Krommen en oppervlakken in de ruimte

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Krommen en oppervlakken in de ruimte"

Transcriptie

1 (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken in de ruimte DE VERZAMELING VAN PUNTEN, en uitsluitend dee punten, wrvn de oördinten voldoen n een vergelijking vn de vorm (1) F(,, ) = 0 wordt een oppervlk genoemd. Op enkele uitonderingen n, ullen we lleen oppervlkken eshouwen die vn de tweede grd ijn. De vermeling vn punten, en enkel dee punten, wrvn de oördinten teelfdertijd voldoen n een pr vergelijkingen vn de vorm (1) F(,, ) = 0, G(,, ) = 0 wordt een kromme in de ruimte genoemd. Bijvooreeld is + + = 5 de vergelijking vn een ol, terwijl + + = 5, = 4 de vergelijkingen ijn vn een irkel, nmelijk de doorsnede vn de sfeer en het vlk = 4. EEN CILINDER OF CILINDRISCH OPPERVLAK wordt voortgerht door een rehte die ih evenwijdig n ihelf verpltst en die steeds door een gegeven kromme gt. De rehte die ih verpltst heet de genertrie of voortrengende kromme, en de gegeven kromme heet de diretrie of rihtkromme. De voortrengende kromme in een vn ijn posities heet een element vn de ilinder. Als de rihtkromme in een vlk ligt en ls de voortrengende kromme loodreht stt op dt vlk, is de ilinder een rehte ilinder; ls drenoven de rihtkromme een kegelsnede is, wordt de ilinder een kwdrtish rehte ilinder genoemd. We eperken hier de espreking tot een rehte ilinder wrvn de voortrengende kromme loodreht stt op een oördintenvlk of evenwijdig is met een oördintenvlk. De vergelijkingen vn dergelijke ilinders ijn vn de vorm f(, ) = 0, g(, ) = 0 of h(, ) = 0; in elk gevl is de voortrengende vn de ilinder evenwijdig met de s vn vernderlijke die fweig is in de vergelijking. Omgekeerd, is de vermeling punten vn een vergelijking die slehts twee vrielen evt een ilinder wrvn de rihtlijn een kromme is in het vlk vn die vrielen. Dee heeft deelfde vergelijking, en de voortrengende kromme is evenwijdig met de s vn de ontrekende vriele. Vooreeld 1. Bestudeer de kwdrtishe rehte ilinder = 0. Het is een irkelvormige rehte ilinder voortgerht door een rehte die ih steeds evenwijdig met de -s verpltst ( komt niet voor in de vergelijking) en die steeds door de irkel ( -) + = 16, = 0 in het vlk gt; ols geïllustreerd in Figuur. Zie oefening 1. Fig. 1

