Uitgewerkte oefeningen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitgewerkte oefeningen"

Transcriptie

1 Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4 x 4 x 6 x 6 x x. Antwoord D Oefening Gegeven is de volgende gelijkheid: van p q + q? A) 6 B) 0 C) 6 D) x x + 1 = p x qx x. Hoeveel bedraagt de waarde x + 1 Oplossing We herkennen een merkwaardig product en plaatsen beide breuken in het rechterlid op gelijke noemer: 6 6x x = p + 1 x qx x x x x + 1)x x + 1) = p x qx x x x x + 1)x x + 1) = p x + 1 x x + 1 x x qx x x + 1 x + 1 x x = px x + 1) + qx )x + 1) 6 6x = px px + p + qx + qx x 6 6x = p + q)x + p + q )x + p 6 = p + q p + q = 0 6 = p p = 4 q =. Dan is p q + q = 4 ) = 6. 1

2 Oefening Gegeven is de functie fx) = x. Welke functie is dan gelijk aan de uitdrukking ff x))? x x A) 1 + x B) x 5 + x C) x 1 + x x D) 1 + 4x Oplossing Omdat f ) = Antwoord D is f x) = x x) = x 1 + x zodat ff x)) = f = = ) x 1 + x x 1+x x 1+x x 1+x 1+x) x) 1+x = x 1 + x = x 1 + 4x. 1 + x + x + x Oefening 4 Gegeven is de functie fx) = 5 x. Hoeveel bedraagt dan de waarde van de volgende uitdrukking? ) fx + 1) fx + 1) fx + ) A) 10/4 B) 1/4 C) 5/4 D) 4/15 Oplossing Omdat f ) = 5 is ) fx + 1) fx + 1) fx + ) Antwoord D fx) fx) = 5 x+1) 5 x+1) 5 x+)) 5 x = 5 x 1 5 x 1 5 x ) 5 x = 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 5 x = 5 x 1 x 1 5 x 1 x 5 x = 5 x 5 x 5 x = 5 x 5 x 5 x 5 x = 5 x +x 5 x +x = 5 5 = = = 4 15.

3 Oefening 5 Gegeven is de vergelijking: 5 x 1 = x. Welke uitdrukking voor x is correct? ln 5 A) x = ln 5 ln ln 5 B) x = ln ln 5 ln ln 5 C) x = ln 5 ln 5 ln D) x = ln 5 Oplossing We lossen de vergelijking op naar x: Antwoord A 5 x 1 = x ln 5 x 1) = ln x ) x 1) ln 5 = x ln x ln 5 ln 5 = x ln x ln 5 x ln = ln 5 x ln 5 ln ) = ln 5 x = ln 5 ln 5 ln. Oefening 6 De veelterm 6x 4 5x + px + 1qx 6r is deelbaar door de veelterm x 7x x Wat is de waarde van p + q r? A) B) C) 4 D) 5 Oplossing Omdat 6x 4 5x + px + 1qx 6r deelbaar is door x 7x x + 18 geldt: 6x 4 5x + px + 1qx 6r = x 7x x + 18)... x +...) = x 7x x + 18) x r ) = 6x r ) x r ) x r)x 6r zodat 5 = 1 r p = 9 + 7r 1q = 54 + r Op die manier vinden we dat p + q r = = 4. r = 6 p = q = = 5. = 5

4 Oefening 7 We beschouwen de veelterm fx) = x + px + qx + r. Deze veelterm is deelbaar door x 1 en de rest bij deling door x is 8. Geef de waarde van de uitdrukking p r) q. A) 0 B) 10 C) 10 D) 0 Oplossing Omdat fx) deelbaar is door x 1 geldt: fx) = x 1)... x +...) f1) = 0 Anderzijds is de rest bij deling van fx) door x gelijk aan 8 zodat f 1) = 0 + p + q + r = 0 1) fx) = x )... x +... x +...) + 8 f) = 8 De drie vergelijkingen 1), ) en ) geven het stelsel p + q + r = p q + r = 9p + q + r = p q + r = 0 ) p + q + r = 8 ). Verminderen we de eerste vergelijking met de tweede vergelijking dan verkrijgen we q = 4 dus q =. Op die manier wordt het stelsel vereenvoudigd tot p + r = 0 r = p 9p + r = 40. 9p p = 40. r = 5 p = 5. We vinden dat p r) q = 5 5) ) = 0. Antwoord D Meetkunde Oefening 8 Wat is de oppervlakte van het gearceerde gebied in de onderstaande figuur? A) πr B) πr 4 C) πr 6 D) R R Oplossing De grote cirkel heeft als straal R zodat diens oppervlakte gelijk is aan πr. De straal van een kleine cirkel is gelijk aan R/ zodat de oppervlakte van zo n kleine cirkel gelijk is aan πr/) = πr /4. De gearceerde oppervlakte is nu gelijk aan Antwoord B opp. grote cirkel opp. kleine cirkel 4 = πr πr /4 = πr πr / = πr / = πr 4.

