Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150"

Transcriptie

1 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen 39 6 Informtictoepssingen Schtten vn sommen met ehulp vn integrlrekening en de compleiteit vn Quicksort Defuzzifictie Weergve vn kleuren 47 Smenvtting 49 Zelftoets 5 4

2 Leereenheid 3 Integreren I N T R O D U C T I E In leereenheid 9 heen we de compleiteit vn het gemiddelde gedrg vn het sorteerlgoritme Quicksort genlyseerd. Drij hielden we een term over wrvn we op dt moment de grootte niet verder f konden schtten, nmelijk de som n k = k In figuur 3. is de grfiek vn de functie f() = / getekend, en drin deze som ls som vn de oppervlkte vn n rechthoeken met hoogte /k en reedte. U ziet dt we de som kunnen enderen door de oppervlkte onder de grfiek vn f tussen = en = n +. In deze leereenheid leert u hoe u deze oppervlkte uit kunt rekenen. Om te eginnen zullen we eerst oppervlktes onder een grfiek juist gn enderen door rechthoeken. Alleen in zeer eenvoudige gevllen is de oppervlkte op die mnier ook ddwerkelijk te eplen, mr we zullen vervolgens vi het vernd tussen oppervlktefuncties en differentiëren een mnier vinden om ook voor ingewikkelder functies de oppervlkte onder een grfiek te eplen. FIGUUR 3. De som n k = k en de grfiek vn de functie f() = / LEERDOELEN N het estuderen vn deze leereenheid wordt verwcht dt u in eenvoudige gevllen de oppervlkte onder een grfiek kunt enderen met een som vn rechthoeken de hoofdstelling vn de integrlrekening kent en kunt toepssen weet wt een primitieve of oneplde integrl vn een functie op een intervl is 5

3 Open Universiteit Continue wiskunde stndrdprimitieven kunt herkennen de volgende regels voor integrlen kent en kunt toepssen: de som- en verschilregel, de sclir-productregel en de intervlregel voor eenvoudige functies met ehulp vn de tril-nd-errormethode de verzmeling vn lle primitieven kunt eplen weet dt niet voor iedere functie de primitieve in termen vn elementire functies is uit te drukken eplde integrlen vn eenvoudige functies kunt uitrekenen in eenvoudige gevllen kunt eplen of een oneigenlijke integrl convergent is, en in gevl vn convergentie de wrde kunt erekenen oppervlktes kunt eplen met ehulp vn integrlrekening sommen kunt enderen door integrlen. LEERKERN Integrl ls oppervlkte In deze prgrf ekijken we hoe we ij een ntl functies de oppervlkte onder de grfiek vn die functie kunnen uitrekenen. Voor constnte en lineire functies kunnen we drij geruik mken vn de meetkunde uit leereenheid 3. VOORBEELD 3. Als de functie f constnt is of lineir dn is de oppervlkte onder de grfiek vn f met ehulp vn de formules voor de oppervlkte vn een rechthoek en een driehoek te eplen. Als eerste ekijken we de oppervlkte ingesloten door de grfiek vn de functie f() = 4, de lijnen = en = en de -s. De grfiek is getekend in figuur 3.. U ziet dt de reedte vn de rechthoek gelijk is n en de hoogte gelijk n 4, dus de oppervlkte onder de grfiek vn f tussen = en = is gelijk n 4( ). «FIGUUR 3. De oppervlkte onder een constnte functie OPGAVE 3. Bepl de oppervlkte ingesloten door de grfiek vn de functie f() = +, de -s en de lijnen = en = wrij > >. Als de grfiek vn de functie f geen rechte lijn is, kunnen we de oppervlkte niet meer direct erekenen met ehulp vn de oppervlkte vn eenvoudige meetkundige figuren. Wt we wel kunnen doen is de oppervlkte enderen met ehulp vn rechthoeken. 6

4 Leereenheid 3 Integreren VOORBEELD 3. We willen de oppervlkte eplen onder de grfiek vn f() = tussen = en =. In figuur 3.3 ziet u hoe we oppervlkte kunnen enderen met ehulp vn rechthoeken. FIGUUR 3.3 Een endering vn de oppervlkte onder de grfiek vn f() = tussen = en = met 3 (links) en 5 (rechts) rechthoeken In de linkerfiguur heen we het intervl [, ] verdeeld in 4 gelijke delen, en op elk vn deze delen een rechthoek getekend die precies onder de grfiek lijft. De reedte vn de rechthoeken is dus gelijk n /4 en de hoogte gelijk n respectievelijk f(), f(/4), f(/) en f(3/4). Omdt f() = krijgen we op deze mnier slechts drie rechthoeken, mr om de methode lgemeen te houden nemen we de linker rechthoek met hoogte wel in de erekening op. De totle oppervlkte vn deze rechthoeken is = ( () + ( ) + ( ) + ( )) = = O f f f f We heen hiermee een ondergrens voor de oppervlkte onder de grfiek vn f gevonden. Op dezelfde mnier erekenen we de endering ij een verdeling vn [, ] in 6 intervllen: = ( () + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )) = = O f f f f f f Door [, ] in steeds meer intervllen te verdelen, krijgen we steeds etere schttingen. Voor de n-de schtting geldt: n n n n n n n n O = ( f () + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )) = n n n n n n n ( + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ) = n n n n ( ( ) + ( ) ) = n 3 k n k = 7

