Zomercursus Wiskunde

Transcriptie

1 Ktholieke Universiteit Leuven September 0 Module Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (versie ugustus 0)

2

3 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inhoudsopgve Primitieve functies, beplde en onbeplde integrlen Integrtietechnieken: Bsisintegrlen en integrtie door splitsing 5 3 Integrtietechnieken: Substitutie 7 4 Integrtietechnieken: Prtiële integrtie (P.I.) 6 5 Oefeningen 6 Oplossingen 3

4

5 - Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inleiding In deze module wordt zeer kort de definitie vn onbeplde integrlen herhld evenls het verbnd tussen beplde en onbeplde integrlen. Het is geenszins de bedoeling hier diep op in te gn. Wel willen we de bsisprincipes vn de eenvoudigste integrtietechnieken overlopen. We bekijken de splitsing vn integrlen, de substitutie en de prtiële integrtie. Voor een uitgebreide behndeling vn de betekenis vn onbeplde en beplde integrlen en voor ndere integrtietechnieken verwijzen we nr de hndboeken uit het secundir onderwijs.

6 - Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Primitieve functies, beplde en onbeplde integrlen Definitie. (Primitieve functie) Zij f een functie met domein I dn is een functie F een primitieve functie vn f ls F (x) = f(x) voor lle x I. Definitie. (Onbeplde integrl) De onbeplde integrl vn f is de verzmeling vn lle primitieve functies vn f, en wordt trditioneel genoteerd ls f(x), of ook (bij gebruik vn een ndere vribele) f(t) dt, f(x) (of f(t)) wordt de integrnd genoemd, x (of t) de integrtievribele, (of dt), is een symbool zonder echte betekenis. Het geeft enkel n wt de nm is vn de gebruikte vribele. (Dit is voorl belngrijk ls er ook prmeters voorkomen in de integrnd.) Stelling.3 Als f een functie is gedefinieerd op een open intervl I en F is één primitieve functie vn f, dn is elke primitieve functie vn f vn de vorm F + C met C R. Trditioneel noteert men dit ls f(x) = F(x) + C, C R, C noemt men de integrtieconstnte. I kn zowel een oneindig open intervl zijn zols R, ],[ of ],+ [, ls een eindig open intervl ],b[ (,b R).

7 - 3 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Het vinden vn de primitieven noemt men het primitiveren vn f, informeel spreekt men ook vn integreren vn f. Zo noemt men functies wrvoor een primitieve functie bestt integreerbr. Vermits primitiveren het inverse is vn fleiden, is het niet verwonderlijk dt de belngrijke rekenregels voor de fgeleide (somregel, productregel, kettingregel...) hun vertling zullen hebben voor het primitiveren. In volgende prgrfen gn we hier verder op in. Opmerking.4 Men kn ntonen dt vorige stelling.3 niet geldt ls het domein geen open intervl is (zols bijvoorbeeld R 0 ). Voortn zullen we voor elke functie die we integreren telkens veronderstellen dt ze een open intervl ls domein heeft zonder dit telkens expliciet te vermelden. Voorbeelden x = x + C, C R. cos x = sinx + C, C R. x = Bgsin x + C, C R. Stelling.6 (Verbnd tussen beplde en onbeplde integrlen) Stel f een functie gedefinieerd op een open intervl I en [,b] I en F een primitieve functie vn f zodt f(x) = F(x) + C, C R, dn is b f(x) = F(b) F() = [F(x)] b eerste nottie = F(x) b tweede nottie. Opmerking.7 Men kn ntonen dt continue functies steeds een primitieve zullen hebben. Mr men kn ook ntonen dt er geen lgoritme bestt om expliciet die primitieve te vinden. In sommige gevllen kn men ook ntonen dt de primitieven niet expliciet kunnen uitgedrukt worden met behulp vn de bewerkingen en smenstelling vn functies in termen vn de elementire functies (dit zijn veeltermfuncties, worteltrekkingen,

8 - 4 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie goniometrische en cyclometrische functies, exponentiële en logritmische functies). Een typisch voorbeeld hiervn is de functie f met voorschrift f(x) = e x. Deze functie is continu en heeft dus een primitieve. Niettegenstnde het onschuldig voorschrift vn deze functie, is een primitieve ervn niet expliciet neer te schrijven met een eindige combintie vn elementire functies. Voor de volledigheid geven we ook de meetkundige betekenis vn een beplde integrl. Stelling.8 Stel f een functie die continu is in een intervl [,b] dn is b f(x) de georiënteerde oppervlkte vn het gebied tussen de grfiek vn f, de x-s en de vertikle rechten x = en x = b. De georiënteerde oppervlkte telt de oppervlkte vn een gebied dt boven de x-s ligt, positief en telt de oppervlkte vn een gebied dt onder de x-s ligt, negtief. Dit wordt duidelijk in volgende figuur. y f B D A c d C e b x b f(x) = oppa + oppb oppc + oppd. Bijgevolg geldt ook: oppa + oppb + oppc + oppd = c f(x) + d f(x) e f(x) + b c d e f(x).

9 - 5 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Om de oppervlkte tussen twee krommen te berekenen kn men het volgende ntonen. Stel f en g twee functies die continu zijn in een intervl [,c] met grfieken zols gegeven in volgende figuur. y f g b c x De gerceerde oppervlkte tussen de twee grfieken vn f en g wordt gegeven door c f(x) g(x) = b (f(x) g(x)) + c b (g(x) f(x)) De oppervlkte is dus de som vn de integrlen tussen twee opeenvolgende snijpunten met ls integrnd het voorschrift vn de bovenliggende kromme min die vn de onderliggende kromme, ongecht of die krommen boven of onder de x-s liggen. Integrtietechnieken: Bsisintegrlen en integrtie door splitsing De tbel vn de fgeleiden vn de elementire functies (zie pkket fgeleiden) levert ons een ntl bsisintegrlen. We zullen vk ingewikkelder functies kunnen integreren door ze met specile technieken te herleiden nr een of meerdere vn deze bsisintegrlen.

10 - 6 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Rekenregels. (Bsisintegrlen) = x + C x r = xr+ r + + C, = ln x + C x x = x ln + C e x = e x + C sin x = cos x + C r R,r cos x = sinx + C cos x = tnx + C sin = cot x + C x = Bgsin x + C x x = Bgcos x + C = Bgtnx + C + x De fgeleide vn het veelvoud vn een functie is het veelvoud vn de de fgeleide vn die functie. De fgeleide vn de som vn twee functies is de som vn de fgeleide vn beide functies. Voor integrlen vertlt dit zich dn in volgende stelling: Stelling. (Integrtie door splitsing) Stel dt f en g twee integreerbre functies zijn,,b R, dn is (f(x) + bg(x)) = f(x) + b g(x). Deze stelling geldt ook voor beplde integrlen. Dnkzij deze stelling en de bsisintegrlen kunnen we l heel wt functies integreren. Voorbeelden.3. ( x + 3x 5) = x / + 3 x 5 = x/+ / + + 3x3 3 5x + C = x3/ 3 + x 3 5x + C = 3 x x + x 3 5x + C, C R.

11 - 7 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie. ( x + 4 ) = x x + 4 x = x + 4 Bgsin x + C, C R. ln 3 Integrtietechnieken: Substitutie De kettingregel voor de fgeleide vn smengestelde functies geeft nleiding tot volgende stelling voor integrlen. Stelling 3. (Substitutieregel) Stel f een functie met primitieve F zodt f(x) = F(x) + C, C R en g een fleidbre functie, dn is f(g(x)) g (x) = F(g(x)) + C, C R. Voorbeeld 3. e x x Hier kunnen de functies f en g ls volgt gedefinieerd worden f(y) = e y en g(x) = x zodt f(g(x)) = f(x ) = e x. Een primitieve vn f is de functie F met F(y) = e y wnt F (y) = e y = f(y). Dus is e x x = f(g(x))g (x) = F(g(x)) + C = e x + C, C R. Om deze stelling vlotter hnteerbr te mken zullen we de substitutieregel ls volgt neerschrijven Stellen we g(x) = t en g (x) = dt, de substitutieregel wordt dn

12 - 8 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Stelling 3.3 (Substitutieregel: eerste formele schrijfwijze) Stel f een functie met primitieve F zodt f(x) = F(x) + C, C R en g een fleidbre functie, dn is met g(x) = t en g (x) = dt f(g(x)) g (x) = f(t) dt = F(t) + C = F(g(x)) + C C R. Voorbeelden 3.4. e x x Oplossing Stel x = t, zodt x = dt dn is e x x = e t dt = e t + C = e x + C, C R.. 3. tn x = sin x cos x Oplossing Stel cos x = t, zodt sin x = dt of nog sinx = dt dn is sin x cos x = dt = ln t + C = ln cos x + C, C R. t 4 x 3 Oplossing Stel x 3 = t, zodt = dt dn is 4 x 3 = dt x 3 = = ln t +C = ln x 3 +C, C R. t Deze schrijfwijze is wel hndig mr wel wt formeel. We hebben immers vroeger reeds opgemerkt dt uitdrukkingen ls en dt fzonderlijk geen betekenis hebben. De bovenbeschreven schrijfwijze is dus niets meer is dn een hndigheidje om wt schrijfwerk te bespren bij de substitutieregel.

13 - 9 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Een ndere, nog kortere mr nog formelere mnier om de substitutieregel op te schrijven is Stelling 3.5 (Substitutieregel: tweede formele schrijfwijze) Stel f een functie met primitieve F zodt f(x) = F(x) + C, C R en g een fleidbre functie, dn is met g (x) = dg(x) f(g(x)) g (x) = f(g(x))dg(x) = F(g(x)) + C C R. We hernemen vorige drie voorbeelden met deze schrijfwijze. Voorbeelden 3.6. e x x = e x x } {{ } = e x = e x + C, C R.. 3. tn x = dcos x { }} { sin x d cos x = cos x cos x 4 { d(x 3) }} { x 3 = d(x 3) x 3 = x 3 = ln cos x + C, C R. = ln x 3 + C, C R. De substitutie door de letter t wordt niet meer expliciet uitgevoerd mr gebeurt hier eerder mentl. Het voordeel vn de tweede formele schrijfwijze is nog duidelijker ls we de substitutieregel opschrijven voor beplde integrlen. We bekijken eerst de eerste formele schrijfwijze.

14 - 0 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Stelling 3.7 (Substitutieregel beplde integrlen, eerste formele schrijfwijze) Stel f een functie gedefinieerd op een open intervl I en [,b] I en met primitieve F zodt f(x) = F(x) + C, C R en g een fleidbre functie,wrvoor g() = c en g(b) = d, dn is met g(x) = t en g (x) = dt b f(g(x)) g (x) = d c f(t) dt = [F(t)] d c = F(d) F(d). Let op: door de substitutie moeten we hier de grenzen npssen! Voorbeelden 3.8. e x x Oplossing Stel x = t, zodt x = dt,of nog x = dt. Als x =, dn is t =, ls x =, dn is t = 4, zodt e x x = 4 e t dt = [ et ] 4 = ( e4 e) ( x) 3 Oplossing Stel x = t, zodt = dt, of nog = dt. Als x = 7, dn is t = 8, ls x = 0, dn is t =, zodt 0 7 = ( x) 3 8 = 3( ) = 3. t /3 dt = [ 3t /3] [ ] = 3 3 ( 3 8 t = 3 ) 3 8 8

15 - Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Stelling 3.9 (Substitutieregel beplde integrlen, tweede formele schrijfwijze) Stel f een functie gedefinieerd op een open intervl I en [,b] I en met primitieve F zodt f(x) = F(x) + C, C R en g een fleidbre functie, b f(g(x)) g (x) = b f(g(x)) dg(x) = [F(g(x))] b = F(g(b)) F(g()). Hier moeten de grenzen niet ngepst worden omdt de primitieve functie F(g(x)) toch in functie vn x uitgedrukt is. Voorbeelden e x x = 0 7 e x x = e x = [ex ] = (e4 e). 0 = ( x) /3 d( x) = [ 3( x) /3] 0 ( x) 3 7 = 3 [ 3 x ] = 3( 3 3 8) = 3( ) = 3. Wnneer en welke substitutie moet uitgevoerd worden is niet ltijd even duidelijk. Hier geldt de regel oefening brt kunst. We geven toch enkele tips. Toepssingen 3.. Veell dringt de substitutie zich op omdt in de integrnd een functie g(x) in het oog springt smen met de onontbeerlijke uitdrukking g (x) zonder dewelke de substitutie niet tot een goed einde kn gebrcht worden. Een duidelijk voorbeeld hiervn is 3 tn x 5 cos x = 3 0 Stel tn x = t, zodt tn } {{ x} g(x) cos x } {{ } g (x) cos x = dt of nog cos x = dt zodt 3 tn x 5 cos x = 3 0 t dt = 3 0 t + C = 3 0 tn x + C, C R.

16 - Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie. Als in de integrnd een wortel voorkomt helpt het soms om wt onder de wortel stt ls nieuwe vernderlijke te nemen zols in (x + ) x Oplossing Stel x = t, zodt = dt zodt ook x + = (t + ) + = t + 4t + 6 dit geeft (x + ) x = (t + 4t + 6)t / dt = t 5/ + 4t 3/ + 6t / dt = 7 t7/ t5/ + 4t 3/ + C met C R. = 7 (x ) (x )5 + 4 (x ) 3 + C, 3. In de vorige voorbeelden hebben we telkens (volgens de eerste formele schrijfwijze) t gelijkgesteld n een functie vn x die in de integrnd voorkwm. We kunnen ook x gelijk stellen n een functie vn t. Zo komt in volgende integrl ( x ) voor, ls we x = sint stellen kunnen we de grondformule vn de goniometrie gebruiken wrdoor de integrl eenvoudiger wordt. Prgrf 3..6 geeft in een tbel een overzicht vn dit soort substituties. x Oplossing Stel x = sint en = cos t dt dn is x = sin t cos t dt = = + cos t dt = t + 4 = t + 4 sin t + C = t + 4 cos t dt cos t dt sin t cos t + C = t + sin t sin t + C = Bgsin x + x x + C, C R.

17 - 3 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie We mkten hier gebruik vn formules uit de goniometrie. cos t = sin t, cos t = + cos t en sin t = sin t cos t. We veronderstelden dt de cosinus positief is in het beschouwde domein. We behndelen nu enkele veel gebruikte substituties. Bijzondere gevllen 3.. is door substitutie te herleiden tot de bsisintegrl + x dt = Bgtnt + C, C R. + t Oplossing + x = ( + ( x ) ) = d x ( + ( x ) ) = Bgtn x + C, C R.. p x + q x + r wrbij de discriminnt vn de noemer q 4p r < 0, is door substitutie te herleiden tot de bsisintegrl dt = Bgtnt + C, C R. + t Reduceer de vorm p x + q x + r met q 4p r < 0 tot (t + ). We illustreren dit met een voorbeeld., de discriminnt vn de noemer is 6 4 ( ) ( 8) = 6 < 0. 4x x 8 Oplossing 4x x 8 = (x 4x + 8) = (x 4x ) = [(x ) + 4] = ( ) x 4[ + ] Stel t = x, zodt dt =, dn is 4x x 8 = dt 4 t + = dt t + = Bgtn x + C.

18 - 4 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie 3. (kies > 0) is door substitutie te herleiden tot de bsisintegrl x dt = Bgsint + C, C R. t Oplossing x = ( = x ) d x = Bgsin x + C, C R. ( x ) 4. p x + q x + r wrbij de discriminnt q 4p r > 0 en p < 0, is door substitutie te herleiden tot de bsisintegrl dt = Bgsint + C, C R. t Reduceer de vorm p x + q x + r met q 4p r > 0 en p < 0 tot ( t ). We illustreren dit met een voorbeeld., de discriminnt is 36 4 ( ) ( 5) = 6 > 0 en p = < 0. 6x x 5 Oplossing 6x x 5 = (x 6x + 5) = (x 6x + 9 4) = [(x 3) 4] = 4 (x 3) = 4[ ( x 3 ) ] Stel t = x 3 en dt =, dn is 6x x 5 = dt 4( t ) = dt = Bgsin x 3 + C, t met C R.

19 - 5 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie 5. x + is door de substitutie t = x + x + te herleiden tot de bsisintegrl dt t = ln t + C, C R. Oplossing Stel t = x + x x +, zodt dt = ( + x + ) of nog x + + x x + = dt t en dus = dt zodt x + Dit geeft x + = dt t. x + = dt t = ln t + C = ln x + x + + C, C R. Voor de volledigheid, mr louter ter informtie geven we hier een lijst vn goniometrische substituties die lgemeen kunnen werken wnneer de integrnd een rtionle functie is wrin x en een wortelvorm p x + q x + r voorkomen. Deze substituties geven dus niet noodzkelijk de snelste oplossingsmethode. Hierboven hebben we enkele ndere substituties voorgesteld mr die dn enkel werken voor zeer specifieke vormen vn de integrnd. 6. In integrlen wrvn de integrnd een rtionle functie is wrin x en een wortelvorm p x + q x + r voorkomen volgen we volgende werkwijze. () Reduceer de wortelvorm p x + q x + r tot t ls p < 0 en q 4p r > 0 t ls p > 0 en q 4p r > 0 t + ls q 4p r < 0 (dn moet p > 0) (b) Doe de gepste substitutie wortelvorm substitutie t t = sin θ t t = sin θ t + t = tnθ

20 - 6 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie In lle gevllen vinden we n substitutie een rtionle integrnd in cos θ en sin θ. We gn hier in dit remediëringspkket niet dieper op in en geven drom ook geen voorbeelden ter illustrtie. Mk nu oefening vn prgrf 5. 4 Integrtietechnieken: Prtiële integrtie (P.I.) We weten l dt de integrl vn de som vn functies de som vn de integrlen is, hels geldt dit niet voor het product. Hoe lossen we een integrl vn de vorm f(x)g(x) op ls substitutie niet werkt? De productregel voor fgeleiden levert een stelling voor integrlen. Stelling 4. (Prtiële integrtie) Zij u,v fleidbre functies, dn is u(x)v (x) P.I. = u(x)v(x) u (x)v(x) Het tweede lid bestt uit twee termen wrvn enkel de eerste geen integrl meer bevt, men spreekt vn gedeeltelijke of prtiële integrtie. Voorbeelden 4.. xe x Oplossing Stel u(x) = x zodt u (x) = en stel v (x) = e x, dn kunnen we v(x) = e x nemen. (Eigenlijk kn ook v(x) = e x + C met C R, mr vermits we slechts één primitieve nodig hebben zullen we steeds C = 0 kiezen). Prtiële integrtie geeft dn xe x P.I. = xe x e x = xe x e x + C, C R.. 9x ln x

21 - 7 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Oplossing Stel u(x) = ln x zodt u (x) = /x en stel v (x) = 9x, dn kunnen we v(x) = 3x 3 nemen. Prtiële integrtie geeft dn 9x ln x P.I. = 3x 3 ln x 3x 3 Opmerking 4.3 Stel dt we in het eerste voorbeeld u en v. x = 3x3 ln x x 3 + C, C R. xe x een ndere keuze hdden gemkt voor Stel bijvoorbeeld u(x) = e x, zodt u (x) = e x en stel v (x) = x, zodt v(x) = x. Dn geeft prtiële integrtie xe x P.I. = e xx x e x. In de tweede integrl is de mcht vn x verhoogd vn nr i.p.v. x in de eerste integrl bekomen we een x in de tweede integrl. Zo wordt de nieuwe integrl dus ingewikkelder dn de oorspronkelijke. Het is dus belngrijk een goede keuze te mken voor u en v. Ook voor prtiële integrtie bett een formele, kortere mnier vn noteren. Stelling 4.4 (Prtiële integrtie, formele nottie) Zij u,v fleidbre functies, dn is u(x) dv(x) P.I. = u(x)v(x) v(x) du(x) of nog korter en nog formeler u dv P.I. = u v v du. Voorbeelden 4.5. x sin x = }{{} x d ( cos x) } {{ } u dv P.I. = x ( cos x) } {{ } u v = x cos x + ( cos x) } {{ } v cosx }{{} du = x cos x + sinx + C, C R.

22 - 8 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie. xe x = x }{{} }{{} de x u dv P.I. = (xex }{{} }{{} e x }{{} ) u v v du = xex e x 4 = xex 4 ex + C, C R. Om de ltste integrl uit te rekenen werd een substitutie toegepst. Toepssingen 4.6. Prtiële integrtie wordt gebruikt ls de integrnd geen onmiddellijke integrtie toelt, zols in volgend voorbeeld. }{{} ln x }{{} u dv = x} {{ ln x} x }{{} x } d{{ ln x} = x ln x x v u v du = x ln x = x ln x x + C, C R. P.I.. Prtiële integrtie wordt gebruikt voor integrtie vn een product vn twee functies, op voorwrde dt de nieuwe integrl eenvoudiger wordt (bv. een mcht doen dlen). Eventueel moet men herhlde mlen prtieel integreren. (x 4x)e x P.I. = (x x) de x = (x x)e x e x (x ) = (x x) e x P.I. = (x x) e x (x ) de x [ (x ) e x ] e x = (x x) e x (x ) e x + ex + C = (x x x + + ) ex + C = (x 3x + 3 ) ex + C, C R. 3. Soms krijgt men n (herhld) prtieel integreren opnieuw de gevrgde integrl terug. In zo n gevl pst men volgende techniek toe.

23 - 9 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie I = sin x e x = e x d cos x P.I. = e x cosx + cos xde x = e x cosx + e x cos x = e x cosx + e x d sin x P.I. = e x cosx + e x sin x sin x de x = e x cosx + e x sin x sin x e x } {{ } I Brengt men de term I nr het eerste lid, dn bekomt men I = e x (sin x cos x) + D, D R Dus I = ex (sin x cos x) + C, C R, (men stelt C = D/). Opmerking 4.7 Het is misschien goed even op te merken dt, ls er bij het oplossen vn integrlen een oplossingsmethode is, deze niet noodzkelijk uniek is. Zo kn men vele integrlen op verschillende mnieren oplossen. We illustreren dit hier door voorbeeld 3 uit toepssing 3. die dr met een substitutie werd opgelost, nu op te lossen met prtiële integrtie. x P.I. = x x = x x x ( x) x x x = x x x x in teller optellen en ftrekken = x x x + x x splitsing = x x x + Bgsin x + D, met D R. In het tweede lid verschijnt opnieuw de gevrgde integrl, brengen we deze nr het eerste lid, dn krijgen we x = x x + Bgsinx + D, met D R.

24 - 0 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Zodt x = x x + Bgsin x + C, met C R (C = D/). Stelling 4.8 (Prtiële integrtie voor beplde integrlen, formele nottie) Stel u,v functies gedefinieerd op een open intervl I en [,b] I, dn is b b u(x) dv(x) P.I. = [ u(x)v(x) ] b v(x) du(x) of nog korter en nog formeler b b u dv P.I. = [ u v ] b v du. Voorbeeld 4.9 e ln x x = P.I. = = = e ln x d x [ln x x ] e e x x ] e e [ln x x x ] e [ ] [ln x x x e 4 = lne e ln (e 4 4 ) = e e = e 4 + 4

25 - Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie 5 Oefeningen. Bereken volgende primitieven vi een geschikte substitutie. x () x + 4 (e) (3x + 5) 3x + 4 (b) cos x sin 3 dt x (f) t + 3 dt (c) (d) x x 4 + x + dt 4t t 3 (g) x x + 5 sin x cos x (h) cos x. Bereken volgende primitieven vi prtiële integrtie. () Bgtn x (d) Bgsin θ dθ (b) (c) (3x + x )e x ln x (e) (f) e x cos 3x ln t t dt

26 - Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie 3. Bereken volgende primitieven. 4 () x 4x + 4 (b) x 4x + 7 x + x + (c) x + 3x + 3 (d) x + x + x + 3 (e) x + ln x (f) x ln x x e x (g) + e x (h) x Bgtn x (i) 5x (j) x 3 e x (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) e x cos 3x (lnx) 3 sin(ln x) e x + e x sin x + cosx x( + x) 3/ e x 5(e x ) 3x (x ) 3/ e t sin t dt 4. Bereken volgende integrlen. () (b) (c) e 4 0 π/ 0 ln x + x sin θ cos θ dθ 5. Bereken volgende primitieven. () (x 4x + 5) 3/ x (b) (5 4x x ) 3/ (d) (e) (f) x 3 e x x (4 + x ) x + x +

27 - 3 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (c) (d) (x ) x x 8 x x 6x Oplossingen. Oplossingen oefening. () ln(x + 4) + C, C R. (b) 8 sin4 x + C, C R. (c) Bgtn (x + ) + C, C R. (d) Bgsin (t ) + C, C R. (e) (3x + 4)5 + (3x + 4)3 + C, C R. 5 9 (f) ln t + t C, C R. (g) Bgtn x + C, C R. (h) cos x + ln( cosx) + C, C R.. Oplossingen oefening. () x Bgtn x ln( + x ) + C, C R. (b) (x + x ) e x + C, C R. (c) x ln x x + C, C R. (d) θ Bgsin θ + θ + C, C R. (e) ex (cos 3x + 3 sin 3x) + C, C R. 0 (f) ln t + C, C R. t t 3. Oplossingen oefening 3. 4 () + C, C R. x (b) Bgtn x + C, C R. 3 3

28 - 4 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (c) x + ln(x + ) + C, C R. (d) 3 ln x + + C, C R (e) x + Bgtn ( x) + C, C R. (f) ln x ln x x + C, C R. (g) Bgtn (e x ) + C, C R (h) x Bgtn x x + Bgtn x + C, C R. (i) + C, C R. ln 5 5x (j) (x )e x + C, C R. (k) 0 e x cos 3x e x sin 3x + C, C R. (l) x(lnx) 3 3x(lnx) + 6x ln x 6x + C, C R. (m) x sin(ln x) x cos(lnx) + C, C R. (n) Bgtn (e x ) + C, C R. (o) ln( + cosx) + C = ln( + tn x ) + C, C R. (p) ( + x ( + x) 5 ) + C, C R. 7 5 (q) 5 ln ex + C, C R. 3 (r) + C, C R. x (s) 5 e t ( sint + cos t) + C, C R. 4. Oplossingen oefening 4. () (b) (c) (d) (e) e 4 0 π/ ln x =. + = 4 ln 9. x sin θ cos xdθ = /3. x 3 e x = e x (4 + x ) = 40

29 - 5 Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (f) 0 x + = x Oplossingen oefening 5. () (x 4x + 5) = x + C, C R. 3/ x 4x + 5 x (b) (5 4x x ) = x + + C, C R. 3/ 5 4x x 9 5 4x x (c) (x ) x x 8 = x x 8 + C, C R. 9(x ) x (d) x 6x + 0 = x 6x ln x 3 + x 6x + 0 +C, C R.

30