HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN"

Transcriptie

1 I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo zl men in de studie vn de eweging vn de rde in het heell de rde voorstellen door een punt met ls mss de mss vn de rde. Een stoffelijk lichm (meestl spreekt men verkort vn een lichm) is een smenstel vn stoffelijke punten. De definitie vn krcht volgt rechtstreeks uit de eerste ewegingswet vn Newton die luidt : "Als er geen krcht op een lichm werkt, eweegt het lichm zich voort in een rechte lijn met een constnte snelheid v." (deze constnte snelheid heeft voor ouwwerken op rde de wrde v = 0). Met ndere woorden : een lichm kn uit zichzelf zijn toestnd vn rust of eweging niet vernderen. Drvoor is een uitwendige oorzk nodig. In de fysic wordt een krcht derhlve gedefinieerd ls elke uitwendige oorzk die de rust- of ewegingstoestnd vn een lichm wijzigt. Een krcht kn echter slechts wrgenomen worden door hr uitwerking. Deze uitwerking kn een ewegingstoestndsverndering zijn (dynmisch), of een vormverndering (sttisch) vn het lichm wrop de krcht werkt oorstelling vn krcht Een krcht heeft een eplde grootte en werkt op een lichm volgens een eplde richting en zin. Een krcht is dus een vectoriële grootheid, een grootheid die gekenmerkt wordt door zowel een grootte, een richting en een zin. Een krcht wordt ls vector grfisch voorgesteld door een pijl, en ngeduid door een hoofdletter met een pijltje eroven : F. Wnneer verder gesproken wordt over de krcht F edoelen dn we evengoed de krcht ls hr vectoriële voorstelling. F u l

2 I - 2 De richting vn de krcht wordt gegeven door de drger of werklijn l. De zin wordt ngegeven door de punt vn de pijl op de werklijn of door de nottie, d.w.z. vn nr. De grootte vn de krcht wordt ngegeven ofwel (grfisch) door de lengte vn de pijl, dus de lengte vn het lijnstuk, op een eplde schl getekend, ofwel (nlytisch) door de numerieke wrde vn de grootte te noteren ij een (niet op schl getekende) pijl. Om een krcht ls vector te kunnen uitzetten wordt geruik gemkt vn de éénheidsvector u. Dit is een vector die ls grootte heeft de eenheid vn krcht, en verder dezelfde kenmerken heeft ls de vector F zelf, te weten dezelfde richting, en dezelfde (of tegengestelde) zin. Druit volgt : F = F. u. F duidt dn het ntl ml n dt u op de werklijn moet uitgezet worden om de vector F te ekomen. F wordt het kengetl vn F genoemd. De krcht heeft een grootte +F wnneer F en u dezelfde zin heen; de krcht heeft een grootte -F wnneer F en u een tegengestelde zin heen. Andere vooreelden vn vectoriële grootheden zijn : verpltsing, snelheid, versnelling; deze grootheden ezitten immers een grootte, richting en zin. Tegenover vectoriële grootheden stn sclire grootheden. Een sclr wordt enkel en lleen gekenmerkt door zijn grootte, v tempertuur, volume, mss. Om prctische en didctische redenen zullen in onderhvige cursus krchten F lleen dn ls vectoren F, dus met het pijltje oven het kengetl, worden voorgesteld in zoverre dit nodig is om verwrring te voorkomen. In die gevllen wr uit de context duidelijk is dt met de krcht F wel degelijk de vector F wordt edoeld, zl het pijltje oven F kunnen weggelten worden ernd tussen krcht en versnelling Hiervoor seren we ons op de tweede ewegingswet vn Newton : "De versnelling, die een lichm ondergt, is recht evenredig met de ngrijpende krcht, en geschiedt volgens de richting en zin vn de krcht." Hieruit volgt dt, wnneer een krcht met grootte F n een lichm met mss m een versnelling geeft, volgende etrekking tussen deze grootheden estt : F = m. (1.1) De mss m vn een lichm geen vectoriële grootheid, mr een sclire grootheid. Wiskundig gezien is m in deze vergelijking een evenredigheidsfctor, een richtingscoëfficiënt. Fysisch gezien is de mss m een hoeveelheid mterie. De mss is onfhnkelijk vn de plts wr het lichm zich evindt. In vectoriële voorstelling wordt de vergelijking (1.1) : F = m. (1.2)

