V = gap E zdz ( 4.1B.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z).

Transcriptie

1 4.1 Wire dipole Advnced theory In dit hoofdstuk introduceren we de lezer in de moment-methode erekening vn prmeters vn een wiredipole. We presenteren deze informtie in het Nederlnds in lg B zodt de lezer vertrouwd kn gerken met de Nederlndse termen die geruikt worden ij ntennes. De Engelse vertling vn dit hoofdstuk vindt men in lg A. De technische prmeters vn ntennes (versterking, ingngsimpedntie, derectivity pttern) kunnen erekend worden ls de current distriution vn het ntennedrgvlk gekend is. Spijtig genoeg geeft de erekening vn current distriution prolemen omdt er integrl vergelijkingen moeten worden opgelost. Er zijn 2 sisenderingen voor het oplossen vn integrlvergelijkingen. Deze zijn intertieve en momentopnmes. Intertive methodes zijn geseerd op de ruwe endering vn de current distriution (v.. sinus) wrdoor deze zo nuwkeuriger wordt gemkt. Anderzijds, moment methodes vormen de integrl vergelijkingen om tot een set vn prllelle lineire vergelijkingen, welke opgelost kunnen worden door mtrix ewerkingen. In dit hoofdstuk gt onze ndcht voorl nr het moment nlyse vn drdntennes. In lle gevllen worden de ntennes verondersteld om cirkelvormige cilinders te zijn met een strl en een lengte = 2h. De s vn de ntenne wordt voorgesteld door de z-s (fig. 4.1B.1) vn het cilindervormig coördinten systeem (r, ρ, z). De ntenne wordt in een vcuüm omgeving gepltst (µ = µ 0, ε = ε 0, σ = 0) en er worden geen verliezen verondersteld. Fig. 4.1B.1 Wire dipole In het centrum vn de cilinder (z=0), is er een korte opening. In deze opening veronderstellen we een hrmonische genertor welke een symmetrisch elektrisch veld genereert (fig. 4.1B.2). De spnning wordt verondersteld V = gp E zdz ( 4.1B.1 ) hier 1V te edrgen. In (4.1.B.1) is E z de z-component vn de elektrische veldintensiteit vn de ntenne oppervlkte (fig. 4.1B.2). Buiten het gt, E z is nul omwille vn de perfecte geleiding vn de cilinder. I. Moment methode Lten we een lgemene integrlvergelijking nemen. Fig. 4.1B.2 Exciting electricl field etween dipole terminls f (z, ξ)dξ = g(z). ( 4.1B.2 ) In deze formule is f een niet gekende functie, <,> is het intervl en g is een gekende functie die wordt voorgesteld door de ron. De moment oplossing vn (4.1.B.2) kn men ekomen in 3 stppen: 1. De ongekende functie f kn men herschrijven door een lineire comintie vn een gekende sisfunctie f n en een ongekende coëfficiënt c n. N f f = cn f n. n = 1 ( 4.1B.3 ) 2. De endering vn de ongekende functie f ~ is terug vervngen door de opgeloste vergelijking (4.1B.2). Hier zijn de sommtie en de integrtie verwisseld. Dit ekomt N cn f n = 1 n (z, ξ)dξ = g(z) + R(z). ( 4.1B.4 ) Hier is, R(z) het residuum welk het feit uitdrukt dt de endering f ~ niet heleml overeen komt met (4.1B.2). De vergelijking (4.1B.4) is een vergelijking voor N ntl ongekende coëfficienten c n. 3. De endering f ~ is zo nuwkeurig mogelijk ls het residuum R miniml is. Vndr dt het residuum geminimliseerd wordt door de weighted residu methode : Het produkt vn een weegfunctie w en het residuum R geintegreerd over het intervl <, > moet nul zijn [5]. Als N ntl weegfuncties worden geruikt, dn is de set vn N ntl gelijkrdige lineire vergelijkingen voor N ntl ongekende

2 coëfficienten c n gegeven in w m( z)r(z)dz = 0 m = 0,1,... N, ( 4.1B.5 ) N cn w m( z) f n =1 n (z, ξ)dξdz = w m( z)g(z)dz. ( 4.1B.5 ) Beide sis functies en weegfuncties moeten lineir onfhnkelijk zijn vn het intervl <,>. II. Bsis Functies Bsis functies kunnen glol of locl zijn. Glole sis functies worden fgekend op het hele geied <,>. V.., systeemfuncties zijn op <,> lineir onfhnkelijk en de coëfficienten c n in volgende endering N N f (z) f (z) = cn f n = cn cos πnz n = 1 n = 1 h ( 4.1B.7 ) f n (z) = cos πnz h ( 4.1B.6 ) heen dn etekenis op de Fourier coëfficienten vn de stroomdichtheids verdeling. Deze endering geseerd op de glole sis functies noemt men de single-sis endering. Locle sis functies worden ook fgekend op het hele geied, mr elk vn hen is niet gelijk n nul voor de deelgeieden vn het intervl <,> zols men kn zien in fig. 4.1B.3. Als sis functies worden genormliseerd, dn heen de coëfficienten c n de etekenis vn knoopwrdes vn de erekende functie f (fig. 4.1B.3). Bendering geseerd op de locle sis functies noemt men multi-sis enderingen. Fig. 4.1B.3 Multi-sis pproximtions ) piece-wise constnt, ) piece-wise liner III. Weeg functies Punt mtching en Glerkins methodes zijn de meest lgemene vormen vn residuum minimlistie. Punt mtching (of rngregeling) mken geruik vn Dirc pulsen, welke gepltst worden op pltsen wr men de ongekende wrde vn de stroom distriutie wil erekenen, zols weeg functies w m( z) = δ(z z m). ( 4.1B.8 ) Punt mtching methodes vereisen zeer weinig erekeningen omdt onze integrtie geëlimineerd wordt in (4.1B.5) dnkzij de filtering vn de Dirc pulsen N cn f n = 1 n (z m, ξ)dξ = g(z m). ( 4.1B.9 ) An de ndere knt is de minimlistie vn het residuum enkel verwnt tot de mtching points z m. In de Glerkins methode zijn weeg functies identiek n sis functies w m(z) = f m (z). ( 4.1B.10 ) Glerkins methode vertoont meer eredeneringen in vergelijking met de mtching point methode omdt een vn de integrties niet kn worden weggewerkt. Anderzijds is de residuum minimlistie hier voorgesteld voor elk punt z <,>. IV. Drd ntennes

3 Veronderstel de cylindervormige ntenne vn fig. 4.1B.1. Dn kn het uitgestrlde elektromgnetische veld uitgedrukt worden in een vectorpotentil A en sclir potentil φ. Deze moeten overeenkomen met niet-homogene golfvergelijkingen [2] 2 Az(z) z 2 + k 2 A z(z) = µ 0 J z(z), ( 4.1B.11 ) 2 φ(z) z 2 + k 2 φ(z) = ρ(z) ε. ( 4.1B.11 ) 0 Hier is J z de z-component vn de stroomdichtheid [A.m -2 ] opgewekt door de ron in de ntenne. ρ is het volume vn de ldingsdichtheid [C.m -3 ] in de ntenne, A z is de z-component vn het vector potentil en φ is het sclir potentil, k=2π/λ is het golfntl en λ is de golflengte. De stroom die vloeit in de ntenne veroorzkt een spnningsophoping in de cilinder. Dit verschijnsel noemt men de continuiteitsvergelijking vn de regressievergelijking [2] Jz(z) z + jωρ(z) = 0. ( 4.1B.12 ) Als de strl vn de ntenne-cilinder veel kleiner is dn de golflengte << λ dn mg men veronderstellen dt de stroom zich concentreerd in de s vn de cilinder [5], en door het oplossen vn (4.1B.11) ekomt men [2] A z(z) = µ exp[ jkr(z, ξ)] 4π I z(ξ) dξ, ( 4.1B.12 ) 2h R(z, ξ) φ(z) = 1 4πε σ(ξ) exp [ jkr(z, ξ)] dξ. ( 4.1B.12c ) 2h R(z, ξ) Hier is I z (ξ) de stroom [A] die vloeit in de s vn de cilinder, σ(ξ) is de ldingsdichtheid [C.m -1 ] in de s vn de cilinder, R(z,ξ) is de fstnd tussen de plts ξ vn de elektromgnetische veldronnen I z (ξ) en σ(ξ) en de loctie z potentiëlen A(z) en φ(z). Op sis vn A(z) en φ(z), kn de elektrische intensiteit vn de veldstrlen vn de ntenne erekend worden [2] De elektrische intensiteit moet hier gelijk zijn n de grenswrde vn het ntennedrgvlk S Es z ( z) = jωa z( z) φ(z). ( 4.1B.12d ) z E z i + Ez s = 0 on S ( 4.1B.12e ) E i z veronderstelt hier de elektrische intensiteit vn de golf. In het gevl vn een geruikelijke ntenne is E i z de intensiteit vn de voedingsron (op het ntennedrgvlk). V.. de intensiteit in het gt (fig. 4.1B.2). Als men de stroomdistriutie vn de ntenne wil erekenen, dn zl men eerste de set vn vergelijkingen (4.1B.12) moeten uitwerken. Als men de grensvoorwrden wil ereiken (4.1B.12e) zl men de elektrische intensiteit moeten erekenen op het drgvlk vn de drd. Dit is wrom de fstnd R eschreven stt ls volgt R(z, ξ) = 2 + (z ξ) 2. ( 4.1B.13 ) In de volgende prgrfen worden constnte sis functies, en Dirc weeg functies stpsgewijs geruikt voor het uitwerken vn (4.1B.12). In de eerste stp wordt de genlyseerde structuur gediscritiseerd. Opsplitsing vn ntenne is vertoont in fig. 4.1B.4. Lgere delen worden voorgesteld door een -, hogere delen door een +. Lgere delen vn het eerste segment en hogere delen vn het ltste segment zijn weggelten vn het einde vn de ntenne om zo de conditie I(-h)=I(h)=0 te ereiken. De segmentlengtes zijn = 2α. Het stpsgewijs vervngen vn constnte enderingen nr de integrl vergelijking (4.1B.12,c) ekomt Fig. 4.1B.4 Piece-wise constnt pproximtion

4 h+(n+0,5) A z( z) µ 4π N exp[ jkr(z, ξ)] In dξ, n = 1 R(z, ξ) h+(n 0,5) ( 4.1B.14 ) h+(n+0,5) φ(z) 1 4πε N exp[ jkr(z, ξ)] σn dξ. n =1 R(z, ξ) h+(n 0,5) ( 4.1B.14c ) I n en σ n zijn knoopwrdes vn de stroomldings dichtheid distriutie. Omdt de eerste fleiding vn de stpsgewijze constnte endering nul is voor de constnte secties en niet estt in de grensgevllen, zijn (4.1B.12) en (4.1B.12d) herschreven in termen vn eindige verschillen. In het gevl dt I n = I z (-h+n ) wordt dn verondersteld dt de continuiteitsvergelijking ls volgt kn worden uitgedrukt en de reltie voor het erekenen vn elektrische intensiteit is dn vn de vorm Iz( h+(n+1) ) Iz( h+n ) + jωσ( h + (n + 0,5) ) 0 ( 4.1B.15 ) Es φ[ h+(n+0,5) ] φ[ h+(n 0,5) ] z ( h + n ) jωaz( h + n ). ( 4.1B.15d ) De relties (4.1B.15) en (4.1B.15d) tonen on dt de Dirc pulsen voor punt mtching in het centrum vn de segmenten worden gepltst voor het vector potentil h+(n+0,5) A z( h + m ) µ 4π N exp[ jkr( h + m, ξ)] In dξ n =1 R( h + m, ξ) h+(n 0,5) ( 4.1B.15 ) en de grensen vn de segmenten voor het sclir potentil h+(n+1) φ[ h + (m + 0,5) ] 1 4πε N exp{ jkr[ h + (m + 0,5), ξ]} σn + dξ. ( 4.1B.15c ) n =1 R[ h + (m + 0,5), ξ] h+n In (4.1B.15c), σ n+ = σ [-h+(n+0.5) ]. (4.1B.15) kn men herschrijven in een compctere vorm σ n + 1 jω I n+1 I n, ( 4.1B.16 ) A z( m) µ 4π N exp[ jkr(m, ξ)] In dξ n = 1 R(m, ξ) n φ(m + ) 1 4πε N exp[ jkr(m +, ξ)] σn + n = 1 R(m + dξ,, ξ) n + ( 4.1B.16 ) ( 4.1B.16c ) In (4.1B.16d), is de rndvoorwrde (4.1B.12e) opgenomen. Ei z( m) jωa z( m) φ(m + ) φ(m ). ( 4.1B.16d ) Lten we nu een kijkje nemen op de continuiteitsvergelijking (4.1B.16); het drukt het feit uit dt genmenten vn de ntenne vervngen kunnen worden door elementire elektrische dipolen (fig. 4.1B.5). Dit in gedchten genomen, productie vn het n th segment vn het sclir potentil kn erekend worden op sis vn (4.1B.16c)

5 φ(m + ) = 1 jωε I n n + exp( jkr) dξ I n 4πR n exp( jkr) 4πR Vervngen we (4.1B.17) en (4.1B.16) in (4.1B.16d) en multiplexen we eide knten door dn ekomen we wr 1 dξ. ( 4.1B.17 ) E z i = Z I, ( 4.1B.18 ) Z mn = jωµ exp[ jkr(m, ξ)] dξ + 4πR(m, ξ) n + jωε 1 exp[ jkr(m +, ξ)] 4πR(m + dξ exp[ jkr(m +, ξ)] 1, ξ) 4πR(m + dξ, ξ) n + n jωε 1 exp[ jkr(m, ξ)] 4πR(m dξ exp[ jkr(m, ξ)] 1, ξ) 4πR(m dξ, ξ), n + n ( 4.1B.19 ) de stroomlding op het n th segment voorgesteld tot de spnning opgewekt in het m th segment. Omdt de elektrische intensiteit nul is voor lle segmenten ehlve het voedingsgt, de elementen vn de spnningsvector edrgen nul ehlve voor het gtsegment dt gelijk is n 1. (4.1B.18) voorziet de stroomdistriutie I. De verhouding vn de ingngsspnning en de ingngsstroom geeft dn de ingngsimpedntie vn de genlyseerde ntenne. Een vooreeld vn de resultten vn de nlyse is voorgesteld in fig. 4.1B.6; module en fse vn de stroomdichtheidsverdeling vn de dipool h = λ en = λ is dr ekomen. Men kn meer informtie vinden over de ekomen resultten (fig. 4.1B.6) door Fig. 4.1B.5 Antenn s set of elementry electricl dipoles middel vn een computer progrmm. Dit progrmm is voorgesteld in lg C. In lg D is het progrmm uitgelegd door de progrmmeur.

6 Fig. 4.1B.6 Current distriution on the symetricl dipole. Piece-wise constnt pproximtion, point mtching. Length of dipole 2λ, dimeter λ, numer of segments 64. Copyright 2010 FEEC VUT Brno All rights reserved.