Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Transcriptie

1 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl

2 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie = k 2 = 55 Voor n = 1, 2, 3, geldt dt Hn - 1L + n = n k = nhn+1l 2 Voor n = 1, 2, 3, geldt dt Hn - 1L 2 + n 2 = k 2 = n nhn+1lh2n+1l 6 Voor n = 1, 2, 3, geldt dt 1 + r + r r n-2 + r n-1 n = r k-1 = rn -1, r 1. r-1 n i = m + m+1 + m n-1 + n i=m n+m i = i=m n m+i i=0

3 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 3 5.1t/m3 Oppervlkte vn geied Y f HxL G X Geied G, niet l te ingewikkeld, rnd vn G estt uit eindig ntl gldde krommen Geied G heeft oppervlkte A = opphgl Hoe kom je n opphgl? Wrom is opphgl elngrijk?

4 4 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1t/m3 Oppervlkte vn (deel)geied Y f HxL G2 G 1 X Lt het geied G uit G 1 en G 2 estn. Dn opphgl = opphg 1 L + opphg 2 L

5 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5 5.1t/m3 Oppervlkte eenvoudige geieden Eenvoudige geieden: c h r Rechthoek A = h Cirkel A =pr 2 Driehoek A = 1 2 csinhl

6 6 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1t/m3 Riemnnsom Beschouw D in DHf L. D wordt verdeeld in n 0, x 1 1, x 2 D,,@x n-1, x n D. met = x 0 < x 1 < x 2 < < x n-1 < x n =. In ieder i-1, x i D wordt een getl c i gekozen. x 1 x 2 x 3 x n-2 x n-1 c 1 c 2 c 3 c n-1 c n Riemnnsom RS: RS = f Hc 1 LHx 1 - x 0 L + f Hc 2 LHx 2 - x 1 L + + f Hc n-1 LHx n-1 - x n-2 L + f Hc n LHx n - x n-1 L n RS = f Hck LHx k - x k-1 L Als HD xl k = x k - x k-1, dn RS = f Hck LHDxL k n Als de functie f HxL 0 is voor x, dn is RS de som vn oppervlkten.

7 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 7 5.1t/m3 Riemnnsom grfisch 1 Y f HxL X De Riemnnsom is een endering voor de opp vn het geied onder de grfiek vn f oven de x-s tussen de lijnen x = en x =

8 8 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1t/m3 Riemnnsom grfisch 2 Y f HxL X In hoe meer D is verdeeld, hoe eter de endering zl zijn, tenminste ls de lengte vn lle deelintervllen nr 0 gt.

9 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 9 5.1t/m3 Limietproces Beschouw een functie f op het D met een Riemnnsom. Als f Hc k L < 0, dn geeft de rechthoek horend ij het k-1, x k D een negtieve ijdrge n de Riemnnsom. n RS = f Hck LHDxL k A = Ÿ f HxL x Limietproces, n Ø, lengte deelintervllen Ø 0 Als de limiet A estt, dn is de functie f integreerr over het D. We noemen A = Ÿ f HxL x de eplde integrl vn f D. Als f continu is D, dn is f integreerr D en estt Ÿ f HxL x. Het uitrekenen vn de eplde integrl is in veel gevllen onmogelijk.

10 10 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1t/m3 De eplde integrl Nottie In Ÿ f HxL x heet de ondergrens, de ovengrens, f HxL de integrnd en x de integrtie-vriele. Er geldt Ÿ f HxL x = Ÿ f HtL t = Ÿ f HuL u. De wrde vn Ÿ f HxL x hngt lleen f vn ondergrens, ovengrens en de functie f. Belngrijk De onder- en ovengrens vn de eplde integrl mogen niet vn de integrtie-vriele fhngen.

11 Bsiswiskunde_Week_5_2.n t/m3 De wrde vn de eplde integrl Y H1L Y H2L Y H3L f HxL f HxL X X X f HxL In lle gevllen is de oppervlkte vn het lichtgele geied oven de x-s en de oppervlkte vn het lichtrode geied onder de x-s. In ieder gevl zijn 0 en 0. Gevl (1): Ÿ f HxL x = Gevl (2): Ÿ f HxL x =- Gevl (3): Ÿ f HxL x =-

12 12 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1t/m3 Vooreeld 1 2 Wt is de wrde vn Ÿ x 2 x? Bedenk dt ls y = 4 - x 2, dt dn x 2 + y 2 = 4. De integrl is de oppervlkte vn een hlve cirkel met strl 2 2 Dus Ÿ 4 - x 2 x = 2 p

13 Bsiswiskunde_Week_5_2.n t/m3 Vooreeld 2 3 Wt is de wrde vn Ÿ J x N x? Teken een pltje vn de grfiek en herken een De integrl is de oppervlkte vn een trpezium of de oppervlkte vn een rechthoek en een driehoek Dus Ÿ J x + 1N x = ÿ 3 ÿ 3 =

14 14 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1t/m3 Vooreeld 3 1 Wt is de wrde vn Ÿ x 3 x? -1 Bedenk dt het 1D symmetrisch is rond 0 en de integrnd is oneven. 1 Dus Ÿ x 3 x = 0. Zie de grfiek vn de integrnd

15 Bsiswiskunde_Week_5_2.n Inleiding eigenschppen vn eplde integrlen De eplde integrlen Ÿ f HxL x zijn nu geïntroduceerd. Het uitrekenen vn eplde integrlen komt lter. Stelling 3 evt een lijst vn eigenschppen vn eplde integrlen. Deze mken het mogelijk om iets over een integrl Ÿ f HxL x te zeggen zonder hem uit te rekenen. De meeste integrlen Ÿ f HxL x zijn niet uit te rekenen, mr er zijn llerlei technieken om deze integrlen te enderen. In Bsiswiskunde komen die niet n de orde. Nummering vn eigenschppen is ls in stelling 3.

16 16 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.4 Eigenschppen met integrtie-intervl Lt f integreerr zijn over een intervl dt punten, en c evt. () Ÿ f HxL x = 0 () Ÿ f HxL x =-Ÿ f HxL x (d) Ÿ c f HxL x + Ÿ c f HxL x = Ÿ f HxL x Eigenschp () is intuïtief duidelijk. Hij volgt ook uit (). Eigenschp () is geseerd op Riemnnsommen. Als > dn geldt = x 0 > x 1 > x 2 > > x n-1 > x n = en dus HD xl k < 0. Eigenschp (d) is intuïtief duidelijk ls < < c. Hij geldt ook in lle ndere gevllen. Y f HxL c X

17 Bsiswiskunde_Week_5_2.n Eigenschp lineriteit (c) Lt f en g integreerr zijn over D en C een constnte, dn Ÿ f HxL x + Ÿ ghxl x = Ÿ H f HxL + ghxll x en Ÿ CfHxL x = C Ÿ f HxL x Eigenschp is geseerd op Riemnnsommen. Er geldt dt en n n n H f Hck L + ghc k LLHDxL k = f Hck LHDxL k + ghck LHDxL k n n CfHck LHDxL k = C f Hck LHDxL k

18 18 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.4 Eigenschp met ongelijkheid (e) Lt f en g integreerr zijn over D en f HxL ghxl voor x, dn Ÿ f HxL x Ÿ ghxl x Y ghxl f HxL X 1 Vooreeld: De integrl x Ÿ x is niet met pen en ppier uit te rekenen. 2+x 5 0 Geef een intervl met lengte hooguit 1 n wrinnen de integrl ligt. 6 Merk op dt x 3 x x 2+x 5 2 voor 0 x Dus x Ÿ x x Ÿ x x 3 2+x 5 Ÿ x ofwel 1 1 x Ÿ x x

19 Bsiswiskunde_Week_5_2.n Eigenschp met solute wrde (f) Beschouw en in R met <. Lt f integreerr zijn over D. Dn Ÿ f HxL x Ÿ f HxL x In pltje (1) is de grfiek vn een functie f getekend en in (2) de grfiek vn f. Lt de oppervlkte vn lichtgele geied en de oppervlkte vn lichtrode geied in pltje (1) zijn. Dn Ÿ f HxL x = - +=Ÿ f HxL x.

20 20 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.4 De middelwrdestelling voor integrlen Beschouw en in R met <. Lt f continu zijn op D. Dn estt er een c in het intervl H, L met Ÿ f HxL x = H - L f HcL. Y M h f HxL m c 1 c 2 X Voor het gemk nemen we functie f met f HxL 0. De functie f is continu en neemt een minimum m en een mximum M n D. Dus mh - L Ÿ f HxL x MH - L. Er estt getl h zodnig dt hh - L = Ÿ f HxL x. Nu geldt m h M. Dus er is c met h = f HcL met c.

21 Bsiswiskunde_Week_5_2.n De gemiddelde wrde Het gemiddelde vn twee functiewrden: f Hx 1 L+f Hx 2 L 2 Het gemiddelde vn drie functiewrden: f Hx 1 L+f Hx 2 L+f Hx 3 L 3 Het gemiddelde vn een integreerre functie f op een D: f = 1 ÿ Ÿ f HxL x H-L Als f continu is op het D, dn f = f HcL voor een zekere c tussen en.

22 22 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.4 Integrl met stuksgewijs continue integrnd Beschouw en in R met <. Lt f stuksgewijs continu zijn op D, dus er estn eindig ntl 0, x 1 D,,@x n-1, x n D met continue functies h i i-1, x i D en = x 0 < x 1 < x 2 < < x n-1 < x n = zodnig dt f HxL = h i HxL voor x œ Hx i-1, x i L. x 1h1 x 2h2 x n Dn Ÿ f HxL x = Ÿ HxL x + Ÿ HxL x + + Ÿ hn HxL x. x 0 x 1 x n-1 Hieronder stt een vooreeld vn stuksgewijs continue functie f met drie deelintervllen in D: Y f HxL x 1 x 2 X