3 I - 3 De voornmste krcht wrmee we rekening dienen te houden is de zwrtekrcht. Dit is de krcht die door de rde op lle lichmen wordt uitgeoefend, dus de krcht wrmee lle lichmen door de rde worden ngetrokken. Een lichm met mss m ekomt dus een zwrtekrchtsversnelling g tengevolge vn de zwrtekrcht G, wrvn de grootte gegeven wordt door : G = m.g (1.5) G noemt men het gewicht vn dt lichm, en voor deze vectoriële krcht geldt dn ook : G = m. g (1.6) Eenheid vn krcht De eenheid vn krcht volgt uit de eenheid vn mss, de eenheid vn lengte en de eenheid vn tijd. De eenheid vn krcht geeft n een lichm met een mss vn 1 kg een versnelling vn 1 m/s². De eenheid vn krcht wordt Newton genoemd en wordt ngeduid door N. Dus : 1 N = 1 kg. 1 m 2 1 s = 1 kg m/s² (1.7) eelvouden vn N zijn : kilonewton kn = 1000 N, en megnewton MN = N. Wnneer dit wordt toegepst op het gewicht vn een lichm, moet ermee rekening gehouden worden dt de zwrtekrchtsversnelling g vrieert volgens de plts op rde. Angezien de rde n de polen lichtjes is fgeplt, is de ntrekkingskrcht die de rde op een lichm uitoefent n de polen immers iets groter dn n de evenr. Deze verschillen zijn klein; de wrde vn g edrgt : n de evenr : 9,79 m/s² n de polen : 9,83 m/s² in onze streken : 9,81 m/s² Hieruit volgt dt ij een wrde vn g = 9,81 m/s² een mss vn 1 kg door de rde wordt ngetrokken met een krcht vn 9,81 N. Immers : G = m.g = 1 kg x 9,81 m/s² = 9,81 kg m/s² = 9,81 N. (1.8) Als voldoende nuwkeurig wordt in de ouwwereld deze wrde vn 9,81 N gercht op 10 N, zodt prktisch gezien wordt ngenomen dt een mss vn 1 kg wordt ngetrokken door een krcht vn 10 N.

4 I ststellingen 1) Twee krchten met dezelfde grootte en op dezelfde werklijn, mr met tegengestelde zin, heffen, m..t. de ewegingstoestnd vn een lichm, elkrs werking op. De ewegingstoestnd vn een lichm verndert dus niet, wnneer dergelijke twee krchten worden ingevoerd. Dit volgt rechtstreeks uit de eerste ewegingswet vn Newton F F = 2) Een krcht mg volgens hr werklijn verpltst worden, zonder dt de ewegingstoestnd vn een lichm drdoor verndert. F = F 3) De ewegingstoestnd vn een lichm verndert niet wnneer twee krchten, ngrijpend in hetzelfde punt, vervngen worden door hun resultnte, zijnde de krcht geconstrueerd op de digonl vn het prllellogrm met de twee krchten ls zijden. Deze resultnte R heeft dus, m..t. de ewegingstoestnd vn een lichm, dezelfde werking ls de twee krchten smen. F 2 R F Derde wet vn Newton : ctie = rectie Indien de lichmen A en B in rust zijn, geldt dt, indien lichm A op lichm B een krcht F A uitoefent, lichm B op lichm A een even grote krcht F B zl uitoefenen, die echter tegengesteld vn zin is. Dus : FA FB en ook : F A = F B (1.9) De wet "ctie = rectie" zl zeer veel geruikt worden ij de ehndeling vn evenwichtsvrgstukken en heeft dus een groot elng.

5 I De voornmste ewerkingen met vectoren Angezien krchten vectoriële grootheden zijn, is het ngewezen, voorfgndelijk n de ewerkingen met krchten, de voornmste ewerkingen met vectoren te ehndelen. Er zijn 3 soorten vectoren : - glijdende vectoren : vectoren die vrij mogen verpltst worden lngs hun werklijn, v een krcht - vrije vectoren : vectoren met oorsprong vrij in de ruimte; deze vectoren mogen evenwijdig met zichzelf verpltst worden, v een koppels - geonden vectoren : vectoren met vste oorsprong Som vn twee vectoren Om de som te mken vn twee vectoren 1 en 2 pltst men deze twee vectoren n elkr zodnig dt het eginpunt vn de tweede vector smenvlt met het eindpunt vn de eerste. De som is dn per definitie de vector R met ls eginpunt het eginpunt vn de eerste vector en ls eindpunt het eindpunt vn de tweede vector : = R. R 2 1 Het lijkt onmiddellijk dt de volgorde wrin men de vectoren n elkr uitzet geen elng heeft. De volgende constructie geeft immers precies dezelfde som R. 1 2 R Immers, de twee driehoeken, ekomen ij eplen vn de som ij verschillende volgorde, vormen smen een prllellogrm wrvn de digonl de som voorstelt. Men kn dus de som vn twee vectoren mken met ehulp vn een driehoek of met ehulp vn een prllellogrm. Zie ook vststelling 3 in rt Angezien de volgorde wrin men de vectoren n elkr uitzet geen elng heeft is de som vn twee vectoren commuttief. Er geldt dus : = = R (1.10)

6 I - 6 Opgemerkt dient te worden dt de numerieke wrde vn de som vn twee vectoren meestl niet gelijk is n de som vn de numerieke wrden vn de twee vectoren. oor twee vectoren op dezelfde werklijn is dit wel het gevl Som vn meerdere vectoren Om de som te mken vn de vectoren 1, 2, 3 en 4 pltst men deze vectoren n elkr zodnig dt het eginpunt vn een vector smenvlt met het eindpunt vn de vorige vector. De som is dn de vector R met ls eginpunt het eginpunt vn de eerste vector en ls eindpunt het eindpunt vn de ltste vector. Immers, op deze wijze eplt men opeenvolgend de resultnte vn twee vectoren (zie rt ) : = R 1 R = R 2 = ( ) + 3 = R = R = ( ) + 4 = (1.11) R 1 P R R 2 4 Angezien voor de som vn twee vectoren geldt dt de volgorde wrin men de vectoren n elkr uitzet geen elng heeft, is dit ook voor de som vn meerdere vectoren het gevl. De volgende constructie, met volgorde vn ijvooreeld 2 (met eginpunt Q), 4, 3 en 1, geeft immers precies dezelfde som R. De som vn meerdere vectoren is dus, zols de som vn twee vectoren, commuttief.

7 I - 7 Q R De som vn meerdere vectoren is ook ssocitief. 2 1 ( ) ( + ) ( ) ( ) + 3 = 1 + ( ) = (1.12) De hkjes mogen dus weggelten worden in ovenstnde vergelijking Product vn een vector met een reëel getl Het product vn een vector 1 met een reëel getl n is een vector 2 met volgende kenmerken : - de grootte (het kengetl) vn 2 is n ml de grootte vn 1, dus : 2 = n 1. - de richting vn 2 is dezelfde ls de richting vn 1 - de zin vn 2 hngt f vn het teken vn n : - ls n positief is, is de zin vn 2 dezelfde ls de zin vn 1 - ls n negtief is, is de zin vn 2 tegengesteld n de zin vn 1

8 I - 8 oor het overige geldt : - voor een willekeurige vector : n (m ) = (n m) = n m (n + m) = n + m - voor 2 willekeurige vectoren 1 en 2 : n ( ) = n 1 + n ectorieel product Het vectorieel product vn 2 vectoren 1 en 2 is een vector = 1 kenmerken : 2 met volgende - de grootte vn : = 1 2 sin, met de hoek tussen de vectoren 1 en 2. = ( 1 sin ) 2 = CE. 2 = oppervlkte vn prllellogrm ABCD. - de richting vn : de vector stt loodrecht op het vlk vn 1 en 2. - de zin vn : ls de hoek positief georiënteerd is vn 1 nr 2 toe, is de vector positief. C 2 D 1 90 E A B oor het overige geldt, voor willekeurige vectoren 1, 2 en 3 : 1) 1 2 = - 2 1, omdt voor 1 2 de hoek positief is (georiënteerd vn 1 nr 2 toe), en voor 2 1 de hoek negtief is (georiënteerd vn 2 nr 1 toe), en sin(- = - sin 2) (n 1 ) 2 = 1 (n 2 ) = n( 1 2 ) 3) 1 ( ) = ) 1 1 = 0 ; immers 1 1 sin0 = 0.

9 I De projectiemethode vn vectoren De projectie vn vector is een vector, wrvn het eginpunt de projectie vn het eginpunt vn vector is, en het eindpunt de projectie vn het eindpunt vn vector. Men projecteert een vector op een s of op een vlk. De projectie vn een vector ligt in hetzelfde vlk ls vector. - Projectie volgens richting y op een s x : p Y X( ) ' y ' ' ' - Projectie volgens richting y op een vlk v : p Y v ( ) ' x y ' ' ' v Bij de projectie vn een vector loodrecht op een s of op een vlk, spreekt vn een orthogonle projectie.

10 I Eigenschppen vn projecties vn vectoren 1) De projectie vn een vector volgens zijn werklijn, op een s of een vlk, is gelijk n nul. y ' = ' p Y ( ) 0, immers '' ' ' 0 X x 2) Een vector heeft op evenwijdige projectie-ssen, of evenwijdige projectievlkken, dezelfde projectie. y ' x 1 ' '' Y Als x 1 // x 2, is p ( ) Y p ( ) X1 X2 ' = '' ' '' x 2 '' 3) Gelijke vectoren heen gelijke projecties. Als, is p( ) p( )

11 I ) De projectie vn het product vn een vector met een reëel getl is gelijk n het product vn dt getl met de projectie vn die vector. y ' ' ' ' ' x = n '' = p(n) = n p( ) = n ' 5) De projectie vn de som vn vectoren is gelijk n de som vn de projecties vn die vectoren ; ook het omgekeerde is het gevl. y ' 1 ' 2 ' ' = n 3 ' ' x p( ) = p( 1 ) + p( 2 ) + p( 3 ) p( n ) ' = 1 ' + 2 ' + 3 ' n '

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting. 1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

MET VOLLE KRACHT VOORUIT

MET VOLLE KRACHT VOORUIT MET VOLLE KRACHT VOORUIT VERSIE PR O EF KRACHT, ENERGIE EN VERMOGEN WEZO3_1u_them4.indd 3 15/04/16 09:48 HOOFDSTUK 1 KRACHTEN 1.1 Uitwerking vn een krcht p 5 1.2 Meten vn een krcht p 7 1.3 Kenmerken vn

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

De eenvoudig statisch bepaalde ligger

De eenvoudig statisch bepaalde ligger 1 e eenvoudig sttisch eplde ligger Inleiding : e drgende constructie vn een geouw of een rug is opgeouwd uit een ntl liggers. Voor een rug is dit : 1. de lngsligger die ondersteuning geeft n het rugdek

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Module 2 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 2 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Modue Uitwerkingen vn de opdrchten Opdrcht 1 nyse Sttisch bepde constructie. Uitwendig evenwicht te bepen met evenwichtsvoorwrden. Drn op de gevrgde ptsen een denkbeedige snede nbrengen en met de evenwichtsvoorwrden

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald: Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9

Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9 Hoofdstuk Werken met vectoren 9 Werken met vectoren In Lthen in Duitslnd evindt zich de testn vn de Trnsrpid, een mgneettrein die over een specile n zweeft Stukken mgnetisch weekijzer in de n en elektromgneten

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Het bij een lichtsein door wit licht gevormd getal geeft de snelheid aan in tientallen kilometers per uur.

Het bij een lichtsein door wit licht gevormd getal geeft de snelheid aan in tientallen kilometers per uur. Bijlge 4, ehorende ij rtikel 24 vn de Regeling spoorverkeer Hoofdstuk 1. Het ij een lichtsein door wit licht gevormd getl geeft de snelheid n in tientllen kilometers per uur. 1. Lichtseinen. 1.1 Hoofdseinen

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Publicatiereeks Gevaarlijke Stoffen 1. Deel 2B: Effecten van explosie op constructies

Publicatiereeks Gevaarlijke Stoffen 1. Deel 2B: Effecten van explosie op constructies Pulictiereeks Gevrlijke Stoffen Deel B: Effecten vn eplosie op constructies decemer 003 pgin vn 3 PGS, Deel B: Effecten vn eplosie op constructies Inhoudsopgve pgin Smenvtting 4 Summry 4 Inleiding 5 Identifictieschem

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde Hvo B deel Uitwerkingen lok Moderne wiskunde Blok Vrdigheden ldzijde 0 l gt door (0, ) dus strtgetl l gt door (0, ) en (, ), dus nr rehts en omlg ofwel nr rehts en 0, omlg. Het hellingsgetl is dn 0, y

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Keuze van het lagertype

Keuze van het lagertype Keuze vn het lgertype Beschikbre ruimte... 35 Belstingen... 37 Grootte vn de belsting... 37 Richting vn de belsting... 37 Scheefstelling... 40 Precisie... 40 Toerentl... 42 Lgergeruis... 42 Stijfheid...

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT GELIJKSTROOMMOTOREN Technisch Instituut Sint-Jozef Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen Versie:19/10/2005

ELEKTRICITEIT GELIJKSTROOMMOTOREN Technisch Instituut Sint-Jozef Wijerstraat 28, B-3740 Bilzen Versie:19/10/2005 ELEKTRICITEIT GELIJKSTROOMMOTOREN Technisch Instituut Sint-Jozef Wijerstrt 28, B-3740 Bilzen Versie:19/10/2005 Cursus: I. Clesen, R. Slechten 1 Gelijkstroommotoren... 2 1.1 Bepling... 2 1.2 Toepssingsgebied...

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Digitale informatieverwerking

Digitale informatieverwerking Digitle informtieverwerking E. Gernt Inleiding De elektroni leent zih ook uitstekend voor de verwerking vn informtie. De informti is in stt om de één of ndere vorm vn informtie om te zetten in een elektrishe

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRVECTOR.

Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRVECTOR. MEETKUNDE Tussen hkjes stn de nmen vn de progrmm's, in de groep GRVECTOR. De oppervlkte vn een veelhoek (OPPVEELH)... Pnorm vn de driehoeksmeting (RDRIEHK)...3 3 Vectoren in R (HOEK)...6 4 Vectoren in

Nadere informatie

1. Differentiaalvergelijkingen

1. Differentiaalvergelijkingen Differentilvergelijkingen Vn discreet nr continu We estuderen de evolutie vn de evolking vn een lnd met 5 miljoen inwoners Stel u n het ntl inwoners n n jr, met n een discrete vriele We heen enkel informtie

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie