1. Differentiaalvergelijkingen
|
|
- Hilde Mertens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Differentilvergelijkingen Vn discreet nr continu We estuderen de evolutie vn de evolking vn een lnd met 5 miljoen inwoners Stel u n het ntl inwoners n n jr, met n een discrete vriele We heen enkel informtie over evolkingsntllen op het einde vn een jr Met een rij, u = 5 u u u3 u n, kunnen we de evolkingsgroei modelleren We stellen de volgende hypothese De jrlijkse ngroei, in jr n, is evenredig met de evolkingsgrootte op het einde vn jr n : un un Wnneer de evolking zich kn ontwikkelen ij voldoende ruimte en wnneer er geen invloeden zijn vn uitenf dn is dit een zinvolle hypothese, keer zoveel volk, twee keer zoveel groei Uit de meting vn u, ngroei in het e jr, lijkt dt de evenredigheidsfctor gelijk is n,3 en we nemen n dt dit de jren ndien zo lijft Verlgemening geeft un =,3 un zodt un un =,3 un wruit volgt dt un =, 3 un Deze recursievergelijking heeft ls lgemene oplossing de rij met expliciet voorschrift un =, 3 n u wrij,3 de jrlijkse groeifctor is Voor elke wrde vn u is er één oplossing De recursievergelijking heeft dus oneindig veel oplossingen Mr de recursievergelijking met eginvoorwrde u = 5 heeft ls unieke oplossing de rij u = 5,3 n, die we een prticuliere oplossing noemen n In wt volgt modelleren we de evolkingsevolutie met een functie y die fhnkelijk is vn een continue vriele t We erekenen eerst de gemiddelde evolkingsngroei over delen vn een jr t = mnd De ngroei kn uitgedrukt worden ls volgt: y = y( t+ ) y( t) De gemiddelde yt ( + ) yt ( ) ngroei per mnd wordt gegeven door =,3 yt ( ) Vergelijk met u = u u = u( n) u( n ) =,3u n n n n t = dg De gemiddelde ngroei wordt: yt ( + ) yt ( ) 36 =,3 yt ( ) 36
2 Een tijdsintervl vn lengte t yt ( + t) yt ( ) We ekomen =,3 yt ( ) We noteren y = y( t+ t) y( t) zodt t y y =,3 yt ( ) is de gemiddelde ngroei over een periode t t x, de gemiddelde groeisnelheid We lten t zeer klein worden klein worden om zo een goede endering te ekomen vn de ogenlikkelijke groeisnelheid op een tijdstip t y dy De ogenlikkelijke snelheid wordt gedefinieerd ls lim en noteren we met of t t dt y'( t ) De evolkingsevolutie wordt eschreven door de vergelijking y'( t) =, 3 y( t) Merk op dt in deze vergelijking zowel de functie y voorkomt ls ook de fgeleide Zo n vergelijking noemen we een differentilvergelijking De enige functie die evenredig is met zijn fgeleide is de exponentiele functie Vndr,3t dt de differentilvergelijking ls oplossing de functie yt () = 5e heeft Indien we geen eginvoorwrde vooropstellen is iedere functie vn de vorm,3t yt () = Ae een oplossing vn de differentilvergelijking Ook hier heeft een eginvoorwrdeproleem een unieke oplossing,3t yt () = 5e is de unieke oplossing vn y'( t) =,3 y( t), y() = 5,3t yt () = 5e noemen we een prticuliere oplossing vn y'( t) =, 3 y( t) Merk op dt recursievergelijkingen of differentievergelijkingen eschouwd kunnen worden ls de discrete tegenhngers vn differentilvergelijkingen, net zols rijen voor functies Bij itertieve processen is de tijd gemeten in discrete intervllen (dgen, jren, ) en ij differentilvergelijkingen is de tijd een continue vriele We estuderen discrete systemen met ls doel hun resultten toe te pssen in moeilijkere continue gevllen Een oplossing vn een differentilvergelijking is een continue functie, vk met ls onfhnkelijke vriele de tijd Als we de oplossing ekijken op discrete tijdsintervllen, heen we een itertief proces De snelheid wrmee een grootheid verndert, is de fgeleide vn de grootheid nr de onfhnkelijke vrile, ijvooreeld de tijd Soms is het onmogelijk of zeer moeilijk om differentilvergelijkingen expliciet op te lossen en mkt men geruik vn numerieke methoden We zullen dit verderop illustreren met de methode vn Euler y '
3 Enkele differentilvergelijkingen We veronderstellen voor de onderstnde differentilvergelijkingen steeds de eginvoorwrde y() = y voor t = (i) y'( t ) = De oplossing voor dit eginvoorwrdenproleem is yt () = y (ii) y'( t) = De fgeleide is constnt ( ) voor een eerstegrdsfunctie In dit gevl is de oplossing yt () = t+ y (iii) y'( t) = t+ ( ) De oplossing is de kwdrtische functie y() t t t y = + + (iv) y'( t) = y( t) ( ) Zols eerder gezegd is de enige functie wrvoor de fgeleide evenredig is met zichzelf de exponentiële functie t Men kn ewijzen dt y'( t) = y( t) y( t) = Ce met C een constnte Rekening houdend met de eginvoorwrde ekomen we ls oplossing voor t y'( t) = y( t) de exponentiële functie yt () = y e Hiervn vertrekkende zien we snel in dt de oplossing vn y'( t) = y( t) de functie t yt () = y e is (v) y'( t) = y( t) + Indien we voor ovenstnde vergelijking enkel de termen eschouwen wr y of y ' in voorkomen, krijgen we de vergelijking y'( t) = y( t) De vergelijking noemen we de homogene vergelijking De lgemene oplossingen hiervn kennen we, nl t yt () = Ce 3
4 Als we de vergelijking, y'( t) = y( t) +, ndchtig estuderen zien we dt de functie yt () = een oplossing is Deze oplossing noemen we een prticuliere oplossing Wiskundig kn ngetoond worden dt indien we de oplossing kennen vn de homogene vergelijking, y h, en een prticuliere oplossing, y p, de lgemene oplossing y = yh + yp is t In ons gevl geeft dit: yt () = Ce Rekening houdend met de eginvoorwrde, y() = y, vinden we y = y() = C zodt C = y + De oplossing vn het eginvoorwrdenproleem is yt () = ( y + ) e t Deze differentilvergelijking wordt ook vk in de vorm y'( t) = ( y( t)) genoteerd t met ls oplossing yt () = ( y e ) + Enkele mogelijke oplossingen (vi) Als ltste type vn differentilvergelijking ekijken we y'( t) = y( t)( y( t)) De oplossing vn dit eginvoorwrdeproleem is de functie yt () = + e y t Op de feelding hiernst stt de grfiek vn een mogelijke oplossing De grfiek vn deze functie noemen we een S-kromme Vergelijk deze differentilvergelijking met het discreet logistisch groeimodel 4
5 3 Enkele vooreelden Vooreeld Verspreiding vn een virus ij een popultie vn mensen Stel yt () het ntl mensen dt drger is vn het virus op het tijdstip t en y() = y de eginvoorwrde dy De snelheid wrmee het virus zich uitreidt op het tijdstip t is y'( t) = dt We nemen n dt deze snelheid evenredig is met het ntl drgers op het ogenlik t en met het ntl mensen dt op dt ogenlik nog geen drger is Hoe meer esmette personen hoe sneller het virus zich verspreidt, hoe minder er niet esmet zijn hoe minder snel er nog esmet kunnen worden De differentilvergelijking die dit proces eschrijft is vn de vorm: 7 y'( t) = 5 y( t)( y( t)) Het exct oplossen vn deze differentilvergelijking is niet zo trivil Wel is deze differentilvergelijking vn de vorm zols in prgrf punt (vi) Mr ook dr heen we niet uitgeweid over de oplossingsmethode Wel kunnen we enderend terugwerken nr een recursievergelijking om numeriek voorspellingen te doen Theoretisch geldt dt genoeg te nemen, y '() yh ( ) y() = lim hetgeen we kunnen enderen door h klein h h y(,) y() 7 y '() = 5 y() ( y()) Zodt:, 7 y(,) 5 +, 5 5 ( 5) = 53,75 Ook geldt: y(,) 5 (5) + 5( + 5 ) = 5 (5) + 5 (,5) 8 Noteren we y() = y, ekomen we y = 5 y +,5 y met ls verlgemening 8 de recursievergelijking: yn = 5 yn +,5 yn Vooreeld Bcteriepopultie De toenme vn het ntl cteriën is per tijdseenheid twee keer het ntl cteriën en de fnme is recht evenredig met het kwdrt vn de nwezige cteriën dy Dit logistisch model wordt eschreven met de vergelijkijng y'() t y() t k y() t dt = = Bij nvng zijn er 5 cteriën en er kunnen mximl 4 zijn Bij de mximle wrde 4 is er geen groei zodt = 4 k 4 k =,5 Geruikmkend vn k vinden we dt y '() = 5,5 5 =,5 = 9,875 Zols in vooreeld vinden we voor h gelijk n één dg dt y() y() y '() 5
6 Hieruit volgt dt y() = y(),5 y() + y() = 4,875 Op een nloge mnier vinden we dt Hetgeen leidt tot de lgemene differentievergelijking y() = y(),5 y() + y() = 43,58 yn ( ) = yn ( ),5 yn ( ) Vooreeld 3 Mengproleem Om een huis te schilderen kn men niet de juiste tint kopen Hiervoor koopt men gele en rode verf, een ton vn 5 liter gele verf en een ton vn liter rode verf Beide tonnen zijn voorzien vn een krn die liter per uur kn lten wegstromen Om een optimle geleidelijke mengeling vn de verf te ekomen lten we de gele verf in de rode vloeien en wordt utomtisch vermengd, dmv een mengmchine, met de rode verf Bij het openen vn eide krntjes loopt dezelfde hoeveelheid rode verf ls instromende gele weg We estuderen de vn de hoeveelheid gele verf in de ton met rode verf Voor een tijdsintervl, vn een tijdsduur t, geldt dt y t y( t) t instroom uitstroom Door t voldoende klein te nemen, kunnen we veronderstellen dt de instroom gele verf constnt is, yt () = yt ( + t) y Zo ekomen we de verhouding yt ( ) hetgeen ons de volgende t y differentilvergelijking y'( t) = lim = y( t) oplevert met ls eginvoorwrde t t y () = De excte oplossing vn dit eginvoorwrdeproleem is de functie yt ( ) = e t + Voor de gewenste tint moet yt () = 5wruit we het tijdstip ls volgt erekenen: t t ' 5 = e e = t = ln =, 693uur = 4 35,3 We enderen deze oplossing numeriek Veronderstel eerst dt we meten in stppen vn 6 minuten,, uur '' Weer geeft y(,) y() y '() dt y(,), += en y = y(,) y() =, 6
7 Anloog vinden we uit y'(,) = y(,) dt y(,) y(,) y '(,), y(, ),( - y(,)) + y(,) =,( -) + = 9 en tussen 6 en minuten een differentie y = y(,) y(,) = 9 Dit proces verderzettend, krijgen we de volgende resultten: # minuten # liter gele verf 9 7, 34,39 4,95 46,85 5,7 56, ,9 6,56 5,9 5,3 4,78 Tijdsintervllen vn 6 minuten zijn echter te groot om goede enderingen te ekomen Metingen per minuut,,66 uur geven nuwkeurigere resultten Dit vrgt wel heel wt meer rekenwerk # minuten # liter gele verf ,66 3,9 4,89 6,47 8, 9,55 5,3 4 De methode vn Euler We ehndelen de methode vn Euler om een idee te geven wt het numeriek oplossen vn differentilvergelijkingen etekent Deze methode is in reliteit te onnuwkeurig mr illustreert heel mooi het numeriek idee In de prktijk wordt geruik gemkt vn ndere gelijkrdige itertieve processen ls de Rung Kutt-methode y'( t) = f( t, y) We vetrekken vn een lgemeen eginvoorwrdeproleem y ( ) = y de oplossing yt () numeriek enderen op een intervl [, ] en gn de Als concreet vooreeld ehndelen we Voor dit vooreeld is f (, t y) = t y'( t) = t y() = op het intervl [,6] We zoeken een enderende wrde voor yt () voor een ntl punten t, t, t,, t n in het intervl [, ] Meestl worden deze punten equidistnt gekozen zodt: ti = t + ih voor i=,,,, n met h = n In wt volgt noteren we yt ( ) = y i i De methode vn Euler is geseerd op het volgende itertieprincipe y = i y + + i h f( ti, yi) voor i=,,,, n We pssen dit principe toe op ons vooreeld Duidelijk geldt dt yt ( ) = y() = y = 7
8 n = 3 Voor n = 3 is h = en t =, t =, t = 4, t 3 = 6 Volgens de methode vn Euler is: y = y + f( t, y ) = + =, y = y + f( t, y ) = + = 6 en y = y + f( t, y ) = 6+ 4= 4 3 n = 6 Voor n = 3 is h = en t =, t =, t =,, t 6 = 6 Volgens de methode vn Euler is: y = y + f( t, y ) = + =, y = y + f( t, y ) = + = 3, y = y + f( t, y ) = 3+ = 5 3 y = y + f( t, y ) = 5+ 3= y = y + f( t, y ) = 8+ 4= y = y + f( t, y ) = + 5= Het steeds vermeerderen vn tussenpunten verhoogd de nuwkeurigheid vn de endering Echter indien de functie zeer snel stijgt in het intervl, is de endering met de methode vn Euler niet zo erg nuwkeurig ver uit de uurt vn de eginvoorwrde, vndr ook het geruik vn ndere meer nuwkeurig methodes wrover we hier niet uitweiden Om te eindigen nog een meetkundige interprettie vn de methode vn Euler 8
9 In de omgeving vn t wordt de oplossing enderd door de rklijn in t wrij y'( t ) epld wordt door f( t, y) = f( t, y()) hetgeen gekend is Hieruit erekenen we y, y y nl y = y + h f( t, y) = y + hy'( t) ( y'( t) = ) h Vnuit y gn we y erekenen in de richting vn f ( t, y ), nl y = y+ h f( t, y) y y ( f( t, y) = ) En dit zetten we zo verder tot we f n erekend heen h 5 Enkele exponentiële toepssingen We vermeldden reeds dt een functie wrij de grd vn verndering evenredig is met de functie ltijd een exponentiele functie is Zo n exponentieel vervl of exponentiële groei komt in de ntuur geregeld voor Vooreeld Rdioctiefvervl Het rdioctief vervl op een ogenlik t, de snelheid wrmee de rdioctiviteit fneemt, is evenredig met de nwezige hoeveelheid rdioctiviteit op dt ogenlik: dr kr dt = Als er keer meer deeltjes zijn, zullen ze ook keer sneller verdwijnen k is negtief en voor elke rdioctieve stof nders dr Bijvooreeld voor Xenon is k = 4 en wordt de differentilvergelijking,4r dt =,4t met ls oplossing Rt () = Ce Stel voor t = dt R = mg Hieruit volgt dt C = wrdoor we de unieke oplossing,4t Rt () = e ekomen Hiermee kunnen we ls volgt de hlveringstijd erekenen:,4t,4t ln 5= e e =,4t = ln t = 5 ( dgen),4 Vooreeld Afkoelingswet vn Newton De snelheid wrmee de tempertuur T vn een wrm voorwerp fneemt, is evenredig met het verschil tussen de tempertuur en de omgevingstempertuur dt dt dt ( T ) = kt ( T) = kt ( T) dt kt kt T T = Ce T = T + Ce T = T + Ce kt Experimenteel eplen we dt op minuten de tempertuur vn een ord soep dlt vn 9 C tot 8 C in een omgevingstempertuur vn C 9
10 Dit etekent voor t = dt 9 = + Ce C = 7 en dt k k = + 7e e = k = ln k, We ekomen voor het eginvoorwdenproleem de unieke oplossing,77t e T = + 7 Men kn zo de tempertuur erekenen n een gegeven tijd of ook de tijd eplen wnneer de soep een eplde tempertuur zl heen Soep moet wrm gedronken worden hetgeen vk 5 C etekent Vooreeld Wnneer werd de moord gepleegd? Er werd een moord gepleegd en om 4 uur ( t = ) werd een lichmstempertuur gemeten vn 9,4 C Twee uur lter ws de tempertuur 7,3 C De kmertempertuur ws C en we nemen n dt de lichmstempertuur op het ogenlik vn de moord 37 C ws Wt is het vermoedelijke tijdstip vn de moord? Als de snelheid wrmee de tempertuur vn het lichm fkoelt evenredig is met het tempertuurverschil vn het lichm en de omgevingstempertuur, kunnen we stellen dt: dt AT ( ( t) ) dt = met ls lgemene oplossing () At Tt = + Ce Uit de gegegevens kunnen we A en C erekenen T() = 9,4 = + Ce C = 8,4 A 6,3 Twee uur lter geldt dt T() = 7,3 = + 8, 4e A= ln =,438 8,4 Dit geeft de unieke oplossing Tt () 8,4,438t = + e Om het vermoedelijk tijdstip vn de moord te ontdekken, stellen we ons de vrg wnneer de lichmstempertuur gelijk ws n 37 C? 438t Invullen in de oplossing geeft: 37 = + 8, 4e zodt t = 4, 48 Hetgeen ongeveer overeenkomt met -4 uren en 9 minuten, mw de moord geeurde vermoedelijk om 9:3 uur
Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatieHOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Nadere informatieIn dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
Nadere informatieDeel 3 Numerieke methoden
Deel 3 Numerieke methoden Differentiaalvergelijkingen Van discreet naar continu We bestuderen de evolutie van de bevolking van een land met 5 miljoen inwoners Stel u n het aantal inwoners na n jaar, met
Nadere informatie6.4 Rekenen met evenwichtsreacties
6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn
Nadere informatieHenk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatieModerne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Nadere informatiePrimitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
Nadere informatie3. BEPAALDE INTEGRAAL
3. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te eplen. We ouwen onze redenering op vi ondersommen, ovensommen en Riemnnsommen om
Nadere informatie1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.
Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem
Nadere informatie11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage
Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:
Nadere informatieBreuken en verhoudingen
WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere
Nadere informatieIntegralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:
Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige
Nadere informatieOefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2
Oefeningen 1 G n of de gegeven functie een oplossing is vn de gegeven differentilvergelijking. () xy = 2y ; y = 5x 2 (b) (x + y) dx + y dy = 0 ; y = 1 x2 2x (c) y + y = 0 ; y = 3 sin x 4 cos x 2 Zoek een
Nadere informatieREKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM
REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei
Nadere informatieOpdrachten bij hoofdstuk 2
Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio
Nadere informatieEen regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h
Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur
Nadere informatieZelfstudie practicum 1
Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().
Nadere informatieHoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de
Nadere informatieGetallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Nadere informatieInhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Nadere informatieInhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150
Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004. Contents
Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten
Nadere informatieH. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10
H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het
Nadere informatieDe formule van het opslagpercentage voor alle producten luidt:
4.3 Verkoopprijs erekenen Om een product of een dienst met winst te verkopen, moet je eerst goed weten wt de kosten zijn. Als je dt weet, dn kun je de verkoopprijs eplen. Kosten De kostprijs vn een product
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p
Nadere informatieKrommen en oppervlakken in de ruimte
(HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken
Nadere informatieToepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Nadere informatie1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.
Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder
Nadere informatieHoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid
Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieINTERVIEWEN 1 SITUATIE
INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur
Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord
Nadere informatieFormeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen
1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatie5.1 Hogeremachtswortels [1]
5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij
Nadere informatieHoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek
Nadere informatieToepassingen op Integraalrekening
Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes
Nadere informatie3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Nadere informatie1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?
Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.
Nadere informatieopgaven formele structuren procesalgebra
opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve
Nadere informatieVerschil zal er zijn mvbo bovenbouw WERKBLAD
Vershil zl er zijn mvo ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4.
Nadere informatie8 Kostenverbijzondering (I)
8 Kostenverijzondering (I) V8.8 Speelgoedfriknt Autoys BV heeft onlngs de Jolls Joye ontwikkeld: een plsti speelgoeduto voor peuters in de leeftijdstegorie vn twee tot vijf jr. De produtie voor 2009 wordt
Nadere informatieVerschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD
Vershil zl er zijn hv ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4. In
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B II
Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,
Nadere informatiePraktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven
Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)
Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,
Nadere informatieF G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
Nadere informatieBekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.
Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?
Nadere informatiegefragmenteerde bestanden Bestand Bestand Bestand Bestand Bestand a Bestand a Bestand a Bestand a Bestand Bestand Bestand Bestand c Bestand a
Terrorisme, dgelijks het onderwerp in de medi. Er kn niet omheen gekeken worden, de komende jren zl de strijd tegen terreurorgnisties ls IS en DAESH het onderwerp vn gesprek vormen. Tl vn nslgen werden
Nadere informatieDe tijdens de training aangeboden ski-imitaties gebruiken we zowel als middel maar ook als doel.
15 Ski-eroics Hoofdstuk 15, Pgin 1 vn 5 15.1 Inleiding Het is elngrijk om SneeuwFit triningen gevrieerd te houden. Proeer het nod vn ctiviteiten zo verschillend mogelijk te houden. Een vooreeld hiervn
Nadere informatieBoek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..
Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.
Nadere informatiea = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +
Nadere informatie1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?
CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig
Nadere informatieIntegralen en de Stelling van Green
Integrlen en de Stelling vn Green Les Functies vn twee vernderlijken Les ubbelintegrl Les 3 Lijnintegrl Les 4 Stelling vn Green en toepssingen Rob e Stelen sptie Een ster genereert mgnetische velden door
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatieInhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3
Voorwrden Hypotheek SprVerzekering Model 10052 Delt Lloyd Levensverzekering NV Inhoudsopgve 1 Wt edoelen wij met? 3 2 Wnneer strt uw verzekering? 3 3 Wnneer stopt uw verzekering? 3 3.1 Kunt u de verzekering
Nadere informatieV = gap E zdz ( 4.1B.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z).
4.1 Wire dipole Advnced theory In dit hoofdstuk introduceren we de lezer in de moment-methode erekening vn prmeters vn een wiredipole. We presenteren deze informtie in het Nederlnds in lg B zodt de lezer
Nadere informatie1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.
Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit
Nadere informatieNakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?
Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het
Nadere informatieWerkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set
Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n
Nadere informatieV2.1 Eerlijk verdeeld?
Wie verdient wt? v2 Mkt geld gelukkig? L Voor je sisehoeften zols eten, woonruimte en kleding en je l guw dit edrg kwijt. Bedenk mr eens wt de mndhuur is. En hoeveel etl je voor vste lsten 1s gs, liht
Nadere informatieWERKBLAD. weblink: vmbob. Let op: volg de aanwijzingen in het lesmateriaal bij het beantwoorden van de vragen!
1. Vershillen in eigen omgeving Vershil zl er zijn... tussen uurten, wijken en regio s in Nederlnd Lessenserie CBS & EduGIS voor vmo ovenouw welink: http://it.ly/s- vmo Let op: volg de nwijzingen in het
Nadere informatieMerkwaardige producten en ontbinden in factoren
6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2011 - I
Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde
1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem
Nadere informatieRouteplanning middels stochastische koeling
Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.
Nadere informatieHET VELOCARDIOFACIAAL SYNDROOM : GENETISCHE EN ERFELIJKHEIDSASPECTEN.
1 HET VELOCARDIOFACIAAL SYNDROOM : GENETISCHE EN ERFELIJKHEIDSASPECTEN. KOEN DEVRIENDT. Centrum voor Menselijke Erfelijkheid KULeuven Inleiding. Het DiGeorge syndroom werd reeds in 1965 eschreven door
Nadere informatieHOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude?
VOORWAARDEN Overlijdensrisicoverzekering Delt Lloyd Levensverzekering NV Amsterdm MODEL 2401 U wilt uw finnciële zken goed geregeld heen. Ook ij overlijden. Drom het u een overlijdensrisicoverzekering
Nadere informatieRoute F - Desert. kangoeroerat
Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje
Nadere informatieDe noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.
1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieOP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN
OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde
Nadere informatie10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :
1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur
Nadere informatieMakelaarschap B.V. Privacyverklaring
Privyverklring Mkelrshp U heeft te mken met Mkelrshp. Mkelrshp is een NVM-mkelr/txteur. In deze privyverklring wordt uitgelegd hoe er met uw gegevens wordt omgegn. Overl wr in deze verklring NVM-mkelr
Nadere informatie6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...
113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatieWELK LICHTSCHERM MOET IK GEBRUIKEN VOOR INLOOPBEVEILIGING?
ICK KEUZEHULP WELK LICHTCHERM MOET IK GEBRUIKEN VOOR INLOOPBEVEILIGING? Voor inloopeveiliging geldt onder meer de norm EN 13855. Dit is de norm voor het eplen vn de veiligheidsfstnd. Deze fstnd is fhnkelijk
Nadere informatiePraktische Opdracht Lineair Programmeren V5
Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatie2 De kracht van vectoren
De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw
Nadere informatieBijlage agendapunt 7: Inhoudelijke planning overlegtafels 2015
Bijlge gendpunt 7: Inhoudelijke plnning overlegtfels 2015 In de Ontwikkelgend (ijlge 5 ij de Deelovereenkomst mtwerkvoorziening egeleiding 18+) zijn 7 them s en 31 suthem s opgenomen die in 2015 tijdens
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin
Nadere informatieEXAMENONDERDEEL ELEKTRONISCHE INSTRUMENTATIE (5GG80) gehouden op woensdag 22 juni 2005, van tot uur.
Technische Universiteit Eindhoven Fculteit Elektrotechniek EXAMENONDEDEEL ELETONISCHE INSTUMENTATIE (5GG8) gehouden op woensdg juni 5, vn 4. tot 7. uur. Het geruik vn het collegedictt Elektronische Instrumenttie
Nadere informatie4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat
Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml
Nadere informatieInleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Nadere informatieOpbouw van het boek: overzicht
Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken
Nadere informatieTentamen: Kansrekening en Statistiek P0099
Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te
Nadere informatieInhoud Basiswiskunde Week 5_2
Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie
Nadere informatieDe oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.
Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule
Nadere informatieedatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.
Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistishe ngiften in te vullen en door te sturen vi internet. Het etreft een door de FOD Eonomie volledig eveiligde
Nadere informatieHoofdstuk 4 : Ongelijkheden
Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...
Nadere informatieOpgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.
2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw
Nadere informatie