Fractionele calculus

Transcriptie

1 Universiteit Utrecht Deprtement Wiskunde Bchelorscriptie Wiskunde TWIN Wiskunde en Ntuurkunde Frctionele clculus Een studie vn fgeleiden en integrlen vn niet-gehele orde Auteur: M.A. Lip Studentnummer Begeleider: prof. dr. E.P. vn den Bn 5 juni 26 5 ECTS

2 Smenvtting Verschillende definities vn frctionele fgeleiden en integrlen worden behndeld, nmelijk de Riemnn-Liouville frctionele integrl, de Cputo en Riemnn-Liouville frctionele fgeleiden, en een definitie met behulp vn Fouriertrnsformtie die de Fourier frctionele fgeleide genoemd wordt. De benodigde theorie vn distributies wordt besproken, de frctionele fgeleiden en integrlen worden onderling vergeleken, en ten slotte wordt een prktische toepssing in de vorm vn visco-elstische stoffen uitgewerkt.

3 Inhoudsopgve Inleiding 3 2 Distributies 4 2. Testfuncties en distributies Afgeleiden vn distributies Fouriertrnsformtie Frctionele fgeleiden en integrlen 5 3. Riemnn-Liouville frctionele integrlen Cputo en Riemnn-Liouville frctionele fgeleiden Fourier frctionele fgeleiden Vergelijking tussen de frctionele fgeleiden en integrlen 3 4. Vergelijking vn frctionele integrlen Vergelijking vn frctionele fgeleiden Prktische toepssing:visco-elstische stoffen 39 6 Conclusie 47 2

4 Inleiding In het deelgebied vn de wiskunde dt bekend stt ls nlyse nemen twee operties op functies een prominente plts in: differentiëren en integreren. Deze twee operties berekenen respectievelijk de helling vn een grfiek, en het oppervlk onder een grfiek. Voor veel functies geldt dt de fgeleide vn de integrl vn de functie weer de oorspronkelijke functie is, dus de twee operties zijn in die zin elkrs inverse. Als de differentilopertor meerdere keren wordt toegepst, levert dit een hogere orde fgeleide op, wrbij de orde vn de fgeleide gelijk is n het ntl keer dt de opertor is toegepst. Omdt de integrlopertor in veel gevllen gezien kn worden ls de inverse opertor ten opzichte vn de differentilopertor, wordt deze ook wel ls de fgeleide vn orde - genoteerd. Herhld toepssen vn de integrlopertor levert dn negtieve gehele getllen ls orde op. Als we de functie zelf dn ls de fgeleide vn orde zien, is het systeem vn fgeleiden en integrlen te zien ls een fmilie vn opertoren die ls prmeter de orde hebben, die lle gehele wrden n kn nemen. De infinitesimlrekening is in de tweede helft vn de 7e eeuw ontwikkeld door zowel Leibniz ls Newton, onfhnkelijk vn elkr. In het jr 695 heeft Leibniz in een brief n L Hôpitl voor het eerst het idee geopperd dt er misschien ook een opertor te definiëren ws met de nottie d 2, zie [4]. Deze opertor zou dn de hlfde fgeleide zijn, en zou in dx 2 het systeem vn fgeleiden en integrlen opgenomen kunnen worden ls de opertor met orde. De theorie vn dit soort differentil- en integrlopertoren die nu ook breuken 2 ls orde zouden kunnen hebben, is de frctionele clculus genoemd. De fundering voor de theorie vn de frctionele clculus is door Liouville gelegd in het begin vn de 9e eeuw, zie [5], en veel vn de theorie is dn ook in de 9e en 2e eeuw ontwikkeld. In deze periode zijn verschillende definities vn frctionele fgeleiden en integrlen ontwikkeld, wrbij de orde vn de opertoren niet lleen niet-geheel hoeft te zijn, mr zelfs geen breuk meer hoeft te zijn. De nm frctionele clculus is hierdoor dus een enigszins verouderde term, mr ngezien dit de bekende term voor het vkgebied ws, wordt hij nog steeds gebruikt. De onderzoeksvrg wr we deze scriptie omheen bouwen is Hoe kunnen de definities vn fgeleiden en integrlen uitgebreid worden tot willekeurige reële orde, op een prktisch toepsbre mnier?. Om deze vrg te bentwoorden zullen we een ntl verschillende definities vn frctionele integrlen en fgeleiden bespreken, beginnend met de Riemnn-Liouville definitie voor frctionele integrlen, die we op twee verschillende mnieren uitbreiden tot de Riemnn-Liouville frctionele fgeleiden en de Cputo frctionele fgeleiden. We bespreken ook een definitie vn frctionele fgeleiden en integrlen door middel vn Fouriertrnsformtie, die we de Fourier frctionele fgeleide of integrl zullen noemen. Vervolgens zullen we deze definities onderling vergelijken wt betreft de functies wrop ze toegepst kunnen worden, en de eigenschppen die de fgeleiden en integrlen hebben, en we zullen bekijken of de verschillende definities in sommige gevllen dezelfde resultten opleveren. Vervolgens zullen we een prktische toepssing vn de frctionele clculus bespreken, in de vorm vn de studie vn visco-elstische stoffen. 3

5 Voor deze studie, en voor de meest lgemene vorm vn de definitie vn de Fourier frctionele fgeleide, is de theorie vn distributies of gegenerliseerde functies nodig. Deze zullen we drom direct behndelen, gevolgd door de definities vn de verschillende frctionele fgeleiden en integrlen en het vergelijken vn deze definities. Drn sluiten we f met de prktische toepssing en de conclusie. 2 Distributies In deze sectie leggen we uit wt distributies zijn en hoe operties op distributies werken, zols differentiëren en Fouriertrnsformtie. Lezers die l bekend zijn met deze begrippen kunnen deze sectie oversln en direct verdergn nr de definities vn de verschillende frctionele fgeleiden en integrlen. We volgen in deze sectie de nottie en uitleg vn [], wrbij veel is ingekort en in een ndere volgorde gepresenteerd wordt. Distributies, ook wel gegenerliseerde functies genoemd, zijn een uitbreiding vn het begrip continue functies. Een voordeel vn distributies ten opzichte vn gewone functies is dt elke distributie differentieerbr is, en dt de fgeleide weer een distributie is. Hierdoor krijgen lle continue functies, gezien ls distributies, dus fgeleiden vn elke gehele orde, die ook distributies zijn. We beginnen met een korte inleiding wr distributies vndn komen. Voor kwdrtisch integreerbre functies vn R n nr R bestt het integrl-inproduct, gegeven door f, g = f(x)g(x)dx. () R n Voor functies vn R n nr C is dit geen complex inproduct, omdt er dn negtieve wrden uit kunnen komen, en het een bilineire fbeelding is in plts vn een sesquilineire fbeelding. Het idee chter distributies begint ermee dt we deze pring tussen functies nu willen zien ls een lineire fbeelding, toegepst op g, wrbij we een continue functie f identificeren met de lineire fbeelding gegeven door testf : φ f(x)φ(x)dx. (2) R n De ruimte vn functies φ wr we deze fbeelding op gn toepssen wordt de ruimte vn testfuncties genoemd, deze zullen we in de eerste subsectie nder bestuderen. De ruimte vn distributies wordt vervolgens gedefinieerd ls de ruimte vn continue lineire fbeeldingen vn de ruimte vn testfuncties nr C. We zullen operties definiëren op distributies door de betreffende operties op functies toe te pssen, te kijken hoe de distributies die horen bij die functies dn trnsformeren en die formules dn ls definiërende eigenschp te gebruiken. Op deze mnier wordt in de tweede subsectie de fgeleide vn een distributie gedefinieerd. In de derde subsectie bespreken we de definitie vn Fouriertrnsformtie. Dit doen we zowel voor Schwrtz-functies, die een deelruimte vn de oneindig vk differentieerbre functies vormen, ls voor getemperde distributies, een deelruimte vn de distributies. 4

6 2. Testfuncties en distributies We beginnen met de definitie vn de drger vn een functie, die we direct gebruiken om de ruimte vn testfuncties te definiëren. Definitie 2.. Zij X een deelverzmeling vn R n. Voor een functie φ : X C noteren we met supp φ de drger vn φ, gedefinieerd ls de fsluiting in X vn de verzmeling vn de punten x X wr φ(x). Definitie 2.2 (Testfuncties ([], Definitie 2.5)). Zij X een open deelverzmeling vn R n. Een testfunctie op X is een oneindig vk differentieerbre functie φ : X C, wrvn de drger een compcte deelverzmeling vn X is. De ruimte vn lle testfuncties op X wordt genoteerd ls C (X). Een testfunctie voldoet dus n twee eisen: het oneindig vk differentieerbr zijn wordt gebruikt omdt voor de fgeleiden vn distributies nodig gt zijn dt de testfuncties even vk differentieerbr zijn ls het ntl keer dt we de fgeleide vn de distributie nemen. De eis vn de compcte drger is volgens de stelling vn Heine-Borel equivlent met de eis dt de drger gesloten en begrensd is, in R n. Omdt de drger een fsluiting is, is hij ltijd gesloten in X, dus we eisen eigenlijk dt de drger niet tegen de rnd vn X n ligt, en begrensd is. Als X een open deelverzmeling vn Y is, die een open deelverzmeling vn R n is, kn elke testfunctie φ op X uitgebreid worden tot een testfunctie op Y, door φ(y) = te nemen voor elke y Y \ X. De begrensde drger grndeert dt de lineire fbeeldingen testf voor elke continue functie f en elke testfunctie φ een convergente integrl opleveren: Lemm 2.3. Voor elke locl integreerbre functie f : X C en testfunctie φ C (X) convergeert de integrl f(x)φ(x)dx. (3) X Bewijs. Omdt φ een testfunctie is, is de drger begrensd, dus buiten dit begrensde gebied is de integrnd f(x)φ(x) gelijk n f(x), omdt φ(x) =, dus gelijk n. Binnen de compcte drger is de continue functie φ begrensd, dus de integrnd wordt gemjoreerd door M f(x) voor een bovengrens M vn φ(x). De integrl vn M f(x) over de begrensde drger convergeert, omdt f locl integreerbr is. De integrl convergeert dus over de begrensde drger vn φ, en drbuiten is de integrnd, dus de hele integrl convergeert. De combintie vn oneindig vk differentieerbr en compcte drger legt een erg sterke beperking op n testfuncties, hierdoor is het in eerste instntie niet direct duidelijk of er wel functies zijn die n beide eisen voldoen. In het gevl vn een nlytische functie geldt nmelijk dt hij overl is zodr hij op een open verzmeling is, dus dn geldt dt de drger ofwel het hele domein is, ofwel de lege verzmeling. Het blijkt dt de eis vn oneindig vk differentieerbr zijn niet zo sterk is. 5

7 Voorbeeld 2.4. Een voorbeeld vn een testfunctie op R is de functie f(x) = e x e b x ( < x < b), (4) f(x) = (nders) (5) voor en b reële getllen met < b. De drger vn de functie is het gesloten intervl [, b], en het is mkkelijk in te zien dt de functie overl buiten de punten en b oneindig vk differentieerbr is. Om te lten zien dt de functie oneindig vk differentieerbr is in de punten en b, is het voldoende om te lten zien dt de functie g(x) = e x (x > ), (6) g(x) = (nders) (7) oneindig vk differentieerbr is in. Dn kunnen we immers met de productregel concluderen dt de functie f ook oneindig vk differentieerbr is. We merken om te beginnen op dt de functie g continu is in, omdt de limiet vn x nr vn e x gelijk is n. Vnuit de mchtreeks vn e y volgt dt e y > yn voor elke n > geheel en y. Dus voor n! x > is g(x) = e x n! ( x) n = n!x n. (8) Hieruit kunnen we fleiden dt g differentieerbr is in, met fgeleide, door middel vn de insluitstelling. Voor x > geldt ook de formule g (x) = g(x) x 2. Hieruit kunnen we met inductie ntonen dt er polynomen p k zijn zodt voor x > geldt dt g (k) (x) = p k ( )g(x). () x De polynomen worden dn gegeven door p (y) = p k+ (y) = (p k (y) p k(y))y 2. () (9) We zien in het bijzonder dt de grd vn p k constnte c(k) is zodt dus 2k is, wrdoor er voor elke k een p k (y) c(k)y 2k (y ). (2) Hieruit volgt dn dt voor < x geldt dt g (k) (x) c(k)n!x n 2k. (3) Door hierin n 2k + 2 te kiezen, volgt met inductie dt de functie g een (k + )-de fgeleide heeft in, en dt deze gelijk is n. De functie is dus inderdd oneindig vk differentieerbr in, dus is de functie f inderdd een testfunctie. 6

8 Uit dit voorbeeld kunnen we ook voor meerdimensionle ruimten testfuncties construeren, door het product vn enkele vn deze functies vn de verschillende coördinten te nemen. In de definitie vn distributies willen we eisen dt de distributies continu zijn. Omdt de ruimte vn testfuncties oneindig-dimensionl is, zijn nmelijk niet lle lineire fbeeldingen continu. Voor continuïteit is een zekere vorm vn convergentie nodig, dus definiëren we convergentie vn testfuncties ls volgt: Definitie 2.5. Lt X een open deelverzmeling vn R n zijn, (φ j ) j N een rij vn testfuncties op X, en φ een testfunctie op X. De rij convergeert dn in C (X) nr φ ls zowel geldt dt er een compcte deelverzmeling K vn X is, zodt voor lle j geldt dt supp φ j K, ls dt voor elke multi-index α geldt dt de rij ( α φ j ) j N uniform op K convergeert nr α φ. De eerste eis zorgt ervoor dt het gedrg vn de rij ls geheel binnen één compcte verzmeling pltsvindt. De tweede eis zorgt dt niet lleen de functies zelf convergeren nr φ, mr dt elke combintie vn prtiële fgeleiden vn de rij ook nog convergeren nr de betreffende fgeleide vn de limietfunctie. Deze sterke eis op convergentie vn testfuncties gt ervoor zorgen dt het mkkelijker is voor lineire fbeeldingen om continu te zijn, en dt de distributies vn de fgeleiden vn testfuncties mogen fhngen, omdt we drvn voor een convergente rij ook weten dt ze convergeren. We hebben nu genoeg voorbereidingen getroffen om de definitie vn distributies te geven: Definitie 2.6 (Distributies ([], Definitie 3.)). Zij X een open deelverzmeling vn R n. Een distributie op X is een complex lineire fbeelding u vn C (X) nr C (ook wel een complex lineire functionl genoemd) die continu is in de zin dt lim u(φ j) = u(φ) wnneer lim φ j = φ in C (X). (4) j j Anders gezegd bedoelen we met continu in deze context dus dt convergentie vn rijen behouden blijft. De ruimte vn lle distributies op X wordt genoteerd ls D (X). De nottie D (X) is fgeleid vn de nottie D(X) die ook gebruikt wordt voor de ruimte vn testfuncties, wrbij het ccent de dule ruimte ngeeft. Verder kunnen we de eis vn continuïteit herschrijven door te gebruiken dt u lineir is, nr lim u(φ j φ) = wnneer lim φ j φ =, (5) j j dus we hoeven lleen voor rijen die nr convergeren te controleren dt het beeld vn de rij ook nr convergeert. De inbedding vn de continue functies in de ruimte vn distributies gebeurt met de volgende stelling: 7

