5.1 Rekenen met differentialen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "5.1 Rekenen met differentialen"

Transcriptie

1 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden, nmelijk door prtiële integrtie. De enige regel voor de fgeleide die we nog niet hebben gebruikt is de kettingregel en het zou geen verrssing zijn dt we ook hier iets voor het primitiveren n hebben. Als we bijvoorbeeld nr de functie F () := ep( 2 ) kijken, dn is F () = 2 ep( 2 ), dus kunnen we de integrl ep( 2 ) beplen ls b ep( 2 ) = 2 ep(2 ) b = 2 (ep(b2 ) ep( 2 )). Algemeen zien we dt een integrl vn de vorm g (f())f () de primitieve g(f()) heeft en dit geeft l één mnier hoe we met behulp vn de kettingregel een primitieve kunnen vinden. Mr we kunnen de kettingregel nog veel slimmer toepssen, niet lleen mr ls we een functie vn de vorm g (f())f () in een integrl vinden. Om dit op een hndige mnier te kunnen beschrijven gn we eerst nog eens de nottie vn Leibniz voor de fgeleide nder bekijken. 5. Rekenen met differentilen De fgeleide hebben we gedefinieerd ls limiet vn de quotiënt f(+h) f() h. Als we met een (klein) verschil vn wrden noteren, kunnen we dit ook schrijven ls f(). Om nu de limiet 0 duidelijk te mken, vervngen we door d, dn wordt dus f () = () =. Tot hier toe hebben we lleen mr de nottie vernderd en zien ls een formeel symbool, dt we ls nr lezen. Inderdd hebben we deze nottie l bij de prtiële fgeleide f gebruikt. Mr we kunnen ook ls breuk zien en met teller en noemer rekenen ls bij breuken. We noemen de uitdrukking dn een differentil. Het belngrijke punt is nu dt in de integrl f() de uitdrukking inderdd een differentil is. De smenhng is ls volgt: Lt F () een primitieve vn de functie f() zijn, dn is F () = df = f() en dus df () = f(). Als we nu df () weer ls limiet vn F () zien, dn is de integrl df () de limiet vn de som F () en dus gelijk n F (). Op deze mnier vinden we de ons l bekende formule voor de integrl terug: f() = F () = df (). Merk op: Dt we met differentilen mogen rekenen ls met breuken is heleml niet vnzelfsprekend, omdt we het impliciet ltijd met limieten te 82

2 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus mken hebben. Mr voor continue functies lt zich ntonen, dt dit inderdd mg, terwijl er gevllen vn niet-continue functies zijn, wr het mis gt. Als we de productregel en kettingregel voor het fleiden nu met behulp vn differentilen nog eens opschrijven, zien ze er zo uit: d(fg) = (fg) () = f ()g() + f()g () = dg g() + f() d(g f) = (g f) () = g (f())f () = d(g f) In de kettingregel lijkt het ls of we in de teller en noemer tegen elkr kunnen schrppen. Dit weerspiegelt hoe we de kettingregel hebben bewezen : Toen hebben we met een voedzme de quotiënt (g f)(+h) (g f)() h geschreven ls g(f(+h)) g(f()) f(+h) f() f(+h) f() h en de limiet hiervn is precies wt we net met differentilen hebben opgeschreven. Om n de nottie met differentilen te wennen gn we n een toepssing kijken, nmelijk de lengte vn een kromme. Stel we hebben een functie f() en willen grg weten hoe lng de grfiek vn deze functie tussen de punten en b is. Hiervoor delen we het intervl in kleine deelintervllen die zo klein zijn dt de grfiek op zo n intervl goed door een rechte lijn benderd wordt. De lengte vn de kromme vinden we nu ls de som vn de lengten s vn de lijnstukken op de deelintervllen. y s f f() Figuur II.2: Berekening vn de lengte vn een kromme Volgens de stelling vn Pythgors geldt er ( s) 2 = ( f) 2 + ( ) 2, dus ( f s = ( f) 2 + ( ) 2 = ) 2 +. Als we nu de lengte vn de deelintervllen nr 0 lten gn, moeten we de s door differentilen vervngen, dn stt er ( ) 2 ds = + = f ()

