Studiewijzer Wiskunde 2 voor B (2DB10, 2DB40), cursus 2005/2006.

Transcriptie

1 Studiewijzer Wiskunde voor B (DB0, DB40), cursus 005/006. Inleiding In de cursus Wiskunde voor B (DB0, DB40) wordt gebruikt het boek Clculus, Robert T. Smith, Rolnd B. Minton, second edition, Mc Grw Hill, 005. In deze studiewijzer is per week een overzicht gegeven vn chtereenvolgens: * de stof uit het boek die op college wordt behndeld * belngrijke begrippen hieruit * nbevolen stof/opgven voor zelfstudie * de opgven voor de instructies. Deze studiewijzer bevt ook een tweetl nvullingen op de leerstof uit het boek. De colleges Wiskunde voor de eerstejrs studenten worden gegeven door Dr.A.G. vn Asch (tel. 80, e-mil.g.v.sch@tue.nl)onder de code DB0. Voor de HTS-ers worden de colleges Wiskunde gegeven door Dr.G.R. Pellikn (tel. 4, e-mil g.r.pellikn@tue.nl) onder de code DB40. Deze colleges zijn in grote lijnen gelijk. De tentmens zijn hetzelfde. Het is de bedoeling dt de leerstof voorfgnd n de instructies bestudeerd wordt, en dt lvst met deze stof wordt geoefend n de hnd vn de bij de zelfstudie vermelde opgven. Regeling computerprcticum en tentmen. In de cursus Wiskunde voor B wordt het computerprogrmm Mple gebruikt. Dit is een zogenmd computer-lgebr progrmm. Het progrmm kn lleen geïnstlleerd worden ls je op de TUE-cmpus ingelogd bent op het TUE-netwerk. De instlltie gt ls volgt. Selecteer en copieer de volgende tekst: \\cmpusmp\softwre\mplesft\mple\0\windows\disk\instdt\vm\instllmple0.exe Druk op Strt en vervolgens op Run, en voer in het venster vi Control V deze tekst in. Druk op OK en de instlltie strt. Tijdens de instlltie wordt op een gegeven moment gevrgd nr de Purchse Code; deze is momenteel: 7JZBQV9ZMH9EZQ5 De licentie die hierbij hoort loopt f op 3 jnuri 006. Vnf dt moment

2 wordt de nieuw Purchse Code: ZUJV3HCR9CYE76BT De licentie die hierbij hoort loopt tot mrt 007. Ook wordt dr de vrg gesteld: Are You ctivting behind proxy server? Het ntwoord drop moet zijn No (dit is ook defult ingesteld). Vi de web-site wr ook de studiewijzer stt is een (zeer korte) hndleiding voor het gebruik vn Mple beschikbr. In deze hndleiding worden de commndo s behndeld die voor deze cursus vn belng zijn. Ook bevt de hndleiding wt eenvoudige oefeningen die uitgevoerd kunnen worden. In het gebruik vn Mple wordt verder geen onderwijs gegeven. Het is rdzm om gedurende het trimester regelmtig met het progrmm te oefenen, ten einde enige vrdigheid in het gebruik te krijgen. Ook kn het progrmm in veel gevllen gebruikt worden om ntwoorden vn met de hnd uitgerekende opgven te controleren. In de week die volgt op de chtste college/instructieweek zl de instructie besteed worden n een test met betrekking tot het werken met Mple. De duur vn deze test zl ongeveer uur zijn. N floop wordt door de instructeur een beoordeling gegeven. Bij het fsluitende schriftelijke tentmen wordt fhnkelijk vn de beoordeling vn de test mximl één punt opgeteld; het mximl te behlen cijfer blijft echter een 0. Het eventueel behlde bonuspunt telt lleen bij het fsluitende schriftelijke tentmen onmiddellijk n floop vn de cursus mee, en dus niet meer bij eventuele herknsingen. Tijdschem Week. Stof: 4., 4.3, 4.4, 4.5. Belngrijke begrippen: primitieve Riemnn som beplde integrl hoofdstelling vn de integrlrekening.3 Zelfstudie. 4.: 5, 7, 9,, 3 4.3: 3, 7 4.4: 7, 9, 5 4.5: 7, 9, 3, 4

3 .4 Instructie-opgven: 4.: 5,, 4, 5, 3, : 3, :, 6, 43, 45 Week. Stof: 4.6, 7., 7.. Belngrijke begrippen. substitutiemethode prtiële integrtie recursie.3 Zelfstudie. 4.6: 5, 8, 9, 47 7.: 7, 5, 9 7.: 3, 5, 7.4 Instructie-opgven: 4.6:, 3, 7, 44, 50, 5 7.:, 3, 6, 35 7.:, 9, 33, 36 Week 3 3. Stof: 7.3, 7.4 (tot exmple 4.7) 3. Belngrijke begrippen goniometrische substituties integrlen vn rtionle functies 3.3 Zelfstudie 7.3: 3, 7, 7.4: 3, 5, Instructie-opgven: 7.3: 7,, 9 3

4 7.4:, 4, 5,, 3 De opgven over goniometrische substituties uit 7.3 zijn niet erg geschikt; drom enkele extr opgven over dit onderwerp:. Bepl 3 + x x 4 dx. Bepl 3. Bepl 3 x dx + x x 4x dx (Antwoorden: π x 4x 8 + rcsin(x) + C) 6 Week 4 4. Stof: 7.7 (tot A Comprison Test), 5., Belngrijke begrippen oneigenlijke integrlen oppervlkte tussen twee grfieken inhoud 4.3 Zelfstudie 7.7: 3 t/m 0,, 3, 6, 7 5.: 6, 7, 8 5.: 7, Instructie-opgven: 7.7: 9,, 3, 6, 33 5.: 3, 6, 7 5.:, 4, 6, 30, 39 Week 5 5. Stof: 5.3, 5.4, Anvulling (komt in de plts vn 5.6) 5. Belngrijke begrippen inhoud 4

5 booglengte oppervlkte vn een omwentelingslichm zwrtepunt 5.3 Zelfstudie 5.3: 5, 6, 9, 0 Anvulling :, 5.4 Instructie-opgven: 5.3: 3, 6, 8, 3 5.4: 5, 49, 50, 5 Extr opgven over de stof uit 5.4:. Bepl de lengte vn de grfiek vn f(x) = x x voor 0 x 8.. Bepl de lengte vn de grfiek vn f(x) = 3 (x + ) 3 voor 0 x. 3. Voor x is de functie F (x) ls volgt gedefinieerd: F (x) = x t4 dt. Bepl de lengte vn de grfiek vn de functie F (x) voor x 3. Anvulling : 3, 4 Week 6 6. Stof: 6.5, 6.6 (t/m exmple 6.3) 6. Belngrijke begrippen differentilvergelijking scheiding vn vribelen beginwrde-probleem logistieke vergelijking richtingsveld 6.3 Zelfstudie 6.5: 5 t/m 5

6 6.4 Instructie-opgven: 6.5: 3, 4, 7,, 4, 7, 3, 37, : 5, 7, 9, 30, 3 Week 7 7. Stof: 6.6 (vnf exmple 6.3), Anvulling 7. Belngrijke begrippen: methode vn Euler eerste orde lineire differentilvergelijking 7.3 Zelfstudie Anvulling :, Instructie-opgven: 6.6: 7, 8, 5 Anvulling :, 5, 6, 7, 8 Week 8 8. Stof: 3., Belngrijke begrippen numeriek nulpunten beplen methode vn Newton numeriek integreren rechthoeksregel trpeziumregel methode vn Simpson 8.3 Zelfstudie 3.: 7, 8 4.7: 5, 7, Instructie-opgven: 3.:, 5, 9, 3, 5 6

7 4.7: 3, 3, 35, 4, 45 Week 9 In deze week wordt de Mple-test gehouden. 7

8 Anvulling : Zwrtepunten In Figuur is getekend het gebied in het x, y-vlk dt begrensd wordt door de grfieken vn y = f(x) en y = g(x) en de lijnen x = en x = b, wrbij we nnemen dt op [, b] geldt g(x) f(x). y = f(x) y = g(x) x Figuur b De oppervlkte vn dit gebied wordt gegeven door A = (f(x) g(x)) dx. In dit gebied is een verticle strook getekend op fstnd x vn de y-s en met een breedte dx. Onder het moment vn zo n strook ten opzichte vn de y-s verstn we de oppervlkte vn de strook de fstnd tot de y-s, dus x (f(x) g(x)) dx. Het totle moment vn dit gebied ten opzichte vn de y-s wordt dn x (f(x) g(x)) dx. Ook bekijken we het moment ten opzichte vn de x-s. Als fstnd voor de ngeven strook tot de x-s nemen we de fstnd vn het midden vn de strook tot de x-s, dus (f(x) + g(x)). Het moment vn deze strook ten opzicht vn de x-s is dn gelijk n (f(x) + g(x)) (f(x) g(x)) dx = (f(x) g(x) ) dx. Het totle moment vn het gebied ten opzichte vn de x-s wordt dn gegeven door ( f(x) g(x) ) dx. 8

9 Het zwrtepunt vn het gegeven gebied wordt nu gedefinieerd ls het punt met coördinten (x, y) zodt geldt: A x = totle moment ten opzichte vn de y s A y = totle moment ten opzichte vn de x s. De coördinten vn het zwrtepunt worden dus gegeven door de volgende uitdrukkingen: x = A y = A x (f(x) g(x)) dx ( f(x) g(x) ) dx. In het bijzonder ls g(x) = 0 dn worden de coördinten vn het gebied begrensd door de grfiek vn f(x), de x-s en de lijnen x = en x = b gegeven door: x = A y = A Opgven xf(x)dx f(x) dx. Bepl vn elk vn de volgende gebieden de coördinten vn het zwrtepunt.. Het gebied begrensd door de x-s, de grfiek vn f(x) = sin x en 0 x π.. Het gebied dt gegeven wordt door 0 y x. 3. Het gebied dt begrensd wordt door de x-s, de grfiek vn f(x) = R x en R x R. 4. Het gebied dt begrensd wordt door de grfieken vn f(x) = x en g(x) = x, wrbij 0 x. 9

10 Anvulling : Eerste orde lineire differentilvergelijkingen. Een eerste orde lineire differentilvergelijking is vn het volgende type: y + p(x)y = q(x), wrbij p(x) en q(x) willekeurige continue functies vn x zijn. Voor dergelijke differentilvergelijkingen is er een eenduidig oplossingslgoritme. Bepl eerst een primitieve functie P (x) vn p(x), dus P (x) = p(x). Vermenigvuldig beide zijden vn de differentilvergelijking met de fctor e P (x) : e P (x) y + e P (x) p(x)y = e P (x) q(x). Nu is de uitdrukking n de linkerknt precies de fgeleide vn e P (x) y: ( e P (x) y ) = e P (x) y + P (x)e P (x) y = e P (x) y + p(x)e P (x) y (product-regel voor het differentiëren). De fctor e P (x) wrmee de differentilvergelijking wordt vermenigvuldigd wordt in dit verbnd ook wel een integrerende fctor genoemd. Dus de differentilvergelijking lt zich herschrijven tot ( e P (x) y ) = e P (x) q(x). Dn is e P (x) y = e P (x) q(x)dx, wruit (zo mogelijk) de functie y bepld kn worden: ( ) y = e P (x) e P (x) q(x)dx. Voorbeeld Bij de differentilvergelijking y +y = x is p(x) = en q(x) = x. Dus P (x) = x. Vermenigvuldig de differentilvergelijking met e x : e x y + e x y = xe x. Dus (e x y) = xe x, ofwel e x y = xe x dx = xe x e x + C. De oplossingen worden dus gegeven door y = e x (xe x e x + C) = x + Ce x. Voorbeeld Bij de differentilvergelijking y + x y = (x > 0) is p(x) = x en q(x) =. 0

11 Dus P (x) = ln x en e P (x) = e ln x = x. N vermenigvuldigen met x kunnen we de differentilvergelijking herschrijven ls (xy) = x, dus xy = x + C, ofwel y = x + C x. Opgven Los de volgende differentilvergelijkingen op.. y + y = e x. y y x = x 3. xy = y + x 5 4. xy y = x 3 sin x x y + y x = 0 ) ) ( + e x y + x ( + e x y = x 7. xy + 3y = sin x x (x > 0) 8. xy y = x (x > 0)