9 Stelling 2.7. Zij X een open deelverzmeling vn R n. Voor elke locl integreerbre functie f op X, definieert (testf)(φ) = f(x)φ(x)dx (6) een distributie u = testf op X. X Bewijs. Met behulp vn Lemm 2.3 volgt dt de integrl ltijd convergeert, dus dt het een welgedefinieerde fbeelding is. Omdt integrlen lineir zijn, is het ook een lineire fbeelding. Uit het bewijs vn Lemm 2.3 volgde dt (testf)(φ) φ K f(x) dx (7) K met φ K de supremum-norm vn φ over K, en K de drger vn φ. Als we een rij (φ j ) j N hebben die nr convergeert, is er één compcte K te kiezen wrin lle drgers bevt zijn, en gt φ j K nr, dus dn convergeert ook (testf)(φ) nr, dus de fbeelding is ook continu. De stelling vertelt ons zelfs dt er bij elke locl integreerbre functie een distributie hoort, in plts vn lleen bij elke continue functie, mr dit is enigszins bedrieglijk. Voor continue functies blijkt nmelijk de fbeelding test : f testf een injectieve fbeelding te zijn, terwijl voor locl integreerbre functies dit niet zo is. We kunnen dus de continue functies -op- koppelen n een deelruimte vn de distributies, terwijl er voor locl integreerbre functies moet worden toegevoegd dt twee functies bij dezelfde distributie horen dn en slechts dn ls ze bijn overl gelijk zijn (dt wil zeggen, de verzmeling vn punten wr ze verschillen heeft Lebesgue mt ). Binnen de theorie vn Lebesgue integrtie is het gebruikelijk om functies ls hetzelfde te zien wnneer ze bijn overl gelijk zijn, dus in dt gevl kunnen wel de locl integreerbre functies ingebed worden in de distributies. We behndelen een pr voorbeelden vn distributies: Voorbeeld 2.8. De Dirc deltdistributie, vk ook de Dirc deltfunctie genoemd, is de distributie δ gedefinieerd ls δ(φ) = φ() (φ C (R n )). (8) Deze fbeelding is welgedefinieerd en lineir, en omdt voor convergente rijen vn testfuncties de convergentie in ieder gevl uniform is, convergeert dn ook φ j () nr φ() ls φ j nr φ convergeert. Hiermee is dit dus een distributie. Voorbeeld 2.9. De Heviside stpfunctie is de functie H gedefinieerd door H(x) = ls x < en H(x) = ls x >. De wrde H() verschilt tussen verschillende definities. Gezien ls distributie zijn l deze definities hetzelfde, omdt de functies bijn overl gelijk zijn. 8

10 Een voordeel vn het gebruiken vn distributies, is dt elke distributie te benderen is door middel vn gldde functies. Om dit resultt te formuleren, hebben we eerst een vorm vn convergentie vn distributies nodig: Definitie 2.. Lt (u j ) j N een rij vn distributies op X zijn, en lt ook u D (X). We schrijven dn lim u j = u ls voor lle φ C (X) lim u j (φ) = u(φ). (9) j j Anloog definiëren we convergentie vn een fmilie distributies u ɛ die vn een continue vribele ɛ fhngen ls puntsgewijze convergentie. Als we de testfuncties uitbreiden tot een grotere open verzmeling Y, geldt dt ze convergeren dn en slechts dn ls ze dit in X deden, omdt buiten X de testfuncties overl zijn. Het volgende resultt presenteren we zonder bewijs: Stelling 2.. Zij X een open deelverzmeling vn R n. Voor elke u D (X) bestt er een rij testfuncties (u j ) j N met lim j testu j = u Bewijs. Zie [], Corollry Afgeleiden vn distributies Voor een continu differentieerbre functie f op een open deelverzmeling X vn R n kunnen we met behulp vn prtieel integreren lten zien dt (test j f)(φ) = j f(x)φ(x)dx X = f(x) j φ(x)dx X = (testf)( j φ), (2) wrbij er geen rndtermen zijn, omdt de functie φ buiten zijn compcte drger binnen X overl is. We gebruiken deze formule om de fgeleide vn een distributie te definiëren: Definitie 2.2. Zij X een open deelverzmeling vn R n en u een distributie op X. De prtiële fgeleiden vn u worden dn gegeven door ( j u)(φ) = u( j φ) (φ C (X)). (2) Deze fbeelding is dn zelf ook weer een distributie. Hij is lineir omdt u en het nemen vn de fgeleide lineir zijn, en hij is continu, omdt ls een rij testfuncties convergeert, dn ook de fgeleiden ls testfuncties convergeren, en u continu is. 9

11 Uit vergelijking (2) zien we dn dt geldt dt j (testf) = test( j f) (22) voor elke continu differentieerbre f, dus deze definitie vn differentiëren is een uitbreiding vn het normle begrip vn differentiëren. Voor functies met continue prtiële (gewone) fgeleiden geldt dt de volgorde vn prtieel differentiëren omgedrid mg worden, specifieker: ls een functie f continue tweede orde prtiële fgeleiden i j f en j i f heeft, dn zijn deze gelijk. Voor distributies geldt dt je de volgorde ltijd mg omwisselen: Lemm 2.3. Zij u een distributie op een open deelverzmeling X vn R n. Dn geldt voor de tweede orde prtiële fgeleiden dt i j u = j i u. Bewijs. We pssen de linkerknt toe op een testfunctie φ, en herschrijven het resultt: ( i j u)(φ) = ( j u)( i φ) = u( j i φ). (24) Omdt φ oneindig vk differentieerbr is, zijn de tweede orde fgeleiden continu, dus mogen we de volgorde vn de fgeleiden omdrien, om te krijgen dt ( i j u)(φ) = u( i j φ) = ( j i u)(φ). (25) Angezien dit voor elke φ geldt, mogen we dus inderdd bij distributies de volgorde vn fgeleiden omwisselen. We werken een pr voorbeelden uit: Voorbeeld 2.4. We beplen de fgeleiden vn de Dirc deltdistributie, ls distributie op R. Dn voldoen de fgeleiden n δ (k) (φ) = δ (k ) (φ ). (26) Door dit herhld toe te pssen, krijgen we δ (k) (φ) = ( ) k δ(φ (k) ) = ( ) k φ (k) (). (27) Voorbeeld 2.5. We beplen de fgeleide vn de Heviside stpfunctie H, gezien ls distributie. Deze voldoet n (testh) (φ) = (testh)(φ ) = H(x)φ (x)dx = R (23) φ (x)dx = φ() (28) met de hoofdstelling vn de integrlrekening en het feit dt φ een begrensde drger heeft, en dus nr gt ls x nr oneindig gt. Hieruit volgt dus voor elke φ dt (testh) (φ) = φ() = δ(φ), (29) dus (testh) = δ.

