Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Transcriptie

1 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als 0 en b 2 4c 0, dn worden de oplossingen vn de vierkntsvergelijking 2 + b + c = 0 gegeven door,2 = b ± b 2 4c 2 Mchten en logritmen p q = p+q ( > 0) y = = log y (, y > 0, ) ( p ) q = pq ( > 0) y = e = ln y (y > 0) ( b) p = p b p (, b > 0) log uv = log u + log v ( > 0,, u, v > 0) ( ) p p = = p ( > 0) log u v = v log u ( > 0,, u > 0) b = p = b p (, b > 0, p 0) log u log u = log (, b > 0,, b, u > 0) Binomium vn Newton ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k met ( ) n k Goniometrische formules cos 2 t + sin 2 t = sin ( t) = sin t sin ( π t) = cos t 2 cos sin 2t = 2 sin t cos t sin (t + u) = sin t cos u + cos t sin u sin (t u) = sin t cos u cos t sin u cos (t + u) = cos t cos u sin t sin u cos (t u) = cos t cos u + sin t sin u = n! k!(n k)! tn t = sin t cos t cos ( t) = cos t (π t) = sin t 2 cos 2t = cos 2 t sin 2 t = 2 cos 2 t = 2 sin 2 t sin t + sin u = 2 sin t + u cos t u 2 2 sin t sin u = 2 sin t u cos t + u 2 2 cos t + cos u = 2 cos t + u cos t u 2 2 cos t cos u = 2 sin t + u sin t u 2 2

2 Somformules voor rijen Rekenkundige rij: n ( + kv) = (n + ) + n(n + )v 2 k=0 Meetkundige rij: n r k = rn+ r k=0 (r ) r k = r k=0 ( r < ) Lineire differentievergelijkingen De oplossing vn de lineire differentievergelijking X t+ = X t + b met is ( ) X t = X 0 t b + b Voor < geldt: lim t X t = b Knsrekening Binomile verdeling met prmeters n en p Knsverdeling: P(X = k) = ( n k) p k ( p) n k (k = 0,,..., n) Verwchting: E(X) = np Vrintie: Vr(X) = np( p) Stndrdfwijking: σ(x) = Vr(X) = np( p) Normle verdeling met verwchting µ en stndrdfwijking σ Cumultieve verdelingsfunctie: P(X k) = k σ 2π e 2( t µ σ ) 2 dt Voor µ = 0 en σ = is dit de zogenmde stndrdnormle verdeling met cumultieve verdelingsfunctie P(Z z) = z σ 2π e 2 t2 dt Als X norml verdeeld is met verwchting µ en stndrdfwijking σ, dn is de stochst Z = X µ σ stndrdnorml verdeeld. Omrekenformules: ( ) µ P(X ) = Φ en Φ(Z) = P(X µ + σz) σ Voor willekeurige stochstische vribelen geldt: E(X X n ) = E(X ) E(X n ) Voor onderling onfhnkelijke stochstische vribelen geldt: Vr(X X n ) = Vr(X ) Vr(X n ) 2

3 Limieten sin lim 0 lim = lim = ln ( > 0) 0 p ( = 0 ( > ) lim + ) = e Differentiëren en integreren functie fgeleide f() + g() f () + g () c f() c f () f() g() f ()g() + f()g () (productregel) f() g() f ()g() f()g () (g()) 2 (quotiëntregel) f(g()) f (g()) g () (kettingregel) Differentiëren en primitiveren vn stndrdfuncties: f() f () f() f()d p p p p p + p+ + c (p ) ln ln + c e e e e + c log log ( ln ) + c ln ln ln ln ln + c sin cos sin cos + c cos sin cos sin + c tn cos 2 = + tn2 ln + c Lineire bendering vn f in 0 : L() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) Inhoud vn het omwentelingslichm dt ontstt door de grfiek vn de functie f op het intervl [, b] om de -s te wentelen: I = π b (f()) 2 d Lengte vn de grfiek vn de functie f op het intervl [, b]: L = b + (f ()) 2 d 3

4 Bewegingen in het vlk Als ((t), y(t)) de positie in het Oy-vlk geeft vn een bewegend punt op het tijdstip t, dn wordt de snelheidsvector op het tijdstip t gegeven door ( (t), y (t)). De (sclire) snelheid vn het punt op het tijdstip t wordt gegeven door v(t) = ( (t)) 2 + (y (t)) 2 en de lengte vn de fgelegde weg tussen de tijdstippen t = en t = b door b v(t)dt = b ( (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Eenprige cirkelbeweging met middelpunt (m, n), strl r en hoeksnelheid ω: (t) = m + r cos ω(t t 0 ) y(t) = n + r sin ω(t t 0 ) Hrmonische trilling met evenwichtsstnd c, mplitude A en periode T : h(t) = c + A sin 2π T (t t 0) Continue dynmische modellen Eponentiële groei of vervl: differentilvergelijking: dy d = c y oplossingen: y(t) = y(t 0 )e c(t t0) Logistische groei: differentilvergelijking: dy = c y(m y) met M > 0 oplossingen: y(t) = d My(t 0) y(t 0)+(M y(t 0))e c(t t 0 ) Lijnen en cirkels in het vlk Algemene vergelijking vn een lijn: + by = c. Normlvector: (, b). Voor twee lijnen l en l 2 met normlvectoren (, b ) en ( 2, b 2 ) geldt: l l b b 2 = 0 Lijn door (p, q) met richtingscoëfficiënt m: y = q + m( p). Voor twee lijnen l en l 2 met richtingscoëfficiënten m en m 2 geldt: l l 2 m m 2 = Vergelijking vn de cirkel met middelpunt (m, n) en strl r: ( m) 2 + (y n) 2 = r 2 4

5 Omtrek: 2πr Oppervlkte: πr 2 lengte boog met middelpuntshoek α (rd): αr opp. sector met middelpuntshoek α (rd): 2 αr2 Kegelsneden Prbool: stndrdvergelijking: 4py = 2 brndpunt F : (0, p) richtlijn r: y = p P op prbool d(p, F ) = d(p, r) Ellips: stndrdvergelijking: 2 + y2 = met > b > 0 2 b 2 brndpunten F,2 : (±c, 0) met c 2 = 2 b 2 P op ellips d(p, F ) + d(p, F 2 ) = 2 Hyperbool: stndrdvergelijking: 2 y2 = 2 b 2 brndpunten F,2 : (±c, 0) met c 2 = 2 + b 2 symptoten: y = b en y = b P op hyperbool d(p, F ) d(p, F 2 ) = 2 Rklijneigenschppen:. De rklijn in een punt P vn een prbool mkt gelijke hoeken met de lijn die P verbindt met het brndpunt en de lijn door P loodrecht op de richtlijn. 2. De rklijn in een punt P vn een ellips of hyperbool mkt gelijke hoeken met de lijnen die P verbinden met de beide brndpunten. Vlkke meetkunde De cursief gedrukte termen mogen ls verwijzingen in een bewijs gebruikt worden. Hoeken, lijnen en fstnden De overstnde hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstnde hoeken). Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dn zijn de F -hoeken en Z-hoeken gelijk (F-hoeken, Z-hoeken). Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn, wrbij een pr gelijke F-hoeken of Z-hoeken optreedt, dn zijn die twee lijnen evenwijdig (F-hoeken, Z-hoeken). Een rechte hoek is 90 ; een gestrekte hoek is 80. De som vn de hoeken vn een driehoek is 80 (hoekensom driehoek). 5

6 De fstnd (kortste verbinding) vn een punt tot een lijn is de lengte vn de loodlijn neergelten vnuit dt punt op die lijn (fstnd punt tot lijn). Driehoeksongelijkheid: Als drie punten A, B, C niet op één lijn liggen, dn geldt: AB + BC > AC. Driehoeken Gelijkbenige driehoek:. Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dn zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk. 2. Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dn zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk. Stelling vn Pythgors: Als driehoek ABC een rechte hoek in C heeft, dn geldt 2 + b 2 = c 2. Omgekeerde stelling vn Pythgors: Als in driehoek ABC geldt 2 + b 2 = c 2, dn is hoek C recht. Cosinusregel: In elke driehoek ABC geldt c 2 = 2 + b 2 2b cos γ. Sinusregel: In elke driehoek ABC geldt sin α = b sin β = c sin γ. Gelijke driehoeken Twee driehoeken zijn gelijk (congruent) ls ze gelijk hebben:. Een zijde en twee nliggende hoeken. (HZH) b. Een zijde, een nliggende hoek en de tegenoverliggende hoek. (ZHH) c. Twee zijden en de ingesloten hoek. (ZHZ) d. Alle zijden. (ZZZ) e. Twee zijden en de rechte hoek tegenover één vn die zijden. (ZZR) Gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls ze gelijk hebben:. Twee pren hoeken. (hh) b. Een pr hoeken en de verhouding vn de omliggende zijden. (zhz) c. De verhouding vn de zijden. (zzz) d. Een pr rechte hoeken en de verhouding vn twee niet-omliggende zijden. (zzr) Vierhoeken De som vn de hoeken vn een vierhoek is 360 (hoekensom vierhoek). 6

7 Equivlente definities en eigenschppen vn een prllellogrm:. Er zijn twee pren evenwijdige zijden. b. Er zijn twee pren gelijke overstnde zijden. c. Twee overstnde zijden zijn gelijk en evenwijdig, d. De digonlen delen elkr middendoor. Equivlente definities en eigenschppen vn een ruit:. Het is een prllellogrm met vier gelijke zijden. b. Het is een prllellogrm wrin een digonl een hoek middendoor deelt. c. Het is een prllellogrm wrin de digonlen elkr loodrecht snijden. Equivlente definities en eigenschppen vn een rechthoek:. Het is een vierhoek met vier rechte hoeken. b. Het is een prllellogrm met een rechte hoek. c. Het is een prllellogrm met gelijke digonlen. Puntverzmelingen De verzmeling vn lle punten die dezelfde fstnd hebben tot twee gegeven punten A en B, is de middelloodlijn vn het lijnstuk AB (middelloodlijn). De verzmeling vn lle punten binnen een hoek die dezelfde fstnd hebben tot de benen vn die hoek, is de deellijn (bissectrice) vn die hoek (deellijn). De verzmeling vn lle punten die fstnd r tot een gegeven punt M hebben, is de cirkel met middelpunt M en strl r (cirkel). De verzmeling vn lle punten die dezelfde fstnd hebben tot twee elkr snijdende lijnen, is het deellijnenpr (bissectricepr) vn die twee lijnen (deellijnenpr). De twee deellijnen vn twee elkr snijdende lijnen snijden elkr loodrecht in het snijpunt vn die twee lijnen (loodrechte stnd deellijnenpr). De verzmeling vn lle punten die dezelfde fstnd hebben tot twee evenwijdige lijnen, is de middenprllel vn dt lijnenpr (middenprllel). Cirkeleigenschppen Bij gelijke bogen behoren gelijke koorden (boog en koorde). De loodlijn vnuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor (loodlijn op koorde). Een rklijn n een cirkel stt loodrecht op de verbindingslijn vn middelpunt en rkpunt (rklijn). Stelling vn Thles: Als hoek C in driehoek ABC recht is, dn ligt C op de cirkel met middellijn AB. Omgekeerde stelling vn Thles: Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dn is ACB recht. 7

8 Stelling vn de omtrekshoek: Elke omtrekshoek is hlf zo groot ls de bijbehorende middelpuntshoek. De hoek tussen een rklijn en een koorde is gelijk n de bij die koorde behorende omtrekshoek (hoek tussen koorde en rklijn). Liggen P en Q n dezelfde knt vn een lijn AB en geldt AP B = AQB, dn liggen P en Q op eenzelfde cirkelboog met A en B ls eindpunten (hoeken op een cirkelboog). Koordenvierhoekstelling: In een koordenvierhoek is de som vn elk pr overstnde hoeken 80. Omgekeerde koordenvierhoekstelling: Liggen P en Q n weerszijden vn een lijn AB en geldt AP B + AQB = 80, dn is AP BQ een koordenvierhoek. 8