3 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Omdt de lengte vn de kromme de som over de s en dus de integrl over de ds is, volgt voor de lengte s vn de grfiek vn f() tussen en b: s = 5.2 De substitutieregel b f () 2 +. Er zijn twee mnieren hoe we gebruik mken vn de kettingregel om de primitieve vn een functie te vinden. Bij de eerste (meer directe) mnier vervngen we een functie f() door een nieuwe vribel u, ls we ook f () in de integrl kunnen vinden. Bij de tweede mnier gt het omgekeerd, we vervngen door een functie f(u) en moeten dn ook f (u) toevoegen, mr vinden zo soms inderdd een eenvoudigere functie. Type A: Vervngen vn f() door u Stel dt g() een functie is wrvn we een primitieve G() kennen, dus G () = g(). Als we nu een integrl vn de vorm g(f())f () vinden, dn kunnen we dit oplossen door nr de functie F () := G(f()) te kijken, wnt F () = G (f())f () = g(f())f (), dus is F () een primitieve vn g(f())f (). Met behulp vn differentilen kunnen we dit zo schrijven: g(f())f () = dg. Definieer nu u := f(), dn is u ntuurlijk een functie vn en er geldt du = u () = f () en door vermenigvuldigen met vinden we du = f (). Voor de integrl geldt dus g(f())f () = g(u)du = G(u) = G(f()) = F (). Het recept voor deze type vn substitutie is dus () Vervng een functie f() door u en f () door du. De integrl mg nu geen meer bevtten. (2) Vind een primitieve G(u) voor g(u). (3) Vervng u door g() in G(u) om zo de primitieve F () = G(f()) te vinden. Wt gebeurt er nu met een beplde integrl met grenzen en b? Als vn tot b loopt, dn loopt f() vn f() tot f(b), dus loopt u vn f() tot f(b). We hebben dus b g(f())f () = f(b) f() g(u)du = G(u) f(b) f() = G(f()) b = F () b dwz. ndt we g() voor u terug gesubstitueerd hebben zijn de grenzen weer hetzelfde. 84

4 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus De beste mnier, om de substitutie te begrijpen is nr een ntl voorbeelden te kijken. Drbij komen ook verschillende stndrd-trucjes nr tevoren. (i) sin 5 () cos(): We kiezen u = f() = sin(), dn is du = cos(). sin 5 () cos() = u 5 du = 6 u6 = 6 sin6 (). Er geldt dus: (ii) + 2 : We zien dt de teller (tot op een fctor) de fgeleide vn de noemer is, dus kiezen we u = f() = + 2, dn is du = 2. Dn geldt: + = = 2 2 u du = 2 log(u) = 2 log( + 2 ). (iii) tn(): Dit is niet heleml voor de hnd liggend, mr omdt tn() = sin() cos() kunnen we u = f() = cos() kiezen, dn is du = sin(). We hebben dus: tn() = sin() cos() = u du = log(u) = log(cos()). (iv) log() : Ook hier is niet zo veel keuze, omdt we voor f() een functie moeten kiezen, wrvn we ook de fgeleide vinden. In dit gevl is u = f() = log() de voor de hnd liggende keuze, dn is du =. Er geldt dus: log() = udu = log(u) = log(log()). Een eenvoudige mr belngrijke type vn substitutie is het vervngen vn een lineire functie + b in door u, in het bijzonder het vervngen vn een veelvoud door u. Voor u = + b is du =, dus is f( + b) = f( + b) = f(u)du. Een voorbeeld hiervoor is de integrl 2 +c met c > 0. We weten dt = rctn(), mr om dit te kunnen gebruiken moeten we eerst nog 2 + de c kwijt rken. Er geldt 2 +c = c(( c ) 2 +), dus is 2 +c = c ( c ) 2 + en met u = c en du = c wordt dit 2 + c = Type B: Vervngen vn door f(u) c u 2 + du = c rctn(u) = c rctn( c ). Voor de type A vn substitutie hebben we nodig dt we nst een functie f() ook de fgeleide f () in de integrl vinden. Dit is ntuurlijk een bijzonder mooie situtie, mr hels vk niet het gevl (of tenminste niet mkkelijk te zien). Bij veel integrlen is dus een ndere npk nodig: In plts vn f() door u te vervngen, schrijven we gewoon ls f(u). In dit gevl is du = (u) = f (u) en dus = f (u)du. Voor de integrl g() volgt dus g() = g(f(u))f (u)du. 85

