Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Transcriptie

1 Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm h.g.j.pijls@uv.nl Onderzoek De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten Door drie gegeven punten in het reële vlk niet op één lijn gn oneindig veel prolen elk met een eigen srichting. Jos de Wit een vroegere colleg vn Jn vn de Crts op de KMA in Bred vroeg zich f wt de kromme is die gevormd wordt door de toppen vn die prolen. Henk Pijls en Jn vn de Crts zochten het uit. Voor Jos de Wit Wt is de kromme die gevormd wordt door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten in het reële vlk? We zullen lten zien dt het een lgerïsche kromme is vn grd 7 met drie symptoten. Die symptoten zijn evenwijdig n de zijden vn de driehoek die gevormd wordt door de gegeven punten en elke symptoot verdeelt de ndere twee driehoekszijden in de verhouding : (zie de Figuren en ). Ter oriënttie ekijken we eerst een ijzonder gevl voor de ligging vn de drie gegeven punten we zullen ze verder de sispunten noemen omdt drij de erekeningen overzichtelijk en eenvoudig zijn. Stel dt ( 00 ) ( 0 ) en ( 0 ) de sispunten zijn. Men verifieert gemkkelijk dt de volgende vergelijking met t ls prmeter de prolenundel eschrijft door die sispunten: ( x+ ty) -x- ty = 0. () Voor elke keuze vn t definieert () nmelijk een kegelsnede die door die sispunten gt. Voor een vst gekozen t ongelijk n 0 of heeft de kegelsnede precies één punt gemeen met elke lijn x+ ty = c en dt is lleen mogelijk ls de kegelsnede een prool is. De srichting vn de prool is dn evenwijdig n de lijn x+ ty = 0. Voor t = 0 ontrdt de prool in het lijnenpr x - x = 0 voor t = in het lijnenpr ( x+ y) -( x+ y) = 0 en voor t = (dt wil zeggen /t = 0; deel vergelijking () door t ) in het lijnenpr y - y = 0 Omgekeerd mkt ook elke prool door de drie sispunten deel uit vn die prolenundel. In de top vn een niet-ontrde prool stt de rklijn loodrecht op de s. De top ( xt ( ) yt ()) vn een niet-ontrde prool uit de undel kn drom ls volgt worden erekend. Definieer Fxy ( ) = ( x+ ty) -x-t y. De grdiënt F ( F d = x F y ) in een punt ( xy ) vn de prool Fxy ( ) = 0 stt loodrecht op de rklijn dus in de top is de grdiënt een vector die evenwijdig is n de srichting. Angezien en x Fxy ( ) = ( x+ ty) - y Fxy ( ) = t( x+ ty) - t geldt in de top xfxy ( ): yf( xy ) = (- t): dus ( x+ ty) - =- t( tx ( + ty) -t ) hetgeen kn worden vereenvoudigd tot x ty + t + = ( + t ). () Schrijf vergelijking () vn de prool ls ( x+ ty) -( x+ ty) -( t - t) y = 0. Sustitutie vn () geeft dn een vergelijking wruit y ls functie vn t kn worden opgelost en vervolgens kn weer met ehulp vn () ook x ls functie vn t worden gevonden. Het resultt is dt voor de top ( xt ( ) yt ()) vn de prool geldt dt Pt () Rt () xt () = yt ( ) = () Qt () Qt () wrij Pt () = tt ( + )( t + t-) Qt () = 4tt ( - )( t + ) Rt () = ( t + )( t -t -). De kromme C die gevormd wordt door lle toppen uit de genoemde prolenundel heeft dus de rtionle prmetristie (). Snijden vn C met een willekeurige lijn x+ y+ c = 0 geeft de vergelijking Pt () + Rt () + cqt () = 0. Voor! 0 is dit een vergelijking vn grd 7 en voor = 0 vn grd 6. In het lgemeen is een lgerïsche kromme in het vlk de nulpuntenverzmeling vn een polynoomvergelijking in x en y. Omdt ewezen kn worden dt elke kromme met een rtionle prmetristie een lgerïsche kromme is (zie lter voor

