Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I

Transcriptie

1 chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte vn V. p 2 3 Op het domein [0, 3] bekijken we de functies g p( x) ( f( x)) 3 x 4 1 x 4 wrbij p > 0. In figuur 1 zijn de grfieken vn g p, getekend voor p = 10, p = 2, p = 1, p = 0,5 en p = 0,1. l deze grfieken gn door de punten O(0, 0), T(2, 1) en (3, 0). p figuur 1 y T O x Voor elke positieve wrde vn p gt de grfiek vn g p door O, T en. 3p 2 Toon dt n. www

2 Krsloten eze opgve gt over krsloten wrmee je 3 euro of 6 euro of niets kunt ontvngen. Elk krslot heeft drie vkjes, die je open kunt krssen. Zie figuur 2. figuur 2??? een nog niet opengekrst lot In één vn de vkjes is een IN ( ) verborgen, in de ndere twee een LU (+). Je kunt het krslot inleveren n één vkje of n twee vkjes te hebben opengekrst. Voor elke opengekrste LU ontvng je 3 euro, mr ls je de IN hebt opengekrst, is het lot wrdeloos geworden. Zie figuur 3. figuur 3 +? +? _ + bij inlevering 6 euro wrd wrdeloos lot ij de mensen die de krsloten kopen onderscheiden we twee typen krssers: wghlzen: krssen een tweede vkje open ls het eerste vkje een LU oplevert; ngsthzen: krssen één vkje open en stoppen. Je kunt je fvrgen welk type krsser het slimste is. 4p 3 ereken voor zowel de wghlzen ls de ngsthzen welk bedrg zij nr verwchting per opengekrst lot zullen ontvngen. ij een beplde kiosk is gebleken dt 65% vn de krssers wghls is en 35% ngsths. Op zekere dg komen 500 mensen een lot kopen bij deze kiosk en krssen het open. 5p 4 ereken hoeveel vn deze mensen nr verwchting niets uitbetld krijgen. Vn een groep mensen bestnde uit 65 wghlzen en 35 ngsthzen heeft ieder precies één lot opengekrst. 6p 5 ereken de kns dt uiteindelijk meer dn 60 mensen vn deze groep precies één vkje hebben opengekrst. www

3 Een verzmeling functies Op het domein [0, 2 ] zijn gegeven de functies: f n (x) = 1 + sin 2 x + cos nx wrbij n een positief geheel getl is. 1 e grfiek vn f n gt voor beplde wrden vn n door het punt ( ). 4p 6 Onderzoek voor welke wrden vn n tussen 0 en 50 dit geldt. f 4 ( x) is te schrijven ls 1 1 f ( x) 1 cos2x cos4 x. 3p 7 Toon n dt dit juist is Gegeven is de rechthoek O met (2, 0) en (0, 3). e grfiek vn f 4 verdeelt deze rechthoek in twee gebieden. 7p 8 Toon n met behulp vn integreren dt deze twee gebieden exct dezelfde oppervlkte hebben. 6 irkel met lijnen Gegeven is de cirkel c met middellijn en middelpunt. Lijn k rkt c in. Lijn l is een lijn door die c in nog een nder punt (ongelijk n ) snijdt. is het snijpunt vn k en l. Zie figuur 4. eze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 4 k c Er zijn twee cirkels die l rken en bovendien cirkel c in rken. 5p 9 Teken in de figuur op de uitwerkbijlge de twee middelpunten vn deze twee cirkels. Licht je werkwijze toe. l We gn uit vn dezelfde situtie ls in figuur 4. Verder is gegeven dt =. is het snijpunt vn en. Zie figuur 5. eze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. 7p 10 ewijs dt = =. figuur 5 k c www l

4 Grondprijs Een nieuw industrieterrein grenst n een recht knl en heeft de vorm vn een rechthoek O. O = 400 m en O = 200 m. Zie figuur 6. figuur 6 e grondprijs is fhnkelijk vn de fstnd tot het knl: hoe dichter bij het knl, hoe duurder de grond. Het verbnd tussen de grondprijs (in euro per m 2 ) en de fstnd tot het knl x (in meters) wordt gegeven door de formule: (x) = 100 0,998 x knl = 63 e punten wr gelijk is n 63 liggen op een lijn. eze lijn is in figuur 6 getekend. eze figuur stt ook vergroot op de uitwerkbijlge. O 4p 11 Teken in de figuur op de uitwerkbijlge de lijn wrop lle punten liggen wr gelijk is n 55. Licht je ntwoord toe. Iemnd wil een schtting mken vn de grondprijs vn het gehele terrein. rtoe verdelen we rechthoek O in rechthoekjes met lengte 200 meter en breedte x meter. In figuur 7 is één zo n rechthoekje getekend op x meter vn het knl. Neem (x) ls de prijs per m 2 voor het hele rechthoekje x meter vn het knl. e totle grondprijs is dn bij bendering de som vn de grondprijzen vn deze rechthoekjes. figuur 7 knl 5p 12 ereken op deze mnier de totle grondprijs ls x = 5 meter. Geef je ntwoord in miljoenen euro, fgerond op twee decimlen. e totle grondprijs is nuwkeuriger te berekenen met behulp vn een integrl. 4p 13 ereken de totle grondprijs met behulp vn deze integrl. www

5 Ingesloten In figuur 8 is een vierknt getekend met middelpunt en zijden 2. In het vierknt zijn de horizontle en verticle symmetries getekend. Op fstnd vn de middens vn de zijden liggen de punten,, en. Hierbij is 0 < 1. We gn een rij punten op de symmetriessen construeren. ls strtpunt 0 kiezen we het midden vn de rechterzijde 0 snijdt een s in 1 1 snijdt een s in 2 2 snijdt een s in 3 3 snijdt een s in 4 enzovoort. In figuur 8 zijn de eerste drie stppen (dus tot en met punt 3 ) uitgevoerd. ij elke stp ontstn twee gelijkvormige driehoeken. figuur e lengte vn n noemen we u n (n = 0, 1, 2, 3,...). us u 0 = 0 = 1. Neem = 1. n liggen de punten,, en op de hoekpunten vn het vierknt. 5p 14 ereken voor dit gevl u 1, u 2 en u 3. We kiezen nu voor een getl tussen 0 en 1. In figuur 9 zie je hoe uit u n de volgende term u n+1 wordt gevonden. Figuur 9 stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 9 1 n+1 5p 15 Toon n dt de volgende recursieve un betrekking geldt: un 1 u. n u n+1 u n n 2 We kiezen nu. 3 Het proces wordt eindeloos herhld. Er is een vierknt rond dt steeds nuwer wordt ingesloten. Zie figuur 10. 5p 16 ereken de oppervlkte vn dit vierknt exct. Licht je ntwoord toe met een berekening. figuur www

6 Ellipsen in een vierknt Gegeven is een vierknt wrvn één digonl verticl is. innen dit vierknt tekenen we ellipsen die er precies in pssen: de ellipsen rken n de vier zijden vn het vierknt. e brndpunten liggen op de verticle digonl vn het vierknt. In figuur 11 zie je het vierknt met drin enkele mogelijke ellipsen getekend. figuur 11 In figuur 12 en op de uitwerkbijlge is het vierknt nogmls getekend met drin één vn de hierboven beschreven ellipsen., Q, R en zijn de hoekpunten vn het vierknt.,, en zijn de rkpunten vn de ellips met het vierknt. F 1 en F 2 zijn de brndpunten vn de ellips. e lijn R is een symmetrie-s vn deze figuur. figuur 12 F 2 R Er geldt: F 1 = QF 1. F 1 5p 17 ewijs dit. Q F 1 is een koordenvierhoek. 4p 18 ewijs dit. www

7 Uitwerkbijlge bij de vrgen 9, 10, 11, 15, 17 en 18 wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO 2004 Tijdvk 1 insdg 25 mei uur Exmennummer Nm vrg 9 c k l www

8 Uitwerkbijlge bij de vrgen 9, 10, 11, 15, 17 en 18 vrg 10 k c l www

9 Uitwerkbijlge bij de vrgen 9, 10, 11, 15, 17 en 18 vrg 11 knl = 63 O vrg 15 1 n+1 u n+1 u n n www

10 Uitwerkbijlge bij de vrgen 9, 10, 11, 15, 17 en 18 vrg 17 F 2 R F 1 Q vrg 18 F 2 R F 1 Q www