5 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Stel nu dt F (u) een primitieve is vn g(f(u))f (u), dus F (u) = g(f(u))f (u). Dn zien we door differentiëren dt F (u) = F (f ()) een primitieve vn g() is: (F (f ())) = F (f ()) (f ()) = F (f ()) f (f ()) = g(f(f ())) f (f ()) f (f ()) = g() Bij een beplde integrl b g() loopt vn tot b, dus loopt ook f(u) vn tot b en dus moet u vn f () tot f (b) lopen. Hier zien we ook dt er een beperking voor de functie f(u) bestt: deze moet op het intervl [f (), f (b)] een inverse functie hebben, dus f(u) moet of op [f (), f (b)] monotoon stijgend of op [f (b), f ()] monotoon dlend zijn. Voor de beplde integrl geldt dus b g() = f (b) f () g(f(u))f (u)du. Het is duidelijk dt we door een niet zo slimme keuze vn f(u) de integrl lleen mr moeilijker mken. De goede keuze vn f(u) is een vrg vn oefenen, ervring en soms ook een beetje gokken. An de ndere knt zijn er ook vk niet zo heel veel keuzen voor een substitutie, wnt op een of ndere mnier moet de fgeleide f (u) iets in g(f(u)) vereenvoudigen. Voor verschillende typen vn integrlen zijn er stndrd substituties, een pr voorbeelden zullen we nu bekijken. (i) 2 : Bij integrlen met een wortel en een kwdrt zijn vk de trigonometrische substituties vn toepssing. Wt hierbij gebruikt wordt is de reltie sin 2 () + cos 2 () =. Hierdoor kunnen we vk de wortel kwijt rken. We kiezen = sin(u), dn is = cos(u)du. Omdt sin 2 (u) = cos 2 (u) wordt de integrl nu 2 = cos(u) cos(u)du en dit kunnen we met prtiële integrtie oplossen. Er geldt cos 2 (u)du = cos(u) sin(u) + sin 2 (u)du = cos(u) sin(u) + ( cos 2 (u))du = 2 (cos(u) sin(u) + u). Uit = sin(u) volgt u = rcsin() en met cos(u) = sin 2 (u) volgt dus 2 = 2 ( 2 + rcsin()). (ii) + : Hier hebben we niet zo veel keuze, om de wortel kwijt te rken moeten we = u 2 kiezen, dn is = 2u du. Dn geldt + = u 2u u 2 + du = 2 ( (u2 +) )du = 2 ( u 2 + u 2 + )du = 2u 2 rctn(u). Omdt u = is dus + = 2 2 rctn( ). (iii) e 2 e + : Dit is een voorbeeld vn een substitutie wr het niet zo meteen duidelijk is dt de substitutie een vereenvoudiging geeft. We willen grg weer de wortel kwijt, drom proberen we u = e +, dn is omgekeerd 86

6 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus 2u = log(u 2 ) en dus = u 2 du. Verder zien we nog dt e2 = (u 2 ) 2 geldt. We krijgen dus e 2 e + = (u 2 ) 2 2u u u 2 du = 2(u 2 )du = 2 3 u3 2u = 3 2 e e +. We kunnen deze integrl ook met een substitutie vn type A oplossen: Kies u = f() = e, dn is du = e. Er geldt e 2 e + = u u+ du = (u+) u+ du = u + du u+ du = u + 2 u + = 2 3 e e Toepssingen vn de integrl Een toepssing vn de substitutie is het beplen vn de integrl vn de inverse functie. We zullen de integrl f () op twee mnieren beplen, een keer beginnen we met een substitutie en de ndere keer met prtiële integrtie. Omdt we over de functie f() niets weten, is de enige voor de hnd liggende substitutie = f(u), wnt dn is f (f(u)) = u. Voor = f(u) hebben we = f (u)du, dus is f () = uf (u)du. Dit schreeuwt nu nr prtiële integrtie, nmelijk uf (u)du = uf(u) f(u)du = f () f(u)du. Voor een beplde integrl geldt dus: b f () = f () f b (b) f(u)du. f () We kunnen ook eerst met prtiële integrtie beginnen. De fgeleide vn f () is f (f ()), dus hebben we f () = f () f (f ()). Als we nu = f(u) substitueren is weer = f (u)du en dus f (f ()) = f(u) f (u) f (u)du = f(u)du. Dus vinden we hetzelfde resultt ls boven. Dt dit resultt inderdd klopt kunnen we ook n de grfiek vn Figuur II.22 flezen. Door het gebied O n de digonl te spiegelen zien we dt O de integrl b f () is. An de ndere knt is het gebied O2 de integrl f (b) f () f(). De grote rechthoek heeft oppervlkte bf (b) en de kleine rechthoek links onder heeft oppervlkte f (), dus geldt bf (b) = f () + f (b) f () f() + b f (). In de vorige les hebben we gezien dt we met behulp vn de integrl de oppervlk onder een grfiek kunnen berekenen en in deze les dt we ook de lengte vn een grfiek kunnen vinden. Een verdere toepssing is het volume vn een rottielichm. Het idee hierbij is heel eenvoudig: Als we de grfiek vn een functie f() om de -s lten roteren, geeft dit een rottielichm. Zo ls we de oppervlkte onder een grfiek ls som vn dunne rechthoeken onder de grfiek hebben benderd, kunnen we het volume vn een rottielichm door de som vn dunne cirkelschijven 87

7 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus y b O O2 f^-() f^-(b) f() Figuur II.22: Integrl vn de inverse functie benderen. Een cirkelschijf tussen en +δ heeft ongeveer het volume πf() 2 δ, dus krijgen we het volume vn een rottielichm ls V = b πf() 2. Een eenvoudig voorbeeld is een kogel met strl r. De kogel is het rottielichm voor de grfiek vn f() = r 2 2 tussen r en r. Het volume vn de kogel is dus r r π r 2 22 = π r r (r2 2 ) = π(r ) r r = 2π(r3 3 r3 ) = 4 3 πr3. Een verdere toepssing is het oplossen vn eenvoudige differentilvergelijkingen. Hier zijn twee voorbeelden. () Bij een zekere chemische rectie is de rectiesnelheid proportioneel vn de hoeveelheid vn een vn de uitgngsproducten dt we P noemen. Stel dt n floop vn 3 minuten de helft vn P is omgewndeld. Hoe lng duurt het tot dt 90% vn P zijn omgewndeld? De nvnkelijke hoeveelheid vn P noemen we A, en de hoeveelheid die n minuten is omgewndeld noemen we f = f(). Dn geldt f () = k(a f) voor een zeker constnte k. Hieruit volgt = k(a f) = en dus door integreren = k(a f) = k log(a f) + C. Als we dit nr f oplossen, krijgen we k( C) = log(a f), dus A f = ep( k( C)) en dus f = A ep( k( C)). Omdt f = 0 voor = 0, volgt ep(kc) = A. Verder is f = 2 A voor = 3, dus is ep( 3k) ep(kc) = 2 A en dus ep( 3k) = 2. Dit geeft k = 3 log(2). We willen nu beplen zo dt f = 9 0. In dit gevl geldt ep( kt) = ep( 3 log(2)t) = 0, dus is 3 log(2) = log(0) en dus = 3 log(0) log(2) (2) Een biljrtbl wordt proportioneel met zijn snelheid geremd. Hoe ver rolt de bl ls we met een beginsnelheid vn v 0 stoten? De snelheid v = v(t) vn de bl vernderd volgens v (t) = dv dt = k voor de remconstnte k. Er geldt dus dv = k dt en dus v = k dt = kt + C. 88

8 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Omdt v(0) = v 0 is C = v 0. We hebben dus v(t) = v 0 kt en de bl komt tot stilstnd ls v(t) = 0. Dit is het gevl voor t = v 0 k. Om de fstnd te beplen die de bl rolt moeten we nog eens integreren, om uit de snelheid het trject s(t) te beplen. Er geldt v = s (t) = ds dt, dus is ds = v dt = (v 0 kt)dt en dus s = t 0 (v 0 kt)dt = v 0 t k 2 t2 t 0 = v 0 v 0 k k v0 2 2 = v2 k 2 0 2k. Belngrijke begrippen in deze les differentilen substitutie Opgven 50. Bepl de volgende integrlen door substitutie: (i) e sin(e ), (ii) e 2, (iii) 4, (iv) e, (v) log(), (vi) log(cos()) tn(), (vii) log(log()). log() 5. Bepl de lengte vn de grfiek vn de volgende functies op de ngegeven intervllen: (i) f() = 2 op het intervl [0, 2], (ii) f() = log() op het intervl [, 3]. 89

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

Basiswiskunde Een Samenvatting

Basiswiskunde Een Samenvatting Bsiswiskune Een Smenvtting Verzmelingen N: ntuurlijke getllen, nl.,, 3,... Z: gehele getllen, nl....,,, 0,,,... Q: rtionle getllen,.w.z. breuken vn gehele getllen R: reële getllen, us lle getllen op e

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Clculus Les Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid zl et ndig zijn om de meest belngrijke begrippen n te gn en fsprken

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

2 ). Door steeds de functiewaarde aan de linkerkant te kiezen, krijgen we de benaderingsformule

2 ). Door steeds de functiewaarde aan de linkerkant te kiezen, krijgen we de benaderingsformule Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 4 Deel I. Voortgezette Anlyse Les 9 Numerieke integrtie In de prktijk is het mr zelden het gevl dt we een functie expliciet kunnen primitiveren. Voorbeelden hiervoor

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde

Zomercursus Wiskunde Ktholieke Universiteit Leuven September 0 Module Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (versie ugustus 0) Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inhoudsopgve Primitieve

Nadere informatie

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30 ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Uitwerking herkansing Functies en Reeksen

Uitwerking herkansing Functies en Reeksen Uitwerking herknsing Functies en Reeksen 3 jnuri 14, 9: - 1: uur Opgve 1 () De functie ' is prtieel differentieerbr, met prtiële fgeleiden @'.x; y/ D.1; 1/T en @x @' @y.x; y/ D. v; v/t : Deze prtiële fgeleiden

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm : 1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

Resultatenoverzicht wiskunde B

Resultatenoverzicht wiskunde B Resulttenoverzicht wiskunde B In dit document zijn door dpt Wiskunde lle resultten vn het VWO-eindexmenprogrmm beknopt smengevt m.u.v. het domein Voortgezette Meetkunde. Kijk voor meer informtie op: www.dptwiskunde.nl.

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Wiskundige Analyse 1

Wiskundige Analyse 1 Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

WISKUNDE ANALYSE ECWI-WEWI 6/8. Rudy De Wever

WISKUNDE ANALYSE ECWI-WEWI 6/8. Rudy De Wever WISKUNDE ANALYSE 6-7 6 ECWI-WEWI 6/8 Rudy De Wever Inhoud. HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE..... Definitie fgeleide in een niet-geïsoleerd punt vn het domein..... Rekenregels..... Herhlingsoefeningen....

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

a b x-as g(x) is stijgend op [a,b]

a b x-as g(x) is stijgend op [a,b] Functieonderzoek In dit hoofdstuk wordt de grfiek vn functies besproken. Voordt we het pltje kunnen tekenen moeten we ntl zken uitzoeken. Te denken vlt n domein, nulpunten, mim, minim, symptoten en buigpunten.

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Dit dictaat bevat een serie uitgewerkte voorbeeldopgaven. Deze zijn naar onderwerp geordend, waarvan de volgorde overeenkomt met die van het boek.

Dit dictaat bevat een serie uitgewerkte voorbeeldopgaven. Deze zijn naar onderwerp geordend, waarvan de volgorde overeenkomt met die van het boek. Beste studenten Dit dictt bevt een serie uitgewerkte voorbeeldopgven Deze zijn nr onderwerp geordend, wrvn de volgorde overeenkomt met die vn het boek De keuze vn de onderwerpen is tot stnd gekomen n studenten

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2 Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben

Nadere informatie

reëelwaardige functies

reëelwaardige functies Primitieven en Riemnn- integrlen vn reëelwrdige functies Het begrip primitieve vn een R R functie Stel : f( ) reëelwrdige functie, met definitie gebied = intervl I Def : F( ) is primitieve functie vn f(

Nadere informatie

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2

Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2 Oefeningen 1 G n of de gegeven functie een oplossing is vn de gegeven differentilvergelijking. () xy = 2y ; y = 5x 2 (b) (x + y) dx + y dy = 0 ; y = 1 x2 2x (c) y + y = 0 ; y = 3 sin x 4 cos x 2 Zoek een

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Integralen en de Stelling van Green

Integralen en de Stelling van Green Integrlen en de Stelling vn Green Les Functies vn twee vernderlijken Les ubbelintegrl Les 3 Lijnintegrl Les 4 Stelling vn Green en toepssingen Rob e Stelen sptie Een ster genereert mgnetische velden door

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers? fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Fractionele calculus

Fractionele calculus Universiteit Utrecht Deprtement Wiskunde Bchelorscriptie Wiskunde TWIN Wiskunde en Ntuurkunde Frctionele clculus Een studie vn fgeleiden en integrlen vn niet-gehele orde Auteur: M.A. Lip Studentnummer

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. (en dit is gelijk aan fa. is een primitieve functie van f a ) 1

Vraag Antwoord Scores. (en dit is gelijk aan fa. is een primitieve functie van f a ) 1 Beoordelingsmodel Vrg Antwoord Scores Onfhnkelijk vn mximumscore x x F'x ( ) = e + x e Dit geeft F ( ) ( ) e x ' x = x (en dit is gelijk n f ( x ), dus F is een primitieve functie vn f ) mximumscore 5

Nadere informatie

2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integralen

2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integralen 2 Verwisselingsstellingen en oneigenlijke integrlen 2.1 Verwisseling vn de differentitievolgorde Lt V een open deelverzmeling vn R 2 zijn, en f : V R een reëelwrdige funtie op V die prtieel differentieerbr

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie

Formularium goniometrie

Formularium goniometrie Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Formulrium goniometrie sin α cos α Definities : tn α cot α secα cscα cos α sin α cos α sin α Gevolg : tn α cot α cot α tn α Hoofdformule : cos sin Gevolg : tn sec cot csc α α

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Hoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl

Hoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl Hoe zichtbr ben jij mobiel? MOBIELpkket Oplossingen voor ondernemende kppers die kiezen 2012 www.wiewthr.nl Reviews? Voordelen 27% Nederlnders vindt reviewsites ls WieWtHr.nl erg nuttig* Wiewthr.nl is

Nadere informatie

Numerical Integration (Hoofdstuk 5 in Ed. 7) Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) Probleemschets

Numerical Integration (Hoofdstuk 5 in Ed. 7) Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) Probleemschets Numericl Integrtion (Hoofdstuk 5 in Ed. 7 Numericl Methods College 5: Numerieke Integrtie (Hoofdstuk 5 A.A.N. Ridder normlsize Deprtment EOR Vrije Universiteit Amsterdm Huispgin: http://personl.vu.nl/..n.ridder/numprog/defult.htm

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Kwadratische reciprociteit

Kwadratische reciprociteit Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie