Analyse I. S. Caenepeel

Transcriptie

1 Anlyse I S. Cenepeel Syllbus 132 bij IR-WISK en Anlyse: fleiden, integreren en wiskundige softwre, Eerste Bchelor Ingenieurswetenschppen en Fysic (SD-ID ), Eerste Bchelor Wiskunde (SD-ID ) en Derde Bchelor Wiskunde verkort progrmm (SD-ID ). 2015

2 Inhoudsopgve 1 Reële getllen Verzmelingen De reële getllen Verzmelingen met n dimensies Functies Grfische voorstelling vn een functie Injecties, surjecties en bijecties Verzmelingen vn reële getllen Rijen De limiet vn een rij De stelling vn Bolzno-Weierstrss Het convergentiekenmerk vn Cuchy Limieten en continue functies Limieten vn functies Continue functies Open en gesloten verzmelingen Uniforme continuïteit De stelling vn Heine-Borel Continue functies over een gesloten intervl Continue functies over een gebied

3 4 Functies vn een vernderlijke De fgeleide De fgeleide vn enkele elementire functies De eerste differentil vn een functie Afgeleiden en differentilen vn hogere orde De stellingen vn Rolle, Cuchy en Lgrnge Onbeplde vormen De formule vn Tylor Extremen vn een functie vn één vernderlijke Differentieerbre functies Prtiële fgeleiden en richtingsfgeleiden Differentieerbre functies De fgeleide vn een smengestelde functie Sclire functies vn n vernderlijken De eerste totle differentil Prtiële fgeleiden en totle differentilen vn hogere orde De formule vn Tylor voor een functie vn n vernderlijken Extreme wrden Impliciete functies De stelling vn de inverse functie De stelling vn de impliciete functies Extreme wrden met nevenvoorwrden Eigenschppen vn de Jcobinse determinnt De integrl vn een continue functie Riemnn-integreerbre functies De stelling vn het gemiddelde en de grondformule vn de integrlrekening Voorbeelden en toepssingen

4 9 Het beplen vn primitieve functies De onbeplde integrl Elementire integrtiemethodes Het integreren vn rtionle functies Het integreren vn rtionle functies vn sinus en cosinus Beplde integrlen en specile functies Verdere verlgemeningen en toepssingen Oneigenlijke integrlen De gmmfunctie Booglengte Lengteintegrlen

5 Hoofdstuk 1 Reële getllen In dit hoofdstuk herhlen we een ntl bsisbegrippen: verzmelingen, functies, reële getllen. 1.1 Verzmelingen Het begrip verzmeling ligt n de gehele wiskunde ten grondslg en is drom moeilijk te definiëren. Men kn het ls volgt omschrijven: een verzmeling is een vereniging vn zken, voorwerpen, dingen,... Hetgeen tot de verzmeling behoort noemt men element vn de verzmeling. Een verzmeling is gegeven of bepld ls het mogelijk is te zeggen of een element tot de verzmeling behoort of niet. Men kn op verschillende mnieren nduiden welke dingen element zijn vn een verzmeling: men kn een lijst opstellen vn de elementen, of men kn de elementen beplen door hun kenmerkende eigenschp(pen). Voorbeelden V = {,b,c}; de verzmeling V bestt uit de elementen, b, en c; de verzmeling vn de studenten vn een kls; de verzmeling vn de klssen vn school (de elementen vn een verzmeling kunnen zelf verzmelingen zijn); de ntuurlijke getllen N = {0,1,2,3, } Men kn een verzmeling ook krkteriseren binnen een gegeven verzmeling door een eigenschp vn de elementen op te geven. Zo kunnen we bijvoorbeeld de verzmeling vn de ntuurlijke getllen deelbr door 3 ls volgt opschrijven: V = {n N n is deelbr door 3}. De verzmeling vn de mooie schilderijen bestt niet. We kunnen nmelijk niet beplen of een element l dn niet tot de verzmeling behoort (wt is mooi?) De lege verzmeling (deze bezit geen enkel element) wordt /0 genoteerd. Opmerking De volgorde wrin de elementen vn een verzmeling voorkomen heeft geen belng: zo is {,b,c} = {b,,c}. Merk ook op dt een element slechts eenml voorkomt: lle elementen in de verzmeling zijn verschillend. Een verzmeling kn voorgesteld worden door een Venn-digrm (zie Figuur 1.1). 4

6 V b c d Figuur 1.1: De verzmeling V = {, b, c} Deelverzmelingen Per definitie stellen we dt een verzmeling A een deelverzmeling is vn een verzmeling B indien elk element vn A een element is vn B: Voorbeeld {,b} {,b,c}. A B A : B B b A c Figuur 1.2: A B De lege verzmeling is een deelverzmeling vn elke verzmeling. De vereniging De vereniging (of unie) vn twee verzmelingen A en B is de verzmeling vn de elementen die tot A of tot B behoren: A B = {x x A of x B} Bewijs zelf de volgende eigenschppen: A /0 = /0 A = A A B = B A (commuttiviteit) A (B C) = (A B) C (ssocitiviteit) A A = A 5

7 Beschouw een rij verzmelingen A 1,A 2,A 3,. We definiëren de unie vn deze rij verzmelingen ls volgt: + A i = A 1 A 2 A 3 = {x x A i voor minstens 1 index i } i=1 Voorbeeld n=1 [ n,n] = R De doorsnede De doorsnede vn twee verzmelingen A en B is de verzmeling vn de elementen die tot A en B behoren: A B = {x x A en x B} Bewijs zelf de volgende eigenschppen: A /0 = /0 A = /0 A B = B A (commuttiviteit) A (B C) = (A B) C (ssocitiviteit) A A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B A B = B Beschouw een rij verzmelingen A 1,A 2,A 3,. We definiëren de doorsnede vn deze rij verzmelingen ls volgt: + n=1 A 1 A 2 A 3 = {x x A i voor elke index i } Voorbeeld n=1 [ 1] 0, = {0} n Het verschil Het verschil vn twee verzmelingen A en B is de verzmeling vn de elementen vn A die niet tot B behoren: A \ B = {x A x B} 6

8 Het produkt Het produkt vn twee verzmelingen A en B is de verzmeling vn de koppels (,b) wrbij A en b B: A B = {(,b) A en b B} 1.2 De reële getllen We herhlen eerst notties voor de ntuurlijke, gehele en rtionle getllen: N = {0,1,2,3,4, } Z = {0,1, 1,2, 2, } Q = { p q : p Z, q Z 0} In Q, de verzmeling vn de rtionle getllen, kn men optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen (zolng de noemer verschillend vn 0 is. In de nlyse werken we met een verzmeling getllen die nog groter is dn de verzmeling vn de rtionle getllen, de verzmeling R vn de reële getllen. Het is niet eenvoudig om de reële getllen op een wiskundig correcte mnier in te voeren, en drom beperken we ons hier tot het opsommen vn enkele vn de belngrijkste eigenschppen vn de reële getllen. In de komende hoofdstukken zullen we nr deze eigenschppen herhldelijk verwijzen, omdt zij dikwijls de crucile rgumenten in onze redenering zullen zijn. R is een verzmeling getllen die Q bevt. Ook in R kn men optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen. Er is een 1-1 correspondentie (een bijectie) tussen de reële getllen en de punten op een rechte. Deze correspondentie hngt f vn een gekozen ijk op de rechte, d.w.z. twee verschillende punten op de rechten die men respectievelijk lt overeenstemmen met de getllen 0 en 1. Bovendien voldoen de reële getllen n de volgende twee xiom s. Axiom De reële getllen voldoen n het xiom vn Archimedes : x > 0, y 0, n N : y nx Voor elke b R noteren we: (,b) = {x R < x < b} [,b] = {x R x b} (,b] = {x R < x b} [,b) = {x R x < b} (,b) en [,b] worden respectievelijk open en gesloten intervl genoemd. (,b] en [,b) worden hlfopen intervllen genoemd. 7

9 Axiom R is volledig. Dit betekent: voor een dlende rij gesloten intervllen I 0 = [x 0,y 0 ] I 1 = [x 1,y 1 ] I n = [x n,y n ] bestt minstens 1 reëel getl x dt tot elk intervl I n behoort: x I n n=0 Opmerkingen ) Als toepssing vn xiom kn men ntonen dt elk positief reëel getl juist een positieve n-de mchtswortel heeft. 2) Herhl de definitie vn bsolute wrde vn een reëel getl: { x ls x 0 x = x ls x 0 Bewijs zelf de volgende belngrijke eigenschp: x + y x + y 3) An de verzmeling vn de reële getllen voegen we twee elementen toe genmd plus oneindig en min oneindig, die we noteren ls + en. De verzmeling die we ldus krijgen, noemen we de vervolledigde reële rechte, en we noteren deze ls R = R {+, } Deze nieuwe elementen bezitten per definitie de volgende eigenschppen, voor elke x R: < x < x = + + x = { ±, ls x > 0 x(± ) =, ls x < 0 Merk op dt (+ ) + ( ) en 0(± ) niet gedefinieerd worden. 1.3 Verzmelingen met n dimensies Beschouw de produktverzmeling R n = R R R. De elementen vn R n zijn dus geordende n-tllen (x 1,x 2,,x n ). Een dergelijk n-tl stellen we voor door een kleine letter met een pijl erboven, en wordt vector of punt genoemd. Soms zullen we vectoren voorstellen door een hoofdletter: x = X = (x 1,x 2,,x n ) 8

10 Een deelverzmeling vn R n noemen we een n-dimensionle verzmeling. Een n-dimensionle verzmeling X is begrensd ls de lineire deelverzmelingen gevormd door de k-de coördinten vn elk punt vn X begrensd zijn ls deel vn R, en wel voor elke k = 1,2,,n. Voor x = (x 1,x 2,,x n ), y = (y 1,y 2,,y n ) R n definiëren we x + y ls volgt: x + y = (x 1 + y 1,x 2 + y 2,,x n + y n ) De vermenigvuldiging met een reëel getl k wordt gedefinieerd door: k x = (kx 1,kx 2,,kx n ) Met deze bewerkingen vormt R n een vectorruimte. Men definieert ook nog het sclir produkt vn twee vectoren: x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = Het schrijven vn een is hier verplicht. G zelf n dt het sclir produkt voldoet n de volgende eigenschppen, voor elke x, y, z R n en k R: 1. x y = y x 2. (k x) y = k( x y) 3. 0 x = 0 4. ( x + y) z = x z + y z 5. x 0 = x x > 0 Hierin ws 0 = (0,0,,0). Men noteert dikwijls ook x x = x 2. Per definitie is dit het kwdrt vn de lengte vn de vector x: Bewijs zelf dt Hint: kwdrteer beide betrekkingen. x = x 2 = n xi 2 i=1 n i=1 x R n, i = 1,2,,n : x i x x i y i n i=1 Stelling Voor x, y R n hebben we de volgende ongelijkheden: 1. x y x y (ongelijkheid vn Cuchy-Schwrz) 2. x + y x + y (driehoeksongelijkheid) 3. x y x y x i 9

11 Bewijs. Als y = 0, dn zijn beide leden vn de eerste ongelijkheid nul. We mogen dus onderstellen dt y 0. Voor elke t R hebben we 0 ( x +t y) 2 = x 2 + 2t x y +t 2 y 2 = x 2 +2t x y +t 2 y 2 Het rechterlid is dus een kwdrtische veelterm in t wrvn de discriminnt negtief of nul is: of ( x y) 2 x 2 y 2 0 x y x y Dit bewijst de formule vn Cuchy-Schwrtz. We bewijzen de driehoeksongelijkheid nu gemkkelijk ls volgt: en dit bewijst de driehoeksongelijkheid. Ongelijkheid 3) volgt uit 2): Hieruit volgt dt ( x + y ) 2 = x 2 +2 x y+ y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 x = x y + y x y + y x y x y Op dezelfde mnier krijgen we (wissel de rollen vn x en y om): y x x y Opmerking De fstnd tussen twee punten x en y in R n wordt gegeven door x y. 1.4 Functies Definitie Gegeven zijn twee verzmelingen X en Y. Onderstel dt met ieder element x X een enig element y Y overeenstemt. De verzmeling f vn de koppels (x, y) noemt men een functie of fbeelding vn X nr Y. Men kn een functie vn X nr Y dus ook definiëren ls een deelverzmeling vn X Y zodnig dt elk element vn X juist eenml optreedt ls eerste element in een koppel. Men noteert f : X Y 10

12 Het element y vn Y dt met x X overeenstemt noteert men f (x), en men noemt f (x) het beeld vn x. We kunnen dus schrijven: Liever gebruiken we de nottie: f = {(x, f (x)) x X} f : X Y : x y = f (x) Een functie is dus volledig bepld ls men de verzmeling koppels (x, f (x)) voor elke x X geeft. Twee functies f en g zijn identiek ls voor iedere x X geldt dt f (x) = g(x). X noemt men de definitieverzmeling of het domein vn f. Y noemt men de vritieverzmeling of de wrdeverzmeling vn f. Voorbeelden ) X = {,b,c,d},y = {α,β,γ,δ} f () = β ; f (b) = α ; f (c) = β, f (d) = δ f bestt dus uit de koppels (,β),(b,α),(c,β),(d,δ). We kunnen f voorstellen op een Venndigrm: b c d b g d Figuur 1.3: Een functie f voorgesteld op een Venn-digrm 2) f : R R : x x 2 = f (x) 3) f : X X : x x = f (x) Deze functie noemt men de identiteit op de verzmeling X. Opmerkingen ) We mken geen onderscheid tussen de begrippen functie en fbeelding. 2) Niet ieder element vn Y is noodzkelijk het beeld vn een element uit X (zie voorbeelden 1) en 2)). 3) Een functie f : X R R wordt ook een numerieke functie genoemd. x en y worden dn vernderlijken genoemd. 4) Een functie u : N R of u : N 0 R wordt ook een numerieke rij genoemd. We noteren dn gewoonlijk u(n) = u n. In een volgend hoofdstuk zullen we numerieke rijen uitgebreid bestuderen. Enkele voorbeelden: u n = 1 n

13 Men schrijft dikwijls ook: (u n ) = ( ) 1 = ( 1, 1 n + 1 2, 1 3, 1 4, 1, ) 5 (v n ) = (( 1) n ) = (1, 1,1, 1,1, 1, ) (w n ) = (n!) = (1,1,2,6,24,120,720, ) 5) Een numerieke functie wordt dikwijls gegeven door een eenvoudig functievoorschrift, met behulp vn een formule: zie voorbeeld 2 hierboven: f (x) = x 2. Een functievoorschrift hoeft echter niet noodzkelijk gegeven te worden door een enkele formule: er zijn veel meer ingewikkelde functievoorschriften denkbr: x x 2 ls x 0; f : R R : x 2 ls 0 < x < 2; x x 3 ls x 2. { x sin(x) g : R R : x ls x 0; x 0 ls x = 0. 6) Een functie f : R n R noemt men een functie vn n vernderlijken. Een functie r : R R n noemen we een vectorwrdige functie. Merk op dt een vectorwrdige functie wordt gegeven door n numerieke functies: r(t) = (x 1 (t),x 2 (t),,x n (t)). De x i noemt men de componentfuncties vn r. Meer lgemeen zullen we in deze syllbus functies F : R m R n bestuderen. 1.5 Grfische voorstelling vn een functie Numerieke functies Neem een numerieke functie f : X R R. De verzmeling {(x, f (x)) x X} is dn een deel vn R 2. Indien we R 2 identificeren met het vlk, dn wordt deze verzmeling in het lgemeen een kromme in het vlk die men de grfiek vn de functie f noemt: Teken zelf de grfieken vn de y y=f(x) 0 x functies f en g uit opmerking 5 hierboven. Figuur 1.4: De grfiek vn een numerieke functie f 12

14 Functies vn twee vernderlijken z (x, y, f(x,y)) y x (x, y, 0) Figuur 1.5: De grfiek vn een functie vn twee vernderlijken Neem nu een functie f : X R 2 R. De grfiek vn f is nu {(x,y, f (x,y)) (x,y) R 2 } R 3 en is dus een oppervlk in de driedimensionle ruimte, die we kunnen identificeren met R 3 door een ssenstelsel te kiezen. In figuren 1.6 schetsen we de grfieken vn enkele functies vn twee vernderlijken. Het spreekt vnzelf dt het tekenen vn de grfiek vn een functie vn twee vernderlijken heel wt moeilijker is dn het tekenen vn een grfiek vn een functie vn één vernderlijke. Een mnier om hier een mouw n te pssen is het bekijken vn de hoogtelijnen. Dit zijn de krommen met vergelijking f (x,y) = c, wrbij c een constnte is. Zo zijn de hoogtelijnen vn de functie f (x,y) = x 2 + y 2 de cirkels met strl c. Functies vn drie vernderlijken Voor een functie f vn drie vernderlijken heeft het niet veel zin de grfiek te trchten te tekenen: deze is een driedimensionl hyperoppervlk in de vierdimensionle ruimte. Wel kn men de Figuur 1.6: De grfieken vn h(x,y) = x 2 y 2 en k(x,y) = sin(x)cos(y) 13

15 Figuur 1.7: De hoogtelijnen vn h(x,y) = x 2 y 2 en k(x,y) = sin(x)cos(y) niveuoppervlkken bekijken. Dit zijn de oppervlkken met vergelijking f (x, y, z) = c, wrbij c een constnte is. Zoek zelf de niveuoppervlkken vn de functie f (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2. Vectorwrdige functies z (x(b), y(b), z(b)) b Neem een functie r : [,b] R R n wrbij n = 2 of n = 3. Als t het intervl [,b] doorloopt, dn doorloopt r(t) een kromme in het vlk of in de ruimte: Men noemt r = r(t) de vectorvergelijt y (x(), y(), z()) x Figuur 1.8: Een ruimtekromme king vn de kromme. Bekijken we de drie componentfuncties x = x(t) y = y(t) z = z(t) dn krijgen we een stel prmetervergelijkingen vn de kromme. Voorbeelden ) Neem twee vectoren en d. r = +t d 14

16 is de vectorvergelijking vn de rechte door met richtingsvector d. 2) Een stel prmetervergelijkingen vn de cirkel in het vlk met de oorsprong ls middelpunt en r ls strl: { x = r cost y = r sint 3) Een schroeflijn is een kromme met prmetervergelijking x = r cost y = r sint z = ht Deze kromme wordt geschetst in Figuur 1.9 schroeflijn z-s y-s x-s Figuur 1.9: De schroeflijn Functies F : R 2 R 3 Neem een functie F : [,b] [c,d] R 2 R 3. Deze bestt uit drie componentfuncties x(u,v), y(u,v), z(u,v) : [,b] [c,d] R 2 R. Als (u,v) de rechthoek [,b] [c,d] doorloopt, dn loopt (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) door een oppervlk in de driedimensionle ruimte. We noemen x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) de prmetervergelijkingen vn dit oppervlk. Voorbeelden ) Neem drie vectoren, b en c. r = + u( b ) + v( c ) is de vectorvergelijking vn het vlk door, b en c. Schrijf zelf een stel prmetervergelijkingen op. 15

17 2) Een stel prmetervergelijkingen voor de bol met strl r en middelpunt de oorsprong wordt gegeven door x = r sinucosv y = r sinusinv z = r cosu Hierbij is 0 u π en 0 v < 2π. 1.6 Injecties, surjecties en bijecties Gegeven zijn twee functies f : X Y en g : Y Z. We definiëren een nieuwe functie g n f, of g bolletje f, genoteerd g f : X Z door (g f )(x) = g( f (x)) voor elke x X. We noemen g f de smenstelling vn de functies f en g. Merk op dt de smen- X Y Z g o f x f(x) g g(f(x)) f y g(y) Figuur 1.10: De smenstelling vn functies stelling vn functies ssocitief is, mr niet commuttief; dit blijkt uit het volgende voorbeeld: Voorbeeld De inverse functie f = R R : x x 2 g = R R : x x + b g f = R R : x x 2 + b f g = R R : x (x + b) 2 Noteer i X voor de identiteit op de verzmeling X. Deze wordt gedefinieerd ls volgt: x X : i X (x) = x Merk op dt voor elke functie f : X Y geldt dt f i X = f en i Y f = f. Bestt er een functie g : Y X zodnig dt f g = i Y en g f = i X? Een eerste idee om dit probleem op te lossen is gewoon: keer lle pijlen vn f om. We krijgen dn echter niet noodzkelijk opnieuw een functie! Om een functie te hebben moeten twee voorwrden vervuld zijn: 16

18 g moet welbepld zijn: in elk punt vn Y moet een pijl vn g vertrekken, of, wt hetzelfde is, in elk punt vn Y moet een pijl vn f nkomen; g moet éénduidig zijn: in elk punt vn Y mg ten hoogste één pijl vn g vertrekken, of, wt hetzelfde is, mg ten hoogste één pijl vn f nkomen. Dit betekent ook nog dt twee verschillende elementen vn X op twee verschillende elementen vn Y fgebeeld worden. Vndr de volgende definities: Definitie Een functie f : X Y heet surjectie ls elk element vn Y het beeld is vn een element vn X, m..w., y Y, x X : f (x) = y Definitie Een functie f : X Y heet injectie ls elk element vn Y het beeld is vn ten hoogste één element vn X, m..w., x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) of f (x 1 ) = f (x 2 ) = x 1 = x 2 Definitie Een functie f : X Y heet bijectie ls f zowel injectief ls surjectief is, of y Y,!x X : f (x) = y of er bestt een g : Y X zodnig dt f g = i Y en g f = i X. We noteren in dit gevl g = f 1, en we noemen f 1 de inverse functie vn f. We zeggen dn dt f inverteerbr is, en we hebben de eigenschp: y Y : f 1 (y) = x f (x) = y Opmerkingen ) Vn een functie f : X Y kn men een surjectie mken door de vritieverzmeling te beperken tot {y Y x X : f (x) = y}. Men kn er een injectie vn mken door de definitieverzmeling X zo te beperken dt in elk element vn Y slechts één pijl nkomt. 2) Voor B Y noteert men f 1 (B) = {x X : f (x) B} Indien f geen bijectie is, noteert men soms ook voor y Y : f 1 (y) = f 1 ({y}) 1.7 Verzmelingen vn reële getllen Beschouw een verzmeling A R. Indien er een getl M A bestt zodnig dt M voor elke A, dn noemen we M het mximum, of grootste element, vn A, en we noteren M = mx(a) 17

19 Op identieke mnier definiëren we het minimum (of kleinste element) vn A. Dit is een getl m A wrvoor m voor elke A. We noteren m = min(a) Voor eindige verzmelingen zijn deze begrippen volstrekt toereikend. Voor oneindige verzmelingen is er echter een probleem. Zo zijn de verzmelingen (0,1] en {1/n n N 0 } wel begrensd, mr ze hebben geen minimum. In beide gevllen zien we dt 0 een soort vn onderste grens vn de verzmeling is. In deze sectie willen we dit nuwkeurig beschrijven. In het vervolg is A steeds een niet lege deelverzmeling vn R. Definitie Een mjornt of bovengrens (upper bound) vn A is een getl M R dt groter is dn of gelijk n elk element vn A. Een minornt of ondergrens vn A is een getl m R dt kleiner is dn of gelijk n elk element vn A. De kleinste onder lle mjornten vn A noemen we de kleinste bovengrens of supremum vn A: supa = min{m R M is een mjornt vn A} De grootste onder lle minornten vn A noemen we de grootste ondergrens of infimum vn A: infa = mx{m R m is een minornt vn A} Voorbeelden ) inf(0,1) = 0, sup(0,1) = 1. 2) inf{1,1/2,1/3,1/3,1/4, } = 0. 3) Indien mxa bestt, dn is mxa = supa. 4) Indien mina bestt, dn is mina = infa. 5) Indien A niet nr boven begrensd is, dn stellen we supa = +. 6) Indien A niet nr beneden begrensd is, dn stellen we infa =. Het supremum wordt gedefinieerd ls het minimum vn de verzmeling der mjornten. A priori zijn we dus niet zeker dt het supremum bestt. De volgende stelling vertelt ons dt elke nr boven begrensde verzmeling een supremum heeft: Stelling Elke niet lege nr boven begrensde verzmeling A heeft een supremum. Elke niet lege nr beneden begrensde verzmeling heeft een infimum. Bewijs. Het bewijs vn deze fundmentele stelling steunt op de volledigheid vn de reële getllen. Door inductie construeren we een dlende rij intervllen I 0 = [x 0,y 0 ] I 1 = [x 1,y 1 ] I 2 = [x 2,y 2 ] zodnig dt de volgende eigenschppen gelden voor elke n N: 1. y n is een mjornt voor A; 2. I n bevt elementen vn A; 18

20 3. y n+1 x n+1 = (y n x n )/2. Neem voor y 0 een willekeurige mjornt vn A; zulk een mjornt bestt ngezien A nr boven begrensd is. Neem voor x 0 een willekeurig element vn A (A is niet leeg). I 0 = [x 0,y 0 ] voldoet dn n de voorwrden 1) en 2). Onderstel dt de intervllen geconstrueerd zijn tot op index n 0 en voldoen n de voorwrden 1), 2) en 3). We construeren I n+1 ls volgt: neem z = (y n + x n )/2, het midden vn het intervl I n. Er zijn twee mogelijkheden: 1) z is een mjornt vn A. In dt gevl stellen we I n+1 = [x n,z]. I n+1 voldoet dn duidelijk n de voorwrden 1), 2) en 3). 2) z is geen mjornt vn A. In dt gevl stellen we I n+1 = [z,y n ]. I n+1 voldoet dn duidelijk n de voorwrden 1), 2) en 3). Uit voorwrde 3) volgt dt y n x n = l/2 n, wrbij l = y 0 x 0. Vnwege het xiom over de volledigheid vn de reële getllen bevt + n=0 I n een element x. We hebben dus dt x 0 x 1 x 2 x n x y n y 2 y 1 y 0 We tonen n dt x het supremum is vn A. We bewijzen eerst dt x een mjornt is. Onderstel vn niet, dn bestt A zodt > x. Voor n groot genoeg is y n x n = l/2 n < x, wruit volgt dt > y n. Dit is strijdig met het feit dt y n een mjornt is. x is de kleinste mjornt vn A. Onderstel dt y < x ook een mjornt is. Voor n groot genoeg is y n x n = l/2 n < x y, wruit volgt dt y < x n. Mr dit impliceert dt A : y < x n, zodt I n geen elementen vn A bevt. Dit is in strijd met voorwrde 2. De eigenschp over het bestn vn het infimum volgt uit de volgende formule (bewijs deze zelf) infa = sup( A) wrbij we impliciet de volgende nottie invoerden : A = { A} We presenteren nu een technische eigenschp vn supremum en infimum. Deze eigenschp vertelt ons dt er in A elementen gevonden kunnen worden die willekeurig dicht bij het supremum en het infimum liggen: Stelling M = supa en m = infa voldoen n de volgende eigenschppen: ε > 0, A : M ε < M ε > 0, A : m < m + ε Bewijs. We bewijzen leen de eerste formule. Voor elke A geldt utomtisch dt M. Onderstel dt de formule onwr is voor een zekere ε > 0. Dn geldt voor elke A dt M ε 19

21 Mr dn is M ε een mjornt, zodt M niet de kleinste mjornt is. Contrdictie! Als toepssing vn stelling zullen we nu ntonen dt elk positief reëel getl juist één positieve n-de mchtswortel heeft. We beperken ons tot de vierkntswortel vn 2. Het lgemeen gevl wordt op nloge mnier ngetoond. Stelling Er bestt juist één c R + zodt c 2 = 2. Bewijs. Stel A = {x > 0 x 2 < 2} en B = {x > 0 x 2 > 2}. Merk eerst op: Als x A en 0 < y x, dn is y 2 x 2 < c en dus y A. Op nloge wijze hebben: ls x B en y x, dn is y B. Als x A en y B, dn is y > x. Immers x A, y B = x 2 < 2 < y 2 = y 2 x 2 = (y + x)(y x) > 0 = y x > 0. Dus elke y B is een mjornt vn A. Angezien B niet leeg is, is A dus nr boven begrensd. A heeft dus een supremum, en we stellen c = supa. We zullen ntonen dt c 2 = 2 Eerste gevl: c 2 < 2. Stel ε = 2 c 2 > 0. Kies δ zo dt Dn hebben we en dus is 0 < δ < min(1, ε 1 + 2c ). (c + δ) 2 c 2 ε = (2c + δ)δ < (2c + 1) 1 + 2c = ε, (c + δ) 2 < c 2 + ε = 2. Mr dn is c + δ A, en hieruit volgt dt c geen mjornt is vn A. Dit is een contrdictie. Tweede gevl: c 2 > 2. Stel nu ε = c 2 2 > 0, en kies δ zo dt Dn is 0 < δ < min(2c, ε 2c ). 0 < 2c δ < 2c; δ(2c δ) < 2cδ < 2c ε 2c = ε; (c δ) 2 = c 2 2cδ + δ 2 = c 2 δ(2c δ) > c 2 ε = 2. Mr dn is c δ B, zodt c δ een mjornt is vn A. Dit is strijdig met het feit dt c de kleinste mjornt vn Ais. Derde gevl: c 2 = 2. Dit is het enige gevl dt overbliijft. Uniciteit: Als c,d > 0 en c 2 = d 2 = 2, dn is c 2 d 2 = (c + d)(c d) = 0, en dus c = d ngezien c + d > 0. 20

22 Hoofdstuk 2 Rijen 2.1 De limiet vn een rij Zols we reeds zgen, is een rij (u n ) een functie vn N 0 nr R. Bekijk bijvoorbeeld de volgende rij: ( 1 2, 3 4, 7 8, 15 16,, 2n 1 2 n, ) of u n = 2n 1 2 n Hoe verder we in de rij kijken, hoe dichter u n bij 1 komt te liggen. Of, preciezer uitgedrukt: u n ligt zo dicht bij 1 ls we willen, ls we ermr voor zorgen dt n groot genoeg is. Symbolisch geformuleerd: ls we een willekeurig getl ε > 0 kiezen, dn ligt u n tussen 1 ε en 1 + ε ls we er mr voor zorgen dt n voldoende groot is, groter dn een index N die fhngt vn ε. We schrijven 2 n 1 lim n 2 n = 1 Definitie lim u n = l ε > 0, N : n > N u n l < ε n We noemen l de limiet vn de rij (u n ), en we zeggen dt de rij convergent is. Een rij die niet convergent is, noemen we divergent. Op dezelfde mnier definiëren we en lim u n = + α R, N : n > N n lim u n = α R, N : n > N n We zeggen dn dt (u n ) divergeert nr +, resp.. u n > α u n < α 21

23 Voorbeelden lim n 1 2 n = 0 lim n n2 = + lim n = n lim n ( 1)n bestt niet Indien een rij divergent is, en ook niet divergeert nr ±, dn noemen we de rij schommelend of oscillerend. Een rij heeft niet ltijd een limiet (zie het voorbeeld hierboven). Wel is het zo dt de limiet, indien hij bestt, uniek is: Stelling Als een rij (u n ) een limiet l bezit, dn is l enig. Bewijs. Onderstel dt l < l llebei voldoen n de voorwrden vn de definitie: voor elke ε > 0 hebben we dn Kies N : n > N u n l < ε, of l ε < u n < l + ε (2.1) N : n > N u n l < ε, of l ε < u n < l + ε (2.2) ε = l l 2 en neem een index n die groter is dn N en N. Uit (2.1) volgt dn en uit (2.2): en dit is een contrdictie. u n < l + l l 2 l l l 2 = l + l 2 = l + l 2 < u n Neem een rij (u n ). V un = {u 1,u 2,u 3, } is de verzmeling vn de wrden die de elementen vn de rij nneemt. Neem bijvoorbeeld de rij Dn is V un = {1, 1}. (1, 1,1, 1, ) Stelling Een convergente rij is begrensd. Dit wil zeggen dt de verzmeling V un begrensd is. Bewijs. Kies ε = 1 in de definitie. Dn geldt voor n > N : l 1 < u n < l

24 zodt {u N+1,u N+2,u N+3, } begrensd is. Angezien {u 1,u 2,u 3, u N } eindig en dus begrensd is, volgt dt de rij begrensd is. De omgekeerde eigenschp geldt niet: een begrensde rij kn divergent zijn: zie voorbeeld 4 hierboven. Wel geldt dt een begrensde monotone rij convergent is (zie stelling 2.1.6). Eerst hebben we een definitie nodig. Definitie Neem een rij (u n ). (u n ) heet strikt dlend ls m,n N 0 : m > n = u m < u n (u n ) heet niet stijgend ls m,n N 0 : m > n = u m u n (u n ) heet strikt stijgend ls m,n N 0 : m > n = u m > u n (u n ) heet niet dlend ls m,n N 0 : m > n = u m u n In elk vn deze vier gevllen noemen we u n een monotone rij. Stelling Een niet dlende (niet stijgende) rij, die nr boven (nr onder) begrensd is, convergeert nr hr bovenste (onderste) grens. Bewijs. Onderstel u n niet dlend, en noteer m = supv un. We hebben de volgende eigenschp voor het supremum gezien: ε > 0, N : u N > m ε Angezien u n niet dlend is, geldt voor elke n > N : m ε < u N u n m < m + ε of u n m < ε zodt lim u n = m n Het bewijs voor een niet stijgende rij verloopt nloog. Volledig nloog kunnen we ntonen: Stelling Een niet dlende (niet stijgende) rij die niet begrensd is, divergeert nr + ( ). 23

25 Bewijs. We bewijzen lleen het gevl wrin de rij (u n ) niet dlend en niet begrensd is. Dn bestt voor elke α R een index N zodt u N > α. Voor elke n > N geldt dn u n u N > α. Opmerking De stellingen en gelden ook voor rijen die slechts vnf een zekere index N monotoon zijn. Stelling Onderstel dt voor n > N geldt dt u n w n v n. Indien lim u n = lim v n = l n n dn geldt ook lim w n = l n Bewijs. Voor elke ε > 0 hebben we: N : n > N N : n > N u n l < ε, of l ε < u n < l + ε v n l < ε, of l ε < v n < l + ε Neem nu een willekeurige n > mx{n,n,n }. Dn volgt l ε < u n w n v n < l + ε en Stelling Onderstel Dn geldt l w n < ε lim u n = l 1 en lim v n = l 2 n n lim n + v n ) = l 1 + l 2 n (2.3) lim nv n ) = l 1 l 2 n (2.4) lim n = l 1 n (2.5) Als l 1 0 dn geldt lim n 1 u n = 1 l 1 (2.6) Bewijs. Voor elke ε > 0 hebben we indexen N 1 en N 2 zodt n > N 1 n > N 2 = u n l 1 < ε = v n l 2 < ε 24

26 Kies ε > 0 willekeurig. Als n > mx{n 1,N 2 }, dn geldt (u n + v n ) (l 1 + l 2 ) = u n l 1 + v n l 2 u n l 1 + v n l 2 < ε + ε = ε ls we ε = ε /2 kiezen. Dit bewijst (2.3). (2.4) zit iets subtieler in elkr. Voor n > mx{n 1,N 2 } hebben we ook u n v n l 1 l 2 = (u n l 1 )v n + l 1 (v n l 2 ) u n l 1 v n + l 1 v n l 2 < ε( v n + l 1 ) Bij onderstelling weten we (neem ε = 1) dt er een index N 3 bestt zodt n > N 3 = v n l 2 < 1 = l 2 1 l 2 1 < v n < l l = v n < l Voor n > mx{n 1,N 2,N 3 } vinden we dus: u n v n l 1 l 2 < ε( l l 1 ) = ε ls we ε = ε /( l l 1 ) nemen. Dit bewijst (2.4). Voor n > N 1 vinden we un l 1 un l 1 < ε en dit bewijst (2.5). Tenslotte bewijzen we (2.6). Voor n > N 1 hebben we 1 u n 1 l 1 = l 1 u n l 1 u n < ε l 1 u n Omdt l 1 0 kunnen we ε = l 1 /2 kiezen. Dn volgt dt er een index N 2 bestt zodt voor elke n > N 2 geldt: u n l 1 < l 1 2 of l 1 l 1 2 < u n < l 1 + l 1 2 Als l 1 > 0, dn vinden we dt Als l 1 < 0, dn vinden we dt l 1 2 = l 1 2 < u n = u n u n < l 1 l 1 2 = l 1 2 < 0. In beide gevllen hebben we dt u n > l 1 /2. Voor elke n > N = mx{n 1,N 2 } hebben we dus ls we kiezen. 1 u n 1 l 1 < 2ε l 1 2 = ε ε = l 1 2 ε 2 25

27 Stelling Onderstel dt voor n groter dn een zekere index N geldt dt u n 0. Als lim n u n = l bestt, dn geldt dt l 0. Bewijs. Onderstel dt l < 0. Kies 0 < ε < l. Dn bestt er een N zodnig dt voor lle n N geldt dt l u n < ε. Voor n > mx{n,n } krijgen we dus dt l ε < u n < l + ε < 0 en dit is strijdig met de onderstellingen. Gevolg Onderstel dt voor n groter dn een zekere index N geldt dt u n v n. Als lim n u n = l en lim n v n = l bestt, dn geldt dt l l. Bewijs. Ps stelling toe op w n = u n v n. Opmerking Stelling is niet lnger geldig ls we beide ongelijkheden vervngen door strikte ongelijkheden. De rij ( 1 n ) bezit immers lleen strikt positieve elementen, terwijl de limiet toch nul is. 2.2 De stelling vn Bolzno-Weierstrss Beschouw de verzmeling V = {1, 1,1/2, 1/2,1/3, 1/3,1/4, 1/4, }. 0 behoort niet tot V, mr bezit wel de eigenschp dt er willekeurig dicht bij 0 elementen vn V zitten. We noemen 0 een verdichtingspunt vn V. Definitie Neem R n. Een open bol met middelpunt noemen we ook een omgeving vn : O = { x R n x < δ}. Definitie Een punt R n is een verdichtingspunt (of ophopingspunt) vn de verzmeling V R n, ls elke omgeving vn minstens een punt vn V bevt verschillend vn. Stelling Als een verdichtingspunt is vn V, dn bezit elke omgeving vn een oneindig ntl punten vn V. Bewijs. Onderstel dt een omgeving O slechts een eindig ntl punten x 1, x 2, x 3,, x n verschillend vn vn V bevt. Stel ε = min{ x i : i = 1,2,,n}. Dn bevt de omgeving { x R n : x < ε} geen enkel punt vn de verzmeling V. Dit is in strijd met de onderstelling dt een verdichtingspunt is. Stelling impliceert dt een verzmeling met een verdichtingspunt steeds oneindig is. Niet elke oneindige verzmeling heeft een verdichtingspunt (zoek zelf een voorbeeld). Wel hebben we de volgende belngrijke fundmentele stelling: 26

28 Stelling (Bolzno-Weierstrss) Elke oneindige begrensde deelverzmeling vn R n bezit minstens 1 verdichtingspunt. Bewijs. We beperken ons tot het bewijs vn het gevl n = 1. Het hogerdimensionl gevl verloopt op nloge wijze. Ons bewijs steunt op de volledigheid vn de verzmeling der reële getllen. Schrijf = infv en b = supv. Dn geldt dt [,b] V zodt [,b] zeker een oneindig ntl punten vn V bevt. Noteer l = b. Per inductie construeren we nu een dlende rij intervllen wrvoor geldt: I 0 = [x 0,y 0 ] I 1 = [x 1,y 1 ] I j = [x j,y j ] 1. elke I n bevt een oneindig ntl punten vn V; 2. y n x n = l/2 n. We stellen hiervoor I 0 = [x 0,y 0 ] = [,b]. Onderstel dt I 0,I 1,,I n geconstrueerd zijn en voldoen n de voorwrden 1) en 2). We construeren nu I n+1 ls volgt: stel z = (x n + y n )/2, en beschouw de intervllen [x n,z] en [z,y n ] Noodzkelijkerwijs bevt een vn deze twee intervllen een oneindig ntl punten vn V. Indien [x n,z] een oneindig ntl elementen vn V bevt, dn stellen we I n+1 = [x n,z]. Anders stellen we I n+1 = [z,y n ]. In beide gevllen is n de voorwrden 1) en 2) voldn. Uit het Axiom vn de volledigheid (1.2.2) volgt dt er een x I n bestt, m..w., x n x y n, n. We tonen n dt x een verdichtingspunt is vn V. Hiertoe kiezen we ε > 0 willekeurig en tonen n dt (x ε,x + ε) een oneindig ntl punten vn V bevt. Kies n zo groot dt l/2 n < ε. Dn geldt noodzkelijk dt I n (x ε,x + ε). Vnwege voorwrde 1) bevt I n en fortiori ook (x ε,x+ε) een oneindig ntl punten vn V. Dit bewijst de stelling vn Bolzno-Weierstrss. Opmerking Onderstel V R, m = infv en M = supv. Dn behoort elk verdichtingspunt vn V tot [m,m]. Immers, onderstel dt een verdichtingspunt is strikt kleiner dn m. Neem ε = m. Het intervl ( ε, + ε) bevt dn geen enkel punt vn V. n=0 2.3 Het convergentiekenmerk vn Cuchy We zullen nu de stelling vn Bolzno-Weierstrss toepssen op rijen. Als (u n ) een rij is, dn noteren we V (un ) = {u 1,u 2,u 3, } We noemen V (un ) de wrdenverzmeling vn (u n ). 27

29 Voorbeeld Neem de rij (u n ) = (( 1) n ). Dn is V (un ) = { 1,1} Een deelrij vn een rij is een rij die ontstt door termen weg te lten. Meer bepld ontstt een deelrij ls volgt: neem een stijgende rij indexen De rij N 1 < N 2 < N 3 < (u Nk ) = (u N1,u N2,u N3, ) is dn een deelrij vn (u n ). We hebben gezien dt een convergente rij steeds begrensd is. De omgekeerde eigenschp geldt niet, mr we hebben wel: Stelling Elke begrensde rij heeft een convergente deelrij. Bewijs. Eerste gevl: de wrdeverzmeling V (un ) is eindig. Dn is er een R die een oneindig ntl keer optreedt ls element vn de rij: u n = voor een oneindig ntl indexen n = N i met N 1 < N 2 < N 3 <. De deelrij (u Nk ) is dn de constnte rij, en is dus convergent. Tweede gevl: de wrdeverzmeling V (un ) is oneindig. Angezien V (un ) ook begrensd is, heeft V (un ) een verdichtingspunt c, vnwege de stelling vn Bolzno-Weierstrss. We construeren nu een deelrij (u Nk ) = (u N1,u N2,u N3, ) die convergeert nr c. Kies een index N 1 zodt u N1 c < 1/2; dit is mogelijk omdt c een verdichtingspunt is vn V (un ). Onderstel nu dt we N 1 < N 2 < < N k zo geconstrueerd hebben dt u Ni c < 1 2 i, voor i = 1, k. Omdt c een verdichtingspunt is vn V (un ), bestn er een oneindig ntl indexen n wrvoor u n c < 1 2 k+1 Onder deze indices kunnen we er dus zeker een kiezen die groter is dn N k. Noem deze N k+1. Per inductie vinden we dus een rij indexen N 1 < N 2 < zodt u Ni c < 1 2 i, voor elke i N 0. Dit betekent dt lim u N i = c. i Het is soms belngrijk te kunnen bewijzen dt een rij convergeert, zonder drom de limiet te hoeven kennen. Zulk een criterium zullen we nu opstellen. 28

30 u n c u n u Nk + u Nk c < ε 2 + ε 2 = ε. Definitie Een rij (u n ) is een Cuchyrij indien ε > 0, N > 0 : n,m > N = u n u m < ε (2.7) Meetkundig gezien betekent dit dt lle elementen zeer dicht bij elkr liggen ls hun index mr groot genoeg is. Net ls een convergente rij is een Cuchy rij begrensd. Lemm Elke Cuchy rij is begrensd. Bewijs. Neem ε = 1 in (2.7). Voor lle n > N 0 vinden we u n u N0 +1 < 1 of u N < u n < u N Dit betekent dt {u N0 +1,u N0 +2,u N0 +3, } begrensd is. De verzmeling {u 1,u 2,,u N0 } is eindig, en dus begrensd. Stelling Een rij is convergent dn en slechts dn ls ze een Cuchyrij is. Bewijs. Onderstel eerst dt (u n ) convergent is, en stel lim n u n = l, m..w. Neem nu n,m > N. Dn geldt ε > 0, N > 0 : n > N = u n l < ε 2 u n u m u n l + l u m < ε 2 + ε 2 = ε Dit bewijst een implictie. Omgekeerd, onderstel dt (u n ) een Cuchy rij is. Vnwege lemm is (u n ) begrensd, en dus bestt er een convergente deelrij (u Nk ). Stel lim k u N k = c. We zullen bewijzen dt de rij (u n ) nr c convergeert. Neem ε > 0 willekeurig. Omdt (u Nk ) nr c convergeert, hebben we Omdt (u n ) een Cuchy rij is hebben we k 0 > 0 : k > k 0 : u Nk c < ε 2. M > 0 : n,m > M : u n u m < ε 2. Neem nu k > k 0 zodnig dt N k > M. Voor lle n > N k geldt dn 29

31 Hoofdstuk 3 Limieten en continue functies 3.1 Limieten vn functies Bekijk de volgende numerieke functie: f : R \ {1} R : x x(x 1) x 1 De grfiek vn deze functie is de eerste bissectrice, met uitzondering vn het punt (1,1), zols geschetst in Figuur 3.1 Als x dicht bij 1 ligt, dn zl f (x) dicht bij 1 liggen; iets nuwkeuriger y 1 1 x Figuur 3.1: Limieten kunnen we het ls volgt stellen: f (x) ligt zo dicht ls we willen bij 1, ls we x mr dicht genoeg bij 1 nemen. We schrijven dit ls volgt op: lim f (x) = 1 x 1 en we zeggen dt de limiet vn f (x), ls x ndert tot 1, 1 is. De precieze mthemtische formulering hiervn is de volgende: lim x f (x) = b dn en slechts dn ls ε > 0, δ > 0 : 0 < x < δ = f (x) b < ε 30

32 Deze definitie zgen we reeds in het middelbr onderwijs; ze kn verlgemeend worden tot functies R n R m, ls we de bsolute wrden in de definitie vervngen door lengten: Definitie Beschouw een functie F : V R n R m. Dn zeggen we dt dn en slechts dn ls lim F( x) = b x ε > 0, δ > 0 : 0 < x < δ = F( x) b < ε Opmerkingen ) De definitie is volledig onfhnkelijk vn de eventuele wrde vn F in. Indien F( ) gedefinieerd is, dn is het perfekt mogelijk dt F( ) lim x F( x) 2) De definitie heeft lleen mr zin ls F( x) gedefinieerd is voor 0 < x < δ voor een zeker positief getl δ. We kunnen dus zeggen dt F( x) gedefinieerd moet zijn in de buurt vn het punt. Men noemt het bolletje O = { x R n x < δ} een (δ-)omgeving vn. We kunnen dus onze definitie ls volgt herformuleren: een functie F : V R n R m die gedefinieerd is op een omgeving vn (behlve eventueel in zelf), heeft tot limiet b ls x ndert tot indien voor elke omgeving O b vn b er een omgeving O vn bestt zodt x O \ { } = F( x) O b 3) Men gebruikt soms ook de volgende notties: of F( x) b ls x F( x) x b 4) Het is perfect mogelijk dt er geen enkele vector b bestt die n de voorwrden vn de definitie voldoet. Het kn dus zijn dt de limiet niet bestt. De volgende voorbeelden mken dit duidelijk. Voorbeelden ) lim sin(1/x) x 0 bestt niet. 2) De functie f : R R gedefinieerd door { f (x) = 0, ls x Q; bezit in geen enkel reëel getl een limiet. f (x) = 1, ls x Q; 31

33 An de ndere knt hebben we wel de volgende eigenschp: Stelling Indien de limiet vn een functie bestt, dn is deze limiet uniek. M..w. er bestn geen twee verschillende vectoren b en b die beide n de voorwrden vn de definitie voldoen. Bewijs. Onderstel dt b en b beide n de voorwrden vn de definitie voldoen, m..w., voor elke ε > 0 hebben we δ > 0 : 0 < x < δ = F( x) b < ε δ > 0 : 0 < x < δ = F( x) b < ε Vervng δ en δ door het kleinste vn die twee getllen. We kunnen dn onderstellen dt δ = δ. Neem ε = b b 2 Dn geldt voor 0 < x < δ tegelijkertijd: en Dit impliceert een contrdictie: F( x) b < b b 2 F( x) b < b b 2 b b b F( x) + F( x) b < b b 2 + b b 2 = b b. Stelling rechtvrdigt de nottie lim F( x) = b x De volgende stelling stelt ons in stt ons te beperken tot functies met wrden in R. Herinner u uit hoofdstuk 1 dt we een functie F : R n R m kunnen schrijven ls wrbij F = ( f 1, f 2,, f m ) f i : R n R de componentfuncties vn F genoemd worden. Met deze notties hebben we: Stelling lim F( x) = b = (b 1,b 2,,b m ) x lim x f i ( x) = b i voor elke i = 1,2,,m. Met ndere woorden, de i-de component vn de limiet is de limiet vn de i-de component. 32

34 Bewijs. Onderstel eerst dt of Dn geldt voor elke index i: lim F( x) = b x ε > 0, δ > 0 : 0 < x < δ = F( x) b < ε f i ( x) b i m j=1 ( f j ( x) b j ) 2 = F( x) b < ε en dit bewijst een richting. Omgekeerd, onderstel dt voor elke index i: lim x f i( x) = b i Dn geldt voor elke ε > 0 dt er een δ i > 0 bestt zodt Neem nu ε > 0 willekeurig, en stel ε = min{δ 1,,δ m } dt 0 < x < δ i = f i ( x) b i < ε ε m. Dn geldt voor elke x met 0 < x < δ = F( x) b = m j=1 ( f j ( x) b j ) 2 < mε 2 = mε = ε en dit bewijst onze stelling. Door stelling kunnen we ons in de volgende stellingen beperken tot functies die wrden nnemen in R. Stelling Beschouw de functies f,g : R n R. Als lim f ( x) = l x en lim g( x) = l x bestn, dn is ( ) lim f ( x) + g( x) = l + l x Met ndere woorden, de limiet vn de som is de som vn de limieten. Bewijs. Uit de definitie vn limiet weten we dt voor elke ε > 0 δ > 0 : 0 < x < δ = f ( x) l < ε 2 δ > 0 : 0 < x < δ = g( x) l < ε 2 33

35 Derhlve geldt voor 0 < x < δ = min{δ,δ } dt f ( x) + g( x) l l f ( x) l + g( x) l < ε 2 + ε 2 = ε en dit bewijst stelling Stelling Onderstel dt f,g,h : R n R gedefinieerd zijn op een omgeving vn. Indien er een δ 1 > 0 bestt zodnig dt voor 0 < x < δ 1 geldt dt f ( x) g( x) h( x) en indien dn geldt lim f ( x) = lim h( x) = l x x lim g( x) = l x Bewijs. Bij onderstelling weten we dt ε > 0 : δ 2 > 0 : 0 < x < δ 2 = f ( x) l < ε = l ε < f ( x) < l + ε δ 3 > 0 : 0 < x < δ 3 = h( x) l < ε = l ε < h( x) < l + ε Kies δ = min{δ 1,δ 2,δ 3 }. Dn geldt voor 0 < x < δ dt l ε < f ( x) g( x) h( x) < l + ε zodt g( x) l < ε en dit bewijst stelling Stelling Beschouw de functies f,g : R n R. Als en bestn, dn is lim f ( x) = l x lim g( x) = l x ( ) lim f ( x)g( x) = ll x Met ndere woorden, de limiet vn het produkt is het produkt vn de limieten. 34

36 Bewijs. Kies ε > 0 willekeurig. Uit de definitie vn limiet weten we dt voor elke ε > 0 δ 1 > 0 : 0 < x < δ 1 = f ( x) l < ε δ 2 > 0 : 0 < x < δ 2 = g( x) l < ε Derhlve geldt voor 0 < x < min{δ 1,δ 2 } dt f ( x)g( x) ll = ( f ( x) l)g( x) + l(g( x) l ) ( f ( x) l) g( x) + l (g( x) l ) < ε g( x) + ε l Bij onderstelling weten we dt δ 3 > 0 : 0 < x < δ 3 = g( x) l < 1 = l 1 l 1 < g( x) < l + 1 l + 1 = g( x) < l + 1 zodt voor 0 < x < δ = min{δ 1,δ 2,δ 3 } geldt: f ( x)g( x) ll < ε( l + l + 1) = ε ls we stellen dt en dit beëindigt ons bewijs. ε = ε l + l + 1 Stelling Beschouw een functie f : R n R. Als dn is lim f ( x) = l 0 x lim x 1 f ( x) = 1 l Bewijs. We weten dt ε > 0 : δ 1 > 0 : 0 < x < δ 1 = f ( x) l < ε Verder hebben we 1 f ( x) 1 l = l f ( x) l f ( x) De teller kunnen we gemkkelijk kleinprten. De fctor l in de noemer stoort ons niet, mr f ( x) in de noemer zou stokken in de wielen kunnen steken! We moeten beletten dt f ( x) dicht bij 0 komt, wnt dn wordt de breuk heel groot. Drom gebruiken we de volgende redenering. Kies ε 1 = l /2. Dn bestt een δ 2 > 0 zodt 0 < x < δ 2 impliceert dt f ( x) l < l 2 35

37 of l l 2 Als l > 0 volgt uit de eerste ongelijkheid: < f ( x) < l + l 2 en ls l < 0 volgt uit de tweede ongelijkheid: f ( x) > l 2 In beide gevllen kunnen we besluiten dt Voor 0 < x < δ = min{δ 1,δ 2 } geldt dus 1 f ( x) 1 l < f ( x) < l 2 f ( x) > l 2 2(l f ( x)) 2ε < l 2 l 2 = ε ls we ε = l 2 ε /2 kiezen. Gevolg Beschouw de functies f,g : R n R. Als en bestn, dn is lim f ( x) = l x lim g( x) = x l 0 f ( x) lim x g( x) = l l Met ndere woorden, de limiet vn het quotiënt is het quotiënt vn de limieten. Stelling Beschouw een functie F : R n R m, gedefinieerd op een omgeving vn. Bewijs. Bij onderstelling weten we dt Dit impliceert onmiddellijk dt lim F( x) = b = x lim F( x) = b x ε > 0, δ > 0 : 0 < x < δ = F( x) b < ε F( x) b F( x) b < ε 36

38 Oneigenlijke limieten We bekijken het gevl vn functies vn één vernderlijke : f : R R Ons doel is te definiëren wnneer de volgende formules gelden: lim f (x) = b x + f (x) = + lim lim x lim f (x) = b x x f (x) = Het eenvoudigste is het begrip omgeving vn ± te definiëren en de definitie vn limiet geformuleerd in termen vn omgevingen te nemen. Definitie Een omgeving vn + is een verzmeling vn de vorm {x R x > α} Een omgeving vn is een verzmeling vn de vorm {x R x < α} Als we deze definities vertlen in ε δ-formules, krijgen we onmiddellijk: lim f (x) = b x + ε > 0, α R : x > α = f (x) b < ε f (x) = b ε > 0, α R : x < α = f (x) b < ε lim x lim x lim x f (x) = + α R, δ > 0 : 0 < x < δ = f (x) > α f (x) = α R, δ > 0 : 0 < x < δ = f (x) < α De limieten die hierboven gedefinieerd zijn, noemen we oneigenlijke limieten. Voorbeelden x 1 lim x + x + 1 = 1 1 x 2 = + lim x 0 Opmerkingen ) De stellingen die we hierboven bewezen hebben, gelden ook voor oneigenlijke limieten indien we rekening houden met de rekenregels die we in hoofdstuk 1 invoerden: (+ ) + = +, + ( ) =, enz. De stellingen gelden echter niet indien men uitdrukkingen krijgt die niet gedefinieerd werden, zols (+ ) + ( ), 0/0, + / +, enz. 2) Formuleer zelf de definities voor de uitdrukkingen lim f (x) = ± x ± 37

39 3.2 Continue functies Definitie Zij een functie F : V R n. We zeggen dt F continu is in indien R m gedefinieerd minstens in een omgeving vn lim F( x) = F( ) x met ndere woorden, indien de limietwrde gelijk is n de functiewrde, of, gebruik mkende vn de definitie vn limiet: ε > 0, δ > 0 : x < δ = F( x) F( ) < ε Opmerkingen ) Er zijn drie eisen, nmelijk 1. lim x F( x) moet bestn; 2. F moet gedefinieerd zijn in ; 3. lim x F( x) = F( ) 2) Als men de definitie neerschrijft in de vorm ε δ, dn is het niet meer nodig te schrijven 0 < x 3) In het gevl vn een functie vn één vernderlijke wordt de definitie: f is continu in indien met ndere woorden, lim f (x) = f () x ε > 0, δ > 0 : x < δ = f (x) f () < ε Met behulp vn de eigenschppen die we gezien hebben over limieten vn functies, bewijzen we nu gemkkelijk de volgende resultten: Stelling Opdt F = ( f 1, f 2,, f m ) : V R n voldoende dt f i continu is in x voor i = 1,,m. R m continu is in x, is het nodig en Bewijs. Deze eigenschp is een rechtstreeks gevolg vn Stelling Het is dus voldoende eigenschppen te bestuderen vn functies met wrden in R. Stelling Onderstel dt f,g : R n R continu zijn in. Dn zijn ook de functies f + g, f g, f en, indien g( ) 0, f /g continu in. 38

40 Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit de stellingen 3.1.6, 3.1.8, en Stelling Onderstel dt f : R n R continu is in en dt f ( ) 0. Dn bestt er een omgeving vn wr f ( x) een vst teken heeft. Bewijs. We weten dt ε > 0, δ > 0 : x < δ = f ( x) f ( ) < ε of f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε Onderstel f ( ) > 0, en kies ε = f ( )/2. Dn volgt dt voor x < δ dt 0 < f ( ) ε = f ( ) 2 < f ( x) en f ( x) heeft dus hetzelfde teken ls f ( ) op een omgeving vn. Indien f ( ) < 0 dn neemt men ε = f ( )/2 en men gt op nloge mnier te werk. Stelling Onderstel dt de functies voldoen n de volgende eigenschppen : en G is continu in b. Dn is F : V R n R m G : W R m R p lim F( x) = b x lim G( F( x)) = G(lim F( x)) x x Men ndere woorden, men mg een limiet en een continue functie met elkr vn plts doen verwisselen. Bewijs. Angezien G continu is in b geldt : ε > 0, δ 1 > 0 : y b < δ 1 = G( y) G( b) < ε Angezien geldt ook (neem ε = δ 1 in de definitie): lim F( x) = b x δ > 0 : 0 < x < δ = F( x) b < δ 1 Uit 0 < x < δ volgt dus dt G( F( x)) G( b) < ε en dit bewijst de stelling. 39

41 Stelling Onderstel dt de functies F : V R n R m G : W R m R p voldoen n de volgende eigenschppen : F is continu in en G is continu in F( ). Dn is G F continu in. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit stelling Definitie Een functie f : R R die gedefinieerd is op een intervl ( δ,], is linkscontinu in ls lim f (x) = f () x Een functie f : R R die gedefinieerd is op een intervl [, + δ), is rechtscontinu in ls lim f (x) = f () x + Stelling Een functie f : R R is continu in dn en slechts dn ls f zowel rechtscontinu ls linkscontinu is in. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit de eigenschp dt de limiet vn f in bestt ls en lleen ls de linker- en rechterlimiet vn f in bestn en n elkr gelijk zijn. 3.3 Open en gesloten verzmelingen Definitie Een deelverzmeling V R n heet gesloten indien de verzmeling V l hr verdichtingspunten bevt. Voorbeelden [,b] is een gesloten verzmeling in R. 2. (,b) is niet gesloten. 3. {1/n n N 0 } is niet gesloten. 4. {(x,y) R 2 x 2 + y 2 1} is gesloten. 5. /0 en R n zijn gesloten. Definitie Zij V R n. Een punt noemen we een inwendig punt vn V indien er een omgeving O vn bestt die volledig tot V behoort. We noemen V een open deelverzmeling vn R n ls elk punt vn V een inwendig punt is. Voorbeelden (,b) is een open deel vn R. 2. [,b] is geen open deel vn R. 3. {(x,y) R 2 x 2 + y 2 < 1} is een open deel vn R /0 en R n zijn open delen vn R n. 40