12 2.3 Fouriertrnsformtie We beginnen deze subsectie meteen met de formule voor Fouriertrnsformtie vn functies: Definitie 2.6 (Fouriertrnsformtie vn functies). Zij u : R n C een integreerbre functie. De Fouriergetrnsformeerde vn u, genoteerd met Fu, is dn een functie vn R n nr C, gegeven door (Fu)(ξ) = e i x,ξ u(x)dx, (3) R n wrbij x, ξ het Euclidisch inproduct is. Omdt u integreerbr is over R n, is ook u integreerbr, en kunnen we deze ls mjornt gebruiken om te lten zien dt de integrl in (3) convergeert. Hiermee is de Fouriergetrnsformeerde een welgedefinieerde functie. Voor Fouriertrnsformties willen we een functieruimte en een ruimte vn distributies hebben, wrvoor de Fouriergetrnsformeerden bestn, wrvoor we de inverse Fouriertrnsformtie kunnen definiëren en wrvoor ook geldt dt we binnen de ruimte kunnen differentiëren, zodt we het over Fouriertrnsformties vn fgeleiden kunnen hebben. Drom definiëren we de ruimte vn Schwrtzfuncties: Definitie 2.7 (Schwrtzfunctie, ([], Definitie 4.5)). Een functie φ op R n heet snel fnemend ls voor elke multi-index β de functie x x β φ(x) begrensd is op R n. We definiëren nu de ruimte S vn Schwrtzfuncties ls de ruimte vn lle oneindig vk differentieerbre functies φ wrvoor α φ snel fnemend is voor elke multi-index α. Voor een rij (φ j ) j N vn Schwrtzfuncties en een functie φ in S zeggen we dt lim j φ j = φ ls voor lle multi-indices α en β geldt dt de rij functies (x β α φ j ) j N uniform op R n convergeert nr x β α φ. C Omdt Schwrtzfuncties snel fnemend zijn, worden ze gemjoreerd door (+ x ) n+ voor een C >, dus zijn ze integreerbr over R n. We kunnen dus voor elke Schwrtzfunctie de Fouriergetrnsformeerde beplen. De eis op de fgeleiden zorgt dt ook voor de fgeleiden vn Schwrtzfuncties geldt dt ze Schwrtzfuncties zijn. Voor testfuncties geldt dt ze buiten een compct gebied zijn, dus ls we voor een testfunctie φ de functie x β α φ(x) bekijken, is dit een continue functie die buiten een compct gebied is, en dus begrensd. Hieruit volgt dt elke testfunctie ook een Schwrtzfunctie is. De vorm vn convergentie op testfuncties impliceert ook dt een convergente rij testfuncties, gezien ls Schwrtzfuncties, nog steeds convergeert, nr dezelfde limiet. Het volgende lemm vertelt ons dt de Fouriergetrnsformeerde vn een Schwrtzfunctie weer een Schwrtzfunctie is: Lemm 2.8. Fouriertrnsformtie definieert een continue lineire fbeelding vn S nr S. Voor elke j n, φ S en ξ R n geldt (F( j φ))(ξ) = iξ j (Fφ)(ξ), (3) (F(x j φ))(ξ) = i j (Fφ)(ξ). (32)

13 Bewijs. Als φ S kunnen we door middel vn de fschtting φ(x) c( + x ) n voor een c > de integrnd in (3) mjoreren door c(+ x ) n, wruit volgt dt de integrl convergeert, en begrensd en continu is ls functie vn ξ. Omdt φ S ligt ook x j φ(x) in S, dus de Fouriergetrnsformeerde hiervn bestt ook, en x j φ(x) is continu en integreerbr, en ls we i j toepssen op e i x,ξ φ(x), wrbij de fgeleide nr de ξ-vribele is, levert dit e i x,ξ x j φ(x), dus volgt dt (F(x j φ))(ξ) = e i x,ξ x j φ(x)dx = i j (e i x,ξ φ(x))dx R n R ) n = i j e (R i x,ξ φ(x)dx = i j (Fφ)(ξ). (33) n Hiermee is vergelijking (32) ngetoond, en in het bijzonder volgt met inductie hieruit dt Fφ oneindig vk differentieerbr is. Voor de ndere vergelijking kunnen we prtieel integreren, wrbij de rndtermen wegvllen omdt de functies nr gn, wt oplevert dt (F( j φ))(ξ) = e i x,ξ j φ(x)dx = j e i x,ξ φ(x)dx R n R n = iξ j R n e i x,ξ dx = iξ j (Fφ)(ξ), (34) wrbij de fgeleiden nr de x-vribelen zijn. Hiermee is vergelijking (3) ngetoond. Om n te tonen dt de Fouriergetrnsformeerde vn een Schwrtzfunctie weer een Schwrtzfunctie is, gebruiken we nu deze 2 vergelijkingen, om voor multi-indices α en β te krijgen dt ξ β α (Fφ) = ξ β F(i α x j φ) = F(i α β β x α φ). (35) Omdt β x α φ weer een Schwrtzfunctie is, geldt dt de Fouriergetrnsformeerde hiervn begrensd is. Hieruit volgt dus dt ξ β α (Fφ) begrensd is voor elke multi-indices α en β, wrmee we hebben ngetoond dt Fφ een Schwrtzfunctie is. Het continu zijn vn de fbeelding is weer in termen vn behoud vn convergentie vn rijen. We hoeven dus lleen te lten zien dt ls (φ j ) j N een rij Schwrtzfuncties is, die nr convergeert, dt dn (Fφ j ) j N ook nr nul convergeert. Hiervoor moeten we lten zien dt voor lle multi-indices α en β geldt dt ξ β α (Fφ j ) uniform nr convergeert, dus met vergelijking (35) moeten we ntonen dt F(i α β β x α φ j ) uniform nr nul convergeert voor lle α en β. Omdt (φ j ) j N nr convergeert, geldt voor lle α en β dt ( β x α φ j ) j N uniform nr convergeert, dus kunnen we i α β β x α φ j mjoreren door c j ( + x ) n voor een rij c j die nr convergeert. Druit volgt dt ξ β α (Fφ j ) c j ( + x ) dx = c jc, (36) n+ wrbij we de wrde vn de integrl C noemen. Omdt c j nr gt, volgt dus dt ξ β α (Fφ j ) nr gt, en de convergentie is uniform omdt de fschtting niet vn ξ 2

14 fhngt. Hieruit volgt dt een rij die nr convergeert wordt fgebeeld op een rij die nr convergeert, dus de fbeelding is continu. We behndelen een voorbeeld vn Fouriertrnsformtie. Voorbeeld 2.9. De functie f : x e x2 is een Schwrtzfunctie, omdt voor elke n > geldt dt x n e x2 begrensd is, en omdt elke fgeleide vn e x2 met behulp vn de productregel en kettingregel vn de vorm p(x)e x2 is, met p een polynoom. Voor de functie f geldt dt df = 2xf(x), dus voor de Fouriergetrnsformeerde geldt dt iξ(ff)(ξ) = 2i d (Ff), dus dx dξ d (Ff) = ξ 2 ξ(ff). De oplossing vn deze differentilvergelijking is (Ff)(ξ) = Ce 4 dξ 2 voor een constnte C. Deze constnte kunnen we beplen door (Ff)() te beplen, dit levert C = (Ff)() = e x2 dx = 2π, (37) R dus de Fouriergetrnsformeerde vn f : x e x2 is (Ff) : ξ 2πe x2 4. Fouriertrnsformtie op de ruimte vn Schwrtzfuncties is een bijectieve fbeelding nr de Schwrtzfuncties, wt we in de volgende stelling benoemen zonder het bewijs te geven: Stelling 2.2. Fouriertrnsformtie is een bijectieve fbeelding vn S nr S, met ls inverse de fbeelding (F (ψ))(x) = e i x,ξ ψ(ξ)dξ. (38) (2π) n R n Bewijs. Zie [], Stelling 4.. Een hndig nder resultt is: Lemm 2.2. Zij φ, ψ S. Dn ligt ook de convolutie, gegeven door φ ψ(x) = φ(t)ψ(x t)dt (39) R n in S, en geldt dt F(φ ψ) = FφFψ, (4) F(φψ) = (2π) n Fφ Fψ. (4) Bewijs. Zie [], Stelling 4.2. Voor twee integreerbre functies φ en ψ geldt dt (Fφ)(x)ψ(x)dx = e i x,ξ φ(ξ)ψ(x)dξdx R n R n R n = e i x,ξ φ(x)ψ(ξ)dxdξ = φ(x)(fψ)(x)dx. (42) R n R n R n 3

15 In deze formules herkennen we de integrlen die voor het definiëren vn testfuncties gebruikt zijn. Hieruit zouden we dus de Fouriergetrnsformeerde vn een distributie willen definiëren door middel vn (Fu)(φ) = u(fφ). Echter, voor gewone distributies kn dit niet, omdt een testfunctie niet noodzkelijk een testfunctie ls Fouriergetrnsformeerde heeft. Drom definiëren we een deelruimte vn de distributies: Definitie 2.22 (Getemperde distributies). Een getemperde distributie is een complex lineire fbeelding vn S nr C, die continu is in de zin dt convergentie vn rijen behouden blijft. We zeggen dt een rij u j vn getemperde distributies convergeert nr u, ls voor elke φ S geldt dt lim j u j (φ) = u(φ). De ruimte vn getemperde distributies wordt genoteerd ls S. Omdt de ruimte vn testfuncties een deelruimte is vn de ruimte vn Schwrtzfuncties, en convergentie vn testfuncties impliceert dt ze ook ls Schwrtzfuncties convergeren, zijn lle getemperde distributies ook te zien ls distributies, door het domein te beperken. Definitie Zij u een getemperde distributie. Dn is de Fouriergetrnsformeerde vn u de getemperde distributie gegeven door (Fu)(φ) = u(fφ). De Fouriergetrnsformeerde is dn inderdd een getemperde distributie, omdt voor elke Schwrtzfunctie φ geldt dt Fφ ook een Schwrtzfunctie is, dus we kunnen u erop toepssen. Omdt Fouriertrnsformtie continu is, en u continu is, is de smenstelling dt ook, dus Fu is continu. Voor getemperde distributies kunnen we deze vergelijking wel ls definiërende eigenschp gebruiken, omdt de Fouriergetrnsformeerde vn een Schwrtzfunctie weer een Schwrtzfunctie is. Lemm De fbeelding F : S S is continu. Bewijs. Voor elke rij getemperde distributies (u j ) j N die nr een getemperde distributie u convergeert, geldt voor elke φ S dt lim j u j (φ) = u(φ), dus geldt ook voor elke φ S dt lim j (Fu j )(φ) = lim j u j (Fφ) = u(fφ) = (Fu)(φ), dus convergeert de rij (Fu j ) j N nr Fu. Uit vergelijking (42) volgt dt voor een integreerbre functie f geldt dt F(testf) = test(ff), (45) dus Fouriertrnsformtie op getemperde distributies is een uitbreiding vn de eerdere definitie. Voor de Fouriertrnsformtie op getemperde distributies geldt dn ook dt het een bijectieve fbeelding vn S nr S is, en dt dezelfde formules gelden ls in lemmt 2.8 en 2.2, ls convolutie en vermenigvuldigen met functies op de goede mnier gedefinieerd worden, zie [], hoofdstukken 9 en, Stelling 4.8 en Stelling De vermenigvuldiging vn een distributie met een functie wordt hierbij gegeven door: 4 (43) (44)

16 Definitie Zij u een distributie, en φ een oneindig vk differentieerbre functie. Dn is het product vn de distributie en de functie ook weer een distributie, gegeven door: (φu)(ψ) = u(φψ) (ψ C (X)). (46) We behndelen nog een ntl voorbeelden: Voorbeeld De Dirc deltdistributie is een getemperde distributie, dus we kunnen er de Fouriergetrnsformeerde vn nemen. Dit is dn een getemperde distributie, gegeven door (Fδ)(φ) = δ(fφ) = (Fφ)() = φ(x)dx. (47) R n Dit komt precies overeen met de getemperde distributie die hoort bij de functie f(x) =, dus kunnen we schrijven dt Fδ = test. Voorbeeld De formule voor inverse Fouriertrnsformtie kn met behulp vn de spiegelingsopertor S, die een functie x f(x) omzet in de functie Sf : x f( x), geschreven worden ls F = (2π) n S F. Deze formule breidt ook uit nr de distributies, omdt hij voor de Schwrtzfuncties geldt, en de Fouriertrnsformtie op getemperde distributies hier een continue uitbreiding vn is. Druit volgt dt de Fouriergetrnsformeerde vn de distributie test gegeven wordt door F(test) = (2π) n SF (test) = (2π) n Sδ = (2π) n δ. (49) Voorbeeld Als we de functie f(x) = x n, voor n een ntuurlijk getl en x R, bekijken ls getemperde distributie, geldt hiervoor dt F(testf) = i n dn dξ n (F(test)) = 2πin δ (n). (5) 3 Frctionele fgeleiden en integrlen In deze sectie bespreken we verschillende definities vn frctionele fgeleiden en integrlen, beginnend met de Riemnn-Liouville frctionele integrl. Deze kn op 2 mnieren worden uitgebreid nr frctionele fgeleiden, nmelijk nr de Riemnn-Liouville frctionele fgeleide en de Cputo frctionele fgeleide. Ook wordt een definitie met behulp vn Fouriertrnsformties behndeld. (48) 5

17 3. Riemnn-Liouville frctionele integrlen We volgen in deze subsectie voornmelijk de behndeling vn [7], Sectie 2.3, mr er zijn voorbeelden toegevoegd en berekeningen en bewijzen worden in meer detil uitgewerkt. Om het over een integrl vn tot x te hebben, is het nodig dt de functie integreerbr is over dit intervl. We bekijken hier functies vn (, ) nr C. Om te grnderen dt een functie f integreerbr is vn tot x voor elke x > moet de functie locl integreerbr zijn voor x >, en moet er een b > bestn zodt de integrl vn tot b convergeert. Definitie 3.. Een functie f heet integreerbr vnf ls hij locl integreerbr is in (, ) en er een b > bestt zodt de integrl b f(t)dt convergeert. Als we f kunnen fschtten op c(x ) s voor < x < b voor een positieve c, een b > en een s >, kunnen we deze fschtting gebruiken om te lten zien dt de integrl vn f over (, b) convergeert. We definiëren de ruimte vn deze functies: Definitie 3.2. We schrijven Rloc s (, ) voor de ruimte vn locl integreerbre functies f : (, ) C, zodt er een constnte c > en een constnte b > bestn, zodt f(x) c(x ) s voor lle < x < b. De vereniging vn deze functieruimten over lle s > wordt genoteerd met Rloc (, ). Voor elke f Rloc (, ) geldt dn dt f integreerbr vnf is. Om ook integrlen vnf te kunnen nemen, formuleren we vergelijkbre definities: Definitie 3.3. Een functie f : R C heet integreerbr vnf ls deze locl integreerbr is, en er een b R bestt zodt de integrl vn f over (, b) convergeert. Definitie 3.4. We schrijven Rloc s (R) voor de ruimte vn locl integreerbre functies f : R C zodt er constnten c > en b < bestn, zodt f(x) c( x) s voor x < b. De vereniging vn deze ruimten over lle s < wordt genoteerd met R loc (R). In deze nottie gebruiken we de om n te geven dt we nu dus nr s < kijken. Voor de functies in R loc (R) geldt nu dt ze integreerbr vnf zijn. We gebruiken voor de gewone en frctionele integrlen in deze sectie een vste ondergrens. Dit stelt ons in stt om unieke primitieven vn gehele orde te definiëren, die we zullen noteren met f ( k) (x), wrbij dus f () (x) = f(x) en f ( k ) (x) = f ( k) (t)dt. Lemm 3.5. Zij R en f een functie die integreerbr vnf is. Dn bestt de primitieve vn f, wrvn de integrl bij begint. Bewijs. De functie f is locl integreerbr, dus de integrl vn f convergeert op elk compcte intervl X (, ). We weten dt er een b > bestt zodt de integrl convergeert over (, b). Voor x b kunnen we dn de integrl over (, x] opsplitsen in de integrl over (, b) en de integrl over het compcte intervl [b, x]. Over elk vn deze verzmelingen convergeert de integrl, dus door de integrl over deze twee verzmelingen op te splitsen volgt dus dt hij convergeert. Als x < b kunnen we een nloog rgument met het verschil vn twee integrlen gebruiken. 6

