Analyse I: antwoorden

Transcriptie

1 1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Acdemiejr ste semester 16 jnuri 2003 Anlyse I: ntwoorden 1. Formuleer en bewijs de formule vn Tylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen vn Lgrnge en Liouville. 2. Gegeven is een rtionle functie f(x) = P (x)/q(x), wrbij P en Q veeltermen zijn, en gr(p ) < gr(q). We onderstellen bovendien dt Q enkel reële nulpunten heeft. Toon n dt f kn gesplitst worden in prtiële breuken. 3. Gegeven is een functie f : R 2 R. We onderstellen dt f continue prtiële fgeleiden heeft op een omgeving vn = (, b) en dt f( ) 0. () Toon n dt de kromme met vergelijking f( x) = f( ) op een omgeving vn het punt kn geschreven worden in prmetervorm; (b) lt zien dt f( ) loodrecht stt op deze kromme in het punt ; (c) stel de vergelijking op vn de rklijn n de kromme in het punt. 4. Gegeven zijn twee numerieke functies f, g : R R. f is differentieerbr in en g is differentieerbr in f(). Stel de formule op die toelt om (g f) () te berekenen. 5. Formuleer en bewijs de stelling vn het gemiddelde en de grondformule vn de integrlrekening. Tijd: 90 minuten; vrgen 1,5: 10 punten; vrg 2,4: 6 punten; vrg 3: 8 punten.

2 Anlyse I 1. Formuleer en bewijs de formule vn Tylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen vn Lgrnge en Liouville. Stelling vn Tylor. Onderstel dt de numerieke functie f een eindige n + 1-de fgeleide bezit op een open intervl I dt en x bevt. Dn bestt er een punt ξ (, x) zodt f(x) = P n (x) + r n (x) met P n (x) = n i=0 f (i) () i! (x ) i ; r n (x) = f (n+1) (ξ) (x )n+1 (n + 1)! Bewijs: Stel r n (x) = f(x) P n (x). We tonen n dt r n (x) in de gewenste vorm kn geschreven worden. Neem x vst, en schrijf We beschouwen dn de hulpfunctie Voor i = 0,, n geldt dt de functies in de wrde nul nnemen. Dus is k(x) = r n(x) (x ) n+1 F (t) = f(t) P n (t) k(x)(t ) n+1 f (i) (t) P n (i) (t) en di (t )n+1 dti F (i) () = 0 voor i = 0,, n. In het bijzonder is F () = 0. Omdt ook F (x) = 0 bestt er een ξ 1 (, x) zodt F (ξ 1 ) = 0 (gebruik mkend vn de stelling vn Rolle). Omdt F () = 0 kunnen we Rolle nogmls toepssen, en we vinden ξ 2 (, ξ 1 ) (, x) zodt F (ξ 2 ) = 0. Dit rgument kunnen we n + 1 ml herhlen, en we vinden ξ n+1 = ξ (, x) zodt F (n+1) (ξ) = 0. We berekenen gemkkelijk dt F (n+1) (t) = f (n+1 )(t) (n + 1)!k(x) Immers, de n+1-de fgeleide vn P n verdwijnt, omdt P n vn grd hoogstens n is, en de n+1-de fgeleiden vn (t ) n+1 is (n + 1)!. Als we nu t = ξ invullen, vinden we k(x) = f (n+1 )(ξ)/(n + 1)!, en r n (x) = k(x)(x ) (n+1) = f (n+1) (ξ) (x )n+1 (n + 1)! zols gewenst. Deze formule voor r n (x) noemen we de restterm vn Lgrnge.

3 Schrijf nu de restterm op tot orde n 1. r n 1 (x) = f (n) (ξ) (x ) n n! Angezien f (n) differentieerbr en dus continu is geldt lim f (n) (ξ) = f (n) () x zodt we kunnen schrijven dt f (n) (ξ) = f (n) () + λ(x) met Derhlve is met r n (x) = lim λ(x) = 0 x (x )n λ(x) n! lim λ(x) = 0 x De restterm in deze vorm geschreven noemen we de restterm vn Liouville. 2

4 2. Gegeven is een rtionle functie f(x) = P (x)/q(x), wrbij P en Q veeltermen zijn, en gr(p ) < gr(q). We onderstellen bovendien dt Q enkel reële nulpunten heeft. Toon n dt f kn gesplitst worden in prtiële breuken. Onderstel dt α R een nulpunt is vn Q, met multipliciteit m. Dn is Q(x) = (x α) m Q 1 (x), met Q 1 (α) 0 Stel = P (α)/q 1 (α). Dn is α een nulpunt vn de veelterm P (x) Q 1 (x), en dus kunnen we schrijven P (x) = Q 1 (x) + (x α)p 1 (x) en tenslotte P (x) Q(x) = Q 1(x) Q(x) + (x α)p 1(x) Q(x) = (x α) m + P 1 (x) (x α) n 1 Q 1 (x) De eerste term is vn de gewenste vorm, en in de tweede is de grd vn de noemer gelijk n de grd vn Q min een. Op de tweede term pssen we dezelfde procedure toe. Dit kunnen we doen tot de grd vn de noemer in de tweede term 1 is, omdt gegeven is dt Q enkel reële wortels heeft. We hebben drmee bewezen dt f(x) kn geschreven worden ls een som vn termen vn de vorm (x α) i wrbij α een nulpunt is vn Q met multipliciteit tenminste i. 3

5 3. Gegeven is een functie f : R 2 R. We onderstellen dt f continue prtiële fgeleiden heeft op een omgeving vn = (, b) en dt f( ) Toon n dt de kromme met vergelijking f( x) = f( ) op een omgeving vn het punt kn geschreven worden in prmetervorm; 2. lt zien dt f( ) loodrecht stt op deze kromme in het punt ; 3. stel de vergelijking op vn de rklijn n de kromme in het punt. Bewijs 1. Als f( ) 0, dn is (, b) 0 of (, b) 0. Onderstel dt (, b) 0 x y y (het ndere gevl is nloog). Vnwege de stelling vn de impliciete functies bestt er een open lijnstuk I dt bevt en een functie g : I R zodt 1. g() = b; 2. f(x, g(x)) = f(, b), voor elke x I. Dit betekent dt de kromme f(x, y) = f(, b) op een omgeving vn kn geschreven worden in de prmetervorm { x = t y = g(t) 2. We weten uit deel 1. dt de kromme kn geschreven worden in prmetervorm: { x = x(t) y = y(t) Voor een beplde wrde vn de prmeter t 0 wordt het punt bereikt: x(t 0 ) = en y(t 0 ) = b. Voor elke t op een omgeving vn t 0 geldt: f(x(t), y(t)) = f(, b) Afleiden nr t geeft, met behulp vn de kettingregel: en dus x (x(t), y(t))x (t) + y (x(t), y(t))y (t) = 0 x (x(t 0), y(t 0 ))x (t 0 ) + y (x(t 0), y(t 0 ))y (t 0 ) = 0 of het sclir product vn f( ) en (x (t 0 ), y (t 0 )) is nul. De vector (x (t 0 ), y (t 0 )) rkt n de kromme in (x(t 0 ), y(t 0 )) = (, b), en dus stt f( ) loodrecht op de kromme. 3. De rklijn stt loodrecht op f( ), en gt door het punt (, b). Derhlve is de vergelijking vn de rklijn x (, b)(x ) + (, b)(y b) = 0 y 4

6 4. Gegeven zijn twee numerieke functies f, g : R R. f is differentieerbr in en g is differentieerbr in f(). Stel de formule op die toelt om (g f) () te berekenen. Stelling Onderstel dt de functie f een eindige fgeleide bezit in en dt g een eindige fgeleide bezit in f(). Dn geldt (g f) () = g (f())f () Bewijs We beschouwen de volgende hulpfunctie G, gedefinieerd op een omgeving vn f(): G(y) = { g(y) g(f()) y f() g (f()) ls y f(); ls y = f(). G is continu in f(), en voor x hebben we g(f(x)) g(f()) x f(x) f() = G(f(x)) x Inderdd, voor f(x) f() wordt dit g(f(x)) g(f()) x = g(f(x)) g(f()) f(x) f() f(x) f() x Voor f(x) = f() zijn beide leden nul, zodt de gelijkheid in het lgemeen geldt. N het nemen vn de limiet voor x nderend tot krijgen we: (g f) g(f(x)) g(f()) () = lim x x = lim x G(f(x)) f(x) f() x f(x) f() = G(lim f(x)) lim x x x = g (f())f () 5

7 5. Formuleer en bewijs de stelling vn het gemiddelde en de grondformule vn de integrlrekening. Stelling vn het gemiddelde Neem twee continue functies f, w : [, b] R, en onderstel dt w(x) 0 voor elke x [, b], en w 0. Dn bestt er een ξ [, b] zodt w(x)f(x)dx = f(ξ) w(x)dx Bewijs. Omdt f continu is over [, b] bereikt f een mximle wrde M en een minimle wrde m. Voor elke x [, b] geldt dus m f(x) M en, gebruik mkend vn w(x) 0, en dus, en m mw(x) f(x)w(x) Mw(x) mw(x)dx w(x)dx w(x)f(x)dx w(x)f(x)dx M mw(x)dx w(x)dx Omdt w continu is, niet-negtief, en niet identiek nul, weten we dt w(x)dx > 0. We krijgen dus m w(x)f(x)dx b w(x)dx M Omdt f continu is over [, b] bereikt f elke wrde tussen m en M, en dus bestt er een ξ [, b] zodt f(ξ) = w(x)f(x)dx b w(x)dx en hieruit volgt de gezochte formule. 6

8 Stelling Als f : [, b] R continu is, dn is de functie fleidbr over [, b] en bovendien is g : [, b] R : x g(x) = g (x) = d dx x x f(t)dt = f(x) f(t)dt Bewijs. Kies x, x + h [, b]. Uit de stelling vn het gemiddelde (met w = 1) volgt nu dt g(x + h) g(x) = x+h met θ [0, 1]. Angezien f continu is in x, volgt nu en dit bewijst onze stelling. g (x) = lim h 0 g(x + h) g(x) h x f(t)dt = f(x + θh)h = lim h 0 f(x + θh) = f(x) Grondformule vn de integrlrekening Onderstel dt f : [, b] R continu is, en dt F een primitieve is vn f (dit wil zeggen dt F = f). Dn is f(x)dx = F (b) F () Bewijs. Definieer de functie g zols hierboven. Uit de vorige stelling volgt dn dt g (x) = F (x) = f(x) voor lle x [, b]. Dit impliceert dt er een constnte c bestt zodt Stellen we hierin x =, dn volgt zodt c = F () en g() = g(x) = F (x) + c f(x)dx = 0 = F () + c g(x) = F (x) F () Als we nu x = b stellen dn verkrijgen we het gewenste resultt. 7

9 1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Acdemiejr ste semester 16 jnuri 2003 Oefeningen Anlyse I 1. Bereken de volgende limiet lim (x,y) (0,0) xy 3 + yx 3 x 3 + y 3 2. G n of de volgende functie f continu en fleidbr is : tgx ls x < 0 f : R R : x x ls 0 x < lnx ls 1 x 3. Bereken de eerste orde totle differentil vn de volgende functie : f(x, y) = ln(ybgtgx) 4. De volgende betrekking beplt y ls impliciete functie vn x in (1, 1). yx 2 + ln(xy) = 1 Bepl de vergelijking vn de rklijn in het punt (1, 1) n de hierboven gegeven kromme. 5. Bepl het mximle volume vn een blk ingeschreven in de ellipsoide x y z2 36 = 1 Gebruik de methode vn de multiplictoren vn Lgrnge. 6. Bereken het oppervlk vn het deel vn het vlk gelegen onder f(x) = x2 9 x 3 + x2 + 9x 9 en boven g(x) = puntenverdeling : vrgen 1,2,3,4,5,6 op resp.4,4,3,5,6,3 ptn.

10 1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Acdemiejr de zittijd 26 ugustus 2003 Oefeningen Anlyse 1. Bepl de prmeters en b zodt de functie f : R R gedefinieerd door de formules overl fleidbr is. f(x) = { + cos bx ls x 0 b + tg x ls x > 0 2. Bepl de ruit met minimle oppervlkte, wrvn de hoekpunten op de ssen liggen, en die rkt n de ellips met vergelijking x y2 b 2 = 1. Hint: de ellips is ingeschreven in de ruit. 3. De betrekking z + ln z + xy = 0 beplt z ls impliciete functie vn x en y. Bereken 2 z x y. 4. Beschouw het oppervlk S dt bestt uit de hlve cirkelschijven { 0 z R2 y 2 x = 0 en { 0 z R2 y 2 x = en het gedeelte vn de cilindermntel y 2 + z 2 = R 2 wrvoor z 0 en 0 x. Gegeven is ook het vectorveld v = z 2 u 1 + (y 3 + xz) u 2 3x 2 y u 3. Bereken beide leden vn de stelling vn Stokes. 5. Bepl het convergentiegebied vn de mchtreeks x n sin e. n n=0 6. Bepl de lgemene integrl vn de differentilvergelijking yy (y ) 2 = y 2 ln y. 7. Bepl de lgemene integrl vn het stelsel differentilvergelijkingen { z 3z + 2y = 2e 2x y 5y z = 4e2x