11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage"

Transcriptie

1 Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend: Titel Fse in het leerproces (ijvooreeld: instppen of toepssen) Wiskundige denkctiviteit(en); fhnkelijk vn de fse in het leerproces Voorkennis (ijvooreeld: eponentiële functies) Leerjr (ijvooreeld: 3, 5/6 of lle leerjren). Dn volgt de centrle vrg: wt gt het leren om? Drn, op grijze chtergrond, volgt de opdrcht voor de leerlingen. Een enkele keer zijn een of meer fsluitende opmerkingen. Formule ij een lineir vernd mken Logritme etekenis geven 3 Formules vergelijken Betekenis geven n eponentiële functie 5 Vierhoek trnsformeren 6 Breuken interpreteren 7 Prmeters interpreteren 8 Inhoud mimliseren 9 Vlkke-meetkundefiguren clssificeren 0 Gedrg vn een functie ij plus- of min-oneindig onderzoeken Inzicht in integrlen krijgen Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen () 3 Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen () Lineire vernden herkennen 5 Vergelijkingen clssificeren 6 Eponentiële functies eheersen 7 Werken met prmeters () 8 Vernd tussen groeifctor, groeipercentge en verduelingstijd leggen 9 Werken met prmeters () 0 De fgeleide vn y nders ewijzen Een model vlideren Een gegeven model toepssen 3 Reclme eoordelen Werken met prmeters (3) 5 Algerïsche uitsprken controleren 6 Stelling vn Pythgors ewijzen

2 Formule ij een lineir vernd mken; ontwikkelen; lgerïseren; voorkennis: het geruiken vn letters ls gegenerliseerde getllen, nog geen formules ehndeld; leerjr /3 Centrle vrg: hoe mk je een lineire formule ij een tel? Hier zie je een tel met drin ngegeven het edrg dt Rosnne ophlt ij een sponsorloop: is het ntl rondjes dt ze gt lopen en B is het edrg dt ze drmee op zl hlen B Bedenk hoe je ij 3 rondjes en ij 30 rondjes het edrg kn erekenen. Bedenk hoe je in het lgemeen ij n rondjes het edrg kn erekenen. Logritme etekenis geven; onderzoeken; strheren; voorkennis: eponenten; leerjr /5 VWO Centrle vrg: Wt doet de opertie log ( logritme ) met een getl? Geruik je GR om de volgende logritmen uit te rekenen. log(0) = log(00) = log(000) = log(70) = Mk eventueel nog etr vooreelden. He je enig idee wt log doet met een getl? Opmerking Leerlingen gn zelf eperimenteren met de GR en op sis vn de ntwoorden formuleren zij een vermoeden dt getest moet worden met verdere vooreelden. Hiern volgt het formliseren: log() = ls 0 =. 3 Formules vergelijken; ontwikkelen; formules mnipuleren; voorkennis: tweedegrds functies en hun grfieken, hkjes wegwerken; leerjr 3 Centrle vrg: Hoe kun je ngn of verschillende formules dezelfde grfiek heen? Controleer dt de volgende formules ij dezelfde prool horen en zeg welke kenmerken vn de prool je eenvoudig kunt flezen uit de verschillende formules. Geruik hiervoor de GR of Geoger en kies zelf vergelijkre formules om je vermoedens te verifiëren. y ( )( 6) y 8 y ( ) 3 y ( )

3 Opmerking Leerlingen gn zelf op onderzoek uit. Bij klssikle nespreking komen de krkteristieken zols nulpunten, top, symmetrie, y-intercept n od. Betekenis geven n eponentiële functie; consolideren; strheren; voorkennis: groeifctor en eponentiële functie; leerjr 3/ Centrle vrg: Wt is de groeifctor in de volgende vooreelden en hoe ziet de formule voor de ijehorende eponentiële functie eruit? Hieronder zie je vooreelden vn eponentiele functies: c d e f We vouwen een stuk ppier steeds duel en kijken nr het ntl lgen. is het ntl keren vouwen en y het ntl lgen. Een zeker soort cteriën verdrievoudigt ieder uur. Op tijdstip 0 zijn er 0 cteriën. Op een sprrekening krijg je 5% rente per jr; je zet 000 euro op de sprrekening en lt de rente ieder jr ijschrijven. is het ntl jren dt je sprt en y is het totle edrg op je sprrekening. Een A 0 -vel is keer zo groot ls een A -vel. Een A -vel is keer zo groot ls een A -vel. Enzovoort. De oppervlkte vn A 0 -formt is m. In de fgelopen twee eeuwen is de hoeveelheid gedrukt mteril oeken, tijdschriften etc. enorm toegenomen. Niet lleen werden er steeds meer eemplren gedrukt, mr ook het ntl (verschillende) pulicties is enorm toegenomen. Zo is sinds 80 wereldwijd het ntl tijdschriften elke 8 jr verdueld. Hoe dieper je onder wter komt des te donkerder het wordt. Iedere meter die je dieper gt neemt de hoeveelheid licht met ongeveer 5% f. Zeg dt de hoeveelheid licht op het wteroppervlk 00 is. Wt is de groeifctor in elk vn deze vooreelden? Vul voor vooreeld c onderstnd schem in. In de situtie vn de sprrekening is de groeifctor per jr: Drij hoort de volgende tel (invullen): y In deze tel is en y Leg uit hoe je in de tel de groeifctor ziet. Geef een formule ij de tel: Schets de grfiek. 5 Vierhoek trnsformeren; instppen; logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: eigenschppen vn vierhoeken en driehoeken, met nme vn rechthoeken en prllellogrmmen en vn de middenprllel in een driehoek; leerjr: /5 VWO, wiskunde B Centrle vrg: Hoe weet je zeker dt dt een eigenschp die hier n een vooreeld wordt ontdekt lgemeen geldt? 3

4 In deze vierhoek zijn P, Q, R en S de middens vn de zijden. De lijnstukken PU en RT stn loodrecht op SQ. Knip de vierhoek uit. Knip deze vervolgens in vier stukken lngs SQ, TR en PU. Kun je deze in een rechthoek leggen? De punten P, Q, R en S worden veronden en zo ontstt vierhoek PQRS. Wt kun je vertellen over deze vierhoek? 6 Breuken interpreteren; fsluiten; structureren en strheren; voorkennis: reuken, rekenen met reuken, verhoudingen; leerjr / Centrle vrg: Hoe kun je een reuk ls ¾ interpreteren? Geef een vooreeld wrij je 3 interpreteert ls: de verhouding 3: vn 3 c 3 keer d 0,75 7 Prmeters interpreteren; consolideren; structureren; voorkennis: verschillende functies uit de onderouw; leerjr: 3 Centrle vrg: Wt is de etekenis vn prmeters? Leg uit wt in de grfiek en in een tel de etekenis is vn de letters en in de drie volgende formules: y = + ; y = ; y = +. 8 Inhoud mimliseren; toepssen; modelleren en lgerïseren; voorkennis: geruik grfische rekenmchine, geruik vrielen; leerjr: Centrle vrg: Hoe leer je een proleem vi modelleren en lgerïseren oplossen? Er is een vierknt stuk ppier vn ijvooreeld 6 cm ij 6 cm.

5 De vier zwrte vierkntjes worden weggeknipt. Vervolgens wordt er een kje vn gevouwen. De instpvrg is: Mkt het voor de inhoud wt uit hoog het kje wordt? De vrg wr het eigenlijk omgt is: Bij welke verhouding tussen de zijde Z vn het gehele stuk ppier en de zijde h vn de uitgeknipte vierkntjes is de inhoud vn het kje miml? Opmerkingen De instpvrg is edoeld om de leerlingen het idee te geven dt de inhoud wel degelijk vrieert en dt er een grootste inhoud is. Beheerst de kls de differentilrekening dn is dt het wiskundig gereedschp om tot de lgemene oplossing (hoogte is een zesde deel vn de zijde) te komen. Eplorerend met de grfische rekenmchine lukt het ook. 9 Vlkke-meetkundefiguren clssificeren; instppen; ordenen en structureren; voorkennis: geen; leerjr: Centrle vrg: Hoe leer je gemeenschppelijke kenmerken /eigenschppen vn figuren te onderscheiden? In het prille egin vn de meetkunde krijgen leerlingen de vrg voorgelegd of zij in groepjes driehoeken (thuis uitgeknipt of ngeleverd) willen onderverdelen in groepjes met eenzelfde kenmerk. Opmerking Drn klssikl rpporteren, toespitsen op de kenmerken (hoeken, lengten, symmetrieën) en dt in een overzicht vstleggen. c Tegen het einde vn het eerste leerjr nog zo'n les, mr nu voor vierhoeken, ijvooreeld met een focus op vouwen, dus op symmetrie. Bijvooreeld in de ltste week vn het schooljr een vuilniszk vol verpkkingen meenemen en lten ordenen. Opmerkingen Als vnzelf ontstt dn een discussie over het criterium of de criteri. 0 Gedrg vn een functie ij plus- of min-oneindig onderzoeken; consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lle ehndelde functies; leerjr 5/6 Centrle vrg: Hoe leer je het gedrg vn functies ij plus- of min-oneindig onderzoeken? 5

6 Een vooreeld: we nemen de functie y = ,8 An de hnd vn de formule kun je eredeneren dt, ls nr oneindig ndert, de y-wrde nr een vste wrde ndert. Immers ls heel groot wordt, ndert 0,8 nr 0 en y dus nr = 30. An de hnd vn de formule kun je ook eredeneren dt, ls ndert nr min-oneindig, de y-wrde willekeurig klein (negtief) wordt. Immers ls, dn zl 0,8 willekeurig groot worden en dt moet je ftrekken vn 30. Geef ij de volgende functies steeds eerst een redenering n de hnd vn de formule en controleer je ntwoord eventueel met een grfiek op de GR. y = y = y = y = + 3 y = 00 0, y =3 (e + e ) y = y = + Inzicht in integrlen krijgen; consolideren; ordenen en structureren, strheren, logisch redeneren; voorkennis: integrlen; leerjr: 6 VWO Centrle vrg: Hoe leer je te redeneren ij integrlen? Hieronder stt de grfiek vn de functie g. wr zijn. g'()d 0 Beredeneer wrom de volgende uitsprken l dn niet ehoren 6

7 g()d Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen (); consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lger; leerjr /5 Centrle vrg: Hoe leer je gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen? Welke epressies zijn niet gelijkwrdig met y 3 ; is steeds positief. c d e f g 3 Gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen (); consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lger; leerjr /5 Centrle vrg: Hoe leer je gelijkwrdige lgerïsche epressies herkennen? Welke epressies horen ij elkr (mtchen); steeds positief 0,5 0,5. ( ). 0,5 ( ) 6 9,5 6,5 0, Lineire vernden herkennen; consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: lineire vernden, lger; leerjr: 3 Centrle vrg: Hoe leer je lineire vernden herkennen? Welke vn de volgende formules horen ij een lineire functie en hoe epl je dt? 7

8 y 3( ) y 3 ( ) y 3 y y y 5 Vergelijkingen clssificeren; consolideren; formules mnipuleren, nlytisch denken en proleemoplossen; voorkennis: vergelijkingen oplossen, lger; leerjr: 5/6 VWO Centrle vrg: Hoe leer vlot niet in stndrdvorm gegeven vergelijkingen npkken en oplossen? Mk verschillende ctegorieën vn vergelijkingen die overeenkomstige oplossingsmethoden heen. Geef een nm n iedere ctegorie en illustreer de oplossingsmethode n de hnd vn een prototype vergelijking uit de ctegorie. 8

9 log( ) 3. 0 log( ) log(. ) ( ) 6( 6 ( ( ) (6 ) 6 9 ( ).( e 0 ) 3 3 ( 6 ) ) 0 e 0,5 (sin( )) (sin( )) ).( ) (sin( )) log( ) e 3( ).( 3 0 ) 0.sin( ) 0 log( ) log( ) 6 sin( ) sin( ) e 0 ( 3) 6 ( ) 3( ) ( ) p sin( ) 0 e 3 6 cos( ) 3..( e ) 6 ln( ) ln( e) 0 ( e ). e 0 ( ) 3( ) ( ) ( 3) ( p)

10 6 Eponentiële functies eheersen; fsluiten; ordenen en structureren; voorkennis: eponentiële functies, hun formule en ijehorende tel, groeifctor, groeipercentge, hlveringstijd; leerjr: /5 Centrle vrg: hoe leer je lle specten vn eponentiële functies overzien? Leg lle krtjes op tfel en zoek steeds een viertl krtjes ij elkr, die horen ij dezelfde eponentiële functie (kwrtetten; er is slechts een deel vn lle krtjes hier opgenomen). Formule is y 0*0,8, met in weken Formule is y 00*0,95, met in weken Groeifctor per 0 weken is 5,3 3 6 y 7,5 67,8 Bij = hoort y = 90 Bij = hoort y = 80,5 Groeifctor per week is,8 Per week neemt hoeveelheid met 9% f De hlveringstijd is 3,5 weken Groeipercentge per week is 8% De hlveringstijd is 3,3 weken Het fnmepercentge per weken is 9% Groeipercentge per weken is 39,% 7 Werken met prmeters (); toepssen; nlytisch denken en proleemoplossen, formules mnipuleren; voorkennis: fhnkelijk vn het vooreeld; leerjr: ovenouw HAVO-VWO (sommige vooreelden lleen VWO) Centrle vrg: Hoe leer je de etekenis en functie vn prmeters in functievoorschriften? Gegeven is de functiefmilie. De grfiek vn f (dus p = ) op het intervl [0; ] stt hier weergegeven. 3 3 De grfiek vn noemen we B. f p snijdt de -s in O. Het volgende snijpunt vn de grfiek f p met de -s V is het geied tussen de grfiek vn f p en de -s. Bereken voor welke ecte wrde vn p geldt dt de oppervlkte vn V gelijk is n 0. Gegeven zijn de functies voor k,,3,,... Voor enkele wrden vn k is de grfiek getekend. 0

11 Bewijs dt de grfieken vn deze functies ehlve door punt (0, 0) ook nog door een tweede vst punt P gn. Punt Q is de projectie vn P op de -s; dit etekent dt Q het punt (0, 0) is. We ekijken OPQ. De grfieken vn f k verdelen OPQ in twee delen. 3 Onderzoek of er een wrde vn k is wrvoor de grfiek vn f k de delen met gelijke oppervlkte verdeelt. OPQ in twee c De grfiek vn f () 3 3 rkt de lijn y = in de oorsprong (0, 0). Bereken en. d Gegeven is de functie f 3 ( ) Toon n dt de -coördint vn het uigpunt vn f precies tussen de -coördinten vn het mimum en minimum ligt. De functie f() is een fmilielid vn de fmilie functies. Zols je het gezien geldt ij p = 9 dt f p () twee etremen heeft. Als p groter wordt, dn komt er een situtie dt f p () geen etremen meer heeft. Bereken vnf welke wrde vn p dt het gevl is. Opmerking Het leren werken met en interpreteren vn formules met prmeters evordert de symol sense en de ekwmheid in het mnipuleren met formules. 8 Vernd tussen groeifctor, groeipercentge en verduelingstijd leggen; consolideren; strheren; voorkennis: eponentiële functies; leerjr: /5 Centrle vrg: Hoe kun je de centrle concepten en de relties ij eponentiele functies in eeld rengen? Geef door middel vn pijlen n of je rechtstreeks uit het ene het ndere kn erekenen. Vooreeld: ls je rechtstreeks vnuit het groeipercentge per jr het groeipercentge per mnd kn erekenen, dn trek je een pijl vn groeipercentge per jr nr groeipercentge per mnd. Geef ook steeds een illustrtieve vooreelderekening.

12 groeifctor per mnd groeipercentge per mnd groeifctor per jr groeipercentge per 0 jr verduelingstijd groeifctor per 0 jr groeipercentge per jr 9 Werken met prmeters (); consolideren; nlytisch denken en proleemoplossen; voorkennis: differentil- en integrlrekening; leerjr: 5/6 VWO, wiskunde B Centrle vrg: Hoe leer je werken met een functiefmilie/prmeters? Gegeven is de functiefmilie met 0. Alle grfieken vn deze functiefmiliegn door (0, 0). Toon n dt de grfiek vn lle functies f in (0, 0) dezelfde helling heen en ereken deze helling. Toon n dt iedere grfiek vn f precies één etreem (minimum of mimum) heeft. Druk de -coördint vn dit etreem uit in. c Toon n dt een primitieve vn f is. 0 De fgeleide vn y nders ewijzen; fsluiten; logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: fgeleide; de fgeleide vn y met een vn de differentieerregels erekenen, inverse functie, de grfieken vn een functie en diens inverse zijn elkrs gespiegelde in de lijn y = ; leerjr: 5 VWO wiskunde A Centrle vrg: Hier zie je het ewijs dt de fgeleide vn y gelijk is n y ' In de linker kolom stn iedere keer uitsprken; in de rechter kolom geef je een rgument wrom deze uitsprk wr is. Het is niet de edoeling dt je deze ewijsstppen uit je hoofd leert, het gt hier om de rgumenttie. We zoeken de groeisnelheid vn y in.. De functies y en y zijn elkrs inverse.. De grfieken vn gespiegelde in de lijn y y en y (5 0 lijn) zijn elkrs

13 3. We zoeken de groeisnelheid vn y in. We mken eerst een getllenvooreeld en kiezen voorlopig even 9.. Als punt (9,3) op de grfiek vn y ligt dn ligt het overeenkomstige punt (3,9) op de grfiek vn 5. De groeisnelheid vn y in punt (3,9) is 6. y 6. Dus de groeisnelheid vn y in punt (9,3) is 6 7. We kijken nu nr het lgemene gevl en We zoeken dus de groeisnelheid vn y in 8. Als punt (, ) op de grfiek vn y ligt dn ligt het overeenkomstige punt ( op, ) de grfiek vn 9. De groeisnelheid vn y in punt (, ) is y 0. Dus de groeisnelheid vn y in punt (, ) is Een model vlideren; onderzoeken; modelleren en lgerïseren; voorkennis: ntuurlijke logritme, differentiëren; leerjr: 5/6 VWO wiskunde A Centrle vrg: Hoe kn een gegeven model gevlideerd worden? In een onderzoek kijkt men hoe het verkeerslwi L (in db) op een plts fhngt vn de snelheid v (in km/u) vn het verkeer en de fstnd tot een weg (in m). Bij een eplde weg vindt men de volgende formule: L 89,5,.ln(. v) 0,6. v 0,03. Vermoeden : Je mg verwchten dt, ij constnte snelheid, geldt: ls de fstnd tot de weg groter wordt dt het verkeerslwi minder wordt. Toon n dt, voor een vste wrde vn v, volgens deze formule geldt: ls groter wordt dn L kleiner. Vermoeden : Misschien zou je ook verwchten dt, op een vste fstnd tot de weg, volgens deze formule geldt: ls de snelheid groter wordt dt dn het verkeerslwi toeneemt. 3

14 Onderzoek vermoeden. Een gegeven model toepssen; toepssen; modelleren en lgerïseren, logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: e-mchten, differentiëren; leerjr: 5/6 VWO, wiskunde A Centrle vrg: hoe leer je je kennis ij een gegeven model geruiken? Bij het ontwerpen vn een weg moet er rekening gehouden worden met het schoon regenen vn de weg. Tijdens regenuien wordt het vuil vn de weg gespoeld. Het percentge vuil dt weggespoeld wordt (P) is fhnkelijk vn de tijd dt het regent (t in uren):. In deze formule geldt dt c, een positieve constnte, fhnkelijk is vn het soort wegdek. Voor eton geldt c = 0,05 terwijl voor sflt geldt c = 0,05. Teken de grfieken voor eide wegen en zeg welke weg sneller schoongespoeld wordt. Onderzoek met ehulp vn de fgeleide voor eide wegen welke vn de twee wegen ij een hele korte regenui het snelste schoonspoelt. Voor een vste, positieve wrde vn c geldt ltijd: P is een stijgend functie vn t (ls t groter wordt dn stijgt P). c d Toon dit n met een redenering n de hnd vn de gegeven formule. Toon dit n met ehulp vn de fgeleide. 3 Reclme eoordelen; toepssen; nlytisch denken en proleemoplossen, eventueel modelleren en lgerïseren; voorkennis: eponentiële functies; leerjr, wiskunde A Centrle vrg: hoe leer je je kennis in een prktijksitutie toepssen? Uit verschillende rochures vn nken hlt iemnd de volgende 3 niedingen: Bnk A: Bij een storting vn euro grnderen wij een hoog rendement: uw geld is in 0 jr verdueld. Bnk B: Bij een storting vn euro krijgt u per jr mr liefst,5% rente. Bnk C: Bij een storting vn euro krijgt u iedere 5 jr 5% rente ijgeschreven. Stel dt deze persoon vn pln is zijn euro voor lngere tijd weg te zetten op de nk, welke nk moet hij dn kiezen voor het hoogste rendement? Licht je werkwijze toe. Werken met prmeters (3); fsluiten; nlytisch denken en proleemoplossen, logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: goniometrische functies, differentiëren; leerjr: 6 VWO, wiskunde B Centrle vrg: Hoe leer je met prmeters werken? Gegeven is een functie. Het minimum vn f() is gelijk n 5 en het mimum is gelijk n 9. De grfiek vn f gt door het punt (3, 7) Bereken (ecte) wrden vn, en c wrvoor dit klopt. Zijn dit lle mogelijke wrden? Zo nee, geef lle mogelijke (ecte) wrden.

15 5 Algerïsche uitsprken controleren; consolideren; formules mnipuleren; voorkennis: eenvoudige lgerïsche gelijkheden; leerjr: 3//5 Centrle vrg: hoe leer je vlot lgerïsche gelijkheden? Zijn de volgende uitsprken wr; geef n wrom wel of niet ( ) y 3 3 (. p) 8 p y y y 6 Stelling vn Pythgors ewijzen; ontwikkelen; logisch redeneren en ewijzen; voorkennis: oppervlkte vn rechthoeken; leerjr: 3//5 Centrle vrg: Hoe leer je ewijzen? Hier zie je drie pltjes met een ewijs vn stelling vn Pythgors. Hoe weet je zeker dt die stelling vn Pythgors juist is? Welke ewijs vind je het mooiste? 5

16 3 6

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde Hvo B deel Uitwerkingen lok Moderne wiskunde Blok Vrdigheden ldzijde 0 l gt door (0, ) dus strtgetl l gt door (0, ) en (, ), dus nr rehts en omlg ofwel nr rehts en 0, omlg. Het hellingsgetl is dn 0, y

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

2 Formules herschrijven

2 Formules herschrijven Formules herschrijven Verkennen www.mth4ll.nl MAThADORE-bsic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules herschrijven Inleiding Verkennen Probeer de vrgen bij Verkennen zo goed mogelijk te bentwoorden.

Nadere informatie

HOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude?

HOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude? VOORWAARDEN Overlijdensrisicoverzekering Delt Lloyd Levensverzekering NV Amsterdm MODEL 2401 U wilt uw finnciële zken goed geregeld heen. Ook ij overlijden. Drom het u een overlijdensrisicoverzekering

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief De d-roms vn Wiskunde Intertief Breuk voor de Bsisshool het hoe wrom vn reuk verevoudig 8 4 4 optell 4 + 7 ftrekk 3 4 7 3 vermigvuldig 4 3 del 7 : 3 4 Breuk voor de Bsisshool,Vmo, Hvo/VWO Po het hoe wrom

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald: Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3

Inhoudsopgave. Voorwaarden Hypotheek SpaarVerzekering Model 10052. Delta Lloyd Levensverzekering NV. 1 Wat bedoelen wij met? 3 Voorwrden Hypotheek SprVerzekering Model 10052 Delt Lloyd Levensverzekering NV Inhoudsopgve 1 Wt edoelen wij met? 3 2 Wnneer strt uw verzekering? 3 3 Wnneer stopt uw verzekering? 3 3.1 Kunt u de verzekering

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Verschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD

Verschil zal er zijn hv bovenbouw WERKBLAD Vershil zl er zijn hv ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4. In

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder

Accenten blok 10 10 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 1 minder. de helft. 1 meer 1 meer. 1 minder Accenten lok 0 0 De leerlingen leren het optellen vnf een tienvoud in één sprong, ijv. 0. 0 7 de helft minder 7 Bij het rekenen met geld leren de leerlingen edrgen ls,98 fronden. 7 7 minder meer meer 7

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ICT - Rklijnen ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Blok 4 - Vaardigheden

Blok 4 - Vaardigheden Blok - Vrdigheden ldzijde 0 Dt geldt voor h, len m ; de grfieken zijn symmetrish in de y -s. Die zijn tegengesteld; ijvooreeld g( ) g () De grfiek is symmetrish in de oorsprong. funtie symmetrie in de

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Emenursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

1. Lineaire functies.

1. Lineaire functies. Uitwerkingen hodstuk. Lineire funties. Bij dit hodstuk komen de sisvrdigheden hkjes wegwerken, rekenen met reuken en oplossen vn lineire vergelijkingen uitgereid n de orde. Het kn nodig zijn hier prt voor

Nadere informatie

Verschil zal er zijn mvbo bovenbouw WERKBLAD

Verschil zal er zijn mvbo bovenbouw WERKBLAD Vershil zl er zijn mvo ovenouw WERKBLAD 1. Hoe heet de gemeente wr jij in woont? 2. Hoeveel inwoners heeft je gemeente in 2010? 3. Is het ntl inwoners in jouw gemeente sinds 2010 gestegen of gedld? 4.

Nadere informatie

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid. Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen

Nadere informatie