2 Krommen en oppervlkken in de ruimte Fig. RECHTE CIRKELVORMIGE CILINDER = 0. Fig.3 OMWENTELINGSPARA- BOLOÏDE + =. EEN OMWENTELINGSOPPERVLAK wordt voortgerht door een vlkke kromme, de voortrengende kromme geheten, rondom een rehte (de s genoemd) die ehoort tot het vlk vn de kromme. Ntuurlijk is de doorsnede vn een dergelijk oppervlk met een vlk loodreht op de omwentelingss een of meerdere irkels. Vooreeld. Vind de vergelijking vn het oppervlk voortgerht door de omwenteling vn de prool =, = 0 rondom de -s. Zelfs l is het niet noodkelijk, toh is het soms eter om de oördinten te kieen ols ngegeven in de Fig. 3 om et oppervlk te illustreren. Stel dt P(,, ) een punt is vn dt oppervlk. Stel dt C het middelpunt is vn de irkel, die de doorsnede is verkregen door het oppervlk te snijden door P en loodreht op de -s (de s vn wenteling) en stel dt Q(0,, ') een punt vn doorsnede is vn die irkel en de prool. Stel R de voet vn de loodlijn is vnuit P op het vlk. Dn is CP = CQ wnt het ijn twee strlen vn deelfde irkel. Bovendien is CQ = ' = (), wnt Q ligt op de prool; in de rehthoekige driehoek CRP, is CP = CR RP =. Dus is = en de vergelijking vn het oppervlk is + =. Merk op dt men de vergelijking vn het oppervlk kn verkrijgen door gewoon in de vergelijking vn de prool te vervngen door. De vergelijking het omwentelingsoppervlk voortgerht door driing vn een kromme gelegen in een vn de oördintenvlkken rondom een vn de oördintenssen vn dt vlk kn ls volgt verkregen worden: ls de kromme drit rondom () de -s, vervng of in de vergelijking vn de kromme door ; () de -s, vervng of in de vergelijking vn de kromme door ; () de -s, vervng of in de vergelijking vn de kromme door ; Vooreeld 3. De vergelijking shrijven vn het omwentelingsoppervlk voortgerht door de kromme = 144, = 0 driend rondom de -s. We vervngen door in de vergelijking = 144 odt we verkrijgen ( + ) = 144 of = 144, en dt is de vergelijking vn het oppervlk. Vermits de rihtlijn een ellips is wordt het oppervlk een omwentelingsellipsoïde genoemd. Merk op dt twee vn de drie oëffiiënten gelijk ijn. Zie oefeningen -3. EEN BOL OF EEN SFERISCH OPPERVLAK is een omwentelingsoppervlk wrij een irkel drit over een vn ijn dimeters. Het is ook de vermeling punten die ligt op een vste fstnd (de strl vn de ol) vn een vst punt (het middelpunt vn de ol).

3 Krommen en oppervlkten in de ruimte 3 De vergelijking vn de ol met middelpunt in de oorsprong en strl r is + + = r. De vergelijking vn de ol met middelpunt in het punt C(,, ) met strl r is ( - ) + ( - ) + ( - ) = r. Zie oefeningen 4-5. EEN KEGEL OF EEN KEGELOPPERVLAK is een oppervlk voortgerht door een rehte (de voortrengende rehte) die ih verpltst volgens een gegeven kromme (de rihtkromme genmd) en die steeds gt door een vst punt (de top genoemd). De voortrengende rehte in een vn hr posities is een element vn de kegel. De top sheidt het oppervlk in twee delen, de lden genoemd. Wnneer de top vn de kegel de oorsprong is (ie Fig. 4: + = ) is de vergelijking homogeen in de drie vrielen dt wil eggen ls f(,, ) = 0 vn grd n de vergelijking is vn een kegel, dn is f(k, k, k) = k n f(,, ). Fïg. 4 Kegel Fig. 5 Kegel - = 0 Vooreeld 4. Identifieer en onstrueer het oppervlk met vergelijking - = 0. Zie Fig. 5. Zij f(,, ) = - ; dn is f(k, k, k) = (k) - (k)(k) = k [ - ] = k f(,, ). De vergelijking is homogeen; de vermeling punten is een kwdrtishe kegel (een vergelijking vn de tweede grd) met de top in de oorsprong. Om het oppervlk voort te rengen, geruiken we de prool =, = 1 ls rihtkromme (in het vlk = 1). N het tekenen vn de prool en enkele elementen (ols de rehten die de oorsprong verinden met de punten vn de prool), verkrijgen we een voldoening gevende illustrtie. Zie oefening 6. DE ALGEMENE VERGELIJKING VAN DE TWEEDE GRAAD IN DRIE VARIABELEN, () A + B + C + D + E + F + G + H + I + K = 0, wr ten minste een vn de oëffiiënten A, B, C, D, E, F vershillend is vn nul, stelt een kwdrtish oppervlk voor. Zols in het gevl vn de lgemene vergelijking vn de tweede grd met twee vernderlijken, kn een gepste keue vn een rottie en een trnsltie de oördinten odnig vernderen dt () in een geredueerde vorm verndert. We estuderen kort lk vn de kwdrtishe oppervlkken die we nog niet heen estudeerd door elk vorm tot de geredueerde vergelijking te herleiden.