5 Open Universiteit Continue wiskunde Het ligt voor de hnd dt de limietwrde vn deze som ndert nr de oppervlkte onder de grfiek vn f tussen en. Mr we kunnen deze limiet ps uitrekenen ls we een formule voor de som vn kwdrten heen. We geven hier deze formule; met volledige inductie vlt te ewijzen dt de formule klopt. Er geldt n k n n n 6 k = = ( )( ) Invullen vn deze formule in de erekening vn O n geeft: O n = n(n )(n ) 6n 3 Dus n(n )(n ) lim O n = lim = n n 6n 3 3 De oppervlkte onder de grfiek vn f is dus groter dn of gelijk n 3 en het is te verwchten dt de oppervlkte inderdd gelijk is n 3. Om hier zekerheid over te verkrijgen kunnen we de oppervlkte ook enderen met rechthoeken die steeds oven de grfiek liggen. In opgve 3. vrgen we u dit te doen. «OPGAVE 3. Bender de oppervlkte onder de grfiek vn f() = tussen = en = met ehulp vn rechthoeken met sis [k/n, (k + )/n] en hoogte f((k + )/n). Bepl de limietwrde voor n. OPGAVE 3.3 Bepl de oppervlkte onder de grfiek vn f() = tussen = en =. Bij het erekenen vn oppervlktes onder de grfiek vn de functie f() = het u gezien dt het eplen vn de limietwrde vn de som voor deze reltief eenvoudige functie l ehoorlijk ingewikkeld is. In de prktijk is de oppervlkte onder de grfiek vn een functie op deze mnier meestl niet uit te rekenen. Mr de methode wordt wel geruikt voor een nette wiskundige definitie. Voor de meeste nette functies kn op deze mnier gedefinieerd worden wt de oppervlkte onder de grfiek is. We zullen deze definitie in deze cursus chterwege lten. Voor functies f die positief zijn op [, ] noteren we de oppervlkte onder f tussen en met ehulp vn het integrlsymool: f ( )d In deze nottie vindt u nog de endering vn de oppervlkte vi rechthoekjes terug. Het teken (het integrlsymool) is een gestileerde letter S en stt oorspronkelijk voor een som. De term d geeft (net zo ls Δ) de lengte vn een klein intervl op de -s weer. Ooit gf de nottie dus de som vn rechthoekjes met reedte d en hoogte f() weer. 8

6 Leereenheid 3 Integreren Dit is precies het soort endering dt we in het egin vn deze prgrf geruikten. We spreken f ( )d Integrl uit ls de integrl vn f tussen [, ]. Net zo ls ij de somnottie is ook hier de vriele een dummyvriele. In het ntwoord (hier de oppervlkte) vinden we niet terug, en we kunnen dus de door een ndere vriele vervngen zonder dt de wrde wijzigt: f ( )d = f ( y)dy Als de functie f positief is op [, ], dn is de integrl vn f over [, ] gelijk n de oppervlkte onder de grfiek vn f. Ook ls f niet (overl) positief is, heeft de integrl vn f over [, ] een etekenis. Als f negtief is op [, ] dn definiëren we dt f ( )d gelijk is n het tegengestelde vn de oppervlkte tussen de -s en de grfiek vn f tussen = en =. VOORBEELD 3.3 Uit de symmetrie volgt dt de oppervlkte tussen de -s en de grfiek vn de functie g() = tussen en is gelijk n de oppervlkte onder de grfiek vn de functie f() = tussen en. Dus geldt d = d = «8 3 OPGAVE 3.4 Bepl d door de ijehorende oppervlkte te erekenen. Bepl d Omdt ls < < c de oppervlkte onder f tussen en c gelijk is n die tussen en plus die tussen en c geldt de volgende intervlregel: 9

7 Open Universiteit Continue wiskunde Intervlregel c c f ( d ) = f( d ) + f( d ) In figuur 3.4 ziet u een illustrtie vn deze regel: de oppervlkte onder de grfiek tussen en c is gelijk n de som vn de oppervlkte tussen en (het lichtgrijze deel), en de oppervlkte tussen en c (het donkergrijze deel). FIGUUR 3.4 De intervlregel VOORBEELD 3.4 Eerder in deze prgrf erekenden we de integrl vn de functie f() = over [, ] en [, ]. Met ehulp vn de intervlregel kunnen we nu ook de integrl vn f over [, ] eplen: d = d+ d dus d = d d = = « OPGAVE 3.5 Bereken d d voor d > c >. c Anwijzing: geruik opgve 3.4 VOORBEELD 3.5 eweging vn lees/schrijfkop Bij het lezen of wegschrijven vn gegevens op een hrde schijf moet de rm vn de lees/schrijfkop vn het ene nr het ndere spoor ewegen. Bij hrde schijven vn voor 99 ging dt met een snelheid die ijn overl constnt ws. Bij recentere schijven gt dt nders. Eerst eweegt de kop met een constnte versnelling, hlverwege wijzigt dit in een constnte vertrging. Zie figuur

8 Leereenheid 3 Integreren FIGUUR 3.5 Armeweging met constnte snelheid () en met een constnte versnelling () Duidelijk zl zijn dt de tijd die nodig is om de rm te verpltsen ij de nieuwere schijven veel korter is. Om precies te weten hoeveel dit scheelt, moeten we het vernd kennen tussen de tijd en de fgelegde weg L. Mr die fgelegde weg kunnen we erekenen: deze is nmelijk gelijk n de oppervlkte onder de grfieken uit figuur 3.5. Omdt we voorl geïnteresseerd zijn in het verschil voor grotere wrden vn t kunnen we het gevl vn een ijn constnte snelheid enderen door een constnte snelheid. Zeg dt deze snelheid gelijk is n v, dn is de fgelegde weg L in t ms gelijk n L = t v, dus de tijd die nodig is om L f te leggen is gelijk n t = L / v. Deze tijd is dus evenredig met L. OPGAVE 3.6 Lt de constnte versnelling ehorend ij het tweede gevl gelijk zijn n. Dit is dus de richtingscoëfficiënt vn het linkereen vn de driehoek in figuur 3.5. Bepl de enodigde tijd om de rm te verpltsen in dit tweede gevl. Anwijzing: in de eerste helft vn de tijd die nodig is voor de sprong wordt evenveel fstnd fgelegd ls in de tweede helft. Uit opgve 3.6 volgt dt in het tweede gevl de tijd die nodig is om een fstnd L f te leggen evenredig is met de wortel uit deze fstnd, en dit zl in het lgemeen sneller zijn dn het lineire vernd uit het eerste gevl. «De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie In deze prgrf zullen we een elngrijk vernd tussen een functie en de ijehorende oppervlktefunctie lten zien. In figuur 3.6 is de grfiek vn een functie f getekend. We definiëren de functie F door: F ( ) = f ( t)dt 3