5 Oefening 9 Wat is de oppervlakte van de driehoek die zich bevindt tussen de rechten met vergelijkingen y = x +, y = x + 7 en x = 5? A) 81/5 B) 111/5 C) 11/5 D) 01/5 Oplossing We zoeken eerst de coördinaten van de drie hoekpunten van de driehoek. De coördinaat van het snijpunt A van de rechten y = x + en y = x + 7 voldoet aan het stelsel y = x + y = x + y = x + 7 x + 7 = x + ) y = x + 5x = x = /5 y = 1/5. Het snijpunt van de rechten y = x + en x = 5 is gelijk aan B5, 7) en het snijpunt van de rechten y = x + 7 en x = 5 is gelijk aan C5, 4). Tekenen we deze drie rechten in een assenstelsel, dan verkrijgen we de volgende figuur: y = / x + 7/ y B5, 7) 4 A 5, 1 ) 5 1 y = x x 4 C5, 4) 5 6 x = 5 Nemen we in de driehoek ABC als basis het lijnstuk [BC] en hoogte h dan verkrijgen we: basis hoogte opp ABC = = BC h 7 4)) 5 /5) = 11 /5 = = 11 11/5 = 11/5. 5

6 Oefening 10 Een cirkel heeft een straal van 1. Er wordt door een middelloodlijn op de straal een cirkelsegment afgesneden. Dit segment is gearceerd in de figuur. Hoeveel bedraagt de oppervlakte? A) π 4 B) π C) π 4 D) π 8 Oplossing De formule voor de oppervlakte van een cirkelsegment is opp. = 1 r α sin α) waarbij r de straal van de cirkel is en α de middelpuntshoek in radialen). In deze oefening is de straal van de cirkel gelijk aan r = 1. Rest ons nog om de middelpuntshoek α in radialen) te bepalen. De koorde of basis) van het cirkelsegment gaat door het middel van de straal, zodat we in de figuur twee zijden van een rechthoekige driehoek kennen. 1/ α/ 1 In deze rechthoekige driehoek kunnen we de cosinus van de halve middelpuntshoek berekenen: α ) cos = 1/ 1 = 1 waaruit volgt dat α/ = 60 = π/. Op die manier vinden we dat α = π/ zodat opp. = 1 r α sin α) = 1 )) π π sin = π 6 1 = π 4. 6

7 Oefening 11 In volgende figuur rusten twee rechthoekige driehoeken tegen elkaar. Bereken de sinus van de aangegeven hoek α. A) sin α = 4/5 B) sin α = /4 C) sin α = /4 D) sin α = /5 α 4 Oplossing In de figuur duiden we 180 α, de supplementaire hoek van α, aan. Uit de rechthoekige driehoek aan de rechterkant volgt nu dat sin180 α) = 4 x. Wegens de stelling van Pythagoras is + 4 = x zodat x = 5. Op die manier vinden we dat sin180 α) = 4 5. Omdat sin180 α) = sin α verwante hoeken) besluiten we dat sin α = 4/5. Antwoord A α 180 α Oefening 1 We beschouwen een gelijkbenige driehoek. De figuur toont de tophoek β en de basishoeken 15 en α. Welke uitdrukking over de hoeken α en β is correct? x 4 A) sin α sin β 0 B) sin β cos α 0 C) cos α cos β 0 D) cos β sin α 0 β 15 α Oplossing Omdat de driehoek gelijkbenig is, zijn de basishoeken gelijk zodat α = 15. De som van de hoeken van een driehoek is 180 zodat 15 + β + 15 = 180 waaruit volgt dat β = 150. Door de hoeken α = 15 en β = 150 voor te stellen op een goniometrische cirkel, zien we in dat cos β < 0 en cos α > 0 zodat cos α cos β 0 correct is. 7

8 Oefening 1 Gegeven is de volgende figuur van een vierkant en twee cirkels. Hoeveel bedraagt de verhouding r 1 /r en wat kan men zeggen over de grootte van de gearceerde oppervlakten A 1 en A? A) r 1 r = en A 1 > A B) r 1 r = en A 1 > A A C) r 1 r = en A 1 < A r 1 D) r 1 r = en A 1 < A A 1 r Oplossing Passen we de stelling van Pythagoras toe op de aangeduide rechthoekige driehoek in nevenstaande figuur, dan vinden we r r 1 = r + r r 1 = r r 1 r = r 1 r =. r 1 r r Verder kunnen we de oppervlakte A berekenen door de oppervlakte van het vierkant te verminderen met de oppervlakte van de binnenste cirkel: 4 A = r ) πr A = r 1 π ). 4 Omdat π, is A 0, r. Daarnaast kunnnen we de oppervlakte A 1 bepalen als het verschil van de oppervlakte van de buitenste cirkel en de oppervlakte van het vierkant: π ) 4 A 1 = πr1 r ) = πr r ) A 1 = r 1. Gebruiken we opnieuw de schatting π, dan vinden we A 1 0, 6 r. Hieruit volgt dat A 1 > A. Antwoord B 8

9 Oefening 14 We beschouwen een halve cirkel met straal R bovenste figuur). De driehoek die erop getekend wordt, heeft dezelfde oppervlakte als de halve cirkel en heeft hoogte h 1. We vervormen de figuur nu zodat we twee driehoeken hebben die samen dezelfde oppervlakte hebben als de halve cirkel onderste figuur). Deze driehoeken hebben hoogte h. Welke bewering is juist? h 1 A) h < R en h 1 < R B) h < R en h 1 > R C) h > R en h 1 < R D) h > R en h 1 > R h Oplossing In de eerste figuur is de basis van de driehoek R. Uitdrukken dat de oppervlakte van de driehoek gelijk is aan de oppervlakte van de halve cirkel geeft R) h 1 = 1 πr h 1 = πr. In de tweede figuur is de basis van elke driehoek gelijk aan R. Zeggen dat de oppervlakte van de twee driehoeken gelijk is aan de oppervlakte van de halve cirkel leidt tot R h Hieruit volgt dat h 1 = h = πr/ zodat + R h = 1 πr h = πr. h 1 = h = πr > R. Antwoord D Oefening 15 Wat is de straal van de cirkel met vergelijking x 6x + y 4y = 6? A) 6 B) 7 C) 9 D) 6 Oplossing De vergelijking van een cirkel is van de vorm x a) + y b) = r x ax + a + y by + b r = 0 zodat voor de gegeven cirkel x 6x + y 4y 6 = 0 geldt dat 6 = a a = 4 = b b = a + b r = r = 6 waaruit volgt dat r = 49, dus r = 7. Antwoord B 9

10 Oefening 16 De vergelijking x + y 10x 6y + 9 = 0 A) stelt geen cirkel voor B) stelt een cirkel voor met straal C) stelt een cirkel voor met straal 5 D) stelt een cirkel voor met straal 9 Oplossing De vergelijking van een cirkel is van de vorm x a) + y b) = r x ax + a + y by + b r = 0 zodat voor de gegeven cirkel x + y 10x 6y + 9 = 0 geldt dat 10 = a a = 5 6 = b b = a + b r = r = 9 waaruit volgt dat r = 5, dus r = 5. Oefening 17 Beschouw de vergelijking van de cirkel: x + y bx + c = 0. Het punt 5, ) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is. Hoeveel bedraagt de som van de parameters b en c? A) 8 B) 11 C) 1 D) 84 Oplossing Enerzijds behoort het punt P 5, ) tot de cirkel, zodat de coördinaten van P voldoen aan de vergelijking van de cirkel: b + c = 0 10b + c = 4 1). Anderzijds is de vergelijking van een cirkel van de vorm x p) + y q) = x px + p + y qy + q 9 = 0 zodat voor de gegeven cirkel x + y bx + c = 0 geldt dat b = p p = b 0 = q q = 0 p + q 9 = c p + q 9 = c b 9 = c ). De twee vergelijkingen 1) en ) geven het stelsel 10b + c = 4 b 9 = c. De eerste vergelijking herschrijven we als c = 10b 4. Substitutie in de tweede vergelijking geeft de tweedegraadsvergelijking: b 9 = 10b 4 b 10b + 5 = 0 D = 10) = 0 b = 10) ± 0 1 en uit de eerste vergelijking volgt nu c = = 16. De som van de parameters b en c is dus gelijk aan b + c = = 1. = 5 10

11 Oefening 18 Beschouw de vergelijking van de cirkel: y y + x + x = 0. Wat is de coördinaat van het middelpunt? A) 1, ) ) 1 B), C) 1, ) D) 1, ) Oplossing Noemen we a, b) de coördinaat van het middelpunt en r de straal van de cirkel dan is de vergelijking van de vorm x a) + y b) = r x ax + a + y by + b r = 0. Vergelijken met y y + x + x = 0 geeft dan 1 = a a = 1 = b b = waaruit volgt dat de coördinaat van het middelpunt gelijk is aan 1, ). Antwoord A Oefening 19 Gegeven is de vergelijking van een cirkel: ax + ay + bx + cy 6 = 0. De punten 1, 0),, ) en 0, ) liggen op deze cirkel. Welke uitspraak over de coëfficiënten is correct? A) a = 1 B) b = 5 C) c = 1 D) c = 5 Oplossing Omdat de drie punten op de cirkel liggen, voldoen hun coördinaten aan de vergelijking van de cirkel: a 1) + a 0 + b 1) + c 0 6 = 0 a b 6 = 0 a + a ) + b + c ) 6 = 0 9a + 9a + b c 6 = 0 a 0 + a + b 0 + c 6 = 0 9a + c 6 = 0 a b = 6 6a + b c = a + c =. Om dit lineair stelsel op te lossen, kunnen we als volgt te werk gaan. Uit de eerste vergelijking volgt dat b = a 6. Uit de derde vergelijking vinden we c = a. Vervangen in de tweede vergelijking geeft dan 6a + a 6) a) = 10a = 10 zodat a = 1. Uit de eerste en de derde vergelijking volgt nu dat b = 1 6 = 5 en c = 1 = 1. Antwoord B 11

12 Oefening 0 Wat is de top van de parabool met vergelijking y = x 8x + 15? A), 7) B), 11) C), 9) D) 8, 9) Oplossing Schrijven we de vergelijking van de parabool in de gedaante fx) = ax + bx + c dan wordt de top gegeven door T b a, f b )). Hier is a =, b = 8 en c = 15 zodat a en De top van de parabool is dus gelijk aan T, 7). Antwoord A f b a = 8 = b ) = f) = = 7. a Oefening 1 In welk kwadrant ligt de top van de parabool met vergelijking x = 5y + 6y + 7? A) I B) II C) III D) IV Oplossing Schrijven we de vergelijking van de parabool in de gedaante fy) = ay + by + c dan wordt de top gegeven door T f b ), b ). Hier is a = 5/, b = en c = 7/ zodat a a en f b a = 5/ = 5 < 0 b ) = f /5) = 5/ /5) + /5) + 7/ = /5 6/5 + 7/ = 6/15 > 0. a Omdat de x-coördinaat positief is en de y-coördinaat negatief is, ligt de top in het vierde kwadrant. Antwoord D Oefening We beschouwen de volgende tweedegraadsfunctie: yx) = x + ax Men weet dat deze functie slechts één nulpunt heeft. Welke waarden) kan de parameter a hebben? A) a = 0 B) a = en a = C) a = 6 en a = 6 D) a = 1 en a = 1 Oplossing De nulpunten van de functie zijn de snijpunten van de grafiek met de x-as: dan is y = 0 x + ax + 18 = 0. De eis is dus dat de vergelijking x + ax + 18 = 0 precies één oplossing heeft. Dat betekent dat de discriminant gelijk is aan nul, dus D = a 4 18 = 0 a = 144 waaruit volgt dat a = 1 of a = 1. Antwoord D 1

13 Oefening Gegeven is de vergelijking van een parabool: y = ax + ax + 4. Als x = een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? A) / B) / C) / D) / Oplossing De nulpunten van de functie zijn de snijpunten van de grafiek met de x-as: dan is y = 0 ax + ax + 4 = 0. Zeggen dat x = een nulpunt is, betekent dat a + a + 4 = 0, dus a = 4/6 = /. Antwoord A Oefening 4 De verspreiding van een virus volgt een mathematische functie. Het aantal infecties in functie van de tijd in dagen wordt gegeven als: yt) = at + bt + a. Na dagen zijn er geïnfecteerde mensen, na dagen zijn er dat 7. Na hoeveel dagen zullen er 1 geïnfecteerden zijn? A) 4 dagen B) 5 dagen C) 6 dagen D) 7 dagen Oplossing Na t dagen zijn er yt) = at + bt + a geïnfecteerde mensen. De gegevens laten zich dus vertalens als y) = y) = 7 a + b + a = a + b + a = 7 5a + b = 10a + b = 7. Om dit lineair stelsel op te lossen, kunnen we als volgt te werk gaan: verminderen we de tweede vergelijking met het dubbele van de eerste vergelijking dan verkrijgen we 10a+b 5a+b) = 7. Hieruit volgt dat b = 1. Invullen in de eerste vergelijking geeft dan a = 1. Op die manier vinden we dat yt) = at + bt + a = t t + 1. We zoeken het tijdstip t waarvoor het aantal geïnfecteerde mensen gelijk is aan 1, dus yt) = 1 t t + 1 = 1 t t 0 = 0 D = 1) 4 1 0) = 11 t = 1) ± 11 1 t = 6 of t = 5. 1

14 Oefening 5 Gegeven zijn drie functies: parabool: y = x + x rechte 1: y = x rechte : y = x + 9 Zoek alle snijpunten of raakpunten van deze twee rechten met de parabool. Hoeveel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? A) 5/ B) 0 C) 7/ D) 1/ Oplossing We bepalen de gemeenschappelijke punten van de parabool en rechte 1: x + x = x x + 4x = 0 x x + 4) = 0 x = 0 of x + 4 = 0 x = 0 of x =. Vervolgens zoeken we de gemeeschappelijke punten van de parabool en rechte : x + x = x x + 18x = 6x + 18x + 1x = 0 9x + 6x 1 = 0 D = 6 4 9) 1) = 0 x = 6 ± 0 9) = 6 18 = 1. De som van de x-coördinaten van deze gemeenschappelijke punten is dus / = 7/. Oefening 6 Eerste bewering: De vergelijking y 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top, ). Tweede bewering: De vergelijking y + x 6y + 4x + 4 = 0 stelt een parabool voor met top, ). A) Beide beweringen zijn juist. B) Alleen de eerste bewering is juist. C) Alleen de tweede bewering is juist. D) Beide beweringen zijn onjuist. Oplossing We controleren de eerste bewering. De vergelijking y 6y + 1 = 4x kan in de vorm x = ay + by + c worden geschreven en stelt dus een parabool voor. De top wordt gegeven door T f b ), b ). Hier is a a a = 1/4, b = 6/4 = / en c = 1/4 zodat en f b a = / 1/4 = b ) = f) = 1 a =. De coördinaat van de top is dus gelijk aan, ). We besluiten dat de eerste bewering juist is. Vervolgens gaan we de tweede bewering na. De vergelijking y + x 6y + 4x + 4 = 0 kan niet in de vorm x = ay + by + c of y = ax + bx + c geschreven worden en stelt dus geen parabool voor. De tweede bewering is onjuist. Antwoord B 14

15 Oefening 7 We beschouwen de vergelijking van een cirkel en van een parabool: Welke van de volgende beweringen is verkeerd? A) De top van de parabool ligt op de x-as. B) Het middelpunt van de cirkel ligt op 1, ). C) De straal van de cirkel is 16. D) De parabool heeft twee snijpunten met de cirkel. y 4y + x x 11 = 0 en y = x x + 1. Oplossing We gaan op zoek naar een bewering die verkeerd is. De top van de parabool wordt gegeven door T b a, f b )). Hier is a = 1, b = en c = 1 zodat a en f b a = 1 = 1 b ) = f1) = = 0. a De coördinaat van de top is dus gelijk aan 1, 0). Omdat de y-coördinaat van de top gelijk aan nul is, ligt de top van de parabool op de x-as. We besluiten dat bewering A) juist is. Noemen we a, b) de coördinaat van het middelpunt van de cirkel en r de straal van de cirkel dan is de vergelijking van de vorm x a) + y b) = r x ax + a + y by + b r = 0. Vergelijken met y 4y + x x 11 = 0 geeft dan 4 = b = a a + b r = 11 b = a = 1 r = 4. Dus de coördinaat van het middelpunt van de cirkel is gelijk aan 1, ) en de straal van de cirkel is 4. Dus bewering B) is juist maar bewerking C) is verkeerd. 15

16 Oefening 8 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: y = x + ax + 9x. Men weet dat deze functie slechts één nulpunt heeft. Welke waarden kan de parameter a aannemen? A) 6 > a > 6 B) 6 < a < 6 C) 6 < a < 6 D) a = en a = Oplossing De nulpunten van de functie zijn de snijpunten van de grafiek met de x-as: dan is y = 0 x + ax + 9x = 0 xx + ax + 9) = 0 x = 0 of x + ax + 9 = 0. De eis is dus dat de vergelijking x + ax + 9x = 0 precies één oplossing heeft. Omdat x = 0 een oplossing is, mag de tweedegraadsvergelijking x +ax+9 = 0 geen oplossingen hebben. Met andere woorden: de discriminant van x + ax + 9 = 0 moet negatief zijn: Antwoord B D < 0 a < 0 a < 6 6 < a < 6. Oefening 9 In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit y) en het gemiddelde aantal uren slaap x) van deze personen. Dit verband wordt gegeven door de volgende best passende functie: y = 100x 1500x Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst? A) 6, 5 uur B) 7 uur C) 7, 5 uur D) 8 uur Oplossing De functie is van de gedaante y = ax + bx + c met a > 0 dus de grafiek van deze functie is een dalparabool. De mortaliteit is dus het kleinst in de top van deze parabool. De x-coördinaat van de top is gelijk aan b a = = 15 = 7, 5. 16

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat. Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7 Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Les 1 Oppervlakte driehoeken. Opl. Les 2 Tangens, sinus en cosinus. Aantekening HAVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud

Les 1 Oppervlakte driehoeken. Opl. Les 2 Tangens, sinus en cosinus. Aantekening HAVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud antekening HVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud Les 1 Oppervlakte driehoeken Oppervlakte driehoek = ½ basis hoogte Oppervlakte parallellogram = basis hoogte Oppervlakte trapezium = ½ (basis + top)

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo II

Eindexamen wiskunde B pilot havo II Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Mosselen maximumscore L = 9 invullen in de gegeven formule geeft C 5 De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) 5 = 8 ml per dag Dit is meer

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij

Nadere informatie

De kandidaten: jullie taak is het maken van de opdrachten, opzoeken van theorie en het zoeken naar de mol.

De kandidaten: jullie taak is het maken van de opdrachten, opzoeken van theorie en het zoeken naar de mol. Dossieropdracht 4 Wie is de mol? Opdracht Je gaat het spel Wie is de mol? spelen. Dit doe je in een groep van circa acht personen, die wordt gemaakt door de docent. In je groep moet je acht vragen beantwoorden

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1997-1998: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007 MINISTERIE VAN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXAMENUREAU UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 007 VAK : WISKUNE ATUM : TIJ : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2013

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2013 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 2013 VK : WISKUNE TUM : WOENSG 03 JULI 2013 TIJ : 09.45 11.25 UUR (MULO III kandidaten) 09.45

Nadere informatie

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1 Vraag 1 Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt b 6= 1 en a = b2 b 1 b 6= 1 en a = b b 1 b 6= 1 en a = b 6= 1 en a = b b 1 b 2

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? e + ex 4 (ex) 4 e - x

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab

Nadere informatie