4 4 Krommen en oppervlkken in de ruimte Hier ullen we de smmetrie, de snijpunten en de spreiding eshouwen, een eetje ols ij de studie vn kegelsneden. Toh l het voorl door de studie vn de snijdingen met de vlkken evenwijdig n de oördintenvlkken ijn dt we eter de ntuur vn het oppervlk ullen ien. EEN OPPERVLAK IS SYMMETRISCH met etrekking tot een oördintenvlk ls ijn vergelijking onvernderd lijft wnneer we het teken vn de vernderlijke vernderen die niet tot het vlk ehoort. Een oppervlk est smmetrish met etrekking tot een oördintens ls ijn vergelijking onvernderd lijft wnneer we de tekens vn de vrielen vernderen die niet to de s ehoren. Een oppervlk est smmetrish met etrekking tot de oorsprong ls ijn vergelijking onvernderd lijft wnneer we de tekens vn lle vrielen vernderen. Vooreeld 5. Het oppervlk met vergelijking = 0 is smmetrish met etrekking tot het vlk wnt ijn vergelijking verndert niet wnneer vervngen wordt door. Het is smmetrish met etrekking tot het vlk wnt de vergelijking lijft onvernderd wnneer wordt vervngen door -. Het is ehter niet smmetrish met etrekking tot het vlk wnt de vergelijking verndert wnneer we vervngen door -. Het oppervlk est smmetrish met etrekking tot -s wnt de vergelijking lijft onvernderd wnneer en vervngen worden door en. Ze is niet smmetrish met etrekking tot de -s noh met etrekking tot de -s. Het oppervlk is niet smmetrish met etrekking tot de oorsprong wnt de vergelijking wordt = 0 wnneer we,, vervngen door -, -, - in de vergelijking. DE SNIJPUNTEN VAN EEN OPPERVLAK met de ssen ijn de georiënteerde fstnden vn de oorsprong nr de punten wr de oördintenssen het oppervlk doorsnijden. De snijpunten lten ih verkrijgen door één pr vernderlijken gelijk n nul te nemen en op te lossen nr de ndere. Het spoor vn een oppervlk in een oördintenvlk is de kromme epld door de doorsnede vn het oppervlk met dit oördintenvlk. Het spoor in een oördintenvlk lt ih ekomen door een vn de vernderlijken nul te stellen. Vooreeld 6. De snijpunten vinden met de ssen en het spoor in de oördintenvlkken vn het oppervlk = 16. Door = = 0 te stellen, verkrijgen we = 16; de snijpunten met de -s ijn ±4. Door = = 0 te stellen, verkrijgen we 4 = 16; de snijpunten met de -s ijn ±. Door = = 0 te stellen, verkrijgen we het snijpunt - met de -s. Door te stellen = 0, wordt het spoor in het -vlk de ellips + 4 = 16, = 0. Het spoor in het vlk is de prool - 8 = 16, = 0; het spoor in het vlk is de prool - = 4, = 0. DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING 1 is een ellipsoïde. Als ten minste twee vn de onstnten, gelijk ijn is het een omwentelingsellipsoïde; ls = =, is het een ol. De ellipsoïde is smmetrish met etrekking tot de oördintenvlkken, de ssen en de oorsprong. De sporen in de oördintenvlkken ijn ellipsen of irkels: Fig. 4: ELLIPSOÏDE 1

5 Krommen en oppervlkten in de ruimte 5 1, = 0; 1, = 0; 1, = 0. Een doorsnede met het vlk = k is een ellips (of een irkel) 1 k. De grootte vn de ellips vermindert nrmte het vlk ih verwijdert vn het pln. De ellips herleidt ih tot een punt voor k = en is imginir voor k >. Er ijn nloge resultten voor de doorsneden met vlkken = k of = k. DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING 1 is een hperoloïde met één ld (ls = is het een omwentelingshperoloïde). Ze is smmetrish met etrekking tot de oördintenvlkken, de ssen en de oorsprong. Het spoor in het vlk is de ellips 1, = 0; de sporen met de vlkken en ijn de hperolen 1, = 0 en 1, = 0. Een doorsnede met een vlk = k is een ellips, en ijn grootte vermeerdert nrgelng het vlk ih verwijdert vn het vlk. De doorsneden met de vlkken = k en = k ijn hperolen. DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING 1 is een hperoloïde met twee lden. Als =, dn is de vermeling een omwentelingshperoloïde. Dee is smmetrish met etrekking tot de oördintenvlkken, de ssen en de oorsprong. De sporen in de -vlkken en -vlkken ijn de hperolen 1, = 0 en 1, = 0; het spoor in het vlk is imginir. De doorsneden in de vlkken = k en = k ijn hperolen; de doorsnede met het vlk = k is imginir voor k <, een punt voor k =, en een ellips (of een irkel) voor k >. HYPERBOLOÏDE MET TWEE BLADEN 1 HYPERBOLOÏDE MET EEN BLAD 1

6 6 Krommen en oppervlkken in de ruimte DE VERZAMELING PUNTEN VOOR DE VERGELIJKING is een elliptishe proloïde. Als =, is de vermeling een omwentelingsproloïde. Ze is smmetrish met etrekking tot de vlkken en, en de -s. Si > 0, ligt het oppervlk oven het vlk ; ls < 0, ligt het oppervlk onder het -vlk. De sporen in de vlkken en ijn de prolen;, = 0 en, =0; het spoor in het vlk is de oorsprong. De doorsneden met de vlkken = k en = k ijn prolen; de doorsnede met het vlk = k is imginir wnneer k < 0, een punt wnneer k = 0, en een ellips wnneer k > 0. ELLIPSTISCHE PARABOLOÏDE HYPERBOLISCHE PARABOLOIDE DE VERZAMELING VAN PUNTEN VOOR VERGELIJKING is een prolishe hperoloïde. Ze is smmetrish met etrekking tot de vlkken en en de -s. Het spoor in het vlk is het pr rehten 0 ; de sporen in de vlkken en ijn de prolen en. De doorsnede met een vlk = k is een hperool, uitgeonderd voor k = 0, wr het een pr rehten is ols reeds vermeld. De doorsnede met de vlkken = k en = k ijn prolen. BEHALVE DE BESCHREVEN OPPERVLAKKEN, estn er eplde ontrde vermelingen ols een pr vlkken, een vlk dt twee ml geteld wordt, een rehte (een ilinder met strl 0) en een punt. Zie oefening 7.

7 Krommen en oppervlkten in de ruimte 7 OPGELOSTE OEFENINGEN 1. Bestudeer en illustreer elk vn de volgende rehte ilinders: () + 4 = 16, () = 4 8, () = -1. () ELLIPTISCHE CILINDER () PARABOLISCHE CILINDER () HYPERBOLISCHE CILINDER + 4 = 16 = 4 8 = -1 () Dit is een elliptishe ilinder, voortgerht door een rehte die ih verpltst evenwijdig met de - s volgens de ellips + 4 = 16, = 0. () Dit is een prolishe ilinder, voortgerht door een rehte die ih verpltst evenwijdig met de -s volgens de prool = 4-8, = 0. () Dit is een hperolishe ilinder, voortgerht door een rehte die ih verpltst evenwijdig met de -s volgens de hperool = -1, = 0.. De vergelijking vinden vn het oppervlk voortgerht door de omwenteling vn de kromme om de gegeven s. () + = 4, = 0; rondom de -s. () 9 4 = 36, = 0; rondom de -s. () = 0, = 0; rondom de -s. () Vervng door, dn is + + = 4. Dit is een sfeer. () Vervng door, dn is = 36. Dit is een omwentelingshperoloïde. () Vervng door, dn is 4 0. Dus is + 4 = en door dit te kwdrteren wordt dee ( + 4) = 0. Dit is een kegel. 3. Identifieer en illustreer: () + + = 9, () = 4, () 4 4 = 4 (d) = 0. () De vermeling is een ol, voortgerht door de omwenteling vn de irkel + = 9, = 0 rondom de -s of de -s, of door de rottie vn de irkel + = 9, = 0 rondom de -s of de - s. Zie figuur hierij. () De vermeling is een omwentelingsellipsoïde, voortgerht door de omwenteling vn de ellips + 4 = 4, = 0 rondom de -s, of door de rottie vn de ellips 4 + = 4, = 0 rondom de -s of de -s. Zie figuur (). () SFEER + + = 9

8 8 Krommen en oppervlkken in de ruimte () OMWENTELINGS- () OMWENTELINGS- (d) OMWENTELINGS- ELLIPSOÏDE HYPERBOLOÏDE PARABOLOÏDE = = = 0 () Dit is een omwentelingshperoloïde, voortgerht door omwenteling vn de hperool 4 = 4, = 0 rondom de -s, of door omwenteling vn de hperool 4 = 4, = 0 rondom de -s. (d) Dit is een omwentelingsproloïde, voortgerht door omwenteling vn de prool - 8 = 0, = 0 rondom de -s. 4. Vind de vergelijking vn de volgende sferen () C(, -3, -4), r = 5; () geentreerd op de -s, en gnde door A(, 3, 5) en B(6, -3, 3). () De vergelijking is ( - ) + ( + 3) + ( + 4) = 5. () Zij (, 0, 0) het middelpunt. Dn is (CA) = (CB) of ( -) = ( -6) en =. Het middelpunt is C(, 0, 0) en de strl in het kwdrt is r = ( -) = 34. De oplossing is ( - ) + + = Vind de oördinten vn het middelpunt vn de sfeer en de strl. () ( - ) + ( - 3) + ( + 4) = 36, () = 0. () Het middelpunt is C(, 3, -4) en de strl is r = 36 = 6. () Door het kwdrt te vervolledigen, komt er ( - 3) + ( - 4) + ( - 5) = = 5. Het middelpunt is C(3, -4, 5) en de strl r = Bestudeer en illustreer elk vn de volgende oppervlkken: () = 0, () = 0, () = 0. () Het is een irkelvormige kegel, voortgerht door een rehte die gt door de oorsprong en die ih verpltst volgens de irkel + = 4, = 1 of + = 16, = -, enovoort. Het gevl vn de eerste irkel werd geïllustreerd in Fig. (). () Het is een elliptishe kegel, voortgerht door een rehte die gt door de oorsprong en die ih verpltst volgens de ellips + 4 =, = 1. Zie in Fig. ().

9 Krommen en oppervlkten in de ruimte 9 () EEN CIRKELVORMIGE KEGEL () EEN ELLIPTISCHE KEGEL () EEN ELLIPTISCHE KEGEL = = 0, = 0 () Het is een elliptishe kegel, voortgerht door een rehte die gt door de oorsprong en die ih verpltst volgens de ellips + 4 = 1, = 1. Zie in Fig. (). 7. Illustreer de volgende kwdrtishe oppervlkken: () = 144, () = 36 () = 36, (d) = 36 (e) 4-9 = 7. () Het is een ellipsoïde wrvn de sporen in de oördintenvlkken ellipsen ijn: = 144, = 0; + 4 = 36, = 0; = 144, = 0; Dee sporen volstn om het oppervlk te illustreren. () ELLIPSOÏDE () HYPERBOLOÏDE MET ÉÉN BLAD () HYPERBOLOÏDE MET TWEE BLADEN () Het is hperoloïde met één ld wrvn de sporen in de oördintenvlkken ellipsen ijn: + 4 = 36, = 0 en hperolen - 9 = 36, = 0 en 4-9 = 36, = 0. De Fig. () toont de sporen en de doorsneden + 4 = 180, = ±4. () Het is hperoloïde met twee lden wrvn de reële sporen hperolen ijn: - 4 = 36, = 0 en - 9 = 36, = 0. De Fig. () toont de sporen en de doorsneden = 108, = ±1. (d) ELLIPTISCHE PARABOLOÏDE (e) HYPERBOLISCHE PARABOLOÏDE

10 10 Krommen en oppervlkken in de ruimte (d) Het is elliptishe proloïde wrvn de sporen de oorsprong en prolen ijn: = 9, = 0 en = 4, =0. De Fig. (d) toont de sporen en de doorsneden = 7, =. (e) Het is hperolishe proloïde wrvn de sporen de rehten ijn: ± 3 = 0, = 0 en de prolen = 18, = 0 en = -8, = 0. De Fig. (e) toont de sporen en de doorsneden 4-9 = 7, = 1 en = 7, = -1. SUPPLEMENTAIRE OEFENINGEN 8. Bestudeer en illustreer de volgende rehte ilinders. () + = 16 () = 36 () - 4 = 36 (d) = Bepl de vergelijking vn het omwentelingsoppervlk voortgerht door omwenteling vn de gegeven kromme rondom de gegeven s: () + = 4, = 0; rondom de -s. Antw.: + + = 4 () - 4 = 16, = 0; rondom de -s. Antw.: = 16 () =, = 0; rondom de -s. Antw.: 4 - = 0 (d) + 3 = 6, = 0; rondom de -s. Antw.: = Bepl de s vn wenteling en de vergelijking vn de voortrengende kromme in het oördintenvlk dt de s evt. () = 0 Antw.: de -s; 9 + = 36, = 0 of 9 + = 36, = 0 () = 1 Antw.: de -s; + 3 = 1, = 0 of 3 + = 1, =0 () + = 4 Antw.: de -s; =, =0 of =, =0 (d) = 9 Antw.: de -s; - 3 = 9, =0 of - 3 = 9, =0 11. Bepl de vergelijking vn de sfeer () met middelpunt in ( 1,, -3) en strl. () met middelpunt in (, -1, 1) en die gt door (5,,-3). () met middelpunt in (3,, 4) en rkend n = 0. (d) die gt door (3, 5, 4), (4, 4, -8) en (-5, 0, 1). Antw.: () = 0 () = 0 () = 0 (d) = 0 1. Bepl de oördinten vn het middelpunt en de strl vn elke sfeer. () = 0 Antw.: C(-3, 1, 4); r=4 () = 0 Antw.: C(, -3, 0); r = 5 () = 0 Antw.: C(1/, 3/, ); r= 13. Bestudeer en illustreer de oppervlkken () = 36 (g) + 4 = 16 () = 100 (h) = 0 () = 36 (i) = 0 (d) = 0 (j) = 4 (e) = 400 (k) = 0 (f) = 0 (l) l/ + l/ = l/

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen.

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen. 582 Rngshik vn klein nr groot. 583 Vul n. 0,3 km 500 m 200 000 m 25 000 dm... 0,3 m 40 m 12 dm 240 mm... 1 mm is... mm kleiner dn 1 m. 8 m is... m kleiner dn 1 m. d 9 92 70 47 3 m is... mm kleiner dn 1

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart.

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart. Route I 1 Flmingo's Flmingo's zeven met hun kromme snvel voedsel uit het wter. Jonge flmingo's heen een rehte snvel. De jonge dieren zeven niet zelf voedsel uit het wter, mr worden door de ouders gevoerd.

Nadere informatie

Methode symmetrische componenten, revisie 1

Methode symmetrische componenten, revisie 1 Methode symmetrische componenten, revisie 9-69 pmo mrt 9 Phse to Phse V trechtseweg 3 Postbus 68 rnhem T: 6 35 37 F: 6 35 379 www.phsetophse.nl 9-69 pmo Phse to Phse V, rnhem, Nederlnd. lle rechten voorbehouden.

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde Hvo B deel Uitwerkingen lok Moderne wiskunde Blok Vrdigheden ldzijde 0 l gt door (0, ) dus strtgetl l gt door (0, ) en (, ), dus nr rehts en omlg ofwel nr rehts en 0, omlg. Het hellingsgetl is dn 0, y

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Blok 4 - Vaardigheden

Blok 4 - Vaardigheden Blok - Vrdigheden ldzijde 0 Dt geldt voor h, len m ; de grfieken zijn symmetrish in de y -s. Die zijn tegengesteld; ijvooreeld g( ) g () De grfiek is symmetrish in de oorsprong. funtie symmetrie in de

Nadere informatie

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmide, de kegel en de ol 18 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 190 179 M1 1 Titel Ruimtelijke situties

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ICT - Rklijnen ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015

Bijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015 Bijlge gendpunt 7: Inhoudelijke plnning overlegtfels 2015 In de Ontwikkelgend (ijlge 5 ij de Deelovereenkomst mtwerkvoorziening egeleiding 18+) zijn 7 them s en 31 suthem s opgenomen die in 2015 tijdens

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Machtsfuncties, Exponentiële, en Logaritmische Krommen

Machtsfuncties, Exponentiële, en Logaritmische Krommen (HOOFDSTUK 1, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling; het deel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde.

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde. Route L - Oen 1 De route vn de Oen strt in de Bush. Volg de ordjes nr de Oen. De vrgen stn in hronologishe volgorde. Kwllen Dt er lngs de Nederlndse kust kwllen voorkomen, is lgemeen ekend. De oorkwl kun

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Inproduct, projectie, terugblik

Inproduct, projectie, terugblik Met de vernieuwde wiskundecurricul vn HAVO en VWO verndert in 2015 ook het meetkundeprogrmm voor VWO-wiskunde B: nlytische meetkunde met coördinten krijgt een prominentere plts. Dit is nleiding om in de

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

vergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen

vergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-0 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Inhoud 1. Sstematisch onderzoek van grafieken Conveiteit en uigpunten Asmptoten

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Keuze van het lagertype

Keuze van het lagertype Keuze vn het lgertype Beschikbre ruimte... 35 Belstingen... 37 Grootte vn de belsting... 37 Richting vn de belsting... 37 Scheefstelling... 40 Precisie... 40 Toerentl... 42 Lgergeruis... 42 Stijfheid...

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen.

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen. vk Mtshppijleer them Multiulturele smenleving onderwerp Het multiulturele drm vn P. Sheffer ntwoorden ij de vrgen over het rtikel kls Hvo 5 dtum jnuri 2014 1 2 3 4 5 6 7 8 De vrg hoe de slehte werk-, woon-

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H29 PARABOLEN&HYPERBOLEN 1

de Wageningse Methode Antwoorden H29 PARABOLEN&HYPERBOLEN 1 Hodstuk PARABOLEN & HYPERBOLEN. INTRO. CONFLICTLIJN ; ; d,, Q: Afstnd tot E is 7 Afstnd tot k is R: Afstnd tot E is 7 Afstnd tot k is us Q en R liggen even ver vn E ls vn k. e fstnd tot k is e fstnd tot

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden

Hoofdstuk 4 - Kegelsneden oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

Gekke Voronoi diagrammen.

Gekke Voronoi diagrammen. Gekke Voronoi digrmmen. Roderik Lindenergh Mthemtishe Geodesie en Puntsepling Tehnishe Universiteit Delft R.C.Lindenergh@geo.tudelft.nl 5 6 7 Figuur : Een Voronoi digrm. Stel je een ntl supermrkten in

Nadere informatie

Klas: Project: ENENN. Ontwerp

Klas: Project: ENENN. Ontwerp Voornm & nm: Kls: 3 BSIS LSSEN Project: MEETKUNDIG TEKE ENENN Ontwerp 2010 : w. vermelen Strtdtum P L N N I N G T V e n T T Geplnde einddtum Werkelijke einddtum Strtdtum P L N N I N G P R K T I J K Geplnde

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie