2 Opgaven bij Hoofdstuk 2

Transcriptie

1 2 Opgven bij Hoofdstuk 2 Opgve 2. De functie f : R 2 R is gedefinieerd door ) Bewijs dt f continu is op R 2 \ {(, )}. f(, y) = 2 y 2 + y 2 ls (, y) (, ) f(, ) =. b) Bewijs dt voor iedere R de functie y f(, y) continu is en dt voor iedere y R de functie f(, y) continu is. c) Schets de niveuverzmelingen vn f voor de functiewrden, 2,, 2,. Hint: substitueer poolcoördinten = r cos θ, y = r sin θ. Welke wrden kn f nnemen? d) Bewijs dt f niet continu is in (, ). e) Bewijs dt desondnks lim lim f(, y) = f(, ) = lim lim f(, y). y y Opgve 2.2 Gegeven is een C 2 functie g : R 2 R en een twee keer differentieerbre functie f : R R. Toon n dt 2 f(g(, y)) = 2 f(g(, y)). y y Wrschuwing: we hebben niet verondersteld dt de tweede orde fgeleide f vn f continu is. Opgve 2.3 We beschouwen de functie f : R 2 R gedefinieerd door f(, ) = en door f(, y) = y 2 + y 2 ls (, y) (, ). () Toon n dt D f(, y) bestt voor lle y R en bepl de functie y D f(, y). (b) Toon n dt D 2 f(, ) bestt voor voor lle R en bepl de functie D 2 f(, ). (c) Toon n dt D 2 D f(, ) en D D 2 f(, ) bestn mr niet gelijk zijn n elkr. Opgve 2.4 Zij U een open deelverzmeling vn R 3. Als f : U R een differentieerbre reëlwrdige functie is op U, dn is de grdiënt grd f : U R 3 vn f een vectorveld in U. Als v : U R 3 een differentieerbr vectorveld is, dn is de divergentie div v : U R vn v gedefinieerd ls Verder definieert (div v)() := 3 i= v i () i. (rot v) = D 2 v 3 D 3 v 2, (rot v) 2 = D 3 v D v 3, (rot v) 3 = D v 2 D 2 v een vectorveld rot v : U R 3 op U, dt de rottie vn v genoemd wordt. 9

2 ) Lt zien dt voor elke C 2 functie f op U geldt: rot(grd f) =. b) Lt zien dt voor elk C 2 vectorveld v op U geldt: div(rot v) =. Opgve 2.5 Zij f(, y) = e y y. Bewijs dt f continu is op R 2, dt voor iedere y de oneigenlijke integrl F (y) := e y y d bestt, mr dt de functie F : [, [ R niet continu is in het punt. Stelling 2.2 is dus niet zonder meer goed voor oneigenlijke integrlen. Opgve 2.6 ) Bereken A (2 + t) 2 d voor t > door differentitie nr t vn A (2 + t) d. b) Bereken de oneigenlijke integrl ( 2 + t) 2 d en verifieer dt deze gelijk is n min de fgeleide nr t vn de oneigenlijke integrl ( 2 + t) d. c) Bereken ( 2 + ) 2 d en ( 2 + ) 3 d. Opgve 2.7 Definieer f : R R door: f() = e 2 (+t 2 )/2 + t 2 dt. ) Bewijs dt f() = π/4. Bewijs door differentitie nr, gevolgd door een substitutie vn vribelen, dt geldt: f () = e 2 /2 e 2 /2 d, >. Definieer g : R R door: ( 2 g() = f() + e d) 2 /2 /2. b) Bewijs dt g = op R. Concludeer dt g() = g() = π/4, voor lle R. c) Bewijs dt voor iedere R geldt dt f() e 2 /2. Bewijs dt f() ls. Bewijs hiermee tenslotte dt Dit is een bekende formule vn Guss. e 2 /2 d = 2π. Opgve 2.8 Zij F () := π/2 log( + cos 2 θ) dθ, >.

3 Bewijs door middel vn differentitie nr en de substitutie t = sin θ/ cos θ dt F () = ( ) t 2 + t 2 dt = π Bereken F (). Hint: schrijf G(u) = F ( u 2 ) en onderzoek G (u). Wt is F ()? Opgve 2.9 Zij f : R 2 R continu. Veronderstel dt f differentieerbr is nr de eerste vribele en dt D f : R 2 R continu is. Definieer F () = ) Bewijs dt F continu differentieerbr is en dt f(, y) dy, R. F () = f(, ) + f(, y) dy, R. b) Bewijs dt c f(c, y) dy = c f(, ) d + c f(, y) dy d. Opgve 2. In de situtie vn Gevolg 2.28, bewijs dt voor iedere l k geldt dt l q(, ξ) l =ξ = f (l+) (ξ) l +. In de nottie vn Voorbeeld 2.29, bereken σ () en σ (). Opgve 2. Bewijs chtereenvolgens π/2 ( e sin t cos( cos t) ) = y ( e sin t sin( cos t) ),, t d π/2 e sin t cos( cos t) dt = sin d sin e y sin t cos(y cos t) dt d = π π/2 2 ϵ e y sin t dt+ lim y y,, e y sin t cos(y cos t) dt, y >, π/2 ϵ sin d = π 2. e y sin t dt ϵ+ π 2 e y sin ϵ, < ϵ < π/2, Commentr: in het ltere hoofdstuk vn het dictt over Fourierreeksen wordt de limiet op een heel ndere mnier uitgerekend.

4 Opgve 2.2 ) Toon n dt de functie (, y) y/( 2 + y 2 ) continu is op [, ] [, 2]. b) Controleer d.m.v. een direkte berekening dt 2 y 2 d dy = + y2 2 y 2 dy d. + y2 Opgve 2.3 Gegeven zijn, b, c, d R met < b en < c < d. ) Toon n dt de functie f : (, y) /( + y) continu is op [, b] [c, d]. b) Controleer d.m.v. een rechtstreekse berekening dt b d c dy d = + y d b c d dy. + y Opgve 2.4 Gegeven is een continue functie f : [, ] R. Toon n dt de integrl f(t) t ( t) y dt convergent is voor, y >, en op dt gebied een continue functie vn (, y) definieert. Opgve 2.5 Gegeven is een continue functie f : [, ] R met f() =. Toon n dt de integrl divergeert. f(t) t dt Opgve 2.6 Toon n de oneigenlijke integrl convergeert. sin t t t dt Opgve 2.7 () Toon n dt de oneigenlijke integrl convergeert. cos 2 d 2

5 (b) Toon n dt de oneigenlijke integrl sin t t dt convergeert. Hint: dit lukt niet met het mjorntie-criterium. Beschouw de integrl β en gebruik prtiële integrtie om de integrl te vergelijken met de integrl in (). sin t t dt Opgve 2.8 We bekijken nogmls de volgende oneigenlijke integrl uit Vrgstuk 2.6: F (t) := 2 d, (t > ). + t Gebruik in de volgende onderdelen direct de behndelde stellingen over oneigenlijke integrtie. () Lt zien dt de integrl convergeert voor iedere t >. (b) Bewijs dt de functie F continu differentieerbr is, met fgeleide F (t) = ( 2 + t) 2 d. (c) Toon n dt voor k N geldt dt (2k)!π ( + 2 d = ) k+ 2 2k+ (k!) 2. Opgve 2.9 () Lt zien dt door f() = e t2 cos(t) dt een continu differentieerbre functie gedefinieerd wordt. (b) Toon n dt f() = 2f () voor lle R. (c) Toon n dt f() = πe 2 /4, voor lle R. Hint: differentieer de functie g() = f()e 2 /4. 3

6 Opgve 2.2 Lt zien dt voor lle multi-indices α, β N n geldt D α β = = { α! ls α = β ls α β. Opgve 2.2 Zij X R n open, en ξ X, v R n zodt voor lle t [, r] geldt ξ + tv X. Zij f : X R een C -functie. () Toon n dt voor t r geldt: d n f(ξ + tv) = dt j= D j f(ξ + tv)v j. (b) Toon met inductie n: ls f C k, dn is d k f(ξ + tv) = k! dtk α =k α! Dα f(ξ + tv) v α, ( t r). Hierbij is de sommtie over multi-indices α N n. Verder is gebruik gemkt vn de multiinde notties: α = n j= α j, D α = D α Dα n n, α! = α! α n!, v α = v α vα n n. Hint: toon eerst met behulp vn inductie n dt de uitdrukking in het linkerlid vn de gevrgde uitdrukking gelijk is n k β =k j= n D (β+ej) f(ξ + tv) v (β+ej). Hierin hebben we de nottie e j voor de j-de stndrd bsisvector gebruikt, opgevt ls multiinde. (c) Veronderstel nu dt het lijnstuk [ξ, ξ + v] bevt is in X en toon de volgende multi-dimensionle formule vn Tylor n. Als f C k+, dn f(ξ + v) = α k α! Dα f(ξ) v α + R k (v), met voor een < τ <. R k (v) = β =k+ β! Dβ f(ξ + τv) v β 4

7 Opgve 2.22 Toon n dt de volgende identiteit geldt, voor lle,..., n R en k N, k! ( n ) k = Hierbij is de multi-inde nottie uit de voorgnde opgve gebruikt. Hint: gebruik de multi-dimensionle formule vn Tylor. Merk op dt de formule gezien kn worden ls generlistie vn de binomilformule. α k α α!. Opgve 2.23 In deze opgve zullen we lten zien dt de integrl sin niet bsoluut convergent is. We doen dit door middel vn een tegensprk. Veronderstel dus dt de integrl wel bsoluut convergent is. () Toon n dt uit de nnme volgt dt de integrl d convergent is. (b) Toon n dt voor lle R > geldt dt (sin ) 2 d R (sin ) 2 d R+π/2 +π/2 (cos ) 2 d. (c) Toon n dt uit de nnme ook volgt dt de integrl (cos ) 2 convergeert. (d) Lt zien dt () en (c) tot een tegensprk leiden. d 5

8 6