2 40 De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 Jn vn de Crts Henk Pijls een toelichting in dit ijzondere gevl) volgt hieruit dt C een lgerïsche kromme is vn grd 7. De symptoten De prmetristie () stelt ons in stt C te tekenen (zie Figuur ) en enige meetkundige eigenschppen vn C f te leiden. Allereerst geldt voor t = 0 dt P(0) = Q(0) = 0 en R(0) = - mr lim x(t) = lim t"0 P(t) t " 0 Q(t) = 4 lim y(t) = t"0 dus de lijn x = 4 is een verticle symptoot vn C ehorende ij t " 0. Verder geldt voor t "! lim x(t) = t "! R(t) = 4 Q t "! (t) lim y(t) = lim t "! dus de lijn y = 4 is een horizontle symptoot vn C. Voor t ongelijk n 0 of geldt x(t) + y(t) = (x(t) + ty(t)) - (t - ) y(t) R(t) + t = ( + t) 4t(t + ) (4) zodt wegens R() = - 4 lim(x(t) + y(t)) = + 4 = 4. t" Er geldt ovendien dt limt " x(t) = limt " y(t) = dus de lijn x + y = 4 is een symptoot vn C voor t ". De prmeterwrde t = - geeft de oorsprong ls punt vn C. Het unieke reële nulpunt t0 vn t - t - geeft een tweede snijpunt vn C met de lijn y = 0. Vergelijking (4) geeft dn wegens R(t0) = 0 en t0 = t0 + + t0 + t0 + = = x(t0) + y(t0) = ( + t0) ( + t0) dus dt snijpunt ligt ook op x + y = met ndere woorden het is het punt ( 0). Op grond vn symmetrie ligt dus ook (0 ) op C dus C gt door lle drie de sispunten vn de prolenundel. De snijpunten vn C met de symptoot x = 4 voldoen n 4P(t) = Q(t) (zie ()) dus n deling door 4t (t + ) (t + t - ) = (t - ) ( + t). Deze vergelijking heeft twee reële wortels nmelijk t = 0 (het punt op oneindig vn de symptoot) en t De ijehorende y-wrde is y Even- Figuur Een collectie vn prolen door de sispunten (0 0) ( 0) en (0 ). De toppen vn de prolen zijn gemrkeerd evenls de drie symptoten vn de toppenkromme C. Ook C zelf is getekend (in rood). Twee vn de drie symptoten snijden C. Die snijpunten zijn gemrkeerd. zo heeft C precies één eindig reëel snijpunt met de symptoot y = 4. De ijehorende x-wrde is x Een soortgelijke erekening lt zien dt C geen eindige reële snijpunten heeft met de symptoot x + y = 4 (zie ook Figuur ). C is een lgerïsche kromme Rest nog het ewijs dt C een lgerïsche kromme is. Schrijf hiertoe de rtionle prmetristie () ls P(t) - xq(t) = 0 R(t) - yq(t) = 0. Uitwerken vn de hkjes geeft in de linkerleden polynomen in t met constnten of lineire uitdrukkingen in x respectievelijk y ls coëfficiënten. Bij elk punt (x0 y0) vn C hoort een t0 zó dt n sustitutie vn t0 x0 en y 0 n de eide vergelijkingen voldn is. Dt etekent dt de eide polynomen in t voor het pr (x0 y0) deelr zijn door een fctor t - t0. Nodig en voldoende opdt twee polynomen een niet-constnte gemeenschppelijke fctor heen is dt hun resultnte nul is (zie ijvooreeld Vn der Werden [ p. 0 e.v.] of zoek op Wikipedi onder resultnt polynomil). De resultnte vn de eide genoemde poly nomen kn geschreven worden ls een determinnt wrvn de elementen coëfficiënten vn de polynomen zijn dt wil dus zeggen getllen of lineire uitdrukkingen in x of y. Die determinnt geeft n ont-

3 Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 4 prool stt de rklijn loodrecht op de srichting. Vi de grdiënt vn het linkerlid vn (5) leidt dit tot de volgende vergelijking wrn lle toppen (x y) met hun ijehorende prmeterwrde t moeten voldoen: - 6(x + (t - ) y)@ = (t - ) 7(t - ) (x + (t - ) y) - (t - ) A. Deze vergelijking kn worden herschreven ls x + (t - ) y = (t - ) (t - ) = A(t) ( + (t - ) ) (6) wrin A(t) = (t - ) (t - ). ( + (t - ) ) Merk op dt A(t) voor lle reële t gedefinieerd is en dt A() = A(- ) = 0. Een lgerïsche kromme vn grd 7 De toppenkromme dt wil zeggen de kromme vn de toppen vn lle prolen uit de prolenundel (5) noemen we weer C. Vi sustitutie vn (6) in de vergelijking (5) vn de prool kunnen we de y-coördint vn zo n top (x(t) y(t)) ls functie vn t schrijven: y(t) = (A(t) - ). (t - ) (7) Met ehulp vn (6) vinden we vervolgens ook x(t) ls functie vn t: t- y(t) t- = A(t) - (A(t) - ). t - x(t) = A(t) - Figuur Een collectie vn prolen door de drie vste punten (- 0) ( 0) en ( ) wrin en. 54. De toppen zijn gemrkeerd en de drie symptoten zijn getekend. Ook de kromme C is getekend (in rood). wikkeling een polynoom H(x y) in x en y en de vergelijking H(x y) = 0 is een poly noomvergelijking in x en y vn C. Inderdd is C dus een lgerïsche kromme. Het lgemene gevl In het lgemene gevl vn drie willekeurige sispunten geen drie op één lijn kunnen we het coördintenstelsel zo kiezen dt de sispunten gegeven worden door (- 0) ( 0) en ( ) met! 0 (met deze keuze ehouden de formules veel symmetrie). Men verifieert gemkkelijk dt de prolenundel door die sispunten gegeven wordt door de vergelijking (x + (t - ) y) - (t - ) y = (5) met t ls prmeter. Voor t = - ontrdt de prool in het lijnenpr (x - ( + ) y) = dt wil zeggen in de lijn door (- 0) en ( ) en de drn evenwijdige lijn door ( 0). De prmeterwrde t = geeft het lijnenpr (x + ( - ) y) = dt wil zeggen de lijn door ( 0) en ( ) en de drn evenwijdige lijn door (- 0) en t = geeft het lijnenpr y - y = 0 (deel (5) door t en lt /t " 0 ). De srichting vn een niet-ontrde prool uit de undel is evenwijdig n de lijn x + (t - ) y = 0. In de top (x y) vn de (8) De vergelijkingen (7) en (8) geven n uitwerking een rtionle prmetristie vn C vn de vorm x(t) = P(t) Q(t) y(t) = R(t) Q(t) wrin P(t) Q(t) en R(t) polynomen zijn in t respectievelijk vn de grd 7 6 en 6 nmelijk P(t) = t7 + lgere-ordetermen (9) Q(t) = 4(t - ) ( + (t - ) ) = 4t6 + lgere-ordetermen R(t) = t6 + lgere-ordetermen. (0) () Net ls in het eerder ehndelde ijzondere gevl volgt hieruit dt C een lgerïsche kromme is. Snijden vn C met een willekeurige lijn x + y + c = 0 geeft een polynoomvergelijking vn grd 7 ls! 0 en vn grd 6 ls = 0 en dus is C een lgerïsche kromme vn grd 7.

4 4 NAW 5/9 nr. mrt 08 De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten Jn vn de Crts Henk Pijls ( ) ( ) (- 0) ( 0) (- 0) ( 0) Figuur De zevendegrds kromme C met sispunten (- 0 ) ( 0 ) en ( ) en de drie symptoten voor = 9 en = 4. De sispuntendriehoek is grijs gekleurd. Figuur 4 De zevendegrds kromme C met sispunten (- 0 ) ( 0 ) en ( ) en de drie symptoten voor = en = 4. De symptoten vn de toppenkromme We eplen nu de symptoten vn C. Ze zullen optreden voor t " en voor t "! omdt in die gevllen de prool ontrdt in een lijnenpr. Uit () en (0) volgt lim yt () = 4 t "! 4 dus de lijn y = is een horizontle symptoot vn C (merk hierij op dt limt "! xt ( ) = ). Die symptoot is evenwijdig n de lijn y = 0 door de sispunten (- 0 ) en ( 0 ) en ze verdeelt de eide ndere zijden vn de sispuntendriehoek in de verhouding. : Voor t!! geldt x() t + ( -) yt () = x() t + ( t-yt ) ()-( t- ) yt () A() t t = - + ( At ( ) - ) en dus geldt limt " ( x( t) + ( - ) yt ( )) = wegens A( ) = 0. Omdt limt " xt ( ) = volgt hieruit dt de lijn x + ( - y ) = een symptoot is vn C voor t ". Deze symptoot is evenwijdig n de lijn x + ( - y ) = door de sispunten ( 0 ) en ( ) en ze verdeelt de ndere zijden vn de sispuntendriehoek in de verhouding. : Evenzo geldt voor t!! dt x() t -( + ) yt () = x() t + ( t-yt ) ()-( t+ ) yt () A() t t = - - ( At ( ) - ) en dus geldt limt "- ( x( t) -( + ) yt ( )) = - wegens A( - ) = 0. Omdt limt "- xt ( ) = volgt hieruit dt de lijn x -( - y ) = - een symptoot is vn C voor t "-. Deze symptoot is evenwijdig n de lijn x -( + y ) =- door de sispunten (- 0 ) en ( ) en ze verdeelt de ndere zijden vn de sispuntendriehoek in de verhouding. : C gt door de drie sispunten We lten nu zien dt C door de drie sispunten (- 0 ) ( 0 ) en ( ) vn de prolenundel gt. Lt t een reële oplossing zijn vn At () =- dt wil zeggen vn de derdegrdsvergelijking ( t-)( t - ) + ( + ( t- )) = 0. () Dn geldt yt ( ) = 0 wegens (7) en xt ( ) =- wegens (8) dus C gt door het sispunt (- 0 ). Evenzo lt t een reële oplossing zijn vn At () = dt wil zeggen vn de derdegrdsvergelijking ( t-)( t -)- ( + ( t- )) = 0. () Dn geldt yt ( ) = 0 wegens (7) en xt ( ) = wegens (8) dus C gt door het sispunt ( 0. ) Lt t een reële oplossing zijn vn At () = t dt wil zeggen vn de derdegrdsvergelijking ( t-)( t -)- t( + ( t- )) = 0. (4) Dn geldt yt ( ) = wegens (7) en xt ( ) wegens (8) dus C gt door het sispunt (. ) Zie Figuur voor een illustrtie vn het voorgnde. = Vooreelden vn lussen in C De vergelijkingen At () =- At () = en At () = t dt wil zeggen () () en (4) eplen het gedrg vn C in de drie sispunten. Het zijn lle drie derdegrdsvergelijkingen dus ze heen elk minstens één reële oplossing. In de situtie vn Figuur en Figuur zijn lle ndere oplossingen niet-reëel mr voor ndere keuzes vn en hoeft dit niet het gevl te zijn. In Figuur met = 9 en = 4 is er één tk vn C die niet lleen door ( 0 ) gt mr ook door (- 0 ). C mkt dr een lus en C gt dus drie ml door dt sispunt. In Figuur 4 met = en = 4 gt diezelfde tk vn C ook met een lus door het derde sispunt (. ) Merk op dt er in dit gevl rechten zijn die C in 7 verschillende reële punten snijden. Dt ltste is ( ) ( ) (- 0) ( 0) (- 0) ( 0) Figuur 5 De zevendegrds kromme C met sispunten (- 0 ) ( 0 ) en ( ) en de drie symptoten voor = 0 en = 04. Figuur 6 De zevendegrds kromme C met sispunten (- 0 ) ( 0 ) en ( ) en de drie symptoten voor = 8 en = 04.

5 Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 4 ook het gevl in Figuur 5 wrin = 0 en = 04 gekozen is en wrin er lussen zijn in de sispunten (- 0 ) en ( 0 ) mr niet in het sispunt (. ) In Figuur 6 wrin we = 4 en = 04 heen gekozen is er lleen een lus in het sispunt (. ) Een lus in het sispunt ( ) met! 0 treedt op dn en slechts dn ls vergelijking (4) drie verschillende reële wortels heeft. Schrijf die vergelijking ls ( t-)( t - t+ ) + t = 0. (5) Definieer t t g (t) Criteri voor lussen in de toppenkromme Het is welekend dt een derdegrdsvergelijking t - c t + c t- c = 0 met reële coëfficiënten c c c drie verschillende reële wortels t t t heeft dn en slechts dn ls de discriminnt D = ( c -cc) -4( c -c )( cc - c ) =- 7 ( t -t ) ( t -t ) ( t - t ) negtief is (zie ijvooreeld de presenttieslides []). De derdegrdsvergelijking () dt wil zeggen At () =- eplt het gedrg vn C in het sispunt (- 0 ). Lt D ( ) de ijehorende discriminnt zijn. De derdegrdsvergelijking () dt wil zeggen At () = eplt het gedrg vn C in het sispunt ( 0. ) Lt D ( ) de ijehorende discriminnt zijn. De derdegrdsvergelijking (4) dt wil zeggen At () = t eplt het gedrg vn C in het sispunt (. ) Lt D ( ) de ijehorende discriminnt zijn. De ongelijkheden D ( ) < 0 D ( ) < 0 en D ( ) < 0 definiëren geieden in het -vlk wrvoor C een lus mkt in respectievelijk de sispunten (- 0 ) ( 0 ) en (. ) Ze kunnen ijvooreeld met ehulp vn computer lger worden geplot. Op die mnier heen we de ( -cominties ) gevonden voor Figuur 4 5 en 6. In ten hoogste twee sispunten een lus Figuur 4 en 5 lten zien dt het mogelijk is dt de toppenkromme C tegelijkertijd een lus ezit in twee vn de drie sispunten. We zullen nu ewijzen dt C niet in lle drie de sispunten een lus kn heen. ft () = ( t-)( t - t+ ) + t. De fgeleide is f'( t) = t - 6t+ ( + + ) met ( -)- 4 ls discriminnt. Voor - < < is de discriminnt negtief dus dn is f' () t > 0 voor lle t en ijgevolg is f dn een stijgende functie. Vergelijking (5) heeft voor - < < dus ltijd precies één oplossing. Dt etekent dt er voor - < < geen lus in het sispunt ( ) kn zijn. We tonen nu n dt er voor $ en! 0 geen lus in het sispunt ( 0 ) kn optreden. Zo n lus treedt op dn en slechts dn ls vergelijking () drie verschillende reële wortels heeft. Schrijf die vergelijking ls ( t-)( t - t+ ( - )) =. (6) Definieer g () t = ( t-)( t - t+ ( - )). De fgeleide is g' () t = t -( 4+ t ) + ( 4 - ) met 4( -)( - 7) ls discriminnt. Voor < < 7 is de discriminnt negtief dus dn geldt g ' () t > 0 voor lle t. Bijgevolg is g () t dn een stijgende functie en heeft vergelijking (6) precies één oplossing. Dit geldt ook voor = wnt g () t = ( t - ). Dt lles etekent dt er voor # < 7 geen lus is in het sispunt ( 0. ) Voor $ 7 is de situtie ls volgt. Door g () t te schrijven in de vorm g () t = ( t-)(( t- ) + ( - )) zien we dt t = dn het enige nulpunt vn g () t is. Dn geldt g () t < 0 voor t < en g () t > 0 voor t > dus voor lle oplossingen vn (6) moet t > gelden. De nulpunten vn Figuur 7 De grfiek vn g () t voor = 0. de fgeleide g ' () t zijn t = _ +! ( - )( - 7 ) i en een eenvoudige erekening toont dt t en t eide kleiner dn zijn ls $ 7. Voor $ 7 en t $ is g '() t dus positief en ijgevolg is g () t dr een stijgende functie zodt vergelijking (6) precies één oplossing heeft. Zie Figuur 7. Conclusie: voor $ heeft (6) precies één oplossing en dn treedt er dus geen lus op in het sispunt ( 0. ) Op grond vn symmetrie treedt er dn voor #- geen lus op in het sispunt (- 0 ). Comintie vn de ovenstnde resultten leert dt er geen toppenkromme C estt met een lus in elk vn de drie sispunten. s Nschrift Met het ovenstnde is de vrg vn Jos de Wit nr de kromme die gevormd wordt door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten entwoord. Voor ons ws het verrssend om te ontdekken hoe zo n op het eerste gezicht eenvoudige vrg tot zulke mooie en etrekkelijk gecompliceerde wiskunde kn leiden. Er lijven ntuurlijk nog wel vervolgvrgen over ijvooreeld nr voorwrden wronder de symptoten reële snijpunten heen met de kromme. Of de vrg nr eventueel nwezige reële duelpunten vn de kromme uiten de sispunten (zie voor vooreelden hiervn Figuur 4 5 en 6). Voor een verwnte mr veel eenvoudiger te entwoorden vrg zie het rtikel Prolenprde vn Jos de Wit en Jn vn de Crts in Euclides []. Referenties Jn vn de Crts De meetkunde vn de derdegrdsvergelijking presenttieslides vn een lezing op feruri stff.fnwi.uv.nl/j.vndecrts/cuicscreen.pdf. B. L. vn der Werden Alger I Springer 97 Jos de Wit en Jn vn de Crts Prolenprde Euclides 9() (septemer 07) 9 0 zie ook DeWitdvC.pdf.