punten vn een prtitie = x 0 <x 1 < <x N = b met N 2 IN wordt vernderd door g(x k )=c k te stellen voor k =0,...,N voor gegeven wrden c k 2 IR,eng(x) =f(x) voor lle x 2 [, b] die niet to P behoren, definieert een begrensde integreerbre functie g :[, b]! IR met R b f(x) dx = R b g(x) dx. Bewijs dit. Opgve 6.6. Iedere begrensde functie f :[, b]! IR wrvoor er een prtitie = x 0 <x 1 < <x N = b met N 2 IN bestt met f monotoon of continu op elk open intervl (x k Bewijs dit. 1,x k ) is integreerbr. 23

23 Definitie 6.7. Als <bdn is Z b f(x) dx = Z b f(x) dx, vermits f :[b, ]! IR begrensd en integreerbr is. Opgve 6.8. Lt f : [, b]! IR begrensd zijn en c 2 (, b). Bewijsdtf integreerbr is op [, b] dn en slechts dn ls f integreerbr is op zowel [, c] ls [c, b], en dt in dt gevl Z b f(x) dx = Z c f(x) dx + Z b c f(x) dx. Opgve 6.9. De verzmeling vn begrensde integreerbre functies f :[, b]! IR is een lineire vectorruimte over IR. Bewijs dit, en ook dt f! Z b f(x) dx een lineire fbeelding is vn deze vectorruimte (hier RI([, b]) genmd) nr IR. Opgve Als f 2 RI([, b]) dn is ook x! f(x) begrensd en integreerbr op [, b] en geldt Z b f(x) dx pple Z b f(x) dx. Bewijs dit en geef een voorbeeld vn een begrensde functie f :[, b]! IR die niet integreerbr is wrvoor x! f(x) het wel is. Smenvttend: begrensde functies f : [, b]! IR kunnen vi ondersommen en bovensommen die willekeurig dicht bij elkr liggen integreerbr zijn met integrl R b f(x) dx. Zulke integreerbre functies vormen een lineire vectorruimte over IR, hier genoteerd met RI([, b]). Deze vectorruimte bevt lle (uniform) continue functies f :[, b]! IR, die ook een lineire vectorruimte over IR vormen, doorgns met C([, b]) ngeduid. Ook bevt RI([, b]) lle monotone functies f :[, b]! IR mr die vormen geen vectorruimte. De vectorruimte RI([, b]) is zelf een deelruimte vn lle functies f :[, b]! IR, die met de bewerkingen gedefinieerd door (f + g)(x) =f(x)+g(x), ( f)(x) = f(x) 24

24 voor lle f,g :[, b]! IR, lle 2 IR en lle x 2 [, b], een lineire vectorruimte over IR vormen wrbinnen de integrltheorie hierboven behndeld zich fspeelt. 7 Het verbnd met en di erentilrekening We stellen ons nu de vrg wt voor eigenschppen de functie F :[, b]! IR gedefinieerd door F (x) = Z x f(s) ds (7.1) heeft ls f 2 RI([, b]). We schrijven drtoe, voor een vste x 0 2 [, b] en een vrible h, F (x 0 + h) = Z x0 +h Z x0 f(s) ds = f(s) ds + {z } F (x 0 ) Z x0 +h x 0 f(s) ds. Als M een bovengrens is voor de wrden die f(x) nneemt voor x 2 [, b] dn geldt voor de tweede term dt Z x0 +h x 0 f(s) ds pple M h en dus is F uniform Lipschitz continu op [, b], wnt met x = x 0 + h en y = x 0 volgt 8x, y 2 [, b] : F (x) F (y) pple M x y. Dit scherpen we n door F (x 0 + h) =F (x 0 )+ Z x0 +h Z x0 +h = F (x 0 )+ f(x 0 ) ds + x 0 te schrijven, zo dt met x 0 (f(x 0 )+f(s) f(x 0 )) ds Z x0 +h x 0 (f(s) f(x 0 )) ds volgt dt R(x 0,h)= Z x0 +h x 0 (f(s) f(x 0 )) ds, (7.2) F (x 0 + h) =F (x 0 )+f(x 0 )h + R(x 0,h). (7.3) 25

25 Hoe groot kn de restterm (7.2) hier zijn? Als f continu is in x 0,dnis er gegeven iedere " > 0een > 0 zodnig dt f(s) f(x 0 ) pple " ls s x 0 pple. Voor de s in de integrnd is dit ltste zeker het gevl ls h pple driehoeksongelijkheid voor integrlen volgt dn dt en met de R(x 0,h) pple " h ls h pple en x 0 + h 2 [, b]. (7.4) Deze uitsprk wordt genoteerd ls R(x 0,h)=o(h) ls h! 0, spreek uit: R(x 0,h)iskleineovnh voor h gt nr nul. Definitie 7.1. Een functie F :[, b]! IR heet di erentieerbr in x 0 2 [, b] ls er een getl f(x 0 ) 2 IR bestt zodnig dt (7.3) geldt met een restterm R(x 0,h) die voor elke " > 0 voldoet n (7.4) ls > 0 drtoe klein genoeg gekozen wordt. Als x 0 = respectievelijk x 0 = b dn spreken we over respectievelijk rechts- en linksdi erentieerbr. In deze definitie kn [, b] vervngen worden door een willekeurig intervl I IR, wrbij in (7.4) dn ook I voor [, b] gelezen moet worden. De wrde f(x 0 ) heet de fgeleide vn F in x 0,nottie F 0 (x 0 )=f(x 0 ). De fgeleide kn voor zo n vste x 0 gezien worden ls een lineire fbeelding 1 vn IR nr IR, gegeven door h! F 0 (x 0 )h. (7.5) Als F in elke x 0 2 [, b] di erentieerbr is met fgeleide F 0 (x 0 )=f(x 0 )dn is drmee een functie f :[, b]! IR gedefinieerd die de fgeleide functie vn F wordt genoemd. De functie F heet dn een primitieve functie voor f (ook wel: nti-fgeleide vn). Met (7.1) hebben we een belngrijk voorbeeld hierboven l gezien en dt is meteen een hoofdstelling vn de integrlrekening. Stelling 7.2. Definieer voor f 2 RI([, b]) de functie F 2 C([, b]) door F (x) = Z x f(s) ds. Dn is F di erentieerbr in elke x 0 2 [, b] wr f continu is, met fgeleide F 0 (x 0 )=f(x 0 ). 1 Voor F : X! IR wordt dit strks F 0 (x 0 ):X! IR in Sectie

26 8 Integrlen vi primitieve functies Met I =[, b] verwijst Definitie 7.1 nr het voorbeeld gedefinieerd door (7.1), wrin F di erentieerbr in elk punt x 0 2 [, b] wrf continu is. Dt is het gevl voor iedere x 0 2 [, b] lsf 2 C([, b]). In het gevl dt een functie F : [, b]! IR de eigenschp heeft dt F 0 2 C([, b]) concluderen we nu dt F (x) =F ()+ Z x F 0 (s) ds. (8.1) Immers, met f(x) =F 0 (x) isdeintegrlinhetrechterliddeformule(7.1) wrmee we begonnen zijn. Links en rechts in (8.1) stn twee functies die ls fgeleide F 0 = f hebben. De functie x! F (x) Z x F 0 (s) ds heeft dus ls fgeleide de nulfunctie en is drmee vnwege Stelling 14.1 toegepst op iedere [ã, b] [, b] constnt op [, b]. Door x =0intevullen zien we dt de constnte F () is. Ditbewijsteentweedehoofdstellingvn de integrlrekening: Stelling 8.1. Voor f 2 C([, b]) geldt dt Z b f(x) dx = F (b) ls F een primitieve functie is vn f. F (), De formule in Stelling 8.1 wordt ook wel geschreven ls Z df = F (b) F (), wrbij [,b] df = F 0 (x)dx = f(x)dx een formele nottie is die lter in de vectorclculus nog (lgemenere) betekenis zl krijgen. De uitdrukking f(x)dx heet een 1-vorm, F = F (x) heeteen 0-vorm, en een 1-vorm kn de d vn een 0-vorm zijn. Opgve 8.2. Als I een intervl is en f : I! IR de eigenschp heeft dt f 2 RI([, b]) voor elk gesloten intervl [, b] I, dnvrieert R b f continu met en b. Leg nog een keer uit wrom. 27

27 Opgve 8.3. De nnme in Stelling 8.1 kn ook geformuleerd worden ls F : [, b]! IR is continu di erentieerbr, i.e. F :[, b]! IR is di erentieerbr en x! F 0 (x) definieert een continue functie op [, b]. Herschrijfdeuitsprk vi de substitie ls F (b) F () = Z 1 0 F (b) F () = Z b F 0 (x) dx x =(1 t) + tb = + t(b ) F 0 ((1 t) + tb)(b ) dt = Z 1 0 F 0 ((1 t) + tb) dt (b ) (8.2) en bewijs deze uitsprk rechtstreeks vnuit de definities, zonder het regeltje dx =(b )dt te gebruiken dus. De formule (8.2) zl nog terugkomen. 9 Impliciete functies Als voor een functie IR 2 = {(x, y) : x, y 2 IR} F! IR vn twee reële vribelen geldt dt F (0, 0) = 0, dn heeft de vergelijking F (x, y) =0 in het lgemeen nog meer oplossingen in de buurt vn (x, y) =(0, 0). Een stndrdmnier om deze oplossingen vinden is Newton s methode, wrbij we nnemen dt voor vste x in de buurt vn x =0defunctie y! F (x, y) di erentieerbr is in de buurt vn y =0. Defgeleidenoterenwenuniet met F 0 (x, y) mrmetf y (x, y), subscript y voor de fgeleide nr y. Neem voor zo n vste x in (de strtwrde) y 0 =0delineirebendering vn F (x, y) lsfunctievny rond y = y 0, stel niet F (x, y) mrdielineire bendering gelijk n 0, los druit y = y 1 op, en neem y 1 ls nieuwe strtwrde om y 2 te vinden, en g zo door. Als F y (x, y n 1 )inverteerbr 2 is ls fbeelding h! F y (x, y n 1 )h 2 Hier hetzelfde ls F y (x, y n 1 ) 6= 0 nnemen zodt (F y (x, y n 1 )) 1 = 1 F y(x,y n 1). 28

28 vn IR nr IR geeft dit een volgende y n gedefinieerd door Voor n =1, 2,... geldt dn dt F (x, y n 1 )+F y (x, y n 1 )(y n y n 1 )=0. y n = y n 1 (F y (x, y n 1 )) 1 F (x, y n 1 ) beginnend met y 0 =0, (9.1) en in het lgemeen 3 breekt dit proces niet f. Als y n vervolgens convergeert, en de x-fhnkelijke limiet y een zogenmde impliciete functie x! y = f(x) definieert wrvoor geldt dt F (x, y(x)) = 0, dn kn drn de vrg gesteld worden onder welke voorwrden f continu of di erentieerbr is, eerst in x =0bijvoorbeeld. De ls hierboven is een vrgteken. Een rechtstreeks bewijs vn (snelle) convergentie vn de rij y n is mogelijk vi een schtting vn de vorm y n+1 y n pple M y n y n 1 2, fgeleid uit o.. een nnme op de tweede fgeleide vn y! F (x, y), mr voor het ngepste schem y n = y n 1 (F y (0, 0)) 1 F (x, y n 1 ) (9.2) kn het zonder zo n nnme en zijn, behlve een bovengrens op F (x, 0, lleen de inverteerbrheid vn F y (0, 0) en de continuiteit 4 vn (x, y)! F y (x, y) in (x, y) = (0, 0) vereist om in de buurt vn (0, 0) lle oplossingen vn F (x, y) =0tevinden,vi(9.2)lslimietvnderijy n, beginnende met y 0 =0 en y 1 = (F y (0, 0)) 1 F (x, 0). Merk op dt ls y 1 = y 0 =0meteenookvolgtdt0=y 0 = y 1 = y 2 = en y = y 0 =0zelfldeoplossingisvnF (x, y) =0. 3 Probeer het mr met een voorbeeldje. 4 Nog niet gedefinieerd wt dt is, mr dt kun je rden wellicht. 29

29 We spellen nu eerst uit hoe convergentie vn de rij y n bewezen kn worden, en nemen drbij n dt y 1 6= y 0, wnt nders zijn we l klr. De strtegie is om te lten zien dt de x-fhnkelijke fbeelding gedefinieerd door y! y (F y (0, 0)) 1 F (x, y), (9.3) voor x in een geschikt gekozen x-intervl, op een geschikt gekozen mr niet vn x fhnkelijk y-intervl precies één y op zich zelf fbeeldt. Zo n y wordt een vst punt vn genoemd en, omdt (F y (0, 0)) 1 ls inverse vn F y (0, 0)) zelf inverteerbr is, zijn vste punten vn y! (x, y) preciesdeoplossingen vn F (x, y) =0. We lten nu eerst zien dt voldoet n een schtting vn de vorm (x, y) (x, ỹ) pple y ỹ (9.4) met < 1. Een fbeelding met deze eigenschp wordt strict contrctief genoemd op het domein wr deze schtting geldt. Gegeven een nnme op de grootte vn F (x, 0) in de buurt vn x =0moetditdnvoldoendezijn voor (minder snelle) convergentie vn de rij y n vi een schtting vn de vorm y n+1 y n pple y n y n 1. (9.5) Om een schtting ls (9.4) te vinden schrijven we (x, y) (x, ỹ) =(F y (0, 0)) 1 (F y (0, 0)(y ỹ) (F (x, y) F (x, ỹ)) en pssen (8.2), voor vste x, toe op de functie y! F (x, y) met =ỹ en b = ỹ. We schrijven dus het tweede verschil in de tweede fctor vn het rechterlid hierboven ls F (x, y) F (x, ỹ) = Z 1 wrmee (x, y) (x, ỹ) herschrijftls 0 F y (x, ty +(1 t)ỹ)(y ỹ) dt, Z 1 (x, y) (x, ỹ) =(F y (0, 0)) 1 (F y (0, 0) F y (x, ty +(1 t)ỹ))(y ỹ) dt, 0 met de term F y (0, 0)(y ỹ) binnendeintegrlgebrchtendenieuweintegrnd gefctoriseerd. Tot hier is lleen de continuiteit voor vste x vn y! F y (x, y) gebruikt, op een nog te kiezen (x, y)-domein dt nu wordt gekozen vi de continuiteit vn y! F y (x, y) in(0, 0), en drmee het bestn vn F y (x, y) voor(x, y) in 30

30 de buurt vn (0, 0). Om precies te zijn, we nemen nu n dt er voor iedere > 0een" > 0iswrmeevoorllex en y in IR geldt dt met x pple " en y pple " =) F y (0, 0) F y (x, y) pple, en in het bijzonder is dus ngenomen dt y! F (x, y) voorllex met x pple " di erentieerbr in elke y met y pple ". We gebruiken hier i.p.v. de ", -definitie een, "-definitie vn continuiteit omdt (uiteindelijk) het vste punt y = f(x) vn (strks) ook nog moet voldoen n y pple " voor x met x pple om f continu in x =0tekrijgen. Voor x, y, ỹ met x pple ", y pple " en ỹ pple " volgt voor de eerste fctor vn de integrnd nu dt (F y (0, 0) F y (x, ty +(1 t)ỹ))(y ỹ) pple y ỹ omdt t 2 [0, 1], en drmee dt (x, y) (x, ỹ) pple M y ỹ met M = (F y (0, 0)) 1 > 0, i.e. (9.5) met = M, zolng tenminste y n pple ". In dt gevl volgt met herhld toepssen vn (9.5) dt ook y n+1 = y n+1 y 0 pple y n+1 y n + + y 1 y 0 pple ( n + +1) y 1 y 0 < y 1 y 0 1 ls tenminste < 1enook pple M F (x, 0) 1 pple ", F (x, 0) pple " M (1 ) = " M (1 M ) ="( 1 M )= ". (9.6) De ltste ongelijkheid wordt geforceerd door bij deze positieve " de bijbehorende > 0 vn de continuiteit vn x! F (x, 0) in x =0tenemenenx te beperken tot x pple. Kies nu = 0 < 1 vst en lt zols hierboven " M 0 de bijbehorende " zijn, " 0 de bijbehorende " en 0 de dr weer bijbehorende vn de continuiteit vn x! F (x, 0) in x = 0. Neem voor 0 het minimum vn " 0 en 0. De (nnmen voor de) schttingen hierboven zijn hieronder lleen nog nodig voor x met x pple 0 en y met y pple " 0. Voor iedere x met x pple 0 volgt dn dt de x-fhnkelijke som 1X (y n+1 y n ) n=0 31

31 bsoluut convergent is, en dus ook gewoon convergent. Mr dt betekent dt de x-fhnkelijke rij y n, gedefinieerd door y 0 =0en(9.2)voorn 2 IN, convergeert nr een limiet y = f(x) met y pple " 0. Deze y nu moet de unieke oplossing vn F (x, y) =0in B "0 = {y 2 IR : y pple " 0 } zijn. Merk drtoe nog een keer op dt F (x, y) =0vi(9.3)equivlentis met y = (x, y) omdt(f (0, 0)) 1 ls inverse vn F (0, 0) inverteerbr is. Omdt y! (x, y) op B "0 voor lle x met x pple 0 uniform Lipschitz continu is met Lipschitz constnte L = M 0 < 1iservooriederezulkex hoogstens é é n z o n y 2 B "0 met y = (x, y). Voor de limiet y = f(x) geldtvnwegede continuiteit vn y! (x, y) dt y = lim n!1 y n+1 = lim n!1 (x, y n )= (x, y). We hebben met de grfiek vn f op B 0 nu dus precies lle oplossingen vn (F (x, y) =0in B 0 B "0 te pkken: {(x, y) 2 B 0 B "0 : F (x, y) =0} = {(x, y) 2 B 0 B "0 : y = f(x)}, (9.7) Omdt bovenstnde constructie voor elke 0 < " < " 0 met bijbehorende " en kn worden herhld hebben we nu ook meteen dt x! f(x) continu is, met een -keuze bij " die direct gerelteerd is n die voor x! F (x, 0) vi (9.6) en een vste keuze = 0! Beter nog, de formule direct boven (9.6) geeft vi de geslgde limietovergng y n+1! y = f(x) dt f(x) pple M F (x, 0) 1 = M 1 M 0 F (x, 0). Als x! F x (x, 0) continu is de buurt vn x = 0, dn volgt, wederom met (8.2), dt F (x, 0) = F (x, 0) F (0, 0) = Z 1 0 F x (tx, 0)xdt voor x in diezelfde buurt. In dt gevl hebben we voor x pple 1 F (x, 0) pple Z 1 0 F x (tx, 0 dt x pple L x met L> F x (0, 0) nr keuze, ls 1 > 0gekozenisbij" 1 = L 1 F x (0, 0) vi de continuiteit vn x! F x (x, 0) in x =0. Ditgeeft f(x) pple ML 1 1 M 0 x = L x ls x pple 1. (9.8) 32

32 Kies nu een eventueel kleinere 1 > 0met" 1 = L 1 pple " 0.Dnis {(x, y) 2 B 1 B "1 : F (x, y) =0} = {(x, y) 2 B 1 B "1 : y = f(x)} {(x, y) 2 B 1 B "1 : 1 y pple " 1 x }. Is f ook di erentieerbr in x =0? Weintroducerendrtoededefinitie vn di erentieerbrheid vn (x, y)! F (x, y) in (x, y) =(0, 0), die ntuurlijk de di erentieerbrheid vn moet impliceren, en nemen n dt met x! F (x, 0) en y! F (0,y) F (x, y) =F (0, 0) + F x (0, 0)x + F y (0, 0)y + R(x, y), R(x, y) x + y! 0 ls x + y! 0. Met y = f(x) enf (0, 0) = 0 geeft dit en dus dt wrin we 0=F (x, f(x)) = F x (0, 0)x + F y (0, 0)f(x)+R(x, f(x)), f(x) = (F y (0, 0)) 1 F x (0, 0)x (F y (0, 0)) 1 R(x, f(x)), herkennen, mr drvoor moet de restterm f 0 (0) = (F y (0, 0)) 1 F x (0, 0) (9.9) r(x) = (F y (0, 0)) 1 R(x, f(x)) de eigenschp hebben dt r(x) =o( x ) lsx! 0. Omdt f(x) pple L x, volgt r(x) x = R(x, f(x)) f(x) + x x + f(x) x R(x, f(x)) pple (L +1) f(x) + x! 0 ls x! 0. Dus f is inderdd di erentieerbr in x =0,metfgeleide gegeven door (9.9). 33

33 Om ook f 0 (x) = (F y (x, f(x))) 1 F x (x, f(x)) (9.10) te concluderen beschouwen we het rechterlid vn (9.9) ls functie vn x, op de buurt vn x =0gedefinieerddoor x pple 2, met 0 < 2 pple 1 nog te kiezen, en wel zo dt F y (x, f(x)) inverteerbr is voor lle x met x pple 2. Om te concluderen dt f continu di erentieerbr is op B 2 = {x 2 IR : x pple 2 } eisen we nu sowieso dt F x en F y continu zijn op B 2 B L 2. Drmee zijn x! F x (x, f(x)) en x! F y (x, f(x)) continu op B 2 en gt het lleen nog om het bestn en continuiteit vn de smengestelde fbeelding x! F y (x, f(x)) = A! A 1 =(F y (x, f(x))) 1, dt we nu vi een op het oog wt overdreven studie vn A! A 1 (9.11) lten zien. Alvorens we dt doen merken we op dt in elke x = x 0 wr de inverse vn F y (x 0,f(x 0 )) bestt, het bewijs hierboven voor (x 0,y 0 )=(0, 0) kn worden overgeschreven door x x 0 en y f(x 0 )lsnieuwex en y te nemen, en (9.10) te concluderen voor x = x 0. Er volgt zo dus inderdd dt f continu di erentieerbr is op de nog te vinden B 2 = {x 2 IR : x pple 2 }, met fgeleide gegeven door (9.10). Wt (9.11) betreft, ls A 0 in het domein vn deze fbeelding zit, dn is en dus met Als B < 1dnis en drmee 1X A 1 =( B n )A0 1 = n=0 A = A 0 + A A 0 = A 0 + H = A 0 (1 + A 1 0 H), A 1 =(1+A0 1 H) 1 A0 1 =(1 B) 1 A0 1 B = A 1 0 H = A 1 0 (A A 0 )=A 1 0 (A 0 A). (1 B) 1 =1+B + B 2 BB 3 + = 1X n=0 (B n A 1 0 )= 34 1X n=0 1X B n, n=0 ((A 1 0 (A 0 A)) n A 1 0 ) (9.12)

34 Omdt is B = A 1 0 (A 0 A) pple A 1 0 A 0 A A 0 A < 1 A 1 0 (9.13) nu een voldoende voorwrde voor het bestn vn (9.12) ls mchtreeks, wrbij geldt dt pple A 1 pple 1X n=0 1X n=0 (A 1 0 (A 0 A)) n A 1 0 pple A 1 0 (A 0 A) n A 1 0 = 1X n=0 A A 1 (A 1 0 (A 0 A)) n A (A 0 A) pple A 1 A0 1 A 0 A). In deze schttingen hebben we systemtisch niet AB = A B mr AB pple A B gebruikt. De belngrijkste conclusie is dt (9.11) gedefinieerd is voor A die voldoet n (9.13). Dus B = {A :IR! IR lineir : A 0 A < 1 A 1 0 } zit in het domein vn (9.12). Continuiteit in A 0 volgt met vergelijkbre lgebr uit en de schtting A 1 A0 1 =(1 B) 1 A0 1 A0 1 =((1 B) 1 1)A0 1 =(1 B) 1 (1 (1 B))A 1 0 =(1 B) 1 BA 1 0 = A 1 A 1 0 pple 10 Di erentieerbre functies: de rekenregels De rekenregels voor de fgeleide functies volgen eenvoudig uit de definitie met lineire benderingen, en die lineire benderingen worden vk met x x 0 i.p.v. h geschreven. Opgve Schrijf voor F : I! IR en x 0 2 I de expnsie (7.3) ls F (x) =F (x 0 )+F 0 (x 0 )(x x 0 )+R 0 (x). 35

35 Herformuleer de conditie op de restterm R 0 (x) die zegt dt F di erentieerbr is in x 0 met fgeleide F 0 (x 0 ). Lt zien dt die conditie ook impliceert dt F continu is in x 0. Als eerste voorbeeld vn een rekenregel die we rechtstreeks uit de lineire bendering hlen bekijken we de functie x! 1 F (x), die ntuurlijk wel eerst gedefinieerd moet zijn. Opgve Neem in Opgve 10.1 n dt I een open intervl is en dt F (x 0 ) 6= 0 met F continu in x 0.Bewijsdt x! 1 F (x) bestt op een intervl [, b] I met <x 0 <ben continu is in x 0. Hint: gebruik eerst de definitie vn continuiteit met " = 1 2 F (x 0) om het intervl [, b] te mken. In het bijzonder zegt deze opgve dt iedere F 2 C([, b]) die geen nulpunten geeft een omgekeerde functie definieert die ook in C([, b]) zit. Opgve Neem in Opgve 10.2 n dt F di erentieerbr is in x 0. Bewijs dt x! 1 F (x) di erentieerbr is in x 0 met fgeleide F 0 (x 0 ) F (x 0 ) 2 door 1 F (x) = 1 F (x 0 ) + F (x 0) F (x) F (x)f (x 0 ) uit werken met behulp vn de expnsie in Opgve Opgve Dezelfde vrg ls in Opgve 10.3 mr nu voor Wt verndert er? x! 1 F (x). 36

36 Opgve Schrijf voor F : I! IR en x 0 2 I de expnsie (7.3) ls in Opgve 10.1, en gebruik eenzelfde expnsie G(x) =G(x 0 )+G 0 (x 0 )(x x 0 )+S 0 (x). voor G : I! IR. Vermenigvuldig beide expnsies, werk uit ls F (x)g(x) =F (x 0 )G(x 0 )+(F 0 (x 0 )G(x 0 )+F (x 0 )G 0 (x 0 ))(x x 0 )+T 0 (x), en bewijs dt met F en G ook x! F (x)g(x) di erentieerbr is in x 0. Hint: de fgeleide in x 0 leest zich onmiddelijk f, lt zien dt de restterm de juiste eigenschppen heeft. De regel voor de fgeleide vn F (x)g(x) heetderegelvnleibnizofook wel de produktregel: in elke x wr F en G di erentieerbr zijn is ook het produkt vn F en G di erentieerbr met (F (x)g(x)) 0 = F 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x). (10.1) Opgve Dezelfde (gp) vrg ls in Opgve 10.5 voor x! F (x)+g(x). Opgve Schrijf je bewijzen nog een keer over met x x 0 vervngen door h en zie nog een keer goed hoe in de produktregel de twee lineire benderingen F (x 0 )+F 0 (x 0 )h en G(x 0 )+G 0 (x 0 )h met elkr vermenigvuldigd worden tot F (x 0 )+G(x 0 )+(F 0 (x 0 )G(x 0 )+F (x 0 )G 0 (x 0 ))h + o(h). Iets lstiger mr ook niet echt moeilijk is de rekenregel voor functies vn de vorm x! G(F (x)). Deze regel stt bekend ls de kettingregel. We beperken ons nu tot open intervllen ls definitiegebieden. Opgve Neem F :(, b)! IR met beeld in (c, d) en G :(c, d)! IR met F di erentieerbr in x 0 2 (, b) en G di erentieerbr in y 0 = F (x 0 ) 2 (c, d). Vul de expnsie voor y = F (x) in in de expnsie G(y) =G(y 0 )+G 0 (y 0 )(y y 0 )+S 0 (y). 37

37 en bewijs dt met F di erentieerbr in x 0 en G in y 0 = F (x 0 ) ook x! G(F (x)) di erentieerbr is in x 0. Hint: de fgeleide in x 0 leest zich f uit G(F (x)) = G(y) =G(y 0 )+G 0 (y 0 )(F (x F (x 0 )) + S 0 (y) = G(y 0 )+G 0 (y 0 )F 0 (x 0 )(x x 0 )+G 0 (y 0 )R 0 (x)+s 0 (y) Lt zien zien dt ook hier de (deels nog uit te werken) restterm de juiste eigenschppen heeft. Opgve Schrijf de lineire benderingen ook met h = x x 0 en k = y y 0 ls F (x 0 )+F 0 (x 0 )h en G(y 0 )+G 0 (y 0 )k en zie nog een keer goed hoe in de lineire bendering G(F (x 0 + h)) = G(F (x 0 )) + G 0 (y 0 )F 0 (x 0 )h + o(h) de term met h verschijnt door k = F 0 (x 0 )h te substitueren in G 0 (y 0 )k. Anders gezegd, verifieer dt h F 0 (x 0 )! F 0 (x 0 )h = k G0 (y 0 )! G 0 (y 0 )k = G 0 (y 0 )F 0 (x 0 )h. (10.2) De coe cient G 0 (y 0 )F 0 (x 0 ) vn h = x x 0 lezen we f ls de fgeleide vn G(F (x)) in x 0. Deze regel heet de kettingregel. Met x = x 0 + h is h een coordint om het gedrg vn y = F (x) endusook vn k = F (x) F (x 0 )rond(h, k) =(0, 0) te beschrijven. In de kettingregel hebben we met y = F (x) enz = G(y) voor dus de grfieken k = F (x) F (x 0 ) en l = G(F (x)) G(F (x 0 )) k = F 0 (x 0 )h + o(h) en l = G 0 (y 0 )k + o(k) =G 0 (y 0 )F 0 (x 0 )h + o(h) in het h, k-vlk, het k, l-vlk en het h, l-vlk rond respectievelijk (h, k) = (0, 0), (k, l) =(0, 0) en (h, l) =(0, 0). Opgve Leg uit wrom Opgve 10.3 chterf overbodig ws. Gebruik de vorige opgven om de eveneens overbodige regel voor de fgeleide vn in x 0 te behndelen ls F (x 0 ) 6= 0. x! G(x) F (x) 38

38 Opgve Di erentieerbr in x 0 impliceert continu in x 0 en drmee dt lle nieuwe functies hierboven onder de nnmen ook continu zijn in x 0.Drvoorws continuiteit vn de ingrediënten ntuurlijk voldoende. Formuleer en bewijs de voor de hnd liggende uitsprken over continuiteit. 11 Integrlen met prmeters Over toepssing kettingregel op Z b(t) (t) f(t, x) dx in combintie met wt we weten over 2-voudige integrlen. 12 Mooie voorbeelden: mchtreeksen We doen even een voorbeeldje om te lten zien dt we de nlyse wel zo grg lgebrïsch houden. Neem I =[ r, r] met r>0, F (x) =x 7, vervng x 0 door, x 0 + h door x en mk voor dit gevl (7.3) expliciet middels x 7 = (x )+(x 5 +2x x x x+6 5 )(x ) 2, (12.1) wrin we de fgeleide vn x 7 in x = flezen ls de coë cient vn h = x. Met x in plts vn h is de lgebr hier een stuk ngenmer, voorl omdt x 7 7 =(x )(x 6 + x x 4 + x 3 x x x + 6 ), en de ltste fctor met x = l de 7 6 geeft, wrn met een strtdeling het verschil vn die fctor met 7 6 is te schrijven ls (x ) mldegrote fctor in het rechterlid vn (12.1). Leerzme lgebr met een mooie uitkomst wrmee je meteen een ptroon in ziet. Opgve Voor n 2 IN, r>0 en x, 2 [ r, r] geldt dt x n = n + n n 1 (x )+R,n (x) met R,n (x) pple n(n 1) r n 2 (x ) 2. 2 Bewijs dit. Hint: n = 1 2n(n 1). 39

39 We zien voor n 2dtx n in fgeleide n n 1 heeft omdt met de expliciete resttermschtting R(, h) pple ( + h) n = n + n n 1 h + R(, h), n(n 1) r n 2 h 2 pple " h voor h pple = 2 2" n(n 1)r n 2. Merk op dt voor n =0enn =1dezeschttingminderrelevnt(enindeze vorm onjuist) is omdt in die twee gevllen R(, h) =0voorlleh. Voor een polynoom P (x) = P k n=0 nx n met grd k 2gthetnet zo. Vermenigvuldig links en rechts in Opgve 12.1 met n en sommeer. Het resultt is wrin we P (x) = flezen omdt ls kx n x n = n=0 kx n R,n (x) pple n=2 kx n n n 1 (x )+ n=1 P 0 () = n=2 x pple met kx n n n 1 n=1 kx n R,n (x), n=2 kx n(n 1) n r n 2 (x ) 2 pple " x 2 kx n(n 1) n r n 2 =2". 2 Mr j, dn gt het met (mcht)reeksen precies het zelfde. In n=2 (copy/pste in ltex, replce ^k by ^\infty) 1X 1X 1X P (x) = n x n = n n n 1 (x )+ n R,n (x), (12.2) lezen we n=0 f omdt 1X n R,n (x) pple n=2 n=2 n=1 P 0 () = n=2 1X n n n 1 (12.3) n=1 1X n(n 1) n r n 2 (x ) 2 pple " x (12.4) 2 40

40 voor x pple met 1X n(n 1) n r n 2 =2". (12.5) 2 n=2 De enige eis om te stellen is dt de reeksen 1X n x n, n=0 1X n n n 1, n=1 1X n(n 1) n r n 2 2 n=2 convergeren en omdt x pple r en pple r is dt vi het gewoon convergent zijn vn bsoluut convergente reeksen en zeker het gevl ls 1 pple n pple n(n 1) 2 pple 1 2 n2 (n 2) 1X n 2 n r n pple1. (12.6) n=1 Opgve Bepl voor de gevllen n =1, n = 1 n! en n = n! het mximle intervl wrop de mchtreeks gegeven door (12.2) gedefinieerd is en doe hetzelfde voor P 0 (x). In (12.6) is r>0nogvribel. Isvooreenr>0n (12.6) voldn, dn is 1X P (x) = n x n n=0 di erentieerbr op [ r, r], met (vervng in (12.3) door x) 1X 1X P 0 (x) = n n x n 1 = (n +1) n+1 x n n=1 n=0 voor lle x 2 [ r, r]. De r-wrden wrvoor (12.6) geldt vormen een intervl I 2 [0, 1) met02 I 2. Voor elke k 2 IN geldt hetzelfde voor I k = {r 0: 1X n k n r n pple1}. n=1 41

41 Opgve Het is evident dt I 1 I 2 I 3, wnt met grotere k zijn de termen in de reeks groter. Bewijs dt er een R 2 [0, 1] is met de eigenschp dt voor elke k 2 IN geldt dt I k =[0,R) of I k =[0,R] en geef voorbeelden vn R =0, R =1en R = 1. De volgende stelling vt smen wt we nu weten. Stelling Elke mchtreeks P (x) = 1X n x n n=0 met n 2 IR voor n 2 IN 0 = {0} [ IN heeft een convergentiestrl R 2 [0, 1]. Voor x 2 IR met x < R geldt dt de termen n x n en n n x n 1 vn de mchtreeksen voldoende hrd nr 0 gn om bsolute convergentie vn zowel P (x) ls vn 1X 1X p(x) = n n x n 1 = (n +1) n+1 x n n=1 te grnderen, wrbij p de fgeleide is vn P op {x 2 IR : x <R} en P DE primitieve vn p met P (0) = 0. Voor x 2 IR met x >Rzijn de termen vn beide mchtreeksen onbegrensd en zijn deze mchtreeksen dus llebei niet convergent. Op het hoofdletters gedrukte DE komen we nog terug. Voorlopig bedoelen we dt P (x), met een vrije keuze voor 0, de enige mchtreeks is die p(x) ls fgeleide mchtreeks heeft. Met uitdrukkingen zols P (x) kunnen we nu eenvoudige di erentilvergelijkingen oplossen. Bijvoorbeeld de di erentilvergelijking n=0 F 0 (x) =F (x). (12.7) Welke functies zijn di erentieerbr met fgeleide gelijk n zich zelf? Probeer mr een mchtreeks. Term voor term uitschrijven helpt om te zien wt er gebeurt. Als P (x) = x + 2 x x x x x x 7 + met convergentiestrl R dn is voor x < R de fgeleide gelijk n P 0 (x) = x +3 3 x x x x x x 7 +, 42

42 en dus is P 0 (x) P (x) =( 1 0 )+(2 2 1 )x +(3 3 2 )x 2 +(4 4 3 )x 3 +, hetgeen lleen mr 0 ls 0= 1 0 =2 2 1 =3 3 2 =4 4 3 =! Het uitroepteken stt er niet voor niets bij. Een wrheid ls een koe. Toch? Of niet? J, wel! Opgve Neem n dt r>0 en dt P (x) convergent is voor lle x 2 IR met x <r,endtp (x) =0voor l die x. Wrom is 0 =0? Hl vervolgens x buiten hkjes en concludeer dt 1 =0, wrom? Etc. Toegepst op de verschilmchtreeks volgt dt met bijvoorbeeld 0 =1de coë cienten moeten voldoen n m..w. 1 =1, 2 = 1 2, 3 = , 4 = 1 2 n = 1 n! voor lle n 2 IN ,, Stelling Lt r > 0. De enige mchtreeks die voldoet n zowel P 0 (x) =P (x) voor lle x 2 IR met x <rls n P (0) = 1 is P (x) =exp(x) = 1X n=0 x n n! =1+x + x2 2 + x3 6 + x x x Opgve Lt zien dt de reeks in Opgve 12.6 voor elke x 2 IR convergent is. De mchtreeks heeft dus convergentiestrl is R = 1 en is zijn eigen fgeleide. Definitie Voor een functie F :[, 1)! IR zeggen we dt F (x)! 0 ls x!1, ls er voor elke " > 0 een 2 [, 1) bestt wrmee geldt:. x =) F (x) pple ". 43