9 Open Universiteit Continue wiskunde FIGUUR 3.6 Het differentiequotiënt vn F in We eplen nu het differentiequotiënt vn F in : Uit de intervlregel volgt dt + h + h F( + h) F() = f ( )d f ( )d = f ( )d Het differentiequotiënt is dus gelijk n F( + h) F( ) = h + h f ( )d h Voor kleine wrden vn h is de integrl tussen en + h ongeveer gelijk n h f() en dus is het differentiequotiënt ongeveer gelijk n f(). Inderdd kn ewezen worden dt de fgeleide F () gelijk is n f(). Dt ewijs lten we in deze cursus chterwege. Het resultt stt ekend ls de hoofdstelling vn de integrlrekening, en geldt voor elke voldoende nette functie. Net ls in vorige leereenheden zullen we niet specificeren wt we onder voldoende netjes verstn. STELLING 3. Lt f voldoende netjes zijn op [, ] en definieer de functie F op [, ] door F( ) = f(t)dt Dn is F differentieerr op [, ] en F' = f. Om ij een functie f een oppervlktefunctie te vinden zullen we dus op zoek moeten gn nr een functie F wrvn de fgeleide gelijk is n f. Zo n functie noemen we een primitieve. 3

10 Leereenheid 3 Integreren Primitieve Oneplde integrl DEFINITIE 3. VOORBEELD Primitieven Als F = f dn noemen we F een primitieve vn f. In plts vn de term primitieve geruiken we ook oneplde integrl. De functie F() = 3 3 is een primitieve vn f() =, wnt F () = 3 3 =. Dit is niet de enige primitieve, een ndere primitieve is ijvooreeld de functie G() = , wnt G () = =. «In het lgemeen geldt dt ls F een primitieve is vn f, dt dn voor elke constnte C ook F + C een primitieve is; immers de fgeleide vn een constnte is gelijk n. Omgekeerd geldt dt lle primitieven vn een functie f op een intervl I op een constnte n n elkr gelijk zijn. Als dus F een primitieve is vn f op I, dn zijn lle primitieven vn f vn de vorm F + C met C een constnte. De verzmeling vn lle primitieven vn f noteren we ls volgt: f ( )d VOORBEELD 3.7 = + C «d 3 3 Primitiveren komt dus neer op het omgekeerde vn differentiëren: zoek een functie wrvn de fgeleide gelijk is n de functie wrvn de primitieve gezocht wordt. OPGAVE 3.7 Bepl lle primitieven vn de volgende functies: 3, 6, 3 (voor > ), n (n, > ), / (voor > ), cos, sin, e OPGAVE 3.8 Lt F een primitieve zijn vn de functie f en G een primitieve vn g. Toon n dt F + G een primitieve is vn f + g. Toon n dt F G een primitieve is vn f g. c Toon n dt cf een primitieve is vn cf voor elke constnte c. OPGAVE 3.9 Lt F een primitieve zijn vn de functie f en G een primitieve vn g. Is nu FG een primitieve vn fg? Zo j, toon dit n; geef nders een tegenvooreeld. In opgve 3.8 het u een ntl rekenregels fgeleid voor het primitiveren. Omdt we deze rekenregels in het vervolg regelmtig zullen geruiken, zetten we ze hier nog eens ij elkr. Somregel Verschilregel Constnte-regel VOORBEELD 3.8 Lt F een primitieve zijn vn de functie f en G een primitieve vn g. Dn geldt: F + G is een primitieve vn f + g. F G is een primitieve vn f g. cf is een primitieve vn cf. Een primitieve vn de functie f() = 3 sin is F( ) = 4 4 ( cos ) = 4 + cos. Dus 3 4 sin d = cos + + C «33

11 Open Universiteit Continue wiskunde Bij het eplen vn een primitieve zullen we in het lgemeen eerst kijken of de functie de fgeleide is vn een stndrdfunctie. In de volgende tel vindt u een overzicht vn stndrdprimitieven. TABEL 3. Stndrdprimitieven f() primitieve F() voorwrde sin cos cos e + ln cos sin tn e ln + voor, voor >, Opmerking: ls u deze tel vergelijkt met de tel vn de stndrdfgeleiden (tel. in prgrf vn leereenheid ) dn vllen u misschien de soluutstrepen in de primitieve vn / op. Bedenk dt voor negtieve wrde vn geldt dt ln = ln( ). De fgeleide vn ln( ) is gelijk n / (denk n de kettingregel). Dus is inderdd ln( ) een primitieve vn / op,. OPGAVE 3. Bepl vn de volgende functies lle primitieven d + e 4cos c OPGAVE 3. Bepl vn de volgende functies lle primitieven sin cos c d ( ) e 4 f ( 4 3) Het vinden vn een primitieve is lstiger dn het eplen vn de fgeleide. Differentiëren estt uit het uitvoeren vn een reeks rekenregels. Zo n procedure is er niet voor het primitiveren. Er is wel een reeks methodes wrmee in eplde gevllen een primitieve gevonden kn worden. De meeste vn de methodes zullen we in deze cursus niet ehndelen. We esteden lleen ndcht n de tril-nd-errormethode, die we n de hnd vn het volgende vooreeld toelichten. 34

12 Leereenheid 3 Integreren VOORBEELD 3.9 Welke functie is een primitieve vn sin? Dergelijke primitieven zijn te eplen door eerst een functie te proeren, te controleren of deze inderdd voldoet, en zo nodig het ntwoord n te pssen. In dit gevl proeren we ls primitieve cos. Als we deze functie differentiëren krijgen we sin, een fctor te veel. Een primitieve vn sin is dus F() = cos. «Tril nd error methode In het lgemeen proeren we F( + ) ls primitieve vn f( + ) ls F een ekende primitieve is vn f. Vervolgens zullen we dn nog voor een fctor moeten corrigeren. OPGAVE 3. Bepl primitieven vn de volgende functies ( ) 4 /(3 + ) c e /3 d cos(5 + 8) e 4 cos(3) 3 cos(4) f ( 3) + (4 + ) g sin(3) h 6 cos ( + ) + 4 ( + ) 3 i ( + ) 3 We merkten l op dt voor het primitiveren vn functies niet zo n eenvoudig recept te geven is ls voor het differentiëren vn functies. Sterker nog, er zijn functies wrvn wel een primitieve estt, mr die niet uitgedrukt kn worden in ekende elementire functies. Bij het zoeken vn primitieven kn in sommige gevllen een computerlgerpkket helpen. We zullen u in deze cursus lleen vrgen om vn eenvoudige functies de primitieve te eplen. 4 Beplde en oneplde integrl Oneplde integrl Beplde integrl Een primitieve noemen we ook wel een oneplde integrl, en de integrlen met oven- en ondergrenzen eplde integrlen. In prgrf leerde u voor positieve functies f dt de eplde integrl vn f over [, ] gelijk is n de oppervlkte ingesloten door de grfiek vn f, de -s en de lijnen = en =. Als f negtief is, is de eplde integrl gelijk n het tegengestelde vn deze oppervlkte, en ls f gedeeltelijk positief en gedeeltelijk negtief is, dn telt het deel vn de oppervlkte oven de -s positief mee, en het deel onder de -s negtief. 35

13 Open Universiteit Continue wiskunde Het erekenen vn een eplde integrl door de oppervlktes uit te rekenen is in het lgemeen niet te doen. In deze prgrf leert u hoe u met ehulp vn een oneplde integrl een eplde integrl uit kunt rekenen. We eginnen met een vooreeld. VOORBEELD 3. De functie F is ls volgt gedefinieerd: F(t) is gelijk n de oppervlkte onder de functie f() = tussen = 3 en = t. Met ehulp vn deze functie kunnen we nu de oppervlkte onder de grfiek vn f tussen = en = uitrekenen. Deze oppervlkte is gelijk n F() F() (zie figuur 3.7). De functie F is één vn de mogelijke primitieven vn f. Ook voor ndere primitieven G vn f geldt dt de oppervlkte onder f tussen = en = gelijk is n G() G(). In figuur 3.7 ziet u hier een vooreeld vn: de oppervlkte is ook gelijk n G() G(). «FIGUUR 3.7 Links de functie F, de oppervlkte onder f vnf = 3, F() en F() zijn gerceerd, rechts idem de functie G. Om een eplde integrl te eplen is het dus voldoende om over één primitieve te eschikken: ls F een primitieve is vn f dn geldt dt f ( )d = F( ) F( ) Bij het erekenen vn een eplde integrl mken we vk geruik vn de volgende nottie: f ( )d = F( ) wrij = = = F() = etekent dt we in F() voor de wrden en invullen en het tweede resultt vn het eerste ftrekken. 36

14 Leereenheid 3 Integreren VOORBEELD 3. We erekenen d Een primitieve vn f() = is de functie F() = 3 3. De integrl is dus gelijk n F() F(): = d = 3 3 = Vullen we chtereenvolgens de wrde = en = in, dn vinden we zo: = d = = = 3 = «VOORBEELD 3. We erekenen π/4 sin cos d Een primitieve vn sin /cos is cos tn. De integrl is dus gelijk n: π/4 sin d = ( cos tn ) cos =π/4 = Vullen we chtereenvolgens de wrde = π/4 en = in, wrij we goed op het pltsen vn de hkjes en het correct verwerken vn de negties moeten letten, dn vinden we zo: π/4 =π/4 sin d = ( cos tn ) = cos = cos( π/ 4) tn( π/ 4) ( cos tn ) = ( ) = «OPGAVE 3.3 Bereken de volgende eplde integrlen: π/4 cos d 5 ( ) d 37

15 Open Universiteit Continue wiskunde c d e π/4 d cos + sin d e d Bij het eplen vn oppervlktes met ehulp vn integrlrekening moeten we erop edcht zijn dt ij negtieve wrden vn f het tegengestelde vn de oppervlkte erekend wordt. VOORBEELD 3.3 In figuur 3.8 is de grfiek vn de functie sin getekend. Stel dt we de gerceerde oppervlkte willen erekenen, dn moeten we het intervl eerst splitsen in een deel wr de functie positief is en een deel wr de functie negtief is. Vn het negtieve deel heen we het tegengestelde vn de integrl nodig. De oppervlkte is dus gelijk n π π π π O = sin d + ( sin d ) = sin d sin d = π ( ) =π = π cos cos = cos π+ cos + cos π cos π= 4 = =π Het oppervlk vn het gerceerde deel is dus gelijk n 4. π FIGUUR 3.8 De functie sin met een te eplen oppervlk «OPGAVE 3.4 In figuur 3.9 is de grfiek getekend vn de functie f () = ( )( ). Bereken de grootte vn het gerceerde oppervlk. FIGUUR 3.9 Grfiek vn f met het te eplen oppervlk 38

16 Leereenheid 3 Integreren OPGAVE 3.5 Teken in een figuur de grfiek vn de functie f() = sin en g() = sin tussen = en = π. Beredeneer dt de oppervlkte tussen deze functies gelijk is n π f ( ) g( )d en epl deze oppervlkte. c Bepl de oppervlkte ingesloten door de functies f() = k k sin k en g() = k sin k tussen = en = π/k 5 Oneigenlijke integrlen Oneigenlijke integrl In leereenheid 6 over knsrekening zult u integrlen tegenkomen die gn over een domein dt oneindig doorloopt, ijvooreeld de integrl vn de functie f() = e over het intervl [,. We noemen een integrl wrvn de ondergrens gelijk is n of de ovengrens gelijk n een oneigenlijke integrl. Het is ook mogelijk dt een oneigenlijke integrl over de hele reële s loopt, dus vn tot. We noteren in zo n gevl de symolen of ls ondergrens of ovengrens, dus ijvooreeld: e d of e d Hoe eplen we nu zo n integrl? We kunnen niet zonder meer de symolen of in een primitieve invullen. Mr we kunnen wel geruikmken vn het limietegrip. Op die mnier kunnen we een oneigenlijke integrl zien ls de limiet vn gewone, eplde integrlen. We definiëren drom: DEFINITIE 3. VOORBEELD 3.4 p f ( )d = lim f ( )d en f ( )d = lim f ( )d p Voor iedere p > geldt dt q q p d = = + p p In de limiet p gt het rechterlid nr. De oneigenlijke integrl vn / over [,. is dus gelijk n: p d = lim d = lim( ) = lim( + ) = p p p p p 39

17 Open Universiteit Continue wiskunde In termen vn oppervlkte etekent dit ntwoord dt het gerceerde geied in figuur 3. oppervlkte heeft. FIGUUR 3. De oppervlkte onder de grfieken vn / en / op [, is () respectievelijk () Figuur 3., wrin de oppervlkte onder de grfiek vn / op [, is gersterd, lijkt sterk op figuur 3., wt suggereert dt ook deze oppervlkte eindig is. Echter p p ( ) d = lim d = lim ln = lim ln p = p p p Divergent Convergent In dit gevl is de oppervlkte oneindig. We noemen in zo n gevl de oneigenlijke integrl divergent. Een oneigenlijke integrl die ij erekening een eindige wrde oplevert noemen we convergent. «OPGAVE 3.6 G vn de volgende oneigenlijke integrlen n of ze convergent dn wel divergent zijn en ereken ze in gevl vn convergentie. d + e d c d We moeten voorzichtig zijn met oneigenlijke integrlen wrin de ondergrens gelijk is n en de ovengrens n. Als vooreeld ekijken we d Allereerst merken we op dt p ( ) p d = lim = lim p = p dus d is divergent, en net zo dt ( p ) d = lim = lim ( p ) = p p 4

18 Leereenheid 3 Integreren Het gevr dreigt nu dt we en ls volgt tot optellen: Dit is dus onjuist! ( ) p p p p p d = lim = lim p p = lim = Hoewel er enige wrheid schuilt in dit ntwoord, zullen we dit niet toestn. We erekenen hier nmelijk d op een heel specile mnier en ls we het nders doen, dn is er elk ntwoord uit te krijgen dt we mr willen. Om dit proleem op te lossen, spreken we f dt dit soort oneigenlijke integrlen wrin twee of meer limieten voorkomen, erekend moeten worden vi een opsplitsing in oneigenlijke integrlen wrin nog mr één limiet voorkomt. We noemen de oorspronkelijke oneigenlijke integrl ps convergent ls elk vn de oneigenlijke integrlen in de opsplitsing convergent is. Dit etekent dt c c p c q q p c f ( )d = f ( )d + f ( )d = lim f ( )d + lim f ( )d c f()d ls c en dt f()d ps convergent is ls zowel f()d convergent zijn. Hierij kn c willekeurig gekozen worden, hoewel we meestl c = kiezen. Voor het rekenen met limieten gelden ntuurlijk lle regels en veroden die we gewend zijn, dus ijvooreeld nooit =. Volgens deze fsprk is d dus divergent, immers, d is divergent. VOORBEELD 3.5 De functie F() = e is een primitieve vn de functie f() = e. U kunt dit controleren door de functie F te differentiëren. Om de oneigenlijke integrl vn f over, te erekenen, splitsen we in : p = + q p q e d lim e d lim e d p q p q q p q p = lim e + lim e = lim ( + e ) + lim ( e + ) = OPGAVE 3.7 Bereken de integrl Deze oneigenlijke integrl is dus convergent. «e d door te splitsen in c =, en controleer dt dit hetzelfde ntwoord oplevert. 4

19 Open Universiteit Continue wiskunde OPGAVE 3.8 Controleer dt F( ) = + e e een primitieve is vn de functie f ( ) = (+ e ) Bereken e (+ e ) d OPGAVE 3.9 Controleer dt F ( ) = ln( + ) een primitieve is vn de functie f ( ) = + Onderzoek de convergentie vn + d OPGAVE 3. G vn de volgende oneigenlijke integrlen n of ze convergent dn wel divergent zijn en ereken ze in gevl vn convergentie. e3 d d c sin d In leereenheid 6 ekijken we functies f met f() op en f()d =, de zogenmde knsdichtheidsfuncties. Zols de nm ngeeft, worden deze in de knsrekening geruikt. Zonder ewijs vermelden we lvst dt e d = π (3.) wt etekent dt ook f() = π / e een knsdichtheidsfunctie is. Deze hoort ij de zogeheten normle verdeling en speelt in de knsrekening een zeer centrle rol. An het eind vn prgrf 3 leerde u dt vn sommige functies de primitieve niet in ekende elementire functies vlt uit te drukken. De functie f() = π / e is hier een vooreeld vn. Dt mkt formule 3. heel opmerkelijk omdt er kennelijk ndere methoden zijn om deze integrl toch te eplen. Deze methoden vllen uiten het estek vn deze cursus. 4

20 Leereenheid 3 Integreren 6 Informtictoepssingen 6. SCHATTEN VAN SOMMEN MET BEHULP VAN INTEGRAALREKENING EN DE COMPLEXITEIT VAN QUICKSORT In prgrf heen we sommen geruikt om de oppervlkte onder een grfiek te enderen. Drn zgen we dt we deze oppervlktes mkkelijker met ehulp vn integrlrekening konden eplen. We gn nu de omgekeerde weg ewndelen. We geruiken integrlrekening om een som te enderen. In de introductie vn deze leereenheid het u in figuur 3. gezien dt we de som n k = k kunnen enderen met ehulp vn de oppervlkte onder de grfiek vn de functie f() = /. OPGAVE 3. Bepl met ehulp vn integrlrekening een ondergrens voor Bepl ook een ovengrens voor deze som. n k =. k In de csus ij dit lok egonnen we met het onderzoek nr de gemiddelde compleiteit vn Quicksort. In verschillende leereenheden heen we vervolgens deze compleiteit verder genlyseerd, tot een stp wrin ehlve ekende functies, lleen de hrmonische reeks nog voorkwm. In prgrf 4. vn leereenheid 9 het u gezien dt het ntl vergelijkingen dt gemiddeld nodig is om n elementen te sorteren gelijk is n n q n = ( n + )( + + ) n+ ( k + ) k = OPGAVE 3. Lt zien dt de gemiddelde compleiteit vn Quicksort gelijk is n O(n ln n) Men kn ewijzen dt de compleiteit vn een sorteerlgoritme miniml O(n ln n) is. Het lgoritme Quicksort hoort dus tot de snelst mogelijke sorteerlgoritmen. Hndelsreizigersproleem Trveling slesmn Een nder ekend proleem uit de informtic is het hndelsreizigersproleem (trveling slesmn). In het volgende vooreeld met ijehorende opgven geruiken we nogmls integrlrekening om sommen te schtten. VOORBEELD 3.6 Een hndelsreiziger wil n steden ezoeken, en uitzoeken wt de kortste route is om deze steden lleml precies éénml te ezoeken. Hiervoor eplt hij lle mogelijke routes. Hoeveel tijd kost het om l deze mogelijkheden n te gn? Voor de eerste std in een route zijn er n keuzemogelijkheden, voor de tweede n,..., dus in totl n! verschillende routes. 43

21 Open Universiteit Continue wiskunde Dit getl is lleen uit te rekenen door n getllen met elkr te vermenigvuldigen. Kunnen we hier een endering voor geven? Dt kn, mr drvoor moeten we eerst het product omschrijven nr een som. In opgve 3.3 enderen we drom eerst ln(n!). «OPGAVE 3.3 Met welke eplde integrl kunt u ln(n!) enderen? OPGAVE 3.4 Toon n dt ln een primitieve is vn de functie ln. Geef een endering voor ln(n!). c Wt is de compleiteit vn het hndelsreizigersproleem, wrij lle mogelijkheden onderzocht worden? 6. DEFUZZIFICATIE Epertsystemen zijn regelgeseerde systemen die de geruiker ondersteunen ij het nemen vn eslissingen of het doen vn voorspellingen. Als vooreeld ekijken we een systeem dt schtstijden voorspelt. Het systeem evt de volgende regel: Beslissingsregel ALS eerdere prestties = mtig EN omstndigheden = goed EN conditie = goed DAN tijd op 5m = goed. Fuzzy logic U ziet dt de voorwrden in deze regel kwlittief zijn, er wordt gesproken over mtige prestties, goede omstndigheden, goede conditie. In het lgemeen kunnen computers niet overweg met zulke kwlittieve gegevens. Met ehulp vn fuzzy logic (vge logic), is het toch mogelijk om systemen te ouwen die dit soort regels kunnen toepssen. Een vn de hulpmiddelen drij is de lidmtschpsfunctie, wrmee een kwlittief egrip enigszins ect wordt gemkt. Als vooreeld kijken we nr schtstijden. Een presttie vn een topschtser op de 5 m kunnen we kwlittief omschrijven in termen vn goed, mtig of slecht. De lidmtschpsfunctie koppelt deze egrippen n tijden wrij de wrde vn de functie ngeeft in hoeverre de tijd n de kwlifictie voldoet. Om een lidmtschpsfunctie voor het egrip goed op te stellen eplen we drom voor elke tijd in hoeverre deze n de kwlifictie goed voldoet. Een goede tijd krijgt de mimle wrde, een niet goede tijd de minimle wrde, en tijden die een eetje goed zijn krijgen een tussenliggende wrde. Zo is ijvooreeld 6 minuten en seconden een goede tijd: de lidmtschpwrde vn het egrip goed ij deze tijd is gelijk n de mimle wrde, en is 6,3 geen goede tijd en drom heeft goed voor deze tijd lidmtschpswrde. Mr ijvooreeld 6,5 is nog wel een eetje een goede tijd en krijgt drom lidmtschpswrde,5. De lidmtschpsfunctie vn goed kn met de volgende grfiek worden weergegeven (zie figuur 3.). 44

22 Leereenheid 3 Integreren FIGUUR 3. De lidmtschpsfunctie goed Op dezelfde mnier kunnen ook mtig en slecht omschreven worden met een lidmtschpsfunctie. Uit de grfiek in figuur 3. ziet u dt de verschillende egrippen overlppen. Zo is de tijd 6,5 tegelijkertijd goed met lidmtschpswrde,5 én mtig, ook met lidmtschpswrde,5. Dit is kenmerkend voor fuzzy logic. FIGUUR 3. De lidmtschpsfuncties goed, mtig en slecht Vergelijkre lidmtschpsfuncties kunnen we opstellen voor eerdere prestties in dit seizoen, de omstndigheden en de conditie vn de rijder. Vervolgens kunnen we deze lidmtschpsfuncties geruiken ij de evlutie vn een eslissingsregel. Veronderstel nu dt de eerdere presttie vn een schtser een tijd vn 6,7 is, en dt ook voor de omstndigheden en conditie getlwrden ekend zijn. Het fuzzy epertsysteem doet nu met ehulp vn de eslissingsregel uit het egin vn deze prgrf een voorspelling over de tijd die de schtser zl gn rijden. Het voert te ver om precies uit te leggen hoe deze voorspelling tot stnd komt. We kijken lleen nr de ltste stp omdt dr integrlrekening wordt toegepst. 45

23 Open Universiteit Continue wiskunde Het resultt vn de eslissingsregel is in eerste instntie weer een functie. In dit vooreeld zou dit de grfiek uit figuur 3.3 kunnen zijn. FIGUUR 3.3 De functie die de voorspelde tijd op de 5m weergeeft Wt etekent deze ltste grfiek? Bij elke tijd geeft de grfiek een wrde die ngeeft in hoeverre deze tijd meetelt voor het verwchte resultt. Om te eplen of het resultt een goede, mtige of slechte tijd is, gn we het gewogen gemiddelde eplen vn de schtstijden uit de grfiek. Drij geruiken we de functiewrden ls de gewichten vn dit gewogen gemiddelde. Als de resulttfunctie uit discrete wrden hd estn ws wel duidelijk geweest hoe we zouden moeten middelen om tot een eindwrde te komen: door eerst lle tijden vermenigvuldigd met de lidmtschpswrde ij elkr op te tellen krijgen we een gewogen som, die we nog door de som vn de gewichten (=functiewrden) moeten delen om een gewogen gemiddelde te eplen. Uit de continue wrden vn figuur 3.3 kunnen we ijvooreeld discrete wrden fleiden door ij elke hele seconde de wrde f te lezen. Uit figuur 3.3 zien we dt in dit gevl de gewogen som gelijk is n.8 6,5 +,8 6,6 +...,8 6, +,7 6, en de som vn de gewichten n,8 +, ,8 +, , +, +. Het quotiënt vn deze twee geeft een endering voor het verwchte resultt dt de schtser zl ehlen. Wnneer we de verdeling gn verfijnen, gn deze sommen steeds eter lijken op 6,3 6,5 f(t) t dt en 6,3 6,5 f(t)dt met f de resulttfunctie. N wt rekenwerk, wrvn we u het eerste deel lten doen in opgve 3.5 en het tweede deel uitstellen tot de computerlger leereenheid 4, vinden we 6,3 6,5 6,3 6,5 f () d t t t f ()d t t 6,5 Defuzzifictie Het eplen vn een enkele wrde uit de resulttfunctie heet defuzzifictie. 46

24 Leereenheid 3 Integreren Het systeem voorspelt dus dt de tijd die de schtser zl rijden ongeveer 6,5 s zl zijn. Ten slotte willen we uit deze getlwrde weer een kwlifictie fleiden. Als we nu terugkijken nr de grfieke 3. zien we dt we de presttie kunnen eschrijven ls goed of mtig (eide met lidmtschpswrde,5). OPGAVE 3.5 Stel de integrlen op die u moet uitrekenen om de defuzzifictie uit te voeren. 5.3 WEERGAVE VAN KLEUREN We sluiten deze leereenheid f met een toepssing wrij we ekijken hoe kleur kn worden weergegeven. De kleur vn licht wordt epld door de golflengte. Sommige lichtronnen geven monochromtisch licht dt mr uit één golflengte estt. Vk is licht echter opgeouwd uit verschillende golflengten. In dit gevl kn het licht eschreven worden door een functie die voor elke golflengte weergeeft hoeveel vn deze golflengte tot het uitgezonden licht ehoort. We noemen zo'n functie een spectrlverdeling. Onze ogen evtten drie soorten receptoren voor gekleurd licht: deze receptoren ontleden het licht in drie componenten en tellen de resultten op. Omdt verschillende spectrlfuncties n ontinden in de drie fctoren dezelfde eindsom op kunnen leveren, is het mogelijk dt we twee lichtronnen met verschillende spectrlverdelingen zien ls dezelfde kleur. Deze eigenschp wordt geruikt ij weergve vn kleur op ijvooreeld computerschermen. Door een mi vn rood, groen en luw zijn (ijn) lle kleuren n te ootsen. Hoe kunnen we nu ij een kleur met gegeven spectrlverdeling de juiste verhouding tussen rood, groen en luw eplen om deze kleur n te ootsen? Om deze vrg te entwoorden kijken we eerst wt nuwkeuriger nr de werking vn het oog. De gevoeligheid vn elke type receptor kunnen we ook met een functie eschrijven. In de grfiek hieronder ziet u de functie voor de receptor voor groen licht g. FIGUUR 3.4 De receptor voor groen licht Stel nu dt licht met een eplde spectrlverdeling τ op deze receptor vlt. De stimulns vn deze receptor kunnen we dn vn ovenf enderen door voor elk klein deelintervl [λ i, λ i ] met lengte Δλ de mimle wrde vn de spectrlverdeling op dit intervl te vermenigvuldigen met de mimle wrde vn de gevoeligheid g op dit intervl, en vervolgens deze wrden, vermenigvuldigd met de intervlfstnd Δλ op te tellen. Mr dit etekent dt we in feite de 47

25 Open Universiteit Continue wiskunde integrl vn τ g over het domein vn g eplen! Om een kleur n te ootsen moeten we dus drie integrlen eplen. Een lichtron die estt uit de siskleuren in een verhouding die overeenkomt met de wrden vn deze integrlen geeft dn precies de juiste kleur. In de prktijk wordt voor het eplen vn de kleurcomponenten voor kleurweergve niet gewerkt met de gevoeligheidsfunctie vn de receptoren mr met drie ndere sisfuncties. Deze stndrdfuncties zijn in 93 door de Commission Interntionle de l' Eclirge vstgesteld en heten drom ook wel de CIE stndrden. De grfieken vn deze functies (λ), y(λ) en z(λ) ziet u in figuur 3.5. FIGUUR 3.5 De CIE stndrden OPGAVE 3.6 De drie componenten om een kleur met spectrlfunctie τ weer te geven, kunnen erekend worden met ehulp vn drie integrlen. Geef deze integrlen. Het erekenen vn de integrlen uit opgve 3.6 geeurt in de prktijk door numerieke methoden, wrij de computer met een epld lgoritme de uitkomsten endert. In deze cursus gn we hier niet verder op in. 48

26 Leereenheid 3 Integreren S A M E N V A T T I N G Als f de fgeleide is vn de functie F, dn heet F een primitieve vn f. Als F een primitieve is vn f, dn is ook F + c een primitieve voor elke constnte c. Als F een primitieve is vn f, dn is de eplde integrl vn f over [, ] gelijk n f ( )d = F( ) F( ) Als f positief is op [, ], dn is de eplde integrl vn f over [, ] gelijk n de oppervlkte ingesloten door de grfiek vn f, de -s, en de lijnen = en =. Voor het integreren gelden de volgende rekenregels: Somregel Verschilregel Constnte-regel Intervlregel F + G is een primitieve vn f + g. F G is een primitieve vn f g. cf is een primitieve vn cf. c c f ( )d = f ( )d + f ( )d Een som kunnen we enderen door een integrl: n k = f ( k ) is ongeveer gelijk n n f ( )d Oneigenlijke integrlen erekenen we ls limiet vn eplde integrlen: p f ( )d = lim f ( )d en f ( )d = lim f ( )d p q q Oneigenlijke integrlen over de hele reële rechte moeten we eerst splitsen: c c p f ( )d = f ( )d + f ( )d = lim f ( )d + lim f ( )d c q q p c 49

27 Open Universiteit Continue wiskunde ZELFTOETS Bepl de primitieven vn e c sin + 3cos d 5 Bepl de volgende eplde integrlen: 4 ( + ) d π sin 3 d 3 Bereken f(t)dt ls f gegeven wordt door + t t < f () t = voor π cos( π t + ) voor t Geef een interprettie vn het ntwoord in termen vn oppervlkte. 4 Beschouw de functies f() = 4/cos en g() = 3 sin. Noem h() = f() g(). Bepl lle primitieven vn h. Lt zien dt f() g() op [, π/4] en ereken de oppervlkte tussen de grfieken vn f en g op [, π/4]. c Kies een primitieve H vn h en ereken H(5π/4) H(π/6). Is dit getl te interpreteren ls een oppervlkte tussen de grfieken vn f en g? Motiveer uw ntwoord. 5 Bepl met ehulp vn integrlrekening een ovengrens voor 6 Bepl zodt de functie F() = / ( + ) een primitieve is vn de functie f() = ( + ) 3/ n k =. k Bepl ( ) + 3/ d 5

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

5.1 Rekenen met differentialen

5.1 Rekenen met differentialen Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Wiskundige Analyse 1

Wiskundige Analyse 1 Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen

Discrete Wiskunde. D. Bruin J.M. Jansen Discrete Wiskunde D. Bruin J.M. Jnsen Opleiding Hogere Informtic Noordelijke Hogeschool Leeuwrden Nederlndse defensie cdemie, fculteit militire wetenschppen Juni 1999 + oktoer 2013 Discrete Wiskunde 2

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2 Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

De tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel.

De tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel. 15 Ski-eroics Hoofdstuk 15, Pgin 1 vn 5 15.1 Inleiding Het is elngrijk om SneeuwFit triningen gevrieerd te houden. Proeer het nod vn ctiviteiten zo verschillend mogelijk te houden. Een vooreeld hiervn

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde Profielwerkstuk Geschiedenis vn de wiskunde De wondere wereld vn de wiskunde voor Christus. Dingo Alvrez V6 Inhoudsopgve Voorwoord Egyptische Wiskunde Delen en vermenigvuldigen op z n Egyptisch 5 Egyptische

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

1. Differentiaalvergelijkingen

1. Differentiaalvergelijkingen Differentilvergelijkingen Vn discreet nr continu We estuderen de evolutie vn de evolking vn een lnd met 5 miljoen inwoners Stel u n het ntl inwoners n n jr, met n een discrete vriele We heen enkel informtie

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3

Inhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3 Voorwrden Hypotheek SprVerzekering Model 10052 Delt Lloyd Levensverzekering NV Inhoudsopgve 1 Wt edoelen wij met? 3 2 Wnneer strt uw verzekering? 3 3 Wnneer stopt uw verzekering? 3 3.1 Kunt u de verzekering

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

8 Kostenverbijzondering (I)

8 Kostenverbijzondering (I) 8 Kostenverijzondering (I) V8.8 Speelgoedfriknt Autoys BV heeft onlngs de Jolls Joye ontwikkeld: een plsti speelgoeduto voor peuters in de leeftijdstegorie vn twee tot vijf jr. De produtie voor 2009 wordt

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle

Nadere informatie

V = gap E zdz ( 4.1B.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z).

V = gap E zdz ( 4.1B.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z). 4.1 Wire dipole Advnced theory In dit hoofdstuk introduceren we de lezer in de moment-methode erekening vn prmeters vn een wiredipole. We presenteren deze informtie in het Nederlnds in lg B zodt de lezer

Nadere informatie

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015 Bijlge gendpunt 7: Inhoudelijke plnning overlegtfels 2015 In de Ontwikkelgend (ijlge 5 ij de Deelovereenkomst mtwerkvoorziening egeleiding 18+) zijn 7 them s en 31 suthem s opgenomen die in 2015 tijdens

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Hndleiding edatenq Mndelijkse enquête toerisme en hotelwezen Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistische ngiften in te vullen en door te sturen vi internet.

Nadere informatie