18 Anloog n dit lemm geldt ook dt functies die integreerbr vnf zijn een primitieve hebben, wrbij de ondergrens vn de integrl in ligt. Als we de eerste drie primitieven vn een functie f beplen, kunnen we de tweede en derde orde primitieven door middel vn verwisselen vn integrtievolgorde herschrijven nr: f ( ) (x) = f ( 2) (x) = = = f ( 3) (x) = = = = t f(t)dt, (5) t t f(t)dtdt f(t)dt dt (x t)f(t)dt, (52) f ( 2) (t)dt (t t )f(t )dt dt (t t )f(t )dtdt t 2 (x t ) 2 f(t )dt. (53) Hierin zien we het ptroon verschijnen vn de Cuchy formule voor herhld integreren: Stelling 3.6. Zij R. Voor een functie f die integreerbr vnf is, bestn de primitieven vn gehele orde, gedefinieerd door herhlde integrlen vnf, en geldt de volgende formule: f ( n) (x) = (n )! (x t) n f(t)dt (n N). (54) Bewijs. Volgens Lemm 3.5 convergeert de integrl vn f voor elke x >. Elke integrl is continu, en in het punt gelijk n, dus is de integrl zelf weer integreerbr vnf. Met inductie volgt dt lle primitieven vn gehele orde bestn. De integrl n de rechterknt convergeert ook, omdt de integrnd nog steeds integreerbr vnf is. Immers, de integrnd is het product vn een locl integreerbre functie en een continue functie, dus locl integreerbr, en de integrl vn f over een intervl (, b) convergeerde, en de fctor (x t) n is rondom t = continu en dus begrensd, dus is (x t) n f(t) integreerbr over (, b). We bewijzen (54) met inductie. Voor n = stt er dt f ( ) (x) = f(t)dt en dt is precies de definitie vn de primitieve. 7

19 Stel nu dt (54) geldt voor n = k. Dn geldt voor n = k + dt f ( k ) (x) = = = = t f ( k) (t)dt (n )! (t t ) n f(t )dt dt (n )! (t t ) n f(t )dtdt n! (x t ) n f(t )dt. (55) t Hiermee is de inductiestp voltooid, dus kunnen we concluderen dt de formule inderdd voor lle n N geldt. De Cuchy formule voor primitieven kn gegenerliseerd worden nr willekeurige positieve orde door de fculteit te vervngen door de Gmm-functie. Dit levert de volgende definitie: Definitie 3.7 (Riemnn-Liouville frctionele integrl ([7], vergelijking (2.88))). Zij R en f : (, ) C een functie die integreerbr vnf is. De Riemnn-Liouville frctionele integrl vn orde p > vn f, genoteerd met D p x f(x), is een functie vn (, ) nr C, en wordt gegeven door D p x f(x) = Γ(p) (x t) p f(t)dt. (56) Zolng de limiet vn nr convergeert, noteren we D p x f(x) = Γ(p) (x t) p f(t)dt. (57) De eis dt p > is nodig om te zorgen dt de fctor (x t) p niet de integrnd te snel lt divergeren rondom t = x, wrdoor de integrl ook zou divergeren. Als p >, dn convergeert de integrl ddwerkelijk, omdt de integrnd locl integreerbr is op (, x), en rondom is (x t) p begrensd en konden we f integreren, rondom x gt (x t) p lngzmer dn (x t) nr oneindig, terwijl f locl integreerbr ws, dus beide uiteinden leveren geen problemen op. Als p geheel is, krijgen we met Γ(n) = (n )! weer de oorspronkelijke formule terug, D n x f(x) = (x t) n f(t)dt Γ(n) x = (x t) n f(t)dt (n )! = f ( n) (x). (58) 8

20 Voor de integrlen vnf is een voldoende (mr niet noodzkelijke) eis om te zorgen dt de limiet vn nr bestt, dt f Rloc s (R) voor een s < p. Met p = zien we dus precies de ruimte R loc (R) terug. We berekenen een ntl voorbeelden: Voorbeeld 3.8. We beplen de frctionele integrl vn de functie f : x (x ) q met q >. Deze eis op q grndeert dt de functie integreerbr is vnf, immers f R q t loc (, ). Door middel vn de substitutie s =, t = (x )s+ in de integrl kunnen x we het herschrijven nr de Bet-functie: D p x (x ) q = Γ(p) = Γ(p) = (x )p+q Γ(p) (x t) p (t ) q dt (x (x )s) p ((x )s) q (x )ds ( s) p s q ds = Γ(p) (x )p+q B(q +, p) = Γ(q + ) Γ(p + q + ) (x )p+q. (59) Dit is een generlistie vn dezelfde formule voor integrlen vn gehele orde. Voorbeeld 3.9. We beplen de frctionele integrl vn de functie f : x e bx met beginpunt = en b >. Omdt b > gt de functie f dusdnig snel nr ls x nr gt, dt f Rloc s (R) voor elke s R, dus de integrl convergeert ltijd. Door de substitutie s = b(x t) uit te voeren, kunnen we de integrl herschrijven nr de Gmm-functie, dit levert D p x e bx = Γ(p) = Γ(p) = Γ(p)b p ebx (x t) p e bt dt b p sp e bx s ds s p e s ds = b p ebx, (6) wt een generlistie vn de gebruikelijke formule is, nmelijk f ( k) (x) = b k ebx. We ronden deze subsectie f met het bewijs vn vier eigenschppen vn deze frctionele integrlen. Stelling 3. (([7]), (2.99) en verder). Voor lle p, q > en x > geldt dt D p x D p q x D q x = 9

21 Bewijs. We berekenen de smenstelling vn de opertoren, toegepst op een functie f, door middel vn verwisselen vn de integrtievolgorde en resultt (59): D p x ( D q x f(x)) = (x t) p (t s) q f(s)dsdt Γ(p) Γ(q) x = f(s) (x t) p (t s) q dtds Γ(p)Γ(q) s x = (x s) p+q f(s)ds Γ(p + q) = D p q x f(x). Stelling 3. ([7], (2.89) en verder). Als f continu is op het intervl [, ), dn geldt voor lle x > lim p D p x f(x) = f(x). Bewijs. We bewijzen dit voor het gemkkelijkere gevl wrin f continu differentieerbr is, voor het lgemene gevl verwijzen we nr [7], vnf vergelijking (2.89) in prgrf Omdt f continu differentieerbr is, kunnen we prtieel integreren en krijgen we D p x f(x) = (x )p f() + Γ(p + ) Γ(p + ) t (x t) p f (t)dt. Hierin kunnen we de limiet nemen om direct te krijgen dt lim p D p x f(x) = f() + f (t)dt = f(x). Stelling 3.2. Zij k een ntuurlijk getl en f een k ml differentieerbre functie, met een k-de fgeleide die integreerbr vnf is. Dn is voor p > de frctionele integrl f(x) ook k ml differentieerbr. D p x Bewijs. Met behulp vn prtieel integreren vinden we weer dt D p x f(x) = (x )p f() + Γ(p + ) Γ(p + ) De fgeleide hiervn is d dx (D p x f(x) ) = (x )p f() + Γ(p) = (x )p f() Γ(p) (x t) p f (t)dt. (6) Γ(p + ) p f (x) + Γ(p) (x t) p f (t)dt + D p x f (x). (62) Omdt de eerste term n de rechterknt oneindig vk differentieerbr is, en f een k ml differentieerbre functie is met een (k )-de fgeleide die integreerbr vnf is, volgt nu met inductie dt D p x f(x) inderdd k ml differentieerbr is. 2

22 Stelling 3.3. Zij k een ntuurlijk getl en f : R C een k ml differentieerbre functie. Zij p > zodt voor lle m k geldt dt f (m) Rloc s (R) voor een s < p. Dn is f(x) ook k keer differentieerbr. D p x Bewijs. Het bewijs gt nloog n het bewijs vn Stelling 3.2, wrbij de extr eisen op f grnderen dt lle gebruikte frctionele integrlen bestn, en dt de rndterm bij het prtieel integreren nr gt. 3.2 Cputo en Riemnn-Liouville frctionele fgeleiden In dit onderdeel wordt de definitie vn frctionele integrlen op twee verschillende mnieren uitgebreid nr frctionele fgeleiden. We volgen de definities en notties vn [7], mr de structuur vn de presenttie is ngepst, en er zijn voorbeelden toegevoegd. Bovenstnde definitie vn de frctionele integrl is lleen toepsbr voor positieve orde p vn de integrl, en dus negtieve orde p vn de differentilopertor. We hebben in Stelling 3. ngetoond dt voor frctionele integrlen geldt dt de ordes optellen, en voor normle fgeleiden weten we ook dt dn ( dm f(x)) = dn+m f(x). Deze relties breiden dx n dx m dx n+m we nu op twee verschillende mnieren uit, ls eerste door de eerste fgeleide positieve gehele orde te geven, en de tweede een negtieve orde: Definitie 3.4 (Riemnn-Liouville frctionele fgeleide). Zij k N en < α. Zij f : (, ) C een k ml differentieerbre functie wrvn de k-de fgeleide integreerbr vnf is. De Riemnn-Liouville frctionele fgeleide vn f, vn orde k α wordt dn gegeven door D k α x f(x) = dk dx ( D α k x f(x)) = Γ(α) d k dx k Als we p = k α schrijven, geldt dus voor x > dt D p xf(x) = dk dx k ( D p k x f(x)) = Γ(k p) dx k d k (x t) α f(t)dt. (63) (x t) k p f(t)dt (k = p ). Wederom kunnen we de limiet vn nr nemen, zolng deze bestt. Voor functies die niet noodzkelijk k keer differentieerbr zijn, met k-de fgeleide integreerbr vnf kunnen we lsnog vn de Riemnn-Liouville frctionele fgeleide spreken, zolng de formule een resultt oplevert. De fgeleide vn de frctionele integrl bestt vnwege Stelling 3.2. Als de functie n de eisen vn Stelling 3.3 voldoet kunnen we gegrndeerd de limiet vn nr nemen. In deze definitie kiezen we < α, mr voor het convergeren vn de integrl is lleen nodig dt < α. Het resultt vn de integrl hngt echter niet direct f vn de keuze vn α en k, lleen vn de wrde vn k α. Immers, ls we zowel k ls α met een geheel getl n ophogen, kunnen we Stelling 3. gebruiken en combineren met het feit dt 2 (64)

23 voor gehele p = n de frctionele integrl overeenkomt met de gewone herhlde integrl om deze extr fgeleiden en integrlen tegen elkr weg te lten vllen (immers, D α x f(x) is continu): ( D (k+n) (α+n) x f(x) = dk d n ) dx k dx ( D n n x ( D α x f(x))) = dk dx ( D α k x f(x)) = D k α x f(x). We hebben dus voor het berekenen vn de fgeleiden de vrijheid om α en k met gehele getllen op te hogen, dus in de tweede formule kunnen we elke gehele k > p kiezen. Verder geldt ls we p = n geheel kiezen dt we k = n + krijgen, wt het volgende resultt geeft: D n xf(x) = dk dx ( D k x f(x)) = dk dx (f ( ) (x)) = dn f(x). (66) k dxn Dus voor gehele p reduceert deze definitie weer tot de gewone definitie vn de fgeleiden. Voor de tweede definitie nemen we de eerste fgeleide vn negtieve orde, en de tweede vn positieve gehele orde: Definitie 3.5 (Cputo frctionele fgeleide). Zij k N, < α < en zij f : (, ) C een functie die k ml differentieerbr is, met een k-de fgeleide die integreerbr vnf is. De Cputo frctionele fgeleide vn f vn orde k α is dn C Dx k α f(x) = D α x d k dx f(x) = k Γ(α) Met p = k α geldt dus, voor x >, d k C D p xf(x) = D p k x dx f(x) = k Γ(k p) (65) (x t) α f (k) (t)dt. (67) (x t) k p f (k) (t)dt (k = p ). Ook hier kunnen we weer nr lten gn, zolng de integrl blijft convergeren. Voor deze definitie hebben we < α < genomen, en dit keer is dit wel belngrijk voor de uitkomst vn de frctionele fgeleide. Als we bijvoorbeeld k en α llebei met ophogen, levert dit in het gevl dt f C k+ dt C D (k+) (α+) x f(x) = D α x = C D k α x d dt = C D k α x f(x) en dt is lleen hetzelfde ls C D k α x ( d k f dt k f(x) D α x ( dk f ) dt = D α x ( d k ) f dx (x) dk f k dx () k (68) dx ()) k Γ(α + ) (x )α f (k) () (69) f(x) wnneer dk f dx k () =. Voor grotere verhogingen vn k en α gelden vergelijkbre eisen. De reden dt we α kiezen, is omdt we voor α = niet ltijd de gewone fgeleiden terugvinden, tenzij de betreffende fgeleide is in het punt x =. Wt wel geldt is de volgende formule: 22

24 Stelling 3.6 ([7], pgin 79). Zij n N en f : (, ) C een functie in C n+ (, ). Dn geldt voor x > dt C lim D p p n xf(x) = f (n) (x) (7) Bewijs. Door middel vn prtieel integreren vinden we voor n < p < n dt C D p xf(x) = Γ(n p) = f (n) ()(x ) n p Γ(n p + ) (x t) n p f (n) (t)dt + Γ(n p + ) en hierin kunnen we direct de limiet nemen om te krijgen dt lim p n C D p xf(x) = f (n) () + (x t) n p f (n+) (t)dt (7) f (n+) (t)dt = f (n) (x) (72) Als we p omlg nr een geheel getl lten nderen, komt er weer lleen de gebruikelijke fgeleide uit ls deze is in x = : C lim D p p n xf(x) = lim Γ(n p + ) = p n We berekenen een pr voorbeelden: (x t) n p f (n+) (t)dt f (n+) (t)dt = f (n) (x) f (n) (). (73) Voorbeeld 3.7. We beginnen met een constnte functie, f : x c. De twee fgeleiden hiervn zijn, voor elke p > : D p xc = Γ(k p) dx k (x ) p = Γ( p), C D p xc = Γ(k p) d k (x t) k p c dt = c Γ(k p + ) d k (x )k p dxk (74) (x t) k p dt =. (75) We zien dus dt in het gevl vn de Cputo frctionele fgeleide geldt dt elke fgeleide vn een constnte is, net ls bij gewone fgeleiden. In het gevl vn de Riemnn-Liouville frctionele fgeleide geldt dit lleen ls de orde vn de fgeleide geheel is. Immers, dn is p een niet-positief geheel getl en dn gt de Gmm-functie nr oneindig. 23

25 Voorbeeld 3.8. We bekijken de functie f : x (x ) q. Voor de Cputo fgeleide hebben we nodig dt de k-de fgeleide integreerbr vnf is, dus dr moet q k > zijn, dus q > k, dus q > p. Omdt we bij de Riemnn-Liouville fgeleide beginnen met een frctionele integrl, hebben we voor het convergeren vn de integrl lleen nodig dt q >, en dit blijkt ook een k keer differentieerbre functie op te leveren, dus hier kunnen we q kleiner lten worden dn bij de Cputo frctionele fgeleide. We vinden dn de volgende resultten, met behulp vn (59): D p x(x ) q = C D p x(x ) q = d k Γ(k p) dx k (x t) k p (t ) q dt = dk Γ(q + ) (x dx k )k p+q Γ(k p + q + ) Γ(q + ) = Γ(q p + ) (x )q p (p >, q > ), (76) = Γ(k p) Γ(q + ) Γ(q p + ) (x )q p (p >, q > p ). (77) (x t) k p Γ(q + ) Γ(q + k) (t )q k dt We zien dus dt in beide gevllen hetzelfde resultt geldt, mr onder verschillende voorwrden. Voorbeeld 3.9. We bekijken weer de functie f : x e bx met b >, en we nemen weer = ls ondergrens. Omdt f Rloc s (R) voor elke s R en omdt de functie willekeurig vk differentieerbr is, bestt elke frctionele fgeleide hiervn. Met behulp vn vergelijking (6) vinden we dn, voor p >, D p xe bx = C D p xe bx = d k Γ(k p) dx k = dk (x t) k p e bt dt dx k bp k e bx = b p e bx, (78) x (x t) k p b k e bt dt Γ(k p) = b p e bx. In dit voorbeeld zien we dus dt beide fgeleiden hetzelfde zijn. We sluiten deze sectie f met een ntl stellingen over eigenschppen vn de twee frctionele fgeleiden. Stelling 3.2. Zij f een continue functie en zij p >. Dn is D p x( D p x f(x)) = f(x). (8) (79) 24

26 Bewijs. We weten l dt de stelling geldt voor gehele orde fgeleiden en integrlen. Als we nu k = p schrijven, en Stelling 3. gebruiken, vinden we D p x( D p x f(x)) = dk dx ( D p k k x = dk ( D p x f(x))) dx ( D k k x f(x)) = f(x). Uit deze stelling volgt de volgende stelling: Stelling 3.2. Zij p > en q > en f een functie wrvoor D p q x f(x) bestt. Dn geldt D p x( D q x f(x)) = D p q x f(x), (8) wrbij we D xf(x) = f(x) nemen. Bewijs. We mken een onderscheid tussen de gevllen p = q, p > q en p < q. Voor p = q volgt het direct uit de vorige stelling. Als p > q kunnen we m = p en n = p q schrijven, met dus m n. Gebruikmkend vn Stelling 3. en het feit dt gewone fgeleiden en integrlen tegen elkr wegvllen vinden we D p x( D q x f(x)) = dm dx ( D (m p) m x ( D q x f(x))) = dm dx ( D (m p q) m x f(x)) = dn dx n = dn d m n dx ( D (m n) m n x D (n p q) x f(x)) dx ( D (n p q) n x f(x)) = D p q x f(x). (82) In het gevl dt p < q kunnen we Stelling 3. en bovenstnde stelling gebruiken om te krijgen dt D p x( D q x f(x)) = D p x( D p x ( D (q p) f(x))) = D p q f(x). x De volgende stellingen geven voorwrden wronder de twee fgeleiden hetzelfde zijn: Stelling Zij p > niet-geheel, k = p en f : R C een k ml differentieerbre functie, zodt voor lle m k geldt dt er een s < p k bestt zodt f (m) R s loc (R). Dn geldt dt D p xf(x) = C D p xf(x). (83) Bewijs. De eisen op de functie en zijn fgeleiden grnderen dt de frctionele integrl vn orde k p vn f en lle fgeleiden tot en met k-de orde bestn. Verder convergeren 25 x

27 de functie en zijn fgeleiden ook lleml nr ls x nr gt. Hiermee kunnen we f herschrijven nr f(x) = f (t)dt. Door dit te gebruiken, vinden we D p xf(x) = dk dx k D p k x ( D x f (x)) dx k D x ( D p k x f (x)) = dk (84) = dk dx k D p k x f (x). (85) Hierbij is gebruik gemkt vn Stelling 3. om de twee integrlen om te wisselen. Door deze stp nu k keer te herhlen, vinden we D p xf(x) = D p k x f (k) (x) = C D p xf(x). (86) Stelling Zij f : [, ) C een k ml differentieerbre functie, met k-de fgeleide integreerbr vnf, zodt voor lle m k geldt dt f (m) () =. Dn geldt voor x > dt D p xf(x) = C D p xf(x). (87) Bewijs. Dit bewijs gt nloog n Stelling 3.22, wrbij nu de eigenschp f (m) () = gebruikt wordt om f(x) = f (t)dt te kunnen gebruiken. 3.3 Fourier frctionele fgeleiden We hebben in Lemm 2.8 gezien dt voor fgeleiden vn gehele orde geldt dt F( α φ) = (iξ) α (Fφ) voor elke multi-index α en elke Schwrtzfunctie φ. Dezelfde formule geldt ook voor getemperde distributies. Deze formule zullen we nu uitbreiden nr niet-gehele orde. We noemen deze frctionele fgeleide de Fourier frctionele fgeleide. Definitie 3.24 (Fourier frctionele fgeleide). Zij f S een Schwrtzfunctie vn R n nr C. Dn is de Fourier frctionele fgeleide vn f, vn ordes gegeven door de multi-index α, met elke α j >, mr niet noodzkelijk geheel, gegeven door α f(x) = F ((iξ) α (Ff)(ξ)). (88) Dit kunnen we expliciet uitwerken tot α f(x) = e i x,ξ (iξ) α (Ff)(ξ)dξ. (89) (2π) n R n 26

28 In deze definitie wordt de nottie (iξ) α gebruikt, deze stt voor n (iξ) α j. j= (9) In het gevl vn gehele-orde fgeleiden ws dit l welgedefinieerd, mr nu moeten we hierin specificeren wt er met (iξ) bedoeld wordt voor eventueel niet-geheel. We kiezen er hier voor om dit de wrde te geven met norm gegeven door ξ en rgument gegeven door keer het rgument vn iξ, wt gelijk is n π voor ξ > of π voor ξ <. 2 2 Een probleem n deze definitie is dt het vermenigvuldigen met (iξ) α voor niet-gehele orden ervoor zorgt dt de functie (iξ) α (Ff)(ξ) niet noodzkelijk meer een Schwrtzfunctie is. Immers, ls (Ff)(), is de functie in een omgeving vn ongelijk n. Als de orde α j niet geheel is, dn ( levert de prtiële fgeleide nr ξ j vn orde α j onder ndere een ) term vn de vorm C k j (iξ k) α k i α j ξ α j α j j (Ff)(ξ). Deze term is niet begrensd, wnt ls ξ j nr nul gt, gt de fctor ξ α j α j j nr oneindig, terwijl er niets nr nul gt om dit te compenseren. De functie blijft wel ltijd integreerbr, omdt hij nog steeds snel genoeg dlt ls de coördinten nr oneindig gn, en omdt elke fctor ξ α j j een mcht vn meer dn heeft, dus we kunnen ltijd nog de formule voor inverse Fouriertrnsformtie toepssen. We moeten dus wel oppssen dt het resultt vn de frctionele fgeleide geen Schwrtzfunctie meer is, zodt eigenschppen hiervn niet meer gebruikt kunnen worden. We formuleren nu de volgende continuïteitseigenschp vn de Fourier frctionele fgeleide: Stelling Zij f een Schwrtzfunctie vn R nr C. Dn is de Fourier frctionele fgeleide vn orde k vn f continu ls functie vn k en x voor k > en x R. Hierbij is de continuïteit ls functie vn k uniform over x, dt wil zeggen dt er voor elke ɛ > een δ > bestt, zodt ls k k < δ, dn k f(x) k f(x) < ɛ, wrbij δ niet vn x fhngt. Bewijs. Om n te tonen dt de functie g(k, x) = k f(x) continu is, gn we mjorntie gebruiken. Er geldt dt g(k, x) = e i x,ξ (iξ) k (Ff)(ξ)dξ. (9) 2π R We splitsen deze integrl op in een stuk wr ξ < en een stuk wr ξ. We gn er voor nu vn uit dt k in een intervl (k, k ) ligt, met k > en k > k. Het deel vn de integrl met < ξ < kn dn gemjoreerd worden door de integreerbre functie h(ξ) = ξ k (Ff)(ξ) en het deel met ξ kn gemjoreerd worden door de integreerbre functie j(ξ) = ξ k (Ff)(ξ). 27