De stelling van Rolle. De middelwaardestelling

Transcriptie

1 De stelling vn Rolle Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) en f() = f(b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = 0. De middelwrdestelling Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = f(b) f() b Michel Rolle ( ) October 1,

2 Gevolgen vn de middelwrdestelling Lten f, g : [, b] R continu zijn op [, b] en differentieerbr op (, b). Als f (x) = 0 voor x (, b) dn is f constnt op [, b]. Als f (x) = g (x) voor x (, b) dn f(x) = g(x) + c voor lle x [, b] en zekere constnte c R. Als f (x) op [, b]. { > 0 < 0 voor x (, b) dn is f { strict stijgend strict dlend October 1,

3 Convex Lt I een open intervl zijn en f : I R. Als voor elke I de rklijn n de grfiek vn f in (, f()) onder de grfiek vn f ligt heet de grfiek vn f convex op I. October 1,

4 Convex Als het verbindingslijnstuk vn de punten (, f()) en (b, f(b)) voor lle, b I < b boven de grfiek vn f ligt heet de grfiek vn f convex op I. Als de grfiek vn f convex is en f is differentieerbr op I dn is f een stijgende functie. Als de grfiek vn f convex is en f is twee ml differentieerbr op I dn is f (x) > 0. October 1,

5 Concf Lt I een open intervl zijn en f : I R. Als voor elke I de rklijn n de grfiek vn f in (, f()) boven de grfiek vn f ligt heet de grfiek vn f concf op I. October 1,

6 Concf Als het verbindingslijnstuk vn de punten (, f()) en (b, f(b)) voor lle, b I < b onder de grfiek vn f ligt heet de grfiek vn f concf op I. Als de grfiek vn f concf is en f is differentieerbr op I dn is f een dlende functie. Als de grfiek vn f concf is en f is twee ml differentieerbr op I dn is f (x) < 0. October 1,

7 Buigpunten Als f in een linker-omgeving vn convex is en in een rechter-omgeving concf of omgekeerd dn heet (, f()) een buigpunt vn f. Is f twee ml differentieerbr op een open intervl dt bevt dn f () = 0. October 1,

8 Primitieven Lt f een continue functie zijn op [, b]. F : [, b] R heet een primitieve vn f op [, b] ls F continu is op [, b], differentieerbr op (, b) en F (x) = f(x) voor x (, b). October 1,

9 f(x) F (x) x n (n R\{ 1}) 1 n + 1 xn+1 f(x) F (x) e x sin x cos x e x cos x sin x sinh x cosh x cosh x sinh x 1 x (x 0) ln x F is een primitieve vn f! October 1,

10 De Riemnnsom Veronderstel dt f : [, b] R continu is. Lt = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n een prtitie P vn [, b] zijn. Kies in ieder deelintervl [x k 1, x k ] een willekeurig steunpunt ξ k en lt x k = x k x k 1. n Dn heet f(ξ k ) x k een Riemnnsom bij f. k=1 October 2,

11 De Riemnnintegrl Lt M P = mx x i de mswijdte vn een prtitie P zijn. 1 i n n Wnneer lim f(ξ k ) x k bestt onfhnkelijk vn de keuze M P 0 k=1 vn de prtities en de steunpunten dn heet f Riemnnintegreerbr over [, b]. Bernhrd Riemnn ( ) October 2,

12 Als lim M P 0 k=1 n f(ξ k ) x k = L onfhnkelijk vn de keuze vn de prtities en de steunpunten dn heet L de Riemnnintegrl vn f over [, b]. Nottie f(x) dx October 2,

13 Worden de steunpunten zo gekozen dt min f(x) x f(ξ k ) = k 1 x x k mx f(x) x k 1 x x k dn { heten de bijbehorende Riemnnsommen wel ondersom en bovensom October 2,

14 Stelling Als f continu is op [, b] dn is f Riemnnintegreerbr over [, b]. Gevolg (Gelijkheden) Als f en g continu zijn op [, b] en c R dn zijn f + g en c f Riemnnintegreerbr over [, b] en (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. (c f)(x) dx = c f(x) dx. October 2,

15 Verder geldt b f(x) dx = 0. f(x) dx = f(x) dx. d f(x) dx + d f(x) dx = f(x) dx. October 2,

16 Ongelijkheden Lten f en g continu zijn op [, b]. Als f(x) 0 dn f(x) dx 0. Als f(x) g(x) voor x [, b] dn f(x) dx g(x) dx. Als m f(x) M voor x [, b] dn m(b ) f(x) dx M(b ). Dn is f continu op [, b] en f(x) dx f(x) dx. October 2,

17 Hoofdstelling vn de integrlrekening (deel 1) Lt f een continue functie zijn op een open intervl I. Kies I vst en definieer F : I R door F (x) = Dn is F een primitieve vn f op I, dt wil zeggen: F (x) = f(x) voor x I. x f(t) dt. Hoofdstelling vn de integrlrekening (deel 2) Lt f een continue functie zijn op een open intervl I. Als F en G primitieven zijn vn f op I dn G(x) = F (x) + c voor lle x I en zekere c R. October 6,

18 Gevolg Als G een willekeurige primitieve is vn f op [, b] dn f(t) dt = G(b) G() October 6,

19 Lt f een continue functie zijn op een open intervl I. De verzmeling vn lle primitieven vn f noteren we ls f(x) dx Is F een primitieve vn f dn schrijven we f(x) dx = F (x) + c (c R) Lt f een continue functie zijn op [, b] en g een continue functie op [c, d], differentieerbr op (c, d). Lt verder g((c, d)) [, b]. Dn d dx g(x) f(t) dt = f(g(x))g (x). October 6,

20 De substitutieregel Lt g continu zijn op [, b] en differentieerbr op (, b). Lt verder f continu zijn op [c, d] en g([, b]) [c, d]. Is F een primitieve vn f dn geldt f(g(x))g (x) dx = F (g(b)) F (g()). (H(x) = F (g(x)) is een primitieve vn h(x) = f(g(x)) g (x)!) Als u = g(x) dn du = g (x) dx en Hieruit volgt dt [F (u)] g(b) g() f(g(x))g (x) dx = = F (g(b)) F (g()). { u = g() ls x = u = g(b) ls x = b. g(b) g() f(u) du = October 8,

21 Prtieel integreren Lten f, g differentieerbr op (, b). Dn geldt f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx of f(x) d g(x) = f(x)g(x) g(x) d f(x) of met u = f(x), v = g(x) u dv = u v v du. October 8,

22 Gevolg Lten f, g continu zijn op [, b] en differentieerbr op (, b). Dn geldt f (x)g(x) dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x) dx. October 8,