reëelwaardige functies
|
|
- Joanna Vink
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Primitieven en Riemnn- integrlen vn reëelwrdige functies Het begrip primitieve vn een R R functie Stel : f( ) reëelwrdige functie, met definitie gebied = intervl I Def : F( ) is primitieve functie vn f( ) over I <=> F( ) is fleidbr ( en continu) over I. DF = df =f, I d OPM : ) ( uitbreiding)... over I \ P <=> verzmeling vn -wrden wrover bv f( ) niet gedef. is. ) Niet elke functie f( ) bezit een primitieve functie Voldoende voorwrde: Elke continue functie f( ) ( zonder bewijs) bezit een primitieve functie => Bezit de functie f( ) een primitieve functie over I dn is f( ) integreerbr over I OPM : Een integreerbre functie bezit oneindig veel primitieve functies. Bewijs : Stel F ( ) & F ( ) zijn primitieve functies vn f( ) over I. => F ( ) & F ( ) zijn fleidbr (=> ook continu) => DF ( ) = DF ( ) = f( ), I => DF ( ) DF ( ) = fleidbr => D( F ( ) F ( )) = => F ( ) F ( ) = C, C R => F ( ) = F ( ) + C Stel Verzmeling vn lle primitieve functies vn f( ) over I. = onbeplde integrl vn f( ) Nottie OPM f.d=f C f =Df = df d =d F C d = d d f.d=f Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
2 Bsisintegrlen n.d= n n C ( n R, n - ) d =ln C.d= ln C -> e.d=e C sin.d= cos C cos.d=sin C sec.d= d =ln sec tg C cos = ln tg Pi 4 C csc.d= d =ln csc cotg C sin cotg.d=ln sin C = ln tg C tg.d= ln cos C=ln sec C sec².d=.d=tg C cos² csc².d=.d= cotg C sin² d ² ² = rctg C d ² ² = ln C d ² ² =rcsin C d ²±² =ln ²±² C sinh.d=cosh C cosh.d=sinh C.d=tgh C cosh².d= coth C sinh² Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
3 Eigenschppen vn primitieven c.f c.g.d=c. f.d c. g.d Integrtietechnieken ) Substitutie f D.d= f d d.d= f t.dt =t substitutie Er geldt : f t = d dt f t.dt = d dt f.d.d. d dt = f.d.d. d dt = f.d.d. dt d = f.d.d. dt d = f.d. =f =f t D met t= => de beide leden hebben dezelfde fgeleide Gebruik : ) D.d= dt t =ln t C=ln C met t= D = d d vb. tg.d= sin cos.d= Dcos cos.d = dcos cos.d Stel cos =t = dt t = ln t C = ln cos C Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
4 = ln cos C = ln sec C b) kies zelf t= => dt= '.d vb. d ² 4 = dt t = t dt =. t C = t C = ² 4 C ) ² 4=t => d=dt => d=.dt ) ² 4=t² => d= tdt => d=tdt (*) = tdt t = dt=t C= ² 4 C OPM : Goniometrische substitutie ) f, k² ² d domein : = k. sin t of = cos t Gebseerd op sin²t + cos²t = ) f, ² k² d dn : = k. tg t of = k sinh t vb. ² ²d=?= ² ²sin²t..cost.dt met =sin t = ² sin²t cos t dt = ² cos²t dt= ² cost.dt => d=cos t dt Nu is : cos t=cos²t => cos²t= cost Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (4/3)
5 = ² [ cost dt dt ] Stel t=u dt= du ) Prtiële integrtie ( PI) = ² [ cos udu t] = ² [ sin t t ] C = ² sin t cos t ²t 4 C cos t= sin²t met sin t= of t=rcsin = ² ² ² ².rcsin C = ² ² ².rcsin C u. v '.d=u. v v.u'.d of u.dv=u.v v.d u & v: constnt en fleidbr Beschouw : D[u.v]=D u. v u.d v => u.d v =D u.v v.d u => u. dv d =d u.v du v. d d => u.dv= d u.v v.du => u.dv=u.v v.du Toepssingsvoorbeeld: Intertieformule: cos n d= cos n.cos.d = cos n.d sin = cos n.sin sin.d cos n = cos n.sin sin. n.cos n.sin.d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (5/3)
6 = cos n.sin n. cos².cos n.d = cos n.sin n. cos n.d n. cos n.d Termen cos n in zelfde lid. cos n d n. cos n d n. cos n d = cos n.sin n. cos n.d = cosn.sin n n. cos n.d n => cos n d=cos n.sin n. cos n.d OPM: e. V n.d=e. V n ' C vb. e. ².d=e. ² b c C => e. ² =e. ² b c e. b ² =² b c b = ² b. b c = b= => b= b c= => c= = e. ² C 3 ) Splitsen in prtieel breuken Stel t r =q n n met gr r( ) < gr n( ) ( gr t( ) gr n( )) Beschouw n =... i i. ² p q... ² p j q j j OPM: i = multipliciteit vn i i = multipliciteit vn ² + p j + q j Met een fctor i i prtieel breuken: correspondeert met een som vn i... i i Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (6/3)
7 Met een fctor ² p j q j j vn prtieel breuken: correspondeert met een som ( met p j ² 4q j < ) P Q ² p j q j P Q... P j Q j ² p j q j ² p j q j j Vi splitsen in prtieel breuken bekomt men bij integrtie 4 tpes integrlen, nl: ) d 3) b.d ² p q ) d n 4) b.d ² p q n ( n> ) Tpe d = d = dt t = ln t C = ln C Tpe d = d n = dt n t n - = = t n.dt= t n n C = C n n. t = n. t n C Tpe 3 b.d ² p q =k. d ² p q ² p q l. d ² p q Stel b d=k.d ² p q l.d b d=k. pd l.d b=k kp l of k= k= Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (7/3)
8 kp l=b l=b p d = k.ln ² p q l. ² p q =...=... l. d p p s Stel ² p q=² p p² p² q 4 4 q p 4 = p = p s² p² met s= q 4 =... l. dt t² s² =k.ln ² p q l. p s. rctg C s Tpe 4 - EX b.d ² p q n n,p² 4q Stel b=k.d ² p q l = k. d ² p q ² p q l. d n ² p q n = k. dz z...= k n n.z n... k = n. ² p q l. d n ² p q n Stel =... l. ² p q=...= p s p² met s= q 4 d p [ p s ] dt n =... l. t² s² n Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (8/3)
9 Er geldt: dt t² s² = t² s² n t² s² n = t² t² s².dt s². dt n t² s² n Nu is: I= t.t.dt t² s² n =? Stel u=t du=dt dv= t.dt v= t.dt t² s² n t² s² n =. d t² s² t² s² = n. dz z n =. n.z n =. n. t² s² n... PI = t. n. t² s² dt n. n t² s² n Substitutie vn I in (*) dt => t² s² n = n t² s² n + n. dt t² s² s². dt n t² s² n => s². dt t² s² = t n n s².. n. t² s² n. dt t² s² n n = n 3 s². n => dt t² s² = t n.s²3 n. t² s² n s². n 3 n. dt t² s² n Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (9/3)
10 Riemnn integrl ( begrensd in [, b]) Stel < b Verdeel [, b] in n deelintervllen m. b. v. =,,..., i-, i,..., b = n n Stel S n = i= n f i. i = opp i= -> Riemnn-som n >> => rij vn Riemnn-sommen -> eventueel convergeren eindige wrde => f( ) is ( Riemnn- integererbr over [, b]) Nottie : b f.d= lim S n =S -> Eindige wrde n -> beplde integrl OPM : ) Is > b => b f d= f d b ) Is = b => b 3 ) Is c [, b] => b f d= f d= c f d b f d c Meetkundige interprettie Stel f( ), [, b] => b f d = opp. Begrensd door = f( ), -s & de verticlen = & = b. Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
11 Middelwrde stelling Stel f( ) continu over [, b]: c [, b] => b f d= b.f c opp /// opp \\\ Verbnd tussen beplde & onbeplde integrlen Stelling f( ) is continu over [, b] & stel k [, b] met k wilekeurige, vst Dn : H: k f t dt=h is een primitieve vn f( ) over [, b] Te bewijzen: Bewijs: DH = dh =f d DH = dh d = lim H H f t dt = lim = lim = lim k k k f t dt k f t dt f t dt f t dt met k [, + ] = lim f c = lim f c c [, ] : f t dt=.f c =f Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
12 Gevolg : Is f( ) continu over [, b] & is F( ) een primitieve functie vn f( ) over [, b] => b f d=f b F Bewijs : Er geldt F( ) is primitieve functie vn f( ) over [, b] H = k => H =F C f t dt is primitieve functie vn f( ) over [, b] H( ) & F( ) beide primitieven zijn op een constnte n gelijk. => b f d= b f t dt= k f t dt b f t dt vb. Oneigelijke integrl = b k f t dt f t dt=h b H k = F b C F C =F b F d=?=[ = ] Er geldt: F = 3 d= 4 4 Beplde integrl: f d met & b: reële getllen f( ): begrensd is over [, b] ls f( ) continu is over [, b] k b f d= c f t dt c c f t dt c 3 => oneigenlijke integrlen vn de ste soort. ( b beiden: oneigenlijk ± c f t dt c b f t dt c 3 vb. d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
13 => oneigenlijke integrlen vn de de soort. ( f( ) niet begrensd in [, b]) vb. d => oneigenlijke integrlen vn de 3de soort ( combintie vn de ste en de 3de soort) vb. d Bewerking oneigenlijke integrl ste soort b s s f d= lim b s s f d= lim f d= c c s s = lim f d f d f d f d c f d lim t t c OPM: -> op voorwrde dt limiet bestt! f d vb. d = lim n s s d n Er geldt: d = n.d n ls n > = n n = n. n ls n = = ln ) n > = lim s [ = lim s [ = n s n. n ] n.s n convergent n ] Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
14 ) n = s = lim [ln ] s = lim s [ln s ln ]= lim ln s = s divergent, integrl bestt niet, is geen eindig getl. het Bewerking oneigenlijke integrl de soort Stel f( ) is niet begrensd in, wel in ], b] b f.d=lim b f.d Stel f( ) is niet begrensd in b, wel in [, b[ b f.d=lim b f.d Stel f( ) is niet begrensd in [, b], niet in c ], b[ b f.d= c = lim f.d b f.d c vb. d ² = d ² d ² = lim c d ² lim f.d lim d ² b f.d c Nu is d ² = = lim [ = lim [ ] lim [ ] ] lim [ ] Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (4/3)
15 Integrtie over een vlk gebied: Def : z = f(, ) z dubbelintegrl def( f ) R² Beschouw n m f i, j. ij i= j= met f i, j =, ij : ij = -> Riemnn-som Stel n >> m >> => Rij vn Riemnn- sommen -> eventueel convergeren -> eindige wrde => f(, ) is integreerbr over. Nottie => f,.d= lim n m n m f i, j. ij i= j= OPM Voldoende voorwrde voor integreerbrheid over : f(, ) is continu & begrensd over. Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (5/3)
16 Dubbelinterlen in crthesinse coördinten f,.d -> berekening: opeenvolgende enkelvoudige integrlen. Stel = enkelvoudig gebied t. o. v. -s of = {(, ) b & f ( ) f ( )} of = enkelvoudig gebied t. o. v. -s of = {(, ) g ( ) g ( ) & c d} Nu is f,.d= lim n m = lim n m n m f i, j. ij i= j= n m f i, j. i. j i= j= Stel enkelvoudig gebied t. o. v. -s Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (6/3)
17 Houdt nu constnt & beschouw lim n n i= lim m m j= f i, j. j. i = b Stel enkelvoudig gebied t. o. v. Y-s f, d= d c g f, d d g f f, d d f OPM ) Is enkelvoudig gebied t. o. v. - s & t. o. v. - s => => is rechthoekig f, d= b Bijzonder gevl d c f, d d= d c b f, d d Is f, =. => ) d = dd 3) f, d= b d. d d r.f, s.g, d=r. 4) = met = => f, d= c f, d s. g, d f, d f, d Gevolg : Integrtie over willekeurig gebied Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (7/3)
18 => f, d= f, d => = 3 met i j = i j vb. f, d f, d 3 Geg. z = f(, ) = Gevr. ( Dubbel) integrl over, berensd door - s ( = ) & = & = Opl. d=.d d -> enkelvoudig gebied t. o. v. - s. = = [ ² = Dubbelinterlen in poolcoördinten.d d ] d ² d= 3 d = [ 4 4 ] =. 4 4 =8 Er geldt: =r.cos =r.sin f, d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (8/3)
19 Gevr : d =? f, d=r f r.cos,r.sin dr.d vb. ) e ² ² dd = 'ste kwdrnt' Stel dd =r.cos =r.sin => ² + ² = r² = rdrd : : -> + : -> + ' : r: -> + : -> / e ² ² dd= e r² rdrd = = d. e r². r.dr d.. e r².dr² = [ ].. [ e r² ] =..= 4 vb. ) ² ² d gebied: C : ² ²= C M,,R= C : ² ²=4 C M,,R= R : =, R : = Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (9/3)
20 Overgng nr Poolcoördinten c :r².cos² r.sin ²= r².cos² r².sin² r.sin = r²=r.sin => r=sin c :r².cos² r.sin ²=4 r².cos² r².sin² 4r.sin 4=4 r²=4r.sin => r=4sin R : = 4 =rctg R : =rctg ² ² d= ' =.r.drd r rctg 4 rctg = 4 = 4 rctg r=4sin r=sin dr d 4sin sin d sin d = [ cos ] 4 rctg Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
21 Integrtie over een ruimtelijk gebied: drievoudige integrl Def : f(,, z) & V def( f ) R³ z met Volume V ijk = i i z i Stel n m p f i, i, I. V ijk i= j= k= -> Riemnn-som met f i, i, I =, V ijk : V ijk V= n >> m >> -> lten groter worden p >> -> rij vn Riemnn-sommen -> eventueel convergeren -> nr eindige wrde => ls dit geldig is => f(,, z) is integreerbr over V Nottie : f,,z dv= lim V n m p n m p f i, i, I. V ijk i= j= k= -> integrndum of integrnt -> dv: elementir volume element -> integrtiegebied (- volume) OPM : Voldoende voorwrde voor integreerbrheid vn f over V: is continu & begrensd over V. f Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
22 Drievoudige integrl in crthesische coördinten -> Berekening: opeenvolging vn een enkelvoudige integrl & dubbel integrl Stel V = enkelvoudig gebied t. o. v. -vlk = {(,, z ) (, ) V & f (, ) z f (, )} -> projectie vn V op -vlk z * Houdt & constnt en sommeer over de blkjes // z- s en k >> ( resp lim ) k * Lt & vriëren zodt grondvlk vn blkje het volledige oppervlkte V doorloopt. => f,,z dv= V z=f, V z=f, f,,z dz dv OPM : nloog voor enkelvoudige gebieden t. o. v. z-vlk z-vlk Eigenschppen : ) Is V enkelvoudig t. o. v. de 3 coördint vlkken... is op 3 mnieren te berekenen. V OPM : Is het gebied V bolvormig & f(,, z) = ( ). ( ). ( z) is =>... = te herleiden tot product V vn 3 enkelvoudige integrlen. ) dv = dddz 3) Lineriteitseigenschp 4) Willekeurig integrtiegebied => opsplitsing in som vn enkelvoudige integrtie gebieden. Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
23 Drievoudige integrl in cilindercoördinten z f,,z dv V dv =? =r cos =r sin z=z => dv=r.dr.d.dz f r.cos,r.sin,z.r.dr.d.dz V ' vb. OPM : Zie not's Volume vn een omwentelingslichm z V= V dv= r.dr.d.d -> cilinder coördinten V = = = = = = =b = =b = b r=f rdr d d r= [ r=f r² d d ]r= = [f ]²d b = ²d Volume: b V= ²d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
24 Drievoudige integrl in bolcoördinten z f,,z dv V dv =? =r cos sin =r sin sin z=r cos => dv=r.d.r.sin.d.dr dv=r².sin.dr.d.d f,,z dv V = f r.cos,sin,r.sin.sin,r.cos.r².sin.dr.d.d V vb. zie not's lgemene coördintentrnsformties in 3- voudige integrlen Stel = u, v, w = u, v, w z= 3 u, v, w f,,z dv V dv=dddz met vb. = f,, 3 V,, 3 u, v, w u,, 3 = u, v, w u 3 u zie not's,, 3 u, v, w dudvdw = bsolute wrde vn de Jcobin v v 3 v w w 3 w Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (4/3)
25 Integrtie over een kromme: Lijnintegrl K: ruimte kromme -> begrensd door P& Q z Beschouw: f(,, z): gedefinieerd in elk punt vn K n f i, i, i. s i i= -> Riemnn- som voor f over K ( tss P& Q) n >> -> rij R- sommen -> eventueel convergeren -> eindige wrde -> J Lijn- integrl vn f over K ( tussen P& Q) K n f,,z ds=lim f i, i, i. s i i= f is integreerbr over K ds -> elementir boogelement Berekening vn lijnintegrl s i P i P i = i i ² i i ² z i z i ² = i ² i ² z i ² lim n ds= d ² d ² dz ² (*) Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (5/3)
26 Stel K gegeven in prmeter gednte = t = t z=z t met t Q t t P Nu is d= d.dt= ' t.dt dt d= d.dt= ' t.dt dt dz= dz dt.dt=z' t.dt -> in (*) ds= ' t ² ' t ² z' t ².dt => K t Q f,,z ds= f t, t,z t...dt t P OPM : ) K is lijnstuk op - s tussen P(,, ) & Q( b,, ) => K : = t = z = => ' ( t)=, ' ( t)=, z' ( t)= => K b f,,z ds= b f t,, dt= f t dt ) K is gelsoten kromme f,,z ds 3) K is vlkke kromme ( vb. in - vlk) K z ( i ) in crthesische vergelijking K = ( ) z = ds= d ² d ²= d d d = ' d ( ii ) pool vergelijking Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (6/3)
27 K r = r( ) z = s r ² r ² lim n ds= r.d ² dr ² ds= [ ] r² dr d d = r² r ' d vb. zie not's Oppervlkte integrlen z Stel f(,, z): gedefinieerd in elk punt vn Verdeel in n. m deeloppervlkjes oppervlkte S ij ij met Kiespunt i, i, i op ij Beschouw: n m f i, i, i. S ij i= j= -> Riemnn-som n >> -> rij R- sommen -> eventueel convergeren -> eindige m >> wrde Nottie : Voldoende voorwrde: J -> f(,, z) is integreerbr over f,,z.ds= lim n m n m f i, i, i. S ij i= j= = oppervlkte integrl vn f over f is continu & begrensd over Berekening vn een oppervlkte integrl: Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (7/3)
28 f,,z.ds -> te herleiden tot berekening vn een dubbele integrl over een VLK gebied. ) Stel: z = z(, ) -> met crthesinse vergelijking z : z = z(, ) Er geldt: Nu is: S ij ij cos ij = b => b = cos ij -> oppervlkte verhouden zich op dezelfde wijze => ij = i. i cos ij Verder is: n. z =± n. z.cos ij = > => cos ij = ± n. z n met n z, z, & z,, => n. z = => cos ij = n Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (8/3)
29 Besluit: => cos ij = S ij ij = z z z z. i. i => lim n m ds= z z.d.d f,,z.ds= f,,z,. z z.d.d OPM : ) Stel -vlk => : z= (=> z =, z = ) => f,,z.ds= f,,z,.d.d -> dubbel integrl ) gesloten oppervlkte: f,,z.ds vb. -> zie not's ) Stel: = ( u, v) -> met prmetervoorstelling = ( u, v) z z = z( u, v) Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (9/3)
30 PQ= r= r u u, v v r u, v -> ls Q oneindig dicht nr P ndert d r= r u d u, v d v r u, v -> gelegen in het rkvlk in P. Nu is : d r= r r.du u v.dv -> onbonden in componenten -> component rkend n een u- lijn ( v= cte) -> component rkend n een v- lijn ( u= cte) Er geldt: n= r r.du u v.dv => het oppervlk gevormd door de componenten is: opp= r r.du u v.dv = r u r v.du.dv = ds -> infinitesiml klein oppervlkte element in P f,,z.ds= f u, v, u, v,z u, G uv v. r u r v.du.dv Bijzondere gevllen: ) Cilindrisch oppervlk : ds = ) Bol oppervlk ds = Rd dz R sin d d Toepssing: z Geg : vlkke kromme K: = f( ) tss b = = f( ). cos z = f( ). sin -> prmeters & Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
31 Gevr: Opl: Dus: ds=, r r.dd r =,f '.cos,f '.sin r =, f.sin,f.cos r r =f. [f ' ] b ds= f. [f ' ].dd b ds= f. [f ' ].d b S= f.ds Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Nadere informatieWiskundige Analyse 1
Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
Nadere informatieReëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken
Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel
Nadere informatieInhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Nadere informatieDe stelling van Rolle. De middelwaardestelling
De stelling vn Rolle Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) en f() = f(b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = 0. De middelwrdestelling Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr
Nadere informatieUitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim
Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.
Nadere informatieWerkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatie5.1 Rekenen met differentialen
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,
Nadere informatie== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u
== Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking
Nadere informatieBasiswiskunde Een Samenvatting
Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e
Nadere informatie2 Opgaven bij Hoofdstuk 2
2 Opgven bij Hoofdstuk 2 Opgve 2. De functie f : R 2 R is gedefinieerd door ) Bewijs dt f continu is op R 2 \ {(, )}. f(, y) = 2 y 2 + y 2 ls (, y) (, ) f(, ) =. b) Bewijs dt voor iedere R de functie y
Nadere informatiePrimitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2015-I
wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieUitwerking herkansing Functies en Reeksen
Uitwerking herknsing Functies en Reeksen 3 jnuri 14, 9: - 1: uur Opgve 1 () De functie ' is prtieel differentieerbr, met prtiële fgeleiden @'.x; y/ D.1; 1/T en @x @' @y.x; y/ D. v; v/t : Deze prtiële fgeleiden
Nadere informatieFormularium goniometrie
Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Formulrium goniometrie sin α cos α Definities : tn α cot α secα cscα cos α sin α cos α sin α Gevolg : tn α cot α cot α tn α Hoofdformule : cos sin Gevolg : tn sec cot csc α α
Nadere informatieInhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150
Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatieToepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatieRekenen in Ê. Module De optelling. Definitie
Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieToepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Nadere informatie1a Laat x variëren van 0 tot 2; kies een willekeurige maar wel vaste x tussen 0 en 2; de bijbehorende y varieert van 0 tot
Hoofdstuk 5 Meervoudige integralen, bol- en cilindercoördinaten 5.7 Herhalingsopgaven a Laat variëren van tot ; kies een willekeurige maar wel vaste tussen en ; de bijbehorende varieert van tot Korter:
Nadere informatie3. BEPAALDE INTEGRAAL
3. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te eplen. We ouwen onze redenering op vi ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen om
Nadere informatieZomercursus Wiskunde
Ktholieke Universiteit Leuven September 0 Module Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (versie ugustus 0) Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inhoudsopgve Primitieve
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatie2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.
Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos
Nadere informatieOnafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.
Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur
Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld
Nadere informatieGetallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Nadere informatieIntegralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:
Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige
Nadere informatieModerne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Nadere informatieWISKUNDE ANALYSE ECWI-WEWI 6/8. Rudy De Wever
WISKUNDE ANALYSE 6-7 6 ECWI-WEWI 6/8 Rudy De Wever Inhoud. HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE..... Definitie fgeleide in een niet-geïsoleerd punt vn het domein..... Rekenregels..... Herhlingsoefeningen....
Nadere informatieRATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30
Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieFormularium Wiskunde 1 ste graad
Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org
Nadere informatieZwaartepunt en traagheid
Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve 2016-1 uteur HC hugocleys@icloud.com Inhoudsopgve 1 wrtepunt 4 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm....................... 4 1.2 Momentenstelling..................................
Nadere informatieDifferentiatie van functies
Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest
Nadere informatieFormulekaart VWO wiskunde B1 en B2
Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als
Nadere informatieHoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Nadere informatieFormularium Analyse I
Formulrium Anlyse I Getllen, functies en rijen coördintenstelsels: poolcoördinten (r, θ) sferische coördinten (r, θ, ϕ) x = r cos θ y = r sin θ cylindrische coördinten (u, θ, z) x = r sin ϕ cos θ r 0 y
Nadere informatieInhoud Basiswiskunde Week 5_2
Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie
Nadere informatieRouteplanning middels stochastische koeling
Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieSyllabus Analyse 2A. door T. H. Koornwinder
Syllbus Anlyse 2A door T. H. Koornwinder Universiteit vn Amsterdm, Fculteit der Ntuurwetenschppen, Wiskunde en Informtic, Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde september 2001 Deze syllbus geeft de
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte
Nadere informatieF G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot I
Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)
Nadere informatieOpbouw van het boek: overzicht
Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord
Nadere informatieAanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):
Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:
Nadere informatie7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss
7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls
Nadere informatieIntegralen en de Stelling van Green
Integrlen en de Stelling vn Green Les Functies vn twee vernderlijken Les ubbelintegrl Les 3 Lijnintegrl Les 4 Stelling vn Green en toepssingen Rob e Stelen sptie Een ster genereert mgnetische velden door
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatieAansluiting vwo - wo. wiskunde op het vwo versus wiskunde op de UT. 16-6-2015 Presentatietitel: aanpassen via Beeld, Koptekst en voettekst
Aansluiting vwo - wo wiskunde op het vwo versus wiskunde op de UT 16-6-2015 Presentatietitel: aanpassen via Beeld, Koptekst en voettekst 1 Opzet Korte introductie Overzicht wiskunde in het eerste jaar
Nadere informatieOEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatie3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Nadere informatieH 0 5 R R -F 5 x 1, 5 m m
I b u w k k p l t H I C 6 4 4 0 3 X G l v r s t d z h d l d g t l z! B s t k l t, D k u v r h t k p v -p r d Bu c kt W h p d t u d b s t r s u l t t v r k r p r d u c t, d t v r v r d g d s m t d l l r
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006
1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje
Nadere informatieOefeningen Analyse I
Inleiding Oefeningen Analyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dank, Yannick Meers e-mail: meers@skynet.be Hoofdstuk 7: Functiereeksen Oefening Gevraagd: We gaan opsplitsen voor x : GEVAL : x
Nadere informatieOefeningen Analyse I
Inleiding Oefeningen Anlyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dnk, Ynnick Meers e-mil: meers@skynet.be Hoofdstuk 5: Integrlen Oefening Gegeven: f is continu op [, b] en f(x) > in [, b] Drnst is
Nadere informatieIn dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml
Nadere informatieExamen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer
Nadere informatieAnalyse I. S. Caenepeel
Anlyse I S. Cenepeel Syllbus 132 bij IR-WISK 10333 en 10333 Anlyse: fleiden, integreren en wiskundige softwre, Eerste Bchelor Ingenieurswetenschppen en Fysic (SD-ID 003073), Eerste Bchelor Wiskunde (SD-ID
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot I
Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 2 voor B (2DB10, 2DB40), cursus 2005/2006.
Studiewijzer Wiskunde voor B (DB0, DB40), cursus 005/006. Inleiding In de cursus Wiskunde voor B (DB0, DB40) wordt gebruikt het boek Clculus, Robert T. Smith, Rolnd B. Minton, second edition, Mc Grw Hill,
Nadere informatieELEKTROMAGNETISME 1-3AA30
ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier
Nadere informatie3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2012
Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling
Nadere informatie2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integralen
2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integrlen 2.1 Verwisseling vn de differentitievolgorde Lt V een open deelverzmeling vn R 2 zijn, en f : V R een reëelwrdige funtie op V die prtieel differentieerbr
Nadere informatieLeeswijzer bij het college Functies en Reeksen
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik vn den Bn Njr 2012 Introductie Deze leeswijzer bij het dictt Functies en Reeksen (versie ugustus 2011) heeft ls doel een gewijzigde opbouw vn het dictt
Nadere informatietentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO 2012
Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling
Nadere informatieBoldriehoeksmeting. Peter Bueken. Hogere Zeevaartschool Noordkasteel Oost 6 B-2030 Antwerpen. Operationeel Niveau Nautische Opleiding
oldriehoeksmeting Peter ueken Hogere Zeevrtschool Noordksteel Oost 6-2030 Antwerpen Opertioneel Niveu Nutische Opleiding U (HZS) oldriehoeken 2017-2018 1 / 16 Goniometrische getllen b b o α A sin α = b
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I
Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.
Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatieTentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :
Nadere informatieKrommen en oppervlakken in de ruimte
(HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken
Nadere informatieAnalyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010
WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010
Nadere informatie